1.1集合的含义与表示(北师大版必修1)
高中数学北师大版必修一1.1【同步练习】《集合的含义与表示 》
《集合的含义与表示》同步练习1、已知集合S ＝{a，b ，c}中的三个元素为△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是________三角形。
所有整数，④函数y ＝2x 的图像上的点。
能构成集合的个数为____。
4、设a ，b∈R，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b ，b a ，则b －a 等于 。
1、已知集合A ＝{x|－3＜x ＜3，x ∈Z}，B ＝{(x ，y)|y ＝x2＋1，x ∈A}，则集合B 用列举法表示。
2、若2∉{x|x －a ＞0}，求实数a 的取值范围。
3、用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A ；(2)方程x 2－9＝0的实数根组成的集合B ；(3)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D 。
1、已知集合A ＝{1,0，a}，若a2∈A ，求实数a 的值。
2。
(创新拓展)对于a ，b ∈N ＋，现规定a*b ＝+（与的奇偶性相同）（与的奇偶性不同）a b a b a b a b ⎧⎨⨯⎩集合M ＝{(a ，b)|a*b ＝36，a ，b ∈N ＋}(1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；(2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素？3、已知集合A ＝{x|ax 2＋3x ＋1＝0，x ∈R}，(1)若A 中只有一个元素，求实数a 的值；(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围。
4、集合A ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈Z }，C ＝{x |x ＝6n ＋3，n ∈Z }。
(1)若c ∈C ，是否存在a ∈A ，b ∈B ，使c ＝a ＋b 成立？(2)对于任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定有(a ＋b )∈C ？请证明你的结论。
答案与解析1、【解析】本题考查元素的三要素之一互异性，集合中a 、b 、c 为三个不同的元素，所以△ABC 的三边均不相等，故应填“等腰”。
高中数学北师大版必修一《1.1集合的含义与表示》课件
(二)集合元素的性质：
（1）肯定性：集合中的元素必须是肯定的．如果a 是集合A的元素， 就说a属于集合A，记作a ∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合 A，记作a A．
(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同的．
(3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的． 集合中的任何两个元素都可以交换位置
A．1 B．2 C．3 D．4
例3．已知集合A={x|ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}只有 一个元素求a的值和这个元素.
1.若M={1，3}，则下列表示方法正确的是（ ）
A．3 M
B．1 M
C．1 M
D．1 M且 3 M
2.判定下列说法是否正确：
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2} (2) 若4x=3,则 x N (3) 若x Q,则 x R (4)若X∈N,则x∈N+
(三)重要数集：
(1) N: 自然数集(含0).即非负整数集 (2) N＋: 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数一罗列出来写在
大括号的方法． （2）描写法：用肯定条件表示某些对象是否属
于这个集合的方法． （3）图示法．
（一）集合的有关概念 集公道论首创人康托尔称集合为一些肯定的、不同的东西的全部，人 们能意识到这些东西，并且能判定一个给定的东西是否属于这个整体。 一样地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的整体叫 集合（set），也简称集。 摸索1：课本P3的摸索题，并再罗列一些集合例子和不能构成集合的 例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲授下面的问题。
3.用符号表示下列集合，并写出其元素： (1) 12的质因数集合A； (2) 大于 11 且小于 29 的整数集B．
最新北师大版数学必修1课件：1.1集合的含义与表示
水面面积在2000至3000km2的有：
洞庭湖 、 太湖 、 呼伦湖 ；
水面面积在990至2000km2的有： 纳木错湖 、 洪泽湖 、 南四湖 、 博斯腾湖 .
这样，我们将这些湖按水面面积大小分成了三类. 根据需要，我们还可以将这些湖按咸水湖和淡水湖分 类或按其他标准进行分类.
1．集合与元素的概念 (1)一般地， 指定的某些对象的全体 称为集合， 集合常用 大写字母A、B、C、D, … (2)集合中的 每个对象 表示． 叫作这个集合的 表示．
自然数集
正整数集 整数集 有理数集 实数集
N
* N ＋ 或N ______
Z Q R
4.集合的表示方法
列举法
把集合中的元素 一一列举 出来写在大括 号内的方法. 用 确定的条件 表示某些对象属于一个集合
描述法
并写在大括号内的方法.
例如，江苏省水面面积在1500km2以上的天然湖组
成的集合用列举法可以表示为 C={太湖，洪泽湖}; 不等式 x -32>0的解集用描述法可以表示为
合．
2.集合A＝{1,2,2,4,2,1}表示是否正确?
【提示】集合的元素“1”出现了两次，“2”出现了三次，
不满足集合的互异性，所以不正确，应该为： A ＝ {1,2, 4 }.
例1
用列举法表示下列集合：
（1）由大于3小于10的整数组成的集合； （2）方程 x2-9=0的解的集合. 解:（1）由大于3小于10的整数组成的集合用列举法可 表示为 {4，5，6，7，8，9}；
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释
为:许多的人或物聚在一起.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合”？
【优化方案北师大版】高一数学精品课件 必修一：1.1集合的含义与表示
集
合
第一章
集
合
第一章
集
合
§1 集合的含义不表示
第一章
集
合
学习导航
预习目标 重点难点
重点：元素不集合的关系，集合的表示方
法． 难点：集合中元素特性的应用及集合表示 方法的应用．
第一章
集
合
新知初探·思维启动
一、集合的概念
1．集合不集合中的元素
一般地，指定的某些对象的全体称为集 合．集合常用大写字母A，B，C，D，„标 记．数的集合简称数集，为了书写方便，规 定常用的数集用特定的字母表示，如：
第一章
集
合
想一想
x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x， 2.集合 A＝{ y)|y＝x2}是相同的集合吗？
提示：丌是相同的集合，由初中知识可知A 表示函数y＝x2的x的取值，即x∈R. B表示函数y＝x2 的y的取值，即y≥0，C是
点集，是指函数y＝x2的图像．
第一章
集
合
做一做
3.以下用描述法表示集合正确的是( ) A．方程 x2－4＝0 所有实数根组成的集合为
解析：选D.设1＝2a＋1，则a＝0∈Z，即 1∈M，同理可得0∉M,2∉M，－1∈M.
