函数定义域的类型和求法
求函数的定义域和值域的方法
③
∵ ∴
即函数的值域是{ y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）
④当x>0，∴ = ，
当x<0时， =－
∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；
② ；③ ；④ ；
解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
解：如图，设AB=2x，则AD= =
∴y=2x + x2=— x2+Lx
由2x＞0
＞0 得0＜x＜
∴所求的函数为y=— x2+Lx（0＜x＜ ）
22X
A 2222222 B
2x 2X
D
2X
求 函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；
（2）已知函数f（x）的定义域为〔1，4〕，求函数y=f（x+m）—f（x—m）（m＞0）的定义域。
解：（1）要使函数有意义，须满足：ax—3≥0
∴（ⅰ）当a＞0时原函数的定义域为｛x︱x≥ ｝
（ⅱ）当a＜0时原函数的定义域为｛x︱x≤ ｝
（ⅲ）当a=0时ax—3≥0的解集为空集，即原函数的定义域为空集
（2）是已知f〔g（x）〕的定义域，求f（x）的定义域。其解法是：已知f〔g（x）〕的定义域为〔a，b〕，求f（x）的定义域的方法为：由a≤x≤b，求g（x）的值域，即得f（x）的定义域。
（3）是（1）的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
（4）与（2）相似。
解：（1）令-2≤X2—1≤2得-1≤X2≤3，即0≤X2≤3，从而- ≤x≤
高中常见的四种函数的定义域求法
高中常见的四种函数的定义域求法 定义域的范围是指使得函数有意义的x 的范围，如果一个函数是由若干个基本函数构成，只需要把每个基本函数有意义的时候x 范围求解出来，最终求这几个基本函数的x 的范围的交集即可，高中常见的四种函数的定义域求法一一讲解下。
一、母版题（1）求 x y =的定义域范围.解题思路：平方根具有双重非负性，所以定义域范围x ≥0.（2）求 x1y =的定义域范围.解题思路：分母等于0时，式子无意义，故分母不等于0，所以定义域范围x ≠0.（3）求 0x y ）（=的定义域范围. 解题思路：00无意义，所以定义域范围x ≠0.（4）求 log x ay =的定义域范围. 解题思路：对数函数真数必须大于0，所以定义域范围x ＞0.以上四种是最常见的定义域求解题目，主要可以归纳为四句话：1. 平方根具有双重非负性.2. 分数分母不等于0.3. 0的0次方无意义.4. 对数函数真数务必大于0.二、子版题（母版题＋形式变化） 主要是整体化原则的应用，x y =、x 1y =、0x y ）（=、log x ay =这四个基本函数里的x 是一个整体，可以为任意函数，只需要这个整体满足：平方根具有双重非负性，分数分母不等于0，0的0次方无意义.对数函数真数务必大于0.1. 二次根式型函数x y =求定义域（1）求 x -1y =的定义域范围.解题思路：只需要把1-x 当做一个整体，要使得二次根式有意义，内部整体大于等于0，所以只需要1-x ≥0（按照一元一次不等式思路求x 范围）.求出x 范围即为定义域范围。
（2）求 23y 2+-=x x 的定义域范围.解题思路：只需要把232+-x x 当做一个整体，要使得二次根式有意义，内部整体大于等于0，所以只需要232+-x x ≥0（按照一元二次不等式的解题思路，求x 范围）.求出x 范围即为定义域范围。
2. 反比例型函数分数型函数x1y =求定义域（1）求 1-x 1y =的定义域范围. 解题思路：只需要把x-1当做一个整体，要使该式子得有意义，分母不为0即可，所以只需要x-1≠0（按照一元一次不等式的解题思路，求x 范围）.求出x 范围即为定义域范围。
函数的定义域和常见求解方法
函数的定义域和常见求解方法函数的定义域（domain）是指函数能够接受的实际输入值的集合。
换句话说，定义域是使函数有意义的所有可能的输入值的集合。
在数学中，函数一般表示为f(x)，其中x是函数的自变量，而f(x)则是自变量x所对应的函数值。
常见的函数定义域包括实数域（-∞,+∞），有理数集，整数集，自然数集，以及其他特定的定义域，如正数集，三角函数等。
在确定函数的定义域时，我们需要注意以下几点：1.分式函数的定义域：分式函数的定义域由分母不等于零的值所构成。
我们需要找出使分母不等于零的x的值，将这些值作为定义域的一部分。
2.平方根函数的定义域：平方根函数的定义域要求被开方数非负，即要求根号内的数大于等于零。
3.对数函数的定义域：对数函数的定义域要求底数大于零，并且对数函数的参数值必须大于零。
常见的函数求解方法包括图像法、方程法、函数变量代换法、函数性质法等。
1.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来找出函数的解。
我们将函数的图像与坐标系结合起来，寻找函数与x轴的交点，即函数的解。
2.方程法：方程法是通过将函数等式转化为方程的形式，然后通过解方程来找出函数的解。
在方程法中，我们可以使用各种方法来解方程，如因式分解法、配方法、根号消去法等。
3.函数变量代换法：函数变量代换法是通过引入新的变量来转化函数，从而简化函数的形式。
通过选择适当的变量代换，我们可以将原函数转化为更简单的函数，进而求解出函数的解。
4.函数性质法：函数性质法是通过利用函数的性质来求解函数的解。
例如，通过函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，我们可以得到函数的一些特殊解。
在实际问题中，常常需要综合运用以上多种方法来求解函数的解。
根据具体的函数形式和问题的要求，选择最合适的方法进行求解。
同时，在进行函数求解时，我们也需要注意函数定义域的范围，以保证求解出的函数解在定义域内有效。
求定义域的方法
求定义域的方法
一、代数法求定义域。
对于一些简单的函数，可以通过代数方法来求其定义域。
例如
对于多项式函数，有理函数，指数函数和对数函数等，可以通过对
函数进行分析，找出函数中自变量的取值范围，从而求出定义域。
二、图像法求定义域。
对于一些复杂的函数，可以通过绘制函数的图像来求其定义域。
通过观察函数的图像，可以直观地看出函数的定义域是什么样的。
这种方法对于一些无法通过代数方法求解的函数来说是非常有效的。
三、条件法求定义域。
对于一些复杂的函数，可以通过条件法来求其定义域。
例如对
于含有根号的函数，需要满足根号中的值大于等于0，才能使得函
数有意义。
因此可以通过这种条件来求解函数的定义域。
四、综合法求定义域。
对于一些特殊的函数，可能需要综合运用代数法、图像法和条件法来求解其定义域。
通过综合运用多种方法，可以更准确地求解函数的定义域。
综上所述，求定义域的方法有代数法、图像法、条件法和综合法。
不同的函数可能需要采用不同的方法来求解其定义域，需要根据具体情况来选择合适的方法。
在实际应用中，求定义域是解决函数定义范围的重要问题之一，对于深入理解函数的性质和特点具有重要意义。
希望以上方法能够帮助到大家，更好地理解和掌握函数的定义域求解问题。
函数定义域的几种求法
函数定义域的几种求法函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。
