3-2 函数的极值与最值练习题
导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)
§3.3导数与函数的极值、最值学习目标1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×)(2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×)(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√)(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)教材改编题1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 由题意知只有在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．2．函数f (x )＝x 3－ax 2＋2x －1有极值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)C ．(－6，6)D ．[－6，6]答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋2，由题意知f ′(x )有变号零点，∴Δ＝(－2a )2－4×3×2>0， 解得a >6或a <－ 6.3．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m ＝________. 答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.题型一 利用导数求函数的极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (2022·广州模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．函数f (x )有极大值f (－3)和f (3)B ．函数f (x )有极小值f (－3)和f (3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)答案 D解析由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．命题点2求已知函数的极值例2已知函数f(x)＝x－1＋ae x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解(1)因为f(x)＝x－1＋ae x，所以f′(x)＝1－ae x，又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－ae1＝0，所以a＝e.(2)由(1)知f′(x)＝1－ae x，当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值；当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，令f′(x)<0，则x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且f(ln a)＝ln a，但是无极大值，综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6答案 A 解析 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3， 检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.(2)(2022·南京模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )在区间(0，＋∞)上有两个极值，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，e)B.⎝⎛⎭⎫0，1eC.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －a＝ln x ＋1－2ax ，由题意知ln x ＋1－2ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，2a ＝ln x ＋1x， 设g (x )＝ln x ＋1x， 则g ′(x )＝1－(ln x ＋1)x 2＝－ln x x 2.当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，所以g (x )的极大值为g (1)＝1，又当x >1时，g (x )>0，当x →＋∞时，g (x )→0，当x →0时，g (x )→－∞，所以0<2a <1，即0<a <12. 教师备选 1．(2022·榆林模拟)设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1B.m ＋1m －1C.1－m m ＋1D.m ＋11－m 答案 B解析 由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0，得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m， 故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 2．已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( )A ．1≤b <aB ．b <a ≤1C ．a <1≤bD ．a <b ≤1 答案 B解析 令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析．对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意． 思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1 (1)(2022·长沙模拟)若x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极大值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 答案 C解析 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，故可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]，因为x ＝1是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，故可得f ′(1)＝0，即2a ＋2＝0，解得a ＝－1.此时f ′(x )＝e x －1(x 2＋x －2)＝e x －1(x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1，由f ′(x )>0可得x <－2或x >1；由f ′(x )<0可得－2<x <1，所以f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的极大值点为x ＝－2.则f (x )的极大值为f (－2)＝(4＋2－1)e －3＝5e －3.(2)(2022·芜湖模拟)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫52，103B.⎣⎡⎭⎫52，103C.⎝⎛⎦⎤52，103D.⎣⎡⎦⎤2，103 答案 B解析 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)， ∴f ′(x )＝1x＋x －a ， ∵函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点， ∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x＋x . 设g (x )＝1x ＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.题型二 利用导数求函数最值例4 已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．解 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1； ②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e. 综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.教师备选已知函数f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最大值M ，且M >a －4，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝ln x －ax －2(a ≠0)可得f ′(x )＝1x－a ， 当a <0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以当x ＝1a时，f (x )取得最大值， 即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a ×1a－2 ＝ln 1a－3＝－ln a －3， 因此有－ln a －3>a －4，得ln a ＋a －1<0，设g (a )＝ln a ＋a －1，则g ′(a )＝1a＋1>0， 所以g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以g (a )<g (1)，得0<a <1，故实数a 的取值范围是(0,1)．思维升华 (1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．(2)若所给的闭区间[a ，b ]含参数，则需对函数f (x )求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．跟踪训练2 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.解 (1)∵蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，∴蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．由题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π，∴h ＝15r (300－4r 2)．从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0，可得0<r <5 3.故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)， 故V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上单调递增；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上单调递减．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．课时精练1．若函数f (x )＝x 2＋2xe x 的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则a ＋b 等于() A ．－4 B. 2C ．0D ．2答案 C解析 f ′(x )＝2－x 2e x ，当－2<x <2时，f ′(x )>0；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 2＋2x ex 的极大值点与极小值点分别为2，－2， 则a ＝2，b ＝－2，所以a ＋b ＝0.2．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A ．f (x )在[－2，－1]上单调递增B ．当x ＝3时，f (x )取得最小值C ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值D ．f (x )在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减答案 D解析 根据题图知，当x ∈(－2，－1)，x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(－1,2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以y ＝f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，故选项A 不正确，选项D 正确；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，选项C 不正确；当x ＝3时，f (x )不是取得最小值，选项B 不正确．3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 2 答案 B解析 由题意得，f ′(x )＝2x＋2ax －3， ∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12， ∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ， f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x ，∴f (x )在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52. 4．(2022·重庆联考)函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π]上的最大值为( )A ．π－2B.π6 C ．2D.π6＋ 3 答案 D解析 由题意得，f ′(x )＝1－2sin x ，∴当0≤sin x ≤12，即x 在⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤5π6，π上时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； 当12<sin x ≤1，即x 在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3，有极小值f ⎝⎛⎭⎫5π6＝5π6－3，而端点值f (0)＝2，f (π)＝π－2，则f ⎝⎛⎭⎫π6>f (0)>f (π)>f ⎝⎛⎭⎫5π6， ∴f (x )在[0，π]上的最大值为π6＋ 3. 5．(多选)已知x ＝1和x ＝3是函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ＋k (a ，b ∈R )的两个极值点，且函数f (x )有且仅有两个不同零点，则k 值为( )A ．－43B.43 C ．－1D ．0 答案 BD解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意1,3是f ′(x )＝0的两个根， 所以⎩⎨⎧ 1＋3＝－2b 3a ，1×3＝－33a，解得a ＝－13，b ＝2. 故f (x )＝－13x 3＋2x 2－3x ＋k . 易求得函数f (x )的极大值为f (3)＝k 和极小值为f (1)＝－43＋k .要使函数f (x )有两个零点，则f (x )极大值k ＝0或f (x )极小值－43＋k ＝0， 所以k ＝0或k ＝43. 6．(多选)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点答案 BD解析 因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，所以f (x )是非奇非偶函数，故A 错误；因为f (x )＝x ＋sin x －x cos x ，所以f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ，当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确；显然f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x， 分别作出y ＝sin x ，y ＝－1x在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f (x )＝________.答案 sin x (答案不唯一)解析 正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在极值．8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________．答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ， 所以f ′(x )＝2－2x ＝2(x －1)x，当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x 在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1.综上，f (x )min ＝1. 9．已知函数f (x )＝ln x －2x －2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2(a ∈R )，若x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2≥0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立， 当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为g (x )＝f (x )－4＋a x ＋1＋2＝ln x －a x ＋1， 所以g ′(x )＝1x ＋a (x ＋1)2＝x 2＋(2＋a )x ＋1x (x ＋1)2(x >0)． 由题意知x 1，x 2是方程g ′(x )＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．令h (x )＝x 2＋(2＋a )x ＋1，又h (0)＝1>0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧－2－a >0，Δ＝(2＋a )2－4>0，解得a <－4，即实数a 的取值范围为(－∞，－4)． 10．(2022·珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，其中e 为自然对数的底数．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求f (x )的单调区间和最大值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )的最大值是－3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，x ∈(0，e]，∴f ′(x )＝1－ax x， 由f ′(1)＝0，得a ＝1.∴f ′(x )＝1－x x， ∴x ∈(0,1)，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；f (x )的极大值为f (1)＝－1，也即f (x )的最大值为f (1)＝－1.