n维矩阵的乘法AB-1_

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大学线性代数1(1)、矩阵的乘法、n次幂

矩阵的乘法前提：只有当第一个矩阵(左边的矩阵)的列数与第二个矩阵(右边的矩阵)的行数相等时，两个矩阵才能相乘。

即：A m×s B s×n注意：(1)矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下AB≠BA(2)矩阵A与B满足AB=0，不能推出A=0或B=0的结论(3)在不改变左右顺序的情况下，满足结合律(4)特别的,满足：单位矩阵乘任何另一矩阵等于此任意矩阵本身E m A m×n=A m×n E n=A m×n零矩阵乘任何矩阵都得到零矩阵求矩阵A的n次幂1.方法一：数学归纳法例题：已知A=(1101)求A n解：因为A2=(1101)2=(1101)(1101)=(1201)A3=(1301)猜想A n=(1n01)假设n=k时满足A k=(1k01),只需证A k+1=(1k+101)当n=k+1时，A k+1=A k A=(1k01)(1101)=(1k+101)猜想成立2.方法二：利用二项式展开公式将矩阵A分解成A=F+G,要求矩阵F与G的方幂容易计算,且FG=GF.一般地,F和G有一个是单位矩阵E时,计算更加容易牛顿二项展开公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n−1b1+…+C n n−1a1b n−1+C n n a0b n应用二项展开公式：（B+E）n=C n0B n E0+C n1B n−1E1+…+C n n−1B1E n−1+C n n B0E n例题：已知A=(1101)求A n解：A=(1101)= (0100)+ (1001)=B+EA n=(B+E)n=C n0B n E0+C n1B n−1E1+…+C n n−1B1E n−1+C n n B0E n=C n0B n+C n1B n−1+…+C n n−1B1+C n n B0=C n0B n+C n1B n−1+…+C n n−1B1+C n n B0=C n0B n+C n1B n−1+…+nB+E且B0=E, 又因为 B2=(0100)2=(0000)所以B n=(0000)A n=(B+E)n= nB+E3.方法三：乘法结合律若A=αβT，其中α和β都是n×1矩阵（列矩阵），且βTα=C（常数），利用乘法结合律，有A n=(αβT)( αβT)…(αβT)( αβT)=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT= α(βTα)n−1βT= αC n−1βT=C n−1 αβT=C n−1A例题:已知α=（1,2,3），β=（1，12，13），设A=αTβ，求A n解：αTβ=(123)3×1（1，12，13）1×3=(1121321233321)→结果是3×3矩阵βαT=（1，12，13）1×3(123)3×1=3 →结果是1×1矩阵A n=(αTβ)( αTβ)…(αTβ)( αTβ)= αT(βαT)(βαT)…(βαT)β= αT(βαT)n−1β=αT3n−1β=3n−1( 1121321233321)。

数据结构课程设计题目

题目1：图的遍历功能：实现图的深度优先, 广度优先遍历算法，并输出原图结构及遍历结果。

分步实施：1) 初步完成总体设计，搭好框架；2)完成最低要求：两种必须都要实现，写出画图的思路；3)进一步要求：画出图的结构，有兴趣的同学可以进一步改进图的效果。

要求：1）界面友好，函数功能要划分好2）总体设计应画一流程图3）程序要加必要的注释4)要提供程序测试方案5)程序一定要经得起测试，宁可功能少一些，也要能运行起来，不能运行的程序是没有价值的。

题目2：n维矩阵乘法：A B－1功能：设计一个矩阵相乘的程序，首先从键盘输入两个矩阵a，b的内容，并输出两个矩阵，输出ab－1结果。

分步实施：1）初步完成总体设计，搭好框架，确定人机对话的界面，确定函数个数；2）完成最低要求：建立一个文件，可完成2维矩阵的情况；3）一步要求：通过键盘输入维数n。

有兴趣的同学可以自己扩充系统功能。

要求：1）界面友好，函数功能要划分好2）总体设计应画一流程图3）程序要加必要的注释4）要提供程序测试方案5）程序一定要经得起测试，宁可功能少一些，也要能运行起来，不能运行的程序是没有价值的。

题目3：数组应用功能：按照行优先顺序将输入的数据建成4维数组，再按照列优先顺序输出结果，给出任意处的元素值，并给出对应的一维数组中的序号。

分步实施：1．初步完成总体设计，搭好框架，确定人机对话的界面，确定函数个数；2．完成最低要求：完成第一个功能；3．进一步要求：进一步完成后续功能。

有兴趣的同学可以自己扩充系统功能。

题目4：数组应用2功能：读入数组下标，求出数组A靠边元素之和；求从A[0][0]开始的互不相邻的各元素之和；当m=n时，分别求两条对角线上的元素之和，否则打印出m!=n的信息。

