第三章 一元函数积分学
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 一元函数积分学
一．不定积分
例1：设2
ln )1(22
2
-=-x x x f ，且x x f ln )]([=ϕ，求⎰dx x )(ϕ（答案：
C x x +-+1ln 2）
例2：已知
x
x
sin 是)(x f 的一个原函数，求⎰dx x f x )('3（答案：
C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2）
例3：设⎩⎨⎧>≤=0
,sin ,)(2x x x x x f ，求⎰dx x f )(
例4：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，π4
2
)1(=
F ，若当0>x 时，有)
1(arctan )()(x x x x F x f +=
，求)(x f 。（答案：)
1(21)(x x x f +=
）
例5：求⎰
dx x x )1,,max(23
例6：求⎰dx e
e x
x
2arctan
二．定积分
例1：求极限⎪⎭
⎫
⎝⎛+++++∞→n n n n 212111lim
例
2：设)(x f 在]1,0[上连续，且
)(1
=⎰dx x f ，试证明存在
0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使。
例3：已知)0()1ln()(1
>+=
⎰x dt t t x f x
，求⎪⎭⎫
⎝⎛+x f x f 1)(（答案：x 2ln 21）
例4：设函数)(x f 连续，且,arctan 21)2(2
0x dt t x tf x =-⎰已知1)1(=f ，求⎰2
1
)(dx x f 的
值。（答案：
4
3
） 例5：已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤⎪⎩
⎪
⎨⎧=x x x x x x x f 求⎰=x dt t f x I 0)()(
例6：求积分⎰≥-=
x
x dt t x g t f x I 0
)0()()()(，其中当0≥x 时x x f =)(，而
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<≤=220,0,sin )(π
πx x x x g 例7：设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明
⎰
b
a
dx
x f )(2)()
(1
a b dx x f b
a
-≥⎰
例8：设)('x f 在]1,0[上连续，求证
⎰
⎰⎰⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤1
1
010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f 例9：设)(x f 在]1,0[上连续，且0)(≥x f ，0)1(=f ，求证：
存在⎰=
∈ξ
ξξ0
)()()1,0(dx x f f 使
例10：设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数，周期为T ，并满足
)),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈∀-≤-；
0)()2(0
=⎰T
dx x f
求证：LT x f T x 2
1
)(max ]
,0[≤
∈ 例11：设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得
)('')(24
12)()(3
ξf a b b a f a b dx x f b
a
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰
例12：设函数)(),(x g x f 在区间)0](,[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且)(x f 满
足)()()(为常数A A x f x f =-+，（1）证明
⎰⎰-=a
a
a
dx x g A dx x g x f 0
)()()(；
（2）利用（1）的结论计算
⎰-
2
2
arctan sin π
πdx e
x x
例13：计算定积分：⎰--+44
21sin π
πdx e
x x
（答案：)2(81
-π） 例14：计算定积分：⎰
π
)arctan(cos dx x
例15：试证连续函数)(x f 是周期函数的充分必要条件是：存在0>T ，使对一切的x ，
有
=⎰+T
x x
dt t f )(⎰T
dt t f 0
)(
例16：计算定积分：
⎰
-π
n dx x 0
2sin 1（答案：n 22）
例17：)(x f 是以T 为周期的连续函数，证明：⎰=x
x dt t f x F 0
)()(或是以T 为周期的周
期函数，或是线性函数与周期函数的和。
例18：计算⎰
=
1
)(dx x
x f I ，其中⎰-=x
t dt e x f 1
2
)(
例19：设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且满足
),[,)()(b a x dt t g dt t f x
a
x
a
∈≥⎰⎰
⎰⎰=b
a
b
a
dt t g dt t f )()(
证明：
⎰⎰≤b
a
b
a
dx x xg dx x xf )()(
（2004年数学三）
例20：设)(),(x g x f 在]1,0[上的导数连续，且0)('0)(',0)0(≥≥=x g x f f ，.证明：