向量知识点归纳与常见题型总结

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根据向量知识点总结及题型归纳

根据向量知识点总结及题型归纳一、向量的基本概念向量是由大小和方向确定的物理量，用箭头表示。

向量有两个重要特征：模和方向，用 |v| 和→v 表示。

A、向量的模：向量的模表示向量的大小或长度，用数值表示。

B、向量的方向：向量的方向表示从起点指向终点的直线方向，一般用角度或方向余弦表示。

二、向量的加减法A、向量的加法：向量相加按照平行四边形法则进行，首尾相接，和向量的起点为第一个向量的起点，终点为最后一个向量的终点。

即 A + B = C，表示从向量 A 的起点到向量 B 的终点的向量 C。

B、向量的减法：向量相减等于将减去的向量的方向反向，然后与要减的向量相加。

即 A - B = A + (-B)，表示由向量 A 的起点到向量 B 的终点的负向量。

三、向量的数量积和向量积A、向量的数量积：向量的数量积是两个向量的模和它们的夹角的余弦的乘积。

记作A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示两个向量的模，θ表示两个向量的夹角。

B、向量的向量积：向量的向量积是两个向量的模和它们的夹角的正弦的乘积。

记作A×B = |A||B|sinθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示两个向量的模，θ表示两个向量的夹角。

四、向量的题型归纳1、向量的加减法题：根据给定的向量，进行向量的加法或减法运算。

2、向量的数量积题：根据给定的向量，计算向量的数量积及其性质。

3、求模问题：根据已知的向量的模和方向，求解未知向量的模。

4、夹角问题：根据已知的向量和夹角，计算向量的数量积或向量的向量积。

5、平行四边形问题：根据已知的向量和平行四边形的性质，判断向量的关系。

6、垂直问题：根据已知的向量和垂直性质，判断向量的关系。

7、三角形面积问题：根据已知的向量，计算三角形的面积。

8、平面问题：根据已知的向量和平面的性质，判断向量的关系。

以上是根据向量的基本概念、加减法、数量积和向量积等知识点总结的，包括了常见的向量题型归纳。

向量知识点及题型总结

向量知识点及题型总结一、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

2. 向量的性质：- 向量的模长：向量的大小，用 ||a|| 表示，是向量的长度。

- 向量的方向：指向的方向，可以用夹角来表示。

- 向量的相等：如果两个向量的模长相等并且方向相同，那么这两个向量是相等的。

- 零向量：模长为0的向量，表示为0。

二、向量的表示及运算1. 向量的表示方式：- 平面向量：即二维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2)。

- 空间向量：即三维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2, a3)。

2. 向量的基本运算：- 向量的加法：向量相加就是对应分量相加；例如 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。

- 向量的减法：向量相减就是对应分量相减；例如 a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。

- 向量的数量乘法：向量乘以一个数，就是将向量每个分量都乘以这个数；例如 k * a = (k * a1, k * a2)。

- 向量的点乘：向量的点乘又称数量积，是两个向量对应分量相乘再相加的运算；例如 a·b = a1*b1 + a2*b2。

- 向量的叉乘：向量的叉乘又称向量积，只存在于三维空间中，结果是垂直于原来两个向量的新向量；例如 a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。

三、向量的应用1. 向量的几何意义- 向量的加法和减法可以表示平移和反向平移。

- 向量的数量积可以表示两个向量的夹角和投影。

- 向量的叉乘可以表示平行四边形的面积和法向量。

2. 向量的物理意义- 位移向量：表示物体的位移和移动方向。

- 力向量：表示物体受到的力和力的方向。

- 速度向量：表示物体的速度和运动方向。

- 加速度向量：表示物体的加速度和加速方向。

四、向量的题型1. 向量的基本运算题型- 求向量的模长和方向。

向量题型知识点总结归纳

向量题型知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

在直角坐标系中，向量通常表示为一个有序数对(a, b)，称为向量的坐标，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y 轴上的投影。

