关于凸包问题的分治法
凸包问题的分治算法
凸包问题的分治算法
姓名：任小康，梅冬，连如鹤 学号：2011211706，2011211732，2011211707 学院：计算机学院 班级：0491102
凸包问题描述
凸包问题可以描述为：给定一个点集P，求最小点集S， 使得S构成的形状能包含P[1]。一般的研究主要针对二维平 面上和三维空间上的凸包，因为他们在更多的应用中能发挥 作用。 凸包的定义为：平面的一个子集S被称为是“凸”的， 当且进当对于任意两点p,q∈S，线段都完全属于S。几何S 的凸包CH(S)，就是包含S的最小凸集，更准确地说，它是 包含S的所有凸集的交。由此还可以推出凸包的很多性质， 包括一条直线如果与凸包相交（不是相切）的话，最多交于 两条边或者两即为点集Q={p0，p1， p2，...，p11，p12}的凸包。
一组平面上的点，求一个包含所有点的最小凸边形，既 是凸包问题。 • 形象地说：在一平木板（平面）上钉若干钉子（点）， 将一橡皮筋套上去后，会把钉子圈起来，形成一个凸边形， 即为该点集的凸包。
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致谢《算法设计与分析基础》
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分治法是一种很基础的算法。基本思路是将问题分解为 等价的几个子问题，对子问题进行递归分解和求解，然后将 子问题的解合成为所求的解。 由此，可以得到一种最简单的凸包分治算法：将点集依 照某种划分方法分为N部分，对每个部分求子凸包，最后将 几个子凸包合成一个更大的凸包。
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由此就可得到凸包问题的分治算法。 根据分治算法的思路，凸包问题的分支算法有着很好的 平均效率，一般会把问题平均分成为两个比较小的子问题， 这样会把效率提高很多。
分治法解决问题的步骤
分治法解决问题的步骤一、基础概念类题目（1 - 5题）题目1：简述分治法解决问题的基本步骤。
解析：分治法解决问题主要有三个步骤：1. 分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立且与原问题形式相同的子问题。
例如，对于排序问题，可将一个大的数组分成两个较小的子数组。
2. 求解（Conquer）：递归地求解这些子问题。
如果子问题规模足够小，则直接求解（通常是一些简单的基础情况）。
对于小到只有一个元素的子数组，它本身就是有序的。
3. 合并（Combine）：将各个子问题的解合并为原问题的解。
在排序中，将两个已排序的子数组合并成一个大的有序数组。
题目2：在分治法中，分解原问题时需要遵循哪些原则？解析：1. 子问题规模更小：分解后的子问题规模要比原问题小，这样才能逐步简化问题。
例如在归并排序中，不断将数组对半分，子数组的长度不断减小。
2. 子问题相互独立：子问题之间应该尽量没有相互依赖关系。
以矩阵乘法的分治算法为例，划分后的子矩阵乘法之间相互独立进行计算。
3. 子问题与原问题形式相同：方便递归求解。
如二分查找中，每次查找的子区间仍然是一个有序区间，和原始的有序区间查找问题形式相同。
题目3：分治法中的“求解”步骤，如果子问题规模小到什么程度可以直接求解？解析：当子问题规模小到可以用简单的、直接的方法（如常量时间或线性时间复杂度的方法）解决时，就可以直接求解。
例如，在求数组中的最大最小值问题中，当子数组只有一个元素时，这个元素既是最大值也是最小值，可以直接得出结果。
题目4：分治法的“合并”步骤有什么重要性？解析：1. 构建完整解：它将各个子问题的解组合起来形成原问题的解。
例如在归并排序中，单独的两个子数组排序好后，只有通过合并操作才能得到整个数组的有序排列。
2. 保证算法正确性：如果合并步骤不正确，即使子问题求解正确，也无法得到原问题的正确答案。
例如在分治算法计算斐波那契数列时，合并不同子问题的结果来得到正确的斐波那契数是很关键的。
一种改进的构建凸包的分治算法
的个 数 ， ｒｈ ｍ算法及传统 的分治法等基于排序 的算法 的 Ｇ ａａ 时间复杂度均可达到 这个下 限［ 。显而易见 ， 提高 计算 ３ ］ 要
略， 但和传统的分治策略在解 决此 问题时 采用的“ 搭桥” 方
法并不相同 。
速度就必须减少参加 构建 凸包 的离散点 的数 目。而且 ， 在 绝大多数情况下 ， 个点集 的凸包 只是由其 中一部 分点构 一 成的 ， 而其余的大部分点 则存 在于 凸包 内部 ， 这就使得通过 减少参加构建 凸包 的离散点数 目来提高计算速度 的想法成
中 图分 类 号 ： ３ １ ６ ＴＰ ０ ．
文 献标 识 码 ： Ａ
但 是 ， ｌｙ 算法 有着明显的缺 陷 ： 是只能 在初始时 Ｆｏ ｄ 一
１ 引 言
根据给定 的离散点构建包含这些点的 凸包是计算机辅
运用一次 ， 还剩余大量的非 凸包顶点没有去除 ； 二是在某些
情况下 （ 比如散 点中的最大 ｚ值 和最 大Ｙ值 的点是一个 ， 最 小 ｚ值和最小 Ｙ值的点也是一个 ） 本不能构成 初始 的四 根
凸优化问题的解法与应用
凸优化问题的解法与应用凸优化问题是指满足下列条件的优化问题：目标函数是凸函数，约束条件是凸集合。
凸优化问题是最优化问题中的一类比较特殊的问题，也是应用非常广泛的一类问题。
凸优化问题在工业、金融、电力、交通、通信等各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化问题的基本概念、解法和应用。
