《任意角的三角函数》教学设计

《任意角三角函数》教学设计

一、教学内容分析

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通

过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。

《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

二、学生情况分析

本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。

三、教学目标

知识与技能目标:

借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；

能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；

能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。

方法与过程目标：

在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。

情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

四、教学重、难点分析：

重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。

五、教学方法与策略：

教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体

参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.

六、教具、教学媒体准备：

为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维

教学过程

一、情景设置:

问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？

（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP 中，∠A 是直角，那么

问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表

示锐角三角函数呢？ (学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为（x ，y ），那么22||y x OP +=

，于是

问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P 有何关系？

这说明三角函数值的决定量是什么？

学生互动：锐角α的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P 的位置无关， 可以利用相似三角形证明.

教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，

仅与角α有关.

问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角α，比值

x

y

r x r y ,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角α的函数.

问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。

O

A P

α O

A P α

x

y O A P α x

y

M N

（学生回答，教师板书课题） 二、数学理论、建构数学

在平面直角坐标系中，设任意角α的终边上任意一点P （x ，y ），它与原点的距离是r(022>+=

y x r )，我们规定：

（1）比值r

y

叫做α的正弦，记作sin α，即r y =αsin ；

（2）比值r x 叫做α的余弦，记作cos α，即r x

=αcos ；

（3）比值)0(≠x x y 叫做α的正切，记作tan α，即x

y

=αtan ；

sin α ，cos α， tan α分别叫角α的正弦函数、余弦函数、正切函数.以上三种函数都称为

三角函数.

学生活动1：利用单位圆对三角函数定义简化.

取r=1，即选取角α终边与单位圆的交点为P(x ，y)，

则sin α=y ， cos α=x ， x

y

=αtan

学生活动2学生活动3、概念辨析：判断下列说法是否正确：

1、若角α终边上点P 的纵、横坐标均变为原来的2倍，则对应的三角函数值变为原来的2倍； （ ）

2、任意角α的三角函数均有意义； （ ）

3、若角α不同，则对应的正弦值也不同； （ ）

4、因为三角函数值是一个比值，所以任意角的三角函数值为正值. （ ） 学生分组活动5：请你根据三角函数的定义判断各象限角的三角函数值的正负. （师生共同总结识记口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”）

sin α cos α tan α 三、例题剖析

例1、已知角α的终边经过点P(2，-3)，求角α的正弦、余弦、正切值.

O x y O x

y O x

y

（学生板演，教师点评） 解：因为x=2，y=-3， 所以 ,13)3(222=-+=

r

所以 ,1313313

3sin -=-==

r y α 变式：已知角α的终边经过点P(-x ，-6)，且,13

5

cos -

=α求x 的值. （学生独立完成，实物投影仪展示解题过程，强调解题规范性） 例2、确定下列三角函数值的符号： （1）12

7cos

π； （2）)465sin(0

-； （3）3

11tan

π

. （学生板演，其它学生上黑板对解答过程进行指正） 解：（1）

127π是第二象限角，所以012

7cos <π. （2）因为0002553602465+⨯-=-，即0

465-是第三象限角，所以0)465sin(0

<-.

（3）因为

352311πππ+=，即311π是第四象限角，所以03

11tan <π

四、巩固练习

1、已知角α的终边经过点P(-3，4)，求角α的正弦、余弦、正切值.

2、已知角α的终边经过点P(2x ，-6)，且,13

12

cos -

=α求x 的值. 3、设α是三角形的一个内角，在sin α， cos α， tan α， 2

tan α中，哪些有可能取负

值.

4、确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：

5、若,0cos <α0tan <α，试确定角α为第几象限角. 思考：函数x

x x x x x y tan |

tan ||cos |cos sin |sin |++=的值域为 五、课堂小结

师：通过学习，你对任意角三角函数有了哪些新的认识？还有哪些体会？ 学生回答（2或3个学生） 六、板书设计：