第一章
集
合
题型三 集合的表示方法
例3 集: (1)大于1且小于70的自然数组成的集合； (2)大于1且小于70的实数组成的集合； (3)方程x2－x＋2＝0的实数解组成的集合； 选择适当的方法表示下列集合，幵 指出哪些是无限集,哪些是有限集,哪些是空
(y－2)2＝0}．
；(7){(x，y)|(x－1)2＋
第一章
集
合
x＝1， 解 析 ：方 程组 的 解是 是 一 组数 对 y＝2，
北师大版高中数学必修一：1.1集合的含义与表示
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）[读教材·填要点]1．集合的含义与标记一般地，指定的某些对象的全体称为集合，常用大写字母A，B，C，D，…标记．2．元素的定义、标记与特性(1)定义与标记：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，常用小写字母a，b，c，d，…标记．(2)特征：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．3．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A a∈A a属于A不属于如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合Aa∉A a不属于A4．常见集合的符号表示数集自然数集(或非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋Z Q R5．集合的常用表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫作描述法．6．集合的分类按所含元素的个数分为：(1)有限集：含有限个元素的集合．(2)无限集：含无限个元素的集合．(3)空集∅：不含有任何元素的集合．[小问题·大思维]1．通过对集合含义的学习，你认为“我们班中聪明的同学”，“时尚的同学”，“所有的小河”，“很小的数”能组成一个集合吗？为什么？提示：不能，因为没有明确的标准．2．下列关系正确吗？①0∈N＋，②π∈R，③1∈Q，④0∈Z，⑤0∈N.提示：②③④⑤正确．3．你认为列举法和描述法分别适合表示什么特点的集合？提示：一般地，列举法适合表示有限集合(当元素个数不太多时)，描述法适合表示无限集或其元素不宜一一列举的集合．[研一题][例1](1)判断下列各组对象能否构成一个集合，如果能表示一个集合，判断它是有限集，还是无限集．①申办2012年奥运会的所有城市；②参加2013年全运会的所有省份；③2010年上海世博会的所有展馆； ④大于0且小于1的所有的实数．(2)若集合M ＝{0,1，x ，x 3}，则x 应满足的条件是( ) A ．x ≠0 B ．x ≠1 C ．x ≠0且x ≠1 D ．x ≠0且x ≠±1[自主解答] (1)①申办2012年奥运会的是几个确定的不同的城市，能构成集合，且为有限集；②参加2012年全运会的所有省份是确定的，能组成集合，且为有限集； ③2010年上海世博会上的展馆是确定的，能组成集合，且为有限集； ④能构成集合，是无限集．(2)由集合M 的表示方法可知，该集合含有4个元素，这4个元素应互不相等． 由集合中元素的互异性，知⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≠1，x ≠x 3，x 3≠0，x 3≠1，解得x ≠0且x ≠±1.答案为D.[悟一法]利用集合中元素的三个基本特征，一方面可以利用确定性，判断一些对象是否能构成集合，另一方面可以利用确定性、互异性，解决与集合有关的问题．[通一类]1．给出下列说法：①所有中国的直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可构成一个集合； ③正偶数的全体可构成一个集合；④大于2 011且小于2 012的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________．(填写序号)解析：①③正确，由于“较胖”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，所以②错误；大于2 011且小于2 012的所有整数可构成集合，所以④错误．答案：①③2．由实数x 2，1，0，x 所组成的集合里最少有________个元素． 解析：若x 2＝x ＝1，即x ＝1，则集合中有2个元素．若x 2＝x ＝0，即x ＝0，则集合中也有2个元素，故集合里最少有2个元素．答案：2[研一题][例2]集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R), 选项中元素与集合的关系都正确的是()A．2∈A，且2∈BB．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈BD．(3，10)∈A，且2∈B[自主解答]集合A中元素y是实数，不是点，故只B、D不正确；集合B的元素(x，y)是点而不是实数，所以A不正确，选项C经验证正确．[答案] C[悟一法](1)判断一个元素是不是某个集合的元素就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征，若具有共同的特征，则属于这个集合，否则不属于．(2)当集合是用列举法表示时，若某一元素属于该集合，则该元素与集合中的某一元素相等，解决此问题时要注意集合中元素的互异性，故求解后要检验．[通一类]3．已知6∈{2，4，x，x2＋x}，则x等于()A．2 B．6C．2或6 D．－3或6解析：当x＝6时，集合为{2，4，6，42}；当x2＋x＝6，即x＝2或x＝－3，易知x＝2不合题意；当x＝－3时，集合为{2，4，－3，6}所以a＝6或－3.答案：D4．用符号∈或∉填空．(1)23________{x|x＜11}，2＋5________{x|x≤2＋3}．(2)3________{x|x＝n2＋1，n∈N}，(－1，1) ________{y|y＝x2}．(3)设x＝13－52，y＝3＋2π，M＝{m|m＝a＋b2，a∈Q，b∈Q}，则x________M，y________M.解析：(1)23＝12＞11.2＋5＝（2＋5）2＝7＋210＜7＋212＝（2＋3）2＝2＋ 3.∴填∉，∈.(2)设n 2＋1＝3，n ＝±2∉N ，∴填∉.把(－1，1)代入y ＝x 2成立，但(－1，1)是有序实数对，而{y |y ＝x 2}是y 的取值集合，∴填∉.(3)x ＝13－52＝－341－5241，－341∈Q ，－541∈Q .∴x ∈M .∵πQ ，∴y M .∴填∈，.答案：(1) ∈ (2) ∈ (3)∈[研一题][例3] 用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于16的质数组成的集合A ； (2)方程x 2－2x ＋1＝0的解组成的集合B ；(3)平面直角坐标系中直线y ＝x 上的点组成的集合C ； (4)所有被3除余1的整数组成的集合D ； (5)E ＝{}（x ，y ）|x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋；(6)F ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫61＋x ∈Z |x ∈N .[自主解答] (1)大于2且小于16的质数有3，5，7，11，13，故A ＝{}3，5，7，11，13； (2)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的解1，故B ＝{1}；(3)平面直角坐标系中直线y ＝x 上的点组成的集合是点集，故C ＝{}（x ，y ）|y ＝x ，x ∈R ；(4)这一集合中元素的属性为被3除余1且为整数，所以D ＝{}x |x ＝3n ＋1，n ∈Z . (5)∵x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. ∴E ＝{}（1，3），（2，2），（3，1）； (6)∵61＋x∈Z ，且x ∈N ， ∴1＋x ＝1，2，3，6. ∴x ＝0，1，2，5. 即61＋x＝6，3，2，1. ∴F ＝{}6，3，2，1.[悟一法](1)当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：①元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑元素出现的先后顺序；④集合中的元素不能重复；⑤集合中的元素可以是任何事物．(2)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．[通一类]5．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy ＞0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{－2，2}； ③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是同一集合． 其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个解析：在直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)， 即解集为{(2，－2)}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2}，故②不正确；集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相同．③不正确．答案：A已知集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0，x ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．[错解] 由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得：a ≤－1，[错因] 涉及关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的问题，易误认为其一定是关于x 的一元二次方程，即a ≠0，而丢掉二次项系数a ＝0的情况，导致错误，解决这类含参数的问题，一定要注意二次项，一次项系数是否为0的情况．[正解] 当a ＝0时，方程只有一个根－12，则a ＝0符合题意．当a≠0时，则关于x的方程ax2－2x－1＝0是一元二次方程．由于集合A中至多有一个元素，则一元二次方程ax2－2x－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.综上可得，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≤－1}．1．下列各组对象中能构成集合的是( )A ．2013年中央电视台春节联欢晚会中吸引观众的演员B ．某校高一年级高个子的学生 C.2的近似值D ．2013年全国经济百强县 答案：D2．给出以下结论：①{2，4，6，8}与{4，8，2，6}是同一集合；②{y |y ＝x 2，x ∈R }与{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }是同一集合； ③{0，1}与{(0，1)}是不同集合． 其中正确的结论个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①正确；②中的两个集合不是同一集合，元素不一样；③中的两个集合也不是同一集合，也是元素不一样．答案：C3．给出下列关系：①12∈R ；②2Q; ③|－3|N ＋；④ |－3|∈N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由元素与集合的关系知①②正确，③④错误． 答案：B4．集合A ＝{x |mx 2＋2x ＋2＝0}中只有一个元素，则m 的值构成的集合为________． 解析：当m ＝0时，A ＝{－1}满足题意，当m ≠0时，由Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，A ＝{－2}，满足题意，综上可知，m ＝0，12.∴m 的值构成的集合为{0，12}．答案：{0，12}5．设A ＝{x －2，2x 2＋5x ，12}．若－3∈A ，则x ＝______． 解析：由题意可知：x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3.当x －2＝－3时，x ＝－1，把x ＝－1代入集合A 中，x －2＝2x 2＋5x ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去．当2x 2＋5x ＝－3时，x ＝－32满足已知条件(x ＝－1舍去)，所以x ＝－32.答案：－326．