一、凸优化问题的基本概念1. 凸函数凸函数是指函数的图形总是位于函数上方的函数，即满足下列不等式：$$f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2),\quad x_1, x_2 \in \mathbb{R}, 0 \le \alpha \le 1$$凸函数有很多种性质，如单调性、上凸性、下凸性、严格凸性等，这些性质都与函数的图形有关。
凸函数的图形总是呈现出向上凸起的形状。
2. 凸集合凸集合是指集合内任意两点间的线段都被整个集合所包含的集合。
凸集合有很多常见的例子，如球、多面体、凸多边形、圆等。
凸集合的特点在于其内部任意两点之间都可以通过一条线段相连。
3. 凸组合凸组合是指将若干个向量按照一定比例相加后所得到的向量。
具体地，对于$n$个向量$x_1, x_2, \cdots, x_n$，它们的凸组合定义为：$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n, \quad\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 1, \quad \alpha_i \ge 0 $$凸组合可以看做是加权平均的一种特殊形式。
在凸优化问题中，凸组合常常被用来表示优化变量之间的关系。
二、凸优化问题的解法凸优化问题可以用很多方法来求解，其中比较常用的有梯度下降算法、最小二乘法、线性规划、二次规划、半定规划等。
1. 梯度下降算法梯度下降算法是一种基于梯度信息的优化算法。
【算法】凸包问题--分治法
【算法】凸包问题--分治法凸包问题--分治法求能够完全包含平⾯上n个给定点的凸多边形。
⽰例：⼀、分治法：（⼀）算法思路：（这⾥所说的直线都是有向直线的。
）将数组升序排序，若x轴坐标相同，按照y轴坐标升序排序。
最左边的点p1和最右边的点p_n⼀定是该集合凸包的顶点。
该直线将点分为两个集合，上包为S1，下包为S2。
在p1 p_n线上的点不可能是凸包的顶点，所以不⽤考虑。
在上包S1中，找到p_max(距离直线p1p_n最远距离的点)，若有两个距离同样远的点，取∠p_max p1 p_n最⼤的那个点（即△p_max p1 p_n⾯积最⼤）。
（⼀次递归到这⾥结束）找出S1中所有在直线p1 p_max左边的点，这些点中⼀定有构成上包中左半部分边界的顶点，⽤上⾯的算法递归查找点，直到上包就是以p1和p_n 为端点的线段。
下包S2中找下边界同理。
*如何判断点是否在直线p1 p_max左边（同 p1 p_n上⽅）？如果q1（x1，y1），q2（x2，y2），q3（x3，y3）是平⾯上的任意三个点，那么三⾓形△q1 q2 q3的⾯积等于下⾯这个⾏列式绝对值的⼆分之⼀。
当且仅当点q3=（x3，y3）位于直线q1 q2的左侧时，该表达式的符号为正，该点位于两个点确定的直线的左侧。
（⼆）实现中碰到的问题如何⽤快速排序来排序Point类（内有坐标x,y）的⼀维数组？按照x坐标排序很简单，若碰到x相同，y不同的怎么办？在快排的原基础上修改，以j向前逼近说明：（第⼀个while循环）当前⽐较数的横坐标>基准点的时，j向前逼近。
此处不加等于号，排序是不稳定的，即相等元素的相对位置可能发⽣改变。
（快排详见博客：（第⼆个while为添加内容）⽐较相等元素的纵坐标，基准点的更⼩，j继续向前逼近，即相等元素的相对位置不发⽣改变；否则，则改变。
也就是将原来快排中while循环拆分为两个，增加相等元素另外⽐较纵坐标的情况。
while (i < j && points[j].getX() > center.getX()) {j--;}while (i < j && center.getX() == points[j].getX() && points[j].getY() > center.getY()) {j--;}/** (i<j)若points[j].getX()< center.getX()或 center.getX() ==* points[j].getX()且points[j].getY()<center.getY() 以上两种情况，需要赋值*/if (i < j)// 跳出循环也有可能时因为i=j，所以这⾥要判断⼀下points[i++] = points[j];如果使⽤全局数组visit标识点是否访问，能确定凸包的所有顶点，但怎么顺序输出?在已经求的凸包顶点⾥逐⼀确定边界，判断是不是所有点都在这条边界的⼀侧，如果是则确定⼀条边界。
分治策略凸多边形的相交检测算法
分治策略凸多边形的相交检测算法1.引言1.1 概述分治策略凸多边形的相交检测算法是一种用于判断两个凸多边形是否相交的方法。
在计算机图形学和计算几何学中，相交检测是一个重要的问题，因为它可以应用于很多实际应用中，例如物体碰撞检测、路径规划等。
本文主要介绍了分治策略在凸多边形相交检测中的应用。
分治策略是一种将大问题划分为小问题并分别解决的方法，它可以有效地降低问题的复杂度。
在凸多边形相交检测中，我们可以将问题划分为多个子问题，然后通过递归地解决这些子问题来得到最终的结果。
凸多边形的定义与性质是分治策略凸多边形相交检测算法的基础。
凸多边形是指没有凹角的多边形，每条内部线段都包含在多边形内部。
凸多边形具有很多特性，例如任意两个顶点之间的线段都完全包含在多边形内部，任意两边不相交等。
在本文中，我们将详细介绍分治策略凸多边形相交检测算法的实现过程，并给出其正确性证明。
同时，我们还将进行算法的复杂度分析，通过对算法的时间复杂度和空间复杂度进行评估，来评判算法的效率和可行性。
总之，本文通过引言部分的概述，为读者提供了对分治策略凸多边形相交检测算法的整体认识。
接下来的正文部分将更加详细地介绍其中的关键内容和步骤。
通过阅读本文，读者将能够全面理解并应用该算法。
1.2 文章结构本文旨在介绍分治策略在凸多边形的相交检测算法中的应用。
文章分为引言、正文以及结论三个部分。
