高三数学二模试题
2024届上海市长宁区高三二模数学试题及答案
上海市长宁区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 1,2A ， 1,3,B a ，若A B ，则a ．2.不等式213x 的解集为．3.在41x的展开式中2的系数为．4.在5.若3a6.直线27.8.的取值9.10.的横11.出租车没有载客行驶的里程出租车空驶率出租车行驶的总里程．依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型,,,u f t s k a ，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、%x ，则x．（精确到0.01）12.已知平面向量a 、b 、c满足：a b 2c ，若0c a c b ，则a b 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设z C ，则“z z ”是“z R ”的（）.A 充分不必要条件；.B 必要不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.已知直线a 、b 和平面 ，则下列判断中正确的是（）.A 若//a ，//b ，则//a b ；.B 若//a b ，//b ，则//a ；.C 若//a ，b ，则a b ；.D 若a b ，//b ，则a ．15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6，9.7，9.5，9.9，9.4，9.8，9.3，10.0．已知这组数据的第x百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）.A 65；.B 70；.C 75；.D 80．16.设数列 n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c ，则称数列n a p ．.A .C 三、17.（1）（2） y g x 的值域．第18题图18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，2AB AD ，11AA ．（1）求二面角1D AC D 的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球．（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望和方差．已知椭圆22:163x y ，O 为坐标原点．（1）求 的离心率e ；（2）设点 1,0N ，点M 在 上，求MN 的最大值和最小值；（3）点 2,1T ，点P 在直线3x y 上，过点P 且与OT 平行的直线l 与 交于A 、B 两点．试探究：是否存在常数 ，使得2PA PB PT 恒成立？若存在，求出该常数的值；若不存在，请说明理由．设函数 y f x 的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ，都有 f x k ，则称函数 y f x 有上界，实数k 的最小值为函数 y f x 的上确界．记集合 0,n n f x M f x y x在区间上是严格增函数．（1）求函数21y x（26x ）的上确界：（2）若 3212ln f x x hx x x M ，求h 的最大值；（3）设函数 y f x 的定义域为 0, ．若 2f x M ，且 y f x 有上界，求证： 0f x ，且存在函数 y f x ，它的上确界为0．上海市长宁区2024届高三二模数学试卷-简答D 1B 12023学年第二学期高三数学教学质量调研试卷参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.2； 2. 1,2 ；3.4；4.23； 5.1； 6.47.无关；8. 1,02,2；9.3 ；10.13；11.20.68；12.2二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.C ；14.C ；15.D ；16.B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）sin 26f x x.每空2分，解析式2分（2） 22sin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x1111cos 2sin 222242x x x，……..4分因为0,2x ，所以32,444x ，进而sin 242x，…….6分所以函数y g x的值域为12………8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）设BD 与AC 相交与E ，连接1D E 因为ABCD 为正方形，所以BD AC ，又因为1DD 平面ABCD ，所以DE AC ，…….2分所以1D ED 即为二面角1D AC D 的平面角，……..4分由已知DE 1tan D EDD1B1二面角1D AC D的大小为arctan2.……..6分（2）连接1BA、1BC因为11//BA CD，所以1//BA平面1D AC，…….2分因为11//BC AD，所以1//BC平面1D AC，……..4分所以平面11//BA C平面1D AC，………6分因为直线BP 平面11BA C，所以直线//BP平面1D AC.………8分方法二：以AB、AD、1AA为x y z、、轴，建立空间直角坐标系.则0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C，10,2,1D，………2分因为点P在直线11A C上，所以可设,,1P a a，……..4分设平面1D AC的法向量为,,n x y z，由0n AC，1n AD，得220x y，20y z，所以可取1,1,2n，……..6分因为2,,1BP a a，所以0n BP，进而n BP，又因为BP不在平面1D AC上，所以直线//BP平面1D AC.…….8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，…….2分第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326……..4分所以第二次取出的球是红球的概率为112263………6分（2）2329C112CP X ，116329C C112CP X ，2629C5212CP X ，所以X的分布为01211512212，……….4分1154012122123E X……..6分2151342126E X ，所以 22131676918D XE X E X，…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.解：（1）设 的半长轴长为a ，半焦距为c ，则a，c ，………2分所以2c e a.……..4分（2）设 ,M x y ，MN……2分因为x ……3分所以当2x时，MN ，……..4分当x 时，MN 取得最大值为1 .…….6分（3）设 ,3P a a ， 11,A x y ， 22,B x y ，则直线13:322l y x a，………2分2222PT a ，………3分11111,3,22a PA x a y a x a x，22221,3,22a PB x a y a x a x………4分将直线l 方程代入椭圆方程得 2222240x a x a 所以 1222x x a ， 21224x x a ，……..5分21212125544PA PB x a x a x x a x x a 25224a ,……..6分得254PA PB PT ，所以存在54，使得2PA PB PT 恒成立.……..8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.x得 10f x ，0k ，……3分取21x x ，且2x，由21x x ，得212221f x f x x x①由2x，得 12222122f x f x k x x x ②①式与②式矛盾，所以假设不成立，即对于任意 0,x ，均有 0f x .……6分令 10f x x x，则 231f x y x x因为当0x 时，430y x，所以2f x y 在 0, 上严格增， 2y f x M。
2024届上海市徐汇区高三二模数学试题及答案
第12题图上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合22A y y x ，集合2430B x x x ，那么A B ．2.已知复数1iz i（i 为虚数单位），则z z ．3.在ABC 中，1AC ，2C ，A，则ABC 的外接圆半径为．4.5.6.7.8.9.10.11.不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ，则OAP 面积的取值范围是．12.如图所示，已知ABC 满足8BC ，3AC AB ，P 为ABC 所在平面内一点．定义点集13,3P AP AB AC R D．若存在点0P D ，使得对任意P D ，满足0AP AP恒成立，则0AP的最大值为．第11题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（）.A 13y x ；.B lg y x ；.C x x y e e ；.D 3cos y x x ．14.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：.A ˆa.B 当x .C .D 15.）.A 若 .B 若 .C .D 若16.三棱锥90 ，二面角P BC A 的大小为45 ，则对以下两个命题，判断正确的是（）①三棱锥O ABC 的体积为83；②点P 形成的轨迹长度为．.A ①②都是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①②都是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 122log 2xf x x ．（1）求证： y f x 是奇函数；（2）若关于x 的方程 12log f x x k 在区间 3,4上有解，求实数k 的取值范围．18.如图，4，ABC 是底面圆O （1）（2）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如右表．（单位：个）（1）若规定显著性水平0.05 ，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；（2）已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为12，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为34．若用频率估计20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆224:13x y C ，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M 、N 两点（l 不过点2A ）．（1）若Q 为椭圆C 上（除1A 、2A 外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积；（2）若112NF F M，求直线l 的方程；（3）若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是1k 、2k ，且1294k k，求证：直线l 过定点．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（i ）满分6分，第2小题（ii ）满分8分）已知各项均不为0的数列 n a 满足2211n n n n n a a a a a（n 是正整数），121a a ，定义函数111!nkn k y f x x k（0x ），e 是自然对数的底数．（1）求证：数列1n n a a是等差数列，并求数列 n a 的通项公式；（2）记函数 n y g x ，其中 1xn n g x e f x ；（i ）证明：对任意0x ， 3430g x f x f x ；（ii ）数列 n b 满足12n n nb a ，设n T 为数列 n b 的前n 项和．数列 n T 的极限的严格定义为：若m 满足：当n m n T 的极限T ．上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案及评分标准2024.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1． 3, 2.2 3.14.35.816.17.2108.79.76410.7211.12.3二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.B 14.D 15.C 16.A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）证明:函数122log 2xy x 的定义域为 22D x x x 或，在D 中任取一个实数x ，都有x D ，并且1111222222()log log log ()222x x x f x f x x x x.因此，122log 2xy x 是奇函数.（2） 12()log f x x k 等价于22x x k x即24122x k x x x x在 3,4上有解．记4()12g x x x，因为()g x 在 3,4上为严格减函数，所以，max ()(3)2g x g ，min ()(4)1g x g ，故()g x 的值域为 1,2 ，因此，实数k 的取值范围为 1,2 ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【解】（1）在椭圆22:143x y C 中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A 、，设点 000,(2)Q x y x ，则12202000220000312244344QA QA x y y y k k x x x x ．（2）设 1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0) F ，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y，，由112 NF FM 得2211(1,)2(+1,) x y x y ，化简得2121=322 x x y y 代入2222431 x y 可得22114(32)(32)1 x y ，联立2211431 x y 解得117=4=8x y 由112 NF FM 得直线l 过点1(1,0) F ，7(,4 N ，所以，所求直线方程为=(1)2y x.（3）设 3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t （2 t ），联立22143x my tx y ，可得2223463120m y mty t ，由2222364(34)(312)0m t m t ，得2234t m ．由韦达定理，得234342263123434， mt t y y y y m m ．1294k k ，34349224y y x x ．可化为 343449220 y y my t my t ，整理即得 223434499(2)9(2)0 m y y m t y y t ，222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m ，由20t ，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m t t m m ，化简可得16160t ，解得1t ，直线MN 的方程为1x my ，恒过定点(1,0)．21.（本题满分18分，第（1）小题满分4分，第（2）（i ）满分6分，第（2）（ii ）满分8分）（方法二）而对于任意0u ，只需22e n u 且4n 时，可得22222222222!123n n e e e u e n n u个…….故存在22max ,5e m u，当n m 时，恒有n T T u ，因而n T 的极限2T e .。