(2)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ， ①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－axx ＝0，得x ＝1a ，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ，又f (x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2；当e ≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e ，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 2.11．若函数f (x )＝(x 2－a )e x 的两个极值点之积为－3，则f (x )的极大值为() A.6e 3 B ．－2eC ．－2e D.4e 2答案 A解析 因为f (x )＝(x 2－a )e x ，所以f ′(x )＝(x 2＋2x －a )e x ，由f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，得x2＋2x－a＝0，由函数f(x)＝(x2－a)e x的两个极值点之积为－3，则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，所以f(x)＝(x2－3)e x，f′(x)＝(x2＋2x－3)e x，当x<－3或x>1时，f′(x)>0；当－3<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－3)＝6 e3.12．函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对答案 C解析函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出0<x<4，此时函数单调递减，由f′(x)>0，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，则f(0)＝b＝3，则f(x)＝ax3－6ax2＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，则f(－1)>f(2)，即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，计算得出a＝2，b＝3.13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则() A．a<b B．a>bC．ab<a2D．ab>a2答案 D解析当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .图2综上，可知必有ab >a 2成立．14．(2022·河南多校联考)已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x ＋2，若f (x 1)＝g (x 2)，则x 1－x 2的最小值为______．答案 4－2ln 2解析 设f (x 1)＝g (x 2)＝t ，即2ln x 1＝t ，x 2＋2＝t ，解得x 1＝2e t ，x 2＝t －2，所以x 1－x 2＝2e t －t ＋2，令h (t )＝2e t －t ＋2，则h ′(t )＝21e 2t －1， 令h ′(t )＝0，解得t ＝2ln 2，当t <2ln 2时，h ′(t )<0，当t >2ln 2时，h ′(t )>0，所以h (t )在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，所以h (t )的最小值为h (2ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，所以x 1－x 2的最小值为4－2ln 2.15．(多选)已知函数f (x )＝x ln x ＋x 2，x 0是函数f (x )的极值点，以下几个结论中正确的是( )A ．0<x 0<1eB ．x 0>1eC ．f (x 0)＋2x 0<0D ．f (x 0)＋2x 0>0答案 AD解析 函数f (x )＝x ln x ＋x 2(x >0)，∴f ′(x )＝ln x ＋1＋2x ，∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，即ln x 0＋1＋2x 0＝0，∴f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝2e >0，当x >1e时，f ′(x )>0， ∵当x →0时，f ′(x )→－∞，∴0<x 0<1e，即A 正确，B 不正确； f (x 0)＋2x 0＝x 0ln x 0＋x 20＋2x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋2)＝x 0(1－x 0)>0，即D 正确，C 不正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x，x >0， 一元二次方程2x 2－2x ＋a ＝0的Δ＝4(1－2a )，①当a ≥12时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当0<a <12时，令f ′(x )＝0， 得x 1＝1－1－2a 2>0，x 2＝1＋1－2a 2>0， 所以当0<x <1－1－2a 2时， f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当1－1－2a 2<x <1＋1－2a 2时， f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1＋1－2a 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上所述，当a ≥12时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当0<a <12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞. (2)由(1)知，0<a <12，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a 2，则0<x 1<12<x 2， 由f (x 1)≥mx 2恒成立，得x 21－2x 1＋a ln x 1≥mx 2，即(1－x 2)2－2(1－x 2)＋2(1－x 2)x 2ln(1－x 2)≥mx 2，即m ≤x 2－1x 2＋2(1－x 2)ln(1－x 2)， 记h (x )＝x －1x＋2(1－x )ln(1－x )， 1>x >12， 则h ′(x )＝1x 2－2ln(1－x )－1>0⎝⎛⎭⎫1>x >12， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，h ⎝⎛⎭⎫12＝－32－ln 2， 故m ≤－32－ln 2.。
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
专题3-2 函数的单调性与最值 (新教材新高考)学生版-新高考数学一轮复习配套练习
专题3.2函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f (x )=1,01,0x x x x +≥⎧⎨-<⎩在R 上（）A ．是减函数B ．是增函数C ．先减后增D ．先增后减2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则（）A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2+a )<f (a )D ．f (a 2+1)<f (a )4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（）A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（）A ．(5,2)(0,)--+∞B ．(,5)(0,1)-∞-C ．(3,0)(3,)-⋃+∞D ．(5,0)(1,)-+∞ 6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（）A ．是奇函数，()0,+¥单调递增B ．是奇函数，()0,+¥单调递减C ．是偶函数，()0,+¥单调递减D ．是偶函数，()0,+¥单调递增7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-，D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（）A ．()1,2B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,32．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（）A ．p 和q 都是真命题B ．p 和q 都是假命题C ．p 是真命题，q 是假命题D ．p 是假命题，q 是真命题3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（）A ．(][),10,-∞-+∞ B ．()1,1-C．(D．(11---+4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（）A ．()f x 在定义域内单调递减B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义城内有两个零点D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（）A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（）A ．1212()()f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()f x f x x x -<-7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数；（2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ，则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（）A ．2()f x x =；B ．1()f x x=；C ．1()f x x x=+；D ．23()1x f x x =+．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围为______．10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （）A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．12y x =B．y =2x-C．12log y x=D．1y x=3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A．(]1-∞-，B．()0+∞，C．()10-，D．()0-∞，4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（）A.(,2)-∞-B.(,1)-∞- C.(1,)+∞ D.(4,)+∞6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．。
高中数学第一轮复习专题基础复习第14节极值与最值专题专项练习
第14节 极值与最值考点1 极值与最值1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求函数的极值的三个基本步骤 ①求导数()f x '；②求方程()0f x '=的所有实数根；③检验()f x '在方程()0f x '=的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正）（注意数形结合分析），则()f x 在这个根处取得极大（小）值． 2．最值的判断法则函数()y f x =最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()f x 最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．间隔最值定理 导函数为21212()()()()f x ax bx c a x x x x m x x n =++=--<<< （1）当0a >时，最大值是1()f x 与()f n 中的最大者；最小值是2()f x 与()f m 中的最小者． （2）当0a <时，最大值是2()f x 与()f m 中的最大者；最小值是1()f x 与()f n 中的最小者．一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）； （2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．考点一 极值与最值【例1】（2020•平邑县期中）已知函数)(x f 的定义域为R 且导函数为)(x f '，如图是函数)(x f x y '⋅=的图 象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数)(x f 的减区间是)02(，-，)2(∞+，B ．函数)(x f 的减区间是)2(--∞，，)2(∞+，C ．2-=x 是函数的极小值点D ．2=x 是函数的极小值点【例2】（2019•运城期末）函数2()ln f x x x =-的极值点是 ．【例3】（2020•运城期末）函数1()sin sin33f x a x x =+在3x π=处有极值，则a 的值是 ．【例4】(2020•天津) 已知函数)(ln )(3R k x k x x f ∈+=，)(x f '为)(x f 的导函数． (1) 当6=k 时，(ⅰ)求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线方程； (ⅰ)求函数xx f x f x g 9)()()(+'-=的单调区间和极值；【例5】（2017•北京）已知函数()cos x f x e x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．【解题总结】1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程()0f x '=根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越x 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．【训练1】（2021·湖南月考）若1=x 是函数x a a x a x x f )3()1(31)(223-+-++=的极值点，则a 为（ ）A ．2-B ．3C ．2-或3D ．3-或2【训练2】（2020•吉林月考）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象为( )A ．B ．C ．D ．【训练3】（2021•广东期末）函数2()2x f x x e -=⋅的极大值为 ．【训练4】（2021•河东期末）若函数321()53f x x ax x =-+-无极值点，则实数a 的取值范围是 ．【训练5】（2018•新课标Ⅰ）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是 ．考点2 恒能分问题 1.恒成立与能成立问题恒成立：对定义域D 内的任意实数，方程或不等式都成立．能成立：定义域内存在某个或某些实数，使得方程或不等式能够成立，即存在性问题． 这里，我们将这两类问题按着变量是否统一作了一个分类： 统一变量的恒成立与能成立问题类型一 （1）()y f x =满足x D ∀∈，()f x m >恒成立，则在区间D 上min ()f x m >（2）()y f x =满足x D ∀∈，()f x m <恒成立，则在区间D 上max ()f x m <类型二 （3）()y f x =满足x D ∃∈，()f x m >能成立，则等价于在区间D 上max ()f x m >（4）()y f x =满足x D ∃∈，()f x m <能成立，则等价于在区间D 上min ()f x m <类型三 （5）()y f x =，()y g x =满足x D ∀∈，()()f x g x >恒成立，则在区间D 上min [()()]0f x g x ->（6）()y f x =，()y g x =满足x D ∃∈，()()f x g x >能成立，则在区间D 上max [()()]0f x g x ->类型四 不同变量的恒成立问题（7）()y f x =满足1x ∀，2x D ∈，12|()()|f x f x m -<恒成立，则在区间D 上max min ()()f x f x m -< （8）()y f x =，()y g x =满足1x D ∈，2x D ∈，12()()f x g x >恒成立，则在各自区间上min max ()()f x g x >； 类型五 不同变量的能成立问题（9）()y f x =，()y g x =满足1x ∃，2x D ∈，12()()f x g x >能成立，则在各自区间上max min ()()f x g x >； （10）()y f x =，()y g x =满足若1x D ∃∈，总2x D ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则在区间D 上两个函数值域交集不为∅；类型六 不同变量的恒能成立，即∀、∃共存问题（11）()y f x =，()y g x =满足11x D ∀∈，总22x D ∃∈，使得12()()f x g x >能成立，则在区间D 上min min ()()f x g x >；（12）()y f x =，()y g x =满足11x D ∃∈，总22x D ∀∈，使得12()()f x g x >能成立，则在区间D 上max max ()()f x g x >；（13）()y f x =，()y g x =满足若11x D ∀∈，总22x D ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则在区间D 上min minmax max ()()()()f x g x f x g x ≥⎧⎨≤⎩； 【例7】（2020•重庆模拟）若函数ax x xx f ++=2cos 222sin )(存在递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1≥a B ．5≥aC ．1<aD ．5<a【例8】（2020•江西期中）已知函数)10(ln )6sin(2)(≠>-+=a a a x x a x f x ，π，对任意]10[21，，∈x x ，不等式12()()|2|f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．2e B ．eC ．3D ．22.参变分离问题分离变量法构造函数解决恒成立问题在导函数为非一次函数或二次函数的题目中，涉及一些恒单调递增（递减）或者是极值分布的问题，可以通过分离变量法，构造成()a F x ≥，或者()a F x ≤的形势，再对()F x 求导，求出在这个区间的极值（最值）．