易错专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题

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等腰三角形中易漏解或多解的问题压轴题四种模型全攻略(解析版)--初中数学专项训练

等腰三角形中易漏解或多解的问题压轴题四种模型全攻略(解析版)--初中数学专项训练

等腰三角形中易漏解或多解的问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】1.目录【典型例题】1【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】1【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】4【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】9【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】14【典型例题】【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】1(四川省内江市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题)已知△ABC是等腰三角形,如果它的两条边的长分别为8cm和3cm,则它的周长为cm.【答案】19【分析】分两种情况讨论:①当等腰三角形的腰长为3cm,底边长为8cm时;②当等腰三角形的腰长为8cm,底边长为3cm时,利用三角形的三边关系分别求解,即可得到答案.【详解】解:①当等腰三角形的腰长为3cm,底边长为8cm时,∵3+3=6<8,∴不能构成三角形;②当等腰三角形的腰长为8cm,底边长为3cm时,∵3+8=11>8,∴能构成三角形,∴△ABC的周长为3+8+8=19cm;综上所述,△ABC的周长为19cm故答案为:19.【点睛】本题考查了三角形的三边关系,等腰三角形的定义,解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.【变式训练】1(2022秋·广东东莞·八年级校考阶段练习)若等腰三角形的两边长a、b满足a-3+b-82=0,则它的周长是.【答案】19【分析】通过等式可以判断a,b的长度,已知等腰三角形的两边,通过两边相等及构造条件可以判断三边,求出周长即可.【详解】解:∵a-3+b-82=0∴a-3=0,b-8=0∴a=3,b=8,∵是等腰三角形,∴三边长为3,3,8,或8,8,3,∵3+3<8,围不成三角形,不合题意,应舍去,∴其周长为:8+8+3=19,故答案为:19.【点睛】本题主要考查等腰三角形两边相等的性质及三角形的构造条件,绝对值和完全平方非负性的应用,得出a,b的值是解题关键.2(北京市延庆区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题)等腰三角形有两条边长分别为3cm和7cm,则这个等腰三角形的周长为cm.【答案】17【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质,分7为腰长或3为腰长两种情况,结合三角形三边关系即可求解.【详解】解:根据题意,当腰长为7cm时,7、7、3能组成三角形,周长为:7+7+3=17cm;当腰长为3cm时,3+3<7,7、3、3不能构成三角形,故答案为:17.【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系,解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”.3(2022春·吉林长春·八年级统考期末)若△ABC的三边长分别为10-a,7,6,当△ABC为等腰三角形时,则a的值为.【答案】3或4##4或3【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况:当10-a=6时,当10-a=7时,再结合三角形三边关系检验即可.【详解】解:∵△ABC为等腰三角形,∴当10-a=6时,解得a=4,∴三边长为6,6,7∵6+6>7,∴符合三角形三边的条件,当10-a=7时,解得a=3,∴三边长为7,7,6∵6+7>7,∴符合三角形三边的条件,∴a的值为4和3.故答案为:4和3.【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义(两边相等的三角形),灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.4(2022春·湖北武汉·八年级统考期中)用一条长为28cm的细绳围成一个等腰三角形,已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍,则它的底边长为cm.【答案】12或7【分析】可设一边为xcm,则另一边为1.5xcm,然后分x为腰和底两种情况,表示出周长,解出x,再利用三角形三边关系进行验证即可.【详解】解:设一边为xcm,则另一边为1.5xcm,①当长为xcm的边为腰时,此时三角形的三边长分别为xcm、xcm、1.5xcm,由题意可列方程:x+x+1.5x=28,解得x=8,此时三角形的三边长分别为:8cm、8cm和12cm,满足三角形三边之间的关系,符合题意;②当长为xcm的边为底时,此时三角形的三边长分别为:xcm、1.5xcm、1.5xcm,由题意可列方程:x+1.5x+1.5x=28,解得:x=7,此时三角形的三边长分别为:7cm、10.5cm、10.5cm,满足三角形的三边之间的关系,符合题意;∴这个三角形的底边长为12cm或7cm.故答案为:12或7.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系,分情况讨论且进行三边验证是解题的关键.【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】1(2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末)等腰三角形的一个角的度数是36°,则它的底角的度数是.【答案】36°或72°【分析】分36°的角是是底角和顶角的情况分析,根据三角形的内角和定理即可求解.【详解】解:当36°的角是底角时,则底角为36°,当36°的角是顶角时,则底角为12180°-36°=72°,故答案为:36°或72°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质,分类讨论是解题的关键.【变式训练】1(2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期末)定义:在一个等腰三角形中,如果一个内角等于另一个内角的两倍,则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是()A.90°B.45°或36°C.108°或90°D.90°或36°【答案】D【分析】设等腰三角形的顶角为x°,则底角为12180°-x°=90°-12x°,分两种情况:当顶角为底角的2倍时,当底角为顶角的2倍时,分别列出方程求出x的值即可.【详解】解:设等腰三角形的顶角为x°,则底角为12180°-x°=90°-12x°,当顶角为底角的2倍时,x=290°-1 2 x,解得:x=90;当底角为顶角的2倍时,2x=90°-12 x,解得:x=36;综上分析可知,“倍角等腰三角形”的顶角度数是90°或36°,故D正确.故选:D.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,一元一次方程的应用,解题的关键是注意进行分类讨论.2(2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习)如果等腰三角形的一个角的度数为80°,那么其余的两个角的度数是.【答案】50°,50°或20°,80°【分析】根据等腰三角形性质,分类讨论即可得到答案.【详解】解:①当80°时顶角时,其余两个角是底角且相等,则有:(180°-80°)÷2=50°;②当80°时底角时,则有:顶角180°-80°×2=20°;故答案为:50°,50°或20°,80°.【点睛】本题考查等腰三角形性质:两个底角相等,还考查了分类讨论的思想.3(2022春·黑龙江黑河·八年级校考期末)等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20°,则这个等腰三角形的顶角度数是.【答案】44°或80°或140°【分析】设另一个角是x,表示出一个角是2x-20°,然后分①x是顶角,2x-20°是底角,②x是底角,2x-20°是顶角,③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可.【详解】解:设另一个角是x,表示出一个角是2x-20°,①x是顶角,2x-20°是底角时,x+22x-20°=180°,解得x=44°,所以,顶角是44°;②x是底角,2x-20°是顶角时,2x+2x-20°=180°,解得x=50°,所以,顶角是2×50°-20°=80°;③x与2x-20°都是底角时,x=2x-20°,解得x=20°,所以,顶角是180°-20°×2=140°;综上所述,这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°.故答案为:44°或80°或140°.