名家指导：考研数学矩阵乘法复习指导

名家指导：考研数学矩阵乘法复习指导尽管矩阵乘法不满足交换律。

但是，矩阵乘法在多方面的成功应用，令人感到很惬意。

1.若A，B都是n阶方阵，则|AB|=|A||B|。

我们知道，|A+B|难解。

相比之下，乘积算法复杂得多，而积矩阵行列式公式却如此简明，自然显示了矩阵乘法之成功。

特别地，如果AB=BA=E，则称B是A的逆阵;或说A与B互逆。

A*是A的代数余子式按行顺序转置排列成的。

之所以这样做，就是恰好有(基本恒等式)AA*=A*A=|A|E，顺便有|A|≠0时，|AA*|=||A|E|，故|A*|=|A|的n-1次方。

2.对矩阵实施三类初等变换，可以通过三类初等阵分别与矩阵相乘来实现。

"左乘行变，右乘列变。

"给理论讨论及应用计算机带来很大的方便。

3.分块矩阵乘法，形式多样，内函丰富。

要分块矩阵乘法可行，必须要在"宏观"与"微观"两方面都确保可乘。

AB=A(b1，b2，--，bs)=(Ab1，Ab2，--，Abs)宏观可乘：把各分块看成一个元素，满足阶数规则(1×1)(1×s)=(1×s).微观可乘：相乘的子块都满足阶数规则。

(m×n)(n×1)=(m×1)，具体如，Ab1是一个列向量AB=0的基本推理AB=0,即(Ab1，Ab2，--，Abs)=(0，0，--，0)→B的每一个列向量都是方程组Ax=0的解。

→B的列向量组可以被方程组Ax=0的基础解系线性表示。

→r(B)≤方程组Ax=0的解集的秩=n-r(A)→r(B)+r(A)≤n.例：已知(n维)列向量组a1，a2，--，ak线性无关，A是m×n阶矩阵，且秩r(A)=n，试证明，Aa1，Aa2，--，Aak线性无关分析设有一组数c1，c2，--，ck，使得c1Aa1+c2Aa2+--+ckAak=0.即A(c1a1+c2a2+--+ckak)=0.这说明c1a1+c2a2+--+ckak是方程组Ax=0的解。

矩阵及矩阵运算

矩阵及矩阵运算矩阵：⼀个m×n的矩阵就是m×n个数排成m⾏n列的⼀个数阵。

由于它把许多数据紧凑的集中到了⼀起，所以有时候可以简便地表⽰⼀些复杂的模型。

在数学中，⼀个矩阵说穿了就是⼀个⼆维数组。

单位矩阵：从左上⾓到右下⾓的对⾓线（称为主对⾓线）上的元素均为1。

除此以外全都为0。

对称矩阵：如果⽅阵满⾜，即，则称A为对称矩阵．它的元素以主对⾓线为对称轴对应相等．矩阵加减法：两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减，满⾜交换律和结合律。

只有对于两个⾏数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可⾏的．矩阵乘法：矩阵乘法是⼀种⾼效的算法可以把⼀些⼀维递推优化到log（ n )，还可以求路径⽅案等，所以更是⼀种应⽤性极强的算法。

1.矩阵与数的乘法：数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每⼀个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵．满⾜结合律和分配律。

2.矩阵与矩阵的乘法：只有当矩阵A的列数与矩阵B的⾏数相等时A×B才有意义。

⼀个m×n的矩阵a（m,n)左乘⼀个n×p的矩阵b（n,p)，会得到⼀个m×p的矩阵c（m,p)，矩阵乘法满⾜结合率，但不满⾜交换率。

⼀个n⾏m列的矩阵可以乘以⼀个m⾏p列的矩阵，得到的结果是⼀个n ⾏p列的矩阵。

⽅阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．单位阵在矩阵乘法中的作⽤相当于数1在我们普通乘法中的作⽤。

运算规则：设，，则A与B的乘积是这样⼀个矩阵： (1) ⾏数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第⾏第列的元素由A的第⾏元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．(3)两个⾮零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．矩阵转置：将矩阵A的⾏换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．第i⾏变第J列。

Aij变成Aji。

运算性质（假设运算都是可⾏的） (1)　 (2)　 (3)　 (4)　，是常数．矩阵⾏列式：基于矩阵所包含的⾏列数据计算得到的⼀个标量；⼆维矩阵[{a,c},{b,d}]的⾏列式等于：det(A) = ab-cd。

矩阵的计算方法

矩阵的计算方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

矩阵的计算方法是学习线性代数的基础，下面我们将介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法、转置和逆的计算方法。

首先，我们来看矩阵的加法和减法。

对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法和减法运算都是逐个对应元素相加或相减得到新的矩阵。

例如，对于矩阵A 和B：A = [1 2。

3 4]B = [5 6。

7 8]则A + B = [6 8。

10 12]A B = [-4 -4。

-4 -4]接下来是矩阵的数乘。

对于一个矩阵A和一个标量k，矩阵的数乘就是将矩阵A的每一个元素都乘以k得到新的矩阵。

例如，对于矩阵A和标量k：A = [1 2。

3 4]k = 2。

则kA = [2 4。

6 8]然后是矩阵的乘法。

矩阵的乘法是比较复杂的，对于两个矩阵A和B，它们的乘积AB的第i行第j列的元素是A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。