【例9】（2020•安徽月考）若函数x b x x x f ln 4)(2++-=在区间)0(∞+，上是减函数，则实数b 的取值范 围是（ ） A ．]2(--∞， B ．)2(--∞，C ．)2(∞+-，D ．)2[∞+-，【例10】(2020•东阳期末)已知不等式022<+-kx e e x x 在)0[∞+，上无解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．)21[∞+，B ．)21[∞+-，C ．)21(∞+，D ．)21(，-∞【例11】若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在()-∞+∞，单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[1-，1]B ．[1-，1]3C ．1[3-，1]3D ．[1-，1]3-【解题总结】1．恒能问题要注意是单一变量还是双变量，也要清楚求不同函数的最大还是最小值．2．当恒能问题中的函数结构并不是很复杂时，此法应用较多．对题中给定的函数，直接求导，通过对参 数的分类讨论，确定函数的单调性从而得到极值点，从而求出参数取值范围，其关键是讨论单调性的过程，常用手段为因式分解法、求根公式法以及观察法；如果无法求出零点，可以利用零点存在定理讨论，进而研究原函数的单调性，此时，可能会涉及到隐零点．【训练1】（2020•咸阳模拟）已知函数)(ln 2)1()(R a x x x a x f ∈--=，x a x g -=)(，若至少存在一个]1[0e x ，∈，使)()(00x g x f >成立，则实数a 的范围为（ ）A ．)2[∞+，eB ．)0(∞+，C ．)0[∞+，D ．)2(∞+，e【训练2】（2020•天心月考）已知函数2)25(12ln )(2-++-=x m x xx f ，122)(1-⋅=+x x m x g ．若对任意的]121[21，，∈x x ，不等式)()(21x g x f <恒成立，则正数m 的取值范围是（ ）A ．)2ln 10(-，B ．)85ln 220(+，C ．)2(ln ∞+，D ．)4385(ln ∞++，【训练3】（2020•上饶期末）x x kx x f ln 21)(2-=在]0(e ，上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．]2(e ，-∞B ．]1(，-∞C ．)1[∞+，D ．)2[∞+，e考点3 同构式的应用 1.同构函数比大小【例1】（2014•山东）已知实数x 满足y x a a <)10(<<a ，则下列关系式中恒成立的是（ ） A ．111122+>+y x B ．)1ln()1ln(22+>+y xC ．22y x >D ．33y x >【例2】（2020•新课标I ）若b a b a 42log 24log 2+=+，则（ ） A ．b a 2> B ．b a 2<C ．2b a >D ．2b a <【例3】（2005•全国卷Ⅲ）若33ln =a ，44ln =b ，55ln =c ，则a ，b ，c 的大小关系为 ．【解题总结】1．比较大小问题注意构造对称统一形式，利用同构函数的单调性求解问题． 2．注意定义域问题，比较大小要保证在同一个单调区间． 【训练1】（2020•新课标II ）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+< C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【训练2】（2021•蚌埠三模）若14log log 2222++-=+-b b b a a a ，则（ ） A ．2a b >B ．2a b <C ．21a b >+D ．21b a <+【训练3】（2017•新课标Ⅰ）设x ，y ，z 为正数，且zy x 532==，则（ ）A ．z y x 532<<B ．y x z 325<<C ．x z y 253<<D ．z x y 523<<2.指对同构篇同构可以帮助我们大大简化分析和计算．指对同构式需要一个构造一个母函数，即外函数，用()F x 表示，这个母函数需要满足：①指对跨阶；②单调性和最值易求．此外，我们尤其要注意——“内值外定”问题，即内层函数的值域范围为外层函数定义域的子集，而在同构这里我们需要满足的则是外层函数单调区间的子集，这样才能比较内层大小．【例1】（2020•武邑期中）设实数0λ>，若对任意的(0)x ∈+∞，，不等式ln 0x xe λλ-≥恒成立，则λ的取值范围是 ．【例2】（2021•江西月考）已知函数13l (n )2()mxf x x x m x e -=--，当x e ≥时，()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(4]e -∞， B ．(3]e -∞，C ．(2]e -∞，D ．3(]2e -∞，【例3】 （2021•T8联考）函数)0(22ln )(>-++=a x aae x f x ，若0)(>x f 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．【例4】（2020•新高考）已知函数1()ln ln x f x ae x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围．【解题总结】1．同构函数单调区间和最值易求．2．注意“內值外定”，避免大题交待不清楚扣分．【训练1】（2021•湖北八市）设实数0>t ，不等式0ln 2ln 2≥+-tx e tx 对0>x 恒成立，则t 范围为（ ）A ．1[)2e +∞， B ．1[)e +∞，C ．1(0)e ，D ．1(0]2e，【训练2】（2021•岳阳二模）设实数0a >，若对任意的[e )x ∈+∞，，不等式2e ln 0axa x x -≤恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．1eB ．2eC ．e 2D ．e【训练3】（2021•廊坊月考）已知函数x e x f x ln 2)(-=λ． （1）当2=λ时，求)(x f 的图象在1=x 处的切线方程； （2）当1=λ时，判断)(x f 的零点个数并说明理由； （3）若x x x f λ-≥2)(恒成立，求λ的取值范围．3.指对同构篇朗博函数指的是形如n x x e ⋅或x ae 类型的函数，我们可以将这类函数进行“改头换面”处理，比如ln ln ln xx x xx a xx x e x e eae ee x++-⋅===，，；关于朗博函数我们统一往母函数()1x f x e x =--同构，相信大家都知道+1x e x ≥这个基本切线不等式，即()0f x ≥恒成立，当且仅当0x =时等号成立． 【例10】（2021•江苏期末）函数ln xf x xe x x 的最小值为 ．【例11】（2021•镇海模拟）若0>x 时，恒有01ln 2)3(32≥--+-x x k e x x 成立，则实数k 的取值范围 是 ．【例12】（2020•云南师大附中）已知函数x e x x f ⋅=)(，x x x g ln )(+=．（1）令)()()(x eg x f x h -=，求)(x h 的最小值；（2）若1)2()()(+-≥-x b x g x f 恒成立，求b 的取值范围．【解题总结】1．注意朗博同构的变形．2．注意大题需要找矛盾点验证充要性．【训练1】（2021•湘豫名校联考）不等式1ln 3+≥--x x a e x x 对任意的)1(∞+∈，x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]1(e --∞，B ．]2(2e --∞，C ．]2(--∞，D ．]3(--∞，【训练2】（2020•山东月考）已知函数1ln )(++=mx x x f ，)1()(-⋅=x e x x g ． （1）若)(x f 的最大值是0，求函数)(x f 的图象在e x =处的切线方程； （2）若对于定义域内任意x ，)()(x g x f ≤恒成立，求m 的取值范围．4.高考同构篇【例1】（2020•山东新高考）已知函数a x ae x f x ln ln )(1+-=-． （2）若1)(≥x f ，求a 的取值范围．【例2】(2018•新课标ⅰ)已知函数1ln )(--=x ae x f x ． （1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【解题总结】1．注意同构函数取等一致问题． 2．需要求导说明函数的单调性及最值．【训练1】（2015•新课标Ⅰ）设函数x a e x f x ln )(2-=． （1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数； （2）证明：当0a >时，aa a x f 2ln 2)(+≥．【训练2】（2014•全国卷I ）函数x be x ae x f x x1ln )(-+=在点))1(1(f ，处的切线方程为2)1(+-=x e y ． （1）求b a ，； （2）证明：1)(>x f ．【训练3】（2013•新课标Ⅱ）已知函数)ln()(m x e x f x +-=．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（2）当2m ≤时，证明()0f x >．考点4 分而治之的应用1.高人一等型若0)(>x F 对D x ∈恒成立，且)()()(x g x f x F -=，我们可以转化为)()(x g x f >，通过分别求出两个函数的最值，当min max ()()f x g x >时一定成立，我们称之为高人一等，如图所示；2.错位PS 型若0)(>x F 对D x ∈恒成立，且)()()(x g x f x F -=，我们可以转化为)()(x g x f >，通过分别求出两个函数的最值，当)()(1m in x f x f =)()(2m ax x g x g =≥，21x x ≠时不等式一定成立，我们称之为错位PS ，如图所示． 通常我们将)(x f 叫做上函数，)(x g 叫做下函数．3.亲密接触型若0)(≥x F 对D x ∈恒成立，且)()()(x g x f x F -=，我们可以转化为)()(x g x f ≥，通过分别求出两个函数的最值，当max min )()(x g x f ≥，且)()()()(0max 0min x g x g x f x f ===时一定成立，我们称之为亲密接触，如图所示．【例1】（2021•四川宜宾二诊）已知函数xx a x f ln )(-=. （1）若)(x f 在1=x 处取得极值，求实数a 的值；（2）讨论)(x f 在)10(，上的单调性；（3）证明：在)1(的条件下0)(>+x xe x f .【例2】（2014•新课标ⅰ）设函数1()ln x xbe f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点(0))(1f ，处得切线方程为(1)2y e x =-+．（1）求a 和b 的值；（2）证明：()1f x >．【例3】（2018•新课标ⅰ）已知函数()ln 1x f x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求实数a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【例4】（2019•新课标ⅰ）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．（1）证明：()f x '在区间(0)π，存在唯一零点；（2）若[0]x π∈，时，()f x ax ≥，求a 的取值范围．【解题总结】1．注意上下函数的选取，即上函数最小值与下函数最大值比较．2．注意等号，有等号往往是构造亲密接触模型，无等号往往是高人一等或错位PS 模型．【训练1】（2021•安徽十校联考）已知函数()1(1)ln f x a x x =+++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0x >，求证：221(1)()xe a xf x xe+++>．【训练2】（2020•成都三诊）已知函数m x ae x f -=)(，其中R m a ∈，.（1）当1==m a 时，设x x f x g ln )()(-=，求函数)(x g 的单调区间；（2）当24==m a ，时，证明：)ln 1()(x x x f +>.【训练3】（2020•全国联考）已知函数)x-+=.ef x∈(1)(Rbbx（1）讨论函数的单调性；（2）若函数x(=有两个实根，求实数b的取值范围.)f lnx。
掌握函数的极值与最值练习题
掌握函数的极值与最值练习题在数学中，函数的极值与最值是一个非常重要的概念。
掌握函数的极值与最值对于解决许多实际问题、优化设计以及理解数学理论都有着至关重要的作用。
本文将给大家提供一些函数的极值与最值的练习题，以帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 已知函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4，求函数 f(x) 的极值点。
解：首先，我们需要求解函数 f(x) 的导数 f'(x)：f'(x) = 6x^2 - 6x - 12.将 f'(x) 置为零，我们可以解得：6x^2 - 6x - 12 = 0,x^2 - x - 2 = 0,(x - 2)(x + 1) = 0.从中我们得到两个解：x = 2 和 x = -1.接下来，我们需要判断这两个解对应的是极大值还是极小值。
为此，我们可以观察二次项系数的正负情况。
由于二次项系数为正，即6x^2，所以这个二次函数开口朝上，即曲线在极小值点时取得最小值。
因此，函数 f(x) 的极值点为极小值点，分别是 x = 2 和 x = -1。
2. 已知函数 g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3，求函数 g(x) 的最值。
解：首先，我们需要求解函数 g(x) 的导数 g'(x)：g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x.我们需要找到导数为零的点，即求解方程：4x^3 - 12x^2 + 8x = 0,x(4x^2 - 12x + 8) = 0.再进一步化简，我们可以得到：x(x^2 - 3x + 2) = 0.通过因式分解，我们可以求解得到三个解：x = 0，x = 1 和 x = 2.接下来，我们需要判断这三个解对应的是极大值还是极小值。
同样，观察三次项系数的正负情况。
由于三次项系数为正，即 4x^3，所以这个三次函数开口朝上，即曲线在极小值点时取得最小值。
因此，函数 g(x) 的最小值对应的 x 值为 x = 2，即 g(2) = 2^4 - 4 *2^3 + 4 * 2^2 + 3 = 7.综上所述，函数 g(x) 的最小值为 7.通过以上两个练习题，我们可以看出，找到函数的极值与最值需要通过导数来解决。
函数的极值、最值复习练习高三数学二轮复习
函数的极值、最值一、单项选择题1．下列函数中，不存在极值的是()A．y＝x＋1x B．y＝x exC．y＝x ln x D．y＝－2x3－x2．下列关于函数f(x)＝(3－x2)e x的结论，正确的是()A．f(－3)是极大值，f(1)是极小值B．f(x)没有最大值，也没有最小值C．f(x)有最大值，没有最小值D．f(x)有最小值，没有最大值3．已知函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20 B．18 C．3 D．04．(2022·南充检测)已知函数f(x)＝x3－3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n等于()A．2 B．7 C．2或7 D．3或95．(2022·晋中模拟)已知函数f(x)＝2x ln x＋x2－ax＋3(a>0)，若f(x)≥0恒成立，则a的取值范围为()A．[4，＋∞) B．(4，＋∞)C．(0,4) D．(0,4]6．(2022·昆明模拟)若函数f(x)＝x2－4x＋a ln x有两个极值点，设这两个极值点为x1，x2，且x1<x2，则()A．x1∈(1,2) B．a>2C．f(x1)<－3 D．f(x1)>－3二、多项选择题7．(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则() A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线8．(2022·河北名校联盟调研)若存在正实数m，n，使得等式4m ＋a(n－3e2m)·(ln n－ln m)＝0成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是()A．－1e B.1e3 C.1e2D．2三、填空题9．函数f(x)＝x－ln|x|的极值点为________．10．已知函数f(x)＝x ln x－x＋2a＋2，若函数y＝f(x)与y＝f(f(x))有相同的值域，则实数a的取值范围是________．11．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．12．(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2a x－e x2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是________．四、解答题13．(2022·西安交大附中模拟)已知函数f(x)＝x3－3ax＋a(a∈R)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)求函数f (x )在区间[0,3]上的最大值与最小值之差g (a )．14.(2022·许昌模拟)已知函数f (x )＝cos x －1e x .(1)求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)证明：函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上存在唯一的极大值点x 0. (参考数据：7<e 2<8，e 3>16，4π1e 2-<)答案：1．D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D 7．AC 8．ACD9．1 10.(－∞，0] 11.1 12.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 13．解 (1)因为f (x )＝x 3－3ax ＋a (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )．①当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增；②当a >0时，x ∈(－∞，－a )∪(a ，＋∞)时，f ′(x )>0； x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0；故f (x )在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上单调递增，在(－a ，a )上单调递减．(2)由(1)可知：①当a ≤0时，f (x )在[0,3]上单调递增，g (a )＝f (3)－f (0)＝27－9a ； ②当a ≥3，即a ≥9时，f (x )在[0,3]上单调递减，g (a )＝f (0)－f (3)＝9a －27；③当0<a <3，即0<a <9时，f (x )在[0，a )上单调递减，在(a ，3]上单调递增，于是f (x )min ＝f (a )＝－2a a ＋a ，又f (0)＝a ，f (3)＝27－8a .故当0<a <3时，g (a )＝27－9a ＋2a a ；当3≤a <9时，g (a )＝2a a ，综上可得，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 27－9a ，a ≤0，27－9a ＋2a a ，0<a <3，2a a ，3≤a <9，9a －27，a ≥9.14．(1)解 因为f (x )＝cos x －1e x ，在x ＝0处的切点为(0,0)，求导得f ′(x )＝－sin x ＋1e x ，所以切线斜率为f ′(0)＝1，所以函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x .(2)证明 因为f (x )＝cos x －1e x ，所以f ′(x )＝－sin x ＋1e x ，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4时， 函数y 1＝－sin x ，y 2＝1e x 均单调递减，所以f ′(x )＝－sin x ＋1e x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上单调递减，因为e 2<8， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝23π611e e 22---<- ＝13e 2－12>138－12＝0， 因为4π1e ,2-< 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝π4e -－22<12－22<0，根据零点存在定理可得，f ′(x )存在唯一零点x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4， 使得f ′(x 0)＝0e x －－sin x 0＝0，又y ＝f ′(x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上单调递减， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，x 0时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π4时，f ′(x )<0， 所以x 0是函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4上唯一的极大值点．。