【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,三角形的内角和定理,难点在于分情况讨论,特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错.4(2022春·河北石家庄·八年级石家庄市第十七中学校考阶段练习)如图,∠AOB=40°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,∠OEC的度数为.【答案】20°或80°或140°【分析】求出∠AOC,根据等腰得出三种情况,OE=CE,OC=OE,OC=CE,根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可.【详解】∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=1∠AOB=20°,2分三种情况:①当OC=OE时,如图,∵OC =OE ,∴∠OEC =∠OCE ,∴∠OEC =12180°-∠AOC =80°;②当OC =CE 时,如图,∵OC =CE ,∴∠OEC =∠AOC =20°;③当OE =CE 时,如图,∵OE =CE ,∴∠OCE =∠AOC =20°,∴∠OEC =180°-∠OCE -∠AOC =140°,综上,∠OEC 的度数为:20°或80°或140°,故答案为:20°或80°或140°【点睛】本题考查了角平分线定义,等腰三角形性质,三角形的内角和定理的应用,用了分类讨论思想.5(2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中)在ΔABC 中,AB =AC ,∠BAC =100°,点D 在边BC 上(不与B 、C 重合),连接AD ,若△ABD 是等腰三角形,则∠ADC 的度数为.【答案】80°或110°【分析】在ΔABC 中,根据AB =AC ,∠BAC =100°,得到∠B =∠C =(180°-100°)÷2=40°,再根据△ABD 是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案.【详解】解:如图所示,在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°,若△ABD是等腰三角形,①当BD=AD时,∠B=∠BAD=40°,∠ADC=∠B+∠BAD=80°,②当BA=BD时,∠BAD=∠BDA,∠BAD=(180°-40°)÷2=70°,∠ADC=∠B+∠BAD=110°,综上所述80°或110°.【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内外角关系,解题关键是分析出△ABD的腰.6(2022春·江西赣州·八年级统考期中)如图,在△ABC中,∠B=20°,∠A=105°,点P在△ABC的三边上运动,当△PAC为等腰三角形时,顶角的度数是.【答案】105°或55°或70°【分析】作出图形,然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解.【详解】解:①如图1,点P在AB上时,AP=AC,顶角为∠A=105°,②∵∠B=20°,∠A=105°,∴∠C=180°-20°-105°=55°,如图2,点P在BC上时,若AC=PC,顶角为∠C=55°,如图3,若AC=AP,则顶角为∠CAP=180°-2∠C=180°-2×55°=70°,综上所述,顶角为105°或55°或70°.故答案为:105°或55°或70°.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,注意要分情况讨论求解.7(2023春·江西吉安·八年级统考期中)已知:如图,线段AB 的端点A 在直线l 上,AB 与l 的夹角为30°,点C 在直线l 上,若△ABC 是等腰三角形.则这个等腰三角形顶角的度数是.【答案】30°或120°或150°.【分析】分情况讨论:如图,当AB =AC 时,C 在A 的右边,如图,当AB =AC 时,C 在A 的左边,当BA =BC 时,再分别画出图形求解即可.【详解】解:如图,当AB =AC 时,C 在A 的右边,则顶角∠BAC =30°,,如图,当AB =AC 时,C 在A 的左边,则顶角∠BAC =180°-30°=150°,如图,当BA =BC 时,则∠BAC =∠BCA =30°,∴顶角∠ABC =180°-2×30°=120°;如图,当AC =BC 时,则∠BAC =∠ABC =30°,此时顶角∠ACB =180°-2×30°=120°,故答案为:30°或120°或150°.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质,三角形的内角和定理的应用,熟记等腰三角形的顶角的含义与等腰三角形的性质是解本题的关键.【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】1(2023秋·江西萍乡·八年级统考期末)在平面直角坐标系中,已知A 0,4 ,B 8,0 ,点C 在x 轴上,且在点B 的左侧,若△ABC 是等腰三角形,则点C 的坐标是.【答案】-8,0 或8-45,0 或3,0 .【分析】分类讨论:①当AB =AC 时,②当AB =BC 时和③当AC =BC 时,画出图形,结合等腰三角形的定义和性质,勾股定理求解即可.【详解】解:分类讨论:①当AB =AC 时,如图,此时为AB =AC 1,∵AO ⊥BC 1,∴OC 1=OB =8,∴C 1-8,0 ;②当AB =BC 时,如图,此时为AB =BC 2,∵OA =4,OB =8,∴BC 2=AB =OA 2+OB 2=45,∴OC 2=BC 2-OB =45-8,∴C 28-45,0 ;③当AC =BC 时,如图,此时为AC 3=BC 3,设C 3x ,0 ,则OC 3=x ,∴AC 3=BC 3=OB -OC 3=8-x .在Rt △OAC 3中,OA 2+OC 32=AC 32,∴42+x 2=8-x 2,解得:x =3,∴C 33,0 .综上可知,点C 的坐标是-8,0 或8-45,0 或3,0 .故答案为:-8,0 或8-45,0 或3,0 .【点睛】本题考查坐标与图形,等腰三角形的定义和性质,勾股定理.利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键.【变式训练】1(2023春·江西九江·八年级统考期末)已知Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC =4,若△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ,顶点A ,B ,C 分别与顶点D ,E ,F 对应,若以点A ,D ,E 为顶点的三角形是等腰三角形,则m 的值是.【答案】258或5或8【分析】分AD =DE ,AE =AD =m ,AE =DE 三种情况进行讨论求解即可.【详解】解:∵∠C =90°,AC =3,BC =4,∴AB =32+42=5,△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ,∴AD =BE =CF =m ,DE =AB =5,DF =AC =3,EF =BC =4,点A ,D ,E 为顶点的三角形是等腰三角形时,分三种情况①当AD =DE 时:如图,此时m =5;②当AE =AD =m 时:如图,则:CE =BC -BE =4-m ,在Rt △ACE 中,AE 2=AC 2+CE 2,即:m 2=9+4-m 2,解得:m =258;③当AE =DE 时,如图:此时AE =AB ,∵∠ACB =90°,∴BC =CE =4,∴m =BE =BC +CE =8;综上:m =258,5或8;故答案为:258或5或8.【点睛】本题考查平移的性质,勾股定理,等腰三角形的性质.根据题意,准确的画图,利用数形结合和分类讨论的思想进行求解,是解题的关键.2(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)在平面直角坐标系中,已知一次函数y =-x +6的图象与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .点C 在x 轴上,且不与原点重合,若△ABC 为等腰三角形,则点C 的坐标为.【答案】-6,0 或6+62,0 或6-62,0【分析】先求得点A 、点B 的坐标再分AB =AC ,AB =BC ,AC =BC ,三种情况讨论求解即可.【详解】(1)解:令y =0,得x =6,令x =0,得y =6,∴A 6,0 ,B 0,6 ,∴OA =6,OB =6,∴AB =62+62=62.当CA =CB 时,点C 与原点重合,不符合题意,舍去;当BA =BC 时,OC =OA =6,C 2-6,0 ;当AC =AB =62时,点C 36+62,0 ,C 46-62,0 .综上:点C 在x 轴上,且△ABC 为等腰三角形时,点C 的坐标为:-6,0 ,6+62,0 ,6-62,0 .故答案为:-6,0 ,6+62,0 ,6-62,0 .【点睛】本题考查一次函数的综合应用.正确的求出直线与坐标轴的交点坐标,利用数形结合和分类讨论的思想,进行求解,是解题的关键.3(2023·江西新余·统考一模)在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,AB =12,D 、E 分别是边BC 、AB 上的动点.将△BDE 沿直线DE 翻折,使点B 的对应点B 恰好落在边AC 上.若△AEB 是等腰三角形,则DB的长是.【答案】6或62-6或0【分析】分三种情况讨论:当AB =EB 时,△AEB 是等腰三角形;当AE=AB 时,△AEB 是等腰三角形;当AE=B E时,△AEB 是等腰三角形,分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算,即可得到CB 的值.