例如，对于矩阵A和B：A = [1 2。

3 4]B = [5 6。

7 8]则AB = [19 22。

43 50]接着是矩阵的转置。

矩阵的转置就是将矩阵的行和列互换得到新的矩阵。

例如，对于矩阵A：A = [1 2。

3 4]则A的转置记作A^T = [1 3。

2 4]最后是矩阵的逆。

对于一个可逆矩阵A，它的逆矩阵记作A^-1，满足AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。

逆矩阵的计算方法有很多，可以通过伴随矩阵、初等行变换等方法来求解。

总结一下，矩阵的计算方法包括加法、减法、数乘、乘法、转置和逆，这些计算方法在线性代数中有着重要的应用，对于理解和解决实际问题都有着重要的意义。

希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解矩阵的计算方法。

矩阵的乘法结合律

矩阵的乘法结合律矩阵的乘法结合律是指在进行矩阵乘法时，无论先乘哪两个矩阵，最终结果都是相同的。

这个性质在矩阵运算中非常重要，因为它允许我们在进行复杂的矩阵运算时，不需要考虑计算的先后顺序，从而简化了问题的求解过程。

具体来说，如果我们有三个矩阵A、B和C，那么(A*B)*C和A*(B*C)的结果是相同的。

这个性质可以通过矩阵的定义和矩阵乘法的运算规则来证明。

矩阵的定义是一个矩形的数表，其中包含m行n列的数。

而矩阵乘法的运算规则是，如果A是一个m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，那么它们的乘积AB是一个m行p列的矩阵。

即，AB中的每个元素都是A的每一行与B的每一列对应元素的乘积之和。

假设我们有三个矩阵A、B和C，它们的维度分别为m*n、n*p和p*q。

那么(A*B)*C中的每个元素都可以表示为：((A*B)*C)_{i,j} = sum_{k=1}^p (A*B)_{i,k} * C_{k,j} 而A*(B*C)中的每个元素可以表示为：(A*(B*C))_{i,j} = sum_{k=1}^n A_{i,k} * (B*C)_{k,j} 我们需要证明的是，这两个式子是相等的。

我们将(B*C)_{k,j}拆分成sum_{l=1}^p B_{k,l} * C_{l,j}，然后代入后一个式子中，得到：(A*(B*C))_{i,j} = sum_{k=1}^n A_{i,k} * left( sum_{l=1}^p B_{k,l} * C_{l,j} right)接下来，我们将这个式子中的累加符号交换一下，得到：(A*(B*C))_{i,j} = sum_{l=1}^p left( sum_{k=1}^n A_{i,k} * B_{k,l} right) * C_{l,j}这个式子中的括号里面的部分就是矩阵乘积AB的第i行第l列的元素。

因此，它可以表示为：(A*(B*C))_{i,j} = sum_{l=1}^p (A*B)_{i,l} * C_{l,j} 这个式子与前面的((A*B)*C)_{i,j}是完全相同的，因此我们证明了矩阵乘法的结合律。

矩阵的乘法

矩阵的乘法裴博 11123689 理科基础班2班摘要：本文首先给出了一般矩阵乘积Hadamard 乘积，Kronecker 乘积的定义。

然后讨论了并证明了这些乘积的运算性质。

继而举出了具体的例子、阐述其来源以及应用和推广。

关键词：矩阵乘法 Hadamard Kronecker 正文：引言：矩阵常用的乘法有三种，分别是一般乘法，Hadamard 乘法和Kronecker 乘法。

下文将从这几个乘法中展开讨论。

一般乘积：定义：对任意的正整数,,m n p，任意的数域F ，任意的矩阵()m nij m n A a F⨯⨯=∈和()n pij n p B b F⨯⨯=∈可以相乘，得到的乘积AB 是一个m p ⨯矩阵()ij m pAB c ⨯=它的第(,)i j 元11221ni j i k k j i j iji nn jk c a b a b a b a b ===+++∑例子：1200A λλ⎛⎫=⎪⎝⎭，1122a b B a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求AB 和BA 。

解：11112222a b AB a b λλλλ⎛⎫=⎪⎝⎭ ， 11122122a b BA a b λλλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

运算性质：结合律： ()()C B A C B A= 对任意,,m np nq pA FB FC F⨯⨯⨯∈∈∈成立。

证明：设(),(),()ij m n ij p m ij q p A a B b C c ⨯⨯⨯===则()ij p nBA D d ⨯==，其中1mi j i k k jk d b a==∑从而()()ij q nC BA CD G g ⨯===1111,1()ppm ij issj isskkj is sk kjs s k s p k mg cd c ba cb a ===≤≤≤≤===∑∑∑∑（1）另一方面，()ij q mCB U u ⨯==，其中1pi j i s s js u c b==∑从而()()ij q nCB A UA H h ⨯===，其中1111,1()pmmij ikkj issk kj is sk kjk k s s p k mh ua cb ac b a ===≤≤≤≤===∑∑∑∑（2）比较（1）和（2）可知G H =，即()()C B A C B A= 则矩阵乘法结合律成立。