求函数定义域的几种方法有：1、根据函数的表达式或方程求解法这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集，从而求出函数定义域。
例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域；由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。
2、根据函数的几何图形特征求解法这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。
例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这个函数的定义域为 x>0。
3、根据定义求解法例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。
4、根据解析学原理求解法对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但可以非常准确的求解函数定义域的方法。
例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ，并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。
根据等式 y - 1 =0 我们可以得到|x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。
所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。
函数的定义域及求法讲解
函数一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠ kπ + π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ kπ ,k∈Z ；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、定义域的相关求法：利用函数的图象或数轴法；利用其反函数的值域法；6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．例题：1、求下列函数的定义域3、已知函数y=lgmx2-4mx+m+3的定义域为R,求实数m的取值范围．解析：利用复合函数的定义域进行分类讨论当m=0时,则mx2-4mx+m+3=3,→ 原函数的定义域为R；当m≠0时,则 mx2-4mx+m+3＞0,①m＜0时,显然原函数定义域不为R；②m＞0,且△＝-4m2-4mm+3<0 时,即０＜m＜１,原函数定义域为R, 所以当m∈0,1 时,原函数定义域为R．4、求函数y=logx + 1 x≥4 的反函数的定义域．2解析：求原函数的值域由题意可知,即求原函数的值域,x≥2∴y≥3∵x≥4,∴log2所以函数y=logx + 1 x≥4 的反函数的定义域是3,+∞．2x的定义域．5、函数f2x的定义域是-1,1,求flog2解析：由题意可知2-1≤2x≤21→ fx定义域为1/2,2→ 1/2≤logx≤2→ √￣2≤x≤4．2x的定义域是√￣2,4．所以flog2二、函数的值域及求法1、一次函数y=kx+bk≠0的值域为R；2、二次函数的值域：当a＞0时,y≥-△/4a ,当a＜0时,y≤-△/4a ；3、反比例函数的值域：y≠0 ；4、指数函数的值域为0,+∞；对数函数的值域为R；5、正弦、余弦函数的值域为-1,1即有界性；正切余切函数的值域为R；6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．例题：：求下列函数的值域解析：1、利用求反函数的定义域求值域先求其反函数：f-1x=3x+1/x-2 ,其中x≠2,由其反函数的定义域,可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2}2、利用反比例函数的值域不等于0由题意可得,因此,原函数的值域为1/2,+∞4、利用分离变量法和换元法设法2x＝t,其中t＞0,则原函数可化为y=t+1/t-1 → t=y+1/y-1 ＞０∴y>1或y<-1 5、利用零点讨论法由题意可知函数有3个零点-3,1,2, ①当x<-3时,y=-x-1-x+3-x-2=-3x ∴y>9 ②当-3≤x<1时,y=-x-1+x+3-x-2=-x+6 ∴5<y≤9 ③当1≤x<2时,y=x-1+x+3-x-2=x+4 ∴5≤y<6 ④当x ≥2时,y=x-1+x+3+x-2=3x ∴y≥6 综合前面四种情况可得,原函数的值域是5,+∞6、利用函数的有界性三、函数的单调性及应用1、 A为函数fx定义域内某一区间,2、单调性的判定：作差fx1-fx2判定；根据函数图象判定；3、复合函数的单调性的判定：fx,gx 同增、同减,fgx 为增函数,fx,gx一增、一减,fgx 为减函数．例题：2、设a＞0且a≠1,试求函数y=loga4+3x-x2的单调递增区间．解析：利用复合函数的单调性的判定由题意可得原函数的定义域是－１,４,设u=4+3x-x2 ,其对称轴是 x=3/2 ,所以函数u=4+3x-x2 ,在区间－１,3/2 上单调递增；在区间3/2 ,4上单调递减．u 在其定义域内为增函数,由x↑→u↑→y↑ ,得函数①a＞１时,y=loga4+3x-x2的单调递增区间．u=4+3x-x2的单调递增区间－１,3/2 ,即为函数y=loga②０＜a＜１时,y=logu 在其定义域内为减函数,由x↑→u↓→y↑ ,得a4+3x-x2的单调递增区间．函数u=4+3x-x2的单调递减区间3/2 ,4,即为函数y=loga2-ax 在0,1上是x 的减函数,求a的取值范围;3、已知y=loga解析：利用复合函数的单调性的判定由题意可知,a＞０．设u＝gx=2－ax,则gx在０,１上是减函数,且x=１时, =2-a ．gx有最小值umin=2-a＞０则可,得a＜２．又因为u＝gx＝2－ax＞０,所以, 只要 umin又y=log2-ax 在0,1上是x 减函数,u＝gx在０,１上是减函数,au是增函数,故a＞１．即x↑→u↓→y↓ ,所以y=loga综上所述,得１＜a＜2．４、已知fx的定义域为０,＋∞,且在其上为增函数,满足fxy=fx+fy,f2=1 ,试解不等式fx+fx-2<3 ．解析：此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值由题意可得,f4=f2+f2=2 ,3=2+1=f4+f2=f4×2=f8又fx+fx-2=fx2-2x所以原不等式可化成fx2-2x<f8所以原不等式的解集为｛x|2<x<4｝四、函数的奇偶性及应用1、函数fx的定义域为D,x∈D ,f-x=fx → fx是偶函数；f-x=-fx→是奇函数2、奇偶性的判定：作和差f-x± fx=0 判定；作商fx/f-x= ±1,fx≠0 判定3、奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；4、函数的图象关于原点对称奇函数；函数的图象关y轴对称偶函数5、函数既为奇函数又为偶函数 fx=0,且定义域关于原点对称;6、复合函数的奇偶性：奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇．例题：解析：①利用作和差判断由题意可知,函数的定义域是R,设x为R内任意实数,即,fx = -fx ,∴原函数是奇函数．②利用作商法判断由题意可知,函数的定义域是R,设x为R内任意实数,２∵fx 的图象关于直线x=1对称,∴ f1-1-x＝f1+1-x ,x∈R ,即fx ＝f2-x ,又∵ fx在R上为偶函数,→ f-x＝fx＝f2-x＝f2+x∴ fx是周期的函数,且2是它的一个周期．五、函数的周期性及应用1、设函数y=fx的定义域为D,x∈D,存在非0常数T,有fx+T=fx → fx为周期函数,T为fx的一个周期；2、正弦、余弦函数的最小正周期为2π,函数y=Asinωx+φ和y=Acosωx+φ的最小正周期是T = 2π/|ω| ；3、正切、余切函数的最小正周期为π,函数y=Atanωx+φ和y=Acotωx+φ的周期是T=π/|ω| ；4、周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数的图象法；5、一般地,sinωx 和cosωx类函数加绝对值或平方后周期减半,tanωx 和cotωx类函数加绝对值或平方后周期不变如：y=|cos2x| 的周期是π/2 ,y=|cotx|的周期是π．例题：1、求函数 y = |sinx|+|cosx|的最小正周期．解析：利用周期函数的定义y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx|=|cosx + π/2|+|sinx + π/2|即对于定义域内的每一个x,当x 增加到x + π/2时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是π/2 ．3、 求函数y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期．解析：最小公倍数法和公式法,设fx 、gx 是定义在公共集合上的两上三角周期函数,T 1、、T 2分别是它们的周期,且T 1≠T 2,则fx± gx 的最小正周期等于T 1、、T 2的最小公倍数．注：分数的最小公倍数 = 分子的最小公倍数/分母的最大公约数．由题意可知,sin3x的周期是T1= 2π/3,tan2x/5的周期是T2=5π/2,∴原函数的周期是T=10π/1 =10π ．4、求函数y=|tanx|的最小正周期．解析：利用函数的图象求函数的周期函数y=|tanx|的简图如图：由函数y=|tanx|的简图可知,其最小正周期是π．5、设fx是-∞,+∞上周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,fx=x,求f解析：利用周期函数的定义由题意可知,f2+x = fx∴ f ＝f ＝f ＝－f ＝－０.５。
函数的定义域和常见求解方法
函数的定义域和常见求解方法一、函数的定义域在一般的函数定义中，常见的定义域包括实数、有理数和整数等。
例如，函数$f(x)=\sqrt{x}$的定义域为非负实数集合即$[0,+\infty)$，因为负数的平方根是没有意义的。
又如，函数$g(x)=\dfrac{1}{x}$的定义域为除0以外的所有实数，即$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$，因为0不能作为除数。
当给定一个复合函数时，可以通过多个函数的定义域的交集得到整个函数的定义域。
例如，对于函数$h(x)=\sqrt{\log(x)}$，先看到内层函数$\log(x)$的定义域是正实数，而外层函数$\sqrt{x}$的定义域是非负实数。
所以整个函数$h(x)$的定义域即正实数集合$[0,+\infty)$。
二、常见的求解方法1.方程求解法方程求解法是指通过解方程的方式求解函数的取值范围。
常见的方程求解法包括代数法和计算法。
代数法是通过对方程进行变形或利用数学性质来求解，而计算法是通过运算符和数值的计算来求解。
举例来说，对于函数$f(x)=\dfrac{1}{(x-3)^2}$，要求函数的定义域，需要解方程$(x-3)^2\neq 0$。
通过解这个方程，可以得到$x \neq 3$，即函数的定义域为整个实数集合除去32.不等式求解法不等式求解法是通过对不等式进行变形或运算，得出函数的定义域。
常见的不等式求解法包括分段法和绝对值法。
对于分段函数，可以对每一段函数的定义域进行求解，然后将这些定义域的并集作为整个函数的定义域。
对于函数$f(x) = \sqrt{a-x}$，当$a>x$时，根式内部大于等于0，所以函数的定义域为$(-\infty, a]$。
3.图像法图像法是通过观察函数的图像来确定函数的定义域。
对于一元函数，可以通过绘制函数的图像来判断函数在何种区间内有定义。
例如，为了求解函数$f(x) = \sqrt{x^2-4}$的定义域，可以考虑到根式内部的取值不能小于0。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
求定义域的方法总结
求定义域的方法总结
8种求定义域的方法
可根据不同函数的八种类型，分为以下八种方法来求函数的定义域:
①整式的定义域为R。
整式可以分为单项式还有多项式，单项式比如y＝4x，多项式比如y＝4x+1。
这时候无论是单项式还是多项式，定义域均为｛x｜x∈R｝，就是x可以等于所有实数。
②分式的定义域是分母不等于0。
例如y＝1/（x-1），这时候的定义域只需要求让分母不等于即可，即x-1≠0，定义域为｛x｜x≠1｝。
③偶数次方根定义域是被开方数≥0。
例如根号下x-3，这时候定义域就是让x-3≥0，求出来定义域为｛x｜x≥3｝。
④奇数次方根定义域是R。
例如三次根号下x-3，定义域就是｛x｜x∈R｝。
⑤指数函数定义域为R。
比如y＝3^x，定义域为｛x｜x∈R｝。
⑥对数函数定义域为真数＞0。
比如log以3为底（x-1）的对数，让x-1＞0，即定义域为｛x｜x＞1｝。
⑦幂函数定义域是底数≠0。
比如y＝（x-1）^2，让x-1≠0，即定义域为｛x｜x≠1｝。
⑧三角函数中正弦余弦定义域为R，正切函数定义域为x≠π/2+kπ。
这时候求定义域画个图就可以看出来了，只要记住三角函数图像，即可求出定义域。
这八种类型是常见函数类型，求定义域时首先要分辨清楚它们属于哪个类型的函数，然后根据基本的定义域来求复杂函数定义域。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。
【求函数的定义域的基本方法有以下几种】求函数的定义域方法
【求函数的定义域的基本方法有以下几种】求函数的定义域方法求函数的定义域的基本方法有以下几种：1、已知整数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义自变量的取值范围。
一般有以下几种情况：● 可分中的分母不为零；● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；● 约等于指数式的底数大于零且不等于一；● 对数式的底数大于零且不是等于一，真数大于零。
●正切函数●余切函数当以上几个方面有两个或两个同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
例1（2000上海）函数分析：对数式的真数大于零。
解：依题意知：的定义域为。