高中数学《函数的极值》知识点讲解及重点练习
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一 函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二 函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．1．导数为0的点一定是极值点．( × )2．函数的极大值一定大于极小值．( × )3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．( × )4．函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( √ )一、求函数的极值例1 求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5；(2)f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．解 (1)f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，即3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－1时，函数y ＝f (x )有极大值，且f (－1)＝10；当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值，且f (3)＝－22.(2) f (x )＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0，知①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况．跟踪训练1 (1)求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解 函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f ′(x )－0＋0－f (x )↘极小值↗极大值↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1.(2)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋1，a ∈R .求此函数的极值．解 函数的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝1－ax 2＝x 2－ax2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时函数f (x )在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值．当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－a )－a (－a ，0)(0，a )a (a ，＋∞)f ′(x )＋0－－0＋f (x )↗极大值↘↘极小值↗由上表可知，当x ＝－a 时，函数取得极大值f (－a )＝－2a ＋1.当x ＝a 时，函数取得极小值f (a )＝2a ＋1.综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝－a 处取得极大值－2a ＋1，在x ＝a 处取得极小值2a ＋1.二、由极值求参数的值或取值范围例2 (1)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＝________，b ＝________.答案 4 －11解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得Error!即Error!解得Error!或Error!但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以Error!不符合题意，应舍去．而当a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.(2)已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．解 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6.因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以Error!解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．反思感悟 已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝22处取得极值，则实数a 的值为( )A.2B.22C ．2 D.12答案 A解析 因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(22)＝0，即a －122＝0，解得a ＝2.(2)已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1.①若函数的极大值点是－1，求a 的值；②若函数f (x )有一正一负两个极值点，求a 的取值范围．解 ①f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得，f ′(－1)＝1＋2＋a ＝0，解得a ＝－3，则f ′(x )＝x 2－2x －3，经验证可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值，故a ＝－3.②由题意得，方程x 2－2x ＋a ＝0有一正一负两个根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝a <0，故a 的取值范围是(－∞，0)．三、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题例3 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13 f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，23)23(23，4)4(4，＋∞)g ′(x )＋0－0＋g (x )↗极大值↘极小值↗则函数g (x )的极大值为g (23)＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .由g (x )的图象与x 轴有三个不同的交点，得Error!解得－16<m <6827.∴实数m 的取值范围为(－16，6827).反思感悟 (1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．跟踪训练3 若函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－43，283)解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－43<a <283.1．(多选)函数f (x )的定义域为R ，它的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( )A．在(1,2)上函数f(x)单调递增B．在(3,4)上函数f(x)单调递减C．在(1,3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点答案 ABC解析 由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当2＜x＜4时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当4＜x＜5时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．2．(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)答案 AB解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.3．设函数f(x)＝x e x，则( )A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案 D解析 令f′(x)＝e x＋x·e x＝(1＋x)e x＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故x＝－1为f(x)的极小值点．4．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．答案 2解析 由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.列表如下：x (－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝2时，f (x )取得极小值．5．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＝___________，b ＝________.答案 2 －4解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知Error!即Error!解得Error!经验证知符合题意．1．知识清单：(1)函数极值的定义．(2)函数极值的判定及求法．(3)函数极值的应用．2．方法归纳：方程思想、分类讨论．3．常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．1．下列函数中存在极值的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝2D ．y ＝x 3答案 B解析 对于y ＝x －e x ，y ′＝1－e x ，令y ′＝0，得x ＝0.在区间(－∞，0)上，y ′>0；在区间(0，＋∞)上，y ′<0.故当x ＝0时，函数y ＝x －e x 取得极大值．2．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A ．－e B ．－1C ．1－e D ．0答案 B解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.4．已知a 是函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( )A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.5．(多选)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的值可以是( )A ．－4 B ．－3 C ．6 D ．8答案 AD解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.6．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．答案 －12解析 f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1；令f ′(x )>0，得－2<x <1.所以f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增，所以f (x )极小值 ＝f (－2)＝－12.7．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________.答案 －23解析 因为f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得Error!所以a ＝－23.8．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝________，c ＝________.答案 －1 3解析 f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由Error!解得Error!或Error!若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值；若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，当－3<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求．9.设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32(x >0)．由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3，无极大值．10．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值 ↗∴f(x)的极大值是f (－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f (－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a－1>0，∴a<－527或a>1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )答案 C解析 因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x＜－2时，f(x)单调递减，即f ′(x )＜0；当x ＞－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )＞0.所以当x ＜－2时，y ＝xf ′(x )＞0；当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0；当－2＜x ＜0时，y ＝xf ′(x )＜0；当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；当x ＞0时，y ＝xf ′(x )＞0.结合选项中的图象知选C.12．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．答案 y ＝－1e解析 由题意知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为(－1，－1e )，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e.13．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．答案 [1,5)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根．又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13.∴应满足Error!∴Error!∴1≤a <5.14．若函数f (x )＝x 3－3ax ＋1在区间(0,1)内有极小值，则a 的取值范围为________．答案 (0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a .当a ≤0时，在区间 (0,1)上无极值．当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >a 或x <－a .令f ′(x )<0，解得－a <x <a .若f (x )在(0,1)内有极小值，则0<a <1.15．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，且f (x )在x ＝x 0与x ＝2处取得极值，则f (1)＋f (－1)的值一定( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．小于或等于0答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .令f ′(x )＝0，则x 0和2是该方程的根．∴x 0＋2＝－2b 3a <0，即b a>0.由题图知，f ′(x )<0的解集为(x 0,2)，∴3a >0，则b >0，∵f (1)＋f (－1)＝2b ，∴f (1)＋f (－1)>0.16．设函数f (x )＝x 33－(a ＋1)x 2＋4ax ＋b ，其中a ，b ∈R .(1)若函数f (x )在x ＝3处取得极小值12，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若函数f (x )在(－1,1)上只有一个极值点，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ，所以f ′(3)＝9－6(a ＋1)＋4a ＝0，得a ＝32.由f (3)＝13×27－52×9＋4×32×3＋b ＝12，解得b ＝－4.(2)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ＝(x －2a )(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2a 或x ＝2.当a >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，(2a ，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(2，＋∞)．(3)由题意可得Error!即Error!解得－12<a<12，所以实数a的取值范围是(－12，12).。