【详解】解:∵∠C=90°,∠A=30°,AB=6=12,∴∠B=60°,BC=6,分三种情况讨论:①如图所示,当点D与点C重合时,∠B=∠CB E=60°,∵∠A=30°,∴∠AEB'=30°,∴∠A=∠AEB ,∴AB =EB ,即△AEB 是等腰三角形,此时,CB =BC=6;②如图所示,当AE=AB 时,△AEB 是等腰三角形,∴∠AB E=75°,由折叠可得,∠DB E=∠ABC=60°,∴∠DB C=45°,又∵∠C=90°,∴△DCB 是等腰直角三角形,设CB =x=DC,则BD=6-x=DB ,∵Rt△DCB 中,x2+x2=(6-x)2,解得x1=62-6,x2=-62-6(舍去),∴CB =62-6;③如图所示,当点B 与点C重合时,∠B=∠DCE=60°,∴∠EB A=30°=∠A,∴AE=B E,即△AEB 是等腰三角形,此时CB =0,综上所述,当△AEB 是等腰三角形时,CB 的值是6或62-6或0.故答案为:6或62-6或0.【点睛】本题主要考查了折叠问题,等腰三角形的性质,解一元二次方程以及勾股定理的综合应用,解决问题的关键是依据△AEB 是等腰三角形,画出图形进行分类讨论,解题时注意方程思想的运用.【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】1(2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末)等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15和12两部分,则此三角形的底边长为()A.7B.11C.7或11D.无法确定【答案】C【分析】根据题意作出图形,设AD=DC=x,BC=y,然后分两种情况列出方程组求解,再根据三角形的三边关系判断即可求解.【详解】解:如图所示,根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得:AD=DC=12AC=12AB.可设AD=DC=x,BC=y,∴AB=2x.由题意得:x+2x=15y+x=12或x+2x=12y+x=15,解得:x=5 y=7或x=4y=11.当x=5y=7时,即此时等腰三角形的三边为10,10,7,∵10+7>10,符合三角形的三边关系,∴此情况成立;当x=4y=11时,即此时等腰三角形的三边为8,8,11,∵8+8>11,符合三角形的三边关系,∴此情况成立.综上可知这个等腰三角形的底边长是7或11.故选:C.【点睛】本题考查三角形三边关系,等腰三角形的定义,三角形中线的性质.利用分类讨论的思想是解题关键.【变式训练】1(2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,那么这个三角形的顶角为()A.45°B.90°C.135°D.135°或45°【答案】D【分析】分三角形是锐角三角形时,利用直角三角形两锐角互余求解;三角形是钝角三角形时,利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.【详解】如图1,三角形是锐角三角时,∵∠ACD=45°,∴顶角∠A=90°-45°=45°;如图2,三角形是钝角时,∵∠ACD=45°,∴顶角∠BAC=45°+90°=135°,综上所述,顶角等于45°或135°.故选:D.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,难点在于分情况讨论,作出图形更形象直观.2(2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为.【答案】60°或120°【分析】分两种情况:等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角,分别进行求解即可.【详解】解:①如图1,当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+30°=120°;②如图2,当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,故顶角是90°-30°=60°.故答案为60°或120°.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点,注灵活运用相关性质是解答本题的关键.3(2023秋·山西临汾·八年级统考期末)在△ABC中,AB=AC,CD是AB边上的高,∠ACD=30°,则∠B=.【答案】60°或30°/30°或60°【分析】根据三角形的内角和定理,求出∠A的度数然后再求出∠B的度数;【详解】如图,当CD在△ABC内时∵CD⊥AB∴∠A=90°-∠ACD=60°∵AB=AC∴∠B=∠C=60°如图当CD在△ABC外时∵CD⊥AB∴∠BAC=90°+∠ACD=120°∵AB=AC∴∠B=∠C=30°故答案为60°或30°【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质,三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理及推论此题难度不大,属于中等题;4(2022春·广东广州·八年级校考阶段练习)在△ABC中,AB=AC,AC上的中线BD把三角形的周长分成24和30两部分,则底边BC的长为.【答案】22或14【分析】分两种情况:AB+AD=24;AB+AD=30,可得AB的长,再由另一部周长即可求得底边BC的长.【详解】解:由题意得:AD=CD∴AB=AC=2AD;当AB+AD=24时,即2AD+AD=24,∴AD=8,∵BC+CD=30,∴BC=30-CD=30-8=22;当AB+AD=30时,即2AD+AD=30,∴AD=10,∵BC+CD=24,∴BC=24-CD=24-10=14;综上,底边的长为22或14;故答案为:22或14.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,中线的含义,涉及分类讨论.5(2022·陕西·交大附中分校七年级期末)已知△ABC中,∠B=20°,在AB边上有一点D,若CD将△ABC分为两个等腰三角形,则∠A=.【答案】100°,70°,40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解.【详解】第一种请况:BD=CD时,如图,∵BD=CD,∠B=20°,∴∠B=∠DCB=20°,∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°,(1)当DA=DC时,∠A=∠ACD,∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∠ADC=40°,∴∠A=∠ACD=70°;(2)当DA=AC时,即有∠ADC=∠ACD=40°,∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°;(3)当CD=CA时,∠A=∠ADC=40°;第二种请况:BC=CD时,如图,∵∠B=20°,BC=CD,∴∠B=∠BDC=20°,∴∠ADC=180°-∠BDC=160°,∵△ADC是等腰三角形,∴有∠A=∠ACD,∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∴∠A=10°;第三种情况:BC=BD时,如图,∵BC=BD,∴∠BDC=∠BCD,∵∠B=20°,∠B+∠BCD+∠BDC=180°,∴∠BCD=∠BDC=80°,∴∠ADC=180°-∠BDC=100°,∵△ADC是等腰三角形,∴有∠A=∠ACD,∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∴∠A=40°;综上所述:∠A的度数为:70°,100°,40°,10°,故答案为:70°,100°,40°,10°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识,掌握三角形的性质是解答本题的关键.6(2023春·广东河源·八年级校考开学考试)在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分,求三角形各边的长.【答案】三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm【分析】由在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm两部分,可得|AB-BC|=15-12=3cm,然后分别从AB>BC,AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm与AB<BC去分析求解即可求得答案.【详解】解:如图,∵AB =AC ,BD 是AC 边上的中线,即AD =CD ,∴AB +AD -BC +CD =|AB -BC |=15-12=3cm ,AB +BC +AC =2AB +BC =12+15=27cm ,若AB >BC ,则AB -BC =3cm ,又∵2AB +BC =27cm ,联立方程组:AB -BC =32AB +BC =27 ,解得:AB =10cm ,BC =7cm ,10cm 、10cm 、7cm 三边能够组成三角形;若AB <BC ,则BC -AB =3cm ,又∵2AB +BC =27cm ,联立方程组BC -AB =32AB +BC =27 ,解得:AB =8cm ,BC =11cm ,8cm 、8cm 、11cm 三边能够组成三角形;∴三角形的各边长为10cm 、10cm 、7cm 或8cm 、8cm 、11cm .【点睛】此题考查了等腰三角形的定义.注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用.。

