dirac符号,正规乘积
matlabdirac函数和函数的卷积
matlabdirac函数和函数的卷积Dirac函数是一种特殊的数学函数，通常用符号δ(t)表示。
Dirac 函数在数学和物理领域中非常重要，因为它在描述冲击现象和极限过程中起着关键作用。
Dirac函数的定义是：δ(t)=0,t≠0δ(t)=∞,t=0Dirac函数具有以下性质：- ∫[a,b] δ(t) dt = 1, 如果0∈[a,b]，否则等于0- Dirac函数的任意有限线性组合仍然是Dirac函数- Dirac函数的平移性质：δ(t-a) = δ(t) 恰好当 t=a 时；δ(t-a) 的积分是1Dirac函数的卷积是一种数学运算，具体是指将两个函数进行积分运算。
函数卷积在信号处理、图像处理、概率论、微积分和物理学等领域中都有广泛应用。
函数f(t)和g(t)的卷积定义为：(f⋆g)(t) = ∫f(t-x)g(x)dx在这个定义中，x是积分变量，积分区间包含整个定义域。
卷积运算有一些重要的性质：1.交换律：(f⋆g)(t)=(g⋆f)(t)2.结合律：[(f⋆g)⋆h](t)=[f⋆(g⋆h)](t)3.分配律：[f⋆(g+h)](t)=(f⋆g)(t)+(f⋆h)(t)Dirac函数的卷积具有一些特殊的性质，这些性质使得Dirac函数的卷积在物理和工程应用中非常有用。
以下是一些重要的性质：1.对任意函数f(t)，有(f⋆δ)(t)=f(t)这意味着将Dirac函数和任意函数进行卷积，结果将是原始函数本身。
2.对任意函数f(t)，有(δ⋆f)(t)=f(t)这说明Dirac函数被任意函数卷积后的结果仍然是原始函数本身。
3.δ(t)是两个函数f(t)和g(t)的卷积的单位元。
也就是说δ(t)⋆f(t)=f(t)和g(t)⋆δ(t)=g(t)对于任意函数f(t)和g(t)成立。
4. Dirac函数的卷积满足平移性质。
(δ(t-a)⋆f(t))=f(t-a)Dirac函数和函数的卷积在信号处理中经常用于描述冲激响应、系统分析、滤波、时域和频域变换等方面。
浅谈对dirac符号的认识
浅谈对dirac 符号的认识1. 从牛顿---莱布尼兹积分谈起现代科学始于17世纪牛顿----莱布尼兹创立的微积分。
尤其是莱布尼兹发明了微分号d 和积分号⎰；大大简化了数学的表达方式，也节约了人们的脑力。
数学家黎曼曾说：“只有在微积分发明之后, 物理学才成为一门科学。
” 这以后，积分学有两个主要的发展方向，一个是复变函数的围道积分，另一个是实变函数的勒贝格积分；是牛顿---莱布尼兹积分推动了经典物理的发展。
量子力学是从经典力学“脱胎”而出的，它虽与经典力学大相庭径，却又是与之有着千丝万缕联系的一门科学。
由于量子力学中许多物理概念与经典力学的截然不同，因此量子力学需要有自己的符号，或是“语言”。
Dirac 符号法是量子力学的标准“语言”，自从上世纪初有了量子力学的萌芽，就有了对于其数学符号的需求，于是Dirac 的符号应运而生。
而牛顿－莱布尼兹发明微积分时并无Dirac 符号，该积分方法可否直接运用于对Dirac 符号进行呢？这个问题在量子力学建立后相当长的一段时间没有得到足够的重视。
符号是一门科学的“元胞”；是人们用以思考的“神经元”；是反映物理概念的数学记号；中国的汉字起源于甲骨文,它是古代劳动人们从生产实践中抽象出来的象形符号并通过组合而演变成的文字符号 (见图1殷商的甲骨文，图2是苏美尔的楔形文字的演化；图3和图4分别代表阿拉伯数字和拉丁字母的起源和演化,它们并没有像形的意义,只是符号而已). 由于思想是没有声音的语言，当人们在思考时，心目中的符号便在脑海这张无形无边的“纸”上写字，例如人们在心算时，就是在脑海里对阿拉伯数字符号做演算，因此一套好的记号可以使头脑摆脱不必要的约束和负担，使精神集中于专攻，这就在实际上大量增强了人们的脑力，使人们的思考容易引入深处和问题的症结；这正如音乐有五线谱和简谱两种记录方式，但前者比后者要直观，方便和科学得多，所以国际上都采用五线谱。
诚如海森堡（Heisenberg ）在1926年所说：“在量子论中出现的最大困难 是有关语言运用问题。
dirac符号,正规乘积
其中 是正整数或零。利用玻色算符对易关系 ，总可以将所有的产生算符 都移到所有湮灭算符 的左边，这时我们称 已被排列成正规乘积形式，以 标记[6]。其有关性质是：
，（
用 和 定义湮灭算符 和产生算符 ， 是 的厄米共轭，即
，（
，（
则易得
。（
一维谐振子的哈密顿量可改写为
，（
定义粒子数算符 ，它的本征态记为 ，则有
，
中的最低一个态 为基态，则必然有 。容易证明
，（
张成的空间是完备的
（
而且
， ，（
基态 的波函数 可由下式给出
，（
即
，（
其中c是归一化常数，可以由下式定出
，（
设 ＝ （ 待定），则
，（
即，有 ＝ 成立。利用这个关系可得
（
以及
= （
厄米共轭操作可以进入 内部进行，即
这条也与性质 密切相关，例如 。
正规乘积内部以下两个等式成立，它们也来源于性质
。（
对于多模情况，上式可作如下推广
（
正因为有了正规乘积的这一系列性质，我们就可以很顺利地将形如 （*1）（ket-bra型算符）的被积算符函数化成正规乘积内的积分形式，将 内的玻色算符作积分参数处理，使积分得以实现。当然，在积分过程中和积分后的结果中都含有 记号。如果将最后的结果的算符排成正规乘积形式，就可以将 记号去掉。我们称此技术为正规乘积内的积分技术。
，（
这恰是Fourier变换的核。
§1.3有序算符内积分技术
