初二数学人教版秋季班(教师版)第1讲 三角形--尖子班

第1讲三角形知识点1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】1.已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【答案】3a﹣b【解析】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴必须满足两边之和大于第三边，则：a+b﹣c=（a+b）-c＞0，a﹣b﹣c=a-（b+c）＜0，a﹣b+c=（a+c）-b＞0（即a﹣b+2c>0），∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=a+b﹣c-[-（a﹣b﹣c）]+（a﹣b+2c）=3a﹣b故答案为：3a﹣b【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|= a+b﹣c②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）2、注意“-|a ﹣b ﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a ﹣b ﹣c ）]的形式，再去括号。

a ﹣b+2c 可看做（a ﹣b+c ）+c ，再判断正负。

【随堂练习】1．（2018秋•嘉善县期末）若ABC ∆三边a 、b 、c 的长都是偶数，且a b c <，若2(b k k =是正整数），则这样的三角形共有 10 个（用k 的代数式表示）．【解答】解：若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a b c +>． b c ，b c a b ∴<+，又c b a b -<<，三角形的三边a ，b ，c 的长都是整数，02a k ∴<<，1a ∴=，k ．当2a =时，57c <<，此时，6c =；当3a =时，58c <<，此时，6c =，7；当4a =时，59c <<，此时，6c =，7，8；当5a =时，510c <<，此时，6c =，7，8，9；∴一共有123410+++=个．故答案为：10．2．（2019春•昌江区校级期中）若一个三角形的三边长分别是2m +，10，21m -，则m 的取值范围为 313m << ．【解答】解：根据三角形的三边关系，得即(21)(2)10(21)(2)10m m m m -++>⎧⎨--+<⎩， 解不等式组得，313m <<．二．解答题（共1小题）3．（2016春•石狮市期末）如图，已知ABC ∆．（1）若4AB =，5AC =，则BC 边的取值范围是 19BC << ；（2）点D 为BC 延长线上一点，过点D 作//DE AC ，交BA 的延长线于点E ，若55E ∠=︒，125ACD ∠=︒，求B ∠的度数．【解答】解：（1）4AB=，5AC=，∴-<<+，BC5445即19<<，BC故答案为：19<<；BC（2）125ACD∠=︒，∴∠=︒-∠=︒，18055ACB ACDDE AC，//∴∠=∠=︒．BDE ACB55∠=︒，55E∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．180180555570B E BDE知识点2 三角形的中线三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。

【典例】A B C的面积是14，求△ABC1.如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若111的面积？【解析】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A 、B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，∴111A AB ABB S S =△△，1ABB ABC S S =△△∴111A AB ABB ABC S S S ==△△△，∴111112A BB A AB ABB ABC S S S S =+=△△△△，同理：111122B CC ABC A AC ABC S S S S ==△△△△，，∴111111111714A B C A BB B CC A AC ABC ABC S S S S S S =+++==△△△△△△∴2ABC S =△，【方法总结】本题已知：A 、B 、C 分别是线段A 1B 、B 1C 、C 1A 的中点，所以我们连接AB 1，BC 1，CA 1，使A 1B 、B 1C 、C 1A 成为三角形的中线，寻找三角形面积的关系，从而得到111A B C 与△ABC 面积的关系。

知识点3三角形的高线1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．2、三角形的面积：（1）三角形的面积：底与高乘积的一半（2）等底等高的两个三角形面积相等 （3）高相等的两个三角形面积比等于底边长度之比【典例】1.如图，△ABC 中，AB=AC ，CG ⊥AB 于G ，P 为线段BC 上的一动点，PK ⊥AB 于K ，PM ⊥AC 于M ，探究线段PK 、PM 与CG 之间的数量关系．【解析】解：连接AP，∵CG⊥AB，PK⊥AB，PM⊥AC，∴S△ABC=12AB•CG，S△ABP=12AB•PK，S△ACP=12AC•PM，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴12AB•CG=12AB•PK+12AC•PM，即AB•CG=AB•PK+AC•PM，∵AB=AC，∴CG=PK+PM．【方法总结】本题利用三角形面积相等，确定线段的关系：连接AP，可分别表示出△ABP、△ACP和△ABC的面积，根据面积相等可找到PK、PM与CG之间的关系．知识点4 三角形的角平分线1、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．2、三角形的角平分线交于一点，且交点在三角形内。

3、三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线。

【典例】1.已知△ABC，如图，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别在三角形的角平分线上，则∠D、∠A的关系为_________【答案】1902D A ∠=︒+∠【解析】解：（1）：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=180°－12（∠ABC+∠ACB）∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BDC =180°﹣12（180°﹣∠A）=90°+12∠A，即190D A ∠=︒+∠．2【随堂练习】1．（2019春•凤翔县期末）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，CD AD⊥，垂足为点D，有下列说法：①点A与点B的距离是线段AB的长；②点A到直线CD的距离是线段AD的长；③线段CD是ABC∆边AB上的高；④线段CD是BCD∆边BD上的高．上述说法中，正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①、根据两点间的距离的定义得出：点A 与点B 的距离是线段AB 的长，∴①正确；②、点A 到直线CD 的距离是线段AD 的长，∴②正确；③、根据三角形的高的定义，ABC ∆边AB 上的高是线段CD ，∴③正确； ④、根据三角形的高的定义，DBC ∆边BD 上的高是线段CD ，∴④正确． 综上所述，正确的是①②③④共4个．故选：D ．2．（2018秋•柯桥区期末）在ABC ∆中，A ∠是钝角， 下列图中画BC 边上的高线正确的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解： 过点A 作直线BC 的垂线段， 即画BC 边上的高， 所以画法正确的是D ．故选：D ．二．解答题（共4小题）3．（2019春•洛宁县期中）如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，ADC ∆的周长比ABD ∆的周长多5cm ，AB 与AC 的和为13cm ，求AC 的长．【解答】解：AD 是BC 边上的中线，D ∴为BC 的中点，CD BD =．ADC ∆的周长ABD -∆的周长5cm =．5AC AB cm ∴-=．又13AB AC cm +=，9AC cm ∴=．即AC 的长度是9m ．4．（2019春•合浦县期中）如图，在ABC ∆中，CF 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，若2AE =，3AF =，且ABC ∆的周长为15，求BC 的长．【解答】解：CF 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，2AE =，3AF =， 2236AB AF ∴==⨯=，2224AC AE ==⨯=，ABC ∆的周长为15，15645BC ∴=--=．5．（2019春•上蔡县期末）如图，ABC ∆中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，50CAB ∠=︒，60C ∠=︒，求DAE ∠和BOA ∠的度数．【解答】解：50CAB ∠=︒，60C ∠=︒。