简单多面体的欧拉公式优秀教学设计

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研究性课题：多面体欧拉定理的发现

观察下面几个图形：
(不成立)
由观察发现并非对所有的多面体上述规律都成立。那么它对什么样的多面体一定成立呢？
拓扑变换：假定多面体的表面是用橡胶薄膜(不会破裂)做成的，对它们内部充气，观察变形情况：
一、简单多面体及欧拉定理
1、简单多面体：多面体表面经过连续变形可变为球面的多面体叫简单多面体。
(棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体等都是简单多面体。)
①什么叫简单多面体的概念问题。所谓简单多面体即是：
多面体经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体称为简单多面体。
②经过观察、归纳、猜想，我们发现了简单多面体顶点数V、面数F、棱数E之间的一般规律：即
欧拉定理：简单多面体顶点数V、面数F、棱数E之间满足：
V+F-E=2
欧拉示性数f(p)=V+F-E
简单多面体的欧拉示性数f(p)=V+F-E =2
③根据欧拉定理，我们可解决简单多面体的一此实际问题。
注意：在利用欧拉公式解决问题时，计算棱数方法可从两个方面考虑：
(i)E=各面多边形边数总和除以2；
(ii)E=各顶点棱数总和除以2..
教
学
过
程
1、已知凸多面体的每个面都是正三角形，且每个顶点都有4条棱，
试问这是几面体？
答案：∵多面体每个面有3条边，∴E=3F/2，又每个顶点有4条棱，
∴E=4V/2，又V+F-E=2，解得：E=12，F=8，V=6。
∴这个多面体是正八面体。
4、一个多面体共有10个顶点，每个顶点都有4条棱，面的形状只
有三角形和四边形，求作一个符合条件的模型，并说明作法。
作法：取一正方体，在相对的两个面的外侧各取一点，与该点最近面的顶点连线组成一个十二面体即为所求。

高中数学新人教版A版精品学案《简单多面体的欧拉公式》

简单多面体的欧拉公式【学习目标】知识与能力：1．感知简单多面体的欧拉公式在现实中的应用。

2．掌握简单多面体的欧拉公式。

过程与方法：1．通过观察，了解简单多面体的欧拉公式与平面欧拉公式的异同点。

2．进一步了解简单多面体的欧拉公式在实际生活中的应用。

情感态度与价值观：1．从类比中学习新的知识。

2．认识实际生活中大量存在的现象和规律。

3．培养合作交流意识。

【学习重难点】重点：理解简单多面体的欧拉公式。

难点：应用简单多面体的欧拉公式。

【学习过程】一、自主预习（一）知识点一：简单多面体定义：_______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________。

（二）知识点二：简单多面体欧拉公式公式：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________。

二、探究思考1．通过三角剖分的方法，证明简单多面体欧拉公式。

2．一个球面三角形的每边的边长变为原来的两倍，它的三个内角的大小会改变吗？三、习题检测1．请你构造一个四边相等、四角相等的球面四边形，并研究它的性质。

多面体欧拉公式的发现教学设计

《多面体欧拉公式的发现》教学设计黄石三中吴娅内容提要本文是高二下学期研究性课题《多面体欧拉公式的发现》的教学设计。

我设计的指导思想是“新课程标准”、“人本主义心理学”、“学科网群资源的运用”和“问题探究教学模式”。

在此思想指导下，整个教学设计体现了以学生为主体，关注学生的全面发展和长期发展。

欧拉公式的发现、验证及证明都由学生自己完成，要求学生用“自己”的头脑“亲自”获取知识，教师仅仅是教学活动中的组织者、参与者与合作者。

同时，学生研究的过程也是体验数学大师如何运用数学思想方法的过程，为以后从事研究活动奠定基础。

作为一种现代化的教学手段，本次课多媒体教学有着神奇而独特的作用。

它可以运用图象、声音、颜色、技巧等多种方法把知识展现给学生，既具有直观、形象、生动的特点，又能调动学生的多种感官同时参与学习，便于学生理解知识，并能留下深刻印象，把教学内容制成动画，让学生亲自动手，使他们喜闻乐见，激发了学习兴趣。