1-1 矩阵及其运算

系数矩阵 A, B, C,元素之间的关系：C的第i行第j列对应元素等于 ai1b1 j ai 2b2 j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2)
• C 中第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.
两矩阵的乘积设 A = (aik )ml , B = (bkj )ln , 记
利用矩阵乘法, 上式记为矩阵形式 y = Ax, 其中
a11 a1n y1 x1 y = , A = , x = a y x amn m n m1
• 负矩阵矩阵 A=(aij) 的负矩阵定义为 -A=(-aij). • 矩阵的减法
b11 - a11 b1n - a1n B - A = B ( - A) = b -a bmn - amn m1 m1
数与矩阵的乘积数 k 与矩阵 A=(aij) 的乘积称为数乘运算, 记作 kA, 规定为
(8) k ( A B ) = kA kB;
例1 设
1 -2 0 2 0 -1 A= , B = 3 1 2 , 2 1 -3 求 2A-3B 1 -2 0 2 0 -1 解 2 A - 3B = 2 - 3 3 1 2 2 1 -3 2 -4 0 -6 0 3 = -9 -3 -6 4 2 -6 -4 -4 3 = -5 -1 -12
1 2 2 -4 例3 设 A = , B = -1 2 , 计算 AB, BA. 0 0 0 0 2 4 解 AB = , BA = -1 -2 0 0 • 矩阵的乘法不满足交换律. • 在 AB 中, 称用 A 左乘 B, 或称用 B 右乘 A. • 由 AB = O, 不能断言 A = O 或 B = O. 乘法运算律假设以下有关运算可行, 则成立 (1) ( AB )C = A( BC );

线性代数总结

第一章1、矩阵乘法矩阵乘法通常满足分配律而一般不满足交换律即AB!=BAf(x),g(x)为多项式，有：f(A)g(A)=g(A)f(A)f(A)g(B)!=g(B)f(A)2、矩阵的转置（A+B)^T=A^T+B^T （AB)^T=B^TA^T（kA)^T=kA^T（A^T)^T=A若A^t=-A 称A为反对称矩阵（斜对称矩阵）任意n阶方阵都可以写成对称矩阵和反对称矩阵之和。

3、矩阵的初等变换4、逆矩阵B唯一，B的逆为A。

(AB)^(-1）=B^(-1)A^(-1）(kA)^(-1）=（1/k)A^(-1）①A可逆②AX=0只有零解③Ab=0有唯一解〔①、③即为克拉默法则〕④A≌Ⅰ（等价）最简判断方法：det!=0逆矩阵求法：（A , I）—→（I , A^(-1））5、分块矩阵（注意使用即可）第二章1、性质（①、②为矩阵的某两行）某一行全为零，det=0某两行对应元成比例，则det=0 ①→k·①，则det→k·det①→k·②+①，则det不变①←→②，则det→（-det）detA=det（A^T）detA^-1=1/detAdetAB…N=detAdetB……detN det（kA）=k^n（detA）#伴随矩阵的性质y推导基础：AA*=A*A=（detA）Ⅰ若A可逆，则A^(-1) = (1/detA)A* det(A*）=（detA)^(n-1）(kA)*=k^(n-1）A*(A*)^(-1）= A^(-1)*(A^T)* =（A*)^T(AB)* = B*A*(A*)*=(detA)^(n-2) Ar(A*)={n(rA=n),1(rA=n-1),0(rA<n-1)} 2、矩阵的秩定义：矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，零矩阵的秩为0。

性质：A可逆←→R（A）=nR（A）=0←→A=0R（A）=R（A^T）k≠0时，R（kA）=R（A）若P,Q为可逆矩阵，则R（A）=R（PA）=R（AQ）=R（PAQ）A≌B←→R（A）=R（B）（1) 有：初等变换不改变矩阵的秩经过行初等变化把矩阵换为行最简，即可得到秩。

矩阵的定义、运算和性质

M j =1
Aij
2
。只要矩阵的维数相容，矩阵乘法满
足结合律： ( AB) C = A (BC) ，故通常省略括号。矩阵相乘也满足分配律：
A (B + C) = AB + AC ， (A + B)C = AC + BC 。
M 维向量可以与 M 列的矩阵相乘。若 A 是一个 N × M 矩阵而 x 是一个 M 维向量（即
是满秩的。
2 × 2 矩阵 A 的行列式（determinant）定义为 det[A] = A11A22 − A21A12 。对于 N × N （N>2）矩阵 A， det[A] 以迭代方式定义为：
N
∑ det[A] = Aijcij i =1
(C-9)
其中 j 是1 ≤ j ≤ N 之间的任意整数， cij 是矩阵元素 Aij 的余子式（cofactor），定义为：
1/8
⎡B C⎤
A = ⎢⎣D E⎦⎥
(C-2)
矩阵 B、C、D 和 E 称为 A 的子阵（submatrix）。只要大小合适，一个矩阵可以由任意多个
子阵组成。也可以通过删除 A 的某些行或列得到子阵 A′ 。
只有一个列的矩阵（即 M = 1 ）称为列向量(column vector)或向量(vector)。向量的行数称为其维数。例如下式的 x 就是一个 N 维向量：
附录 C 矩阵的定义、运算和性质
本附录概述书中所用到的矩阵方面的定义、运算和性质。关于更多矩阵方面的处理，以及本附录中给出的性质的证明，请参见[1~4].
C.1 矩阵和向量
N×M 矩阵(matrix)A 是一个 N 行 M 列数字构成的方阵，记为：