广东省2024届高三二模数学试题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z |30A x x =∈-≤，{}1,2B =，则A B ⋃=（）A.{}0,1,2 B.{}2,1,0,1,2-- C.{}2,1,1,2-- D.{}1,0,1,2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意列举法表示集合A ，再根据并集的运算求解即可.【详解】解：由题，{}{}2Z |301,0,1A x x =∈-≤=-，{}1,2B =，则A B ⋃={}1,0,1,2-.故选：D.2.已知复数isin z θθ=+（R θ∈，i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A.2 B.C.3D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数模的公式以及同角三角函数关系得z =，利用三角函数值域即可得到答案.【详解】由题意得z ==当cos 1θ=±时，等号成立，故max z =故选：D.3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为233，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.5π12【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的性质，求出3b a =，求出双曲线的渐近线方程，进而得解.【详解】设双曲线22221x y a b -=的半焦距为c ，因为双曲线22221x y a b -=的离心率为3，所以3c e a ==，解得3c a =，由222+=a b c ，得22222223133b c a a a a ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33b a =，所以渐近线方程为333a b y x x xa a =±=±=±，所以两条渐近线的倾斜角分别为π6和5π6，因为5ππ2π663-=，所以，两条渐近线所夹的锐角为2πππ33-=；即双曲线的两条渐近线的夹角为π3.故选：C.4.已知某摩天轮的半径为60m ，其中心到地面的距离为70m ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（）A.5分钟B.10分钟C.15分钟D.20分钟【答案】B 【解析】【分析】求出游客到地面的距离为m y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式，然后解不等式100y >，可得出结果.【详解】设游客到地面的距离为m y ，设y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式为()()sin 0,0y A t b A ωϕω=++>>，则60A =，10A b -+=，可得70b =，函数()sin y A t b ωϕ=++的最小正周期为30T =，则2ππ15T ω==，当0=t 时，游客位于最低点，可取π2ϕ=-，所以，πππ60sin 7060cos 7015215tty ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，由100y >，即π60cos 7010015t -+>，可得π1cos 152t <-，所以，()2ππ4π2π2π3153t k k n +<<+∈N ，解得()30103020k t k k +<<+∈N ，因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟.故选：B.5.现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）A.27π8B.33π8 C.45π8D.55π8【答案】D 【解析】【分析】作轴截面图，求出圆台的母线长，底面半径长，结合侧面积公式可得其解.【详解】作轴截面图如下：ABC 为圆锥的轴截面，点O 为与侧面相切球的球心，点,E F 为切点，由已知，可得4AB BC AC ===，2OE OF ==，60ACB ∠= ，OE AC ⊥，在OEC △中，32OE =，90OEC ∠= ，30OCE ∠= ，所以32OC CE ==，又4AC =，所以52AE =，所以圆台的母线长为52，因为CE CF =，60ECF ∠=o ，所以ECF △为等边三角形，所以32EF =，所以圆台的侧面积3555ππ2428S ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：D.6.已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若π4A =，则AB OC ⋅ 的最大值为（） A.12B.22C.1D.【答案】C 【解析】【分析】由题设易知OB OC ⊥且AB OB OA =- 、AB OC OA OC ⋅=-⋅ ，进而判断AB OC⋅最大时,OA OC的关系即可得答案.【详解】由圆O 是△ABC 的外接圆，且π4A =，故OB OC ⊥，所以AB OB OA =- ，则AB OC OB OC OA OC ⋅=⋅-⋅ ，所以cos ,AB OC OA OC OA OC ⋅=-⋅=- ，故,OA OC 反向共线时AB OC ⋅ 最大，所以max ()1AB OC ⋅=.故选：C7.已知()20232202301220231x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则122023111a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.1-B.0C.1D.20231012【答案】A 【解析】【分析】根据二项式系数的性质可得出()20231100,1,2,,2023k k k a a -+== ，结合此性质可求得122023111a a a ++⋅⋅⋅+的值.【详解】()20231x -的展开式通项为()()()120232023C C 10,1,2,,2023kkk kk k T x x k +=⋅-=⋅-= ，所以，()()2023C 10,1,2,,2023kk k a k =⋅-= ，所以，()()()()2023202322023202320232023202320232023C 1C 11C C 10kkk k k kk k k k a a -----⎡⎤+=⋅-+⋅-=-⋅+⋅-=⎣⎦，所以，()20231100,1,2,,2023k k k a a -+== ，且01a =，所以，122023012202311111111a a a a a a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭020231202210111012011111111a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故选：A.8.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c>> B.b a c>> C.b c a>> D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线m 与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（）A.平面α内存在直线l 与直线m 平行B.平面α内存在直线l 与直线m 垂直C.存在平面γ与直线m 和平面α都平行D.存在过直线m 的平面β与平面α垂直【答案】BD 【解析】【分析】利用反证法可判断A 选项；对直线m 与α的位置关系进行分类讨论，结合图形可判断B 选项；利用图形可判断C 选项；利用面满垂直的判定定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若直线m 与α相交，且平面α内存在直线l 与直线m 平行，由于m α⊄，则//m α，这与直线m 与α相交矛盾，假设不成立，A 错；对于B 选项，若m α⊂，则在平面α内必存在l 与直线m 垂直，。
2024届上海市松江区高三二模数学试题及答案
上海市松江区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.函数 lg 2y x 的定义域是．2.在复平面内，复数z 对应点的坐标是 1,2，则i z ．3.4.已知点5.已知7x 6.7.8.9.已知1F 10.11.已知0 的取值范围是．12.某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为1,2,3,,30 ，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有种不同的选择方法．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合04A x x ，2,B x x n n Z ，则A B （）.A 1,2；.B 2,4；.C 0,1,2；.D 0,2,4．14.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x ，则下列说法错误的是（）.A 变量x 、y 之间呈正相关关系；.B 可以预测当8x 时，y 的值为6；.C 3.9m ；.D 由表格中数据知样本中心点为 3.5,2.85．15.已知某个三角形的三边长为a 、b 及c ，其中a b ．若a 、b 是函数2y ax bx c 的两个零点，则a 的取值范围是（）.A 12．16.设n S ,2k N k ，则12S S ,2k N k ，则12S S .A .C 三、17.设 f x 为 ．（1）（2）， 32f A，求角C ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PD 平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）设平面ABE 与直线PC 相交于点F ，求证：//EF CD ；（2）若2AB ，60DAB ，PD ，求直线BE 与平面PAD 所成角的大小．19.现有甲、乙、，且每人能否闯（1）（2） E X ；（3）丙第20题图如图，椭圆22:12y x 的上、下焦点分别为1F 、2F ，过上焦点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆于M 、N两点，动点P 、Q 分别在直线MN 与椭圆 上．（1）求线段MN 的长；（2）若线段PQ 的中点在x 轴上，求2F PQ 的面积；（3）是否存在以2F Q 、2F P 为邻边的矩形2F QEP ，使得点E 在椭圆 上？若存在，求出所有满足条件的点Q 的纵坐标；若不存在，请说明理由．已知函数 ln f x x x a （a 为常数），记 y f x x g x ．（1）若函数 y g x 在1x 处的切线过原点，求实数a 的值．（2）对于正实数t ，求证： ln 2f x f t x f t t a ；（3）当1a 时，求证： e cos xg x x x．上海市松江区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案一、填空题1．(2,)2．2i3．0.24．1225．216．37．58．4910．(1,2)11．10,1212．1540二、选择题13．D14．C15．B16．C三、解答题17．解：（1）2()sin sin222f x x x x1cos 1=sin()2262x x x .……3分因为函数()y f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以2 T ，即22,1T.所以1()sin(62f x x .……6分（2）由3()2f A，得13sin(),sin()16226A A .2(0,)3A A.……9分，由sin sin a b A B ,sin B，化简得sin 2 B 所以角4 B .……12分所以角23412C .……14分218．解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以//CD AB ，解法2：如图建系，由题可得：2AC BD ，则A， 0,1,0B ， 0,1,0D ， 0,1,P ， 0,1,E ，……8分所以 0,2,BE ， DA， 0,0,DP，设平面PAD 的法向量为 ,,z n x y，由00n DA n DP，得00y ，解得0y z，取1x ，可得平面PAD 的一个法向量为n.……12分设直线BE 与平面PAD 所成角的大小为090，x yzO3则1sin cos 22n BE n BE，解得30 ,所以，直线BE 与平面PAD 所成角的大小为30 .……14分19．解：（1）设“计划依次派出甲乙丙进行闯关，该小组比赛胜利”为事件A ， 甲乙丙各自闯关成功的概率分别为134p ，223p ，312p ，每人能否闯关成功相互独立，解法1： 3323212311144343224P A解法2： P A 123111231(1)(1)(1)143224p p p ．……4分（2）按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目X 的可能取值是1、2、3，11P X p ， 1221P X p p ， 12311P X p p ，所以X 的分布是： 11212123111p p p p p，……7分所以 1121212122(1)3(1)(1)23E X p p p p p p p p p ．……10分（3）若先派丙，再派乙，最后派甲，所需派出的人员数目Y 的分布是： 33232123111p p p p p，则 323223E Y p p p p ，所以 121232322323E X E Y p p p p p p p p ，21313213220p p p p p p p p ……13分所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望较小．……14分4521.(1)因为 ln +g x x x ，所以 22'g x x x x ，所以 '11g a ．……2分又因为 1ln11a g a ，所以 g x 在1x 处的切线方程为： 11y a x a ．点 0,0O 代入切线方程可得12a ．……4分(2)设函数 0h x f x f t x t ，ln ln +2h x x x t x t x a ，0x t .ln 1ln 1ln x h x x t x t x.……6分令 0h x ，得：2102x x t t x t t x t x ． h x 在,2t t 上严格递增；在0,2t 上严格递减； h x 的最小值为2t h，即总有： 2t h x h ．……8分而 ln +2ln 22222t t t t h f f t t a f t t a∴ ln 2f x f t x f t t a ．……10分6(3)当1a 时，即证1e ln cos xx x x x，（0x ）由于 cos 1,1x ，故e e cos 1x x x x x，只需证1e ln 1xx x x ，……12分令 1e ln 10xk x x x x x，只需证明 0k x .而 22211e e 111x x x x k x x x x x’，……14分因为0x ，所以1e 0x ，令 '0k x 得：01x ，令 '0k x 得：1x ，所以 k x 在1x 处取得极大值，也是最大值，……16分所以 max 12e<0k x k ，故 0k x 在 0,x 上恒成立，结论得证.……18分。
山东省济南市2023届高三二模数学试题