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合； (2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图像上所有点组成的集合．解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1，0，1，2，3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1，0，1，2，3}；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为{53，－2}；(3)一次函数y ＝x ＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．一、选择题1．下列四个关系式中，正确的是( ) A ．∈{a } B ．a {a }C ．a ∈{a ，b }D ．{a }∈{a ，b }答案：C 2．有下列说法：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； (3)方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； (4)集合{x |4<x <5}是有限集． 其中正确的说法是( ) A ．只有(1)和(4) B ．只有(2)和(3) C ．只有(2)D ．以上四种说法都不对解析：0∈{0}；方程(x －1)2(x －2)＝0的解集为{1，2}；集合{x |4<x <5}是无限集，只有(2)正确．答案：C3．(2012·新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．下面六种表示法：①{x ＝2，y ＝1}；②{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1}；③{(2，1)}；④(－1，2)；⑤{2，1}；⑥{(x ，y )|x ＝2，或y ＝1}．能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解集是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②③D ．②③⑥解析：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解是一对有序实数，即是一个点，因此解集应是一个点的集合．用列举法表示为{(2，1)}，用描述法表示为{(x ，y )}|x ＝2，且y ＝1}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1}．①和⑤是列举法，①中代表两个方程，而不是一个点，⑤中代表两个数．⑥为描述法，但⑥中元素是无数个点，表示两条直线x ＝2及y ＝1上的所有点．④不是集合．答案：C 二、填空题5．若A ＝{－2，2，3，4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示B ＝__________． 解析：由已知B ＝{4，9，16}． 答案：{4，9，16}6．已知集合M ＝{a |a ∈Z ，且65－a ∈N ＋}，则M ＝______．解析：5－a 整除6，故5－a ＝1，2，3，6， 所以a ＝4，3，2，－1. 答案：{4，3，2，－1}7．已知含有三个实数的集合既可表示成{a ，ba ，1}，又可表示成{a 2，a ＋b,0}，则a 2 012＋a 2 013＝________.解析：依题意b ＝0，∴{a ，ba，1}＝{a,0,1}，{a 2，a ＋b,0}＝{a,0，a 2}，于是a 2＝1，∴a ＝－1或a ＝1(舍去)，故a ＝－1，∴a 2 012＋a 2 013＝0.答案：08．集合A ＝{x |x 2＋ax －2≥0，a ∈Z }，若－4∈A ，2∈A ，则满足条件的a 组成的集合为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧16－4a －2≥0，4＋2a －2≥0，解得－1≤a ≤72. 又∵a ∈Z ，∴满足条件的a 组成的集合为{－1，0，1，2，3}．答案：{－1，0，1，2，3}三、解答题9．设集合A 含有3个元素a 2＋2a －3，2，3，集合B 含有2个元素2，|a ＋3|，已知5∈A 且5∉B ，求a 的值．解：因为5∈A ，所以a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|a ＋3|＝5，不符合题意，应舍去．当a ＝－4时，|a ＋3|＝1，符合题意，所以a ＝－4.10．数集A 满足条件：若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a∈A . (1)若2∈A ，写出A 中的两个元素；(2)若A 为单元素集合，求出A 和a .解：(1)若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a∈A ， ∴当2∈A 时，11＋2＝13∈A ； 当11＋a＝2即a ＝－12时，2∈A . 综上可知，A 中还有的两个元素为－12和13； (2)∵A 为单元素集合，则必有：a ＝11＋a ， 即a 2＋a －1＝0解得：a ＝－1－52或a ＝－1＋52. ∴A ＝{－1－52}，a ＝－1－52或A ＝{－1＋52}， a ＝－1＋52.。
1.1.1 集合的概念与表示(北师大版2019必修第一册)分册训练解析版
1.1.1集合的概念与表示分层练习基础巩固一、单选题1．已知M 是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M 可表示为（ ） A ．{x |x =1} B ．{x |x =2} C ．{1，2} D ．{1，2，3}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的知识确定正确选项. 【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成， 所以{}1,2,3M =. 故选：D2．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人 C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义分析判断即可. 【详解】对于A ，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于B ，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于C ，π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位， 不是明确的定义，故不能构成集合；对于D ，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合； 故选：D.3．已知集合{}0,1A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据,x A x B ∈∈，所以x y -可取1,0,1-，即可得解. 【详解】由集合{}0,1A =，{},B x y x A y A =-∈∈， 根据,x A y B ∈∈， 所以1,0,1x y -=-， 所以B 中元素的个数是3. 故选：C4．已知集合()(){}110A x x x x =-+=，则A =（ ） A ． {}0,1 B ． {}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-【答案】D 【解析】 【分析】通过解方程进行求解即可. 【详解】因为(1)(1)00x x x x -+=⇒=，或1x =-，或1x =， 所以{}1,0,1A =-， 故选：D5．给出下列四个关系：π∈R ， 0∉Q ，0.7∈N ， 0∈∅，其中正确的关系个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系. 【详解】∵R 表示实数集，Q 表示有理数集，N 表示自然数集，∅表示空集， ∴π∈R ，0∈Q ，0.7∉N ，0∉∅， ∴正确的个数为1 . 故选:D .6．已知{1}A x x m =∈-<Z ∣，若集合A 中恰好有5个元素，则实数m 的取值范围为（ ）A ．4<m ≤5B ．4≤m<5C ．3≤m<4D ．3<m ≤4【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出集合A ，进一步得到m 的范围. 【详解】由题意可知{}1,0,1,2,3A =-，可得3<m ≤4. 故选：D 二、多选题7．给出下列说法，其中正确的有（ ） A ．中国的所有直辖市可以构成一个集合；B ．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；C ．正偶数的全体可以构成一个集合；D ．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的确定性依次判断每个选项得到答案. 【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A 正确；高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B 错误； 正偶数的全体可以构成一个集合，C 正确；大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D 错误. 故选：AC.8．已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值可能是（ ）A ．98B ．1C ．0D ．23【答案】AC 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合A 有且只有一个元素求得a 的值. 【详解】当0a =时，{}2|3203A x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，符合题意.当0a ≠时，9980,8a a ∆=-==，符合题意.故选：AC 三、填空题9．用符号∈或∉填空：3.1___N ，3.1___Z ， 3.1____*N ，3.1____Q ，3.1___R . 【答案】 ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ 【解析】 【分析】由元素与集合的关系求解即可 【详解】因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数， 所以有：3.1N ∉；3.1Z ∉；*3.1N ∉；3.1Q ∈；3.1R ∈. 故答案为：∉，∉，∉，∈，∈.10．设集合{}1A x xy xy =-，，，其中x ∈Z ，y Z ∈且0y ≠，若0A ∈，则A 中的元素之和为_____. 【答案】0 【解析】 【分析】根据元素与集合间的关系，列方程求解. 【详解】因为0A ∈，所以若0x =，则集合{}0,0,1A =-不成立．所以0x ≠． 若因为0y ≠，所以0xy ≠，所以必有0xy -1=，所以1xy =． 因为x ∈Z ，y Z ∈，所以1x y ==或1x y ==-． 若1x y ==，此时{}1,1,0A =不成立，舍去．若1x y ==-，则{}1,1,0A =-，成立．所以元素之和为1100-+=． 故答案为：0. 四、解答题11．设集合{}22,3,42A a a =++，集合{}20,7,42,2B a a a =+--，这里a 是某个正数，且7A ∈，求集合B ． 【答案】B ＝{0，7，3，1}． 【解析】 【分析】解方程2427a a ++=即得解. 【详解】解：由题得2427a a ++=， 解得1a =或5a =-. 因为0a >，所以1a =. 当1a =时， B ＝{0，7，3，1}. 故集合B ＝{0，7，3，1}．12．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数；(3)我们班身高大于1.7m 的同学． 【答案】(1)能；有限集； (2)能；无限集； (3)能；有限集. 【解析】 【分析】根据集合的基本概念即得. (1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集； (2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集； (3)因为我们班身高大于1.7m 的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m 的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m 的同学是有限的，故该集合为有限集.培优提升一、单选题1．定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =， 所以{0,1,2}A B ⊗=--， 故集合A B ⊗中的元素个数为3， 故选：C.2．