《任意角的三角函数》教学设计

《任意角三角函数》教学设计
一、教学内容分析
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通
过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。

在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。

《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

二、学生情况分析
本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。

以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

三、教学目标
知识与技能目标:
借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；
能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

方法与过程目标：
在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。

情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

四、教学重、难点分析：
重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。

五、教学方法与策略：
教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体
参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.
六、教具、教学媒体准备：
为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维
教学过程
一、情景设置:
问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？
（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP 中，∠A 是直角，那么
问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表
示锐角三角函数呢？ (学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为（x ，y ），那么22||y x OP +=
，于是
问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P 有何关系？
这说明三角函数值的决定量是什么？
学生互动：锐角α的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P 的位置无关， 可以利用相似三角形证明.
教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，
仅与角α有关.
问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角α，比值
x
y
r x r y ,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角α的函数.
问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。

O
A P
α O
A P α
x
y O A P α x
y
M N
（学生回答，教师板书课题） 二、数学理论、建构数学
在平面直角坐标系中，设任意角α的终边上任意一点P （x ，y ），它与原点的距离是r(022>+=
y x r )，我们规定：
（1）比值r
y
叫做α的正弦，记作sin α，即r y =αsin ；
（2）比值r x 叫做α的余弦，记作cos α，即r x
=αcos ；
（3）比值)0(≠x x y 叫做α的正切，记作tan α，即x
y
=αtan ；
sin α ，cos α， tan α分别叫角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为
三角函数.
学生活动1：利用单位圆对三角函数定义简化.
取r=1，即选取角α终边与单位圆的交点为P(x ，y)，
则sin α=y ， cos α=x ， x
y
=αtan
学生活动2学生活动3、概念辨析：判断下列说法是否正确：
1、若角α终边上点P 的纵、横坐标均变为原来的2倍，则对应的三角函数值变为原来的2倍； （ ）
2、任意角α的三角函数均有意义； （ ）
3、若角α不同，则对应的正弦值也不同； （ ）
4、因为三角函数值是一个比值，所以任意角的三角函数值为正值. （ ） 学生分组活动5：请你根据三角函数的定义判断各象限角的三角函数值的正负. （师生共同总结识记口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”）
sin α cos α tan α 三、例题剖析
例1、已知角α的终边经过点P(2，-3)，求角α的正弦、余弦、正切值.
O x y O x
y O x
y
（学生板演，教师点评） 解：因为x=2，y=-3， 所以 ,13)3(222=-+=
r
所以 ,1313313
3sin -=-==
r y α 变式：已知角α的终边经过点P(-x ，-6)，且,13
5
cos -
=α求x 的值. （学生独立完成，实物投影仪展示解题过程，强调解题规范性） 例2、确定下列三角函数值的符号： （1）12
7cos
π； （2）)465sin(0
-； （3）3
11tan
π
. （学生板演，其它学生上黑板对解答过程进行指正） 解：（1）
127π是第二象限角，所以012
7cos <π. （2）因为0002553602465+⨯-=-，即0
465-是第三象限角，所以0)465sin(0
<-.
（3）因为
352311πππ+=，即311π是第四象限角，所以03
11tan <π
四、巩固练习
1、已知角α的终边经过点P(-3，4)，求角α的正弦、余弦、正切值.
2、已知角α的终边经过点P(2x ，-6)，且,13
12
cos -
=α求x 的值. 3、设α是三角形的一个内角，在sin α， cos α， tan α， 2
tan α中，哪些有可能取负
值.
4、确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：
5、若,0cos <α0tan <α，试确定角α为第几象限角. 思考：函数x
x x x x x y tan |
tan ||cos |cos sin |sin |++=的值域为 五、课堂小结
师：通过学习，你对任意角三角函数有了哪些新的认识？还有哪些体会？ 学生回答（2或3个学生） 六、板书设计：
七、教学反思：
本节课的教学特别注意了以下几点：（1）前后知识的联系，知识的产生、发展过程，如任意角的三角函数的定义，由初中所讲锐角的情况逐渐过渡到“任意角”的情况．（2）注重了知识的探究，如三角函数值在各象限的符号．这里由学生自己去研究，讨论，探索得出一般性结论，培养了学生获取知识、探究知识的能力，强化了自主学习的意识．（3）注意概念的理解，体现数学思想的应用；（4）注意了例题选取的典型性，练习的层次性和变化性，巩固知识到位．从教学效果来看，基本达到预定的教学目标，但也反映出一定的问题，教学的任务过于丰富，容量有点偏大，教学中学生的反应与预想的存在一定的差异.学生在由锐角三角函数向任意角的三角函数理解时仍存在一定的困难，利用定义判断三角函数值得符号上面仍显稚嫩，部分学生没有深入体会到其中的关键.教师在教学过程后还需要对学生的学习状况进一步的研究，在下一课时进行时要预设一定的练习巩固.。