引言部分首先对文章的整体内容进行概述，介绍了本文所要解决的问题以及使用的方法。
接着，详细说明了文章的结构安排，将对分治策略和凸多边形的定义与性质进行深入探讨。
正文部分是本文的核心内容，首先详细介绍了分治策略的概念和基本原理，并阐述了其在解决凸多边形相交检测问题中的应用。
然后，对凸多边形的定义进行了详细说明，并探讨了凸多边形的一些重要性质。
通过结合分治策略和凸多边形的特性，提出了一种有效的相交检测算法。
结论部分对本文所提出的算法的有效性进行总结和评价，指出了该算法在凸多边形相交检测中的优势和适用性。
凸包 扩展系数-概述说明以及解释
凸包扩展系数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：凸包是计算几何学中的重要概念，它是一个包含给定点集中所有点的最小凸多边形。
凸包的计算方法和算法在计算机图形学、模式识别、地理信息系统等领域有着广泛的应用。
在实际应用中，为了更好地描述点集之间的几何关系，人们引入了凸包扩展系数这一概念。
凸包扩展系数可以帮助我们衡量凸包在空间中的扩展程度，进一步优化算法和提高计算效率。
本文将系统地介绍凸包的定义、计算方法和算法，以及凸包扩展系数的定义和计算方法，旨在深入探讨凸包在实际应用中的意义和作用。
1.2 文章结构本文将分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，将首先对凸包进行简要概述，介绍凸包的基本概念，并说明本文的目的。
引言部分将帮助读者了解本文所要讨论的主题，并对文章的重点和方向有一个初步的了解。
在正文部分，将详细介绍凸包的定义和基本概念，以及凸包的计算方法和算法。
通过对凸包的详细讨论，读者可以深入了解凸包的特性和计算过程，从而更好地理解凸包扩展系数的定义和计算方法。
在结论部分，将总结本文的内容，讨论凸包在不同领域的应用和意义，并介绍凸包扩展系数的定义和计算方法。
结论部分将对本文所讨论的内容进行一个简要的总结，同时展望凸包在未来的研究和应用方向。
1.3 目的:本文的目的在于探讨和分析凸包扩展系数在计算机图形学和几何学中的重要性和应用。
通过详细介绍凸包的定义、基本概念和计算方法，引出了凸包扩展系数的概念。
在这一部分，我们将重点讨论凸包扩展系数的定义和计算方法，以及其在实际应用中的意义和作用。
同时，我们也将探讨如何利用凸包扩展系数来优化算法和提高计算效率。
通过深入研究凸包扩展系数的相关理论和实践，希望能够为读者提供全面的了解和思考，推动相关领域的研究和发展。
2.正文2.1 凸包的定义和基本概念凸包是指包围一组点集的最小凸多边形。
其中，凸多边形意味着多边形内部的所有角度都小于180度。
凸包在计算机图形学、几何学、地理信息系统等领域都有广泛的应用。
近似凸分解的算法步骤
近似凸分解的算法步骤
凸分解是指将一个凸集合分解成凸包的并集。
实际应用中，我们经常需要在大规模数据集上进行凸分解，但是传统的凸分解算法存在着计算量大、时间复杂度高等问题。
为了解决这些问题，近似凸分解算法应运而生。
近似凸分解算法的基本思路是在保持算法效率的同时，尽可能减小结果误差，从而实现快速而准确地进行凸分解。
下面就具体介绍一下近似凸分解算法的步骤。
1.将原始凸集合投影到低维空间中进行处理。
这个步骤的目的是为了降低算法的时间复杂度，同时避免高维数据对计算精度的影响。
2.使用快速分治算法进行凸包分解。
主要思路是将凸包分解成若干个较小的凸包，然后对这些小凸包再次进行分解。
这个过程类似于归并排序，并且能够有效地减小计算量。
3.在对凸包进行分解之后，使用优化算法进一步减少误差。
优化算法根据具体的应用场景选择不同的方法，例如基于随机化的优化算法、局部搜索算法等。
4.最后，将分解后的凸包合并得到原始凸包的近似分解。
这个过程可以使用线性代数中的凸组合进行实现。
在合并过程中，需要将凸包之间的交集考虑进去，从而保证分解结果正确。
综上，近似凸分解算法是一种相对快速而准确的凸分解方法，常用于大规模数据集的处理。
通过投影、分治、优化和合并等步骤，能够有效地解决传统凸分解算法的计算量大和精度低等问题。
最小凸包算法
最⼩凸包算法使⽤Graham扫描法进新解决最⼩凸包问题先找到最左下端点然后根据极⾓来进⾏逆时针排序在根据相对极⾓增减来去除不需要的点C++代码1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4 #include<algorithm>5 #include<cmath>6#define PI 3.14159265357using namespace std;8struct node9 {10int x,y;11 };12 node vex[1000];//存⼊的所有的点13 node stackk[1000];//凸包中所有的点14int xx,yy;15bool cmp1(node a,node b)//排序找第⼀个点16 {17if(a.y==b.y)18return a.x<b.x;19else20return a.y<b.y;21 }22int cross(node a,node b,node c)//计算叉积23 {24return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);25 }26double dis(node a,node b)//计算距离27 {28return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)*1.0+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));29 }30bool cmp2(node a,node b)//极⾓排序另⼀种⽅法，速度快31 {32if(atan2(a.y-yy,a.x-xx)!