Pierre-Simon Laplace（拉普拉斯）曾说：“认识一个天才的研究方法，对于科学的进步。。。并不比发现本身更少用处”。量子力学的另一位创始人 也十分重视理论方法，他曾说：“De Broglie能从一个巨大的理论框架上思考问题，这一点确实比我高明，那是我过去所不知道的。…De Broglie在数学技巧上的处理和我过去的工作差不多，只是稍微正规些，却并不优美，更没有从普遍性上加以说明。”正是这种对普遍性规律的追求，促使 在汲取De Broglie科学思想的基础上，去寻找波动方程的数学表达式，从而建立一种更普遍的波动理论。本节介绍如何用正规乘积内的积分方法发展符号法,以便对天才的Dirac的研究方法有更深刻的了解。
mathtype狄拉克符号
Mathtype狄拉克符号1. 简介Mathtype是一款常用的数学公式编辑器，可以在Microsoft Office等文档中插入各种数学公式。
其中，狄拉克符号（Dirac notation）是一种特殊的数学表示方法，常用于量子力学和量子信息领域。
本文将详细介绍Mathtype中如何使用狄拉克符号。
2. 狄拉克符号的基本表示狄拉克符号由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）于20世纪提出，用于描述量子力学中的态和算符。
它采用了右尖括号和左尖括号来表示态矢量和其对应的共轭转置，形如|ψ>和<ψ|。
在Mathtype中，可以通过以下步骤插入狄拉克符号： 1. 打开Mathtype编辑器；2. 在编辑器中选择”Insert”（插入）选项；3. 在弹出菜单中选择”Brackets & Delimiters”（括号与分隔符）；4. 在下拉菜单中选择”Angle Brackets”（尖括号）；5. 选择右尖括号”<“，并输入需要表示的态矢量或共轭转置；6. 选择左尖括号”>“，并输入需要表示的态矢量或共轭转置。
例如，表示一个态矢量|ψ>，可以使用以下代码：< | ψ >表示其共轭转置<ψ|，可以使用以下代码：< ψ | >3. 狄拉克符号的运算狄拉克符号不仅可以用于表示态矢量和共轭转置，还可以进行运算。
下面介绍几种常见的运算方法。
3.1 内积（Inner Product）内积是狄拉克符号中常用的一种运算，用于计算两个态矢量之间的相似度。
在Mathtype中，可以通过以下步骤插入内积表达式： 1. 打开Mathtype编辑器； 2. 在编辑器中选择”Insert”（插入）选项； 3. 在弹出菜单中选择”Brackets & Delimiters”（括号与分隔符）； 4. 在下拉菜单中选择”Angle Brackets”（尖括号）； 5. 选择右尖括号”<“，并输入第一个态矢量； 6. 输入一个竖线”|“，用于分隔两个态矢量； 7. 选择左尖括号”>“，并输入第二个态矢量。
dirac符号,正规乘积
§ 坐标、动量表象和粒子数表象表象（representation ）原指客观事物在人类大脑中的映象，量子力学中的“表象”最先由Dirac 引入，用以描述不同坐标系下微观粒子体系的状态和力学量的具体表示形式。
他把系统状态的波函数看成抽象空间中的态矢量在某个表象中的表示，力学量的本征函数即此空间的一组基矢。
完备性是基矢成为表象的必要条件，但完备性的证明那么因其烦琐和缺乏普适而有力的积分方式而成为从来困扰物理学家的一个难题，这极大地限制了新表象的发觉。
由于针对不同的问题选取适当的表象进行求解往往能够达到事半功倍的成效，而新表象的缺乏也使得对量子力学中某些问题的探讨变得异样困难。
IWOP 技术恰恰提供了构建各类新的表象的有效方式。
它给予大体的坐标、动量表象完备关系以清楚的数学内涵并将其化为纯高斯积分的形式，从而使其成为关于数学家而言“犹如2×2=4一样简单的东西”；它也能够简化相干态完备性的证明，其结果与通常的展开相干态为粒子数态（Fock 表象）的方式殊途同归；关于给定的基矢，通过类似的方式也能够容易地查验其完备性或做出适合的推行，致使大量新表象的显现，如多粒子纠缠态表象、相干纠缠态表象等，它们使量子力学理论绚丽多彩。
在介绍IWOP 技术之前，咱们需要回忆一些必要的基础知识.令Q 、P 别离为厄米的坐标和动量算符，知足Heisenberg 正那么对易关系（为普朗克常数）[] , .Q P i= （）Q 和P 的本征态别离是q 和p ，那么有(), ''Q q q q q q q q δ==-；(), ''P p p p p p p p δ==-； （）且dq P iq dq =-， d p Q i p dp=， （） Dirac 给出的完备性关系是1dq q q ∞-∞=⎰， 1dp p p ∞-∞=⎰。
（）Fock 态的引入能够从谐振子哈密顿量的因式分解法（factorization method ）加以说明。
关于dirac函数的教学探讨
关于dirac函数的教学探讨
dirac函数是一种泛函，它是由俄国数学家Paul A.M. Dirac提出的，也被称为“脉冲函数”。
dirac函数最主要的作用在于作为单位冲击响应函数，可对任意类型的函数进行微分与积分。
其被用于许多计算机科学与信息工程，特别是数字信号处理领域，表示零之外的单位入口，和研究线性时不变系统时很有用处。
dirac函数表达式为δ(x)，常当求解线性微分方程时用到该函数，具体表示为：若对 f(t)进行变换，使之时长变换，即F(s)=L[f(t)]=∫f(t)e-stdt；求δ(t)变换，F(s) = L[δ(t)] = 1/s。
这条性质可以解释δ函数的定义：当x=0时，δ函数的值为无限大，而其它点的值均为0。
可见有两种定义：第一种定义表示δ函数具有冲击性，δ函数变汇性很有用处，和传统脉冲形状函数不一样，其经derivated和integrated变换处理后，不改变其形状，仅缩放。
当我们在处理数字和模拟信号时，第一时间总是考虑的是微分和积分。
为了解决这个问题，我们通常会用到dirac函数。
dirac函数可以用于将离散信号转换为连续信号，可用于小波变换，也用于计算随机信号和时间序列等。
总而言之，dirac函数是一种泛函，有着广泛的应用场景，且有着高度的权威性。
它是以Paul A.M. Dirac提出，具有冲击性。