正文：一、教学目标（一）认知目标简单多面体的顶点数、面数、棱数关系的发现，欧拉公式的猜想、证明及其应用。

（二）能力目标1．使学生能通过观察、验证具体多面体的顶点数、面数、棱数，从中寻找规律，归纳得出关于欧拉公式的猜想。

2．使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质。

3．使学生了解欧拉公式的证明思路。

4．培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力。

（三）情感目标1．通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神，激发学生对科学的热爱和对理想的追求。

2．通过多媒体展示获取知识的现象和过程，激发学生的求知欲望和探究精神。

3．让学生学会交流与合作，形成合作与分享的意识。

教学目标一览表二、课型：课题研究课三、教学重难点重点是欧拉公式的发现，难点是使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法。

四、教材分析本节课“多面体欧拉公式的发现”采用了“研究性课题”的学习形式，其目的在于体现新大纲的特点。

高二数学最新教案-多面体欧拉公式的发现1 精品

多面体欧拉公式的发现教案●教学目标（一）教学知识点1.简单多面体的V、E、F关系的发现.2.欧拉公式的猜想.3.欧拉公式的证明.（二）能力训练要求1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.（三）德育渗透目标1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.●教学重点欧拉公式的发现.●教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.●教学方法指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.●教具准备投影片三张第一张：课本P56的问题1及表1（记作§9.9.1 A）第二张：课本P57的问题2及表2（记作§9.9.1 B）第三张：课本P57的问题3及P58的问题4（记作§9.9.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流.Ⅱ.讲授新课［师］我们先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点数V、面数F、棱数E列出表，请大家观察后填写表1（打出投影片§9.9.1 A）（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，填入表1）［师］好，大家填的快速而准确，继续观察表1的各组数据，找出顶点数V、面数F及棱数E的关系如何？（学生寻找，可能一时不易得到，教师应给予适当点拨提问）［师］表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？［生］不一定.［师］请举例说明.［生］如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6.［师］此时棱的数目呢？［生］棱数都是一样的.［师］所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.［生］当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律.［师］举例说明.［生甲］如图中（1）和（2）的棱数由6增大到12，面数由4增大到6，此时的顶点数也在随棱数的增加而增加，即由4增大到8.［师］生甲叙述得严格吗？有不同意见吗？［生乙］顶点数和面数并不是严格按棱数的增大而增大的.［师］请试说说你归纳出来的规律.［生乙］我发现并认为：当顶点数随棱数的增加而减小时，它的面数一定是随棱数的增加而增加的；当面数随棱数的增加而减小时，它的顶点数却是随棱数的增加而增加.［师］生乙归纳得如何？大家对他的叙述同意吗？（可能会有其他想法，教师应给学生充分的时间，让他们畅所欲言，表达他们的新发现，并予以一一指导）［师］上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.［生］（积极验证，得出）V+F－E=2［师］以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.［生］（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）［生］一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.［师］好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？［生］所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n 个，因2n+（2+n）－3n=2,故满足V+F－E=2这个关系式.［师］请继续来观察一些其他图形的情况.（打出投影片§9.9.1 B）请同学们观察后，将所得数据填入表2中.（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）［师］观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？［生］（1）符合，（2）、（3）不符合.［师］一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？（打出投影片§9.9.1 C）［生］问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.［师］请同学们继续设想问题2中（2）（3）在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？［生］问题2中第（2）个图形；表面经过连续变形能变为环面.问题2中第（3）个图形；表面经过连续变形能变为两个对接球面.［师］像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？［生］棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.［师］至此，在问题1、2、3的基础上，我们是否可以得到什么猜想？怎样用式子表达？（有了前面积极地认真解决了问题1、2、3后学生不难归纳出）［生］简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F－E=2.［师］我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P58的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）Ⅲ.课堂练习课本P练习1、2.611.用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式.解：在三棱柱中：V=6，F=5，E=9∵6+5－9=2，∴V+F－E=2在四棱锥中：V=5，F=5，E=8∵5+5－8=2，∴V+F－E=22.一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有F=2V －4的关系.解：∵V+F－E=2又∵E =23F ，∴V +F －23F =0，∴F =2V －4 Ⅳ.课时小结本节课，我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想与方法去发现公式V +F －E =2的过程；体会到数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神；并通过大家自学了解证明欧拉公式成立的一种方法，希望同学们仔细阅读研究，从中提出一些新问题，待我们下节课一起讨论解决.Ⅴ.课后作业（一）课本P 61习题9.9 1、2（二）1.预习内容预习课本P 59的问题52.预习提纲（1）请尝试叙述欧拉公式的证明思路.（2）如何用欧拉公式解决“有没有棱数是7的简单多面体？”（3）为什么正多面体只有五种呢？。

