第1节多元函数的概念(二)

2.二元函数z=f (x, y)在区域D上的连续性 如果二元函数z=f (x, y)在平面区域D内 每一点都连续， 则函数z=f (x, y)在区域D内 连续，并称z=f (x, y)为区域D上的连续函数. 二元连续函数的图形 是空间中的一个不断开 (无孔无缝)的连续曲面。
四.多元函数的连续性
z
z f ( x, y )
内有定义, 若
x x 0 , y y0
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y0 ), 则称函数 f (x, y)
在点 P0 ( x0 , y0 )处连续. 若在点P0(x0, y0) 处,自变量x, y各取增量△x, △y时，函数随之取得增量△z， 即
Δz f ( x0 Δx, y0 Δy ) f ( x0 , y0 )
O
x
D
y
四.多元函数的连续性
3.间断点 如果函数 z= f (x, y) 在点P0(x0, y0)不连续，
则称 点P0 ( x0 , y0 )是函数 f (x, y) 的不连续点，或称间断点. 如果函数 z= f (x, y) 有下列情形之一： (1) 在点 P0(x0, y0) 没有定义，
lim (2) 极限 x x0 f ( x , y ) 不存在，
1 xy 1 1 xy 1 1 . lim x 0 xy( xy 1 1) 2 xy y 0
例5 求lim x 1
y0
ln( x e y ) x y
2 2
.
解
原式 f (1,0) ln 2.
四.多元函数的连续性
5. 闭区域上连续函数的性质
（1）有界性定理 有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数． (2) 最大值和最小值定理
在(0,0)的连续性． 解 取 y kx
xy k kx 2 lim 2 2 lim 2 2 2 2 x 0 x y x 0 x k x 1 k y0
y kx
其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续．
四.多元函数的连续性
例2 讨论f ( x, y ) (5 x 8 y )在( 2,1)处的连续性.
思考题1解答 有. 设P点的坐标为 ( x0 , y0 , z0 )，Q( x , y , z )为上 任意一点 , 则两点间距离为
PQ ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2
它 上 连 函 ， 是 的 续 数 由闭区域上连续函 数的性质可知，一定有最大值和最小值存在
在有界闭区域 D上的二元连续函数在 D上一定有 最大值和最小值. (3) 介值定理
在有界闭区域D上的二元连续函数，如果在D上 取得两个不同的函数值，则它在D上必取得介于这两 值之间的任何值至少一次．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四.多元函数的连续性
多元函数的连续
同二元函数类似，可以定义多元函数的连续概念. 并将其统一为点函数形式.
x3 k 2 x2 x 0 取y kx , f ( x , kx ) 2 4 4 2 0 ( x k x ) 6 2 1 y y 2 2 但若取 x y , f ( y , y ) 4 4 2 . 4 (y y )
小结
一.区域、多元函数的概念 z f ( x, y ) , ( x, y ) D u f ( x1 , x2 ,..., xn ) , n 2
P P0
P P0
四.多元函数的连续性
例4 求极限 lim arcsin x y , lim x 0
2 2 1 y 2
x 0 y 0
xy 1 1 . xy
解
lim arcsin
x 0 1 y 2
1 π . x y arcsin 4 6
2 2
lim
x 0 y 0
lim 多元函数的连续定义 p p f ( P ) f ( P0 )
0
由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主 要概念、性质与二元函数类似. 因此，对于多元函数 微积分的研究主要以二元函数为主,多元函数微积分 可以由二元函数微积分类似推广.
小 结
一.多元函数的连续性
x x 0 , y y0
y y0
(3) lim f ( x , y ) f ( x0 , y0 )，
x x0 y y0
则点 P0(x0, y0)为函数的 z = f (x, y) 的间断点.
四.多元函数的连续性
例
x2 y2 f ( x, y ) 1 x2 y2 0 x2 y2 0
（注意趋近方式的任意性） lim f ( x , y ) A
点函数u=f(P)能表示所有的函数.
二.多元函数极限的概念及极限不存在的判定
x x0 y y0
利用点函数的形式有n元函数的极限
lim 多元函数的极限定义 p p f ( P ) A
0
此函数在原点(0,0)处间断. 二元函数间断的情况要比一元函数复杂, 它除了 有间断点外, 还可能有间断线. 例
1 f ( x, y) 0
xy 0 xy 0
此函数对于x轴与y轴上的点均间断.
1 例 z sin x 2 y 2 1 在x 2 y 2 1上间断 .
一般地，求 lim f ( P ) 时，如果f (P) 是 初等函数， 且 P0是f (P) 的定义域内的点， 则 f (P) 在P0处连续， 于是 lim f ( P ) f ( P0 ).
x y 例3 求 lim 2 x 1 x xy y 2 y2 x y 1 2 2 1 解 lim 2 2 2 x 1 x xy y 1 1 2 2 y2
若 lim Δz 0, 则称函数 z = f (x, y)在点 P0(x0, y0) 处连续 .
Δx 0 Δy 0
lim lim 一元函数连续定义： x f ( x ) f ( x0 ) 或 Δx 0 Δy 0 x
0
四.多元函数的连续性
例1
xy , x2 y2 0 x2 y2 讨论函数 f ( x , y ) 0, x2 y2 0
利用点函数的形式有n元函数的极限
lim 多元函数的极限定义 p p f ( P ) A
0
一.多元函数的连续性 二.偏导数及高阶偏导数
3
一.多元函数的连续性
4
目的要求
1.了解二元函数的连续性的概念 2.了解有界闭区域上连续函数的性质
重点
二元函数的连续性的概念
四.多元函数的连续性
1.定义 设函数 z= f (x,y)在点P0(x0, y0)的某一邻域
x 0 y 0
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y0 )
lim z 0
二.闭区域上连续函数的性质
作业:P302 5(1)
四.多元函数的连续性
思考题1
设为空间任一有界闭区域，P为外 一点。问上是否一定有到P点最远和 最近的点存在？为什么？
四.多元函数的连续性
对应的点即为最值点.
思考题2
若点( x , y ) 沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 ) 时，函数 f ( x , y ) 都趋向于 A，能否 断定
( x , y ) ( x 0 , y0 )
lim
f ( x, y) A？
x 3 y2 不能. 例如 : f ( x , y ) 2 4 2 , ( x , y ) (0,0) (x y )
四.多元函数的连续性
4.二元函数的连续性质
定理 连续函数的和、差、积、商(分母不为零)与复 合仍连续. 二元初等函数 由变量x的初等函数、y的初等函数 经过有限次四则运算或有限次复合步骤而构成的， 且用 一个数学式子表示的函数, 称为二元初等函数. 定理 二元初等函数在其定义区域内处处连续.
四.多元函数的连续性
一.多元函数的连续性 二.偏导数及高阶偏导数
1
复习
一、多元函数的定义、定义域、图形
z f ( x, y ) , ( x, y ) D u f ( x1 , x2 ,..., xn ) , n 2
点函数u=f(P)能表示所有的函数.
二、多元函数的极限
x x0 y y0
lim f ( x , y ) A
解
f ( x , y )在( 2,1)的某邻域内有定义
( x , y ) ( 2 , 1 )
lim
(5 x 8 y ) 2
又
f ( 2,1) (5 x 8 y ) ( 2, 1) 2
故 f ( x , y ) (5 x 8 y )在( 2,1)处连续.
四.多元函数的连续性