它可以帮助我们转换离散信号为连续信号，用于非线性微分方程求解，用于小波变换，用于随机信号和时间序列等操作处理。
Dirac符号
Dirac符号
8
例如， 例如，在中心力场中能量的本征波函数为 unr lm ( r ) 可表示它为 nr lm
ˆ,L ˆ2 , L ˆ ) 的共同本征函数。 它是 ( H 的共同本征函数。 z
ˆ n r lm = E n l n r lm H r ˆ2 n lm = l ( l + 1) h 2 n lm L r r ˆ n lm = m h n lm L z r r
右矢和左矢的关系
1
展开系数即相当于 Q 表象中的表示： 表象中的表示： ψ + = (a*1, a*2, ..., a*n, ... )
1
2
2
n
n
* 定义|ψ>和 <φ| 的标积为 标积为： < φ |ψ >= ∑ bn an (4.5-1)式 n (4.5-2)式 显然 <φ|ψ >* = <ψ |φ> * 符号表示的 由标积定义得: <ψ |ψ >= ∑anan = 1 用Dirac符号表示的 波函数归一化条件 波函数归一化条件 11 n Dirac符号
Dirac符号
4
§4-5-1 量子态、 量子态、Ket矢，Bra矢(Bracket)
量子力学中的状态， 量子力学中的状态，可以看作某线性空间中的一个矢 量，量子体系的状态用态矢量代表。 代表。 态矢量有两种： 态矢量有两种：Ket矢，右矢， 右矢，刃矢， 刃矢，刃，|> Bra矢，左矢， 左矢，刁矢， 刁矢，刁，<| 右矢空间 一个状态通过一组力学量完全集的测量（ 一个状态通过一组力学量完全集的测量（ 完全测量） 完全测量 ）来 确定， 确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。 通常用所测得的力学量的量子数来确定。
7.4 Dirac符号
则Schrö dinger方程为 i ( t ) H ( t ) ( 4 5 ) t 在x表象中的表示，可如下求之。用 x 左乘（45）式 取标积，得
i x ( t ) x H ( t ) d x ' x H x ' xt '( ) t
即
2 2 i ( x , t ) d x 2( x xV ) ( xx ) ( x )( x , t ) t 2 m x 2 2 2 ( x , t ) V ( x )( x , t ) ( 4 6 ) 2 m x
(4)式代入(3)式,得
k
k k k k
k
( 5 )
(5)式中 k
k 是一个投影算符，用 P 表示，即 k
P k k k
( 6 )
它对任何态矢 方向上的分量矢量 式(5)中
运算后，就得到态矢
在基矢 k
P k k a k k k
是任意的,因此
kk I
p p ( p p )
7.4.3 态矢在具体表象中的表示 1. 离散谱的情况 在F表象中(基矢记为 k ),任意态矢量 可用 k 展开，即
Hale Waihona Puke ak kk( 3 )
展开系数
a k k
( 4 )
它是
在 k 上的投影.用列矢表示为
a1 1 | a 2 2 |
7.4 Dirac符号 Dirac符号的优点 1. 毋需采用具体表象
2. 运算简捷 7.4.1 左矢(bra)和右矢(ket)
dirac函数
dirac函数
Dirac函数是一种重要的数学函数，也被称为δ型函数或点函数。
它是一种非常特殊的函数，它的值只在一个点上取得最大值，而在其他任何地方都取得零值。
它最初是由英国数学家和物理学家保罗·狄拉克于1928年发明的。
Dirac函数是一种重要的数学函数，在实际应用中非常重要，它可以用来描述物理系统中存在的瞬时现象。
例如，它可以用来描述质子碰撞，因为它可以模拟质子在碰撞中的瞬时响应。
它也可以被用于分析瞬时信号，并用于在瞬时信号处理中提取特征。
此外，Dirac函数也可以用于描述量子力学中的谐振现象，因为它可以模拟系统中谐振现象的瞬时行为。
在量子力学中，Dirac函数也可以用于计算量子力学系统中的瞬态现象，如量子纠缠和量子干涉。
Dirac函数还有其他的应用，比如它可以用于描述电路中的暂态现象，如瞬态电压和瞬态电流。
它还可以用于描述热物理学中的瞬态现象，如瞬态热量传递和瞬态热导率。
总之，Dirac函数是一种重要的数学函数，它在数学和物理学等领域的应用非常广泛，尤其是在瞬时现象的描述中，它发挥了重要的作用。
二Dirac符号
态矢量先合成以后，才能计算合成后的和矢量的长短（模），以及模的平方问题。
在欧几里得空间我们不是也是这样做的吗？不过，这两个矢量有夹角，于是合成的 结果的模的平方会出现三角函数。这就是双缝干涉几率结果中的第三项。大家知道 三角函数随空间坐标是周期性变化的，有时最大，有时为0，这不就是干涉条纹吗！
有了希尔伯特空间的概念，再看叠加态是不是就好理解“薛定谔猫佯谬”了？ 在二维笛卡尔坐标系中的一个矢量，可以分解为两个坐标轴矢量的叠加：
解
ˆ 由于 a | F | b 是复数，复数的厄米共轭就是复数的复共轭，故
* ˆ ˆ ˆ ˆ a | F | b a | F | b (| b ) F ( a |) b | F | a
这就是厄米共轭算符定义的Dirac表示。 ˆ ˆ ˆ ˆ 将厄米算符的定义 F F 代入上式得： a | F | b * b | F | a 这就是厄米算符定义的Dirac 表示。
在右矢空间中的向量 | a ，应该对应在左矢空间中的向量 * a | ，这 是因为如果设 | a | c ，它在右矢空间对应 c | 。以任意| b 与
c|
作内积，再根据内积性质有：
c | b b | c b | a b | a a | b
a , b b , a a , b a , b a , b * a , b a , b c a , b a , c a , a 0
*
高等量子力学 第一章
希尔伯特空间（量子力学的表述形式）