矩阵乘法分量表达式

矩阵乘法分量表达式在数学和物理学中，矩阵乘法是一种常见的运算。

矩阵乘法分量表达式是矩阵乘法的一种重要形式，可以用于解决许多实际问题。

本文将介绍矩阵乘法分量表达式的概念、推导和应用。

下面是本店铺为大家精心编写的5篇《矩阵乘法分量表达式》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

《矩阵乘法分量表达式》篇1一、概念矩阵乘法分量表达式是指两个矩阵相乘时，将一个矩阵的每个元素分别乘以另一个矩阵的每个元素，然后将它们相加得到的表达式。

例如，给定两个矩阵 A 和 B，它们的乘积可以表示为:A ×B = (a11b11 + a12b12 + a13b13)(a21b11 + a22b12 + a23b13)(a31b11 + a32b12 + a33b13)其中，a11、a12、a13 等是矩阵 A 的第一行元素，b11、b12、b13 等是矩阵 B 的第一列元素。

二、推导矩阵乘法分量表达式的推导可以通过将矩阵看作向量来进行。

假设矩阵 A 和 B 分别是 n × m 和 m × p 矩阵，则它们的乘积可以表示为:A ×B = (a1b1 + a2b2 +... + ambp) × (c1d1 + c2d2 +... +cpdp)其中，a1b1、a2b2 等是矩阵 A 的第一行元素，c1d1、c2d2 等是矩阵 B 的第一列元素。

将上式展开得到:A ×B = (a1b1c1d1 + a1b1c2d2 +... + a1b1cpdp)(a2b2c1d1 + a2b2c2d2 +... + a2b2cpdp)(ambp)这就是矩阵乘法分量表达式的推导过程。

三、应用矩阵乘法分量表达式在许多实际问题中有广泛的应用，例如，在物理学中，它可以用于描述物体的运动和受力情况。

在计算机图形学中，它可以用于计算三维图形的旋转和变换。

在机器学习中，它可以用于矩阵分解和特征提取等任务。

矩阵的运算的所有公式

矩阵的运算的所有公式矩阵是高等代数中的重要概念，它们是一种高效的数学工具，用于处理多维数据和线性方程组。

矩阵的运算是矩阵理论中的基础内容，包括加法、减法、乘法、转置、逆运算等多个方面。

下面是矩阵的运算的所有公式：加法和减法矩阵加法和减法是类似的，它们的定义如下：A +B = C其中，C的第i行、第j列元素为(Cij)= (Aij) + (Bij)A -B = D其中，D的第i行、第j列元素为(Dij)= (Aij) - (Bij)注意：矩阵加法和减法只有在矩阵的维度相同的情况下才能进行。

乘法矩阵乘法是矩阵运算中的另一个重要内容。

它的定义如下：设A是一个m×p的矩阵，B是一个p×n的矩阵，则A与B的乘积C是一个m×n的矩阵，它的(i,j)元素是：cij = ai1 × b1j + ai2 × b2j + …. + aim × bmj即：C的第i行、第j列元素等于A的第i行元素与B的第j列元素的乘积之和。

转置矩阵转置是将矩阵的行列互换的一种操作。

它的定义如下：设A是一个m×n的矩阵，它的转置矩阵为AT，则AT是一个n×m 的矩阵，它的(i,j)元素是：(AT)ij = (Aji)即：AT的第i行、第j列元素等于A的第j行元素与第i列元素的乘积之和。

伴随矩阵矩阵伴随是通过对矩阵进行一些列的变换得到的另一种矩阵。

它的定义如下：设A是一个n×n的矩阵，则A的伴随矩阵是n×n的矩阵，它的(i,j)元素是：(adj A)ij = (-1)i+j × (adj A)ji其中，(adj A)ji表示A的伴随矩阵的第i行、第j列元素。

另外，(adj A)代表A的行列式的倒数。

逆矩阵矩阵逆是矩阵的一种重要的运算方式。

它的定义如下：设A是一个n×n的方阵，如果存在一个n×n的方阵B，使得：AB=BA=I，其中I是n×n的单位矩阵，那么B称为A的逆矩阵，记作：B=A-1。

矩阵运算公式大全

矩阵运算公式大全矩阵运算是线性代数中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

矩阵运算公式是矩阵运算的基础，掌握这些公式对于理解矩阵运算的原理和应用至关重要。

本文将为大家详细介绍矩阵运算的各种公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用矩阵运算。

一、矩阵的加法和减法。

1. 矩阵加法，设矩阵A、B的阶数相同，即都是m×n阶矩阵，则矩阵A、B 的和记作A+B，即A+B=(a_ij+b_ij)。

2. 矩阵减法，矩阵A、B的减法定义为A-B=A+(-B)，即A-B=(a_ij-b_ij)。

二、矩阵的数乘。

1. 数乘的定义，设k为数，A为m×n矩阵，则kA=(ka_ij)。

2. 数乘的性质，数乘满足分配律和结合律，即k(A+B)=kA+kB，(k+m)A=kA+mA。

三、矩阵的乘法。

1. 矩阵乘法的定义，设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则矩阵AB的乘积为一个m×p矩阵C，其中C的元素c_ij为c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+...+a_inb_nj。