一、单选题二、多选题1. 对于函数，给出下列四个命题：（1）该函数的值域是；（2）当且仅当时，该函数取最大值；（3）该函数的最小正周期为；（4）当且仅当时，；其中所有正确命题个数是（ ）A．B．C．D．2.的展开式中项的系数为（ ）A ．96B．C ．120D．3. 函数的图像大致为（ ）A．B．C．D．4.在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（ ）A．B．C．D．5.直线与平行，则的值为（ ）A．B．或C．D ．或 6. “”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7. 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．8.函数的定义域为，且对任意，都有，若在区间上则( )A ．0B ．1C ．2D ．20189. 已知点，，，则下列说法正确的是（ ）A．B ．若，则C ．若，则D ．若，的夹角为锐角，则且10. 某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16，托盘由边长为8的等边三角山东省济南市2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（）A ．直线AD 与平面DEF所成的角为B ．经过三个顶点A ，B ，C的球的截面圆的面积为C ．异面直线AD 与CF所成角的余弦值为D ．球上的点到底面DEF的最大距离为11. 以下说法正确的是（ ）A ．数据1，2，4，5，6，8，9的60%分位数为5B ．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性C．决定系数越小，模型的拟合效果越差D ．若，则12.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为．在下列所给的命题中，正确的有（ ）A．B．C ．若三个侧面与底面所成的角分别为，则D．三棱锥的外接球表面积为13.双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为____________.14. 过点引的两条切线，切点分别是，，若直线的方程为，则______．15.在梯形中，已知， ，，动点和分布在线段和上，且的最大值为，则的取值范围为__________．16.如图，在三棱柱中，侧面是菱形，侧面是边长为的正方形，且，侧面侧面，为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．17. 已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，证明：不等式成立.18. 已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为的直线与椭圆交于､两点，且点在第一象限，点､分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.19. 设等比数列的前项和，已知，（）.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.20. 设等比数列的前n项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.21.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求；(2)若，，求a，c；(3)若，求.。
2022届山东省济南第一中学(济南市)高三二模数学试题(解析版)
2022届山东省济南第一中学（济南市）高三二模数学试题一、单选题1．已知a R ∈，i 是虚数单位，若复数21(1)z a a i =-++为纯虚数，则=a （ ） A ．0 B ．1或-1C ．1-D ．1【答案】D【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解. 【详解】21(1)z a a i =-++为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，即1a =.故选：D .【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础的计算题.2．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，{},,yC z z x x A y B ==∈∈ ，则C 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意写出集合C 的元素，可得答案.【详解】由题意，当1x =时，1y z x == ，当2x =，2y =时， 4y z x == ， 当2x =，4y =时， 16y z x == ， 即C 中有三个元素， 故选：C3．“3a =”是“直线30ax y +-=与()3240x a y +-+=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】利用定义法，分充分性和必要性分别判断.【详解】充分性：当3a =时，直线30ax y +-=与()3240x a y +-+=即为：330x y +-=与340x y ++=，所以两直线平行.故充分性满足；必要性：直线30ax y +-=与()3240x a y +-+=平行，则有：()230a a --=，解得：3a =或1a =-.当3a =时，直线30ax y +-=与()3240x a y +-+=即为：330x y +-=与340x y ++=，所以两直线平行，不重合；当3a =时，直线30ax y +-=与()3240x a y +-+=即为：30x y -+-=与3340x y -+=，所以两直线平行，不重合； 所以3a =或1a =-. 故必要性不满足.故“3a =”是“直线30ax y +-=与()3240x a y +-+=平行”的充分不必要条件. 故选：A4．已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（ ）AB ．2C ．9D ．2或9【答案】C【分析】由题可得2130m m ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，即求.【详解】∵函数()1221,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，()3f m =，∴2130m m ⎧-=⎨≤⎩或1230m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得9m =. 故选：C.5．()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．2B ．6C ．8D ．12【答案】D【分析】先将()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开，再求，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项，即可求出答案.【详解】()4442=11+12x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：4421441C C r rrr rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当420r -=即2r =时， 242C =12⋅，所以()412x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为12. 故选：D.6．济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图2，AC 和BC 所在圆的圆心都在线段AB 上，若rad ACB θ∠=，AC b =，则AC 的长度为（ ）A ．2sin2bθθB ．2cos2bθθC ．sin 2b θθ D ．2cos2bθθ【答案】A【分析】过C 作CD AB ⊥，设圆弧AC 的圆心为O ，半径为R ，则AO CO R ==，表示出AD CD 、，由222CD DO CO +=求出2sin2b R θ=，再进一步求出COD θ∠=，即可求出答案.【详解】过C 作CD AB ⊥，设圆弧AC 的圆心为O ，半径为R ，则AO CO R ==， 在ACD △中，2ACD θ∠=，所以sinsin22AD AC b θθ=⋅=，coscos22CD AC b θθ=⋅=，所以在直角三角形CDO 中，222CD DO CO +=，所以222cos sin 22b R b R θθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2sin2b R θ=，而cos2sin =2sin cos =sin 222sin2b CDCOD b COθθθθθ∠==， 所以COD θ∠=，所以2sin2b AC R θθθ==.故选：A.7．如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，D 在线段BC 上，且2BD DC =，E 为线段AD 上一点，若ABE △与ACD △的面积相等，则BE AC ⋅的值为（ ）A ．14B ．14-C ．34D ．34-【答案】D【分析】由题可得E 为AD 的中点，建立坐标系利用坐标法即得. 【详解】∵D 在线段BC 上，且2BD DC =， ∴12ACDABDSS =，又E 为线段AD 上一点，若ABE △与ACD △的面积相等，∴12ABE ABD S S =△△，E 为AD 的中点，如图建立平面直角坐标系，则()()()33730,0,0,3,2,0,3,0,32244B A D C E ⎛⎛ ⎝⎝， ∴7333,3,,34422BE AC ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎝， ∴7333333424BE AC =⨯=-⋅.故选：D.8．已知数列11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n 项记为n a ，则满足5n a =且20n ≥的n 的最小值为（ ） A ．47 B ．48 C ．57 D ．58【答案】C【分析】将数列的项分组，设满足20n ≥的5n a =首次出现在第m 组的第x 个数的位置上，由此列式(1)12026m m m -++≥，求得7m ≥，结合(1)15,,,N 116m x m x x m x --+==∈+-，即可求得答案.【详解】将数列分组为（11），（21，12），（31，22，13），（41，32，23，14），…，设满足20n ≥的5n a =首次出现在第m 组的第x 个数的位置上， 则+115,,,N 6m x m x x m x -+==∈ ， 此时数列共有项数为(1)123(1)202m mm x x -++++-+=+≥ ，即得(1)12026m m m -++≥，解得m ≥由于N m ∈ ，而192033≤≤，故7m ≥ ， 又1N 6m x +=∈,故符合条件的m ,的最小值为11， 则满足5n a =且20n ≥的n 的最小值为(1)(111)1111+12=57226m m --⨯+=+ ， 故选：C【点睛】本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律特点，分组，从而列出相应的等式或不等式关系，这是解题的关键所在.二、多选题9．袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件A =“第一次抽到的是白球”，事件B =“第二次抽到的是白球”，则（ ） A ．事件A 与事件B 互斥 B ．事件A 与事件B 相互独立 C ．()23P B =D ．()1|2P A B =【答案】CD【分析】根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断A,B; 事件B =“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，由此判断C;根据条件概率的公式计算()1|2P A B =，可判断D. 【详解】对于A,由于第一次抽到的是白球和第二次抽到白球，可以同时发生， 故事件A 与事件B 不互斥，A 错误；对于B ，由于是从袋中不放回的依次抽取2个球，因此第一次抽球的结果对第二次抽到什么颜色的球是有影响的，因此事件A 与事件B 不是相互独立关系，B 错误； 对于C ，事件B =“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球， 故()1212=+3323P B ⨯=，故C 正确；对于D ，211()323P AB =⨯= ,故()1()13|=2()23P AB P A B P B ==,故D 正确， 故选：CD10．下列不等关系中一定成立的是（ ） A ．32log 2log 3< B ．21551152⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()12112nn +<+，n +∈N D ．22n n >，n +∈N【答案】ABC【分析】A.利用对数函数的单调性判断；B.利用指数函数和幂函数的单调性判断； C.利用作差法判断；D.取特殊值判断.【详解】A. 因为3322log 2log 31log 3log 21==，，所以32log 2log 3<，故正确 B.因为25y x =在()0,∞+上递增，则22551152⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上递减，则21551122⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 21551152⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；C. 因为()2221211024⎡⎤⎛⎫+-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦n n n ，所以()12112n n +<+，n +∈N ，故正确；D. 当2n =时， 22n n =，故错误； 故选：ABC11．过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点（A 在第一象限），M 为线段AB 的中点.M 在抛物线的准线l 上的射影为点N ，则下列说法正确的是（ ） A ．AB 的最小值为4 B ．NF AB ⊥C ．△NAB 面积的最小值为6D ．若直线AB 的斜率为3，则3AF FB =【答案】ABD【分析】设直线AB 方程为1my x =- ,1122(,),(,)A x y B x y ，根据弦长公式表示出AB ，可判断A;求出点N 的坐标，根据斜率之间的关系，可判断B;表示出点点N 到直线AB的距离，继而求得3221||4(1)2NAB S AB d m =⋅=+，可判断C; 直线AB 的斜率为3，结合12124,4y y m y y +==-可求得12||3||y AF BF y ==，即可判断D. 