部编数学八年级上册专题10易错易混淆集训:等腰三角形中易漏解或多解的问题(解析版)含答案

部编数学八年级上册专题10易错易混淆集训:等腰三角形中易漏解或多解的问题(解析版)含答案

专题10易错易混淆集训:等腰三角形中易漏解或多解的问题易错点一求长度时忽略三边关系易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论易错点一求长度时忽略三边关系例题:(2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末)已知等腰三角形的两边长分别为4和8,则它的周长等于____________.【答案】20【分析】根据等腰三角形的性质,本题要分情况讨论.当腰长为4或是腰长为8两种情况.【详解】解:等腰三角形的两边长分别为4和8,当腰长是4时,则三角形的三边是4,4,8,4+4=8不满足三角形的三边关系;当腰长是8时,三角形的三边是8,8,4,三角形的周长是20.故答案为∶20.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,进行分类讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.【变式训练】1.(2022·新疆·和硕县第二中学八年级期末)等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长是多少()A.13B.17C.13或17D.13或10【答案】B【分析】分①腰长为3和②腰长为7两种情况,再结合三角形的三边关系,利用三角形的周长公式即可得.【详解】解:由题意,分以下两种情况:①当腰长为3时,则这个等腰三角形的三边长分别为3,3,7,此时337+<,不满足三角形的三边关系,舍去;②当腰长为7时,则这个等腰三角形的三边长分别为3,7,7,此时377+>,满足三角形的三边关系,所以它的周长为37717++=;综上,这个等腰三角形的周长为17,故选:B .【点睛】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义,正确分两种情况讨论是解题关键.2.(2022·山东菏泽·八年级期末)已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5,则这个等腰三角形的周长为( )A .15B .16C .17D .18【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义可知三边长为6,5,5,即可.【详解】根据题意可知等腰三角形的三边长为6,5,5,所以这个三角形的周长为6+5+5=16.故选:B .【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义,掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键.3.已知实数x ,y 满足2|5|(10)0-+-=x y ,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是()A .20B .25C .20或25D .以上答案均不对【答案】B【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出x 、y 的值,再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可.【详解】解:2|5|(10)0x y -+-=Q ,|5|0x -³,2(100)y -³\x −5=0,y −10=0,解得x =5,y =10,当5是腰长时,三角形的三边分别为5、5、10,∵5+5=10,∴不能组成三角形;当5是底边时,三角形的三边分别为5、10、10,能组成三角形,周长=5+10+10=25,所以,三角形的周长为25,故选:B.【点睛】本题考查了三角形的三边关系,等腰三角形的性质,绝对值非负数,平方非负数的性质,根据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0,求出x、y的值是解题的关键,难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断.当腰长是5cm 时,则三角形的三边是5cm ,5cm ,2cm ,5cm +2cm >5cm ,满足三角形的三边关系,三角形的周长是5+5+2=12(cm );当腰长是2cm 时,三角形的三边是2cm ,2cm ,5cm ,2cm +2cm <5cm ,不满足三角形的三边关系.故答案为:12cm .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,进行分类讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.6.(1)等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分,求该三角形各边的长.(2)已知一个等腰三角形的三边长分别为21,1,32x x x -+-,求这个等腰三角形的周长.【答案】(1)8,8,11或者10,10,7;(2)周长为7或者10【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质,列出方程求解,注意分类讨论.(2)分三种情况,进行讨论,结合三角形三边关系得出答案.【详解】()1设腰长为2x ,底为y ,根据题意得:①21512x x x y +=ìí+=î解得:5,7x y ==\ 三边为10,10,7②21215x x x y +=ìí+=î解得:4,11x y ==\ 三边为8,8,11故本题答案为:8,8,11或者10,10,7()2①当211x x -=+时,解2x =,此时3,3,4,能构成三角形.此时周长为10②当2132x x -=-时,解1x =,此时1,2,1不能构成三角形.③当132x x +=-,解得32x =,此时552,,22,能构成三角形,周长为=7综上,三角形的周长为7或者10.【点睛】本题考查等腰三角形性质,以及三角形三边关系,属于基础提高题.易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论例题:(2022·山东烟台·七年级期末)若等腰三角形中有一个角等于35°,则这个等腰三角形的顶角的度数为________.【答案】35°或110°【分析】根据等腰三角形两底角相等,分别讨论当35°为顶角,和当35°为底角两种情况即可得出答案.【详解】解:当35°为顶角时,这个等腰三角形顶角的度数为35°;当35°为底角时,顶角度数为:180352110°-°´=°;故答案为:35°或110°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形两底角相等是本题解题关键.【变式训练】1.已知等腰三角形的一个内角是72°,那么这个等腰三角形的顶角是______度.【答案】72或36【解析】【分析】本题应分底角为72°、顶角为72°这两种情况,分别计算每种情况下等腰三角形是否存在.【详解】解∶①当72°角是顶角时,顶角为72°,②当72°角是底角时,顶角=180°-72°×2=36°,综上顶角为72°或36°.故答案为:72或36.【点睛】本题考查等腰三角形的性质,,树立分类讨论思想,培养学生全面思考问题的数学素养,在计算等腰三角形有关边、角的问题时,要注意利用分类讨论的思想进行全面讨论是解题的关键.2.(2022·山东烟台·七年级期末)若等腰三角形中有一个角等于35°,则这个等腰三角形的顶角的度数为________.【答案】35°或110°【分析】根据等腰三角形两底角相等,分别讨论当35°为顶角,和当35°为底角两种情况即可得出答案.【详解】解:当35°为顶角时,这个等腰三角形顶角的度数为35°;当35°为底角时,顶角度数为:180352110°-°´=°;故答案为:35°或110°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形两底角相等是本题解题关键.3.有一张三角形纸片ABC,∠A=80°,点D是AC边上一点,沿BD方向剪开三角形纸片后,发现所得两张纸片均为等腰三角形,则∠C的度数可以是__________.【答案】25°或40°或10°【解析】【详解】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB,再求出∠BDC,然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形,对于△ABD可能有①AB=BD,此时∠ADB=∠A=80°,∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°,∠C=12(180°-100°)=40°,②AB=AD,此时∠ADB=12(180°-∠A)=12(180°-80°)=50°,∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°,∠C=12(180°-130°)=25°,③AD=BD,此时,∠ADB=180°-2×80°=20°,∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°,∠C=12(180°-160°)=10°,综上所述,∠C度数可以为25°或40°或10°故答案为25°或40°或10°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,难点在于分情况讨论.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的存在性,解决问题的关键是熟练掌握等边对等角的性质,三角形的三个角都有可能是顶角,分类讨论.易错点三 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论例题:若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则这个等腰三角形的底角的度数为( )A .20°B .50°或70°C .70°D .20°或70°【答案】D【解析】【分析】首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形,当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况,所以舍去不计,我们可以通过画图来讨论剩余两种情况.【详解】(1)当这个三角形是锐角三角形时,如图所示:∵高与另一腰的夹角为50°,即50ABD Ð=°,∴顶角905040A Ð=°-°=°,∵A ABC CB =Ð∠,()118040702ABC ACB \Ð=Ð=°-°=°;(2)当这个三角形是钝角三角形时,如图所示:∵∠ABD =50°,BD ⊥CD ,∴∠BAD =90°-50°=40°,∵ABC C Ð=Ð,40ABC C Ð+Ð=°,∴140202ABC C Ð=Ð=´°=°;综上所述,这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°.故选:D .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,三角形外角的性质,等腰三角形的高线,可能在三角形的内部,边上、外部几种不同情况,因此遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论.【变式训练】∵∠ADE =50°,∠AED ∴∠A =40°,∴(11802B C =Ð=Ð∵∠ADE =50°,∠AED =90°,∴∠BAC =∠ADE +∠AED =140°,∴()1180140202B C =Ð=-°=а°4.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°,则这个等腰三角形底角度数是_______.【答案】73°或17°【解析】【分析】在等腰ABC D 中,AB AC =,BD 为腰AC 上的高,56ABD Ð=°,讨论:当BD 在ABC D 内部时,如图1,先计算出34BAD Ð=°,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出ACB Ð;当BD 在ABC D 外部时,如图2,先计算出34BAD Ð=°,再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出ACB Ð.【详解】解:在等腰ABC D 中,AB AC =,BD 为腰AC 上的高,56ABD Ð=°,当BD 在ABC D 内部时,如图1,BD Q 为高,90ADB \Ð=°,905634BAD \Ð=°-°=°,AB AC =Q ,1(18034)732ABC ACB \Ð=Ð=°-°=°;当BD 在ABC D 外部时,如图2,BD Q 为高,90ADB \Ð=°,905634BAD \Ð=°-°=°,AB AC =Q ,ABC ACB \Ð=Ð,而BAD ABC ACB Ð=Ð+Ð,1172ACB BAD \Ð=Ð=°,综上所述,这个等腰三角形底角的度数为73°或17°.故答案为:73°或17°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,熟悉相关性质是解题的关键.5.(2022·陕西·交大附中分校七年级期末)已知ABC V 中,20B Ð=°,在AB 边上有一点D ,若CD 将ABC V分为两个等腰三角形,则AÐ=________.【答案】100°,70°,40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解.【详解】第一种请况:BD=CD时,如图,∵BD=CD,∠B=20°,∴∠B=∠DCB=20°,∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°,(1)当DA=DC时,∠A=∠ACD,∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∠ADC=40°,∴∠A=∠ACD=70°;(2)当DA=AC时,即有∠ADC=∠ACD=40°,∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°;(3)当CD=CA时,∠A=∠ADC=40°;第二种请况:BC=CD时,如图,∵∠B=20°,BC=CD,∴∠B=∠BDC=20°,∴∠ADC=180°-∠BDC=160°,∵△ADC是等腰三角形,∴有∠A=∠ACD,∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∴∠A=10°;第三种情况:BC=BD时,如图,∵BC=BD,∴∠BDC=∠BCD,∵∠B=20°,∠B+∠BCD+∠BDC=180°,∴∠BCD=∠BDC=80°,∴∠ADC=180°-∠BDC=100°,∵△ADC是等腰三角形,∴有∠A=∠ACD,∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∴∠A=40°;综上所述:∠A的度数为:70°,100°,40°,10°,故答案为:70°,100°,40°,10°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识,掌握三角形的性质是解答本题的关键.6.(2021·江西育华学校八年级期末)已知△ABC中,如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形,其中一个为等腰三角形,另一个为直角三角形,则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线.如图1,Rt△ABC中,显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线.在图2的△ABC中,∠ABC=110°,若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线,则∠CDB的度数是_____.【答案】40°或90°或140°【分析】分三种情况讨论,由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解.【详解】解:①如图,当∠DBC=90°,AD=BD时,直线BD是△ABC的关于点B的二分割线,∵∠ABC=110°,∠DBC=90°,∴∠ABD=20°,∵AD=BD,∴∠A=∠ABD=20°,∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°;②如图,当∠BDC=90°,AD=BD时,直线BD是△ABC的关于点B的二分割线,或当∠BDC=90°,CD=BD时,直线BD是△ABC的关于点B的二分割线,;③如图,当∠ABD=90°,CD=BD时,直线BD是△ABC的关于点B的二分割线,∵∠ABC=110°,∠ABD=90°,∴∠DBC=20°,∵CD=BD,∴∠C=∠DBC=20°,∴∠BDC=140°.综上所述:当∠BDC的度数是40°或90°或140°时,直线BD是△ABC的关于点B的二分割线.【点睛】本题是三角形综合题,考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,理解二分割线是本题的关键.。