2. 矩阵乘法的性质，矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，即AB≠BA。

四、矩阵的转置。

1. 矩阵的转置定义，设A为m×n矩阵，记作A^T，其中A^T的元素a_ij为a_ji。

2. 转置的性质，(A^T)^T=A，(kA)^T=kA^T，(A+B)^T=A^T+B^T，(AB)^T=B^TA^T。

五、矩阵的逆。

1. 矩阵可逆的定义，设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，其中E为单位矩阵，则称A可逆，B为A的逆矩阵，记作A^-1。

2. 逆矩阵的性质，若A、B均为n阶可逆矩阵，则(AB)^-1=B^-1A^-1，(A^-1)^-1=A，(A^T)^-1=(A^-1)^T。

六、矩阵的行列式。

1. 行列式的定义，设A为n阶方阵，其行列式记作det(A)，其中当n=1时，det(A)=a_11；当n>1时，det(A)=Σ(-1)^(i+j)a_ijM_ij，其中M_ij为A去掉第i行第j列后所得的n-1阶方阵的行列式，i、j为行列标号。

关于矩阵乘积的探究1

关于矩阵乘积的探究摘要: 本文给出了一般矩阵乘积、Hadamard 乘积及Kronecker 乘积的定义，证明了它们的一些运算性质，并介绍了它们的各方面应用等。

对矩阵乘积的定义及各方面有了更深的理解。

关键词:一般矩阵乘积 Hadamard 乘积 Kronecker 乘积运算性质应用正文:引言初学矩阵，总会对它的乘法定义感到奇怪，它其中不仅包含了乘法，更有加法的运算。

这样定义到底是为了什么？又有什么价值？有其他不同定义的乘法吗？而下文便介绍了解一些关于矩阵乘法的一些性质应用，以及其他乘法的优劣。

一、一般矩阵乘积1.定义：设 nmkj sn ik b B a A )(,)(==那么矩阵smij c C )(=。

其中，∑==+⋯++=nk kjik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 称为A 和B 的乘积，记为C=AB2. 运算性质： 1）结合律矩阵的乘法适合结合律，设mrkl nm jk sn ij c C b B a A )(,)(,)(=== ，我们证明)()(BC A C AB = 令nrjl sm ik w BC W v AB V )(,)(====，其中).,...,2,1(1m i b a v nj jk ij ik ==∑=).,...,2,1(1m j c b w mk kl jk jl ==∑=因为 VC C AB =)( 中VC 的第i 行第l 列元素为klm k nj jk ij kl m k n j jk ij klmk ik c b a c b a c v∑∑∑∑∑=======11111)(而A （BC ）=AW 中AW 的第i 行第l 列元素为kln j mk jk ij kl n j m k jk ij jlnj ij c b a c b a wa ∑∑∑∑∑=======11111)(由于双重连加号可以交换次序，所以两式的结果是一样的，这就证明了结合律。

考研线性代数公式

考研线性代数公式线性代数是理工类学科中的一门重要课程，也是考研中的必考科目之一、在考研中，线性代数的公式是非常重要的，因为公式是解题的基础和关键。

下面我将就线性代数中常见的公式进行总结，希望对考研学子有所帮助。

一、矩阵相关公式1.矩阵的转置：如果A是一个m×n的矩阵，则其转置记作A^T，即矩阵A的列变成A^T的行，矩阵A^T的行变成A的列。

2.单位矩阵：对于一个n×n的矩阵，其对角线上的元素均为1，其余元素均为0，则称其为单位矩阵，记作E。

3.矩阵的乘法：如果A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p的矩阵。

4.矩阵的逆：如果一个n×n矩阵A存在一个矩阵B，使得AB=BA=E，那么称B为A 的逆矩阵，记作A^(-1)。

5.克拉默法则：对于一个由n个线性方程组成的线性方程组Ax=b，如果系数矩阵A 的行列式不为0，那么方程组有唯一解，且解为x=A^(-1)b。

6.矩阵的迹：对于一个n×n的方阵A，其主对角线上的元素之和称为矩阵A的迹，记作tr(A)。

二、向量相关公式1.向量的模：对于一个n维向量x=(x1,x2,…,xn)，其模记作，x，即，x，=sqrt(x1^2+x2^2+…+xn^2)。

2.向量的内积：对于两个n维向量x=(x1,x2,…,xn)和y=(y1,y2,…,yn)，它们的内积记作x·y，即x·y=x1y1+x2y2+…+xnyn。

3.向量的外积：对于二维向量x=(x1,x2)和y=(y1,y2)，它们的外积记作x×y，即x×y=x1y2-x2y14.向量的投影：如果向量x在向量y上的投影记作proj_y(x)，那么它可以通过公式proj_y(x)=(x·y)/，y，^2计算得到。

5.两个向量的夹角：对于两个非零向量x和y，它们之间的夹角记作θ，可以通过余弦公式cosθ=(x·y)/，x，y，计算得到。

矩阵乘法

矩阵乘法编辑矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log（n )，还可以求路径方案等，所以更是一种应用性极强的算法。