即解之，得∴函数的定义域为点评：对数式的真数为已包含，本来需要综合考虑分母，但由于的情况，因此不再列出。
2、代入刻划法求抽象函数的定义域。
已知的定义域为，求的定义域。
的定义域，可由解出x的范围，即为例2 若表达式的定义域为，则的定义域为。
分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。
解：依题意知：解之，得∴的定义域为点评：对数式的真数为，本来需要考虑的情况，因此不再列出。
，但由于已包含3、应用题中的除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。
实际上的有效范围，即实际风险问题要有意义，一般来说有一般而言几中常见情况：（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；（2）销售问题中，要考虑发售日只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是整数，增长率要满足用户题设；（4）路程问题中，要注意路程的范围。
例3、(2004上海)2某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m) 的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm . 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?分析：总面积为。
又，∴的取值范围是，由于。
，于是，即解：由题意得xy+x =8,∴y=2=(0于是, 框架用料长度为l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.当(+)x=, 即x=8－4时等号成立.此时, x≈2.343,y=2≈2.828.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.点评：在实际应用、物理、自然科学等问题中常常涉及到反映两个变量印证函数关系的问题，通过建立整数关系式，利用函数的性质来解决问题，这是函数知识嵌入式的常识一个重要方面，也是高考常考的一个选择题。
函数定义域的类型
2、抽象函数类型：抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法 求解。一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个函数的定义域。 一般有四种情况
（1）已知f(x)定义域，求f[g(x)]的定义域 其解法是：已知f(x)定义域是[a,b]求f[g(x)]的定义域是解 a ≤g(x) ≤b,即为所求的定义域。
练习：已知f (2x 1)的定义域为[2,5],求f ( x)的定义域。
[3,9]
（3）已知 f[g(x)]定义域，求f[h(x)]的定义域 其解法是:已知f[g(x)]定义域是[a,b]求f[h(x)]的定义域:由a ≤x≤b,求 g(x)的值域[c,d],再令c≤h(x)≤d,解得x,即为所求定义域。
5、隐含型 有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解， 事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因 此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例7、求函数y log2 ( x2 2x 3)的单调区间
6、实际问题型 这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的 限制，这点要加倍注意，并形成意识。
0 x a 1 解 :由f ( x)的定义域为[0,1], 则g ( x)必有 0 x a 1 a x 1 a a x 1 a 1 1 0 a , x [a,1 a] 当0 a 时，a x 1 a； 2 2 1 1 a , x { } 1 1 所以 2 2 当a 时，x ； 2 2 1 a , x不存在，函数不存在 1 2 当a 时，x不存在，函数也不存在。 2
3、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定 义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
函数定义域值域求法总结精彩
函数定义域值域求法总结精彩GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
常用的求值域的方法：（1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax 第一页∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
函数定义域的类型和求法
函数定义域的类型和求法一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2由①解得 3x -≤或5x ≥。
③ 由②解得 5x ≠或11x -≠④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x 161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④ 由③和④求公共部分，得π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
8种求定义域的方法
8种求定义域的方法定义域是数学中常用的一个概念，指函数能够接受的输入值的集合。
求函数的定义域，即要找出函数的全部合法输入。
以下是常见的求解函数定义域的8种方法：方法一：检查函数表达式中的分式，确定分母是否为零。
如果分母为零的取值在实数范围内，那么该取值不属于该函数的定义域。
例子1：对于函数f(x) = 1/(x-1)，x-1=0，得到x=1。
所以定义域是R- {1}。
方法二：检查函数表达式中的平方根、立方根等根式，确定根式内的值是否为负数。
如果根式内的值为负数，那么该取值不属于该函数的定义域。
例子2：对于函数g(x) = √(x+2)，根式内的x+2≥0，所以定义域是[-2，+∞)。
方法三：检查函数表达式中的对数。
对于以e为底的指数函数来说，取值只能是正数。
对于以其他底数a（a>0 且a≠1）的对数函数来说，取值只能是大于0且底数a不能等于1的数。
例子3：对于函数h(x) = log3(x)，x>0且x≠1。
所以定义域是(0, +∞)。
方法四：检查函数表达式中的三角函数。
注意到三角函数是周期性的，并且在某些点处不连续。
所以要考虑到函数在一个周期内的定义域，并将所有周期内的定义域取并集。
例子4：对于函数i(x) = sin(x)，它的定义域是R。
方法五：检查函数表达式中的指数。
有些指数函数定义在整个实数集合上，而有些定义域只在实数集合的部分区间上。
例子5：对于函数j(x) = e^x，定义域是R。
方法六：当函数表示为两个函数的复合时，可以分别求出两个函数的定义域，并找出它们的交集作为最后的定义域。
例子6：对于函数k(x) = arcsin(x^2)，x^2≤1，即-1≤x≤1。
所以定义域是[-1, 1]。
方法七：设函数为二次函数，可以通过求解一元二次不等式的解集来确定函数的定义域。