专题09 等腰三角形中易漏解或多解得问题(学生版)

专题09 等腰三角形中易漏解或多解得问题(学生版)

专题9等腰三角形中易漏解或多解得问题►易错点一求长度时忽略三边关系例题:已知一个等腰三角形的两边长是3cm 和7cm ,则它的周长为()A .13cm B .17cm C .13或17cm D .10cm【变式训练】1.等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米,则这个三角形的周长为()A .22厘米B .17厘米C .13厘米D .17厘米或22厘米2.已知实数x ,y 满足2|5|(10)0-+-=x y ,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是()A .20B .25C .20或25D .以上答案均不对3.等腰三角形的一边长为3,另一边长为6,则该三角形的周长是_______.4.(1)等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分,求该三角形各边的长.(2)已知一个等腰三角形的三边长分别为21,1,32x x x -+-,求这个等腰三角形的周长.►易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论例题:若等腰三角形的一个角等于80°,则其顶角的度数为()A.80°B.20°C.100°D.80°或20°【变式训练】1.已知等腰三角形的一个内角是72°,那么这个等腰三角形的顶角是______度.2.有一张三角形纸片ABC,∠A=80°,点D是AC边上一点,沿BD方向剪开三角形纸片后,发现所得两张纸片均为等腰三角形,则∠C的度数可以是__________.3.如图,直线a,b交于点O,∠α=40°,点A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动,且始终位于直线a的上方,若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB=_________°.►易错点三三角形的形状不明时与高结合没有分类讨论例题:若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50︒,则这个等腰三角形的底角的度数为()A.20︒B.50︒或70︒C.70︒D.20︒或70︒【变式训练】1.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则这个等腰三角形顶角的度数为____2.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为56°,则这个等腰三角形底角度数是_______.。

八年级数学上册易错易混专题等腰三角形中易漏解或多解的问题(新版)新人教版

八年级数学上册易错易混专题等腰三角形中易漏解或多解的问题(新版)新人教版

易错易混专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题——易错归纳,各个击破◆类型一求长度时忽略三边关系1.(2016·贺州中考)一个等腰三角形的两边长分别是4,8,则它的周长为()A.12 B.16C.20 D.16或202.学习了三角形的有关内容后,张老师请同学们交流这样一个问题:“已知一个等腰三角形的周长是12,其中一条边长为3,求另两条边的长”.同学们经过片刻思考和交流后,小明同学举手说:“另两条边长为3、6或4.5、4.5.”你认为小明的回答是否正确:_____,理由是_____________________.3.已知等腰三角形中,一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和10cm两部分,求这个三角形的腰长和底边的长.◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论4.已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为()A.100° B.40°C.40°或100° D.60°5.等腰三角形的一个外角等于100°,则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为()A.40°,40° B.80°,20°C.80°,80° D.50°,50°或80°,20°6.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为_____.◆类型三三角形的形状不明时没有分类讨论7.等腰三角形的一个角是50°,则它一腰上的高与底边的夹角是()A.25° B.40°C.25°或40° D.不能确定8.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°,则∠B等于_____.9.如果两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等,那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形.已知一对合同三角形的底角分别为x°和y°,则_________(用含x的代数式表示).10.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,求顶角的度数.◆类型四一边确定,另两边不确定,求等腰三角形个数时漏解11.(2016·武汉中考)平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()A.5 B.6 C.7 D.812.如图,在4×5的点阵图中,每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1,该点阵图中已有两个阵点分别标为A,B,请在此点阵图中找一个阵点C,使得以点A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则符合条件的C点有_____个.参考答案与解析1.C2.不正确 没考虑三角形三边关系 3.解:设腰长为x cm ,①腰长与腰长的一半是6cm 时,x +12x =6,解得x =4,∴底边长=10-12×4=8(cm).∵4+4=8,∴4cm、4cm 、8cm 不能组成三角形;②腰长与腰长的一半是10cm 时,x +12x =10,解得x =203,∴底边长=6-12×203=83(cm),∴三角形的三边长为203cm 、203cm 、83cm ,能组成三角形.综上所述,三角形的腰长为203cm ,底边长为83cm.4.C 5.D 6.120°或20° 7.C 8.70°或20° 9.x 或90-x 解析:∵两个等腰三角形的腰长相等、面积也相等,∴腰上的高相等.①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时,y =x ,②当两个三角形一个是锐角三角形,一个是钝角三角形时,y =90-x .故答案为x 或90-x .10.解:此题要分情况讨论:当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在其外部.如图①所示,得顶角∠ACB =∠D +∠DAC =90°+20°=110°;当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,如图②所示,故顶角∠A =90°-∠ABD =90°-20°=70°.综上所述,顶角的度数为110°或70°.11.A 12.5。

2020年八年级数学上册第十三章易错易混专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题

2020年八年级数学上册第十三章易错易混专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题

10.(2019-2020·江夏区期末)在 Rt△ABC 中,∠ACB =90°,以△ABC 的一边为边画等腰三角形,使得 它的第三个顶点在△ABC 的其他边上,则可以画出 的不同的等腰三角形最多有( B ) A.9 个 B.7 个 C.6 个 D.5 个
2.某等腰三角形的三边长分别为 x,3,2x-1,则
该三角 或 8 或 5 D.与 x 的取值有关
3.已知等腰三角形中,一腰上的中线将三角形的周 长分成 6 cm 和 10 cm 两部分,求这个三角形的腰长 和底边长. 解:如图,等腰△ABC 中,AB,AC 为腰,CD 为中 线,则 AD=BD= 1 AB= 1 AC.
个不同的度数.
7.(2019-2020·庐江县期中)在△ABC 中,AH 是 BC 边上的高.若 CH-BH=AB,∠ABH=70°,则∠BAC = 75或35 °.
解析:分以下两种情况讨论:当∠ABC 为锐角时, 过点 A 作 AD=AB,交 BC 于点 D,如图①所示. ∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABH=70°,BH=DH. ∵AB+BH=CH,CH=CD+DH,∴CD=AB=AD. ∴∠C= 1 ∠ADB=35°. ∴∠BAC=
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10 B
1.(2019-2020·武昌区期中)若等腰三角形的周长为
19 cm,一边长为 7 cm,则腰长为( D )
A.7 cm
B.5 cm
C.7 cm 或 5 cm D.7 cm 或 6 cm

易错易混淆集训:等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错(5类热点题型讲练)(解析版)

易错易混淆集训:等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错(5类热点题型讲练)(解析版)