2. 向量的表示向量通常用字母加上箭头来表示，如→AB。

在数学中，向量常用字母加上上方的横线来表示，如a。

若向量a在平面直角坐标系中的终点坐标为(x, y)，则向量a可记作a = (x, y)。

3. 向量的模向量的模是表示向量大小的量，通常用两点间的距离来表示。

在直角坐标系中，向量a = (a1a1) 的模记作|a| = √(a1^2 + a1^2)。

4. 向量的方向向量的方向通常用夹角来表示，夹角是指向量与x轴正方向之间的角，通常用θ来表示。

在直角坐标系中，向量的方向可由tan ⁡θ = y/x来表示。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

在直角坐标系中，向量的加法通常是分别将两个向量的对应坐标相加，例如a + a = (a1 + a2，a1 + a2)。

2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

在直角坐标系中，向量的减法可以表示为a - a = (a1 - a2, a1 - a2)。

3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示为a·a（读作a点b），定义为a·a = |a| |a| cos a = aaaa + aaaa，其中a是a和b之间的夹角。

4. 向量的矢量积向量的矢量积又称为叉积，表示为a×a（读作a叉b），定义为a×a = |a| |a| sin a n，其中n是一个垂直于a和b的单位向量。

三、向量的应用1. 向量在物理中的应用向量在物理学中有广泛的应用，例如速度、加速度、力等物理量都可以用向量来表示。

通过向量的运算，可以方便地计算物理问题中涉及到的各种力和速度等物理量。

高中必修四向量知识点总结及高考题型总结

1 向量的知识点与高考应用及题型融合一,向量重要结论、及基础知识点公式总结(1)、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a aa ?==(2)、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos ||||a b a b θ?= (3)、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。

(4)、两向量平行的充要条件:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -=(5)、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y +=(6)、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥?(7)、向量的坐标运算:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a b ?=1212x x y y +(8)、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9)、向量:既有大小又有方向的量。

向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。

相等向量:长度相等且方向相同的向量。

(10)、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 ?|a |=0由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别)(11)、单位向量:模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?|0a |=1(12)、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ,要会求出直线的斜率;(2)给出OB OA +与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; (3)给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点;(4)给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5)给出以下情形之一:①//;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,OC OA OBαβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.(6) 给出λλ++=1OB OA ,等于已知P 是的定比分点,λ为定比,即λ= (7) 给出0=?MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m MB MA ,等于已知AMB∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角。

向量的知识点归纳总结

向量的知识点归纳总结一、向量的定义和表示向量是由大小和方向组成的量，可以用箭头表示。

在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对(x,y)，也可以用矢量形式表示为a=<x,y>。

在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组(x,y,z)，或者用矢量形式表示为a=<x,y,z>。

二、向量的基本运算1. 向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，其大小等于两个向量大小之和，方向与第一个向量和第二个向量相同。

2. 向量减法：两个向量相减得到一个新的向量，其大小等于两个向量大小之差，方向与第一个向量和第二个向量相反。

3. 数乘：将一个数乘以一个向量得到一个新的向量，其大小为原来的大小乘以这个数，方向不变。

4. 点积：两个同维度的向量进行点积运算得到一个标量（数量），公式为a·b=|a||b|cosθ。

5. 叉积：只有三维空间中才有叉积运算。

两个同维度的向量进行叉积运算得到一个新的垂直于这两个原始向 0 0 向的向 0 0 量，公式为a×b=|a||b|sinθn。

三、向量的线性相关和线性无关若存在一组不全为零的实数k1,k2,...,kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，则向量组{a1,a2,...,an}线性相关；否则，向量组{a1,a2,...,an}线性无关。

其中，n表示向量的个数。

四、向量的投影和正交分解1. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是这个向量在另一个向量上的投影长度与另一个向量方向相同的新向 0 0 向。

公式为projba=(a·b/|b|^2)b。

2. 正交分解：将一个向量分解成与另一个向量正交和平行于另一个向量两部分之和。

公式为a=a∥+a⊥，其中a∥=projba，a⊥=a−projba。

五、平面几何中的应用1. 向量共线：若两个非零向量共线，则它们可以表示成相等或相反方向的倍数。

2. 向量垂直：若两个非零向量垂直，则它们点积等于零。

向量题型知识点总结大全

向量题型知识点总结大全一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的几何量，通常用有向线段表示。

在数学上，向量通常用粗体字母或者用字母上加箭头来表示，如a或者→a。

2. 向量的表示方法向量有多种表示方法，包括（a1, a2, a3）、a→、|a|等形式。

其中（a1, a2, a3）是向量在空间直角坐标系中的坐标表示，a→表示向量的有向线段，|a|表示向量的模长。

3. 向量的运算向量有加法、数乘等运算法则，其基本概念如下：（1）向量的加法：若a→=(x1, y1)、b→=(x2, y2)，则a→+b→=(x1+x2, y1+y2)。