例子7：对于函数l(x) = 2x^2 + 3x - 1，由2x^2 + 3x - 1≥0得到x≥(-3+√17)/4 或x≤(-3-√17)/4。
函数定义域的一般求法
函数定义域的一般求法
函数定义域是指一种函数在允许运算结果中所有可能取值的集合，简称function domain。
归纳起来，定义域的求法有三种：以定义式求定义域、以图形求定义域、以表示式求定义域。
首先，以定义式求定义域的话，先要确定要求的函数的实在定义式上的取值范围，然后以此计算出它的定义域，这最容易理解。
比如，如果给定函数定义式为f(x)=x-2，这里我们可以看出f(x)只能取大
于-2的值，于是函数定义域就是大于-2的所有实数。
再者，以图形求定义域，即根据函数图像中定义域范围内所有可能取值，就可以得出函数定义域。
比如，如果函数图像中，定义域为x∈[2,7]，那么函数定义域就是[2,7]中所有实数。
最后，以表示式求定义域，即根据表达式中函数的取值条件，就可以求出函数定义域。
比如，如果给定表达式为f(x)=x2+2，可以
看出表达式中函数没有任何取值条件，所以函数定义域就是所有实数。
总之，函数定义域可以通过定义式、图像、表达式等来求得，其中定义式求法最容易理解，而表示式求法最常用。
从定义式或图像得出函数定义域，需要仔细分析函数图像，并认真观察它的定义式，只有把这些要素都理解透彻，才能更好地求出函数定义域。
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函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。
③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。
故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。
例 2求函数 y sin x1的定义域。
16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。
（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。
例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。
解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。
（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。
例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。
即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。
函数定义域值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围; 求函数的定义域需要从这几个方面入手： 1分母不为零2偶次根式的被开方数非负; 3对数中的真数部分大于0;4指数、对数的底数大于0,且不等于15y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等; 6 0x 中x 0≠二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围;常用的求值域的方法： 1直接法 2图象法数形结合 3函数单调性法4配方法 5换元法 包括三角换元 6反函数法逆求法 7分离常数法 8判别式法 9复合函数法 10不等式法 11平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终;三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0,即x=2时,分式21-x 无意义,而2≠x 时,分式21-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0,即x<-32时,根式23+x 无意义,而023≥+x ,即32-≥x 时,根式23+x 才有意义,∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x-21同时有意义,∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义,必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： 3,3-②要使函数有意义,必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 ∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义,必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x Rx即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R,求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于例4 若函数)(x f y =的定义域为1,1,求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知fx 的定义域为－1,1,求f2x －1的定义域;分析：法则f 要求自变量在－1,1内取值,则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 －1,1内取值,即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f2x －1中2x －1与fx 中的x 位置相同,范围也应一样,∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;注意：fx 中的x 与f2x －1中的x 不是同一个x,即它们意义不同; 解：∵fx 的定义域为－1,1, ∴－1≤2x －1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f2x －1的定义域为0,1;例6已知已知fx 的定义域为－1,1,求fx 2的定义域;答案：－1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒－1≤x ≤1练习：设)(x f 的定义域是3,2,求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x例7已知f2x －1的定义域为0,1,求fx 的定义域因为2x －1是R 上的单调递增函数,因此由2x －1, x ∈0,1求得的值域－1,1是fx 的定义域;已知f3x －1的定义域为－1,2,求f2x+1的定义域;[2,25-提示：定义域是自变量x 的取值范围 练习：已知fx 2的定义域为－1,1,求fx 的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是Ａ．