若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】分别令2a =和2a a a =-，根据集合中元素的互异性可确定结果. 【详解】若2a =，则22a a -=，不符合集合元素的互异性；若2a a a =-，则0a =或2a =（舍），此时{}{}22,2,0a a -=，符合题意；综上所述：0a =. 故选：A.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式||||||||x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ） A ．4∈M B ．2M ∈ C ．0M ∉ D ．4M -∉【答案】A 【解析】【分析】分别对x ，y ，z 的符号进行讨论，计算出集合M 的所有元素，再进行判断. 【详解】根据题意，分4种情况讨论；①、x y 、、z 全部为负数时，则xyz 也为负数，则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=-； ②、x y 、、z 中有一个为负数时，则xyz 为负数，则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； ③、x y 、、z 中有两个为负数时，则xyz 为正数，则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； ④、x y 、、z 全部为正数时，则xyz 也正数，则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； 则{4,0,4}M =-；分析选项可得A 符合． 故选：A. 二、填空题4．集合12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣，的元素个数为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据集合得表示可知：3x + 是12的因数，即可求解. 【详解】由12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣，可知，3x + 是12的因数，故31,2,3,4,6,12x +=±±±±±± ，进而可得x 可取0,1,3,9,1,2,4,5,6,7,9,15--------，故答案为：125．若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素，则a 的取值集合为__________． 【答案】{}0,1##{}1,0 【解析】 【分析】讨论集合A 中的条件2210ax x -+=属于一次方程还是二次方程即可求解. 【详解】①若0a =，则210x -+=，解得12x =，满足集合A 中只有一个元素，所以0a =符合题意；②若0a =/，则2210ax x -+=为二次方程，集合A 有且只有一个元素等价于2=(2)410a --⨯⨯=∆，解得1a =.故答案为：{}0,1. 三、解答题6．已知{}2|20,R M x ax x x =-+=∈．根据下列条件，求实数a 的值构成的集合．(1)当M =∅；(2)当M 是单元素集（只含有一个元素的集合）； (3)当M 是两个元素的集合. 【答案】(1)1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)1,08⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)1,08a a a ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）由判别式小于0可得（方程为一元二次方程）； （2）由二次项系数为0或一元二次方程的判别式为0柯得； （3）由方程为一元二次方程，且判别式大于0可得． (1)M =∅，180a ∆=-<，18a >，所以a 的范围是1(,)8+∞；(2)0a =时，{2}M =，满足题意，180a ∆=-=，18a =，此时{4}M =，满足题意，(3)由题意方程有两个不等实根，0a ≠且0∆>，解得18a <且0a ≠，所以a 的范围是1{|8a a <，0}a ≠．拓展创新1．已知集合2{,}A m m =，若1A ∈，则实数m 的值是__________ 【答案】1-【解析】 【分析】由1A ∈，分1m =，21m =两种情况讨论，结合集合中元素的互异性分析，即得解 【详解】 由题意，1A ∈（1）若1m =，则{1,1}A =，和集合中元素的互异性矛盾，不成立； （2）若21m =，则1m =±，由（1）1m ≠ 若1m =-，则{1,1}A =-，1A ∈，成立 故实数m 的值是1- 故答案为：1- 2．已知*k N ∈，记集合{1101100112222,1,,,,01}k k k k k k k A x x a a a a a a a a ---==⨯+⨯++⨯+⨯==或，例如{{}110102,1,01}2,3A x x a a a a ==+===或，…．现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网络游戏，它的激活码为集合A 2的各元素之和，则该游戏的激活码为________． 【答案】22 【解析】 【分析】由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1，由此求得集合{}24,5,6,7A =，故而可得答案. 【详解】解：由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1， 所以当100a a ==时，41+0+04x =⨯=； 当1010a a ==，时，41+21+06x =⨯⨯=； 当1001a a ==，时，41+20+115x =⨯⨯⨯=， 当1011a a ==，时，41+21+117x =⨯⨯⨯=，所以{}24,5,6,7A =，该游戏的激活码为4+5+6+722=， 故答案为：22.3．已知集合{}0,2A =，()()(){}21110B x ax x x ax =---+=，用符号A 表示非空集合A中元素的个数，定义,,A B A BA B B A A B ⎧-≥=⎨-<⎩※，若1A B =※，则实数a 的所有可能取值构成集合P ，则P =______．（请用列举法表示） 【答案】{}0,1,2- 【解析】 【分析】由集合的新定义结合题意求出a 的值，再用列举法表示即可 【详解】∵2A =，1A B =※， ∴1B =或3B =， 当1B =时，0a =或1a =.当3B =时，()()()21110ax x x ax ---+=有3个解，所以210x ax -+=只有一个解不为1和1a， 则240a ∆=-=，解得2a =±，当2a =时，2210x x -+=，则此时1x =，不符合题意； 当2a =-时，2210x x ++=，则此时1x =-，符合题意； 所以2a =-，11,,12B ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，故{}0,1,2P =-. 故答案为：{}0,1,2-．4．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数：定义()(),()()*()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C B C A -≥⎧=⎨->⎩，若{1,2}A =，{}22()(2)0,B x x ax x ax x R =+++=∈，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，S =__________； 【答案】{0,22,2}- 【解析】 【分析】根据新定义得出集合B 中元素个数，再由方程根的个数分析求解． 【详解】由已知()2C A =，而*1A B =，则()1C B =或3，试卷第11页，共11页 11显然22()(2)0x ax x ax +++=的一个解是0x =， 若()1C B =，则0a =，满足题意；若()3C B =，则0a ≠，方程已有两个根0x =和x a =-，220x ax ++=有两个相等的实根且不为0和a -，280a ∆=-=，22a =±22a =220x ax ++=的解为342x x ==- 22a =-220x ax ++=的解为342x x ==．均满足题意． 综上{0,2,22}S =-． 故答案为：{0,2,2}-．12 试卷第12页，共1页。
高一北师大版数学必修1课件1-1集合的含义与表示
§1 集合的含义与表示
学习方法指导 思路方法技巧 课堂巩固训练
方知法能警自示主探梳究理 探索延拓创新 课后强化作业
知能目标解读
1．通过实例，了解集合的概念，能判断元素与集合的关 系．
2．了解集合中元素的特性． 3．了解空集的含义与表示． 4．了解集合的分类，掌握几个常用数集的符号表示．
重点难点点拨
第一章
集合
本章概述
课程目标
1．通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属 于”关系，掌握常见数集的符号表示．
2．理解集合的表示法，用集合语言对事物进行准确的分 类，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法) 描述不同的具体问题，感受集合语言表示数学内容的简洁性 和准确性．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的 子集，培养分析、比较、归纳的逻辑思维能力．
5．集合的分类
空集：不含任何元素，记作 集合非空集合：按 的含 个有 数元 分素 为
：含有有限个元素 ：含有无限个元素
[答案] 1.(1)某些对象 (2)大写字母 A，B，C，D… (3) 每个对象
2．a 在集合 A 中 a∈A a 不在集合 A 中 a∉A 3．N N＋ Z Q R 4．(1)一一列举出来 大括号 (2)属于一个集合 大括号 5．∅ 有限集 无限集
合的 不属 如果________， ______ “a 不属于 A”
关系 于 就说 a 不属于 A
3.常用数集及表示符号 定义 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ________ ________ ________ ________ ________
4.集合的表示方法 (1)列举法 把集合中的元素________写在________内的方法． (2)描述法 用确定的条件表示某些对象________，并写在______内的 方法．
北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点
北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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数学北师大版高中必修1§1.1.1 集合的含义与表示
§1.1.1 集合的含义与表示1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.23讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学※ 探索新知探究1：考察几组对象：① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点；③ 所有的锐角三角形；④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +；⑤ 东升高中高一级全体学生；⑥ 方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车；⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿.试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征. 确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合.试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：①不等式30x->的解；②3的倍数；③方程2210-+=的解；x x④a，b，c，x，y，z；⑤最小的整数；⑥周长为10 cm的三角形；⑦中国古代四大发明；⑧全班每个学生的年龄；⑨地球上的四大洋；⑩地球的小河流.探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a∉A.试试3：设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B，0 B，－1 B.探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知4：常见数集的表示非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N+；整数集：全体整数的集合，记作Z；有理数集：全体有理数的集合，记作Q；实数集：全体实数的集合，记作R.