【详解】由题意知(1,0)F ,设直线AB 方程为1my x =- ,1122(,),(,)A x y B x y ，联立214my x y x=-⎧⎨=⎩ ，可得2440y my --= ，216(1)0m ∆=+> ， 故12124,4y y m y y +==-，则21212221(44(1))A y B y y y m m =+-=++， 故当0m = 时，AB 的最小值为4，故A 正确； 又1222y y m += ，即M 点纵坐标为2m ,故(1,2)N m - ， 当0m =时，AB x ⊥轴，NF 在x 轴上，此时NF AB ⊥ ; 当0m ≠时,22NF m k m ==-- ，1AB k m = ，故NF AB ⊥，综合可知，NF AB ⊥,故B 正确； 又点N 到直线AB 的距离为221d m+，故3221||4(1)2NABSAB d m =⋅=+ ，当0m = 时，取最小值4，故C 错误；若直线AB 的斜率为3，则直线AB 方程为1my x =-，即3(1)y x =- ， 则121243,43y y y y +==-， 由于A 在第一象限，故解得122323,3y y ==-， 故12||3||y AF BF y == ，由于,AF FB 同向，故3AF FB =，故D 正确， 故选：ABD12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为线段1CC ，CD ，CB 上的动点（E ，F ，G 均不与点C 重合），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点E ，F ，G ，使得1A E ⊥平面EFGB ．存在点E ，F ，G ，使得FEG EFC EGC π∠+∠+∠=C ．当1A C ⊥平面EFG 时，三棱锥1A EFG -与C -EFG 体积之和的最大值为12D ．记CE ，CF ，CG 与平面EFG 所成的角分别为α，β，γ，则222sin sin sin 1αβγ++= 【答案】ACD【分析】以点D 为原点建立空间直角坐标系，设(](),,,,,0,1CF a CG b CE c a b c ===∈，对于A ，当BDFG 时，易证得1FG A E ⊥，则要使1A E ⊥平面EFG ，只需1A E EF ⊥即可，利用向量法即可得出结论；对于B ，要使FEG EFC EGC π∠+∠+∠=，只需要FEG FEC GEC ∠=∠+∠即可，判断FEG ∠和FEC GEC ∠+∠是否相等，即可；对于C ，根据1A C ⊥平面EFG ，可得,,a b c 的关系，由113A EFG C EF GEF G V V AC S --+=⋅，只要求出EFGS的最大值即可；对于D ，利用等体积法求出C 到平面EFG 的距离d ，分别求出sin ,sin ,sin αβγ，即可判断.【详解】解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，设(](),,,,,0,1CF a CG b CE c a b c ===∈，对于A ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AA BD ⊥，又因1,AC BD AC AA A ⊥⋂=， 所以BD ⊥平面11AAC C ，又1A E ⊂平面11AAC C ，所以1BD A E ⊥， 当BDFG 时，1FG A E ⊥，此时CF CG =，要使1A E ⊥平面EFG ，只需1A E EF ⊥即可，()()()11,0,1,0,1,0,0,1,A F a E c -， 则()()11,1,1,0,,A E c EF a c =--=--， 则()110A E EF a c c ⋅=---=，即2a c c =-， 当14a =时，12c =，故存在点E ，F ，G ，使得1A E ⊥平面EFG ，故A 正确； 对于B ，,22EFC FEC EGC GEC ππ∠=-∠∠=-∠，则FEG EFC EGC FEG FEC GEC π∠+∠+∠=+∠-∠-∠， 要使FEG EFC EGC π∠+∠+∠=， 只需要FEG FEC GEC ∠=∠+∠即可，EF EG FG =2222222cos a c b c a b FEG +++-+∠==cos FEC GEC ∠=∠=， 则sin FEC GEC ∠=∠，故()2cos FEC GEC ∠+∠因为0ab >，所以()cos cos FEC GEC FEG ∠+∠≠∠， 所以FEG FEC GEC ∠≠∠+∠，所以不存在点E ，F ，G ，使得FEG EFC EGC π∠+∠+∠=，故B 错误； 对于C ，因为1A C ⊥平面EFG ， 所以11333EFG EFGA EFG C EFG V V AC S S --+=⋅=，()()()()()11,0,1,0,1,0,0,1,,,1,0,0,1,0A F a E c G b C -，则()()()1,,0,,0,,1,1,1FG b a EG b c AC ==-=--， 则110AC FG b a AC EG b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，所以a b c ==，要使EFGS最大，则1a b c ===，此时32EFGS=， 所以体积之和的最大值为12，故C 正确； 对于D ，由B ，()222222222sin a b a b c FEG a c b c++∠=+⋅+，则22222211sin 22EFGSEF EG FEG a b a c c b =⋅⋅⋅∠=++， 因为16E FCG V abc -=，所以C 到平面EFG 的距离d 满足1136EFG d S abc ⋅=，所以222222abcd a b a c c b =++，所以222222sin d ab CE a b a c c b α==++， 222222sin d bc CF a b a c c b β==++， 222222sin d acCG a b a c c b γ==++，所以222222222222222sin sin sin 1a b a c c b a b a c c bαβγ++++++==，故D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m .若去掉m ，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数()110m m ≤≤的值可以是___________（写出一个满足条件的m 值即可）.【答案】7或8或9或10（填上述4个数中任意一个均可） 【分析】由百分位数的概念即可得出答案.【详解】7，6，8，9，8，7，10，m ，若去掉m ，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则70.25=1.75⨯，故第25百分位数为第二个数即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m ，第25百分位数为7，而80.25=2⨯，所以7为第二个数与第三个数的平均数，所以()110m m ≤≤的值可以是7或8或9或10. 故答案为：7或8或9或10.14．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，点P 在双曲线上，若212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则双曲线的离心率为___________. 【答案】3【分析】不妨假设点P 在双曲线右支上，可根据双曲线定义结合条件求得12||4,||2PF a PF a ==，再结合21212||23tan ||23PF a PF F F F c ∠===，即可求得答案. 【详解】不妨假设点P 在双曲线右支上，则12||||2PF PF a -= ，由于212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，故12||2||PF PF =， 故12||4,||2PF a PF a ==，而21212||23tan ||2PF a PF F F F c ∠==， 故3=ce a， 315．在高为2的直三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥AC ，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC 周长的最小值为___________.【答案】6+6【分析】先求出内切球的半径1r =，a b =时，即 c ，底面△ABC 周长的最小，代入即可求出答案.【详解】因为直三棱柱111ABC A B C -的高为2，设内切球的半径为r ，所以22r =，所以1r =，又因为AB ⊥AC ，所以设,,AB a AC b BC c ===，所以222+=a b c .，因为()()111222ABCSab a b c r a b c ==++⋅=++，所以 △ABC 周长的最小值即为面积的最小值，而22211122222ABCa b c Sab ⎛⎫+=≤=⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当 “a b =”时取等.当a b =时，底面△ABC 周长最小，所以c ，所以()211222ab a b c r ab a b c a a =++⋅⇒=++⇒=，所以此时2a =+△ABC 周长的最小值：426a b c ++=+=+.故答案为：6+. 四、双空题16．已知函数()()ln 0af x x ax a x=++>，则函数()f x 的最小值为___________；若关于x 的方程ln ln e e 0x x a x aa x--+--=有且仅有一个实根，则实数a 的取值范围是___________.【答案】 2a 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】对于第一空，求函数倒数，判断导数正负，判断函数单调性，即可求得最小值； 第二空，将方程变形为2)(e e ln xxa a a x x x x-+=+++，构造函数，将根的问题转化为图象的交点问题，根据函数的单调性可知，在(0,)x a ∈ 上e )(e x x x y a -=++图象和2()ln a x a f x x a x=++图象有一交点，即关于x 的方程ln ln e e 0x x a x a a x --+--=有一个实根，故需满足在x a > 时，二者图象无交点，由此构造函数，分离参数，利用导数，求得答案.【详解】对于第一空：由()()ln 0af x x ax a x=++>可知l 1n ()a f x ax f x x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，当1≥x 时，()()ln 0a f x x ax a x =++>，2221()a ax x af x a x x x +-'=+-=， 对于2y ax x a =+- ，其图象对称轴为102x a=-< ， 故1≥x 时，2y ax x a =+-为增函数，则21y ax x a =+-≥，即22()0ax x af x x +-'=>， 故当1≥x 时，()()ln 0af x x ax a x=++>是单调增函数，由于1()f f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故当01x <≤ 时，()()ln 0a f x x ax a x =++>是单调减函数，故()min (1)2f x f a ==；第二空：ln ln e e 0,(0)x xa x a x a x --+--=>即2(e e ln ln )0x x a a x a x -+---=， 即2)(e e ln x xa a a x x x x -+=+++，而函数2()ln a x a f x x a x=++结合第一空的分析可知，在x a = 时取得最小值，如图示，而函数，1),((e )10,(0)e e e xxx x x y a x y a -'+=-+>>=+， 故e )(e x x x y a -=++是单调增函数，由图可知，在(0,)x a ∈ 上e )(e xxx y a -=++图象和2()ln a x a f x x a x=++图象有一交点，即关于x 的方程ln ln e e 0x xa x aa x--+--=有一个实根， 故需满足在x a > 时，二者图象无交点， 此时1ax< 而()2()ln 0,(e )(e e )x x xa x a x a f f x a f x a x a x -⎛⎫==++>=++ ⎪⎝⎭，则)(e e ()0x x a x x f a -++-=即(e )()xx f f a=，则需满足e xxa=无解， 对于e x x a =，令()e x xg x = ，1()e xx g x -'=，当01x << 时，1()0e xx g x -'=>，()e x xg x =单调递增，当1x > 时，1()0e xx g x -'=<，()e x xg x =单调递减，故max 1()(1)eg x g ==，故要使e x xa =无解，需满足1e>a ， 故答案为：12;(,)ea +∞【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最小值以及方程有唯一跟的问题，综合性较强，要求思维能力较强，解答时的关键是将方程有唯一跟的问题转化为图象有一个交点的问题，数形结合灵活处理.五、解答题17．从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数x （同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X 表示这3件产品中质量指标值位于[]35,45内的产品件数，用频率代替概率，求X 的分布列.【答案】(1)25x = (2)分布列见解析【分析】（1）根据平均数的求法，求得平均数. （2）利用二项分布的知识求得X 的分布列. 【详解】(1)由已知得：100.01510200.04010300.02510400.0201025x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.(2)因为购买一件产品，其质量指标值位于[]35,45内的概率为0.2， 所以()3,0.2XB ，所以0,1,2,3X =.()()3010.20.512P X ==-=，()()2131C 0.210.20.384P X ==⨯⨯-=，()()2232C 0.210.20.096P X ==⨯⨯-=，()330.20.008P X ===，所以X 的分布列为18．已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A+C =B ，ABC的面积S . (1)求边c ；(2)若ABC 为锐角三角形，求a 的取值范围. 【答案】(1)1(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据2A+C =B ，结合三角形内角和定理求得π3B =，由三角形面积公式结合S =，求得答案； （2）由正弦定理表示12a =,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求得答案.【详解】(1)因为2A+C =B ，πA B C ++=，所以π3B =；因为1sin 2S ac B ===，所以1c = . (2)在ABC 中，由正弦定理sin sin a cA C=， 由（1）知π3B =，1c =，代入上式得：1sin sin sin 1322sin sin sin 2C C CA a C C C π⎛⎫+⎪⎝⎭==== 因为ABC 为锐角三角形，则2π2ππ,332A C A C +==-<,所以,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭， 所以11,222a ⎛⎫=⎪⎝⎭. 19．在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，160CBB ∠=︒，124AA AB ==.(1)证明：111B C AC ⊥；(2)求二面角1C AB A --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 5【分析】（1）求出1B C ，利用勾股定理证明111B C B C ⊥，再根据面面垂直的性质可得1B C ⊥平面111A B C ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以1B 为原点，1B C ，11B C 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.