[]1,1- Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ,则Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =2、求值域问题利用常见函数的值域来求直接法一次函数y=ax+ba ≠0的定义域为R,值域为R ；反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R, 当a>0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时,值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}. 例1 求下列函数的值域① y=3x+2-1≤x ≤1 ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f③ xx y 1+=记住图像 解：①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是-1,5 ②略③ 当x>0,∴xx y 1+==2)1(2+-xx 2≥,当x<0时,)1(xx y -+--==－2)1(2----xx -≤∴值域是 ]2,(--∞2,+∞.此法也称为配方法 函数xx y 1+=的图像为： 二次函数在区间上的值域最值：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为2,-3,顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }.②∵顶点横坐标2∉3,4,当x=3时,y= -2；x=4时,y=1；∴在3,4上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.③∵顶点横坐标2∉ 0,1,当x=0时,y=1；x=1时,y=-2, ∴在0,1上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.④∵顶点横坐标2∈ 0,5,当x=0时,y=1；x=2时,y=-3, x=5时,y=6,∴在0,1上,min y =-3,m ax y =6；值域为-3,6.注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时,①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值ab ac y 4)4(2min -=；②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值ab ac y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. ①若0x ∈a,b,则)(0x f 是函数的最小值a>0时或最大值a<0时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大小值.②若0x ∉a,b,则a,b 是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大小值.注：①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大小值；②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y =3+√2－3x 的值域解：由算术平方根的性质,知√2－3x ≥0,故3+√2－3x ≥3;∴函数的值域为 [)+∞,3 .2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域解： 对称轴 []5,01∈=x例3 求函数y=4x －√1-3xx ≤1/3的值域;解：法一：单调性法设fx=4x,gx= －√1-3x ,x ≤1/3,易知它们在定义域内为增函数,从而y=fx+gx= 4x －√1-3x在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f1/3+g1/3=4/3,因此,所求的函数值域为｛y|y ≤4/3｝;小结：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域;练习：求函数y=3+√4-x 的值域;答案：｛y|y ≥3｝ 法二：换元法下题讲例4 求函数x x y -+=12 的值域解：换元法设t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域;这种解题的方法体现换元、化归的思想方法;它的应用十分广泛;练习：求函数y=√x-1 –x 的值域;答案：｛y|y ≤－3/4｝ 例5 选求函数x x y -+-=53 的值域 解：平方法函数定义域为：[]5,3∈x 例6 选不要求求函数21x x y -+=的值域解：三角换元法 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x 小结：1若题目中含有1≤a ,则可设2若题目中含有122=+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤3若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 4若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中22πθπ<<-5若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ 例7 求13+--=x x y 的值域解法一：图象法可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图,观察得值域{}44≤≤-y y可得;解法三：选不等式法414114)1(134)1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 同样可得值域练习：1y x x =++的值域呢 )[∞+,1三种方法均可例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域解：换元法设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为[][]8,28,3;2,13,121,2max min2值域为时时对称轴∴====∴∉=+-=y t y t t t t y例9求函数xx y 2231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛= 的值域解：换元法令1)1(222+--=+-=x x x t ,则)1(31≤⎪⎭⎫⎝⎛=t y t由指数函数的单调性知,原函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31 例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解：图象法如图,值域为(]1,0 例11 求函数21+-=x x y 的值域 -1 0 3解法一：逆求法{}1121,≠-+=y y yyx x 原函数值域为观察得解出 解法二：分离常数法由1231232≠+-=+-+=x x x y ,可得值域{}1≠y y 小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx bax y ,如果在其自然定义域代数式自身对变量的要求内,值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ；如果是条件定义域对自变量有附加条件,采用部分分式法将原函数化为)(bc ad dcx c adb c a y ≠+-+=,用复合函数法来求值域;例12 求函数133+=x xy 的值域解法一：逆求法10013<<∴>-=y yyx ()1,0原函数的值域为∴小结：如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法; 解法二：换元法设t x =+13 ,则()111131113113>-=+-=+-+=t t y x xx 练习：y =1212+-x x ；y ∈-1,1.