中考第二轮复习(27)——辅助圆问题

中考第二轮复习（27） ——辅助圆问题 姓名__________

前言：关于动点对定线段所张的角为定值问题，从表面上看似与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，善于联想所学定理，巧妙地构造题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显，化难为易的解题效果，今天我们来学习一下辅助圆的问题。

基本模型

（1）到顶点距离相等的各点共圆

（2）同斜边的直角三角形的顶点共圆

（3）对角互补的四边形的顶点共圆 （4）同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）

例题：如图，已知抛物线c x a y +-=2)2(与x 轴从左到右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点

B 的坐标为(3,0)，点

C 的坐标为(0,−3)，连接AC ，BC ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P 是该抛物线的对称轴上的一个动点，连接PA ，PB ，PC ，

在P 点的运动过程中，APB ∠能否与ACB ∠相等？若能，请求出P 点

的坐标；若不能，请说明理由．

分析：在第二问中，由于第二问中的问题是线段AB 所张的角

相等的问题，所以可以构造一个以AB 为弦，ACB ∠为圆周角

的一个圆，即构造过A 、B 、C 三点的圆来解决问题。

解：过A 、B 、C 三点作圆M ，与对称轴的下方交于点P ，

可得ACB APB ∠=∠由AM=CM ，可求出点M 的坐标，

又因为MP=AM ，可求出点1P 的坐标，再由对称性可知在x 轴的

上方还有另一个点2P 。

答案：1P （2，52--）， 2P （2，52+）

练习1：如图，ABC ∆中，AC AB =，以AC 为边在ABC ∆外作等边三角形ACD ，连接BD ，

求证：BDC BAC ∠=∠2

练习2：如图，在正方形ABCD 中，点E 为CB 延长线上一点，连结AE ，作AE 的垂线与DC 的延长线交于点F ，连结AC ，作AC 的垂线于EF 交于点G ，求证：CH EH HG AH ⋅=⋅

练习3：如图，点A 与点B 的坐标分别是（1，0）和（5，0），点P 是y 轴上的一个动点，且︒=∠30APB ,求满足条件的点P 的坐标。

练习4：已知抛物线342

---=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，Q 为直线4--=x y 上的一点，点P 为对称轴上的一点，使得∠APB =2∠AQB ，且这个样的Q 点有且只有一个？请你求出点P 的坐标。

练习5：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点C 的坐标为（2，4），且经过点D （322+，2-）

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y 轴上是否存在点P ，使得︒=∠60CPD ，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

练习6：如图，抛物线343832+--

=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在 B 的左侧），与y 轴交于点C （1）求点A 、B 的坐标； （2）设点D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD ∆的面积等于ACB ∆的面积时，求点D 的坐标；

（3）若直线l 过点E （4，0），M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式.

练习7：已知平面直角坐标系中两定点A （1-，0），B （4，0），抛物线22-+=bx ax y 过点A ，B ，顶点

为C ，点P （m ，n ）为抛物线上一点，其中0

（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；

（2）当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围。