多面体欧拉公式的发现”教学设计

多面体欧拉公式的发现”教学设计“多面体欧拉公式的发现”教学设计一、研究性课题：多面体欧拉公式的发现二、教学目标：1、使学生经历欧拉公式的发现与证明的历程，体验公式发现与证明过程中体现的数学思维方法，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。

2、培养学生实验、观察、归纳及大胆猜想的能力和主动参与探究的学习意识，激发学生学习数学的兴趣，培养学生善于发现、勇于探索的创新精神。

3、学会用计算机进行学习，能访问Internet，成功收集Internet上的相关资料，学会数学主题阅读；对所收集的资料进行分析整理、归纳，并制作电子讲稿或网页来与他人交流共享。

4、能与他人合作，加强协作学习的能力与团队意识、合作精神。

三、教材分析欧拉公式是高中二年级立体几何第9.10节中的研究性课题。

欧拉公式的探讨使学生更深刻理解多面体的性质。

本节内容是大学拓扑学领域内的知识，欧拉示性数刻划了多面体的不变性质。

同时本节内容的学习，对化学学科中分子结构的研究具有重要作用。

因此它具有承上启下、逐类旁通的作用，是不可多得的研究性学习课题之一。

四．教学设计原则：本设计以建构主义理论为指导，充分利用信息技术手段，进行基于资源、基于问题、基于研究、基于活动等方面的教与学，使学生在意义丰富的情景中主动建构知识。

本设计遵循《普通高中数学课程标准》的要求，注重信息技术与数学课程的整合。

本设计的基本原则是：①以学生为中心，设计让学生主动参与学习活动，自主探索，教师是学习的促进者，引导、帮助、监控和评价学生的学习过程。

②改变教师是唯一的“信息源”，充分利用各种信息资源、人力资源来支持学生。

③以“任务驱动”与“问题解决”作为学和研究活动的主体。

④强调“协作学习”。

五、教学时间：一周（两课时及一些课余时间）六、必备技能：Windows 98的操作、上网查阅资料的技能，PorwerPoint演示文稿的制作能力。

七、教学过程：1、准备工作分好若干小组，要求每个小组用纸和细棍（或火柴）等材料制作五种正多面体和一些棱柱、棱锥、棱台的模型。

多面体欧拉公式的发现

研究性课题：多面体欧拉公式的发现一、教学目标1、认知目标：了解简单多面体有关概念，探索多面体的欧拉公式。

2、能力目标：培养学生观察、归纳的能力3、情感目标：让学生学会合作、交流，体会学习和研究数学的方法。

4、创新素质：激发学生对体验式学习的兴趣，增强创新意识。

二、教材分析与处理1、重点: 探索公式，体验数学公式的发现过程。

2、难点: 欧拉公式的发现过程。

3、德育点: 实践出真知，激发学生对数学、对科学的热爱。

4、空白点: 课前让学生做模型，寻找有关欧拉事迹资料，课后反思小结，让学生回忆公式的探索过程。

5、创新点: 课前让学生做模型，课堂上让学生体验公式的发现过程。

三、教学内容9.9 多面体欧拉公式的发现简单多面体欧拉公式教学具选择：多媒体课件、自制多面体实物模型四、教学过程学生课前做多面体模型，寻找资料。

三人一组（创新点，合作学习）。

1、创设情境，提出目标，提供信息和条件（1）多媒体演示多面体实物，如金字塔、三棱镜，最后定格在图形C60上。

（创新点，学习背景化）（2）提供信息条件。

师：每个多面体由若干个顶点、棱和面构成，它们之间有没有关系？是什么样的规律？板书课题（创新点，利用设疑导课技术切入课题）（3）一名同学介绍欧拉的有关资料，其它同学进行补充（实施德育点，略停几秒钟，让学生回味，采用留白技术，以增加学生对数学史的了解）。

