第三章 一元函数积分学

第三章 一元函数积分学一．不定积分例1：设2ln )1(222-=-x x x f ，且x x f ln )]([=ϕ，求⎰dx x )(ϕ（答案：C x x +-+1ln 2）例2：已知xxsin 是)(x f 的一个原函数，求⎰dx x f x )('3（答案：C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2）例3：设⎩⎨⎧>≤=0,sin ,)(2x x x x x f ，求⎰dx x f )(例4：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，π42)1(=F ，若当0>x 时，有)1(arctan )()(x x x x F x f +=，求)(x f 。

（答案：)1(21)(x x x f +=）例5：求⎰dx x x )1,,max(23例6：求⎰dx ee xx2arctan二．定积分例1：求极限⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→n n n n 212111lim例2：设)(x f 在]1,0[上连续，且)(1=⎰dx x f ，试证明存在0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使。

例3：已知)0()1ln()(1>+=⎰x dt t t x f x，求⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 1)(（答案：x 2ln 21）例4：设函数)(x f 连续，且,arctan 21)2(20x dt t x tf x =-⎰已知1)1(=f ，求⎰21)(dx x f 的值。

（答案：43） 例5：已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x x x f 求⎰=x dt t f x I 0)()(例6：求积分⎰≥-=xx dt t x g t f x I 0)0()()()(，其中当0≥x 时x x f =)(，而⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=220,0,sin )(ππx x x x g 例7：设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明⎰badxx f )(2)()(1a b dx x f ba-≥⎰例8：设)('x f 在]1,0[上连续，求证⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤11010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f 例9：设)(x f 在]1,0[上连续，且0)(≥x f ，0)1(=f ，求证：存在⎰=∈ξξξ0)()()1,0(dx x f f 使例10：设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数，周期为T ，并满足)),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈∀-≤-；0)()2(0=⎰Tdx x f求证：LT x f T x 21)(max ],0[≤∈ 例11：设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得)('')(2412)()(3ξf a b b a f a b dx x f ba-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰例12：设函数)(),(x g x f 在区间)0](,[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且)(x f 满足)()()(为常数A A x f x f =-+，（1）证明⎰⎰-=aaadx x g A dx x g x f 0)()()(；（2）利用（1）的结论计算⎰-22arctan sin ππdx ex x例13：计算定积分：⎰--+4421sin ππdx ex x（答案：)2(81-π） 例14：计算定积分：⎰π)arctan(cos dx x例15：试证连续函数)(x f 是周期函数的充分必要条件是：存在0>T ，使对一切的x ，有=⎰+Tx xdt t f )(⎰Tdt t f 0)(例16：计算定积分：⎰-πn dx x 02sin 1（答案：n 22）例17：)(x f 是以T 为周期的连续函数，证明：⎰=xx dt t f x F 0)()(或是以T 为周期的周期函数，或是线性函数与周期函数的和。

例18：计算⎰=1)(dx xx f I ，其中⎰-=xt dt e x f 12)(例19：设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且满足),[,)()(b a x dt t g dt t f xaxa∈≥⎰⎰⎰⎰=babadt t g dt t f )()(证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(（2004年数学三）例20：设)(),(x g x f 在]1,0[上的导数连续，且0)('0)(',0)0(≥≥=x g x f f ，.证明：对任何]1,0[∈a ，有⎰+adx x f x g 0)(')(⎰≥1)1()()(')(g a f dx x g x f例21：设)(x f 在],[b a 上一阶可导，M x f ≤)('，且0)(=⎰badx x f 。

证明：当],[b a x ∈时，M a b dt t f xa2)(81)(-≤⎰例22：设)(x f 是区间),0[+∞上单调减少且非负的连续函数，),3,2,1()()(11=-=⎰∑=n dx x f k f a nnk n ，证明数列}{n a 的极限存在。

例23：设)(x f 在]1,0[上连续，对任意的y x ,都有y x M y f x f -≤-)()(，证明nMn k f n dx x f n k 2)(1)(11≤-⎰∑= 例24：设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明：⎰⎰-≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ba b a dx x f a b dx x f a b )(ln 1)(1ln 例25：设)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，“N M ⇔” 表示“N M 的充分必要条件是”，则必有（A ）)(x F 是偶函数)(x f ⇔是奇函数。

（B ）)(x F 是奇函数)(x f ⇔是偶函数。

（A ）)(x F 是周期函数)(x f ⇔是周期函数。

（A ）)(x F 是单调函数)(x f ⇔是单调函数。

（答案：（A ）） (2005年数学一)例25：设)(x f 是连续函数（Ⅰ）利用定义证明函数⎰=xdt t f x F 0)()(可导，且)()('x f x F =（Ⅱ）当)(x f 是以2为周期的周期函数时，证明函数⎰⎰-=2)()(2)(dt t f x dt t f x G x 也是以2为周期的周期函数. (2008年数学一)三．广义积分例1：求dx x x⎰+∞+03)1( 例2：求dx e xe x x⎰+∞--+02)1( 例3：求dx x x⎰+∞2arctan 例4：求xdtt xx ⎰+∞→0sin lim （答案：π2）四．定积分的应用例1：求由)0(12222>>=+b a by a x 与x y =围成的图形面积（两部分都要计算）。

（答案：,arctan b a ab ),arctan (ba ab -π）例2：过点)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，该切线与上述抛物线及x 轴围成一平面图形，求此图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积。

例3：设直线ax y =与抛物线2x y =所围成的图形面积为1S ，它们与直线1=x 所围成的面积为2S ，并且1<a 。

（1） 试确定a 的值，使21S S +达到最小，并求出最小值；（答案：622,21-） （2） 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

（答案：π3012+） 例4：设平面图形A 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，求图形A 绕直线2=x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

（答案：ππ3222-） 例5：将抛物线ax x y -=2在横坐标c 与0之间（0>>a c ）的弧段绕x 轴旋转，问c 为何值时，该旋转体的体积V 等于以弦OP 绕x 轴旋转所成锥体的体积锥V ？例6：过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D .(1) 求D 的面积A .（答案：121-e ） (2) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .（答案：)3125(62+-e e π）例7：曲线2xx e e y -+=与直线)0(,0>==t t x x 及0=y 围成一曲边梯形。

该曲边梯形饶x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为)(t V ，侧面积为)(t S ，在t x =处的底面积为)(t F 。

（I ）求)()(t V t S 的值；（答案：2） （II ）计算极限)()(lim t F t S t +∞→ （答案：1） （2004年数学二）。