=atan2(b.y-yy,b.x-xx))33return (atan2(a.y-yy,a.x-xx))<(atan2(b.y-yy,b.x-xx));34return a.x<b.x;35 }36bool cmp(node a,node b)//极⾓排序37 {38int m=cross(vex[0],a,b);39if(m>0)40return1;41else if(m==0&&dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0)42return1;43else return0;44/*if(m==0)45 return dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0?true:false;46 else47 return m>0?true:false;*/48 }49int main()50 {51int t,L;52while(~scanf("%d",&t),t)53 {54int i;55for(i=0; i<t; i++)56 {57 scanf("%d%d",&vex[i].x,&vex[i].y);58 }59if(t==1)60 printf("%.2f\n",0.00);61else if(t==2)62 printf("%.2f\n",dis(vex[0],vex[1]));63else64 {65 memset(stackk,0,sizeof(stackk));66 sort(vex,vex+t,cmp1);67 stackk[0]=vex[0];68 xx=stackk[0].x;69 yy=stackk[0].y;70 sort(vex+1,vex+t,cmp2);//cmp2是更快的，cmp更容易理解71 stackk[1]=vex[1];//将凸包中的第两个点存⼊凸包的结构体中72int top=1;//最后凸包中拥有点的个数73for(i=2; i<t; i++)74 {75while(i>=1&&cross(stackk[top-1],stackk[top],vex[i])<0) //对使⽤极⾓排序的i>=1有时可以不⽤，但加上总是好的76 top--;77 stackk[++top]=vex[i]; //控制<0或<=0可以控制重点，共线的，具体视题⽬⽽定。
凸包标注方法
凸包标注方法【实用版4篇】《凸包标注方法》篇1凸包是指在平面上包含一组给定点的最小凸多面体。
在计算机图形学中，凸包经常用于场景分割、目标跟踪、碰撞检测等任务。
下面介绍一些常见的凸包标注方法。
1. 基于形态学的方法：形态学方法是一种基于图像处理技术的方法，它使用形态学操作，如膨胀、腐蚀、开运算、闭运算等来标注凸包。
这种方法的优点是简单易用，但缺点是对噪声敏感，标注结果可能不够精确。
2. 基于区域生长的方法：区域生长方法是一种基于图像处理技术的方法，它从某个种子像素开始，通过相邻像素之间的相似性，不断扩大区域，直到满足凸包的定义。
这种方法的优点是可以获得较准确的标注结果，但缺点是需要选择合适的种子像素和相似性度量方法。
3. 基于网格重构的方法：网格重构方法是一种基于三维模型重建的方法，它将图像上的像素点映射到三维空间中的网格上，然后通过求解网格上的凸包来标注图像中的凸包。
这种方法的优点是可以获得高精度的标注结果，但缺点是需要预先建立三维模型。
4. 基于机器学习的方法：机器学习方法是一种基于训练数据的方法，它使用分类器或回归器来预测图像中的凸包。
这种方法的优点是可以自动学习标注规则，但缺点是需要大量的训练数据和合适的特征提取方法。
《凸包标注方法》篇2凸包是指在平面上，包含一组给定点的最小凸多面体。
在计算机图形学中，凸包常常被用于场景分割、目标跟踪、碰撞检测等任务中。
下面介绍一些常见的凸包标注方法。
1. 基于形态学的方法：形态学方法是一种基于图像处理技术的方法，它通过运用形态学的基本操作，如膨胀、腐蚀、开运算、闭运算等，来创建凸包。
这种方法的优点是能够处理复杂的图像，缺点是需要根据具体的应用场景选择合适的形态学操作。
2. 基于网格的方法：基于网格的方法是将图像转换成网格形式，然后在网格上搜索凸包。
这种方法的优点是能够快速准确地标注凸包，缺点是需要预先建立网格，对于不规则的图像效果可能不好。
3. 基于区域的方法：基于区域的方法是将图像分成若干个区域，然后在每个区域内搜索凸包。
凸包常见算法
凸包问题是一个经典的几何问题，常见的求解凸包问题的算法有：
增量法：也称为Graham扫描法，其基本思想是从所有点中选择几个点，然后通过这些点将所有其他点组合成凸集。
该方法需要对所有点进行排序，然后按顺序添加点到凸包中。
分治法：该方法将凸包问题分解为更小的子问题，然后递归地解决这些子问题。
子问题的解可以合并以产生原始问题的解。
这种方法需要一些技巧来确保子问题的解可以正确地合并。
穷举法：也称为暴力求解法，通过枚举所有可能的情况来找到凸包。
这种方法对于小规模的问题可能是可行的，但对于大规模的问题效率低下。
旋转卡壳算法：该方法基于动态规划的思想，通过不断旋转坐标轴来找到凸包上的点。
该算法在实现上相对复杂，但具有较好的时间复杂度。
随机采样算法：该方法通过随机采样点来找到凸包。
该算法的优点是具有较低的时间复杂度，但结果的准确性取决于采样点的数量。
这些算法各有优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择适合的算法。
数学中的凸优化与凸分析
