函数定义域的类型和求法

函数定义域的类型和求法

本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。现举例说明。

—、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

Jx2 - 2x- 15

y = ------------

例1求函数由十3| -2的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

X2- 2X-15 > 0 ①

Jx + 3|-8 ^0 ②

由①解得XT或心。③

由②解得"5或x^-11④

®和，④求交集得x 且x尹-11或x>5。

故所求函数的定义域为^l^^-3Kx#-ll}Y(x|x>5)o

y = Jsin ■ + [

例2求函数、/1°一亍的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

sin x > 0 CD

16 -x2 > 0 ②

J

由1 解得keZ @

由②解得-4 *4④

由®和④，求公共部分，得

-4 " £-诚。< x 5

故函数的定义域为（一4,-兀］Y（。，对

评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知④的定义域，求机&（对］的定义域。

其解法是：已知迨）的定义域是［a, b］求理（对］的定义域是解&奖⑴割，即为所求的定义域。

例3已知"对的定义域为［-2, 2］,求f （妒T）的定义域。

解：令-2 <^2-1<2,得-1金七3,即0和七3,因此0纣幻工名，从而

->/3

(2)已知£旗(对］的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知盹(对］的定义域是［a, b］,求f(x)定义域的方法是：由此义芽，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4已知f(2x + D的定义域为［1, 2］,求f(x)的定义域。

解：因为心K 2,2X2X433 + 1"

即函数f(x)的定义域是｛N|3&<5｝。

三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5已知函数V ="-血+ m + 8的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：函数的定义域为R,表明iw/Ymx + Z + m乏0,使—切X ER都成立，由妒项的

系数是m,所以应分m二。或m*°进行讨论。

解：当m=O时，函数的定义域为R ；

当m^O时，n^2-6n^ + m+8>0是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是

Pm > 0

= (-6m)2一4m(m+ 8) < 0

综上可知OKmG。

评注：不少学生容易忽略m=O的情况，希望通过此例解决问题。

仲)=尸7

例6已知函数总2+4& + 3的定义域是R,求实数k的取值范围。

解：要使函数有意义，则必须屁七4&+3=。恒成立，因为心)的定义域为R,

即fe2+4kE + 3 = 0无实数

. 3

□0 < k < —

①当k关0时，A=16k2-4x3k<0恒成立，解得 4 ；

②当k=0时，方程左边二3尹。恒成立。

3

0

综上k的取值范围是4。

四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制, 这点要加倍注意，并形成意识。

例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。

—(a- 2x)

解：设矩形一边为X,则另一边长为2 于是可得矩形面积。

y = X ■ y _= —ax - z

=-妒十上级

2

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

z > 0 n

x > 0

* 1 习《

— (a- 2x) > 0 -2H > 0

a

=> 0 < z < -

2 o

2 1 a.

y = —墓+ — ax —

故所求函数的解析式为 2 ,定义域为(0, 2) o

例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长

为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

C

B

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积, 如图。

八AD = L-忐- = L- 2-- 宓

因为CD=AB=2x,所以CD=JTX,所以 2 2

c L- 2x - 7CZ 宓y = 2x 故

=-(2 4- + Lz

根据实际问题的意义知

> 0 L

，L- 2x-脉° 习° <我 <----------------- r

--------- > 0 兀+2

L 2

y = _(2十—)x2十Lx -上

故函数的解析式为2,定义域(0, ”+2)。

五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9已知"劫的定义域为［0, 1］,求函数F&)=£&+a) + f(》-a)的定义域。

解：因为f(对的定义域为［0, 1］,即°女《1。故函数F.的定义域为下列不等式组的解集：

0 < x + a < 1 ［- a < x < 1 - a

4

0 < z - a < 1 gp ［a < x < 1 + a

即两个区间1-a］与［a, 1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知

(1)当时"(x)的定义域为(H|-a

(2)当°-a-2 时，F(X)的定义域为｛xla — El-a｝；

1 _ 1

(3)当' >3或时，上述两区间的交集为空集，此时F (x)不能构成函数。