函数的极值与最值练习题.docx
函数的极值与最值练习题一、选择题I.下列说法正确的是A.⅛⅞∕倘户0时.则危0）为Jlr）的极大值8.当/ （Xn）=O时,则从3）为/U）的微小便C当/ （W旬时，则J IU）为.心）的极值D.当凡喻为函数HX）的极值Ilf （.哂存在时，则有f （.r ll）=09.下列四个函数,在尸0处取得极值的函数是Φy=F ②y=F+1 ③y=W ④产2'A©g） B.②® C.③④ D.φg）10函数严上T的极大值为l+x^A.3B.4C.2D.511函数J=F—3K的极大伯为砥微小值为",则m+n为A.0 Bl C.2 D.412>=ln:.t+21n.r+2 的微小值为A.e-B.0C.-l Dl13）=2√-3r+«的极大值为6,那么“等于A.6B.0C.5 Dl二、填空题14函数KV）=√*-3f+7的极大（ft为.8,曲线j=3√-5x,共有个极值.9.若函数产F+αP+bx+27在广一1时有极大俏，在户3时有微小值，则a= _____ b= _____ .10.g½>=2√-3√-12.r+5 fl：［0, 3］上的最小值是.H.函数AD=Sin2x-x在［- 9 ］上的最大值为：最小f⅛为__________12.在半径为K的圈内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______ 时，它的面枳呆人.三、解答也E已知函数/W=/+#+於+c,当X=-I时，取得极大值7：当x=3时,取得微小伯.求这个微小值及a、/，、C的值.14.设产"）为三次南数，FL图象关于原点对称,当尸;时，贸X）的微小值为- 1,求函数的解析式.15.己知x = 2是函数/(X)=(ΛJ+av-2a-3*的一个极侑点(^=2.718∙∙∙). (I)求实数〃的值：(ID求函数/(Λ)在K W弓.3］的描大值和W小值.16、已知三次函数Rx)=aχ3∙6aχ2+b.问是否存在实数a.b.使f(x)在［∙1,2∣上取得最大伯3, 般小值-29,若存在,求出&b的值:若不存在，请说明理由.。
高中数学选择性必修二 精讲精炼 5 函的极值与最大(小)值(精练)(无答案)
5.3.2 函数的极值与最大(小)值(精练)【题组一 极值(点)】1．(2021·全国高二课时练习)下列函数中存在极值的是( )A ．1y x =B ．e x y x =-C ．2y =D ．3y x =2．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A ．－eB ．1－eC ．－1D ．02．(2021·全国高二单元测试)已知函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在区间(,)a b 上的图象如图所示，则函数()f x 在区间(,)a b 上的极大值点的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．(2021·全国高二课时练习)设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．4．(2021·全国高二课前预习)函数321()363f x x x x =--+的极大值为________，极小值为________.5(2021·全国高二课时练习)求下列函数的极值：(1)()e x f x x -=；(2)()2221x g x x =-+．【题组二 已知极值(点)求参数】1．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a 处有极值，则ac ＋2b 的值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．32(2021·全国高二单元测试)函数321()213f x x ax x =+-+在()1,3x ∈内存在极值点，则( ) A ．7162a -≤≤ B ．7162a -<< C ．12a ≤-或12a ≥ D ．12a <或12a >3．(2021·安徽金安·六安一中高二月考(理))若0a >，0b >，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处取得极值，则ab 的最大值为( )A ．9B ．6C ．3D ．24．(2021·全国高二课时练习)已知函数2()()e ()x f x x mx m m R =--∈在0x =处取得极小值，则m =________，()f x 的极大值是_______.5．(2021·全国高二课时练习)若f (x )＝e x －kx 的极小值为0，则k ＝________．6．(2021·全国高二专题练习)若函数()331f x x ax =-+在区间()0,1内有极小值，则a 的取值范围为________．7．(2021·全国)若函数()2ln 21y x ax a x =+-+，0a >在1x =处取得极小值，则实数a 的取值范围是______．8．(2021·全国)已知函数()1ln x f x x +=在区间()2,03a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值，则实数a 的取值范围是______．9．(2021·全国)若函数()()3213532a f x x x a x =-+-++在定义域内无极值，则实数a 的取值范围为______．10(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________.11．(2021·全国高二课时练习)已知a 为实数，函数3()3f x x x a =-++.(1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？12．(2021·全国高二课时练习)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值.13．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，当实数a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值.14．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1.(1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.【题组三 最值】1．(2021·全国高二课时练习)函数()1f x x =，(]0,5x ∈的最小值为( )A ．2B ．3C ．174D ．122．(2021·全国高二课时练习)函数()()()212f x x x =--在[]0,3上的最小值为( ) A ．8-B ．4-C ．0D ．4273．(2021·全国高二课前预习)函数321()363f x x x x =--+在[]4,4-上的最大值为________，最小值为________.4．(2021·全国)求下列函数的最值：(1)32()362f x x x x =-+-，[]1,1x ∈-；(2)()241x f x x =+，2,2x ； (3)()1ln x f x x x -=+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．5．(2021·全国)求下列函数的最值：(1)()3232,[1,1]f x x x x =--∈-； (2)()241x f x x =+，[]2,2x ∈-； (3)()1ln x f x x x -=+，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦．【题组四 已知最值求参数】1．(2021·全国)若函数()32231,0e ,0ax x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩在[]22-,上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( ) A ．1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．10,ln 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],0-∞D ．1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1，1]，则f (m )的最小值为________.3(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝ln x ＋a x ，若函数f (x )在[1，e ]上的最小值是32，求a 的值．4(2021·全国高二课时练习)设函数()()212ln f x x k x =++.(1)若2k =-，求函数的递减区间；(2)当0k >时，记函数()()g x f x '=，求函数()g x 在区间(]0,2上的最小值．5．(2021·全国高二课时练习)已知函数32()39f x x x x c =--+，当x ∈[－2，6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．6．(2021·全国高二课时练习)已知h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1在区间[k ，2]上的最大值是28，求k 的取值范围．7．(2021·全国高二单元测试)已知函数()3212232a f x x x ax +=++. (1)当2a =时，求过坐标原点且与函数()f x 的图象相切的直线方程；(2)当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值.8．(2021·全国高二课时练习)函数()()()2ln 2f x x ax a x a =-+-∈R ，求函数()f x 在区间2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值．【题组五 极值最值综合运用 】1．(2021·临海市西湖双语实验学校)若不等式2ln ax x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2．(2021·福建省宁化第一中学高二期中)(多选)已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列选项中正确的是( )A ．1x =是函数()f x 的极值点B ．()f x 在区间(2,3)-上单调递减C ．函数()f x 在1x =-处取得极小值D ．()f x 的图象在0x =处的切线斜率小于零3．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数()'f x 的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________.4．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围.5．(2021·全国高二课时练习)已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =处都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求实数c 的取值范围．6．(2021·西藏日喀则区南木林高级中学高二期末(理))已知函数21()(1)ln 12f x x a x a x =-+++． (I)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；(II)求a 的范围，使得()1f x ≥恒成立．7．(2021·全国)设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，(1)若对任意的x ∈[0，3]，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围；(2)若对任意的x ∈(0，3)，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围．8．(2021·全国高二专题练习)设函数3()65f x x x =-+，x ∈R .(1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若函数()y f x =的图象与函数y a =的图象恰有三个不同的交点，求实数a 的取值范围．9(2021·全国高二专题练习)已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值．(1)求实数a 的值．(2)若关于x 的方程()0f x b +=的区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．。
函数的极值和最值(习题)
【巩固练习】1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是2.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 3.设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 4.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A （-1,1] B （0,1] C[1，+∞） D （0，+∞）5.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④6．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。
7．函数y=1+3x-x 3的极大值是_______，极小值是________。
8．函数f(x)=12x-x 3在区间[-3,3]上的最小值是_____ 。
9．函数f(x)=ln(1+x)-x 的最大值为________。
10．函数y=x+2cosx 在区间1[0,]2上的最大值是________ 。
11．已知函数f(x)=x 3-3ax 2-9a 2x(a ≠0)，求f(x)的极大值与极小值。
12．已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数，求a 的取值范围。
函数极值和最值计算练习题
函数极值和最值计算练习题在微积分中，函数的极值和最值是非常重要的概念。
通过求取函数的导数，我们可以找到函数的极值点以及取得最值的点。
在本文中，我们将通过几个练习题来帮助大家熟练掌握函数极值和最值的计算方法。
练习一：考虑函数f(x) = 3x^2 - 12x + 5。
1. 求函数f(x)的导数f'(x)。
2. 通过求解方程f'(x) = 0，找到函数f(x)的极值点。
3. 判断函数f(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值。
解答一：1. 函数f(x)的导数f'(x)为f'(x) = 6x - 12。
2. 通过求解方程f'(x) = 0，我们有6x - 12 = 0，解得x = 2。
因此，函数f(x)的极值点为x = 2。
3. 要判断函数f(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值，我们可以用二阶导数来进行判别。
计算函数f(x)的二阶导数f''(x)，有f''(x) = 6。
由于f''(x)大于0，所以函数f(x)在极值点x = 2处取得的是极小值。
练习二：考虑函数g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 12。
1. 求函数g(x)的导数g'(x)。
2. 通过求解方程g'(x) = 0，找到函数g(x)的极值点。
3. 判断函数g(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值。
解答二：1. 函数g(x)的导数g'(x)为g'(x) = 3x^2 - 18x + 24。
2. 通过求解方程g'(x) = 0，我们有3x^2 - 18x + 24 = 0，化简得x^2 - 6x + 8 = 0，进一步解得(x - 2)(x - 4) = 0。
解得x = 2或x = 4。
因此，函数g(x)的极值点为x = 2和x = 4。
3. 计算函数g(x)的二阶导数g''(x)，有g''(x) = 6x - 18。