矩阵，是线性代数中的基本概念之一。

一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。

由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。

矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛。

中文名矩阵乘法外文名Matrix multiplication基本性质结合性等类别对称矩阵等应用学科数学应用领域代数1适用范围2C语言程序3相关符号4基本性质5特殊类别6经典题目7乘法算法1适用范围编辑只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。

一个m×n的矩阵a(m,n)左乘一个n×p的矩阵b(n,p)，会得到一个m×p的矩阵c(m,p)。

左乘：又称前乘，就是乘在左边(即乘号前)，比如说,A左乘E即AE。

矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和约去律一般的矩乘要结合快速幂才有效果。

（基本上所有矩阵乘法都要用到快速幂的）在计算机中，一个矩阵实际上就是一个二维数组。

一个m行n列的矩阵与一个n行p 列的矩阵可以相乘，得到的结果是一个m行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数为第一个矩阵第i行上的n个数与第二个矩阵第j列上的n个数对应相乘后所得的n个乘积之和。

比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。

其中，结果矩阵的那个4（结果矩阵中第二（i）行第二（j)列）=2（第一个矩阵第二(i)行第一列）*2（第二个矩阵中第一行第二(j)列）+0（第一个矩阵第二(i)行第二列）*1（第二个矩阵中第二行第二(j)列）：2C语言程序编辑#include<stdio.h>int p, q, k;int fun(float A[][2], float B[][1]{float C[2][1] = { 0 };for (p = 0; p < 2; ++p){for (q = 0; q < 1; ++q){for (k = 0; k < 2; ++k)C[p][q] += A[p][k] * B[k][q];}}for (p = 0; p < 2; p++){for (q = 0; q < 1; q++){printf("%f", C[p][q]);printf("\n");}}return 0;}int main(){float A[2][2] = { 1, 1, 2, 1 }, B[2][1] = {2, 1}; printf("矩阵A*矩阵B为:\n"); // 计算两个矩阵相乘；以[2][2]*[2][1]为例fun(A, B);system("pause");return0;}程序运行结果示例：一般矩乘的代码：function mul( a , b : Tmatrix ) : Tmatrix;vari,j,k : longint;c : Tmatrix;beginfillchar( c , sizeof( c ) , 0 );for k:=0 to n dofor i:=0 to m dofor j:=0 to p dobegininc( c[ i , j ] , a[ i , k ]*b[ k , j ] );if c[ i , j ] > ra then c[ i , j ]:=c[ i , j ] mod ra;end;mul:=c;end;这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。

线性代数基础知识（三）——矩阵乘法

线性代数基础知识（三）——矩阵乘法矩阵A ∈ R m×n 和B ∈ R n×p 的乘积为矩阵：其中：.请注意，矩阵A的列数应该与矩阵B的⾏数相等，这样才存在矩阵的乘积。

有很多种⽅式可以帮助我们理解矩阵乘法，这⾥我们将通过⼀些例⼦开始学习。

2.1向量的乘积给定两个向量x，y ∈ R n，那么x T y的值，我们称之为向量的内积或点积。

它是⼀个由下式得到的实数：.可以发现，内积实际上是矩阵乘法的⼀个特例。

通常情况下x T y = y T x。

对于向量x ∈ R m， y ∈ R n（⼤⼩不必相同），xy T ∈ R m×n称为向量的外积。

外积是⼀个矩阵，其中中的每个元素，都可以由得到，也就是说，.我们举个例⼦说明外积有什么⽤。

令1 ∈ R n 表⽰所有元素都是1的n维向量，然后将矩阵A ∈ R m×n 的每⼀列都⽤列向量x ∈ R m表⽰。

使⽤外积，我们可以将A简洁的表⽰为：.2.2矩阵-向量的乘积对于⼀个矩阵A ∈ R m×n 和向量x ∈ R n，他们的乘积为向量y = Ax ∈ R m。

理解矩阵向量乘法的⽅式有很多种，我们⼀起来逐⼀看看。

以⾏的形式书写A，我们可以将其表⽰为Ax的形式：.也就是说，y第i⾏的元素等于A的第i⾏与x的内积 .咱们换个⾓度，以列的形式表⽰A，我们可以看到：.换⾔之，y是A列的线性组合，线性组合的系数就是x的元素。