【详解】(1)证明：因为160CBB ∠=︒，124AA AB ==，所以22211112cos 12B C BC BB BC BB CBB =+-⋅⋅∠=，则123B C =，所以2221111B C B C CC +=，即111B C B C ⊥，因为平面ABC ∥平面111A B C ，平面ABC ⊥平面11BCC B ， 所以平面111A B C ⊥平面11BCC B ， 因为平面111A B C 平面1111BCC B B C =，所以1B C ⊥平面111A B C ，又11A C ⊂平面111A B C ， 所以111B C AC ⊥；(2)解：如图，以1B 为原点，1B C ，11B C 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系， 则()10,0,0B ，()23,0,0C ，()23,2,0B -，(13A ， 所以(113B A =，()123,2,0B B =-， 设平面1ABA 的法向量为()1,,n x y z =，则1111100n B A n B B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即302320y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取x =1，则()11,3,1n =-，又因为x 轴⊥平面ABC ，所以取平面ABC 的法向量()21,0,0n =， 所以112122cos ,1555n n n n n n ⋅===， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角1C AB A --的余弦值为55.20．已知{}n a 是递增的等差数列，1518a a +=，1a ，3a ，9a 分别为等比数列{}n b 的前三项.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)删去数列{}n b 中的第i a 项（其中123i =，，， ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】(1)3n a n =，3nn b =(2)2123126271,1362713,? 13n n n n n S n --⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪+⎩为偶数为奇数 【分析】（1）根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等比数列的首项和公比，即得答案;（2）删去数列{}n b 中的第i a 项（其中123i =，，， ）后，求和时讨论n 的奇偶性，并且分组求和，即可求得答案.【详解】(1)设数列{}n a 的公差为()0d d >，数列{}n b 的公比为q ，由已知得()()11211141828a a d a d a a d ++=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得13a =，3d = ，所以3n a n =； 所以113b a ==，313a q a ==，所以3n n b =. (2)由题意可知新数列{}n c 为：1b ，2b ，4b ，5b ，…， 则当n 为偶数时 1425323122n n n S b b b b b b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222231273127627112712713n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+=--， 则当n 为奇数时,1231211131132226271313n n n n n n n n n S S c S b S b ------+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=+=+=+， 综上：2123126271,1362713,13n n n n n S n --⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪+⎩为偶数为奇数 . 21．已知椭圆C 的焦点坐标为()11,0F -和()21,0F ，且椭圆经过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若()1,1T ，椭圆C 上四点M ，N ，P ，Q 满足3MT TQ =，3NT TP =，求直线MN 的斜率.【答案】(1)22143x y += (2)34-【分析】（1）根据题意得到c =1，再将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程求解；（2）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ，由3MT TQ =得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，得到()()111122143x y -+-=，同理得()()331122143x y -+-=，两式相减求解. 【详解】(1)解：由题意可知，c =1，设椭圆方程为222211x y a a +=-，将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得()()224410a a --=，解得214a =（舍），24a =， 所以椭圆方程为22143x y +=. (2)设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ， 因为3MT TQ =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，即12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，所以2211143x y +=，2211441114333x y --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()221122111431144943x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩①②，②-①得()()1111424424843x y -⋅+-⋅=， 即()()111122143x y -+-=……③， 又3NT TP =，同理得()()331122143x y -+-=……④ ④-③得()()131311043x x y y -+-=， 所以1313134143MNy y k x x --===--.22．已知函数()e axf x a =-，0a >.(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为1-，求a 的值；(2)是否存在实数t ，使得有且仅有一个实数a ，当0x >时，不等式()f x tx ≥恒成立？若存在，求出t ，a 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)1 (2)存在，e 2t =，a 【分析】（1）由导数的几何意义，求出切线方程，建立关于a 的方程，求解即可得答案；（2）当0t ≤时，()g x 在()0,∞+上单调递增，()()010g x g a >=-≥，只需1a ≤即可，与有且仅有一个实数a 矛盾，不符合题意；当0t >时，令()00g x '=，得01ln tx a a=，当00x ≤时，即t a ≤时，()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g a >=-≥；当00x >时，即t a >时，()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0ln 0t t t g x g x a a a a ≥=--≥，综上，1a ≤，0t a <≤①，21ln 0t a a t--≥，t a >②；由题意知，上述不等式关于a 有唯一解.然后对t 分三种情况1t >、1t =和01t <<进行讨论即可求解.【详解】(1)解：由题意()e ax f x a '=，()1e a f a '=，又因为()1e af a =-，所以()f x 在()()1,1f 处的切线方程为()e e 1a ay a a x -+=-，即e e e a a a y a x a a =-+-， 令0x =，得e e 1a a a a -+-=-，()()e 110aa +-=，因为e 10a +>，所以1a -=0，a =1；(2)解：0x ∀>，()f x tx ≥恒成立，即e 0ax a tx --≥恒成立.令()()e 0ax g x a tx x =-->，()e axg x a t '=-，当0t ≤时，()e 0axg x a t '=->恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，故当0x >时，()()010g x g a >=-≥，只需1a ≤即可，与有且仅有一个实数a 矛盾，不符合题意；当0t >时，令()00g x '=，得01ln t x a a=， 当00x ≤时，即t a ≤时，()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g a >=-≥； 当00x >时，即t a >时，()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()0ln 0t t tg x g x a a a a≥=--≥， 综上，1a ≤，0t a <≤①，21ln 0t a a t --≥，t a >②；由题意知，上述不等式关于a 有唯一解. （i ）若1t >，对于①式，1t a ≤≤无解. 对于②式，令()21ln t a a a t ϕ=--，0a t <<，()2122a t a a a t atϕ-'=-=，()0a ϕ'=时，a =第 21 页 共 21 页 所以()a ϕ在⎛ ⎝上单调递增，在t ⎫⎪⎪⎭上单调递减，故只需210t t ϕ=-=即可，解得e 2t =，此时a （ii ）若t =1，对于①式，a =1，对于②式，211ln 0a a --≥，当12a =时成立，不合题意； （ⅲ）若01t <<，对于①式，1t a ≤≤时均成立，不合题意； 综上所述，当e 2t =时，存在唯一的a =，使得()()0f x tx x ≥>恒成立. 【点睛】关键点点睛：（2）问解题的关键是，当0t >时，令()00g x '=，得01ln t x a a =，当00x ≤时，即t a ≤时，()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g a >=-≥；当00x >时，即t a >时，()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0ln 0t t t g x g x a a a a ≥=--≥，从而得1a ≤，0t a <≤①，21ln 0t a a t --≥，t a >②，上述不等式关于a 有唯一解.。
江苏省南京市第一中学2024届高三二模数学试题
江苏省南京市第一中学2024届高三二模数学试题一、单选题1．已知集合{}220A x x x =∈-≤Z ，则A 的子集个数为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．162．下列命题中，真命题的是（ ）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若22ac bc ≥，则a b ≥D ．若22a b +=，则244a b +≥ 3．复数()31i +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知随机事件A ，B 发生的概率分别为()0.5P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（ ）A ．若()0.9P AB =，则A ，B 相互独立B ．若A ，B 相互独立，则()0.6P A B =C ．若()0.5P A B =，则()0.25P AB =D ．若B A ⊆，则()0.8P B A =5．已知向量,,a b c r r r 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()c b a ⋅-=r r r （ ）A ．4B ．1C ．1-D ．4-6．某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A ．42种 B ．40种 C ．36种 D ．30种7．已知圆22:(1)9C x y -+=，直线:0l x y m ++=，P 为直线l 上的动点．过点P 作圆C 的切线PM ，PN ，切点为M ，N ．若使得四边形PMCN 为正方形的点P 有且只有一个，则正实数m =（ ）A ．1B ．C ．5D ．7 8．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且仅有4个零点，直线π6x =为函数()y f x =图象的一条对称轴，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．12-C ．12 D二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若随机变量X ，Y 满足21Y X =+，则()2()1D Y D X =+B ．若随机变量()2~3,X N σ，且(6)0.84P X <=，则(36)0.34P X <<=C ．若线性相关系数r 的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强D ．按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m ，40，50；乙组：24，n ，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则70m n += 10．如图，在边长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1的中点，P 是正方形A 1B 1C 1D 1内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若DP ∥平面CEF ，则点P 的轨迹长度为B ．若AP P 的轨迹长度为2πC ．若AP AP 与平面CEFD ．若Р是棱A 1B 1的中点，则三棱锥P CEF -的外接球的表面积是41π11．已知函数()()3cos f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象既关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，也关于直线3π4x =轴对称，且()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的值可能是（ ） A ．25B ．65C ．2D ．145三、填空题12．已知向量a r ，b r 满足24a b ==r r ，且25a b -=r r ，则向量a r ，b r 夹角的余弦值是.13．甲、乙等5人参加A ，B ，C 这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A 活动，则他们参加活动的不同方案有种.14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为常数λ（0λ>，1λ≠），则点M 的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知()()1,0,0,1A B -，M 是平面内一动点，且MA MB=则点M 的轨迹方程为.若点Р在圆22:(2)36C x y -+=上，则2PA PB +的最小值是.四、解答题15．已知 a n 是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列 a n 的通项公式；(2)设22,1,n a n n n n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列 b n 的前2n 项和2n T . 16．ChatGPT 是AI 技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT 人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：(2)将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.（i ）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？（ii ）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++． 参考数据：17．如图，在三棱锥P ABC -中，,AB BC PB PC ⊥=，N 为PC 的中点，M 为ABC V 内部一点且PM ⊥平面ABC ．(1)证明：//MN 平面PAB ；(2)若2241AB BC PB PM ====,，求二面角B MN P --的余弦值． 18．已知函数()()ln ,1,f x mx x x ∞=-∈+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()112e m x f x x x -+≥-恒成立，求实数m 的取值范围.19．已知椭圆()222103x y a a Γ+=>：的右焦点为()10F ,，过点F 且不垂直于坐标轴的直线交Γ于,A B 两点，Γ在,A B 两点处的切线交于点Q ．(1)求证：点Q 在定直线上，并求出该直线方程；(2)设点M 为直线OQ 上一点，且AB AM ⊥，求AM 的最小值．。