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 量子力学的基本原理（基本假设） 量子力学的表述形式 Dirac符号 用Dirac符号表示的几个重要关系式 本征问题 谱分解定理及其应用
狄拉克(Dirac)符号
< n | F | ψ >=< n | ϕ > < n | ϕ >= ∑ < n | F | m >< m | ψ >= ∑ Fnm < m | ψ >
m m
∧
注意 ： ）式是抽象的算符方程 ， ） ）式是具体表象中的算符方程， 意： （ 24 24） 程， （ 25 25） ， （ 26 26） < m | ψ >, < n | ϕ > 是算符作用前、后的态矢在 {| n >}表象中的分量， Fnm 也是具体表象中 的矩阵元。 1.4.2 连续谱 （1）算符作用在基矢 | λ > 上
（6）
n
这里 < B | A >=< A | B > * 1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱
| n >, | λ > 仍为抽象的本征矢
力学量完全集的本征函数 {u n } 具有离散的本征值 {Qn }时，对应的本征矢 | 1 >, | 2 >,⋯ | n > 或 | nlm > 等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ | 1 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ | 2 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ | n >= ⎜ 1 ⎟ ← 第 n 行 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ （8）
∧ ∧
） （29 29） （30 ） 30） ） （31 31）
< λ ′ | ϕ >=< λ ′ | F | ψ >
< λ ′ | ϕ >= ∫ | < λ ′ | F | λ > dλ < λ | ψ >= ∫ Fλ ′λ < λ | ψ > dλ 例如 < x ′ | ϕ >=< x ′ | F | ψ >= ∫ Fx′x < x | ψ > dx 即为 x 表象中方程
狄拉克算符
( x) anun ( x)
an u ( x) ( x)dx
* n
* Sm um ( x) ( x)dx
n
n x x m dx x x n n n n x x dx S m m x x dx
n
m
mn
mn
七、表象变换的狄拉克符号表示
设表象A、表象B的基矢分别为 m 、 ，则
m m
m
Sm m
m
其中， Sm m 。
在A表象、B表象的表示 am m
有
b
m m
m m
b
S m am
其中， S m
m。
上去，使它变成在基矢 n 方向上的分量。所以此算符称为投影算符。
三、算符的狄拉克符号表示
ˆ F
在 Q 表象下
am m
m
am m
bn n
n
bn n
显然有
ˆ ˆ n n F n F m m
即
bn Fnm am
m
m
ˆ 其中， Fnm n F m
因为
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ( BA ) ( A ) B A B
另一方面
所以
ˆˆ ˆˆ ( BA ) ( BA)
ˆ ˆ ˆˆ (BA) A B
二、标量积和基矢组
1. 标量积
和 的标量积定义为
标量积是一个数，可以在运算中随意移动位置。 显然
c1 1 c2 2 1 c1 2 c2
但右矢和左矢不能叠加。
——牛顿-莱布尼兹积分的新方向
i) 在正规乘积内部玻色子算符相互对易。
: a a :=: aa := a a
† † †
ii) C数可以自由出入正规乘积记号。 iii) 对正规乘积内的C数进行积分或微分运算，前 者要求积分收敛。 iv)正规乘积内的正规乘积记号可以取消。 v)真空投影算符|0〉〈0|的正规乘积展开式 0 0 =: exp(−a † a) :.
+∞
量子光学中的ABCD定理
正则相干态表象 ⎛ A B ⎞⎛ q ⎞ ⎛ q ⎞ F ( A, B, C ) = ∫ dqdp ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −∞ ( AD − BC = 1) C D ⎝ ⎠⎝ p⎠ ⎝ p⎠ ⎛ iC ˆ 2 ⎞ ⎡ i ˆˆ ˆˆ ⎤ ⎛ iB ˆ 2 ⎞ Q ⎟ exp ⎢ − (QP + PQ) ln A⎥ exp ⎜ − P ⎟ = exp ⎜ ⎝ 2A ⎠ ⎣ 2 ⎦ ⎝ 2A ⎠
α=
1 ( q + ip ) 2
π
π
其边缘分布
∞
−∞
∫
dpΔ ( q, p ) =
1
π
1
:e
−(q −Q)
2
:= q q
∞
−∞
∫
dqΔ ( q, p ) =
π
:e
−( p − P)
2
:= p p
Δ(q, p ) 就是Wigner算符。 所以，
Wigner算符的新形式
根据上面的Wigner算符的边缘分布，得其完备关系
• "This work gave me more pleasure in carrying it through than any of the other papers which I have written on quantum mechanics either before or after." “I think that is the piece of work which has most pleased me of all the works that I’ve done in my life… The transformation theory (become) my darling.”