试试4：填∈或∉：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z，. 探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※ 典型例题例1 用列举法表示下列集合：① 15以内质数的集合；② 方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合；③ 一次函数y x =与21y x =-的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数y x =的图象与二次函数2y x =的图象的交点”组成的集合.三、总结提升※ 学习小结①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.※ 知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）.A ．某个村子里的高个子组成一个集合B ．所有小正数组成一个集合C ．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D ．1361,0.5,,,224 2. 给出下列关系：① 12R =；② Q ；③3N +-∉；④.Q 其中正确的个数为（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 直线21y x =+与y 轴的交点所组成的集合为（ ）.A. {0,1}B. {(0,1)}C.1{,0}2- D.1{(,0)}2-4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填∈或∉）5. “方程230x x-=的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于10的所有质数组成的集合；（2）10的所有正约数组成的集合；（3）方程2100x x-=的所有实数根组成的集合.2. 设x∈R，集合2{3,,2}A x x x=-.（1）求元素x所应满足的条件；（2）若2A-∈，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.一、课前准备（预习教材P4~ P5，找出疑惑之处）复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为.其中的每个对象叫作.集合中的元素具备、、特征.集合与元素的关系有、.复习2：集合2{21}A x x=++的元素是，若1∈A，则x= .复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学※ 学习探究思考：① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？② 你能用列举法表示不等式13x -<的解集吗？探究：比较如下表示法① {方程210x -=的根}；② {1,1}-；③ 2{|10}x R x ∈-=.新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是确定条件.试试：方程230x -=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 . ※ 典型例题例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合.（1）方程340x x +=的所有实数根组成的集合；（2）所有奇数组成的集合.小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如 {|21,}x x k k Z =-∈,{|0}x x >.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）抛物线21y x =-上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327x y x y +=⎧⎨+=⎩解集.变式：以下三个集合有什么区别.（1）2{(,)|1}x y y x =-；（2）2{|1}y y x =-；（3）2{|1}x y x =-.反思与小结：① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}x y y x =-与2{|1}y y x =-不同.② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}x x >，{|3,}x x k k Z =∈.③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z ，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R }也是错误的.④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※ 动手试试练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数.练2. 已知集合{|33,}A x x x Z =-<<∈，集合2{(,)|1,}B x y y x x A ==+∈. 试用列举法分别表示集合A 、B .三、总结提升※ 学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；※ 知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x 是直角三角形，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{(,)|1}x y y x =+与集合2{|1}y y x =+是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn 图.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设{|16}A x N x =∈≤<，则下列正确的是（ ）.A. 6A ∈B. 0A ∈C. 3A ∉D. 3.5A ∉2. 下列说法正确的是（ ）.A.不等式253x -<的解集表示为{4}x <B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k =C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x -=实数根的集合表示为{(2,2)}-3. 一次函数3y x =-与2y x =-的图象的交点组成的集合是（ ）.A. {1,2}-B. {1,2}x y ==-C. {(2,1)}-D. 3{(,)|}2y x x y y x =-⎧⎨=-⎩4. 用列举法表示集合{|510}A x Z x =∈≤<为.5.集合A ＝{x |x =2n 且n ∈N }， 2{|650}B x x x =-+=，用∈或∉填空：4 A ，4 B ，5 A ，5 B .1. （1）设集合{(,)|6,,}A x y x y x N y N =+=∈∈ ，试用列举法表示集合A .（2）设A ＝{x |x ＝2n ，n ∈N ，且n <10}，B ＝{3的倍数}，求属于A 且属于B 的元素所组成的集合.2. 若集合{1,3}A =-，集合2{|0}B x x ax b =++=，且A B =，求实数a 、b .§1.1.2 集合间的基本关系1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用V enn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.67复习1：集合的表示方法有 、 、. 请用适当的方法表示下列集合.（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课导学※ 学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：{3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且；{}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生；{|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A .当集合A 不包含于集合B 时，记作A B Ø.② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为V enn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ；（3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题.（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？①若,,≥≥=且则；a b b a a b②若,,且则.a b b c a c≥≥≥※典型例题例1 写出集合{,,}a b c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}B x x=-≥；=->与{|250}A x x（2）设集合A={0,1}，集合{|}=⊆，则A与B的关系如何？B x x A变式：若集合{|}⊆，求实数a的取值范围.=-≥，且满足A BB x x=>，{|250}A x x a※动手试试练1. 已知集合2=-+=，B＝{1,2}，{|8,}A x x x{|320}=<∈，用适当符号填空：C x x x NA B，A C，{2} C，2 C.练 2. 已知集合{|5}⊆，则实数a的取值范围A x a x=<<，{|2}B x x=≥，且满足A B为.三、总结提升※学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※ 知识拓展n 个元素，那么它的子集有2n 个，真子集有21n -个.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列结论正确的是（ ）. A. ∅A B. {0}∅∈C. {1,2}Z ⊆D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）. A. 1a < B. 1a ≤ C. 1a > D. 1a ≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）. A. 3,2b c =-= B. 3,2b c ==- C. 2,3b c =-= D. 2,3b c ==-4. 满足},,,{},{d c b a A b a ⊂⊆的集合A 有 个.5. 设集合{},{},{}A B C ===四边形平行四边形矩形，{}D =正方形，则它们之间的关系是 ，并用Venn 图表示.1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A 表示合格产品的集合，B 表示质量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A ⊆⊆⊆⊆ 试用V enn 图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q =++=，2{|320}B x x x =-+=且A B ⊆，求实数p 、q 所满足的条件.§1.1.3 集合的基本运算（1）1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用V enn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.89复习1：用适当符号填空.0 {0}；0 ∅；∅{x|x2＋1＝0,x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S，{x|x∈S且x∉A}= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学※学习探究探究：设集合{4,5,6,8}B=.A=，{3,5,7,8}（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：且=∈∈{|,}.A B x x A x BVenn图如右表示.②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：A B，读作：A并B，用描述法表示是：{|,}A B x x A x B =∈∈或.Venn 图如右表示.