数理统计1-3

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第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
例 1 两台车床加工同一种零件共100个，结果如下 合格品数 次品数 总计 第一台车床加工数 30 5 35 第二台车床加工数 50 15 65 总 计 80 20 100
设A={ 从100个零件中任取一个是合格品} B={从100个零件中任取一个是第一台车床加工的 }
0 1
设试验E 为“随机地向边长为1的正方形内投点”, 事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内”
事件B为“点投在正方形的对角线上”
有
P ( A) 1 P (B) 0
第一章 概率论的基本概念（第三讲）
§3
条 件 概 率
目 录 索 引
§3条件概率
一
条 件 概 率
二
三
乘 法 公 式
全概率公式和贝叶斯公式
AB AB B AB AB


P ( AB ) P ( AB ) P (B)
P (B) P (B) 1
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பைடு நூலகம்
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第一章 概率论的基本概念
例 2 已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女
孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．
解：设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 } 所求概率为
2
1
第一章 概率论
解：B为第2步所取的球为白球，A为第1步从甲袋 中取得白球放入乙袋， 为第1步从甲袋中取得黑 A 球放入乙袋。 第2次取到白球:
B AB AB
A B
A
B
P ( B ) P ( AB ) P ( AB )
P ( A)P (B | A) P ( A)P (B | A)

任取一件
(1)求取得次品的概率； (2)若已知取到次品，求此产品为甲厂产品的概率。
解：设 B 表示取到次品，
Ai (i =1,2,3)分别表示取到甲、乙、丙箱。 (1)
P ( B ) P ( A1 B ) P ( A2 B ) P ( A3 B )
P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A2 ) P ( B | A2 ) P ( A3 ) P ( B | A3 )
§3条件概率
P A1 A 2 A n 1 0
则有
P A1 A 2 A n P A 1 P A 2 A1 P A 3 A 1 A 2
P A n A1 A 2 A n 1
这就是n个事件的乘法公式．
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U
;
P Ak 0

k 1,
2, , n
;
则有：
P(A B) k P(A | B) k P(B)
P ( A )P (B | A ) k k , k 1, 2, , n n P ( A )P (B | A ) j j j1
例5
1 甲厂： 箱，次品率 5 10 1 乙厂： 箱，次品率 3 任取一箱 15 1 丙厂： 箱，次品率 2 20
二、乘法公式
1）两个事件的乘法公式： 由条件概率的定义 P B A 我们得
§3条件概率
P AB P A
P AB P AP B A
P B P A B
这就是两个事件的乘法公式．
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第一章 概率论
例设有围棋手甲乙两人共下两盘棋。A1为甲第1盘胜的 事件； A2为甲第2盘胜的事件。已知甲第1盘胜的概 率为0.7，在甲第1盘胜的条件下第2盘胜的概率为0.8； 甲在两盘中至少胜1盘的概率为0.9，问P(A2)=？
第一章 概率论的基本概念
例3 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取 出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进 一个白球，直至取出黑球为止．求取了n 次都未 取出黑球的概率． 解：设 B 取了 n 次都未取出黑球
A i 第 i 次取出白球
i 1，
2， ， n
P B A
P AB P A
ggg bbb
ggb bbg
gbg bgb bgg gbb
而 P A 1 P A 1
P AB 6 8
1 8

7 8
6
所以
8 6 P B A 7 7 8
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第一章 概率论的基本概念
2 3 2 3
B
P ( A)P B A P ( A)P B A




2 3 1 3

2 3

1 3

4 5
第一章 概率论
贝叶斯（Bayes）公式 设随机事件
A1 , A2 , , An
满足：
1
3
A1 ,
n k 1
A2 ,
,
A n 两两互不相容；
2 Ak
S A
P (A )
A 的度量 S 的度量
A
S
例 设有一个均匀的陀螺,其圆周的一半上均匀地刻上 [0,1)上的诸数字,另一半上均匀地刻上区间[1,3)上的 诸数字.旋转陀螺.求它停下来时,其圆周上触及桌面 的点的刻度位于[0.5,1.5]的概率。
3
0 0.5 2 1.5 1
3 8
第一章 概率论
1 2 3
1
2
1
3
1
2
(1 )(1 )(1 ) 2 10 10 200
1
7
9
3
.
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第一章 概率论
三. 全概率公式和贝叶斯公式 例今有甲乙两只袋子，袋中所放的球分别为2白1黑 及1白1黑；第一步从甲袋中任取1球放入乙袋；第 二步再从乙袋中任取1球。问第2步所取球为白球 的概率？
求： A , P P ( B ), P AB , P( A | B).
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第一章 概率论的基本概念
解：P A
80 100
,
P B
35 100
,
P AB
30 100
,
P A B
30 35
P A
80 100
,
定义： 、B是某随机试验中的两个事件，且 设A
n
A
k 1
BA1
BA2
B
Ak B
k 1
A1
A2
…... …...
S
BAn
An
A1 ,
A2 B ,
A2 ,
,
,
A n 两两互不相容，
A n B 也两两互不相容；
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第一章 概率论的基本概念
所以由概率的可加性，得
P B
§3条件概率
P A B
P B 0
则 P A B
P AB P B
称为在事件B已发生的条件下事件A的条件概率， 简称为A在B之下的条件概率。
第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
2）条件概率的性质：
(1 ) 非负性：对任意事件 A，有 P A B 0
( 2 ) 规范性：P S B 1 ；
续例 已知第2次取出白球，求第一次取白球的概率？
P (B) P ( A)P (B | A) P ( A)P (B | A) 2 3 2 3 1 3 1 3
A
P ( A | B)
P ( AB ) P (B)
A B


P ( A)P ( B | A) P (B) P ( A)P B A
k k 1
n
再由条件 P A k 0
k
1,
2,
, n ，得
P A k B P A k P B A k
得
P B
P A B P A P B A
k k k k 1 k 1
n
n
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第一章 概率论

5 10

1 10

3 10

1 15

2 10

1 20
0.08
(2) P ( A1 | B )
P ( A1 B ) P(B)

P ( A1 ) P ( B | A1 ) P(B)
则
B A1 A 2 A n
由乘法公式，我们有
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第一章 概率论的基本概念
P B P A A A 1 2 n


§3条件概率
P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2 P A n A 1 A 2 A n 1
1 2 3 n 2 3 4 n1 1 n1
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第一章 概率论的基本概念
例 4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时 打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二 次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破， 第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次 而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下未打 破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”， 有： P ( B) P ( A A A ) P ( A ) P ( A | A ) P ( A | A A )