以下环节通过教师引导—提示—设疑；学生观察—归纳—猜想—再观察，借以突破难点，掌握重点。

2、学生研究探索师：数学家的探索过程是什么样的？（1）各组展示模型，初步观察、研究，填表见板书（一人记录、一人观察、一人检查）。

教师巡视，提示把结果记准确。

（2）用表格的形式展示实验结果。

（3）小组分析讨论，写出发现的规律。

（4）引导学生发表不同意见：有的图形不符合规律。

（5）把不符合规律的图形集中展示，观察讨论它们的共同点，捕捉学生思维的闪光点，并渗透拓扑变换思想。

师：大家想知道欧拉是怎样研究多面体的吗？观念上创新，把多面体的表面看成用橡皮薄膜制的，方法上创新，向它的内部充气，那么它就会连续（不破裂）变形，把平面变成曲面。

多面体欧拉公式的发现1

【课题】研究性课题：多面体欧拉公式的发现（1）【教学目标】1、能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2、能通过进一步观察验证所得的规律.3、能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4、能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.【教学重点】欧拉公式的发现.【教学难点】从中体会和学习数学大师研究数学的方法.【教学过程】一、复习引入欧拉是瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支。

比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等。

其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，这就是我们今天要学习的欧拉定理。

二、讲解新课（一）简单多面体1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。

（二）五种正多面体的顶点数、面数及棱数：发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 有共同的关系式：2V F E +-=．上述关系式对简单多面体都成立欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式：2V F E +-=证明1：以四面体ABCD 为例来说明：将它的一个面BCD 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数V 、棱数E 与剩下的面数()111F F F =-变形后都没有变。

因此，要研究V 、E 和F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。

对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面。

简单多面体的欧拉公式精品教案

简单多面体的欧拉公式新课程倡导教师对学生最重要的价值引导就是“会做数学”比“会说数学”更重要，课堂始终以“做数学”为主旋律，教师不断地创设有意义的问题情境或教学活动，激励学生在解决问题中学习。

与传统数学相比，现代数学的巨大变化还表现在，通过观察作出猜想、建立模型、然后进行修改调整，成为现代数学家以及应用数学家、工程技术人员的基本思维。

“研究性课题：多面体欧拉定理的发现”是一个探究式、自主学习的课题，在这节课中，我利用网络资源，不断地创设一系列问题情境，引导学生独立自主地发现问题——解决问题——应用知识，提高了学习的效率。

在教学中，我设计了以下几个环节，愿与大家探讨。

一、创设情境提出问题歌尼斯堡问题是学生在课前搜集相关资料的时候找到的一个相关问题，由于它是平面的问题，比较简单易懂。

在课堂上学生积极地向其他同学介绍这个有意思的问题。

不仅扩充了课程资源，也渗透了与图形大小、长短无关的一类几何问题，为接下去的学习活动提供了良好的教学情境。

二、问题驱动自主探究接下来，以网页课件为媒体，开展以下活动：活动一：问题驱动引出定理通过一系列问题，引领学生体验从二维到三维的类比推广，把问题引向未研究过的的领域，并通过学生自己的实践（数正多面体的棱数、面数、顶点数）总结出、有价值的规律。