例13 函数1122+-=x x y 的值域解法一：逆求法110112<≤-∴≥-+=y yyx解法二：换元法设t x =+12 ,则解法三：判别式法原函数可化为 010)1(2=++⋅+-y x x y 1） 1=y 时 不成立2） 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-⇒≥+--⇒≥∆y y y0 11 0 1综合1、2值域}11|{<≤-y y 解法四：三角换元法∴∈Rx 设⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2tan ππθθx ,则∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数34252+-=x x y 的值域 解法一：判别式法化为0)53(422=-+-y yx yx10=y 时,不成立 20≠y 时,0≥∆得综合1、2值域}50|{≤<y y解法二：复合函数法令t x x =+-3422,则ty 5=50≤<∴y 所以,值域}50|{≤<y y例15 函数11++=xx y 的值域解法一：判别式法原式可化为 01)1(2=+-+x y x 解法二：不等式法1当0>x 时,321≥∴≥+y xx 2） 0<x 时综合12知,原函数值域为(][)∞+-∞-,31,例16 选 求函数)1(1222->+++=x x x x y 的值域 解法一：判别式法原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x解法二：不等式法原函数可化为当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2例17 选 求函数)22(1222≤≤-+++=x x x x y 的值域解：换元法令t x =+1 ,小结：已知分式函数)0(2222≠+++++=d a fex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 选)(二次式一次式或一次式二次式==y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(≠+=x xa x y 的单调性去解; 练习：1 、)0(9122≠++=x x x y ； 解：∵x ≠0,11)1(91222+-=++=x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷：11929122=+≥++=x x y 或利用对勾函数图像法2 、34252+-=x x y 0<y ≤5.3 、求函数的值域 ①x x y -+=2； ②242x x y --= 解：①令x u -=2≥0,则22u x -=, 原式可化为49)21(222+--=+-=u u u y ,②解：令 t=4x 2x ≥0 得 0≤x ≤4在此区间内 4x 2x m ax =4 ,4x 2x m in =0 ∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2}4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ,画出它的图象下图,由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是3,+∞. 如图5、求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=12t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t∵t ≥0 ∴y ≤46、选求函数66522-++-=x x x x y 的值域 方法一：去分母得 y12x +y+5x6y6=0 ①当 y1时 ∵xR ∴△=y+52+4y1×6y+1≥0由此得 5y+12≥0检验 51-=y 有一个根时需验证时 2)56(2551=-⋅+--=x 代入①求根 ∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴51-≠y再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1综上所述,函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-} 方法二：把已知函数化为函数36133)3)(2()3)(2(--=+-=+---=x x x x x x x y x2 由此可得 y1,∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-}。
函数定义域的求法
函数定义域的求法函数定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。
在数学中，函数定义域是一个非常重要的概念，它的定义能帮助我们更好地理解和解决函数的问题。
本文将讨论函数定义域的求法以及定义域的特殊情况。
一、定义域的求法1、定义域的求法主要有三种：(1)式定义域。
即函数的变量可取的值集合是函数定义中定义明确的，在这种情况下，定义域就是函数定义中列出的取值范围。
例如：函数 f(x)=2x+3定义域为全体实数。
(2)式定义域。
此时函数的变量可取的值集合不能从函数定义中直接获取，它是由函数的不等式约束所决定的，即需要将函数的不等式解出取值范围，这就是函数的定义域。
例如：函数 f(x)=2x-3>0定义域为x>3/2。
(3)合定义域。
当函数中既有显式定义域又有隐式定义域时，这种定义域叫做混合定义域。
例如：函数 f(x)=2x-3，其定义域为x>3/2 且 x∈R，即混合定义域。
2、定义域特殊情况特殊情况一：当函数定义域为全体实数时，即f(x):R→R，其定义域为R。
特殊情况二：当函数定义域为实数正部分时，即f(x):R+→R+，其定义域为R+。
特殊情况三：当函数定义域为实数负部分时，即f(x):R-→R-，其定义域为R-。
二、定义域的示例下面给出三个定义域的示例：例1：f(x)=x+1，其定义域为R；例2：f(x)=2x+2，其定义域为R；例3：f(x)=√(x-1)，其定义域为x≥1。
三、结论从上面的内容可以看出，定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。
定义域的求法主要有显式定义域、隐式定义域和混合定义域，它们对理解和解决函数的问题有重要意义。
