高数下试题及答案

第二学期期末考试试卷

一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 已知向量()1,1,4r

a =-,()3,4,0r

b =,则以r a ,r b

为边的平行四边形的面积等于.

2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

处

的切平面方程是.

3. 交换积分次序()22

0,x dx f x y dy =

⎰⎰.

4. 对于级数11

n n a

∞

=∑（a ＞0），当a 满足条件

时收敛. 5. 函数1

2y x

=-展开成x 的幂级数为

.

二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面

2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数

()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的

（ ）

（A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件

3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10

x y dz ===（ ）

（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n

n n a x ∞

=-∑在1x =-处收敛，

则此级数在2x =处（ ）

（A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212

1x y e

=- （B ）212

1x y e

-=- （C ）212

x y Ce

-= （D ）212

1x y Ce

=-

三、(本题满分8分)

设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521

x y z

-+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分)

设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ∂∂和2z

x y

∂∂∂．

五、(本题满分8分)

计算三重积分y zdxdydz Ω

=⎰⎰⎰，

其中

(){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．

六、(本题满分8分)

计算对弧长的曲线积分L ⎰，

其中L 是圆周222x y R +=在第一象限的部分．

七、(本题满分9分)

计算曲面积分3Òxdydz zdzdx dxdy ∑

++⎰⎰，其中∑是柱面

221x y +=与平面0z =和1z =所围成的边界曲面外侧．

八、(本题满分9分)

求幂级数11

n n nx ∞

-=∑的收敛域及和函数．

九、(本题满分9分)

求微分方程4x y y e ''-=的通解．

十、(本题满分11分)

设L 是上半平面()0y >内的有向分段光滑曲线， 其起点为()1,2，终点为()2,3， 记2221L x I xy dx x y dy y y ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⎰

1．证明曲线积分I 与路径L 无关； 2．求I 的值．

第二学期期末考试试卷及答案

一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)

1. 已知向量()1,1,4r

a =-,()3,4,0r

b =,则以r a ,r b

为边的平行四边形的面积等于.

2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

处

的切平面方程是210x y z --+=.

3. 交换积分次序()22

0,x dx f x y dy =

⎰⎰()20

,y

dy f x y dx

⎰⎰.

4. 对于级数11

n n a

∞

=∑（a ＞0），当a 满足条件

1a >时收敛.

5. 函数1

2y x

=-展开成x 的幂级数

为

()

10

222n n n x x ∞

+=-<<∑

.

二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)

1. 平面20x z -=的位置是 （ A ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面

2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数

()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的

（ C ）

（A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10

x y dz ===（ B ）

（A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n

n n a x ∞

=-∑在1x =-处收敛，

则此级数在2x =处（ D ）

（A ）敛散性不确定 （B ）发散