学生相互交流思考问题。

师生交流后教师给出密码，提供比较完整的问题解答，实现了师生互动与交流。

活动二：实例验证加深理解学生在知道了欧拉定理后，以正四面体为例，通过课件的提示帮助，体会“平面法”验证欧拉定理的思想。

教师布置任务：以同样的思想方法，以正六面体为例，验证欧拉定理。

汇总各小组的研究方案，选代表在黑板上演示，并宜从一些不成立的步骤着手，引导学生找出问题所在，在逐步矫正中，加深学生对“平面法”的理解。

随后由教师提供密码，给出比较完善的方案。

活动三：知识应用解决问题用欧拉定理解决所提出的问题：正多面体为什么只有五种？由学生自己阅读，教师加以点拨即可。

多面体欧拉定理的发现(1)教学设计

1《多面体欧拉定理的发现（1）》教学设计温州第51中学谢尚鸽教学设计前记: 1.教学实践:前年我上过该课,发现该课有下面几个地方比较难处理.(1)引入课题时怎样更好地激发学生的求知欲及探索欲.(2)课堂上如何省时,准确地数出多面体的顶点数,面数与棱数.（3）怎样引导学生构造反例(4)如何自然地提出简单多面体地概念(5)如何更生动地介绍欧拉(6)如何构造平台，让学生自然地证明欧拉公式 (7)课堂上如何有效地促进学生参与(8)如何完整地展现 “发现—猜想—证明”的探索过程. 2.教育理论:美国著名心理学家布鲁纳针对传统的讲授式教学，提出了发现学习的基本模式。

其主要环节是：⑴创设问题情景⑵提出假设⑶检验假设针对以上教学实际中碰到的8个问题,再结合布鲁纳的发现学习理论,下面我谈谈《多面体欧拉定理的发现》第1课时的教学设计. 一.教学目标 (1)知识目标识记欧拉公式，了解公式的发现过程。

(2)能力目标① 培养学生动手、观察、发现、归纳、猜想、探索、解决数学问题的能力。

② 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力. ③ 培养学生的团结协作能力、创新意识和创新能力. （3）德育与美育目标① 以多面体欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。

② 通过数学家业绩的介绍，培养学生学习数学大师严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神,从而促进学生非智力因素的发展.③ 体验数学的简洁美（2=-+E F V ）和对称美，激发学生学习数学的兴趣。

二.教学的重点与难点重点是组织全体学生积极地参与多面体欧拉公式的发现。

难点是欧拉公式的证明三．教学过程课前准备:课前先把学生分成8个学习小组，确定组长，负责组织讨论及收集数据.上课时把有关多面体顶点数,棱数,面数的数据统计表发给每位同学,同时发给每组一个足球。

1.创设情境:让学生观察足球,提问足球表面有哪些图形?你们知道足球表面有几个顶点,几条棱,几个面? 以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。

简单多面体欧拉公式

简单多面体欧拉公式大团高级中学方良【教学目标】1. 知识与技术：识记欧拉公式，了解欧拉公式的发觉进程，能简单的运用欧拉公式2. 进程与方式：培育学生从特殊到一样，再从一样到特殊的分析问题和解决问题的方式，体验归纳-猜想-论证的研究方式，从而增强学生的空间想象能力和逻辑思维能力3. 情感态度价值观：通过教学使学生了解和感知欧拉公式发觉的历程，激发学生酷爱科学勤奋学习的热情，培育学生勇于探讨的创新意识【教学重点】：欧拉公式及其发觉进程【教学难点】：欧拉公式的应用【教学进程】一、引入：1. 举例：足球；甲烷；C602. 引入研究课题：多面体极点数（V ），面数（F ），棱数（E ）的规律3. 温习概念：多面体；极点；面；棱4. 研究方式：特殊→归纳→猜想→证明（创设情境，提出问题，确信研究方式，让学生领会研究问题是由简单到复杂，由特殊到一样的这一规律。

）二、探讨：问题1.下面5个多面体，别离数出他们的极点数V ，面数F ，棱数E ，并填表1 2345观看表中各组数据，猜想V、F、E之间的规律：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

是不是任意一个多面体都有上述规律吗？（创设问题情境，让学生在解决问题的进程中去观看、猜想、探讨；让学生以类似或模拟科学研究的方式进行学习，使学生形成探讨性学习的适应，培育和锻炼学生的探讨能力。