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函数定义域的类型和求法
本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。
现举例说明。
—、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
Jx2 - 2x- 15
y = ------------
例1求函数由十3| -2的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
X2- 2X-15 > 0 ①
Jx + 3|-8 ^0 ②
由①解得XT或心。
③
由②解得"5或x^-11④
®和，④求交集得x 且x尹-11或x>5。
故所求函数的定义域为^l^^-3Kx#-ll}Y(x|x>5)o
y = Jsin ■ + [
例2求函数、/1°一亍的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
sin x > 0 CD
16 -x2 > 0 ②
J
由1 解得keZ @
由②解得-4 *4④
由®和④，求公共部分，得
-4 " £-诚。
< x 5
故函数的定义域为（一4,-兀］Y（。
，对
评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知④的定义域，求机&（对］的定义域。
其解法是：已知迨）的定义域是［a, b］求理（对］的定义域是解&奖⑴割，即为所求的定义域。
例3已知"对的定义域为［-2, 2］,求f （妒T）的定义域。
解：令-2 <^2-1<2,得-1金七3,即0和七3,因此0纣幻工名，从而
->/3<x<^（故函数的定义域是仅|-点血《构。
(2)已知£旗(对］的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知盹(对］的定义域是［a, b］,求f(x)定义域的方法是：由此义芽，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4已知f(2x + D的定义域为［1, 2］,求f(x)的定义域。
解：因为心K 2,2X2X433 + 1"
即函数f(x)的定义域是｛N|3&<5｝。
三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数V ="-血+ m + 8的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R,表明iw/Ymx + Z + m乏0,使—切X ER都成立，由妒项的
系数是m,所以应分m二。
或m*°进行讨论。
解：当m=O时，函数的定义域为R ；
当m^O时，n^2-6n^ + m+8>0是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是
Pm > 0
= (-6m)2一4m(m+ 8) < 0
综上可知OKmG。
评注：不少学生容易忽略m=O的情况，希望通过此例解决问题。
仲)=尸7
例6已知函数总2+4& + 3的定义域是R,求实数k的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须屁七4&+3=。
恒成立，因为心)的定义域为R,
即fe2+4kE + 3 = 0无实数
. 3
□0 < k < —
①当k关0时，A=16k2-4x3k<0恒成立，解得 4 ；
②当k=0时，方程左边二3尹。
恒成立。
3
0 <k <-
综上k的取值范围是4。
四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制, 这点要加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。
—(a- 2x)
解：设矩形一边为X,则另一边长为2 于是可得矩形面积。
y = X ■ y _= —ax - z
=-妒十上级
2
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
z > 0 n
x > 0
* 1 习《
— (a- 2x) > 0 -2H > 0
a
=> 0 < z < -
2 o
2 1 a.
y = —墓+ — ax —
故所求函数的解析式为 2 ,定义域为(0, 2) o
例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长
为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。
C
B
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积, 如图。
八AD = L-忐- = L- 2-- 宓
因为CD=AB=2x,所以CD=JTX,所以 2 2
c L- 2x - 7CZ 宓y = 2x 故
=-(2 4- + Lz
根据实际问题的意义知
> 0 L
，L- 2x-脉° 习° <我 <----------------- r
--------- > 0 兀+2
L 2
y = _(2十—)x2十Lx -上
故函数的解析式为2,定义域(0, ”+2)。
五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。
例9已知"劫的定义域为［0, 1］,求函数F&)=£&+a) + f(》-a)的定义域。
解：因为f(对的定义域为［0, 1］,即°女《1。
故函数F.的定义域为下列不等式组的解集：
0 < x + a < 1 ［- a < x < 1 - a
4
0 < z - a < 1 gp ［a < x < 1 + a
即两个区间1-a］与［a, 1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知
(1)当时"(x)的定义域为(H|-a<x<i+a)；
(2)当°-a-2 时，F(X)的定义域为｛xla — El-a｝；
1 _ 1
(3)当' >3或时，上述两区间的交集为空集，此时F (x)不能构成函数。
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解.事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。
因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例10求函数yTo"(-x、2x + 3)的单调区间。
解：由-定+ 2z+3>0，即卧一2以-3罚，解得"I <X <3o即函数y的定义域为(~1. 3) o
函数y = log2(-x、2x + 3)是由函数y = log?t, t =-妒+ 2x+3复合而成的。
t = -x2 + 2x+3=-(x-l)2 + 4i对称轴X』由二次函数的单调性，可知t在区间(-8,1］上是增函数；在区间［1，+知上是减函数而y = l«g2t在其定义域上单调增；
(-1,3) I (-8,1] = (-1,1],(T,3) I [L + 8)= [1,3)所以函数y = log2(-x2十2芯十3)在区间
(-1,1]上是增函数，在区间”3)上是减函数。