2023届全国高考数学复习：专题(函数的极值)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（函数的极值）重点讲解与练习 1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1．图1图22．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．对极值的深层理解：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(2)按定义，极值点x i是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b；(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；(5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；(6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．考点一 根据函数图象判断极值【方法总结】(4)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)ꞏ(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值(5)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1(6)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( )A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12[例2] 给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的拐点．已知f (x )＝ax ＋3sin x －cos x ．(1)求证：函数y ＝f (x )的拐点M (x 0，f (x 0))在直线y ＝ax 上；(2)x ∈(0，2π)时，讨论f (x )的极值点的个数．[例3] (2021ꞏ天津高考节选)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －x ꞏe x ．(1)求函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切点的方程；(2)证明f (x )存在唯一极值点．【对点训练】1．函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( )A ．1eB ．2eC ．eD ．e 22．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝03．函数f (x )＝12x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数4．函数f (x )＝(x 2－x －1)e x (其e ＝2．718…是自然对数的底数)的极值点是 ；极大值为 ．5．已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋2的极大值和极小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．46．若x ＝－2是函数f (x )＝13x 3－ax 2－2x ＋1的一个极值点，则函数f (x )的极小值为( )A ．－113B ．－16C ．16D ．1737．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 28．已知函数f (x )＝x ln x ，则( )A ．f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数 C ．当x ∈(0，1]时，f (x )有最小值－1e D ．f (x )在定义域内无极值9．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为210．若函数f (x )＝(1－x )(x 2＋ax ＋b )的图象关于点(－2，0)对称，x 1，x 2分别是f (x )的极大值点与极小值点，则x 2－x 1＝________．11．已知函数f (x )＝e x (x －1)－12e a x 2，a ＜0．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极小值．12．已知函数f (x )＝e x ＋2x ．(1)求函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程；(2)证明：函数f (x )仅有唯一的极小值点．考点三 已知函数的极值(点)求参数的值(范围)【方法总结】由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．【例题选讲】[例1](1)若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________．(2)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________．(3)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k (k ≥1，k ∈Z )，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝ ． (4)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．(5)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞)(6)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为 ；(7)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．(8) (2021ꞏ全国乙)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <a 2D ．ab >a 2[例2] 已知曲线f (x )＝x e x －23ax 3－ax 2，a ∈R ．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数y ＝f (x )有三个极值点，求实数a 的取值范围．【对点训练】1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点为1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．12．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．03．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．54．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ．5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝(2－a )⎣⎡⎦⎤(x －2)e x －12ax 2＋ax 在⎝⎛⎭⎫12，1上有极大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(e ，e)B ．(e ，2)C ．(2，e)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )＝x ln x －ax 在(1，＋∞)上有极值，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，14B ．⎝⎛⎭⎫－∞，14C ．⎝⎛⎦⎤0，14 D ．0，14 8．若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 有极值，则实数a 的取值范围是________．9．若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．10．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．11．已知函数f (x )＝x ln x －12ax 2－2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝x e x －a ．若f (x )有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，1eD ．⎣⎡⎭⎫0，1e[例1](1)函数f (x )＝x 2e －x 的极大值为__________，极小值为________． 答案 4e －2 0 解析 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝－e －x x (x －2)．当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2． (2)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D 解析 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2(x ＞0)，当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以x ＝2为f (x )的极小值点．(3)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e ，则f (x )的极大值点为( )A ．1eB ．1C ．eD ．2e答案 D 解析 f ′(x )＝2e f ′(e)x －1e ，故f ′(e)＝1e ，故f (x )＝2ln x －x e ，令f ′(x )＝2x －1e >0，解得0<x <2e ，令f ′(x )<0，解得x >2e ，故f (x )在(0，2e)上递增，在(2e ，＋∞)上递减，∴x ＝2e 时，f (x )取得极大值2ln 2，则f (x )的极大值点为2e ．(4)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)ꞏ(x －1)k (k ＝1，2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C 解析 因为f ′(x )＝(x －1)k －1[e x (x －1＋k )－k ]，当k ＝1时，f ′(1)>0，故1不是函数f (x )的极值点．当k ＝2时，当x 0<x <1(x 0为f (x )的极大值点)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．故f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C ．(5)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A ．－1 B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1答案 A 解析 f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1．∵x ＝－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即(4－2a －4＋a －1)e －3＝0，得a ＝－1．∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1．由f ′(x )＞0，得x ＜－2或x ＞1；由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜1．∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )的极小值点为1，∴f (x )的极小值为f (1)＝－1．(6)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论不正确的是( )A ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递增B ．xf (x )在(0，＋∞)上单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值126．若x ＝－2是函数f (x )＝13x 3－ax 2－2x ＋1的一个极值点，则函数f (x )的极小值为( )A ．－113B ．－16C ．16D ．1736．答案 B 解析 由题意，得f ′(x )＝x 2－2ax －2．又x ＝－2是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(－2)＝2＋4a ＝0，解得a ＝－12．所以f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋1，所以f ′(x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)．当x ＜－2或x＞1时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0．所以函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－2，1)．当x ＝1时，函数y ＝f (x )取得极小值，为f (1)＝13＋12－2＋1＝－16．故选B ．7．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 27．答案 B 解析 由题意得，f ′(x )＝2x 2ax －3，∵f (x )在x ＝2处取得极小值，∴f ′(2)＝4a －2＝0，解得a ＝12，∴f (x )＝2ln x ＋12x 2－3x ，f ′(x )＝2x ＋x －3＝(x －1)(x －2)x，∴f (x )在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，∴f (x )的极大值为f (1)＝12－3＝－52．8．已知函数f (x )＝x ln x ，则( )A ．f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数 C ．当x ∈(0，1]时，f (x )有最小值－1e D ．f (x )在定义域内无极值8．答案 BC 解析 因为f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，令f ′(x )＝0，所以x ＝1e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，x ＝1e 是极小值点，所以A 错误，B 正确；当x ∈(0，1]时，根据单调性可知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ，故C 正确；显然f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ，故D 错误．故选BC ．9．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x ，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e 2，则t 的最小值为29．答案 ABC 解析 由f (x )＝0，得x 2＋x －1＝0，∴x ＝－1±52，故A 正确．f ′(x )＝－x 2－x －2e x ＝(2)证明：令h (x )＝e x (x －1)－2，则h ′(x )＝e x ꞏx ，所以x ∈(－∞，0)时，h ′(x )<0，x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0．当x ∈(－∞，0)时，易知h (x )<0，所以f ′(x )<0，f (x )在(－∞，0)上没有极值点．当x ∈(0，＋∞)时，因为h (1)＝－2<0，h (2)＝e 2－2>0，所以f ′(1)<0，f ′(2)>0，f (x )在(1，2)上有极小值点．又因为h (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )仅有唯一的极小值点．考点三 已知函数的极值(点)求参数的值(范围)【方法总结】由函数极值求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．【例题选讲】[例1](1)若函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则m ＝________．答案 1 解析 由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3．当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0；当x ＜1或x ＞3时，f ′(x )＞0，此时f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意，当m ＝1时，f ′(x )＝(x －1)(3x－1)．当13<x <1时，f ′(x )<0；当x <13x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )在x ＝1处取得极小值，符合题意，所以m＝1．(2)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＋b ＝________．答案 11 解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴f (x )在R 上单调递增，∴f (x )无极值，所以a ＝1，b ＝3不符合题意，当a ＝2，b ＝9时，经检验满足题意．∴a ＋b ＝11．(3)若函数f (x )的导数f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k (k ≥1，k ∈Z )，已知x ＝k 是函数f (x )的极大值点，则k ＝ ． 答案 1 解析 因为函数的导数为f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －52(x －k )k ，k ≥1，k ∈Z ，所以若k 是偶数，则x ＝k ，不是极值点，则k 是奇数，若k <52，由f ′(x )>0，解得x >52或x <k ；由f ′(x )<0，解得k <x <52，即当x ＝k 时，函数f (x )取得极大值．因为k ∈Z ，所以k ＝1．若k >52，由f ′(x )>0，解得x >k 或x <52；由f ′(x )<0，解得52<x <k ，即当x＝k 时，函数f (x )取得极小值，不满足条件．(4)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．答案 a >－1 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a ，所以f ′(x )＝1x－ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x ＝－(ax ＋1)(x －1)x．①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a ．因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a >1，解得－1<a <0．综合①②得a 的取值范围是a >－1．(5)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 答案 C 解析 f ′(x )＝ax －(1＋2a )＋2x ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x (a >0，x >0)，若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，1内有解，且f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内先大于0，后小于0，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12>0，f ′(1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧14a －12(2a ＋1)＋212>0，a －(2a ＋1)＋2<0，解得1<a <2，故选C ．(6)若函数f (x )＝x 2－x ＋a ln x 在[1，＋∞)上有极值点，则实数a 的取值范围为 ；答案 (－∞，－1] 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1＋a x ＝2x 2－x ＋a x，由题意知2x 2－x ＋a ＝0在R 上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a >0，且2×12－1＋a ≤0，所以a ∈(－∞，－1]．(7)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (x )＝x (ln x －ax )，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x －2ax ．由题意知，当x >0时，1＋ln x －2ax ＝0有两个不相等的实数根，即2a ＝1＋ln x x有两个不相等的实数根，令φ(x )＝1＋ln x x (x >0)，∴φ′(x )＝－ln x x 2．当0<x <1时，φ′(x )>0；当x >1时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝1，当x →0时，φ(x )→－∞，当x →＋∞时，φ(x )→0，则0<2a <1，即0<a <12．