高数下试题及答案

第二学期期末考试试卷
一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
1. 已知向量()1,1,4r
a =-,()3,4,0r
b =,则以r a ,r b
为边的平行四边形的面积等于.
2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
处
的切平面方程是.
3. 交换积分次序()22
0,x dx f x y dy =
⎰⎰.
4. 对于级数11
n n a
∞
=∑（a ＞0），当a 满足条件
时收敛. 5. 函数1
2y x
=-展开成x 的幂级数为
.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面
2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数
()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的
（ ）
（A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件
3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10
x y dz ===（ ）
（A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，
则此级数在2x =处（ ）
（A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212
1x y e
=- （B ）212
1x y e
-=- （C ）212
x y Ce
-= （D ）212
1x y Ce
=-
三、(本题满分8分)
设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521
x y z
-+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分)
设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ∂∂和2z
x y
∂∂∂．
五、(本题满分8分)
计算三重积分y zdxdydz Ω
=⎰⎰⎰，
其中
(){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．
六、(本题满分8分)
计算对弧长的曲线积分L ⎰，
其中L 是圆周222x y R +=在第一象限的部分．
七、(本题满分9分)
计算曲面积分3Òxdydz zdzdx dxdy ∑
++⎰⎰，其中∑是柱面
221x y +=与平面0z =和1z =所围成的边界曲面外侧．
八、(本题满分9分)
求幂级数11
n n nx ∞
-=∑的收敛域及和函数．
九、(本题满分9分)
求微分方程4x y y e ''-=的通解．
十、(本题满分11分)
设L 是上半平面()0y >内的有向分段光滑曲线， 其起点为()1,2，终点为()2,3， 记2221L x I xy dx x y dy y y ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎰
1．证明曲线积分I 与路径L 无关； 2．求I 的值．
第二学期期末考试试卷及答案
一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)
1. 已知向量()1,1,4r
a =-,()3,4,0r
b =,则以r a ,r b
为边的平行四边形的面积等于.
2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
处
的切平面方程是210x y z --+=.
3. 交换积分次序()22
0,x dx f x y dy =
⎰⎰()20
,y
dy f x y dx
⎰⎰.
4. 对于级数11
n n a
∞
=∑（a ＞0），当a 满足条件
1a >时收敛.
5. 函数1
2y x
=-展开成x 的幂级数
为
()
10
222n n n x x ∞
+=-<<∑
.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1. 平面20x z -=的位置是 （ A ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面
2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数
()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的
（ C ）
（A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10
x y dz ===（ B ）
（A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n
n n a x ∞
=-∑在1x =-处收敛，
则此级数在2x =处（ D ）
（A ）敛散性不确定 （B ）发散
（C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ D ） （A ）212
1x y e
=- （B ）212
1x y e
-=- （C ）212
x y Ce
-= （D ）212
1x y Ce
=-
三、(本题满分8分)
设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线 43521
x y z
-+==，求该平面方程． 解: 由于平面通过点()3,1,2A -及直线上的点()4,3,0B -， 因而向量()1,4,2AB →
=-平行于该平面。

该平面的法向量为: (5,2,1)(1,4,2)(8,9,22).r
n =⨯-=--
则平面方程为: 8(4)9(3)22(0)0.x y z --+--= 或： 8(3)9(1)22(2)0.x y z ----+= 即： 8922590.x y z ---= 四、(本题满分8分)
设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂．
解: 12z
f y f x
∂=+∂,
()212z f y f x y y
∂∂
=+=∂∂∂
()111212122f x f y f f x f =++++=
()1112122xyf x y f f f =++++ 五、(本题满分8分)
计算三重积分y zdxdydz Ω
=⎰⎰⎰，
其中(){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．
解:
2
21
12
1
1
1
1232
g g
z
zdxdydz dx dy
zdz -Ω
===⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
六、(本题满分8分)
计算对弧长的曲线积分L ⎰，
其中L 是圆周222x y R +=在第一象限的部分．
解法一:
L =⎰
0Re arcsin Re 2R
R
R
R
R R
x e R π=
==⎰
解法二:
L =⎰
g R
R
L
e ds e L =
=⎰
（L 的弧长）Re 2
R π
=
解法三: 令cos x R θ=，sin y R θ=，02
π
θ≤≤
，
L =⎰
2
Re 2
R
R e Rd π
π
θ==
⎰
七、(本题满分9分)
计算曲面积分3Òxdydz zdzdx dxdy ∑
++⎰⎰，其中∑是柱面
221x y +=与平面0z =和1z =所围成的边界曲面外侧．
解: P x =,Q z =,3R =,
由高斯公式：3Òxdydz zdzdx dxdy ∑
++=⎰⎰
P Q R dv dv x y z πΩ
Ω
⎛⎫
∂∂∂=
++== ⎪∂∂∂⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
八、(本题满分9分)
求幂级数11
n n nx ∞
-=∑的收敛域及和函数．
解: 收敛半径：1
lim
1n
n n a R a →∞+== 易判断当1x =±时，原级数发散。

于是收敛域为()1,1- ()()
1
21
1111n n n n x s x nx
x x x ∞
∞-==''⎛⎫⎛⎫=
=== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-∑∑
九、(本题满分9分)
求微分方程4x y y e ''-=的通解． 解:特征方程为：240r -=
特征根为：2r =,2r =-
40y y ''-=的通解为：2212x x Y C e C e -=+。