狄拉克符号(Dirac)
狄拉克符号（Dirac ）1狄拉克符号量子体系状态的描述，前述波动力学和矩阵力学两种方法，其共同特点是：与体系有关的所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合，而展开系数模平方具有力学量概率的含义。
问题：能否不从单一角度描述体系，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量--态矢，并引进了一套“狄拉克符号”，简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。
1.1狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间任何力学量完全集的本征函数系{})(x u n 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例），微观体系的状态波函数ψ作为该空间的一个态矢，有∑=nn n u a ψ （1）n a 即为态矢ψ在基矢n u 上的分量，态矢ψ在所有基矢{}n u 上的分量{}n a 构成了态矢在{}n u 这个表象中的表示（矩阵）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= n a a a 21ψ () ,,,,**2*1n a a a =+ψ （2） 微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间注意：（1）式中的n u 只是表示某力学量的本征态，而抛开其具体表象；（2）式的右方是ψ的{}n u表象1.1.2 态空间中内积（标积）的定义设态空间中两个任意态矢A ψ与B ψ在同一表象{}n u 中的分量表示各为{}n a 与{}n b ，则两态矢内积的定义为()∑=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n B A b a b b b a a a *21**2*1,,,, ψψ （3）注意：A B B Aψψψψ++≠ 1.1.3狄拉克符号的引入态空间中的ψ与+ψ在形式上具有明显的不对称性，狄拉克认为它们应该分属于两个不同的空间⇒伴随空间 引入符号>，称为右矢 [Ket 矢，Bra 矢（Bracket 括号><）]微观体系的一个量子态ψ用>ψ表示，>ψ的集合构成右矢空间，>ψ在右矢空间中的分量表示可记为矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=> n a a a 21ψ （4）约定：右矢空间的态矢 ,,,B A ψψψ一律用字母 ,,,>>>B A ψψψ表示力学量的本征态矢一律用量子数 ,,,2,1>>>>nlm n ，或连续本征值>λ表示 引入符号 <，称为左矢 微观体系的一个量子态ψ也可用ψ<表示，但在同一表象中>ψ与ψ<的分量互为共轭复数(),,,,**2*1n a a a =<ψ （5）ψ<的集合构成左矢空间引入狄拉克符号后，任意两个态矢>>B A ,的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分量之积的和∑=++>=<nn n n n b a b a b a A B ***11| （6）这里*||>>=<<B A A B >>λ|,|n 仍为抽象的本征矢1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱力学量完全集的本征函数{}n u 具有离散的本征值{}n Q 时，对应的本征矢>>>n |,2|,1| 或>nlm |等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 0011| ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛>= 0102| …… ←⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>= 010|n 第n 行 （7）（1）基矢具有正交归一性 mn n m δ>=<| （8） （2）展开定理 ∑>>=nn n a ||ψ （9）两边同时左乘|m <得∑∑==><>=<nm mn n nn a a n m a m δψ|| （10）说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把>=<ψ|n a n 代入>ψ|中得，><>>=∑ψψ|||n n n所以1||=<>∑n n n（11）称为基矢的封闭性 ※狄拉克符号运算中非常重要的关系式 1.2.2 连续谱当力学量本征值构成连续谱λ时，对应的基矢记为{}>λ|（1）正交归一性 )(|λλδλλ'->='< （12） （2）展开定理 ⎰'>'>=λλψλd a || （13） >=<ψλλ|a （14） （3）封闭性 1||=<>⎰λλλd （15）注意： >>>λ|,|,|nlm n 只表示某力学量抽象的本征矢，例如>'x |只表示本征值为x '的力学量x 的本征矢，而具体的基矢形式为：x 表象中)()(|x x x u x x '-=>='<δ，动量表象中px ip e x u x p-=>=<2/1)2(1)(|π，同理 )(|x u n x n >=< )(|p u n p n >=< 1|>=<n n ),,(|ϕθψr nlm x nlm >=< px ie p x2/1)2(1|π>=<1.3 态矢在基矢下的形式 1.3.1 离散谱基矢为{}>n |，态矢记为>ψ|或 ,|,|>>B A ，用基矢展开><>>=⋅>=∑ψψψ|||1|n n n（16）展开系数>=<ψ|n a n 构成>ψ|在>n |表象中的分量，也可写成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛><><><=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>=ψψψψ||2|1|21n a a a n （17） 相应的左矢 ∑><<=<nn n |||ψψ （18）()()><><><==<n a a a n |2|1||**2*1ψψψψ （19）1.3.2 连续谱⎰><>>=ψλλλψ|||d （20） 或 ⎰<><=<|||λλλψψd （21）1.3.3 注意：>ψ|只表示一个抽象的态矢，只有),(|t x x ψψ>=<为x 表象的波函数；n a n >=<ψ| 为>n |表象的波函数1.4 线性厄米算符的作用 1.4.1 离散谱（1）算符作用在基矢上∑∑>>=><>=∧∧nnnm n F m F n n m F ||||| （22）算符矩阵元 >=<∧m F n F nm || （23） （2）算符作用在态矢上（算符方程）>>=∧ϕψ||F （24） 即有 >>=<<∧ϕψ|||n F n （25） 或 ∑∑><>=><<>=<∧mmnm m F m m F n n ψψϕ||||| （26）注意：（24）式是抽象的算符方程，（25），（26）式是具体表象中的算符方程，><><ϕψ|,|n m 是算符作用前、后的态矢在{}>n |表象中的分量，nm F 也是具体表象中的矩阵元。