（2）数乘：若k为实数，则ka→=(kx, ky)。

4. 向量的特点向量除了具有大小和方向外，还有以下特点：（1）平行向量：具有相同或相反方向的向量称为平行向量。

（2）共线向量：所有在同一条直线上的向量称为共线向量。

（3）相等向量：模长相等且方向相同的向量称为相等向量。

二、线性相关与线性无关1. 线性相关若存在不全为0的实数k1、k2，使得k1a→+k2b→=0，其中a→、b→为非零向量，则称a→、b→线性相关。

2. 线性无关若对于任意的实数k1、k2，只有k1=k2=0时，才有k1a→+k2b→=0，则称a→、b→线性无关。

3. 线性相关与线性无关的判定线性相关与线性无关的判定方法有以下几种：（1）行列式判定法设a→、b→线性相关，当且仅当行列式|a→, b→|=0。

（2）向量加法判定法设a→、b→线性相关，当且仅当a→+b→、a→-b→、2a→-3b→都线性相关。

三、向量的数量积1. 定义向量数量积，也称为内积或点积，是指两个向量的数量相乘后相加的运算，通常用a→·b→或(a,b)表示。

2. 运算法则设a→=(x1, y1)、b→=(x2, y2)，则a→·b→=x1x2+y1y2。

3. 几何意义向量的数量积有很强的几何意义，具体表现在：（1）夹角公式：cosθ=a→·b→/|a||b|。

向量题型知识点总结

向量题型知识点总结一、向量的定义向量是一个由大小和方向确定的量，可以表示为有向线段。

常用大写拉丁字母表示向量，例如A、B、C等。

在直角坐标系中，一个向量可以表示为一个由两个坐标表示的有序对，例如(Ax, Ay)。

向量的定义有很多种表达方式，其中比较常见的有以下几种：1. 平行向量的定义：如果两个向量的方向相同或者相反，且大小相等，我们称它们为平行向量。

2. 零向量的定义：大小为0的向量称为零向量。

3. 自由向量的定义：不受限制的向量称为自由向量，即向量在空间中可以以任意点作为起点。

4. 共线向量的定义：如果存在一个非零向量a和一个实数k，使得另一个向量b=ka，则向量a和向量b共线。

5. 等量向量的定义：如果两个向量的大小相等，但方向可能不同，则这两个向量称为等量向量。

二、向量的运算1. 向量的加法：当两个向量相加时，可以将它们的起点放到一起，将终点放到一起，然后连接起点和终点，从而得到一个新的向量。

2. 向量的数乘：向量a与实数k的乘积表示在向量a的方向上，长度为|k|倍的向量。

当k>0时，方向不变；当k<0时，方向相反。

3. 向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法，即a-b=a+(-b)。

其中，-b为向量b的反向量。

4. 向量的数量积：数量积又称为内积，是两个向量的对应分量乘积的和，其中对应分量是指同一个位置上的两个分量。

5. 向量的叉积：叉积又称为外积，是两个向量相乘得到的一个新向量，在物理学中常用于求解力矩的方向。

三、向量的线性相关性1. 线性相关的定义：如果存在一组不全为0的实数，使得向量的线性组合等于零向量，我们称这组向量是线性相关的。

2. 线性无关的定义：如果一组向量不是线性相关的，这组向量就是线性无关的。

3. 线性相关与线性无关的判定：通过列向量组的秩和行列式的值来判定。

四、向量的坐标表示在二维直角坐标系中，一个向量可以表示为一个有序对(a, b)，其中a和b分别表示该向量在x轴和y轴上的分量。

向量章节知识点总结

向量章节知识点总结1. 向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示物理量的一种数学工具，它有大小和方向两个基本特征。