）问题2：下面3个多面体，别离数出它们的极点数V、面数F和棱数E，并填出表这些多面体中：V+F-E=2成立吗？（简单直观的问题情景能一下子激发学生探讨的爱好。

学生进入问题情景，发觉问题，在问题的驱动下，进入探讨性活动。

）问题3：比较前面问题1和问题2中的图形，若是这些多面体的表面都是用橡皮膜制成的，而且能够向它们的内部充气，那么这些多面体能够持续（不破裂、不粘连）变形，最后其表面能够变成什么空间图形呢？引入“简单多面体”的概念：假设多面体的表面是橡皮膜制成的，能够向它们的内部充气，那么能够持续（不破裂、不粘连）变形，表面能变成一个球面的多面体，叫做简单多面体。

高中数学多面体与欧拉公式(教学设计)新人教版必修2

高中数学多面体与欧拉公式（教学设计）新人教版必修2一．教学目标设计〔1〕认知目标：了解多面体的相关概念，在探究欧拉公式的过程中经历推测、试验、分析试验结果、检验等活动。

〔2〕能力目标：通过学生对多面体的观看，使学生经历观看、猜想、验证、推理等数学活动过程，进展学生动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。

〔3〕情感目标：学生在自主探究、合作交流的学习过程中体验到数学活动充满着探究和制造。

使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学爱好，建立严谨的科学态度和不怕困难的坚强精神。

二．教材分析1．教学内容分析«多面体与欧拉公式»是高等教育出版社中职教材«数学»第二册第九章第四部分开篇，是高中新课程改革中的新增内容，目的是通过实际的操作活动进展学生的动手实践能力，激发学生学习爱好；通过学生自主进行数学实验，培养学生主动探究新知的能力。

本节课通过引导学生动手，利用实际操作活动，让学生体会到多面体的面数、顶点及棱数之间的关系，培养学生体会〝观看——猜想——验证〞的数学活动过程，提高学生的观看、操作、推理、交流合作的能力。

2．教学重点与难点教学重难点：1.重点：多面体的概念的明白得，欧拉公式及其应用。

解决方法：通过实物模型明白得多面体的概念，努力弄明白欧拉公式的发觉过程，搞清V、E、F的含义。

2.难点：多面体的概念，欧拉公式的发觉过程，欧拉公式的应用。

解决方法：注意相互讨论，大胆探究。

学法引导：注意由专门到一样、由具体到抽象的归纳猜想，注意复习平面图形中多边形的特点，向三维空间拓展让学生明白得多面体的概念。

教学用具：实物模型，多媒体教学课件三．教学对象分析教学过程是师生互相交流的活动过程，教师起主导作用，学生在教师的启发下充分发挥主体性作用。

中职学校的学生从认知的特点来看具有爱咨询好学、求知欲强，想象力丰富的特点，他们有一定的电脑操作及上网扫瞄、查询资料的能力，他们期望探究能力得到充分的展现和表现，因此，在学习方法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观看、大胆猜想、动手操作、进行小组间的讨论和交流、利用课件及网络资源自主探究等方式，激发学习爱好，让学生主动地学习。

多面体欧拉公式的发现

《多面体欧拉公式的发现》教学设计广西柳城县实验中学梁卷明设计指导思想：本课内容是高二下学期研究性课题《多面体欧拉公式的发现》的教学设计片段。

我设计的指导思想是以“新课程标准”、“人本主义心理学”和“问题探究教学模式”。

在此思想指导下，整个教学设计体现了以学生为主体，关注学生的全面发展和长期发展。

欧拉公式的发现、验证及证明都由学生自己去思考，要求学生在研究的过程也是体验数学大师数学思想方法的过程，为以后从事研究活动奠定基础。

作为一种现代化的教学手段，本次课利用玲珑3D几何画板引导学生探究欧拉定理，激发学习兴趣。

教学过程：1.介绍数学家欧拉：数学家欧拉：瑞士著名的数学家欧拉,16岁获硕士学位，是数学史上的最多产的数学家,他毕生从事数学研究,他的论著几乎涉及18世纪所以的数学分支.比如在初等数学中，欧拉首先把符号正规化，如 f(x)表示函数，i表示虚数单位，e表示自然对数的底，a.b.c表示三角形的三边等。