dimpulse函数
dimpulse函数Dirac脉冲函数，又称单位脉冲函数，是一种理想化的数学工具，其在物理学、工程学、数学等领域都有广泛应用。
该函数定义为：$$\delta(x)=\begin{cases}\infty, & x=0 \\0, & x\neq0\end{cases}$$其具有“脉冲”一样的形状，但其宽度为0，且在所有点上积分值为1，即：$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1$$Dirac脉冲函数具有以下重要性质：1. 脉冲面积为1Dirac脉冲函数在任何一点的值都为无穷大，因此其图像看起来像一根无限高、宽度为0的线。
由于Dirac脉冲函数在所有点上的定积分为1，因此可以认为它的面积为1。
2. 脉冲积分为1由于Dirac脉冲函数的面积为1，因此在任何区间内对其进行积分都等于1。
这意味着该函数可以用来对信号进行加权平均。
3. 脉冲卷积Dirac脉冲函数在数学上可以视为单位脉冲函数的推广，其在卷积运算中的应用也十分广泛。
当一个信号与一个单位脉冲函数进行卷积时，其结果就是该信号本身。
同样地，当一个信号与Dirac脉冲函数进行卷积时，其结果也是该信号在脉冲处的值。
这个特性被广泛应用于信号处理和通信工程中。
4. 线性组合由于Dirac脉冲函数在所有点上的值都为0，因此可以将多个Dirac脉冲函数进行线性组合，得到一个新的脉冲函数。
可以使用以下公式来定义Dirac脉冲函数的线性组合：$$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(x-n)$$其中$x$是自变量，$a_n$是常数。
这个公式定义了一种在整个实数轴上的离散脉冲函数。
除了上述性质之外，Dirac脉冲函数还具有一些其他有用的特性，如：5. 时间反演对于一个信号$f(t)$，将其通过Dirac脉冲函数进行卷积可以得到一个脉冲响应$h(t)$。
如果将$h(t)$再次与Dirac脉冲函数进行卷积，则会得到$f(t)$本身。
量子力学之狄拉克符号系统与表象
Dirac符号系统与表象一、Dirac符号1.引言我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。
量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax ,Ay,Az)表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。
这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为Dirac 符号。
2.（1）.（或基组）（2（3<ψ|按定义有：ψψa）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；b）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；c）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。
（4）.本征函数的封闭性a）分立谱展开式：可得：因为|ψ>是任意态矢量，所以：b）连续谱对于连续谱|q>，q取连续值，任一状态|ψ>展开式为：因为|ψ>是任意态矢量，所以：这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
c ）投影算符|Q n ><Q n |或|q><q|的作用相当一个算符，它作用在任一态矢|ψ>上，相当于把|ψ>投影到左基矢|Q n >或|q>上，即作用的结果只是留下了该态矢在|Q n >上的分量<Q n |ψ>或<q|ψ>。
故称|Q n ><Q n |和|q><q|为投影算符。
因为|ψ>在X 表象的表示是ψ(x,t)，所以显然有：在分立谱下：所以*(')()(')n n nu x u x x x δ=-∑。
在连续谱下：所以*(')()(')u ⎰。
3.（1X 即Q （2即有：4.到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。
量子力学中的算符和Dirac符号
二、Dirac符号的引入
• 量子力学的语言是Dirac符号法，它有两个优点： 一是无需采用具体表象来讨论问题； 二是运算简洁。
• Dirac符号法，也称为q数理论，而q数理论核心 内容之一就是表象可以用以坐标为变量的波函数 Ψ (x ,t )来描写， 力学量则以作用在这种波函数上的算符来表示，这是 量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可 以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 • 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示 形式称为表象。
• 线性算符的充分条件：
ˆ [ f ( x) g ( x)] A ˆ f ( x) A ˆ g ( x) A ˆ [cf ( x)] cA ˆ f ( x) A
量子力学的一个基本假设：力学量用线性厄米算符表 示，即，量子力学中表示力学量的算符一定是线性厄 米算符。 利用力学量的算符可以预言在给定状态里测量这一力 学量所得结果的期望值——平均值。 可得到给定状态里该力学量的表象
• 算符的加法满足通常的代数法则； • 算符的乘法满足通常的结合律和分配率，但一般 不满足交换律。 ˆ和B ˆB ˆ ，则称算符 A ˆ =B ˆA ˆ 是可对易的。 如果A
算符的对易
定义算符的对易关系：
ˆ与 B ˆ 满足交换律，那么就称算符可对 • 如果算符 A ˆ ,B ˆ ]= 0 易，即 [A ˆ 和B ˆ 有共同的本征函 ˆ 、 ˆ 相互对易，则 A 若A B 数系； ˆ 和B ˆ 有共同的本征函数系，则A ˆ 相互对 ˆ 和B 若A 易。 如果两个算符之间不对易，则它们不能同时有确 ˆ p和 r 定值。 如 ˆ
a , a , , a ,
* 1 * 2 * n
• 力学量 O的狄拉克符号表示：
量子力学 dirac、周期场
− ikb
= C ⋅e + D⋅e , = α (C ⋅ e αb − D ⋅ e −αb ) , αa −αa C ⋅e + D⋅e ,
αb
− αb
α (C ⋅ e − D ⋅ e
αa
−αa
).
利用了Floquet定理ψ ( x + a ) = e iKa ⋅ψ ( x ).