上⾯我们看到的是右乘⼀个列向量，那左乘⼀个⾏向量嘞？对于A ∈ R m×n，x ∈ R m， y ∈ R n，这个式⼦可以写成y T = x T A 。

向之前那样，我们有两种⽅式表达y T，这取决于表达A的⽅式是⾏还是列。

第⼀种情况是把A以列的形式表⽰：这个式⼦说明y T 第i列的元素等于向量x与A的第i列的内积。

我们也⼀样可以把A表⽰成⾏的形式，来说明向量-矩阵乘积。

我们可以看到y T 是A的⾏的线性组合，线性组合的系数是x的元素。

1)矩阵的加减运算AB=解读

解
A1存在.
3,
A11
同理可得
2 1 4 3
2,
A12
2 1 3 3
A13 2,
A21 6, A22 6, A23 2,
A33 2,
A31 4, A32 5,
得
故
6 4 2 A 3 6 5 , 2 2 2
1 1 例如设 A , 1 1
1 2 1 2 存在 B , 1 2 1 2
使得 AB E
二、逆矩阵的概念
定义设A 为n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B，使得
AB＝BA＝E 则称 A 为可逆矩阵，称 B 为 A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1.
回顾矩阵的运算：
1）矩阵的加减运算：A+B= 2）矩阵的乘法运算：
a
ij mn
(bij )mn
3 2 5 - 2 1 ） 7 5 - 7 3
5 - 2 3 2 2） - 7 3 7 5
2 1 1 - 2 -1 2 3）已知：A 1 0 2 C 4 1 - 3 3 1 2 1 1 -1 求：AC，CA
矩阵方程
AX B XA B
AXB C
解
X A1 B X BA1 X A1 C B1
四、逆矩阵的性质
1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A
1 1 1

A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
A
1
1

A 1 .
T 1
3 若 A 可逆 , 则 A

矩阵乘法逆运算

矩阵乘法逆运算矩阵乘法逆运算是矩阵运算中的一项重要操作，它可以用于求解线性方程组、解析几何等问题。

本文将介绍矩阵乘法逆运算的定义、性质以及应用，并通过实例来说明其具体操作方法。

矩阵乘法逆运算，简称逆运算，是指对于一个给定的矩阵A，找到一个矩阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵I。

符号表示为A * B = B * A = I，其中*表示矩阵乘法。

我们来了解一下逆矩阵的定义。

对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，则称B是A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^-1。

其中，I表示n阶单位矩阵。

接下来，我们来看一下矩阵乘法逆运算的性质。

首先，逆矩阵是唯一的，即如果矩阵A的逆矩阵存在，则它是唯一的。

其次，如果矩阵A和矩阵B都是可逆的，则它们的乘积AB也是可逆的，并且(AB)^-1 = B^-1 * A^-1。

再次，如果矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵A^T也是可逆的，并且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。

矩阵乘法逆运算在线性方程组的求解中起着重要的作用。

对于一个线性方程组Ax=b，其中A是一个n阶矩阵，b是一个n维向量，x 是一个n维向量，如果A可逆，则方程组的解为x=A^-1 * b。

通过矩阵乘法逆运算，我们可以将线性方程组的求解问题转化为矩阵乘法的运算问题，从而简化计算过程。

举个例子来说明矩阵乘法逆运算的具体操作方法。

假设有一个2阶矩阵A和一个2维向量b，它们的值分别为：A = [2, 1; 1, 3]b = [1; 2]我们首先求解矩阵A的逆矩阵A^-1。

根据逆矩阵的定义，我们需要找到一个2阶矩阵B，使得AB=BA=I。

通过计算，可以得到矩阵A的逆矩阵为：A^-1 = [3/5, -1/5; -1/5, 2/5]接下来，我们可以通过矩阵乘法逆运算来求解线性方程组Ax=b的解x。

根据公式x=A^-1 * b，我们可以得到：x = [3/5, -1/5; -1/5, 2/5] * [1; 2] = [1/5; 3/5]因此，线性方程组Ax=b的解为x = [1/5; 3/5]。

线代矩阵公式大全

线代矩阵公式大全线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、向量空间（也叫线性空间）、线性变换和矩阵等概念。

矩阵是线性代数中最基本的工具之一，它在解决实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常用的矩阵公式：1. 矩阵的加法和减法：设A和B是两个n阶矩阵，则它们的和C=A+B是一个n 阶矩阵，其元素c_ij=a_ij+b_ij；它们的差D=A-B是一个n阶矩阵，其元素d_ij=a_ij-b_ij。

2. 矩阵的乘法：设A和B是两个n阶矩阵，则它们的积C=AB是一个m×n 阶矩阵，其元素c_ij=Σa_ik*b_kj，其中k从1到n。

注意，矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。

3. 矩阵的转置：设A是一个n阶矩阵，则它的转置AT是一个n阶矩阵，其元素t_ij=a_ji。

4. 单位矩阵：一个n阶单位矩阵I是一个n阶方阵，其对角线上的元素为1，其余元素为0。

用数学符号表示为：I = diag(1, 0, ..., 0)5. 零矩阵：一个n阶零矩阵O是一个n阶方阵，其所有元素都为0。

用数学符号表示为：O = 06. 矩阵的行列式：设A是一个n阶方阵，则它的行列式det(A)是一个标量。

行列式的计算方法有多种，如拉普拉斯展开法、高斯消元法等。

7. 矩阵的逆：设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B使得AB= BA=I，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。

注意，并非所有矩阵都有逆矩阵。

8. 秩：设A是一个n阶方阵，它的秩r（A）是一个非负整数，表示A的列向量组的最大线性无关组中的向量个数。

9. 特征值和特征向量：设A是一个n阶方阵，λ是一个标量，v是一个n维向量，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，则称λ是A的一个特征值，v是对应的一个特征向量。

10. 矩阵的范数：设A是一个n阶方阵，它的范数||A||是一个非负实数，表示A的大小。

常用的范数有Frobenius范数、谱范数、无穷范数等。

11. 矩阵的迹：设A是一个n阶方阵，它的迹tr(A)是一个标量，表示A的主对角线上元素的和。