数学中的凸优化与凸分析凸优化和凸分析是数学中重要的分支领域，它们在诸多应用领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化和凸分析的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、凸集与凸函数在进一步探讨凸优化和凸分析之前，我们先来了解一些基本概念。
首先是凸集和凸函数。
1. 凸集凸集是指集合中任意两点的连线上的点都属于该集合。
具体地，对于任意$x, y$属于集合$C$和$0\leq\lambda\leq 1$，满足$\lambda x+(1-\lambda)y$也属于$C$，则$C$是一个凸集。
2. 凸函数凸函数是定义在凸集上的实值函数，满足对于集合内的任意$x,y$和$0\leq\lambda\leq 1$，有$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambdaf(x)+(1-\lambda)f(y)$。
简单来说，凸函数的任意两点的连线上的函数值都不超过连线两端的函数值。
二、凸优化凸优化是指优化问题的目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸优化问题有着许多重要的性质和算法。
1. 凸优化问题的一般形式凸优化问题的一般形式可以表示为：$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &f(x)\\\text{subject to}\quad &x\in C\end{align*}$$其中，$f(x)$是凸函数，$C$是凸集。
2. 凸优化问题的性质凸优化问题具有以下性质：（1）全局最优解是局部最优解。
这意味着在凸优化问题中，存在一个全局最优解，同时该最优解也是局部最优解。
（2）凸优化问题无局部最优解和全局最优解之间的鞍点。
凸优化问题不存在鞍点，因此可以通过寻找局部最优解来获得全局最优解。
3. 典型凸优化问题凸优化问题在实践中有着广泛的应用，以下是一些典型的凸优化问题：（1）线性规划问题（Linear Programming，简称LP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &c^Tx\\\text{subject to}\quad &Ax\leq b\\&x\geq 0\end{align*}$$（2）二次规划问题（Quadratic Programming，简称QP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\frac{1}{2}x^TPx+q^Tx+r\\\text{subject to}\quad &Gx\leq h\\&Ax=b\end{align*}$$（3）半正定规划问题（Semidefinite Programming，简称SDP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\langle C,X\rangle\\\text{subject to}\quad &\langle A_i,X\rangle=b_i,\quad i=1,\ldots,m\\&X\succeq 0\end{align*}$$三、凸分析凸分析是研究凸集和凸函数性质的数学分支，它主要研究凸集的性质以及凸函数的导数和二阶导数。
三维体凸包的计算公式
三维体凸包的计算公式
三维体凸包的计算是一个复杂的几何问题，涉及到凸包、几何计算和算法等领域。
凸包是几何图形中一个重要的概念，它描述的是一个点集中的所有点构成的凸多边形。
三维体凸包的计算通常需要使用到计算机图形学和计算几何的方法。
下面提供一种常见的计算三维体凸包的方法：
1. 顶点选择: 首先，需要确定一个合适的顶点集合来表示三维体。
这个集合
可以是三维体的所有顶点，也可以是其中的一部分顶点。
2. 凸包计算: 对于给定的顶点集合，可以采用扫描算法或者分治算法来计算
凸包。
扫描算法通常采用旋转轴法，将三维体沿着不同的轴旋转，并记录下旋转过程中的极角和极径，最后根据这些信息确定凸包的顶点。
分治算法则将三维体分成不同的子集，分别计算子集的凸包，然后合并得到整体的凸包。
3. 优化: 为了提高计算效率，可以采用一些优化方法，例如使用八叉树等数
据结构来加速近邻点的查找，或者采用空间分割法将三维体分成更小的子集，分别计算后再合并。
需要注意的是，具体的实现方法可能会因为不同的应用场景和需求而有所不同。
此外，三维体凸包的计算是一个NP难问题，当点集数量较大时，计算
时间可能会较长。
因此，在实际应用中，需要综合考虑算法的复杂度、计算精度和实时性等方面的要求。
凸包算法详解
凸包算法详解凸包算法是解决最小生成树问题的一种有效算法，它可以在不生成环的情况下找到树的最好构造。
在计算机科学中，最小生成树问题是广义图论中的一个经典问题，它涉及到如何在给定一个有向图中找到一个最小生成树。
生成树是指保留图中所有节点，但只保留足以生成该节点的所有边的集合。
凸包算法详解主要从两个方面进行阐述：算法原理和实现过程。
一、算法原理凸包算法的基本思想是首先找到一个凸多面体，将该多面体内部的所有点都看作是图中的节点，然后将这些节点按照某种次序连接起来，生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。
具体实现过程中，凸包算法会根据给定的有向图，找到一个凸多面体，将图中的每个节点都映射到该多面体内部的一个点，然后将这些点连接起来，生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。
凸包算法的时间复杂度为$O(n+m)$，其中$n$是图的节点数，$m$是图的边数。
这个时间复杂度可以通过递归的方式计算，也可以使用静态数据结构来存储。
二、实现过程1.选择一个凸多面体在凸包算法中，我们需要找到一个凸多面体，使得该多面体内部的所有点都适合作为图中的节点。