第05讲易错易混淆集训:等腰(直角)三角形中易漏解或多解的问题之五大易错(5类热点题型讲练)目录【考点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 (1)【考点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 (5)【考点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 (8)【考点四求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 (14)【考点五三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 (19)【考点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题:(2023春·陕西汉中·七年级校考阶段练习)已知一个等腰三角形的三边长分别为21x -,1x +,32x -,且21x -为腰长.求这个等腰三角形的周长.【答案】这个等腰三角形的周长为10.【分析】因为没有明确指出哪条边是底边哪个是腰,所以要分情况讨论.【详解】解:①当211x x -=+时,解得2x =,则这个等腰三角形三条边长分别为3、3、4,能构成三角形,此时这个等腰三角形的周长为33410++=;②当2132x x -=-时,解1x =,则这个等腰三角形三条边长分别为1、2、1,不能构成三角形(舍去).综上所述,这个等腰三角形的周长为10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质;在没有明确给出腰和底边时,要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解.【变式训练】+<,∵7721∴不能围成腰长为7cm的等腰三角形;综上:能围成有一边长为7cm的等腰三角形.【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系,等腰三角形的性质,解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.【考点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】综上所述,这个等腰三角形的顶角度数是44︒或80︒或140︒.故答案为:44︒或80︒或140︒.【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,三角形的内角和定理,难点在于分情况讨论,特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错.5.(2022春·江西赣州·八年级统考期中)如图,在ABC 中,20B ∠=︒,105A ∠=︒,点P 在ABC 的三边上运动,当PAC △为等腰三角形时,顶角的度数是________.【答案】105︒或55︒或70︒【分析】作出图形,然后分点P 在AB 上与BC 上两种情况讨论求解.【详解】解:①如图1,点P 在AB 上时,AP AC =,顶角为105A ∠=︒,②∵20B ∠=︒,105A ∠=︒,∴1802010555C ︒︒︒︒∠=--=,如图2,点P 在BC 上时,若AC PC =,顶角为55C ∠=︒,如图3,若AC AP =,则顶角为180218025570CAP C ︒︒︒︒∠=-∠=-⨯=,综上所述,顶角为105︒或55︒或70︒.故答案为:105︒或55︒或70︒.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,注意要分情况讨论求解.【考点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】题的关键,用了分类讨论思想.【变式训练】∵30PCB ∠=︒,∴∠BPC =90°,即PC ∴cos AP AC BAC =⋅∠当点P 在AB 的延长线上时,∵30PCB ∠=︒,∠PBC ∴∠CPB =30°,∴12AC AB ==∵30PCB ∠=︒∴∠APC =60°,∴∠ACP =60°,∴∠APC =∠PAC 【答案】2516或52或4,,,②当AE AD m ==时:如图,则:4CE BC BE m =-=-,在Rt ACE 中,22AE AC =+解得:258m =;③当时,如图:此时AE AB =,∵90ACB ∠=︒,∴4BC CE ==,【考点四求有关直角三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】【答案】125或247或325【分析】先利用直角三角形的性质可得的取值范围为06t <≤,然后分BQP ∠得出答案.【详解】解: 在Rt ABC △中,C ∠212AB BC ∴==,=60B ∠︒,∴点P 从点A 运动到点B 所需时间为点Q 从点B 运动到点C 所需时间为BC 当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,06t ∴<≤,由题意,分以下两种情况:(1)如图,当90BQP ∠=︒时,BPQ V①当04t <≤时,3AP t =,BP AB =在Rt BPQ 中,2BQ BP =,即2t =解得2447t =<,符合题设;②当46t <≤时,312BP t =-,在Rt BPQ 中,2BQ BP =,即2t =解得245t =,符合题设;综上,t 的值是165或327或245,故答案为:125或247或325.【点睛】本题考查了含30︒角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点,正确判断出取值范围,并分情况讨论是解题关键.【变式训练】点D 在直线BC 边上,ABD △为直角三角形,且当90BAD ∠=︒时,4090130ADC B BAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒;如图2,在ABC 中,AB AC =,若=40B C ∠∠=︒,点D 在直线BC 边上,ABD △为直角三角形,且当90ADB ∠=︒时,90ADC ∴∠=︒;如图3,在ABC 中,AB AC =,若40BAC ∠︒=,点D 在直线BC 边上,ABD △为直角三角形,且当90ADB ∠=︒时,90ADC ∴∠=︒;如图4,在ABC 中,AB AC =,若40BAC ∠︒=,点D 在直线BC 边上,ABD △为直角三角形,且当90BAD ∠=︒时,70B ACB ∴∠=∠=︒,9020ADC B ∴∠=︒-∠=︒;故答案为:130︒、90︒或20︒【答案】60︒或18︒【分析】分情况讨论:①当求解即可.【详解】解:如图所示,当∵AD 是ABC 的角平分线,∴30BAD ∠=︒,∴Rt ADF 中,60ADF ∠=如图,当90BDF ∠=︒时,同理可得30BAD DAC ∠=∠=∵78ACB ∠=︒,∴ADB DAC ACB ∠=∠+∠=∴ADF ADB BDF ∠=∠-∠=综上所述:ADF ∠的度数为【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得ABC ∠形时,存在两种情况:分别根据三角形外角的性质即可得出结论.【详解】解:∵9040BAC C ∠=︒∠=︒,∴904050ABC ∠=︒-︒=︒∵BD 平分ABC∠∴1252DBC ABC ∠=∠=︒当BDE △为直角三角形时,有以下两种情况:①当90BED ∠=︒时,如图1,∵40C ∠=︒,∴904050CDE ∠=︒-︒=︒;②当90BDE ∠=︒时,如图2,【考点五三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题:(2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末)等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为15根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得:可设AD DC x ==∴2AB x =.1.(2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒,那么这个三角形的顶角为()A .45︒B .90︒C .135︒D .135︒或45︒∵45ACD ∠=︒,∴顶角90A ∠=︒-如图2,三角形是钝角时,∵45ACD ∠=︒,∴顶角4590135BAC ∠=︒+︒=综上所述,顶角等于45︒或135当30AB AD +=时,即230AD AD +=,10AD ∴=,24BC CD += ,24241014BC CD ∴=-=-=;综上,底边的长为22或14;故答案为:22或14.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,中线的含义,涉及分类讨论.5.(2022·陕西·交大附中分校七年级期末)已知ABC 中,20B ∠=︒,在AB 边上有一点D ,若CD 将ABC 分为两个等腰三角形,则A ∠=________.【答案】100°,70°,40°或者10°【分析】分BD =CD 、BC =CD 、BD =BC 三种情况讨论即可求解.【详解】第一种请况:BD =CD 时,如图,∵BD =CD ,∠B =20°,∴∠B =∠DCB =20°,∴∠ADC =∠B +∠DCB =40°,(1)当DA =DC 时,∠A =∠ACD ,∵∠A +∠ACD +∠ADC =180°,∠ADC =40°,∴∠A =∠ACD =70°;(2)当DA =AC 时,即有∠ADC =∠ACD =40°,∴∠A =180°-∠ADC -∠ACD =100°;(3)当CD =CA 时,∠A =∠ADC =40°;第二种请况:BC =CD 时,如图,∵∠B =20°,BC =CD ,∴∠B =∠BDC =20°,∴∠ADC=180°-∠BDC=160°,∵△ADC是等腰三角形,∴有∠A=∠ACD,∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∴∠A=10°;第三种情况:BC=BD时,如图,∵BC=BD,∴∠BDC=∠BCD,∵∠B=20°,∠B+∠BCD+∠BDC=180°,∴∠BCD=∠BDC=80°,∴∠ADC=180°-∠BDC=100°,∵△ADC是等腰三角形,∴有∠A=∠ACD,∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°,∴∠A=40°;综上所述:∠A的度数为:70°,100°,40°,10°,故答案为:70°,100°,40°,10°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识,掌握三角形的性质是解答本题的关键.。