数学中有欧拉公式,欧拉方程.欧拉常数,欧拉方法.欧拉猜想等.欧拉晚年不幸双目失明，在失明后的17年里，他还口述了几本书和约400篇论文．正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。

2.提出问题：本节课我们研究多面体的顶点数、面数、棱数三者有什么关系？3.引导学生探究欧拉公式：（1）打开玲珑3D几何画板，画一个任意四面体，提问学生：四面体的顶点数、面数、棱数各是多少？并填入表格的相应位置：（2）利用玲珑3D几何画板切割所画的任意四面体的一个顶点，即得五面体，引导学生探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（3）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意五面体的一个顶点，即得六面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（4）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意六面体的一个顶点，即得七面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？（5）利用玲珑3D几何画板再切割所得的任意七面体的一个顶点，即得八面体，引导学生再探究：这时的顶点数、面数、棱数各增加了多少个？由（2）、（3）、（4）、（5）引导学生发现：增加的顶点数+增加的面数=增加的棱数；再结合(1)可猜想：V+F-E=2 ，（6）让学生自主探究，验证猜想；（7）得出：欧拉公式：多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系：V+F-E=2 。

《多面体欧拉公式的发现》教学设计

⑵求简单多面体的顶点数、面数、棱数一般采用方程思想。
⑶列方程时除了欧拉公式，还应注意提问之中的两个等式。
例3，（见课本P59，问题5（2））
四、巩固练习：1、课本P6习4。
2、求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，而以面数为偶数。
五、小结：前面我们学习了一个研究性课题：欧拉公式的发现，我们从中应学到：
教学方法：指导自学法
教学过程：一、旧知回顾
1、什么叫做多面体。
2、多面体通常如何分类？多面体至少有几个面？
3、什么叫做正多面体？正多面体有几种？
二、新课引入：下面我们对多面体的顶点数V,面数F和棱数E的关系进行研究，请大家注意研究的过程。
三、新课讲授
问题1：课本P56图9-82中有5个多面体，分别数出它们的顶点数V,面数F和棱数E，并填表1：
六、作业：P61，2。
高一数学：9.9.2研究性课题：多面体欧拉公式的发现
执笔人：郭炜2010。12.25
单位：江西省宜春市万载中学（336100）
个人备课笔录
课题：9.9.2研究性课题：多面体欧拉公式的发现
教学目标：1、进一步认识理解欧拉公式；
2、掌握多面体欧拉公式并能灵活运用。
教学重点：欧拉公式的应用
高一数学：9.9.1研究性课题：多面体欧拉公式的发现
执笔人：郭炜2010。12.25
单位：江西省宜春市万载中学（336100）
个人备课笔录
课题：9.9.1研究性课题：多面体欧拉公式的发现
教学目标：1、通过一些具体多பைடு நூலகம்体研究V、F、E的关系；
2、对欧拉公式进行证明。
教学重点：欧拉公式的发现
教学难点：研究方法
1、发现欧拉公式的过程，观察——猜想——证明——应用。

人教版高中选修3-3二简单多面体的欧拉公式教学设计

人教版高中选修3-3二简单多面体的欧拉公式教学设计一、教学目标1.理解欧拉公式的含义和应用；2.掌握二简单多面体的定义、性质和分类方法；3.能够通过欧拉公式计算二简单多面体的顶点数、边数和面数。

二、教学准备1.教师备课素材：黑板、白板、彩色粉笔、多面体模型、PPT课件等；2.学生教学素材：笔、本、尺子、计算器等。

三、教学过程1. 导入环节通过一些引人入胜的例子引起学生对多面体的兴趣，比如：1.将一些多面体模型随机散布在教室中，请学生找出其中的二简单多面体；2.让学生观察类似于足球、篮球等多面体形状的物体，引导学生思考此类物体有哪些共同特征。