常用符号表示向量，例如a→。

向量常用箭头表示法表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

1.2 向量的表示向量常用坐标表示法表示，例如a→=(a1,a2,a3)。

向量也可以用分量和方向角表示，例如a→=(a cos a,a cos a,a cos a)。

不同的表示方法都可以用来描述向量的大小和方向，选择合适的表示方法便于计算和分析。

1.3 向量的相等两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同，即a→=a→。

向量相等可以用坐标或分量表示法进行判断。

2. 向量的性质2.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a→+a→=a→+a→，(a→+a→)+a→=a→+(a→+a→)。

向量的加法可以用三角形法则或平行四边形法则进行图解，方便进行向量的几何解释。

2.2 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是向量的一种运算。

两个向量的数量积定义为它们的模的乘积与它们的夹角的余弦值，即a→⋅a→=aa cos a。

数量积有交换律和分配律，是一个标量。

2.3 向量的矢量积向量的矢量积，也称为叉积或外积，是向量的一种运算。

两个向量的矢量积定义为它们的模的乘积与它们的夹角的正弦值，即a→×a→=aa sin aa→。

矢量积有右手定则和反交换律，是一个向量。

3. 向量的运算3.1 向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘法，即aa→。

向量的数乘改变了向量的大小，但不改变它的方向。

向量的数乘有分配律和结合律。

3.2 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的角度，可以通过数量积的定义求解。

两个向量的夹角满足余弦定理，即a→⋅a→=aa cos a。

根据夹角的大小，可以判断向量的方向和位置关系。

4. 向量的应用4.1 向量在几何中的应用向量在几何中有广泛的应用，例如描述线段、平面、直线等几何图形，求解距离、角度、面积等几何性质，进行向量方程的几何解释等。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。

大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。

1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。

3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。

零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

向量知识点总结及例题讲解

向量总复习及相关例题第一节向量【知识点】：一、向量概念：1、向量：既有方向，又有大小的量叫做向量；注意向量与数量的区别。

2、零向量：长度为零的向量叫零向量；记作0；注意零向量的方向是任意的。

3、单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。

ι，j 为两个互相垂直的单位向量。

4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量a ，b 相等，记作b a =。

二、共线向量：共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等则一定共线。

【相关例题】：1、下列各量中哪些是向量？哪些不是向量？说明理由（1）、密度（2）、湿度（3）、浮力（4）、价格2、下列命题中不正确的是（）A 、0没有方向B 、0只与0相等C 、0的模为0D 、0与任何向量共线3、下列命题：（1）、向量就是有向线段；（2）、单位向量都相等；（3）四边形ABCD 中，AD BC =是ABCD 为平行四边形的充要条件；（4）；其中正确的命题序号是4、如图：D 、E 、F 分别是正ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点，则1）、与DE 2）、与DE 3）、与FC第二节向量的加法与减法【知识点】：=注意：1、)yy,xx(ba),y,x(b),y,x(a21212211+++=＝则＝若;2、BCABAC+=;若OA)yy,xx(b21212211--＝；2、()aa,AOOA--=-=；3、OAOBAB-=;三、向量加减法的运算律：1、交换率：abba+=+；2、结合律：)cb(ac)ba(cba++=++=++)cb(ac)ba(cba+-=--=--四、向量加减法的平行四边形法则：若aAB=，bAD=，则baAC+=，baDB-=,；其几何意义如下表示：【相关例题】：1、化简下列各式：1、DACDBCAB+++2、)()(CDBCDBAB+++3、ABADBC+-4、)()(QPNPMQMN-+-5、ADODOA+-6、MPMNQPNQ-++2、如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船实际航行的速度和方向；3、如图，点B 是平行四边形ACDE 外一点，且a AB ＝，b AC ＝，c AE ＝，用c b a ,,，表示向量CD BC BD ,,和CE 。