具体实现过程中，可以使用任意一种搜索算法，如深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来枚举所有的凸多面体。
在搜索的过程中，我们需要记录每个凸多面体的边数，以及该多面体内部的所有节点。
2.将节点连接起来在凸包算法中，我们需要将图中的节点连接起来，以生成树的每个节点都连接到至少一个凸多面体内部。
具体实现过程中，可以按照以下步骤将节点连接起来：（1）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体，并将该节点连接到该凸多面体内部。
（2）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体内部的一个点，并将该点与该节点连接起来。
（3）对于图中的每个节点，找到它所属的凸多面体内部的一个点，并将该点与该节点连接起来。
3.递归搜索凸多面体在凸包算法中，我们需要递归地搜索所有的凸多面体，以找到符合要求的凸多面体。
三维凸包生成算法_解释说明以及概述
三维凸包生成算法解释说明以及概述1. 引言1.1 概述三维凸包生成算法是计算机图形学和计算几何领域的一个重要研究方向。
它涉及到在三维空间中找到能够完全包围给定点集的最小可见表面，这个表面被称为凸包。
三维凸包在计算机图形学、虚拟现实、遥感技术、立体成像等领域都有广泛的应用。
本文将对三维凸包生成算法进行解释说明，并对常见的算法进行概述和比较评估。
首先会介绍凸包的定义和生成问题，然后详细阐述Graham扫描算法、Jarvis 步进算法和QuickHull算法的原理和实现方法。
接下来将对这些算法进行性能评估，并比较它们的优缺点。
最后，我们还将分析三维凸包生成算法在各个应用领域中的具体应用情况，并展望未来发展趋势。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、三维凸包生成算法、算法解释与说明、算法概述和评估比较以及结论。
引言部分概述了整篇文章的主题内容以及研究背景，介绍了凸包生成算法在实际应用中的重要性。
接下来的三维凸包生成算法部分将解释凸包的定义和生成问题，并列举常见的算法。
在算法解释与说明部分，详细介绍了Graham扫描算法、Jarvis步进算法和QuickHull算法的原理和流程。
随后，在算法概述和评估比较部分，我们将对这些算法进行性能指标评估，并比较它们的优缺点。
最后，在结论部分，对整篇文章进行总结，并展望未来三维凸包生成算法的发展趋势。
1.3 目的本文旨在提供读者对三维凸包生成算法的全面了解和深入认识。
通过解释说明和概述常见的三维凸包生成算法，读者可以掌握每种算法的原理、实现方法以及其在不同应用领域中的优缺点。
文章还将对这些算法进行评估比较，帮助读者选择适合自己需求的具体实现方法。
同时，本文也希望为未来研究提供一定参考价值，探讨三维凸包生成算法在更广泛领域中可行性和改进方向，促进该领域的发展和创新。
2. 三维凸包生成算法：2.1 凸包定义：凸包是指一个闭集合内的所有点都位于该集合的边界或内部，形成一个多面体。
凸包
凸包凸包（Convex hull）目录[隐藏]∙ 1 什么是凸包∙ 2 凸包的表达方式∙ 3 凸包的算法∙ 4 参考文献[编辑]什么是凸包在了解凸包之前，须先认识何谓“凸多边形”(Convex Polygon)。
从直观上说，一个凸多边形就是没有任何凹陷位的多边形。
我们在低年级数学所学习的三角形、正方形、长方形、平行四边形、正五边形、正六边形等等，都是凸多边形的例子。
但是以下这个“凸”字形却并非凸多边形，因为箭头指着的地方实际是一个凹陷位。
可是上述这一定义很不严密，究竟何谓“凹陷位”？实在难以说清楚。
因此在数学上，凸多边形有另一个严格的定义。
假设我们在一个多边形上 (包括多边形的边界及边界围封的范围)任意取两点并以一条线段连结该两点，如果线段上的每一点均在该多边形上，那么我们便说这个多边形是凸的。
根据以上定义，我们便可判断“凸”字形的确不是凸的。
例如，在下图中，连结A、B两点的线段有一部分并不在该多边形上。
认识了凸多边形后，我们便可了解何谓凸包。
给定平面上的一个(有限)点集(即一组点)，这个点集的凸包就是包含点集中所有点的最小面积的凸多边形。
例如，下图的点集共包含9个点，图中的六边形便是该点集的凸包。
其中构成六边形的6个点称为“凸包上的点”(Hull Point)，其余3个点则并非“凸包上的点”。
请注意上述定义中“最小面积”这个限制条件，因为除了凸包以外，还有无限多个包含点集中所有点的凸多边形。
例如，只要画一个面积足够大的四边形，便可包围任意给定的点集。
因此假如没有这个限制条件，求凸包就变成非常容易但却没有唯一解的运算。
[编辑]凸包的表达方式在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点()的线性组合来构造。
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
[编辑]凸包的算法增量式算法1逐次再点加入，然后检查之前的点是否在新的凸包上。
关于凸包问题的分治法
二分：
子问题1 的规模是n/2 子问题1的解
原问题 的规模是n
子问题2 的规模是n/2
子问题2的解
原问题的解
问题的分解
问题S
问题S1
问题S2
……
问题Si
S1的解
S2的解
子问题求 解
……
Si的解
子集解的合并
问S的题解S
……
问题Sn
……
Sn的解
凸壳问题
问题要求： 给定一个点集
s
{
p, 1
p , 2
二： 以P0为定点，连接P0和其他的点，的到n-1条直线段，计算各线段的 角度，将角度最小的点P1加入到凸壳序列中，并以P1为定点，重复二。 直到回到初始点P0.