顺义区2024届高三二模数学试题及答案
顺义区2024年高三第二次质量监测数学试卷本试卷共9页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。
1. 设集合{}24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U C A = A.[2,0]−B.{}0C.{}2,1−−D.{}2,1,0−−2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1i)2i z +⋅=，则z z ⋅=B.1C.2D.43. 在5(21)x −的展开式中，4x 的系数为 A.80− B.40− C.40 D.804. 已知4log 2a =，e1()2b =，12πc =，则A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>5. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ， 则9S = A.511 B.61 C.41 D.96. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M . 若F 为PQ 的中点，则||PM =A.4B.6C. D.87. 若函数1,0()0, 01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法： ①存在点P ，使得1//D P 平面1A DB ；②对于任意点P ，四棱锥11P A ADD −体积为定值； ③存在点P ，使得1A P ⊥平面1C DB ； ④对于任意点P ，1A DP △都是锐角三角形， 其中，不正确．．．的是 A.①B.②C.③D.④9. 已知在平面内，圆22:1O x y +=，点P 为圆外一点，满足||2PO =，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,A B . 若圆O 上存在异于,A B 的点M ，使得2(1)PM PA PB λλ=+−，则λ的值是A.23B.12C.14 D.12−10. 设1237,,,a a a a 是1,2,3,,7的一个排列. 且满足122367||||||a a a a a a −≥−≥≥−，则122367||||||a a a a a a −+−++−的最大值是A.23B.21C.20D.18第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2024届上海市青浦区高三二模数学试题及答案
第11题图第12题图上海市青浦区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集为．2.已知向量 1,1a ， 3,4b，则,a b．3.已知复数5iz，则Im z ．4.5.6.7.8.9.10.个数字均11.如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深8cm ，上口宽6cm ，若以303cm /s 的速度匀速往杯中注水，当水深为4cm 时，酒杯中水升高的瞬时变化率vcm /s ．第16题图12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，P 、Q 、R 在棱AB 、BC 、1BB 上，且12PB，13QB ，14RB，以PQR 为底面作一个三棱柱111PQR PQ R ，使点1P 、1Q 、1R 分别在平面11A ADD 、11D DCC 、1111A B C D 上，则这个三棱柱的侧棱长为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.函数13y x x（0x ）的最小值是（）.A 4；14.已知点d ，M 是x 轴上.A .C 15.设n S ）.A 1a 16. f x kx 有（.A 2.C 2第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）对于函数 y f x ，其中22sin cos f x x x x ，x R ．（1）求函数 y f x 的单调增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，若 1f A，AB AC，求ABC 的面积．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，三棱柱111ABC A B C 是所有棱长均为2的直三棱柱，D 、E 分别是棱AB 和棱1AA 的中点．（1）求证：平面1B CD 平面11ABB A ；（2）求二面角1B CD E 的余弦值大小．19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题（i ）满分4分，第2小题（ii ）满分6分）垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏，同时能提高资源循环利用的效率．目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法，即干垃圾，湿垃圾，可回收垃圾与有害垃圾．某校为调查学生对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名学生作为样本，按照了解程度分为A 等级和B 等级，得到如下列联表：（1）0.05 ）？0.05 ．（2）A 提问第20题图20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知双曲线22:145x y ，1F 、2F 分别为其左、右焦点．（1）求1F 、2F 的坐标和双曲线 的渐近线方程；（2）如图，P 是双曲线 右支在第一象限内一点，圆C 是12PF F 的内切圆，设圆与1PF 、2PF 、12F F 分别切于点D 、E 、F ，当圆C 的面积为4 时，求直线2PF 的斜率；（3）是否存在过点2F 的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A 、B 两点，且使得11F AB F BA ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若无穷数列 n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a 对一切正整数n 成立，则称 n a 是周期为T 的周期数列．（1）若ππsin 3n n a m（其中正整数m 为常数，n N ，1n ），判断数列 n a 是否为周期数列，并说明理由：（2）若1sin n n n a a a （n N ，1n ），判断数列 n a 是否为周期数列，并说明理由；（3）设 n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a （n N ，1n ）．求证：“存在1a ，使得 n a 是周期数列”的充要条件是“ n b 是周期数列”．上海市青浦区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案2024.04一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．(,1)(3,) ；2．10；3．52；4．160；5．6 ；6．2；7．；8． 0,101000, ；9.10,2；10.34；11．403π；12.12.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.D ；14.A ；15．C ；16..B三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）222sin cos 2sin cos 1)f x x x x x x xπsin 222sin 23x x x由πππ2π22π+,232k x k kZ ≤≤，得5ππππ+,1212k x k k Z ≤≤所以，函数)(x f 的单调增区间是 5πππ,π+,1212k k kZ ．（2）由已知π()2sin 213f A A，所以π1sin 232A因为π02A，所以ππ4π2333A ，即π5π236A ，所以π4A2又cos AB AC AB AC A 2AB AC，所以，△ABC的面积11sin 22222S AB AC A．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.解：（1）D 为棱AB 中点，△ABC 为正三角形，CD AB .又三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，1AA 平面ABC ，又CD 平面ABC ，1CD AA ，因为1,AB AA A 1,AB AA 平面11ABB A CD 平面11ABB A ，CD 平面1B CD ，平面1B CD 平面11ABB A （2）由（1）得CD 平面11ABB A ，1,B D DE 平面11ABB A ，1,CD B D CD ED ，1B DE 是二面角1B CD E 的平面角在△1B DE中，11DE B D B E1cos 10B DE二面角1B CD E的余弦值为10．19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题（i）4分，第2小题（ii）6分)解：（1）提出原假设0H :学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，确定显著性水平0.05 ，由题意得，40,20a b c d 可得2221004020202025604060409n ad bc a b c d a c b d，由2( 3.841)0.05P ，且2593.841 ，所以接受原假设，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.3（2）（i ）比赛只进行3局就结束，甲赢得比赛的概率为121223239p比赛只进行3局就结束，乙赢得比赛的概率为2212111132318p ，故比赛只进行3局就结束的概率为1221591818p p ；（ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，X 0 ，即进行了3场比赛，且乙赢得比赛，故 1111032318P X ，1X ，即进行了4场比赛，且乙赢得比赛，前3场中，甲赢得1场比赛，乙第4场赢，故 2111111111215132323232323236P X，2X ，即进行了5场比赛，且乙赢得比赛，前4场中，甲赢得2场比赛，乙第5场赢，故 2111121211211112323233232332323P X11211111111121113323233232332323108，3X ，即最后甲赢得比赛，由概率性质得151337310121183610854P X P X P X P X ，所以分布为故数学期望为1513372630123183610854108[]E X20.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）因为双曲线22:145x y ，所以224,5a b ，所以3c ，即1(3,0)F ，2(3,0)F ，所以双曲线的渐近线方程是2y x（2）解法一：由题意可知||||PD PE ，11||||F D F F ，22||||F F F E ，所以12121212||||(||||(||||)||||||||24PF PF PD DF PE EF DF EF FF FF a ，(2,0)F ，即F 是椭圆右顶点设圆C 的半径为(0)r r ，因为圆C 的面积为4π，则2π4πr ，即2r ，12CF F F ，设直线2PF 的斜率为k ，则直线2PF 的方程为(3)y k x ，即30kx y k ，由圆心C 到直线2PF 的距离等于圆的半径，可得2 ，解得直线2PF 的斜率为43k（3）假设存在过点2F 的直线l 与双曲线E 的左右两支分别交于A ，B 两点，且使得11F AB F BA ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 中点为0(M x ，0)y ，又1(3,0)F ，2(3,0)F ，由11F AB F BA ，可知△1F AB 为等腰三角形，11||||F A F B ，且直线l 不与x 轴重合，于是1F M AB ，即12F M MF ，因此121F M MF k k ，0000133y yx x ，22009()x y I ，点A ，B 在双曲线 上，所以22112222545141x y x y ①②，① ②化简整理得：1212121254y y y y x x x x ，01201254y y y x x x ，则54OM AB k k，可得0000534y y x x ，220004515y x x Ⅱ，联立（Ⅰ）（Ⅱ）得22002200094515x y y x x ，2035120x x ，得043x或03x（舍）所以4,3M由54OM AB k k，得AB k ，所以直线l的方程为133)y x．21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）∵2ππππππsin (2)sin 2πsin 333n m nn n a n m a m m m∴{}n a 是为周期为2m 的周期数列．（2）①当12a a 时，1sin 0a ，1π()a k k Z ，∴当1π()a k k Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；②当1π()a k k Z 时，记()sin f x x x ，则1()n n a f a ，()1cos 0f x x ，当且仅当11(21)π()x k k Z 时等号成立．即()1cos 0f x x ，所以()f x 在R 上严格增．若12a a ，则12()()f a f a ，即23a a ，进而可得1234a a a a ，即{}n a 是严格增数列，不是周期数列；同理，若12a a ，可得{}n a 是严格减数列，不是周期数列．综上，当1π()a k k Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；当1π()a k k Z 时，{}n a 不是周期数列．（3）证明：必要性．若存在1a ，使得{}n a 是周期数列，设{}n a 的周期为0T ，则00011sin sin n T n T n T n n n b a a a a b ，所以{}n b 是周期为0T 的周期数列．充分性．若{}n b 是周期数列，设它的周期为T ，记1a x ，则10()a f x x211()sin a f x b x ，是关于x 的连续函数；3221()sin ()a f x b f x ，是关于x 的连续函数；…1()T T a f x ，是关于x 的连续函数；11sin ()T T T a b f x ，令1()sin ()T T g x x b f x ，则()g x 是连续函数，且1(2)2sin ()0T T g b x ，1(2)2sin ()0T T g b f x ，∴()g x 存在零点c ．于是1sin ()0T T c b f c 取1a c ，则111sin ()T T T a b f c c a ，从而211112sin sin T T T a b a b a a ，322223sin sin T T T a b a b a a ，……一般地，n T n a a 对任何正整数n 都成立，即{}n a 是周期为T 的周期数列．（说明：关于函数连续性的说明不作要求）。