(8) (2021ꞏ全国乙)设a ≠0，若x ＝a 为函数f (x )＝a (x －a )2(x －b )的极大值点，则( )A ．a <bB ．a >bC ．ab <a 2D ．ab >a 2答案 D 解析 法一 (特殊值法)当a ＝1，b ＝2时，函数f (x )＝(x －1)2(x －2)，画出该函数的图象如图1所示，可知x ＝1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝1，b ＝2可判断选项B ，C 错误；当a ＝－1，b ＝－2时，函数f (x )＝－(x ＋1)2(x ＋2)，画出该函数的图象如图2所示，可知x ＝－1为函数f (x )的极大值点，满足题意．从而，根据a ＝－1，b ＝－2可判断选项A 错误．所以当a >e 2时，在x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(－1，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，在x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，在x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 2，＋∞． 【对点训练】1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点为1，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．11．答案 A 解析 f ′(x )＝e x ＋(x ＋a )e x ＝(x ＋a ＋1)e x ．由题意知f ′(1)＝e(2＋a )＝0，∴a ＝－2．故选A ．2．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极小值，则实数c 的值为( )A ．6B ．2C ．2或6D ．02．答案 B 解析 由f ′(2)＝0可得c ＝2或6．当c ＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c ＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x ＝2处取得极大值．故选B ．3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －17(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( )A ．－8122B ．13C ．2D ．53．答案 C 解析 由题意，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a >0，且－2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c 3a ，则3a ＝－2b ，c ＝－18a ，f (x )的极小值为f (3)＝27a ＋9b ＋3c －17＝－98，解得a ＝2，b ＝－3，c ＝－36，故选C ．4．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ．4．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1 ＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，解得c ＞32或c ＜－32c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞． 5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．5．答案 (－∞，－1) 解析 由y ′＝e x ＋a ＝0得x ＝ln (－a )(a <0)，显然x ＝ln (－a )为函数的极小值点，又ln (－a )>0，∴－a >1，即a <－1．6．若函数f (x )＝(2－a )⎣⎡⎦⎤(x －2)e x －12ax 2＋ax 在⎝⎛⎭⎫12，1上有极大值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(e ，e) B ．(e ，2) C ．(2，e) D ．(e ，＋∞)6．答案 B 解析 令f ′(x )＝(2－a )(x －1)(e x －a )＝0，得x ＝ln a ∈⎝⎛⎭⎫12，1，解得a ∈(e ，e)，由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，ln a 时，f ′(x )>0，当x ∈(ln a ，1)时，f ′(x )<0，所以2－a >0，得a <2．综上，a ∈(e ，2)．故选11．已知函数f (x )＝x ln x －12ax 2－2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．11．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 2 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x －ax －1．根据题意可得f ′(x )在(0，＋∞) 上有两个不同的零点，则ln x －ax －1＝0有两个不同的正根，从而转化为a ＝ln x －1x 有两个不同的正根，所以y ＝a 与y ＝ln x －1x的图象有两个不同的交点，令h (x )＝ln x －1x ，则h ′(x )＝2－ln x x 2，令h ′(x )>0得0<x <e 2，令h ′(x )<0得x >e 2，所以函数h (x )在(0，e 2)为增函数，在(e 2，＋∞)为减函数，又h (e 2)＝1e 2，x →0时，h (x )→－∞，x →＋∞时，h (x )→0，所以0<a <1e 2．12．已知函数f (x )＝x e x －a ．若f (x )有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，1eD ．⎣⎡⎭⎫0，1e 12．答案 C 解析 f ′(x )＝1－x e x ，所以f ′(x )，f (x )的变化如下表： x(－∞，1) 1 (1，＋∞) f ′(x )＋ 0 － f (x ) 极大值 若a ＝0，x ＞0时，f (x )＞0，f (x )最多只有一个零点，所以a ≠0．若f (x )有两个零点，则1e －a ＞0，即a ＜1e ，结合a ＝0时f (x )的符号知0＜a ＜1e C ．。
极限与最值、极值练习题
极限与最值、极值练习题
本文档旨在提供一些关于极限与最值、极值练题的完整版指导。
以下是一些练题示例，供您练和巩固相关概念。
1. 极限计算题
问题 1
求函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
问题 2
已知函数 $g(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1} - x$，求 $\lim_{x \to -1}
g(x)$。
2. 极大值和极小值问题
问题 1
一边长为 $x$ 的长方形的周长为 $2x + 20$。
求这个长方形的
最大面积。
问题 2
已知函数 $h(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，求函数在区间 $[-1, 3]$ 上的
最小值和最大值。
3. 极值问题
问题 1
已知函数 $k(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 2x + 1$，求函数的极大值和极小值。
问题 2
求函数 $f(x) = |x - 2| - |x + 2|$ 的极大值和极小值。
总结
本文档提供了一些关于极限与最值、极值的练题以供练和参考。
通过完成这些练题，您可以加深对相关概念和问题的理解，并提升
在研究中遇到类似问题时的解决能力。
请注意，这些是练题的答案并不包含解题过程。
在实际研究中，我们鼓励您通过理论知识和解题技巧，自己尝试解答这些问题，并
与参考答案进行对比和验证。
祝您研究愉快！。
高中数学同步练习 函数的极值
第3章 §1 第2课时 函数的极值A 级 基础巩固一、选择题1．关于函数的极值,下列说法正确的是( D ) A ．导数为零的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D ．若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数[解析] 对于f(x)＝x 3,f′(0)＝0,但x ＝0不是f(x)的极值点,故A 不正确．极小值也可能大于极大值,故B 错,C 显然不对．2．函数y ＝2x 3－6x 2－18x ＋7( A )A ．在x ＝－1处取得极大值17,在x ＝3处取得极小值－47B ．在x ＝－1处取得极小值17,在x ＝3处取得极大值－47C ．在x ＝－1处取得极小值－17,在x ＝3处取得极大值47D ．以上都不对[解析] y′＝6x 2－12x －18,令y′＝0,解得x 1＝－1,x 2＝3.当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况见下表：∴当x 3．函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( B )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] y′＝x 3－x 2＝x 2(x －1),由y′＝0得x 1＝0,x 2＝1. 当x 变化时,y′、y 的变化情况如下表故选4．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列,且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b,c),则ad 等于( A ) A ．2 B ．1 C ．－1D ．－2[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列,∴ad ＝bc, 又(b,c)为函数y ＝3x －x 3的极大值点, ∴c ＝3b －b 3,且0＝3－3b 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2.5．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确．．．．．的序号是( B )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④[解析] 对于③,f(x)在原点附近为增函数,∴f′(x)>0,而图像中当x>0时,f′(x)<0,∴③一定不正确；对于④,同理,导函数开始应在x 轴上方,④一定不正确,故选B.6．(2019·福州高二检测)函数f(x)＝x ＋1x 的极值情况是( D )A ．当x ＝1时,极小值为2,但无极大值B ．当x ＝－1时,极大值为－2,但无极小值C ．当x ＝－1时,极小值为－2,当x ＝1时,极大值为2D ．当x ＝－1时,极大值为－2；当x ＝1时,极小值为2 [解析] 函数定义域为{x|x≠0}, ∵f′(x)＝1－1x 2,令f′(x)＝0,解x ＝±1,∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,＋∞)上单调递增,在(－1,0)和(0,1)上单调递减,当x ＝－1时,极大值为－2,当x ＝1时,极小值为2.选D.二、填空题7．函数y ＝xe x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.[解析] y ＝f(x)＝xe x ⇒f ′(x)＝(1＋x)e x,令f ′(x)＝0⇒x ＝－1,此时f(－1)＝－1e ,函数y ＝xe x在其极值点处的切线方程为y ＝－1e.8．已知f(x)＝13x 3－a 2x 2＋2x ＋1,x 1,x 2是f(x)的两个极值点,且0<x 1<1<x 2<3,则实数a 的取值范围为(3,113).[解析] f ′(x)＝x 2－ax ＋2, ∴x 1,x 2是f ′(x)＝0的两个根, 由0<x 1<1<x 2<3,结合二次函数的性质得： ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＝2>0，f ′(1)＝1－a ＋2<0，f ′(3)＝9－3a ＋2>0.解得3<a<113.三、解答题9．(2018·天津文,20)设函数f(x)＝(x －t 1)(x －t 2)(x －t 3),其中t 1,t 2,t 3∈R,且t 1,t 2,t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0,d ＝1,求曲线y ＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)若d ＝3,求f(x)的极值．[解析] (1)由已知,可得f(x)＝x(x －1)(x ＋1)＝x 3－x,故f ′(x)＝3x 2－1.因此f(0)＝0,f ′(0)＝－1.又因为曲线y ＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y －f(0)＝f ′(0)(x－0),故所求切线方程为x ＋y ＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3)＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2. 故f ′(x)＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x)＝0,解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表：函数f(x)的极小值为f(t 2＋3)＝(3)3－9×3＝－6 3. 10．(2018·北京文,19)设函数f(x)＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x. (1)若曲线y ＝f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a ； (2)若f(x)在x ＝1处取得极小值,求a 的取值范围． [解析] (1)解：因为f(x)＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x,所以f ′(x)＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x, f ′(2)＝(2a －1)e 2.由题设知f ′(2)＝0,即(2a －1)e 2＝0,解得a ＝12.(2)解：由(1)得f ′(x)＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x＝(ax －1)(x －1)e x.若a>1,则当x ∈1a ,1时,f ′(x)<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x)>0. 所以f(x)在x ＝1处取得极小值． 若a≤1,则当x ∈(0,1)时,ax －1≤x－1<0, 所以f ′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点． 综上可知,a 的取值范围是(1,＋∞)．B 级 素养提升一、选择题1．(2019·日照高二检测)已知函数f(x)＝e x(sinx －cosx),x ∈(0,2017π),则函数f(x)的极大值之和为( B )A.e 2π(1－e 2016π)e 2π－1B.e π(1－e 2016π)1－e 2πC.e π(1－e 1008π)1－e2πD.e π(1－e 1008π)1－eπ[解析] f ′(x)＝2e xsinx,令 f ′(x)＝0得sinx ＝0,∴x ＝kπ,k ∈Z,当2kπ<x<2kπ＋π时,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当(2k －1)π<x<2kπ时,f ′(x)<0,f(x)单调递减,∴当x ＝(2k ＋1)π时,f(x)取到极大值,∵x ∈(0,2017π), ∴0<(2k ＋1)π<2017π,∴0≤k<1008,k ∈Z.∴f(x)的极大值之和为S ＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2015π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2015π＝e π[1－(e 2π)1008]1－e2π＝e π(1－e 2016π)1－e2π,故选B. 2．对于三次函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0),给出定义：设f ′(x)是函数y ＝f(x)的导数,f″(x)是f ′(x)的导数,若方程f″(x)＝0有实数解x 0,则称点(x 0,f(x 0))为函数y ＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝13x 3－12x 2＋3x －512,则g(12017)＋g(22017)＋…＋g(20162017)＝( B )A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018[解析] 函数的导数g′(x)＝x 2－x ＋3, g″(x)＝2x －1,由g″(x 0)＝0得2x 0－1＝0,解得x 0＝12,而g(12)＝1,故函数g(x)关于点(12,1)对称,∴g(x)＋g(1－x)＝2,故设g(12017)＋g(22017)＋…＋g(20162017)＝m,则g(20162017)＋g(20152017)＋…＋g(12017)＝m,两式相加得2×2016＝2m,则m ＝2016.故选B. 二、填空题3．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值,在x ＝3处有极小值,则a ＝－3,b ＝－9.[解析] y′＝3x 2＋2ax ＋b,方程y′＝0有根－1及3,由韦达定理应有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.经检验a ＝－3,b ＝－9符合题意．4．已知偶函数y ＝f(x),对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x)cos x ＋f(x)sinx>0(其中f ′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式中成立的有②③④.