3
P4 4 5
P5
p1
P3
P 2
P 2
1
图一
图二
图三
图四
格雷厄姆算法
一： 找初始点： 先从这一系列的点中找到Y轴最小的点，如果存在相等的纵坐标的值，则取 X值最小的点P0。 显然P0是凸壳CHS（S）中的点。
得到切线，得到u，v，删除uv链上的点保留u，v顶
点。在按夹角大小分类，得到分类表。 Step5：用格雷厄姆算法的到p1，p2的凸壳
1.数据结构。
程序实现
2.算法的选择。
3编写程序。
三 维 空 间 的 凸 壳
二：以p0为定点连接其他的点，形成n-1条线段，计算各线段与x轴的夹 角，并按夹角的大小和线段的长度排序。
三：若夹角相同，则删除线段最短的点。这样得到一个新的序列。 p0，p1到pm，其中p0，p1，和pm必为凸壳中的点。
四：再从p3，开始重复二和三，直到遍所有点，最后剩下的点，就是所求的凸壳。
凸包求解分治算法
凸包求解分治算法凸包是计算几何学中的一个重要概念，它是一个多边形，由一组点包围而成，且多边形内部的所有点都在多边形的边界上。
凸包在分治算法中有着广泛的应用，可以用来解决许多实际问题。
分治算法是一种将问题分解成更小的子问题并逐个解决的算法思想。
在求解凸包的过程中，可以采用分治算法来提高效率。
我们需要将给定的点集按照 x 坐标进行排序。
然后，我们可以将点集分成两部分，分别求解每个部分的凸包。
接着，我们需要将这两个凸包合并成一个凸包。
在求解每个部分的凸包时，可以使用递归的方式。
首先，我们需要找到两个最远的点，将这两个点与其他点连成一条直线，然后将其他点按照与这条直线的位置关系分为两部分。
分别对这两部分递归地求解凸包，然后将两个凸包合并。
在合并两个凸包时，我们需要找到两个凸包的上包壳和下包壳。
对于上包壳，我们从两个凸包的最上方点开始，依次将两个凸包的边界点连接起来，直到回到起始点。
对于下包壳，我们从两个凸包的最下方点开始，依次将两个凸包的边界点连接起来，直到回到起始点。
最后，将上包壳和下包壳合并，得到最终的凸包。
凸包的求解过程比较复杂，但是采用分治算法可以将问题分解成更小的子问题，从而提高求解效率。
同时，凸包的求解过程中还可以利用递归和合并操作，使得算法更加简洁和高效。
总结一下，凸包的求解可以采用分治算法，将问题分解成更小的子问题并逐个解决。
在求解每个子问题时，可以利用递归和合并操作，最终得到整个凸包。
分治算法在求解凸包问题中的应用，不仅提高了效率，还使算法更加简洁和高效。
通过合理的划分和合并，我们可以高效地求解凸包问题，解决实际应用中的各种计算几何问题。
凸多边形最优三角剖分算法
凸多边形最优三角剖分算法凸多边形是指所有顶点都向外凸出的多边形。
在计算机图形学中，凸多边形最优三角剖分是一个重要的问题。
它将凸多边形分割为若干个三角形，以便在渲染、碰撞检测等应用中进行高效的处理。
凸多边形最优三角剖分是一个优化问题，即如何选择最佳的三角形分割方案。
最优的剖分方案需要满足两个主要条件：三角形的个数尽可能少，且每个三角形的形状应该尽可能好。
一个好的三角形具有较小的内角和较大的外角，这样可以减小渲染过程中的误差，并提高图形的准确性和美观性。
为了解决这个问题，人们提出了多种凸多边形最优三角剖分算法。
其中一种常用的算法是“凸包分治法”。
这种算法将凸多边形分割为两个较小的凸多边形，并分别对其进行剖分，然后再将结果合并得到最终的剖分方案。
这样的分治思想可以降低问题的复杂度，提高算法的效率。
具体来说，凸包分治算法的步骤如下：1. 找到凸多边形的凸包，即找到包围所有顶点的最小凸多边形。
这可以使用著名的“Graham扫描算法”来实现。
2. 选取凸包上的一条边，将凸多边形分割为两个较小的凸多边形。
3. 对每个子多边形重复步骤2，直到无法再分割为止。
4. 根据指定的评价准则，选择最佳的剖分方案进行合并。
这种算法通过不断地分割凸多边形，将原问题转化为更小的子问题，并最终得到最优的剖分方案。
它的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是凸多边形的顶点数。
凸多边形最优三角剖分算法在计算机图形学中有着广泛的应用。
它可以用于生成三维模型的表面网格、进行多边形的填充和纹理映射等操作。
在游戏开发、动画制作和虚拟现实等领域，这些操作都是必不可少的。
因此，凸多边形最优三角剖分算法对于提高图形处理效率和实现良好的视觉效果非常重要。
总之，凸多边形最优三角剖分算法是计算机图形学中一个重要且具有挑战性的问题。
凸包分治算法作为一种常用的解决方案，通过分割和合并的方式，可以得到高效且准确的剖分结果。
它在实际应用中发挥着重要的作用，为各种图形处理任务提供了有力支持。
凸包算法（Graham扫描法）详解