2024届南京市高三第二次模拟考试(南京二模)数学试卷(含答案详解)
江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a = ，(),3b x x =+ ．若a b，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．62．“02r <<”是“过点(1,0)有两条直线与圆222:(0)C x y r r +=>相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{}n P （10P =，21P =，212n n n P P P ++=+，*n ∈N ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到01-数列{}n a ．记{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．16B ．12C ．10D ．85．已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，直线1AF 交C 于另一点B ，2ABF △的内切圆与2BF 相切于点P ．若12BP F F =，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜ABC 中，若sin cos A B =，则3tan tan B C +的最小值为（）AB C D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024届上海市奉贤区高三二模数学试题及答案
第10题图第11题图上海市奉贤区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知复数 34z i i （i 为虚数单位），则z ．2.不等式21x 的解集为．3.抛物线24y x 上一点到点 1,0的距离最小值为．4.5.6.7.，假设8.9.03a 10.中挖去4量为g ．11.点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 棱上一点，则满足12PA PC 的点P 的个数为．第12题图第14题图第16题图12.函数 sin y x （0 ，π2）的图像记为曲线F ，如图所示．A 、B 、C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ，则直线AB 的斜率为．（用1k 、2k 表示）二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13. ,i i x y （i （）.A y .B .C .D 14.（.Ay f xg x 1f x g x ．15.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）.A 甲与乙相互独立；.B 乙与丙相互独立；.C 甲与丙相互独立；.D 乙与丁相互独立．16.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AD ，BC m （1m ），3ABC.点E 是线段AB 上的一点，点F 在线段DC 上，DFt DC．命题①：若12AE EB ，则EF AD随着t 的增大而减少．命题②：设AE x AB ，若存在线段EF 把梯形ABCD 的面积分成上下相等的两个部分，那么12m x m， t f x 随着x 的增大而减少．则下列选项正确的是（）.A 命题①不正确，命题②正确；.B 命题①、命题②都不正确；.C三、17.已知 a 11 ，426b b ．（1）（2）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）3或4，则）0.05第19题图1第19题图2如左下图1是由两个三角形组成的图形，其中90APC ，30PAC ，2AC AB ，30BCA ．将三角形ABC 沿AC 折起，使得平面PAC 平面ABC ，如右下图2．设O 是AC 的中点，D 是AP 的中点．（1）求直线BD 与平面PAC 所成角的大小；（2）连接PB ，设平面DBO 与平面PBC 的交线为直线l ，判别l 与PC 的位置关系,并说明理由．第20题（2）图第20题（3）图已知曲线22:142x y C ，O 是坐标原点,过点 1,0T 的直线1l 与曲线C 交于P 、Q 两点．（1）当1l 与x 轴垂直时，求 OPQ 的面积；（2）过圆226x y 上任意一点M 作直线MA 、MB ，分别与曲线C 切于A 、B 两点，求证：MA MB （3）过点 ,0N n （2n ）的直线2l 与双曲线2214x y 交于R 、S 两点（1l 、2l 不与x 轴重合）．记直线TR 的斜率为TR k ，直线TS 斜率为TS k ，当ONP ONQ 时，求证：n 与TR TS k k 都是定值．；已知定义域为R 的函数 y f x ，其图像是连续的曲线，且存在定义域也为R 的导函数 'y f x ．（1）求函数 e exxf x 在点0,0f 的切线方程：（2）已知 cos sin f x a x b x ，当a 与b 满足什么条件时，存在非零实数k ，对任意的实数x 使得f x kf x 恒成立？（3）若函数 y f x 是奇函数，且满足 23f x f x ．试判断 22f x f x 对任意的实数x 是否恒成立，请说明理由．上海市奉贤区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案一、填空题1、4+3i .2、 1,33、14、5、0.146、7、208、1122，9、110、132511、612、12122k k k k 二、选择题13、D 14、A 15、A 16、A三、解答题17、（1）因为2d ，且5154522S a，所以11a ，所以23n a n .4分因为11b ，且36q q ，所以2q ，所以12n n b .8分（2）由题可知，2321522=48n n nn c ，10分1nn i c 为等比数列求和，首项为152c ，公比4q ， 15145241146n nn ni c .14分18、（1）由题可知，1002003003550045350100，所以一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为350.6分（2）10分计算出9x 11分假设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.人次≤400人次>400总计空气质量好363975空气质量不好19625总计5545100221003661939 5.93935545257512分因为2 3.841 ，所以拒绝原假设，所以一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.14分19、（1）过B 作BHAC 于H ，连接DH ，因为平面PAC 平面ABC ，且平面PAC 平面ABCAC ，又因为BH AC ，所以BH 平面PAC ，所以BDH 为直线BD 与平面PAC 所成角.3分因为2AC AB ，不妨设,2AB a AC a ，在ABC 中，90sin 30sin AB AC B B.4分在RT BDH中，1,22BH a DH a，所以tan BH BDH DH7分所以直线BD 与平面PAC 所成角的大小为3.8分（2）因为O 是AC 的中点，D 是AP 的中点，所以//DO PC ；又因为PC PBC 平面，DO 不在平面PBC 上，所以//DO PBC 平面；11分又因为DBO PBC l 平面平面，所以//DO l ，13分所以//l PC .14分20、（1）由题可知，直线为1x ，1分代入椭圆方程22142x y，得2y ，3分所以1122S5分（2）设00(,)M x y ，当02x时，0y MA MB ，成立.6分当02x 时，设MA ，MB 的斜率分别为12,k k ，直线00:MA y y k x x 由 0022142y y k x x x y2220000(21)4()2()40k x k y kx x kx y ,7分因为直线MA 与椭圆相切，所以0 ，即2222000016()4(21)[2()4]0k kx y k kx y ，化简可得2200()2(21)0kx y k ，化为关于k 的一元二次方程为22200004220x k x y k y ，所以20122024y k k x .9分因为00(,)M x y 在圆上，所以22006x y ，代入上式可得，2012206214x k k x .所以MA MB .11分（3）设11(,)P x y 、22(,)Q x y 、34(,)R x y 、44(,)S x y ，直线PN 、QN 的斜率分别为PN k 、QNk 设直线1:1l x ky ，与椭圆联立得22(2)230k y ky ，0 ，12222ky y k，12232y y k ，由ONP ONQ 得0PN QN k k ，13分即1212211212(1)(1)(1)(1)y y y ky n y ky n x n x n ky n ky n ，计算分子部分：12211212(1)(1)2(1)()y ky n y ky n ky y n y y 22232822(1)0222k k kn k n k k k，所以4n ，16分设直线2:4l x py ，与双曲线联立得22(4)8120p y py ，240p ，0 ，34284p y y p ，342124y y p ，3344343434(1)(1)11(1)(1)TR TS y y x y x yk k x x x x ，计算分子部分344334433434(1)(1)(3)(3)23()y x y x y py y py py y y y 2212823044pp p p 0 ，因为4n ，所以0TR TS k k 18分21、（1）由题可知，'()x x f x e e ，1分所以切线的斜率为'(0)0f ，2分且(0)2f ，3分所以函数在点0,0f 的切线方程为 200y x ，即2y .4分（2）由题可知 'sin cos f x a x b x ，6分又因为定义域上对任意的实数x 满足 f x kf x ，所以cos sin sin cos a x b x ak x bk x ，即b ak a bk8分当k R 且1k 时，0a b .9分当1k 时，0a b ；10分当1k时，0a b .11分（3）因为函数 x f y 在定义域R 上是奇函数，所以()()f x f x ，所以'()()''()f x x f x ，所以'()'()f x f x ，所以 'y f x 是偶函数.13分因为 23f x f x ，所以 ''22'3'f x f x x ，即''20f x f x ，即''2f x f x 15分因为'()'()f x f x ，所以 ''2f x f x ，即 ''2f t f t ，所以 'y f x 是周期为2的函数.17分所以 ''2'2f x f x f x ，所以 '2'''2f x f x f x f x .18分。
山西省太原市、大同市2023届高三二模数学试题及参考答案
山西省太原市、大同市2023届高三二模数学试题及参考答案5．已知6sin cos 3αα+=，0πα<<A ．233-B ．2336．已知等比数列{}n a 的前n 项和n S ，满足A ．16B ．32(1)证明：11A D B C ⊥；(2)若AC ⊥平面11BB C C ，33，求111C E AC 的值.参考答案一、单选题12345678B CADBADB1.B 解析：{}x y x B ==，∴{}0≥=x x B ，∴{}10，=⋂B A 2.C解析：取1,1=-=n m ，1,122==n m ，此时不满足22n m <，即A 错误；11,11-==m n ，此时mn 11>，所以B 错误；对于D ，m lg 无意义，所以D 错误；当n m ＜时，n m22<，即C 正确.3.A解析：由题意可得：1211260=⨯⨯=︒=⋅b a ，21414222=⨯-⨯+===-.4.D 解析：根据雷达图，甲同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：物理、历史（化学）、地理、生物、政治，乙同学按照科目综合指标值从高到低顺序为：历史、物理（政治）、地理、生物、化学，根据新高考选科模式规则，选考科目甲应选物理、化学、地理；选考科目乙应选历史、政治、地理.5.B解析：由题意得()ααααααcos sin 2cos sin 32cos sin 222++==+∴31cos sin 2-=αα.又∵()πα,0∈，∴ααsin 0cos <<，∴0cos sin >-αα.()34311cos sin 2cos sin cos sin 222=+=-+=-αααααα，∴332cos sin =-αα.6.A解析：由题意可得()211≥+=-n S a n n ，∴n n n a a a =-+1，即n n a a 21=+，∴等比数列的公比为2.在11+=+n n S a 中，令1=n 可得112+=a a ，∴11=a ，则16161415=⨯=⋅=q a a .7.D解析：由题意可得圆心()01，C ，半径1=r ，设圆心到直线l 的距离为d ，则CM d ≤，易得MN CN ⊥，则222r CMMN-=，故当d 最小时，MN 最小，∵223221=+=d ，∴21422=-=r d MN ，故MN 最小值是214.8.B解析：eec b a ln ,22ln ,33ln ===，构造()()0,ln >=x x x x f ，则()2ln 1x xx f -='，当e x <<0时，()0>'x f ，()x f 单调递增；当e x >时，()0<'x f ，()x f 单调递减.而e e <<<22，∴33ln ln 22ln <<ee ，故b c a >>.