A,B.C.D有非零解的条件是系数行列式为零 A,B.C.D有非零解的条件是系数行列式为零
n i − Ent h
| un 〉
几率|c n e
讨论：
i − En t 2 h
| =|cn|2不含t
常 数 定态
若 | un 〉 对Q是简并的，需要将各简并态 的|cn|2相加，最后结果当然也不含t。
证法2： 将 |ψ 〉按照Q、H 共同本征函数系{ | un 〉 }展开为 |ψ 〉 = ∑ cn t）un 〉 （ |
为了回到坐标表象，用〈 x | 左乘上式两边
利用关系〈 x |ψ ( t )〉 = ψ (x, t )； 〈 x|H | ψ (t)〉 =H(x,-ih∇ )〈 x|ψ (t )〉 d ih 〈 x | ψ ( t )〉 = H (x,-ih∇ )〈 x | ψ ( t )〉 dt
d i h 〈 x | ψ ( t )〉 = 〈 x | H | ψ ( t )〉 dt
对问题2 对问题2的进一步分析
若一开始处于力学量Q和能量H的共同本征态， 若一开始处于力学量Q和能量H的共同本征态，则可 以保持（以后时刻仍然是Q 的共同本征态， 以保持（以后时刻仍然是Q和H的共同本征态，其 演化只是乘了一个时间因子）！ 演化只是乘了一个时间因子）！
进一步可以给出如下定理： 进一步可以给出如下定理： 定理：对不含t的力学量Q [Q，H]=0， 定理：对不含t的力学量Q，若[Q，H]=0，则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.2 坐标、动量表象和粒子数表象表象（representation ）原指客观事物在人类大脑中的映象，量子力学中的“表象”最早由Dirac 引入，用以描述不同坐标系下微观粒子体系的状态和力学量的具体表示形式。
他把系统状态的波函数看成抽象空间中的态矢量在某个表象中的表示，力学量的本征函数即此空间的一组基矢。
完备性是基矢成为表象的必要条件，但完备性的证明则因其烦琐和缺乏普适而有力的积分方法而成为历来困扰物理学家的一个难题，这极大地限制了新表象的发现。
由于针对不同的问题选取适当的表象进行求解往往可以达到事半功倍的效果，而新表象的缺乏也使得对量子力学中某些问题的探讨变得异常困难。
IWOP 技术恰恰提供了构建各种新的表象的有效方法。
它赋予基本的坐标、动量表象完备关系以清晰的数学内涵并将其化为纯高斯积分的形式，从而使其成为对于数学家而言“如同2×2=4一样简单的东西”；它也可以简化相干态完备性的证明，其结果与通常的展开相干态为粒子数态（Fock 表象）的方法殊途同归；对于给定的基矢，通过类似的方法也可以容易地检验其完备性或做出合适的推广，导致大量新表象的出现，如多粒子纠缠态表象、相干纠缠态表象等，它们使量子力学理论绚丽多彩。
在介绍IWOP 技术之前，我们需要回顾一些必要的基础知识.令Q 、P 分别为厄米的坐标和动量算符，满足Heisenberg 正则对易关系（h 为普朗克常数）[] , .Q P i =h （1.2.1）Q 和P 的本征态分别是q 和p ，则有(), ''Q q q q q q q q δ==-；(), ''P p p p p p p p δ==-； （1.2.2）且dq P i q dq =-h， d p Q i p dp=h ， （1.2.3） Dirac 给出的完备性关系是1dq q q ∞-∞=⎰，1dp p p ∞-∞=⎰。
（1.2.4）Fock 态的引入可以从谐振子哈密顿量的因式分解法（factorization method ）加以说明。
在因式分解中引入了升、降算符概念，把谐振子相邻能级和本征态联系起来。
假设一维谐振子的哈密顿量是2221122H P m Q m ω=+ ， （1.2.5）用Q 和P 定义湮灭算符a 和产生算符†a ，†a 是a 的厄米共轭，即a i⎤=+，（1.2.6）†a⎤=-，（1.2.7）则易得†, 1a a⎡⎤=⎣⎦。
（1.2.8）一维谐振子的哈密顿量可改写为†12H a aω⎛⎫=+⎪⎝⎭h，（1.2.9）定义粒子数算符†N a a=，它的本征态记为n，则有2n N n a n=≥，n中的最低一个态0为基态，则必然有00a=。
容易证明nn=，（1.2.10）n张成的空间是完备的1,nn n∞==∑（1.2.11）而且1a n=-，†1a n=+，（1.2.12）基态0的波函数0q可由下式给出000q a⎤==+q=+，（1.2.13）即20exp2mq c qω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦h，（1.2.14）其中c是归一化常数，可以由下式定出22210000exp 2m dq q q cdq q c ω∞∞-∞-∞⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰h （1.2.15） 所以1420exp 2m q q m πωω⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦h h 。
（1.2.16） 以下为方便起见，取自然单位()1m ω===h ，则由（1.2.4），（1.2.10）和（1.2.16）式得†''0'nq n q a q q dq ∞=⎰()'''0nd dq q q q q dq δ∞-∞⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰22nq d q e dq -⎫=-⎪⎭。
（1.2.17） 利用Hermite 多项式表达式()2222nq q n d H q e q edq -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （1.2.18）或()()()[]()22/220!2!2!nkn n kq q n k n d H q e e q dq k n k --=-⎛⎫=-=⎪-⎝⎭∑。
（1.2.19）则（1.2.18） 式变为()22q n q n eH q -=， （1.2.20）由（1.2.11）和（1.2.20），可以写出坐标本征态q 的Fock 表象()22q n n n q n n q eH q -∞∞====∑∑221/4exp 022q a π+-+⎧⎫⎪⎪=-+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭， （1.2.21）其中用了Hermite 多项式的母函数公式()()20exp 2!n nn H q t qt t n ∞==-∑。