凸包算法（Graham扫描法）详解先说下基础知识，不然不好理解后⾯的东西两向量的X乘p1(x1,y1),p2(x2,y2)p1Xp2如果⼩于零则说明 p1在p2的逆时针⽅向如果⼤于零则说明 p1在p2的顺时针⽅向struct node{double x,y;node friend operator -(node a,node b)//对减法符号进⾏重载{return {a.x-b.x,a.y-b.y};}}p[10000],s[10000];double X(node a,node b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}这个⽅法很有⽤处。
⽐如判断⼀个点是否在⼀条线段的左边还是右边，可以⽤X乘来判断，或者判断两条线段是否相交接着说说凸包 Graham扫描法1.在平⾯上⼀些散乱的点，⾸先找找到这些点中处于最左下⽅的点for(int i=1;i<=N;i++)cin>>p[i].x>>p[i].y;int k=1;for(int i=2;i<=N;i++){if(p[i].y<p[k].y||(p[k].y==p[i].y&&p[i].x<p[k].x))k=i;}swap(p[1],p[k]);2.对这些点进⾏排序。
把按照极⾓(polar angle)从⼩到⼤排序(以 p1为极点)，极⾓相同的点按照到的距离从⼩到⼤排序。
int cmp(node a,node b){double x=X(a-p[1],b-p[1]);//以p[1]为极点，通过X乘来判断if(x>0) return1;//让a处于b的顺时针if(x==0&&dis(a,p[1])<dis(b,p[1]))return1;//⾓度相同看距离return0;}sort(p+2,p+N+1,cmp);3.再开⼀个结构体数组s 来储存凸包最外围的点，也就是结果，这个有点容易让⼈搞迷。
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1.数据结构。
程序实现
2.算法的选择。
3编写程序。
三 维 空 间 的 凸 壳
数据挖掘的简单运用
多维空间概述 一维 二维 三维 四维（事实上网络数据的维数较高）
聚类分析 如何把数据归类？
算法设计与分析
Step1:在p1内部找一点p Step2：if p不属于p2 goto step4 Else goto step3 Step3：p在p2的内部，用p连接p1，p2的各个顶点并按各个夹角排序。
得到p1，p2的一个分类表。 Goto step5. Step4：计算p到p2的正切线，得到u，v，删除uv链上的点保留u，v顶
西七620制作
3P4 4 5Fra bibliotekP5p1
P3
P 2
P 2
1
图一
图二
图三
图四
格雷厄姆算法
一： 找初始点： 先从这一系列的点中找到Y轴最小的点，如果存在相等的纵坐标的值，则取 X值最小的点P0。 显然P0是凸壳CHS（S）中的点。
二：以p0为定点连接其他的点，形成n-1条线段，计算各线段与x轴的夹 角，并按夹角的大小和线段的长度排序。
三：若夹角相同，则删除线段最短的点。这样得到一个新的序列。 p0，p1到pm，其中p0，p1，和pm必为凸壳中的点。
四：再从p3，开始重复二和三，直到遍所有点，最后剩下的点，就是所求的凸壳。
凸壳问题分治法的过程
划分过程
p1 p14
归并过程
Divide and Conquer: Step1：把S中的点按x坐标进行排序。 Step2：划分成两个子集S1，S2. Step3：P1=CH(S1)和P2=CH(S2). Step：合并P1，P2得到解集P.
凸壳问题的常用方法
卷包裹法 格雷厄姆算法 分治法
卷包裹法
一： 找初始点： 先从这一系列的点中找到Y轴最小的点，如果存在相等的Y值，则取 X值最小的点P0。 显然P0是凸壳CHS（S）中的点。
二： 以P0为定点，连接P0和其他的点，的到n-1条直线段，计算各线段的 角度，将角度最小的点P1加入到凸壳序列中，并以P1为定点，重复二。 直到回到初始点P0.
……
Si的解
子集解的合并
问S的题解S
……
问题Sn
……
Sn的解
凸壳问题
问题要求： 给定一个点集
s
{
p, 1
p , 2
pn}，求一个
最小凸边形包含S中所有的点，组成这个凸边形的点的集合就是凸 壳，用CHS(S)表示（Convex hull的英文缩写）。
上图所示的凸壳为：CHS(S)={ p1,p3,p10,p12,p0 }
关于凸壳问题的分治法
分治法的求解过程
一般来说，分治法的求解过程由以下三个阶段组成： (1)划分 (2)求解子问题 (3)合并
二分：
子问题1 的规模是n/2 子问题1的解
原问题 的规模是n
子问题2 的规模是n/2
子问题2的解
原问题的解
问题的分解
问题S
问题S1
问题S2
……
问题Si
S1的解
S2的解
子问题求 解