高一向量知识点总结及题型归纳

高一向量知识点总结及题型归纳一、向量的基本概念及表示方法向量是数量和方向共同决定的物理量，常用箭头表示。

记作→AB 或者AB。

二、向量的性质1. 向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同。

2. 零向量：长度为0的向量，记作→0。

3. 负向量：与给定向量大小相等，方向相反的向量。

4. 平行向量：方向相同或者相反的两个向量。

5. 对于平行向量→a和→b，存在实数k，使得→a=k→b，即两个向量与一个非零实数的乘积仍然是平行的。

6. 共线向量：在同一直线上的向量。

7. 单位向量：长度为1的向量。

三、向量的运算1. 向量的加法：按照三角形法则进行，即把两个向量头尾相连形成一个三角形，以三角形第三个顶点为和向量的起点，起点与末端为和向量的末端。

2. 向量的减法：-→AB=→BA。

即减去一个向量与加上一个负向量的结果。

3. 数乘：即给向量的长度乘以一个实数，得到新的向量。

四、向量的线性运算1. 两个向量的线性组合：使两个向量分别乘上一个实数，然后相加。

2. 线性相关与线性无关：对于向量组V={→a1,→a2,...,→an}，如果存在一组不全为零的数k1,k2,...,kn，使得k1→a1+k2→a2+⋯+kn→an=→0成立，则向量组线性相关；否则，线性无关。

3. 线性组合：对于向量组V={→a1,→a2,...,→an}和一组实数k1,k2,...,kn，V的线性组合即为k1→a1+k2→a2+⋯+kn→an。

五、向量的数量积1. 数量积定义：→a⋅→b=|→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。

2. 数量积的性质：- 结合律：(k→a)⋅→b=k(→a⋅→b)=→a⋅。

k→b- 分配律：→a⋅(→b+→c)=→a⋅→b+→a⋅→c- 对于平行向量，→a⋅→b=|→a||→b|六、向量的空间几何意义1. 向量共线：→a与→b共线，当且仅当存在实数k，使得→a=k→b。

2. 向量垂直：→a与→b垂直，当且仅当→a⋅→b=0。

向量知识点总结数列题型

向量知识点总结数列题型一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是有向线段，可以表示物体的位移、速度、加速度等物理量，用于描述空间中的方向和大小。

2. 向量的性质（1）向量的大小：表示向量的长度或大小。

（2）向量的方向：表示向量的指向。

（3）零向量：大小为0的向量。

（4）平行向量：方向相同或相反的向量。

（5）共线向量：位于同一直线上的向量。

（6）向量的相等：两个向量的大小和方向相同。

二、向量的表示方式1. 分量表示将向量表示为坐标形式，如（3，4）表示位于x轴上3个单位，y轴上4个单位的向量。

2. 点表示用起点和终点表示向量，如AB表示向量，A为起点，B为终点。

3. 数学表示用字母表示向量，如a、b、c等。

三、向量的运算1. 向量的加法将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

2. 向量的减法将两个向量的对应分量相减得到新的向量。

3. 向量的数量积两个向量的数量积等于这两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积。

4. 向量的夹角通过向量的数量积可以求得向量的夹角，其余弦值等于向量的数量积除以向量的模的乘积。

四、向量的应用1. 直线的垂直平分线通过向量的知识可以求得直线的垂直平分线，通过计算向量的夹角来判断直线是否垂直或平行。

2. 空间几何在空间中，通过向量可以描述物体的位置、方向和速度等，可以用于解决空间几何问题。

3. 物理问题在物理学中，向量用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量，对于物理问题的分析和计算有很大的帮助。

五、向量数量积的应用1. 向量的投影通过向量的投影可以求得向量在某一方向上的投影长度，用于解决空间几何问题。

2. 平行四边形面积两个向量的数量积的绝对值等于这两个向量所在平行四边形的面积。

3. 已知向量的数量积求向量已知向量a和b的数量积以及一个向量a的大小和方向，求向量b的大小和方向。

六、向量叉积的应用1. 求向量的模通过向量叉积可以求得向量的模，用于解决空间几何问题。

2. 求向量的方向通过向量叉积可以求得新向量的方向，用于描述平面内的方向关系。

职高向量知识点总结及例题

职高向量知识点总结及例题一、向量的概念1. 向量的概念在数学上，向量是指具有大小和方向的量。

它可以用有序数组或坐标表示，例如 (a, b, c) 或者 \( \vec{AB} \) 。

向量可以用箭头表示，并且箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2. 向量的表示向量 \( \vec{AB} \) 用有向线段 \( \overrightarrow{AB} \) 来表示，线段的起点 A 和终点 B 分别表示向量的起点和终点。