试试：（1）A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ；（2）设A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ； （3）A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x <6}，则A ∪B ＝ ，A ∩B ＝ . （4）分别指出A 、B 两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A ∩B 与A 、B 、B ∩A 有什么关系？（2）A ∪B 与集合A 、B 、B ∪A 有什么关系？（3）A ∩A ＝ ；A ∪A ＝ . A ∩∅＝ ；A ∪∅＝ .※ 典型例题例1 设{|18}A x x =-<<，{|45}B x x x =><-或，求A ∩B 、A ∪B .变式：若A ＝{x |-5≤x ≤8}，{|45}B x x x =><-或，则A ∩B = ；A ∪B = .小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.例2 设{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，求A ∩B .A变式：（1）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|43}B x y x y =+=，则A B = ； （2）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|8212}B x y x y =+=，则A B = .反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※ 动手试试练1. 设集合{|23},{|12}A x x B x x =-<<=<<.求A ∩B 、A ∪B .练 2. 学校里开运动会，设A ={x |x 是参加跳高的同学}，B ={x |x 是参加跳远的同学}，C ={x |x 是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A B 与B C 的含义.三、总结提升※ 学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展A B C A B A C =（）（）（）， A B C A B A C =（）（）（）， A B C A B C =（）（）， A B C A B C =（）（）， A A B A A A B A ==（），（）.你能结合V enn 图，分析出上述集合运算的性质吗？※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z x B x Z x =∈≤=∈>那么A B 等于（ ）.A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{}15x x <≤2. 已知集合M ＝｛(x , y )|x +y =2｝，N ={(x , y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为（ ）.A. x =3, y =－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C ===，则()A B C 等于（ ）. A. {0,1,2,6} B. {3,7,8,} C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a =>，{|03}B x x =<<，若A B =∅，求实数a 的取值范围是 .5. 设{}{}22230,560A x x x B x x x =--==-+=，则A B = .1. 设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试分别说明下面三种情况时直线1l 与直线2l 的位置关系？ （1）12{}L L P =点； （2）12L L =∅； （3）1212L L L L ==.2. 若关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，且A ∩B ={13-}，求A B .§1.1.3 集合的基本运算（2）1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2. 能使用V enn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.1011 复习1：集合相关概念及运算.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的 ，记作 . 若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的 ，记作 .若A B B A ⊆⊆且，则 .② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为： A B = ； A B = .复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？二、新课导学※ 学习探究探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？新知：全集、补集.① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且.补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制. 试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ；（2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N }，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝ ； （3）设集合{|38}A x x =≤<，则R A ð= ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ .反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？ （2）Q 的补集如何表示？意为什么？※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求U C A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B 、()()U U C A C B .※ 动手试试练 1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =，(){4,6,8}I C A B =，{2}A B =. 求集合A 、B .练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1） ； （2） ；（3） ； （4） .反思：结合V enn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A = ，()U A C A = ； （2）()U U C C A = .三、总结提升※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立？ （1）()()()U U U C A B C A C B =； （2）()()()U U U C A B C A C B =.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（ ） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（ ）. A. {|02}x x x ≤≥或 B. {|02}x x x <>或 C. {|2}x x ≥ D. {|2}x x >3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--, {}0,3,4N =--，则()I M N =ð（ ）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N |x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =，试用列举法表示集合A§1.1 集合（复习）1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.一、课前准备（复习教材P 2~ P 14，找出疑惑之处）复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？ A B = ； A B = ； U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝ ；A ∩∅＝ ； A ∪A ＝ ；A ∪∅＝ ；()U A C A = ；()U A C A = ； ()U U C C A = . 你还能写出一些吗？二、新课导学※ 典型例题例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点； （2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =，A B ≠∅，(){1,2}U A C B =，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法. 例 3 若{}{}22430,10A x x xB x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。
(北师大版)高一数学必修1
第一章集合课题: §1.1集合的含义与表示（一）教学过程：一、新课引入：集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。
二、讲授新课：1.集合有关概念的教学：考察几组对象：① 1～20以内所有的质数；②到定点的距离等于定长的所有点；③所有的锐角三角形；④x2, 3x+2, 5y3-x, x2+y2；⑤东升高中高一级全体学生；⑥方程230+=的所有实数根；⑦隆成日用品厂2005年8月生产的所有童车；⑧2005年1月, x x广东所有出生婴儿。
A.提问：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？（数、点、形、式、体、解、物、人）B.概念：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫作集合（set）（简称集）。
C.讨论集合中的元素的特征：分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？→结论：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的。
即集合元素三特征。
确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素。
无序性：集合中的元素没有顺序。
D.分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：不等式x-3>0的解；3的倍数；方程x2－2x＋1＝0的解； a,b,e,x,y,z；最小的整数；周长为10cm的三角形；中国古代四大发明；全班每个学生的年龄；地球上的四大洋；地球的小河流E. 集合相等：构成两个集合的元素是一样的.2.集合的字母表示：①集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示。
②如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a∉A。
-北师大版高中数学必修第一册1.1.1集合的概念与表示课件
(2)所有奇数组成的集合B；
(3)平面α内，到定点O的距离等于定长r的 所有点组成的集合C。
解：(1)A {x Q x 10}
试
(2)B {x x 2n 1, n Z }
一
(3)C {M MO r }
试
思考讨论：
(1) 集合 P {A AB AC ，其中B、C是平面内两个定点} 表示什么图形
(2)B {-3,3}
试
一
试
描述法：通过描述元素满足的条件表示集合
的方法叫作描述法。
一般表示为 {x的范围|x满足的条
件}
如：所有偶数组成的集合可表示为D {x R x 2n, n Z}
其中“x R
”可以简写D ，{x即x 2n, n Z}
例2：用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有有理数组成的集合A；
y x 1
的函数值的集合；集合C表示y函 x数1
图象上的
4、集合元素的特性 集合中的元素具有确定性 互异性、 无序性
5、集合的分类
有限集、无限集 不含任何元素的集合叫作空集。记作Ф 如：A {x x2 2 0} B {x Q x2 2 0}、
6、数集的区间表示
闭区间
开区间
半开半闭 区间
试
一
试
练 习
教材P5，练习1、2、31、2、3、4.