4.易错专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题

4.易错专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题

易错专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题——易错归纳,各个击破◆类型一忽略三边关系或中线分三角形周长指向不明时没有分类讨论1.(2021·贺州中考)一个等腰三角形的两边长分别为4和8,那么该等腰三角形的周长为()A.12 B.16C.20 D.16或202.等腰三角形的周长是24cm,一边长是6cm,那么其他两边的长分别是______________.【易错5】3.一等腰三角形的两边长之比是1∶2,周长是15cm,那么它的底边长是________cm,一腰长是________cm.4.假设等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两局部,求这个等腰三角形的底和腰的长.◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论5.(2021-2021·娄底市娄星区期末)等腰三角形的一个内角是50°,那么这个等腰三角形的另外两个内角度数分别是()A.50°,80°B.65°,65°C.50°,80°或65°,65°D.无法确定6.等腰三角形的一个外角是110°,那么它的顶角的度数是________.7.一个等腰三角形两个内角的度数之比为1∶4,那么这个等腰三角形顶角的度数为__________.◆类型三三角形的形状不明与高结合求角度时没有分类讨论8.(2021·通辽中考)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,那么该等腰三角形的底角的度数为________.【易错6】9.BD是等腰△ABC一边上的高,且∠ABD=50°,求△ABC的三个内角的度数.【易错6】◆类型四一边确定,另两边不确定,求等腰三角形个数时漏解10.如下图的正方形网格中,网格线的交点称为格点.A 、B 是两格点,如果C 也是图中的格点,且使得△ABC 为等腰三角形,那么点C 的个数是________.第10题图 第11题图11.如图,在4×5的点阵图中,每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1,该点阵图中已有两个阵点分别标为A ,B ,请在此点阵图中找阵点C ,使得以点A ,B ,C 为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的C 点有________个.参考答案与解析1.C 2.9cm ,9cm3.3 6 解析:两边长之比是1∶2,只能是底边长与腰长的比,所以设底边长为x cm ,那么腰长为2x cm ,故有x +2x +2x =15,x =3,2x =6.4.解:如图,由于条件中中线分周长为两局部,并没有指明哪一局部是9cm ,哪一局部是12cm ,因此,应有两种情形.设这个等腰三角形的腰长AB 为x cm ,底边长BC 为y cm ,那么AD =CD =12x ⎩⎨⎧x +12x =9,12x +y =12或⎩⎨⎧x +12x =12,12x +y =9,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =9或⎩⎪⎨⎪⎧x =8,y =5.即当腰长是6cm 时,底边长是9cm ;当腰长是8cm 时,底边长是5cm.5.C6.70°或40° 解析:①假设这个110°的角是等腰三角形顶角的外角,那么顶角为70°,②假设这个110°的角是等腰三角形底角的外角,那么每个底角都为70°,那么顶角为180°-70°×2=40°.7.120°或20° 8.69°或21°9.解:分三种情况讨论:(1)如图①,BD 是底边AC 上的高时,∵AB =BC ,BD ⊥AC ,∴∠ABC=2∠ABD=2×50°=100°,∠A=∠C=40°;(2)如图②,当BD是钝角三角形ABC腰上的高时,∠BAC=∠BDA+∠ABD=90°+50°=140°.又∵AB=AC,∴∠B=∠C=20°;(3)如图③,当BD是锐角三角形ABC腰上的高时,在△ABD中,∠A=180°-50°-90°=40°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=70°.综上所述,△ABC的三个内角的度数分别为100°,40°,40°或140°,20°,20°或40°,70°,70°.10.8个解析:如图,分情况讨论:①AB为等腰△ABC底边时,符合条件的C点有4个(C1~C4);②AB为等腰△ABC其中的一条腰时,符合条件的C点有4个(C5~C8).故共有8个.11.5解析:如下图,分别以AB为腰、底找等腰三角形,符合条件的C点有5个.。

2019最新北师大版七年级数学下册7.易错专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题-精品推荐

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易错专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题——易错归纳,各个击破◆类型一求长度时忽略三边关系1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5,则它的周长为( )A.12 B.9C.12或9 D.9或72.学习了三角形的有关问题后,王老师请同学们交流这样一个问题:“已知一个等腰三角形的周长是12,其中一条边长为3,求另外两条边的长.”同学们经过片刻思考和交流后,小明同学举手说:“另两条边长为3,6或4.5,4.5”.你认为小明回答是否正确:________,理由是______________________.3.某等腰三角形的一边长是5cm,周长是20cm,求此等腰三角形其他两边的长.4.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm和15cm两部分,求这个三角形的腰长和底边的长.◆类型二当腰和底不明求角度时没有分类讨论5.已知某等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A.50° B.80°C.50°或80° D.40°或65°6.某等腰三角形的一个外角为100°,则它的顶角的度数为__________.7.已知某等腰三角形的两个内角的度数之比为2∶1,求这个等腰三角形顶角的度数.8.★若一个大的等腰三角形能被分割为两个小等腰三角形,试求该大等腰三角形顶角的度数(要求画出相应图形,并写出求解过程).◆类型三三角形的形状不明时与高结合没有分类讨论9.某等腰三角形的一内角为80°,则此等腰三角形腰上的高与底边的夹角的度数是__________.10.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°,则∠B等于________________.11.★某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°,试求这个等腰三角形各内角的度数.◆类型四两点固定,另一点不固定,确定三角形个数时漏解12.如图,网格中的每个小正方形的边长为1,A,B是格点,以A,B,C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为【易错7】( )A.7个B.8个C.9个D.10个第12题图第13题图13.如图,在4×5的点阵图中,每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1,该点阵图中已有两个阵点分别标为A ,B ,请在此点阵图中找一个阵点C ,使得以A ,B ,C 为顶点的三角形是等腰三角形,则符合条件的C 点有________个.【易错7】参考答案与解析1.A2.不正确 3,3,6不能构成三角形3.解:当腰长为5cm 时,底边长为20-5×2=10(cm).∵5+5=10,∴不能构成三角形.当底边长为5cm 时,腰长为(20-5)×12=7.5(cm).∵7.5+5>7.5,∴可以构成三角形,∴当5cm 为底边时,其他两边的长为7.5cm ,7.5cm.4.解:设腰长为x cm.分两种情况进行讨论.(1)当腰长与腰长的一半的和是9cm 时,x +12x =9,解得x =6,∴底边长为15-12×6=12(cm).∵6+6=12,∴6cm ,6cm ,12cm 不能组成三角形.(2)当腰长与腰长的一半的和是15cm 时,x +12x =15,解得x =10,∴底边长为9-12×10=4(cm).∵4+10>10,∴10cm ,10cm ,4cm 能组成三角形.综上所述,三角形的腰长为10cm ,底边长为4cm.5.C 6.80°或20°7.解:分两种情况进行讨论:(1)当底角与顶角的度数比是2∶1时,等腰三角形的顶角是180°×15=36°;(2)当顶角与底角的度数比是2∶1时,等腰三角形的顶角是180°×24=90°.即该等腰三角形的顶角为36°或90°.8.解:分四种情况讨论:(1)如图①,△ABC 中,AB =AC ,BD =AD ,AC =CD ,∴∠B =∠C =∠BAD ,∠CDA =∠CAD .∵∠CDA =180°-∠BDA =180°-(180°-∠B -∠BAD )=2∠B ,∴∠BAC =3∠B .∵∠BAC +∠B +∠C =180°,∴5∠B =180°,∴∠B =36°,∴∠BAC =108°;(2)如图②,△ABC 中,AB =AC ,AD =BD =CD ,∴∠B =∠C =∠DAC =∠DAB ,∴∠BAC =2∠B .∵∠BAC +∠B +∠C =180°,∴4∠B =180°,∴∠B =45°,∴∠BAC =90°.(3)如图③,△ABC 中,AB =AC ,BD =AD =BC ,∴∠ABC =∠C ,∠A =∠ABD ,∠BDC =∠C .∵∠BDC =180°-∠BDA =2∠A ,∴∠C =2∠A ,∴∠ABC =2∠A .∵∠A +∠ABC +∠C =180°,∴5∠A =180°,∴∠A =36°;(4)如图④,△ABC 中,AB =AC ,BD =AD ,CD =BC .设∠A =x .∵AD =BD ,∴∠DBA =∠A=x ,∴∠BDC =180°-∠ADB =2x .∵AB =AC ,∴∠DBC =180°-x 2-x .∵CD =BC ,∴∠BDC =∠DBC ,∴2x =180°-x 2-x ,∴x =180°7. 综上所述,这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°7. 方法点拨:本题应使用方程思想,根据等腰三角形等边对等角,再结合三角形的内角和求角度.正确把握题意,归纳出四种情形,防止漏解是解题关键.9.10°或40° 10.70°或20°11.解:分两种情况进行讨论:(1)如图①,当△ABC (AB =AC )为锐角三角形时,∠ABD=20°,BD ⊥AC ,∴∠A =70°,∴∠ABC =∠C =12(180°-∠A )=55°;(2)如图②,当△ABC (AB =AC )为钝角三角形时,∠ABD =20°,BD ⊥AC ,∴∠DAB =70°,∴∠BAC =110°,∴∠ABC =∠C =12(180°-∠BAC )=35°.综上所述,这个等腰三角形各内角的度数分别为70°,55°,55°或110°,35°,35°.12.B 解析:符合条件的点数有8个,如图所示.13.5 解析:如图,分别以AB为腰、底找等腰三角形,故符合条件的C点有5个.第13题图。