向量也可以用分量表示，例如 \( \vec{AB} = (x, y) \) 。

3. 向量的数量向量有大小和方向两个方面的数量。

向量的大小称为向量的模，表示为 |\( \vec{AB} \)| 或者 ||\( \vec{AB} \)|| 。

向量的方向可以用夹角表示。

二、向量的运算1. 向量的加法两个向量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的和记作 \( \vec{a} + \vec{b} \) ，它们的和是一个新的向量，其起点与 \( \vec{a} \) 的起点重合，终点与 \( \vec{b} \) 的终点重合。

2. 向量的减法两个向量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的差记作 \( \vec{a} - \vec{b} \) ，它们的差是一个新的向量，其起点与 \( \vec{a} \) 的起点重合，终点与 \( \vec{b} \) 的起点重合。

3. 向量的数乘一个向量 \( \vec{a} \) 与一个实数 k 的乘积记作 k\( \vec{a} \) ，它是一个新的向量，其大小为 \( |k| \cdot |\vec{a}| \) ，方向与 \( \vec{a} \) 相同（k > 0）或者相反（k < 0）。

4. 内积和外积两个向量 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的内积（也叫点积）记作 \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) ，其定义为 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\theta} \) ，其中 \( \theta \) 为 \( \vec{a} \) 和 \( \vec{b} \) 的夹角。

向量知识点题型归纳

专题--平面向量1.向向量的相关概念、、2.向量的线性运算二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=r r r，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

如（1）若(1,1),a b ==r r (1,1),(1,2)c -=-r ，则c =r ______ （答：1322a b -r r）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e e ==-u ru u rB. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u rC. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u rD. 1213(2,3),(,)24e e =-=-u r u u r（答：B ）；（3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC uuu r可用向量,a b r r 表示为_____ （答：2433a b +r r）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是（答：0）四．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=r r 当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ＝0时，0a λ=r r，注意：λ≠0。

向量题型归纳和解题方法

向量题型归纳和解题方法向量是数学中的一个重要概念，它可以用来描述空间中的方向和大小。

在学习向量的过程中，我们需要掌握一些基本的概念和解题方法。

本文将对向量的题型进行归纳和解题方法进行介绍。

一、基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量。

通常用有向线段来表示，其中起点表示向量的起点，终点表示向量的终点，箭头表示向量的方向和大小。

2. 向量的模长：向量的模长是指向量的长度，通常用||AB|| 或|AB| 表示。

计算公式为：||AB||=√(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²。

3. 向量的方向角：向量的方向角是指向量与某个坐标轴或平面的夹角。

通常用α、β、γ表示。

4. 向量的共线性：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的。

如果两个向量的方向不同，则它们是不共线的。

5. 向量的平行四边形法则：两个向量的和是以它们为对角线的平行四边形的对角线。

二、题型归纳1. 向量的加减法：给定两个向量，求它们的和或差。

2. 向量的数量积：给定两个向量，求它们的数量积。

3. 向量的夹角：给定两个向量，求它们的夹角。

4. 向量的投影：给定一个向量和一个方向，求该向量在该方向上的投影。

5. 向量的垂直：给定两个向量，判断它们是否垂直。

6. 向量的共线性：给定两个向量，判断它们是否共线。

三、解题方法1. 向量的加减法：根据平行四边形法则，将两个向量首尾相接，然后连接对角线，对角线的长度即为所求向量的模长。

2. 向量的数量积：计算两个向量对应坐标的乘积之和，即可得到它们的数量积。

3. 向量的夹角：根据向量的数量积公式，计算两个向量的数量积，然后根据余弦定理计算夹角。

4. 向量的投影：根据向量的数量积公式，计算向量在该方向上的投影。

5. 向量的垂直：计算两个向量的数量积，如果结果为0，则它们垂直。

6. 向量的共线性：计算两个向量的数量积，如果结果为0，则它们共线。

以上是向量的基本概念、题型归纳和解题方法的介绍。

高一向量知识点总结及例题

高一向量知识点总结及例题一、向量的概念1. 向量的定义：有向线段叫做向量向量的定义：具有大小和方向的量称为向量2. 向量的表示：一般用小写英文字母加上上方有箭头的符号表示向量，如a→（读作“a矢”）表示一个向量3. 特殊向量：零向量，单位向量零向量：方向任意，但模长为零的向量称为零向量，用0→表示单位向量：模长为1的向量称为单位向量4. 向量的性质：平行向量，共线向量二、向量的运算1. 向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则：以向量的起点为顶点，则向量和为以这些向量为对角线的平行四边形的对角线。