2. 正式教学2.1 多面体的定义和性质1.定义：边界为多面体中一些平面图形的空间集合。

2.性质：任意两个面不重合，任何面的两个相邻面不在同一平面，多面体中的任意一点都在某一个面的内部或边界上。

2.2 二简单多面体的分类1.棱柱：底面为任意多边形，侧面为平行四边形。

2.棱锥：底面为任意多边形，侧面为三角形。

3.正四面体：4个全等的等边三角形所构成的多面体。

4.正六面体：6个全等的正方形所构成的多面体。

5.正八面体：8个全等的等边三角形所构成的多面体。

6.正十二面体：12个全等的正五边形所构成的多面体。

7.正二十面体：20个全等的正三角形所构成的多面体。

2.3 欧拉公式的定义和应用1.定义：对于任意一个简单多面体，其顶点数、边数和面数满足以下公式：V−E+F=2。

2.应用：通过欧拉公式，可以计算一个多面体的未知数量。

比如已知二简单多面体的某两个数量，就可以通过欧拉公式求出另一个未知量。

3. 实例演练3.1 计算正八面体的顶点数、边数和面数1.首先，定义正八面体的数量：V表示顶点数，E表示边数，F表示面数；2.根据正八面体的定义，有：$V=6\\cdot 8/2=24$，$E=3\\cdot 8=24$，F=8；3.将数值带入欧拉公式得：24−24+8=2，等号右侧为2。

高二数学欧拉公式

高二数学欧拉公式教课目的：1、认识简单多面体的观点，掌握多面体的欧拉公式。

2、会用欧拉公式解题，认识欧拉公式的证明方法。

3、经过学生的主动参加，培育他们察看发现规律并证明所得猜想的能力教课要点：简单多面体的欧拉公式教课难点：简单多面体观点，欧拉公式的应用教课过程复习引入⑴什么是多面体?多面体的面 ?多面体的棱 ?多面体的极点 ?问题 1：课本 P52 有 5 个多面体，试分别写出它们的极点数V，面数 F 和棱数 E⑶察看上述数据，写出你发现的规律二.新课解说欧拉公式问题 2：从上看出有 V+E-F=2, 再看课本 P57 表格上方的几个多面体，分别写出它们的极点数V ，面数 F 和棱数 E，并回答它们能否知足上边的规律。

问题 3：若上边的多面体的表面都是用橡皮簿膜制作的，并且能够向它们的内部充气那么那些多面体能够连续变形，最后其表面可变成一个球面?那些变成环面 ?那些变成对接的球面?简单多面体：在连续的变形中，表面可变成一个球面的多面体，叫做简单多面体思虑：前方的多面体中那些是简单多面体?棱锥，棱柱，正多面体，凸多面体能否是简单多面体?将问题 1、2、3 联系起来，能得出什么猜想?用式子表示你的猜想 ?V+F ﹣E=2 此公式叫做欧拉公式二、欧拉公式的证明⑴将多面体转变成由多边形构成的平面图形⑵变形中的不变量⑶计算多边形的内角和①设多面体的 F 个面分别是 n1,n2,nF 边形，各个面的内角总和是多少 ?② n1+n2++nF 和多面体的棱数 E 有什么关系 ?③设图中的最大的多边形为m 边形，则它的内角和是多少?它的内部包括的其余多边形的极点数是多少 ?全部其余多边形内角总和是多少 ?④图中全部多边形的内角总和是多少?它能否等于 (V-2)360?从上有 (E-F)360=(V-2)360因此 V+F-E=2三、欧拉公式的应用例 1.(1) 一个凸多面体的各个面都为五边形，则E与F的关系为V与F的关系为(2)一个凸多面体的各个极点都有三条棱订交，则 E 与 V 的关系为(3)一个凸多面体的各个面都为五边形，各个极点都有三条棱订交，求 E、 F、 V例 2.(1)C60 是由 60 个原子构成的分子，它构造为简单多面体形状。