①2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ②2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4③f(0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3[解析] 令g(x)＝f (x )cosx,由已知得g′(x)＝f ′(x )cosx ＋f (x )sinx cos 2x >0,∴g(x)＝f (x )cosx 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上单调递增,故得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,g(0)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4, 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,f(0)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,∴2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4,①错误,②正确；③正确；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cosπ3,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,④正确． 三、解答题5．(2018·全国卷Ⅲ理,21)已知函数f(x)＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x)－2x. (1)若a ＝0,证明：当－1＜x ＜0时,f(x)＜0；当x ＞0时,f(x)＞0； (2)若x ＝0是f(x)的极大值点,求a.[解析] (1)证明：当a ＝0时,f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x, f ′(x)＝ln(1＋x)－x 1＋x.设函数g(x)＝f ′(x)＝ln(1＋x)－x 1＋x ,则g′(x)＝x(1＋x )2.当－1＜x ＜0时,g′(x)＜0；当x ＞0时,g′(x)＞0,故当x ＞－1时,g(x)≥g(0)＝0,且仅当x ＝0时,g(x)＝0,从而f ′(x)≥0,且仅当x ＝0时,f ′(x)＝0.所以f(x)在(－1,＋∞)单调递增．又f(0)＝0,故当－1＜x ＜0时,f(x)＜0；当x ＞0时, f(x)＞0.(2)解：(ⅰ)若a≥0,由(1)知,当x ＞0时,f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x ＞0＝f(0), 这与x ＝0是f(x)的极大值点矛盾． (ⅱ)若a ＜0,设函数h(x)＝f (x )2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x)－2x2＋x ＋ax2.由于当|x|＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,2＋x ＋ax 2＞0, 故h(x)与f(x)符号相同．又h(0)＝f(0)＝0,故x ＝0是f(x)的极大值点, 当且仅当x ＝0是h(x)的极大值点． h′(x)＝11＋x －2(2＋x ＋ax 2)－2x (1＋2ax )(2＋x ＋ax 2)2＝x 2(a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1)(x ＋1)(ax 2＋x ＋2)2.若6a ＋1＞0,则当0＜x ＜－6a ＋14a ,且|x|＜f′min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,h′(x)＞0,故x ＝0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1＜0,则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1＜0,故当x ∈(x 1,0),且|x|＜min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a|时,h′(x)＜0, 所以x ＝0不是h(x)的极大值点．若6a ＋1＝0,则h′(x)＝x 3(x －24)(x ＋1)(x 2－6x －12)2,则当x ∈(－1,0)时,h′(x)＞0；当x ∈(0,1)时,h′(x)＜0. 所以x ＝0是h(x)的极大值点,从而x ＝0是f(x)的极大值点． 综上,a ＝－16.6．已知函数f(x)＝12x 2＋alnx.(1)若a ＝－1,求函数f(x)的极值,并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1,求证：在区间[1,＋∞)上,函数f(x)的图像在函数g(x)＝23x 3的图像的下方．[解析] (1)由于函数f(x)的定义域为(0,＋∞), 当a ＝－1时,f ′(x)＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ,令f ′(x)＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去),当x ∈(0,1)时,f ′(x)<0,因此函数f(x)在(0,1)上单调递减, 当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x)>0,因此函数f(x)在(1,＋∞)上单调递增, 则x ＝1是f(x)的极小值点,所以f(x)在x ＝1处取得极小值为f(1)＝12.(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x 2＋lnx －23x 3,则F ′(x)＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x＝－(x －1)(2x 2＋x ＋1)x ,当x>1时,F ′(x)<0,故f(x)在区间[1,＋∞)上单调递减, 又F(1)＝－16<0,∴在区间[1,＋∞)上,F(x)<0恒成立, 即f(x)<g(x)恒成立．因此,当a ＝1时,在区间[1,＋∞)上,函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．C 级 能力拔高设函数f(x)＝x 3－92x 2＋6x －a.(1)对于任意实数x, f′(x)≥m 恒成立,求m 的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根,求a 的取值范围． [解析] (1)f′(x)＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2),由题意可知当x ∈(－∞,＋∞)时,f′(x)≥m 恒成立,即3x 2－9x ＋(6－m)≥0恒成立,所以Δ＝81－12(6－m)≤0,解得m≤－34,即m 的最大值为－34.(2)因为当x<1时,f′(x)>0；当1<x<2时,f′(x)<0； 当x>2时,f′(x)>0,所以当x ＝1时,f(x)取极大值f(1)＝52－a ；当x ＝2时,f(x)取极小值f(2)＝2－a.故当f(2)>0或f(1)<0时,f(x)＝0仅有一个实根, 解得a<2或a>52.。
函数的极值与最大(小)值
函数的极值与最大（小）值一、单选题1．（2021·全国·高二课时练习）若函数()32f x x ax x =++（x ∈R ）不存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．((),3,−∞+∞B ．(),3,⎡−∞+∞⎣C ．(D ．⎡⎣2．（2021·全国·高二课时练习）已知函数()f x 的导函数为()'f x ，则“()00f x '=”是“函数()f x 在0x x =处有极值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（2021·湖北·高三月考）已知函数()33f x x x =−，若函数()f x 在区间()2,8m m −上有最大值，则实数m的取值范围为（ ）A ．(3,−B ．()3,1−−C ．()D ．[)2,1−4．（2021·四川成都·高三月考（理））已知定义在R 上的函数()f x 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 有极小值B ．()f x 有最大值C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是偶函数5．（2021·湖南·高三月考）已知f (x )＝13x 3＋(a －1)x 2＋x ＋1没有极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，1]B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0，2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)6．（2021·全国·高二课前预习）连续函数()y f x =在[],a b 上（ ） A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值7．（2021·全国·高二课时练习）函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数()'f x 在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极大值点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（2021·辽宁丹东·高三期中）当11x −≤≤时，331ax x ≥−，则a 的取值范围为（ ） A ．(],4−∞ B ．[]2,4 C ．[)2,+∞ D ．{}4二、多选题9．（2021·全国·高二课时练习）（多选）函数()xf x x =（0x >），我们可以作变形：()ln ln e e xx x x x f x x ===，所以()x f x x =可看作是由函数()e t p t =和()ln g x x x =复合而成的，即()xf x x =（0x >）为初等函数．对于初等函数()1x h x x =（0x >）的说法正确的是（ ） A ．无极小值 B ．有极小值1 C ．无极大值D ．有极大值1e e10．（2021·全国·高二课时练习）（多选）已知函数()3223f x x x x =−+−，若过点()1,P m −（m Z ∈）可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的值可以为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．711．（2021·全国·高二课时练习）（多选）如图为函数()f x 的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）A ．()f x 在1x =处取得极大值B ．1x =−是()f x 的极小值点C ．()f x 在()2,4上单调递减，在()1,2−上单调递增D ．2x =是()f x 的极小值点12．（2021·山东·高三月考）定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()212()f x xf x x '+=，(1)0f =，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个零点C ．若21()f x k x <−在(0,)+∞上恒成立，则e2>kD ．(1)f f f <<三、填空题 13．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数()cos f x x x x =−，则()f x 在区间[0,]π上的最大值是________.14．（2021·河南·高三月考（理））若函数()3221f x x ax a x =−−+的极小值为4,−则整数a =___________.15．（2021·吉林·长春十一高高三月考（理））已知函数()1ln x f x x +=在区间()3,40a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值，则实数a 的取值范围是_________．16．（2021·河北省唐县第一中学高三月考）已知关于x 的不等式()e1ln 1xxx x λλ+>+在()0,∞+上恒成立，则实数λ的取值范围为_________．四、解答题17．（2021·江苏仪征·高二期中）已知函数()2ln f x a x bx x =++在1x =处的切线方程620x y −−=． （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间与极小值．18．（2021·四川·内江市教育科学研究所高二期末（文））已知函数()3f x ax bx =+在1x =处有极值2．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间12,2⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最值．19．（2021·全国·高二课时练习）已知2()(1)e x f x x =−，求()f x 的极值点以及极值、最值点以及最值．20．（2021·全国·高二单元测试）在①()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为1；②()10f '=；③()f x 有两个极值点-1，1这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答.已知()()2e 12x m f x x x =−+. （1）若______，求实数m 的值；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. （2）若0m >，讨论()f x 的单调性.21．（2021·全国·高三期中）已知函数()()1ln 0f x a x a x=+>. （1）求函数()f x 的极值；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值为2e？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.22．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知函数()2x x f x e=，()ln a g x x x =+()0a >. （1）求函数()f x 的极值；（2）()1,0x ∀∈−∞，()20,x ∃∈+∞，使()()12f x g x =成立，求a 的取值范围.。
函数的极值与最值
二、最值的求法
步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
三、应用举例
03
例1
解
计算
比较得
点击图片任意处播放\暂停
例2
敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？
练 习 题
练习题答案
下命题正确吗？
思考题
思考题解答
不正确． 例
在–1和1之间振荡 故命题不成立．
练 习 题
练习题答案
解
设房租为每月 元，
租出去的房子有 套，
每月总收入为
（唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高。 最大收入为
点击图片任意处播放\暂停 例4
如图,
解
解得
所以F(x)在[0，1] 上最大值为 1。
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
极小值
例1
图形如下
例2. 求函数
的极值 .
解:
1) 求导数
2) 求极值可疑点
令
得
导数不存在的点
3) 列表判别
是极大点，
其极大值为
是极小点，
其极小值为
定理3(第二充分条件)
证
例3
解
图形如下
注意:
设 在点 的某邻域内有五阶连续导数，且： 解： 所以不论 ，还是 均有
解 (1)建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 得唯一驻点
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练 习 题（二）
一、填空题： 1、最值可_____________处取得. 2、函数 y 2 x 3 3 x 2 ( 1 x 4 )的最大值为____ _____；最小值为__________. 3 、 函数 y 100 x 2 在[0,8]上的最大值为______ ______；最小值为___________. f 4 、 设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力 f 与 =0.25，问力 的作用而开始移动，摩擦系数 f 的大小为 为_____时，才可使力 水平线的交角 最小，则此问题的目标函数为______________ ， 讨论区间为_____________.
二、求下列函数的极值： 1 、 y e x cos x ； 2、 y x ； x12 4 、 y e , x 0 . 0, x 0 三、证明题： 2 3 2 b 1 、如果 y ax bx cx d 满 足条 3ac 0 ， 则函数无极值. 2、设 f ( x ) 是有连续的二阶导数的偶函数 f ( x ) 0 ， 则 x 0 为 f ( x ) 的极值点.
R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个 5 、从一块半径为 漏斗，问留下的扇形的中心角为_________ 时，做 成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为 ________________考察区间为_______________. 54 2 二、求函数 y x (x 0 )的最值 . x 10 n 三、求数列 n 的最大项 . 2 r 和高 四、要造一圆柱形油灌，体积为V ，问底半径 h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与 高的比是多少？
1 x
练习题（一）答案
2、 f ( x 0 ) 0 ； 3 1 1 e 3、(1,2),无； 4、 , ( ) ,0,1; e e p p 2 4 2 kp e 二、1、极大值 y( 2kp ) ,极小值 4 2 p p 2 4 ( 2 k 1) p y ( ( 2k 1)p ) e ( k 0, ± 1,± 2,L) ； 4 2 一、1、局部； 2、极大值 y(e ) e ； 3、极小值 y(0) 1； 4、极小值 y (0) 0 .
3－2 函数的极值与最值练 习题
练 习 题（一）
一、填空题： 1、极值反映的是函数的 ________性质.
x0 2、若函数 y f ( x ) 在 x x 0 可导，则它在点
处到
得极值的必要条件中为___________. 3、函 数 y 2 ( x 1) 的 极 值 点 为 ________ ；
2 3 1 3
y 3 2( x 1) 的极值为__________. x 3x , x 0 4、已知函数 f ( x ) 当 x _______ 时， x 1, x 0 y ________为极 小 值 ； 当 x ________时 ， y ________为极 大值.
五、由 y x 2 , y 0 , x a (a 0 )围成一曲边三角形 OAB ，在曲线弧 OB 上求一点，使得过此点所作曲 OB 围成的三角形面积最大. 线 y x 2 的切线与OA ，
练习题（二）答案
一、1、区间端点及极值点； 2、最大值 y ( 4) 80 , 最小值y ( 1) 5 ； p p , [ 0, ) ； 3、10,6； 4、arctan , f cos sin 2 8 R3 2 4 6 4 p , ( 0, 2 p ) . 5、 p , V 2 3 24p 二、 x 3 时函数有最小值 27. 三、14. v v 3 3 , h2 ; d : h 1 : 1. 四、 r 2p 2p 2 4 2 五、( a , a ) . 3 9