2. 向量的减法：a-b=a+(-b)为a的负向量3. 向量的数乘：数c与向量a的积c倍c→4. 向量的夹角：若两向量a→和b→不共线，那么定义a→与b→的夹角α为0°≤α≤180°5. 向量的数量积：a•b=|a|•|b|•cosα6. 向量的数量积性质：（1）交换律：a•b=b•a（2）数量积的分配律：a•(b+c)=a•b+a•c（3）数量积的数乘结合律：(ca)•b=c(a•b)（4）|a•b|=|a|•|b|•cosα三、向量的坐标表示1，平面直角坐标系中的向量：（x1,y1）和（x2,y2）两点的向量为向量（x2-x1，y2-y1）2，向量的坐标与分解3，向量的坐标方向四、向量的应用1. 向量的应用：力，速度，位移2. 大小及方向的确定3. 用向量平行四边形的基本性质判定四边形的形状4. 向量的共线和共面例题：例1. 设向量a=(3,5)和向量b=(-2,4)，求向量a-b和向量b-a的坐标。

解：a-b=a+(-b)=（3,5）+(-2,-4) =(3-(-2),5-4)=(5,1)同理，b-a=b+(-a)=(-2,4)+(3,5)=(-2-3,4-5)=(-5,-1)例2：设a和b是非零向量，若|a•b|=|a|•|b|，则a、b的夹角取值为（）。

A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°解：|a•b|=|a|•|b|cosα ，|a•b|=|a|•|b|时，cosα=1，所以α=0°。

(完整版)向量知识点归纳与常见题型总结

向量知识点概括与常有题型总结高三理科数学组全体成员一、向量知识点概括1．与向量见解有关的问题⑴向量不一样样样于数目，数目是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数目能够比较大小，而向量不可以够够比较大小，只有它的模才能比较大小 . 记号“ a ＞ b ”错了，而 | a | ＞ | b | 才存心义 .⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点没关 . 因为全部向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点没关的向量（既自由向量） . 当碰到与起点有关向量时，可平移向量 .⑶平行向量（既共线向量）不用然相等，但相等向量必定是平行向量，既向量平行是向量相等的必需条件 .⑷单位向量是模为 1 的向量，其坐标表示为（x, y ） , 此中 x 、 y 知足 x 2y 2 ＝ 1（可用（ cos,sin）（ 0≤ ≤ 2π）表示） . 特别：AB表示与 AB 同向的单位向量。

uuur uuur| AB |比方：向量 ( ABAC)(0) 所在直线过ABC 的心里 ( 是BAC 的角均分线所在uuuruuur| AB || AC |直线 ) ；uuur uuuruuur uuur( AB AC[0,).例 1、O 是平面上一个定点， A 、B 、C 不共线，P 知足OPOAuuur uuuur )| AB | | AC则点 P 的轨迹必定经过三角形的心里。

→ → → → → → → 1AB + ACAB AC = , 则△ ABC为 ( )(变式 )已知非零向量 AB 与 AC 知足 ( → → )·BC =0 且 → · → 2 |AB | |AC | |AB | |AC |A. 三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形(06 陕西 )⑸ 0 的长度为 0，是有方向的，而且方向是随意的，实数0 可是是一个无方向的实数 .⑹有向线段是向量的一种表示方法，其实不是说向量就是有向线段.（ 7）相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

空间向量知识点总结及典型题

空间向量知识点总结及典型题一、空间向量知识点总结。

（一）空间向量的概念。

1. 定义。

- 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。

2. 表示方法。

- 用有向线段表示，如→AB，其中A为起点，B为终点；也可以用字母→a,→b,→c·s表示。

3. 向量的模。

- 向量的大小叫做向量的模，对于向量→AB，其模记为|→AB|；对于向量→a，其模记为|→a|。

（二）空间向量的运算。

1. 加法。

- 三角形法则：→AB+→BC=→AC；平行四边形法则：对于不共线的向量→a 和→b，以→a和→b为邻边作平行四边形，则这两个向量之和为平行四边形的对角线所对应的向量。