八年级数学下册易错专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题 (2)(附答案)

八年级数学下册易错专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题 (2)(附答案)

易错专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题◆类型一求长度时忽略三边关系【易错1】1.一个等腰三角形的两边长分别是4,8,则它的周长为( )A.12 B.16C.20 D.16或202.学习了三角形的有关内容后,张老师请同学们交流这样一个问题:“已知一个等腰三角形的周长是12,其中一条边长为3,求另两条边的长”.同学们经过片刻思考和交流后,小明同学举手说:“另两条边长为3,6或4.5,4.5.”你认为小明回答是否正确:________,理由是________________________.3.(·薛城区期末)若等腰三角形的三边长分别为x+1,2x+3,9,则x=________.4.已知等腰三角形ABC中,腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm两部分,求这个三角形的腰长和底边长.◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论5.已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为( )A.100° B.40°C.40°或100° D.60°6.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为______________.7.(·普陀区模拟)我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”.如果等腰三角形的“内角正度值”为45°,那么该等腰三角形的顶角度数为________.8.有一三角形纸片ABC,∠A=80°,点D是AC边上一点,沿BD方向剪开三角形纸片后,发现所得两纸片均为等腰三角形,则∠C的度数可以是____________________.9.★一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形,试求这个大等腰三角形顶角的度数.◆类型三三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论10.(·绥化中考)在等腰△ABC中,AD⊥BC交BC于点D.若AD=12BC,则△ABC的顶角度数为______________.11.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,求顶角的度数.【易错3】◆类型四一边确定,另两边不定,确定三角形的个数时漏解【易错4】12.如图,点A的坐标为(2,2),若点P在坐标轴上,且△APO为等腰三角形,则满足条件的点P有( )A.4个 B.6个 C.7个 D.8个第12题图第13题图13.如图,在4×5的点阵图中,每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1,该点阵图中已有两个阵点分别标为A,B,请在此点阵图中找一个阵点C,使得以点A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则符合条件的C点有________个.14.如图是6×6的正方形网格,点A,B均在正方形格点上,在网格中的格点上找一点C,使△ABC为等腰三角形,简要写出步骤并标出点C的位置.参考答案与解析1.C 2.不正确没考虑三角形的三边关系 3.34.解:设腰长为xcm,分两种情况考虑:①腰长与腰长的一半是9cm时,即x+1 2 x=9,解得x=6,∴底边长为15-12×6=12(cm).∵6+6=12,∴6cm,6cm,12cm不能组成三角形;②腰长与腰长的一半是15cm时,即x+12x=15,解得x=10,∴底边长为9-12×10=4(cm),∴三角形的三边长为10cm,10cm,4cm,能组成三角形.综上所述,三角形的腰长为10cm,底边长为4cm.5.C 6.120°或20°7.30°或90°解析:设最小角的度数为x,则最大角的度数为x+45°.当最小角是顶角时,则x+x+45°+x+45°=180°,解得x=30°,此时三角形顶角的度数为30°.当最大角为顶角时,则x+x+45°+x=180°,解得x=45°,此时三角形顶角的度数为90°.综上所述,等腰三角形的顶角为30°或90°.8.40°或25°或10°解析:由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形,对于△ABD 有三种情况:①AB=BD,则∠ADB=∠A=80°,∴∠BDC=180°-∠ADB=100°,∠C=(180°-∠BDC)÷2=40°;②AB=AD,则∠ADB=(180°-∠A)÷2=50°,∴∠BDC=180°-∠ADB=130°,∠C=(180°-∠BDC)÷2=25°;③AD=BD,则∠ABD=∠A=80°,∴∠BDC=∠ABD+∠A=160°,∠C=(180°-∠BDC)÷2=10°.综上所述,∠C 的度数可以是40°或25°或10°.9.解:分四种情况讨论:(1)如图①,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD,则∠B =∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B,∴∠BAC=∠CAD+∠BAD =∠CDA+∠BAD=3∠B.∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°,∴∠BAC=108°;(2)如图②,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD,则∠B=∠C=∠DAC=∠DAB,∴∠BAC =2∠B.∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴4∠B=180°,∴∠B=45°,∴∠BAC=90°;(3)如图③,△ABC中,AB=AC,BD=AD=BC,则∠ABC=∠C,∠A=∠ABD,∠BDC =∠C,∴∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A,∴∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.∵∠A+∠ABC+∠C =180°,∴5∠A=180°,∴∠A=36°.(4)如图④,△ABC中,AB=AC,BD=AD,CD=BC.设∠A=x,∵AD=BD,∴∠DBA=∠A=x.∵AB=AC ,∴∠ABC=180°-x 2,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=180°-x 2-x.∵CD=BC ,∴∠BDC=∠A+∠A BD =2x =∠DBC=180°-x 2-x ,∴x=180°7,即∠A=180°7.综上所述,这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°7. 10.30°或150°或90° 解析:(1)当BC 为腰时,∵AD⊥BC,AD =12BC ,∴∠ACD =30°.如图①,当AD 在△ABC 内部时,顶角∠C=30°.如图②,当AD 在△ABC 外部时,顶角∠ACB=180°-30°=150°;(2)当BC 为底时,如图③.∵AD⊥BC,AD =12BC ,∴AD=BD =CD ,∴∠B=∠BAD,∠C =∠CAD,∴∠BAD+∠CAD=12×180°=90°,即顶角∠BAC=90°.综上所述,等腰三角形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°.11.解:此题要分情况讨论:当等腰三角形的顶角是钝角时,如图①所示,腰上的高在三角形外部.由题意得顶角∠ACB=∠D+∠DAC=90°+20°=110°;当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,如图②所示,故顶角∠A=90°-∠ABD=90°-20°=70°.综上所述,顶角的度数为110°或70°.12.D 解析:∵点A 的坐标为(2,2),∴△OAP 的边OA =22,这条边可能是底边也可能是腰.①当OA 是底边时,点P 是OA 的垂直平分线与坐标轴的交点,交点的坐标是(2,0)和(0,2);②当OA是腰时,当O是顶角顶点时,以O为圆心,以OA为半径作圆,与坐标轴的交点坐标是(22,0),(-22,0),(0,22),(0,-22);③当A 是顶角顶点时,以A为圆心,以AO为半径作圆,与坐标轴的交点坐标是(4,0),(0,4).综上可知满足条件的点P共有8个,故选D.13.5 解析:如图,分别以AB为腰、底找等腰三角形,故符合条件的C点有5个.第13题图第14题图14.解:如图,(1)当BA=BC时,符合条件的有C1,C2;(2)当AB=AC时,符合条件的有C3,C4;(3)当CA=CB时,符合条件的有C5,C6,C7,C8,C9,C10.综上所述,符合条件的C点有10个.。

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