这里的符号“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作 “负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。 实数集R也可以记作（-∞，+∞）。
练习：已知集合A {a2 4a 1, a 1}，B {x x2 px q 0}
若 1 A
。
(1)求实数a的值；
(2)如果集合A是集合B的列举表示法，
1.1 集合的含义与表示 课件8 (北师大必修1)
(3)0与1之间的全体无理数构成一个集合；
(4)集合A＝{(1，－3)}与B＝{(－3,1)}是同一集合.
【解析】
(1)不正确.因为集合中的元素具有无序性，即对于元素不要求顺
序，只要是相同几个元素即可，故{a，b，c，d}与{d，c，b，a}是两个相同
的集合.
(2)不正确.对于一个集合，它的元素是互异的，而 2 ＝0.50，因此，此种表 示不能构成集合.要想表示集合，应写作 1， ， ，0.71 ，含有4个元素. 2 4
【解析】 ∵π是实数，是无理数，
∴①②正确，N＋表示正整数集，而0不是正整数；
|－4|是正整数，∴③④错误. 【答案】 B
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合 (1)比4大2的数； (2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (3)不等式x－2>3的解的集合； (4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合. 【思路点拨】 解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么，有限个还是无 限个.
1
1 1
(3)正确.符合集合中元素的特性，它是一个无限数集. (4)不正确.A＝{(1，－3)}表示的是由点(1，－3)组成的单元素点集，B＝{( －3,1)}表示的是由点(－3,1)组成的单元素点集，而(1，－3)和(－3,1)是不同 的两个点，因此A与B是不同的集合.
3.用适当的方法表示下列集合
(1)二元二次方程组
y＝x 2 y＝x
的集合；
(2)大于4的全体奇数组成的集合； (3)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}； (4)一次函数y＝2x＋1图象上所有点组成的集合. 【解析】 (1)列举法：{(0,0)，(1,1)}； (2)描述法：{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}； (3)列举法：因为x∈N，y∈N，x＋y＝3， 所以
高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结
高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n-个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集A B B⊇U补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有 、 、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：① 形如y ＝221x +，可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x-1，可采用 法；⑤ y ＝x －21x -，可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有 ，则称f (x )在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；②都有 ，则称f (x )在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法，其步骤为：①；②；③ .(2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若，则f (x)在这个区间上是增函数；②若，则f (x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1．若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数；2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为；3．互为反函数的两个函数有的单调性；4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f[g(x)]为，若 f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有，则称f (x)为奇函数；若，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) .② 简单性质：1）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.2）函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)xf=af)(（a、m均为x(+)f-(x)(fa=x+、或m非零常数，0>a ），都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称，均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0，a≠1，x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ，a >0，且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m ，我们把b 叫作a 的mn 次幂，记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0，m 、n ∈N ＋，且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0，b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地，________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图像和性质a>10<a<1 图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点______，即x＝____时，y＝____函数值的变化当x>0时，______；当x<0时，________当x>0时，________；当x<0时，________ 单调性是R上的________是R上的________§4对数(二)1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：(1)log a(MN)＝________________；(2)log aMN＝________；(3)log a M n＝__________(n∈R)．2．对数换底公式log b N＝logaNlogab(a，b>0，a，b≠1，N>0)；特别地：log a b·log b a＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．§5对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.2．对数函数的图像与性质定义y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图像定义域______值域______单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图像过点______，即log a1＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈______；x∈[1，＋∞)时，y∈______.x∈(0,1)时，y∈______；x∈[1，＋∞)时，y∈______.对称性函数y＝log a x与y＝1loga x的图像关于______对称对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章函数应用§1函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a，b]，使____________．(2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0，则________________；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。
北师大1.1集合的含义与表示导学案
安边中学高一年级1 学期 数学 学科导学稿 执笔人：邹英 总第1 课时备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 2013.8.28 集体备课 个人空间一、课题：1.1集合的含义与表示二、学习目标1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征性质.三、教学过程【温故知新】问题1： 将下列各数填入相应的图形中：,523,6,73,312,45.0,214,112,9,1,3,2----正整数 负整数 正分数 负分数问题2: 将教材第2页表中的湖泊分别按下列方法分类⑴淡水湖有那些?咸水湖呢？⑵蓄水量在150亿m ³以上的有哪些？以下的呢？⑶你是怎么分类的，给大家说说？问题3：给定下列人物：李白、杜甫、李清照、辛弃疾、王安石，你怎么分类？【导学释疑】（一）集合的含义1、集合：指定的某些对象的全体称为集合，集合常用大写字母A，B，C，D，…标记；2、元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素．元素常用小写字母a，b，c，d，…标记；例如：在问题1中，-3和-9组成了负整数的集合，可以记为A，-3、-9都是它的元素；小于10的素数集合可以记为B，它的元素为2、3、5、7．3、元素与集合的关系：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了．若元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作 a∈A ；若元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A ．例如：在上述的素数问题中，2∈B，6∉B．4、集合中元素的特征、、5、数的集合简称数集，常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作；正整数集，记作或；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作。
6、有限集、无限集、空集有限集——含有限个元素的集合叫有限集．无限集——含无限个元素的集合叫无限集．空集——不含有任何元素的集合叫做空集．记作∅（二）集合的常用表示法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内的方法。
北师大版高中数学必修1《一章 集合 1 集合的含义与表示 习题1—1》优质课教案_19
集合的含义与表示一、教材地位与作用：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础。
集合语言是现代数学的基本语言，不仅有助于简洁、准确表达数学内容，还可以刻画和解决许多实际问题。
许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上，同时集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
二、教学目标l.知识与技能(1)通过实例，掌握集合的含义及其表示（文氏图法、列举法、描述法）(2)掌握常用数集及其专用记号，体会元素与集合的属于关系；(3)掌握集合中元素的三要素-----确定性、互异性、无序性，突出元素分析法;(4)会用集合语言表示有关数学对象；2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)体会从具体到抽象，简单到复杂认知过程，培养学生的抽象概括能力3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.三、教学重点.难点重点：集合的定义与表示方法难点：集合表示法的形成，元素的三要素四、教法学法与教具从高中生的心理特点和认知水平出发，自主学习、思考、交流、讨论和概括，师生共同探讨的启发式教学法2. 教具：多媒体五、教学过程问题1：8月30日8点，高一年级学生到操场集合举行军训会操.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?问题2：课本上湖泊的例题……设计意图:既激发了学生浓厚的学习兴趣，又为新知作好铺垫（二）研探新知，建构概念1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面10个实例：(1) 数组1，3，5，7.（2）到两定点距离的和等于两定点间距离的点.（3）满足323->+的全体实数.x x（4）所有直角三角形.（5）高一（1）班全体男同学.（6）所有绝对值等于6的数的集合.（7）所有绝对值小于3的整数的集合.（8）中国足球男队的队员.（9）参加2008两奥运会的中国代表团成员.（10）参与中国加入WTO谈判的中方成员.2．教师组织学生分组讨论：这10个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出10个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.说明：（1）集合中的每个对象叫做这个集合的元素；（2）集合一般用大括号｛｝表示；（3）集合常用大写字母BCa b c d…表示.A表示，元素常用小写字母,,,,,D,,（4）若元素a在集合A中,就说元素a属于集合A, 记作a A∈；（5）若元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A, 记作a A∉；设计意图:①通过实例让学生感受集合的概念，体现从具体到抽象，特殊到一般的认知规律，培养学生的抽象概括能力②实现三种语言的转化(三)质疑答辩，发展思维（概念辨析）1．给出下列4个题目（1）}3,1{=A .问5,3哪个是A 的元素？（2）所有素质好的的人能否构成集合？（3）由实数1，2，2，4组成的集合有几个元素？（4）A =｛太平洋，大西洋｝，B =｛大西洋，太平洋｝是否表示为同一集合？ 思考：集合中元素有什么特点? 让学生充分发表自己的建解，并让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价，使学生明确集合元素的三大特性。
北师大版高中数学必修一课件1.1.1集合的含义与表示
课堂练习 1.若M={1，3}，则下列表示方法 C 正确的是（）
1M A．3MB．
D．1M且 3M
C．1M
2．用符号表示下列集合，并写 出其元素： (1)12的质因数集合A； (2)大于且小于的整数集 B． 11 29
课堂小结 1．集合的定义; 2．集合元素的性质：确定性，互 异性，无序性； 3．数集及有关符号； 4.集合的表示方法； 5.集合的分类.。
（3）图示法．
集合的分类
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
⑶空集：不含任何元素的集合. 记作．
5．例题讲解
例1下面的各组对象能否 构成集合？
Zxxk
（1）高个子的人；
（2）小于2004的数；
（3）和2004非常接近的数.