（1.2.22） 类似可以导出†'''00nnn i dp n dp p a p p p pdp∞-⎫==-⎪⎭⎰()22n pnie H p--=，（1.2.23）于是，动量本征态的Fock表象为()2†1/42001!npnn np n n p e H pnπ-∞∞-====∑∑221/4exp022p aπ+-+⎧⎫⎪⎪=-++⎨⎬⎪⎪⎩⎭，（1.2.24）当恢复 , ,mωh后，q和p的表达式应分别是21/42exp022m m aq qωωπ-++⎧⎫⎪⎪⎛⎫=-+-⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭h h，（1.2.25）21/421exp022p apm mωπω-++⎧⎫⎪⎪⎛⎫=-++⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭h h。
（1.2.26）,q与p的内积是()122expiqpq pπ-⎛⎫〉= ⎪⎝⎭hh，（1.2.27）这恰是Fourier变换的核。
§1.3 有序算符内积分技术Pierre-Simon Laplace（拉普拉斯）曾说：“认识一个天才的研究方法，对于科学的进步。
并不比发现本身更少用处”。
量子力学的另一位创始人Schrodinger&&也十分重视理论方法，他曾说：“De Broglie能从一个巨大的理论框架上思考问题，这一点确实比我高明，那是我过去所不知道的。
…De Broglie在数学技巧上的处理和我过去的工作差不多，只是稍微正规些，却并不优美，更没有从普遍性上加以说明。
”正是这种对普遍性规律的追求，促使Schrodinger&&在汲取De Broglie科学思想的基础上，去寻找波动方程的数学表达式，从而建立一种更普遍的波动理论。
本节介绍如何用正规乘积内的积分方法发展符号法, 以便对天才的Dirac的研究方法有更深刻的了解。
虽然正规乘积起源于量子场论, 并在Louisell的书[5]中有所介绍，我们觉得其有关性质需作进一步阐明。
关于玻色算符a和†a的任何多项式函数不失一般性可写为()(),......,,,...,jlk m jmf a a a a a a f j k l m +++=∑∑其中,,,...,j k l m 是正整数或零。
利用玻色算符对易关系†,1a a ⎡⎤=⎣⎦，总可以将所有的产生算符†a 都移到所有湮灭算符a 的左边，这时我们称()†,f a a 已被排列成正规乘积形式，以::标记[6]。
其有关性质是：()1 在正规乘积内部玻色子算符相互对易。
即::a a a a ++=，又因::a a aa ++=，所以又有::::a a aa ++=()2 C 数可以自由出入正规乘积记号。
()3 由于性质()1，故可对正规乘积内的C 数进行积分或微分运算，前者要求积分收敛。
()4 正规乘积内的正规乘积记号可以取消。
()5 正规乘积::W 与正规乘积::V 之和为()::W V +。
()6 正规乘积算符()†:,:f a a 的相干态矩阵元为()()?':,:','z f a a z f z z z z =.()7 真空投影算符00的正规乘积展开式是†:00::a a e -=。
下面我们给出其严格证明，由粒子态的完备性可得()*'**0,'01nn n n n z d n n n n z dz ∞∞===⎫==⎪⎭∑∑**†*0exp 00z az d a e dz =⎛⎫= ⎪⎝⎭， （1.3.1）设00＝::W （W 待定），则******01exp :::exp :z az a z z d d a W e a We dz dz ++==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭::::::a a a a e W e W ++==， （1.3.2）即，有00＝::W †::a ae-=成立。
利用这个关系可得()()()()01...11...1n N N N l n n n l n n ∞=--+=--+∑()†††0::!nn l a al l a a e a a n l ∞-===-∑ （1.3.3） 以及00=()()()()†01111112...!2!3!ll l l a a N N N N N N l ∞=-=-+----+∑（1.3.4） ()8 厄米共轭操作可以进入::内部进行，即 ()()††:...::...:W V W V =这条也与性质()1密切相关，例如 ()::::mnnnm m a aa a a a ++++==。
()9 正规乘积内部以下两个等式成立，它们也来源于性质()1()()()():,::,:,:,:,:,:f a a f a a a af a a a f a a a ++++++∂⎡⎤=⎣⎦∂∂⎡⎤=⎣⎦∂。
（1.3.5）对于多模情况，上式可作如下推广()():,,,,::,,,,:,,i j i j i j i j j i i jf a a a a f a a a a a a a a ++++++∂⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦∂∂ （1.3.6）dp p p μ-∞（*1）（ket-bra 型算符）的被积算符函数化成正规乘积内的积分形式，将::内的玻色算符作积分参数处理，使积分得以实现。
当然，在积分过程中和积分后的结果中都含有::记号。
如果将最后的结果的算符排成正规乘积形式，就可以将::记号去掉。
我们称此技术为正规乘积内的积分技术。
根据上述的对算符函数的积分思想，我们具体处理（*1）式。
现将（1.2.24）代入，并令1m ω===h ，得22†21exp 22p dp p p dp a a μμμ∞∞+-∞⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰22100exp 22p a ⎛⎫⨯--+ ⎪⎝⎭ ， （1.3.7）把00::a a e +-=代入，得22†21exp 22p dp p p dp a a μμμ∞+-∞⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰221::exp 22a ap ea +-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭， （1.3.8）可以看出，在::a ae+-的左边是产生算符函数，右边是湮灭算符函数，根据前面的性质，整个被积的算符函数已经是正规乘积形式，所以可将左边的:移到第一个exp 函数前，将右边的:移到第三个exp 函数后。