- 运算律：→a+→b=→b+→a（交换律）；(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)（结合律）。

2. 减法。

- →a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量。

3. 数乘向量。

- 实数λ与向量→a的乘积λ→a仍是一个向量。

- 当λ> 0时，λ→a与→a方向相同；当λ<0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。

- 运算律：λ(μ→a)=(λμ)→a；(λ+μ)→a=λ→a+μ→a；λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。

（三）空间向量的坐标表示。

1. 坐标定义。

- 在空间直角坐标系O - xyz中，设→i,→j,→k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量。

对于空间向量→a，若→a=x→i+y→j+z→k，则(x,y,z)叫做向量→a的坐标，记为→a=(x,y,z)。

2. 坐标运算。

- 设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)；→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)；λ→a=(λx_1,λ y_1,λ z_1)。

- 向量的模|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。

- 设A(x_1,y_1,z_1)，B(x_2,y_2,z_2)，则→AB=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)。

向量知识点归纳与常见总结

向量知识点归纳与常见总结向量是数学中的一种基本概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。

下面是向量的一些基本知识点归纳与常见总结。

1.向量的定义：向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以用于表示位移、速度、力等物理量。

2.向量的表示：向量可以使用坐标表示，也可以使用线段表示。

在二维空间中，一个向量可以用(x,y)表示，其中x和y分别表示在x轴和y轴上的分量。

在三维空间中，一个向量可以用(x,y,z)表示。

3.向量的运算：向量之间可以进行加法和乘法运算。

-向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

对于两个向量u=(x1,y1)和v=(x2,y2)，它们的和为u+v=(x1+x2,y1+y2)。

-向量的乘法：向量的乘法有数量积和向量积两种。

4.数量积/点积：设u=(x1,y1)和v=(x2,y2)是两个向量，它们的数量积定义为u·v=x1x2+y1y2、数量积满足交换律和分配律。

- 夹角余弦：设θ为向量u和v之间的夹角，则有u·v=，u，v，cosθ。

5.向量积/叉积：设u=(x1,y1,z1)和v=(x2,y2,z2)是两个向量，它们的向量积定义为u×v=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)。

向量积满足反交换律。

-向量积的几何意义：-向量u和v的向量积垂直于u和v所在的平面。

-向量u和v的向量积的大小等于以u和v为两条边的平行四边形的面积。

-若向量u和v共线，则它们的向量积为零。

6.向量的模：向量的模表示向量的大小，通常用，v，表示，其中v=(x,y)或v=(x,y,z)。

对于二维向量v=(x,y)，它的模定义为，v，=√(x^2+y^2)；对于三维向量v=(x,y,z)，它的模定义为，v，=√(x^2+y^2+z^2)。

7.单位向量：单位向量的模为1，它可以用来表示方向。

一个非零向量v的单位向量可以表示为u=v/，v。

8.平行与垂直：如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们平行；如果两个向量的数量积为0，则它们垂直。

《向量》全章知识点总结及典型例题

平面向量模块一、平面向量的基本概念要点一、向量的定义与表示1、向量的概念：既有又有的量。

2、向量的表示：向量一般用a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗……来表示，或用的起点与终点的表示，如：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ()()2211,,,y x B y x A ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= .几何表示法AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，a ⃗；坐标表示法a ⃗注意：不能说向量就是有向线段，为什么？3、向量的模：向量的即向量的模（），记作|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，｜a ⃗｜即向量的大小，向量比较大小，但向量的可以比较大小．要点二、特殊向量1、零向量：长度为0的向量，记为0⃗⃗，其方向是的。

注意：在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）2、单位向量：模为13、平行向量（共线向量）：方向的向量，称为平行向量，记作a ⃗∥b⃗⃗，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0⃗⃗)；④三点A B C 、、共线⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线. 4、相等向量：且的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为a ⃗=⃗⎧=21x x ),(y x yj xi a =+=5、相反向量：长度方向的向量叫做相反向量. a ⃗的相反向量记作−a ⃗。

模块二、向量的线性运算要点三、向量的加法1、定义：2、向量加法的几何法则： “三角形法则”与“平行四边形法则”：当两个向量的时，用平行四边形法则；当两向量是时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+L +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AR⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 3、向量加法的运算律：交换律和结合律。