练习 判断下列说法是否正确：
(1){x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2}
集合的表示方法
1、列举法：
无序 互异 将集合中的元素一一列举出来，并用花括号{} 括起来的方法叫做列举法
③不等式x－3＞2的解集；
④抛物线y=x2上的点集；
⑤方程x2+x+1=0的解集合.
描述法：用确定条件表示某些对 象是否属于这个集合的方法．
集合的表示方法
2、描述法：
将集合的所有元素都具有的性质 （满足的条件） 表示出来，写成{x︱p(x)}的形式
4．重要数集：
(1)N:自然数集(含0) 即非负整数集 (2)N＋:正整数集(不含0) (3)Z：整数集 (4)Q：有理（1）属于(belongto)：如果a是集合A的 元素，就说a属于A，记作a∈A （2）不属于(notbelongto)：如果a不 是集合A的元素，就说a不属于A，记作
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1. 定 义 一般地, 指定的某些对象的
全体称为集合. 集合中每个对象叫做这个
集合的元素.
集合例子
高一16班全体同学
2. 集合的表示法
集合常用 大写字母A，B，C， 表示,
D, …
元素则常用 小写字母a,b,c,d, …表示.
3. 集合与元素的关系
若a在集合A中，就说a属于集合A，记作a∈A；
练习
1. 用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2) Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) 2 3 Q (6) 2 3 R
5. 集合的表示方法
列举法 描述法
把集合中的元素 一一列举 出来写在大括号内的 方法. • 用 确定的条件 表示某些对象属于一个集合并
写在大括号内的方法.如﹛x∈A∣p（x）﹜， 竖线前面的字母表示集合中的元素.
⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?
思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？ 由此说明什么？ 提示：不能.集合中的元素必须是确定的，即确定性.
例题分析 例1 用列举法表示下列集合： （1）由大于3小于10的奇数组成的集合. （2）方程 x2-9=0的解的集合. 解:（1）由大于3小于10的奇数组成的集合用列举法 可表示为
水面面 积/km2
4 340 3 583 2 691 2 428
湖面海 拔/m
3 195 22 33 3
蓄水量 /(亿m3) 778.0 150.1 155.4
51.4
湖水最 深/m
27 29 24 3
湖水 性质
咸 淡 淡 淡
2 339 546 131.3
8
淡
1 962 4 718 768.0 35
2.用适当的方法表示下列集合： （1）小于20的素数组成的集合；
{2,3,5,7,11,13,17,19} （3）由大于3小于9的整数组成的集合；
{4,5,6,7,8}
（4）所有奇数组成的集合；
{x x 2n 1,n Z} （2）方程x2-4=0的解的集合.
{2, 2}
3.下列四个集合中，空集是（ B ）.
3.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
4.集合的分类.
2.（2013•江西高考）若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0} 中只有一个元素，则a=（ A ）
A．4
B．2
C时，方程为1=0不成立，不满足条件; 当a≠0时，△=a2-4a=0，解得a=4.
3.已知集合A={-1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}， 则集合B等于（ B ） A．{-2，2} B．{-2，0，2} C．{-2，0} D．{0} 解析：因为A={-1，1}，x∈A，y∈A， 所以x=-1或x=1，y=-1或y=1， 则m=x+y=0，-2，2， 即B={-2，0，2}．
若a不在集合A中，就说a不属于集合A，
记作a A.
集合与元素的关 系只有属于与不 属于两种关系
例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.集合中的元素是确定的．
4．重要数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N＋: 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数集
A. {0}
B.{x x 8,且x 5}
C.{x N x2 1 0} D.{x x 4}
【提升总结】 1.集合中元素的三种特征：确定性、互异性、无序 性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足 集合中元素的互异性．
1.集合与元素的概念及关系. 2.集合的表示方法：
（1）列举法:一一列举 （2）描述法：﹛x∈A∣p（x）﹜
第一章 集合 §1 集合的含义与表示
1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系. (重点）
2.集合的表示会用恰当的方法表示集合.(重点、 难点)
接下来看表格回答几个问题：
湖泊名称
青海湖 鄱阳湖 洞庭湖
太湖
呼伦湖
纳木错湖 洪泽湖 南四湖
博斯腾湖
所在 地
青海 江西 湖南 江苏 内蒙 古 西藏 江苏 山东 新疆
思考1：江苏省水面面积在1 500km2以上的天然湖组 成的集合怎么表示？
列举法I={太湖，洪泽湖}.
思考2：不等式 x -32>0的解集怎么表示？
描述法 A {x x 32}.
思考3：方程 x2 2x 0 的解集用描述法可怎么表 示?
B {x x2 2x 0}.
思考4：在平面直角坐标系中第二象限的点构成 的集合，怎么表示呢？
咸
1 577 12
27.9
4
淡
1 097 33
16.1
3
淡
992 1 048 80.2
16
淡
水面面积在3 000km2以上的有 青海湖、鄱阳湖 ；
从表中我们可以看到： 水面面积在3 000km2以上的有 青海湖 、鄱阳湖 ； 水面面积在2 000至3 000km2的有： 洞庭湖 、太湖 、呼伦湖 ； 水面面积在990至2 000km2的有： 纳木错湖 、洪__泽__湖____南、四湖 博、斯腾湖 . 这样，我们将这些湖按面积大小分成了三类.
描述法 C {(x, y) x 0,且y 0}. 思考5：函数y=2x图像上的点（x,y)的集合可表 示为什么呢？
D {(x, y) y 2x}.
6.集合元素的性质:
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一.
⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}.
{5，7，9}. （2）方程x2-9=0的解的集合用列举法可表示为
{-3，3}.
例2 用描述法表示下列集合： （1）小于10的所有有理数组成的集合. （2）所有偶数组成的集合. 解：（1）小于10的所有有理数组成的集合用描述 法可表示为{x Q x 10}. （2）偶数是能被2整除的数，可以写成x=2n(n∈Z) 的形式，因此，偶数的集合用描述法可表示为
{x x 2n,n Z}.
探究点6.集合的分类 有限集：含有限个元素的集合 无限集：含无限个元素的集合 空集：不含有任何元素的集合
质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本 身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以 外不再有其他的因数;否则称为合数。