激光原理 第四章

B、原子经典简谐振子模型
运动电荷能够激发电磁场，另一方面电磁场对电荷有反 作用力，要完全求解电荷与电磁场系统的电动力学问题， 需要对两者同时考虑。
当电子在电磁场中运动时，会辐射电磁场，其一部分能 量被电磁场带走，因而电子的运动必然受到阻尼，这种 由辐射电磁场造成的能量损失被称为辐射阻尼。
当考虑自发辐射辐射阻尼时，电子的运动方程表示为：
x(t )
x0
e
2
t
e
iw0
t
作简谐振动的电子和带正电的原子核组成一个作
简谐振动的经典简谐振子模型，其偶极矩为：
x
p(t )
ex(t )
p0e
2
t
e
iw0
t
简谐偶极振子发出的电磁辐射的电场强度：
E(t ) E0e 2 t eiw0t
+0
在无外场作用于介质原子时，原子将自发辐
射振幅随时间指数衰减的、频率近似等于其
受激吸收和介质的色散现象作经典分析
二、原子的自发电偶极辐射
在外场E(z,t)＝0 时，电子振子的运动方程：
d2x dt 2
dx dt
w02 x
0
振子在其平衡位置作阻尼简谐振动，方程的解：
x(t )
x e e t 2
iw’ 0t
0
0
02
2
2
在光频范围内0 0，自由阻尼振动的解可以表示成：
-x
固有振动频率的电磁场。
三、光的受激吸收和介质的色散
在物质中沿z方向传播的单色平面波，其x方向的电场强度为:
E(z, t) E(z)eiwt
将上式代入方程中：
d2x dt 2
dx dt
w02 x
e m
E(z,t)
忽略自由阻尼振荡项，可得到方程的特解： x(t) x0eiwt
代入方程中可得到在共振相互作用下的特解：
mx" kx FS
FS为电子辐射出的电磁场对其自身的反作用力。
一维电子振子在外场E(z,t)作用下作受迫振动，其运动
方程：
d2x dt 2
dx dt
w02 x
e m
E(z,t)
z
w02 k / m为电子振子简谐振动的固有频率 E
＝ e2w02 为经典辐射阻尼系数 6mv3
e,
m
•0
对原子的自发电偶极辐射、光场作用下的
散的关系
G
ne2
mc0wa 1
1 ne2
2mw0 0wa
1 (y)2
y 1 (y
)2
介质增益系数与折射率之间的关系： 1 cy G
2w
在光场与物质相互作用的共振线性极化经典模型下:
1. 物质的吸收谱线为洛仑兹线型，wa 为原子自发辐射
的谱线宽度。
2. 介质的折射率在原子辐射的固有频率w0 附近随入
n为单位体积工作物质中的原子数，即原子密度。
在线性极化下，介质的感应电极化强度也可表示成：
P(z,t) 0E(z,t)
介质的线性电极化系数为：
令 / i // ，得到电极化系数实部和虚部为：
/
ne2
mw2 0
0
2w0 (w0 w) 1
1
4(w w0 )2
2
//
ne2
mw0 0
1
1
4(w w0 )2
电位移矢量：
D 0E Pa Ph 0 (1 h )E Pa h E Pa
令εh=ε0(1+χh),则：
D h (1
a h
a )E h (1
a )E
第二节 光谱线加宽
一、自发辐射的谱线加宽和线型函数
认为原子的能级是无限窄的， 此时的自发辐射光是单色光， 即全部的光强都集中在频率 ν=(E2-E1)/h上；
实际上原子的自发辐射并不是单色光，而是分布在中心 频率ν附近的一个很小频率范围内-这就是谱线加宽。
线型函数和线宽:
自发辐射功率 I 为频率的函数。设总的辐射功率为
射光波的频率发生反常的急剧变化，称为反常色散现 象。
3. 对于实际的介质，光场与介质原子的相互作用以及极 化作用的情况要复杂得多，需要对极化强度和运动方程 进行修正。
4. 基质材料的非共振线性极化强度需要考虑在电感应强 度的公式中。
电极化强度：
P
Pa
Ph
Pa
Ph
0 a E 0hE
（工作(基物质质）） （（激基活质介）质）
e E( z )
x(t )
m
eiwt
2w0( w0 w) iw0
一个原子的感应电偶极矩：
e2
2w0 (w0 w) iw0
忽略原子间的相互作用，整个介质的宏观感应电极化
强度为:
ne2 E(z)
P(z,t) np(z,t)
m
eiwt
2w0 (w0 w) iw0
2
令 wa ，引入参数
y
w w0 wa
表示入射光频率
2
与原子固有频率 w0 的相对偏差，得到：
/
// 0
y 1 (y)2
//
// 0
1 1 (y)2
1.0
-χ"(ω)
0.5
-χ´(ω)
其中：
// 0
ne2
mw0 0wa
-3
-2
-1 0
12 3 (ω-ω0)/△ωa
表示当 w w0 时经典振子线性电极化系数的大小。
物质的相对介电系数 / 与电极化系数 之间的关系：
/ 1
当 1时，得到：
/ 1 1 1 / i // i
2
22
将上式代入频率为 w 的单色平面波在介质中沿Z方向的传播方
程中
E(z,t)
iw(t z )
E0e
E e e wz c
i( wt w z ) c /
0
v c c
量子理论 光场：量子理论；原子体系：量子理论；
严格地确定激光的相干性和噪声以及线宽极限。
速率方程理论：简化的量子理论；
基于爱因斯坦的唯象理论，建立起原子在各能级上的集居数 密度在与光场相互作用过程中的变换速率方程，以及光场的 光子数变化速率方程，用速率方程讨论激光器的特性。
主要内容
一、光场与物质相互作用的经典理论 二、光谱线加宽 三、光场与物质相互作用的速率方程描述
第一节 光场与物质相互作用的经典理论
1、光与物质相互作用的经典理论 经典理论中的四个基本假设： 原子核和核外运动电子所构成的原子简化为一个 经典简谐振子； 原子中的电子与原子核构成一个电偶极子；
忽略电磁场中磁场分量的影响；
被极化的介质会对入射光场产生反作用，影响其频 率、振幅和相位等，只考虑线性极化效应；
决定着光场振幅在介质中传播过程中的增大或衰减. 为通常定义的介质折射率。
根据介质增益系数的定义： G 1 dI (z)
I (z) dz
由光场的光强正比于振幅的平方：I (z)
E(z,t) 2
E02e
2w c
z
得到： G 2 w w //
cc
在共振线性极化近似下，经典理论关于受激吸收和介质色