二、多选题9101112AD ABBCACD9.AD解析：()b ax x f 332+='，由题意可得：()0331=+=-'b a f ，可得b a -=；又∵极大值为3，∴()3312=+--=-b b a f 3=b ，解得1-=b 或3=b ；1°当3=b 时，3-=a ，此时()()()119+--='x x x f ，()1,1-∈x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增；()1-∞-∈，x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减，()x f 在1-=x 处取得极小值，不符合题意，∴3=b 舍去2°当1-=b 时，1=a ，此时()()()113+-='x x x f ，()1,1-∈x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减；()1-∞-∈，x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增，()x f 在1-=x 处取得极大值，符合题意，∴1-=b ，1=a ，即1-=ab ∴A 正确此时()133+-=x x x f ，∴()11-=f ，()10=f ，∴D 正确.10.AB解析：由题知抛物线的焦点坐标为（2,0），∴双曲线右焦点()0,22F ，即2=c .又32=b ，∴1222=-=b c a ，则双曲线的方程为1322=-y x .双曲线的渐近线方程为：x x aby 3±=±=，故A 正确；联立双曲线与抛物线的方程整理可得：03832=--x x ，解得3=x 或31-=x （舍去），将3=x 代入抛物线方程可得62±=y .设()62,3P ，又()0,21-F ，∴71=PF ，∴B 正确；易知646242162212121=⨯⨯=⨯⨯=∆F F S PF F ，故C 错误；∵()()562032222=-+-=PF ，由余弦定理可得，35292cos 21221222121=-+=∠PF PF F F PF PF PF F ，故D 错误.11.BC解析：∵()()06sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上有且仅有2个极值点，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈+6266πωπππω，x ，∴256223ππωππ≤+<，∴31438≤<ω，故A 错误；()x f 关于直线3π=x 对称，∴Z k k ∈+=+,263ππππω，又∵31438≤<ω，∴4=ω，∴()x f 的最小正周期2π=T ，故B 正确；()x f 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0185，π对称，∴Z k k ∈=+,6185πππω，即Z k k ∈-=,61185ω，又∵31438≤<ω，∴3=ω，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈90π，x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+2,663πππx ，则()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛90π，上单调递增，故C 正确；⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈40π，x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+64,66πωπππωx ，又∵31438≤<ω，∴65638464ππππωπ=+⨯>+，∴()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上的最小值小于21，故D 错误.12.ACD解析：由题知，该三棱锥是正四面体，取AB 中点E ，连接CE PE ,，显然CE经过点O ，于是11C CC PE =⋂，过O 作PE OH ∥，交1CC 于H .由于O 是P 在ABC ∆的投影，由正棱锥性质，O 为等边ABC ∆的重心，于是OE CO 2=，由PE OH ∥可知，COH ∆和1CEC ∆相似，于是321==CE CO E C OH ，由D 为PO 的中点，易得DOH ∆和1DPC ∆相等，则1PC OH =，于是3211=E C PC ，同理可得3211=F A P A ，于是11A PC ∆和PEF ∆相似，于是EF C A ∥11，又EF 为ABC ∆中BC 边对应的中位线，故AC EF ∥，∴11C A AC ∥，选项A 正确；B 选项，将三棱锥保留PC 边展开成如图所示的平面图形，该图形由两个等边三角形拼成的菱形，显然CQ AQ +的最小值在Q C A ,,共线时取得，即CQ AQ +的最小值为32=AC ，B 选项错误；C 选项，ABC ∆的外接圆半径33460sin 222=︒==CO R ，故332=CO ，362332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=PO ，于是3621==PO DO .根据对称性，三棱锥ABC D -外接球的球心在射线DO 上，不妨设球心为G ，外接球半径为R ，则R GA DG ==，R GO -=36，又332=AO ，则22233236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=R R ，解得26=R ，（由于DO R >，实际上球心在三棱锥外），故外接球的表面积为：ππ642=R ，C 选项正确；D 选项，三棱锥BEF P -和ABC P -等高，由41sin 21sin 21=∠⋅⋅∠⋅⋅=∆∆ABC BC BA ABCBF BE S S ABCBEF，于是ABC P BEF P V V --=41，根据A 选项，3211=E C PC ，3211=F A P A ，即PFP A PE PC 1152==，于是254sin 21sin 211111=∠⋅⋅∠⋅⋅=∆∆EPF PF PE EPFP A PC S S PEFA PC ，注意到三棱锥PEFB -和11C P A B -等高，故PEF B C P A B V V --=25411，于是ABC P ABC P BEF P PEF B C P A B BC A P V V V V V V ------=⋅====251412542542541111，D 选项正确.三、填空题13.i +1解析：∵()i z i 21=+，∴()()()i i i i i i i z +=-+-=+=1111212.14.0解析：()()44332210311x a x a x a x a a x x ++++=+-，令0=x 得10=a ，令1=x 得043210=++++a a a a a .∵33344x C x x a ⋅-=，可得1334-=-=C a ，01132143210=-+++=++++a a a a a a a a ，故0321=++a a a .15.42解析：设内切圆与AM 切于Q ，与1AF 切于P ，由切线性质知：c F F MQ MN 22221===，P F N F 11=，AQ AP =，由对称性知：21AF AF =，∴21QF PF =，即21QF NF =∴()()c MN MQ NF MN QF MQ MF MF a 2421212=+=++-=+=，∴42242===a c e .16.2解析：∵222ln 2ln 2ln 22ln 2ln 2222+-++-=+-+-bb a a b b a a ()⎪⎭⎫⎝⎛+-++-=122ln 122ln 22b b a a 构造()1ln +-=x x x f ，则()xxx x f -=-='111，当10<<x 时，()0>'x f ，∴()x f 在()1,0上单调递增；当1>x 时，()0<'x f ，∴()x f 在()∞+，1上单调递减.∴()x f 在1=x 处取得极大值，也是最大值，()01=f ，∴()0≤x f ，()0222≥⎪⎭⎫⎝⎛+b f af ，∴122=a，12=b .∵0>a ，∴2,22==b a ，∴2=ab .四、解答题17.解（1）设{}n a 的公比为()0>q q ，{}n b 的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧+=++=+dq dq 2124212，解得3=q 或1-=q （舍去），2=d ，∴()*-∈=N n a n n 13，()*∈-=N n n bn12；（2）由（1）得()*-∈=N n a n n 13，()*∈-=N n n bn12选择条件①：n n n b a c =，则()1312-⋅-=n n n c ∴nn n c c c c S ++++=-121 ()()122312332353311--⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n ……①n S 3()()n n n n 312332353331132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ……②①-②得：()()()nnnn n n n S 31231332131233321212⨯----⨯+=⨯--+++⨯+=-- ∴()131+⋅-=nn n S 选择条件②：n n n a b c =，则1312--=n n n c ∴n n n c c c c S ++++=-121 12231233235331---+-++++=n n n n ……①∴=n S nn n n 312332353331132-+-+++- ……②①-②得n nn n n n n S 312311313121312313131213212----⨯+=--⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯+=- ，∴()*-∈+-=N n n S n n 1313.18.解：（1）∵ab c a B C 2sin 33cos 22-=-，∴B ab a c C ab sin 332cos 222=-+，由余弦定理C ab c b a cos 2222=-+可得：B ab a c c b a sin 33222222=-+-+，化简得：B a b sin 332=，由正弦定理可得23sin =A ，∵20π<<A ，∴3π=A .（2）由（1）得3π=A ，∴6π=∠=∠DAC DAB .ACD ABDABC S S S ∆∆∆+=，∴()CAD b BAD c AD A bc ∠+∠⋅=sin sin 21sin 21，∵233=AD ，整理得()c b bc +=32.由基本不等式：()bc c b bc 632≥+=，∴9≥bc （当且仅当3==c b 时“=”成立）∵9cos 222222≥≥-+=-+=bc bc c b A ab c b a ，∴3≥a ，∴ABC ∆外接圆的直径32332sin 2≥==a A a R ，∴3≥R ，当且仅当3===c b a 时，ABC ∆外接圆的面积取最小值ππ32=R .19.解（1）由题意得这四款车性能评分的平均数为：；()3501551341639271=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯其第90百分位数为5.4254=+；（2）()05.022841.3556.595025251832512132050x =>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ.根据小概率值05.0=α的独立性检验，推断0H 不成立，即认为汽车性能与款式有关，此推断犯错误的概率不超过05.0；汽车性能一般中基础版和豪华版的频率分别为85和83，性能优秀中基础版和豪华版的频率分别为185和1813，根据频率稳定于概率的原理，可以认为性能优秀时豪华版的概率大.（3）由题意可得X 服从超几何分布，且3412===n M N ，，，由题意知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，则()5514031238===C C X P ，()552813122814===C C C X P ，()551223121824===C C C X P ，()551331234===C C X P .汽车性能汽车款式合计基础款豪华版一般201232优秀51318合计252550∴X 的分布列为X 0123P551455285512551()15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .20.解：（1）取BC 的中点F ，连接F C DF 1，，记G F C C B =⋂11，∵D 是AB 的中点，∴AC DF ∥，∵AC C B ⊥1，∴DF C B ⊥1，在矩形C C BB 11中，∵22tan 11==∠CC CF C FC ，22tan 11==∠BC BB BCB ，∴11BCB C FC ∠=∠，∴︒=∠+∠=∠+∠901111C FC CFC BCB CFC ∴︒=∠90CGF ，∴FC C B 11⊥∵111DFC A F C 平面⊂，11DFC A DF 平面⊂，F DF F C =⋂1∴111DFC A C B 平面⊥，∵111DFC AD A 平面⊂，∴DA CB 11⊥（2）∵C C BB AC 11平面⊥，C C BB CC BC 111,平面⊂，∴1CC AC BC AC ⊥⊥，，由矩形C C BB 11得1CC BC ⊥，以点C 为原点，1,,CC CB CA 所在的直线分别为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设2=BC ，()1011≤≤=λλA C E C ，则()0,00，C ，()011，，D ，()22,01，B ，()20,2，λE ，∴()011，，=CD ，()2201，，=CB ，()2111--=，，D B ，()02,21，-=λE B ，设平面CD B 1的一个法向量为()111,,z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥1CB m CDm ，∴⎩⎨⎧=+=+02201111z y y x 令21=z ，则1111-==y x ，，∴()2,1,1-=m .设平面DE B 1的一个法向量为()222,,z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥EB n D B n 11，∴⎩⎨⎧=-=--022*******y x z y x λ令22=z ，则λλλ-=-=121222y x ，，∴⎪⎭⎫⎝⎛--=2,12,12λλλn .∴()33646122=+--==λλλ，∴31=λ或3=λ（舍去），∴31111=ACEC.21.解：（1）由题意得191622=-ba，∴2222916baab=-，设直线1l的方程为x aby=，则直线'1l的方程为()43-=-xaby.在直线'1l的方程中，令0=y可得bax34-=，即点⎪⎭⎫⎝⎛-0,34baM，同理可得⎪⎭⎫⎝⎛+abN43,0.∴32916433422==-=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅ababababbaONOM，由⎪⎩⎪⎨⎧==-329162222abbaab可得⎪⎩⎪⎨⎧==3422ba，因此，双曲线C的方程为13422=-yx.（2）证明：由（1）得()()()0,72221FAA，，，，-，若直线PQ与x轴重合，则QP、为双曲线的顶点，不符合题意.设()()2211,,yxQyxP、，直线PQ的方程为7+=myx，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==-713422myxyx，整理可得：()09764322=++-myym，∴()⎪⎩⎪⎨⎧>+=∆≠-11444322mm解得：332±≠m，4394376221221-=--=+my ymmyy，，直线PA1的方程为()2211++=xxyy，直线QA2的方程为()2222--=xxyy，联立直线P A 1与Q A 2的方程可得()2211++x x y ()2222--=x x y ，∴()()()()()()12122121122112277227722222y y my y y my my y my y x y x y x x -+++=-+++=-+=-+()()()()1212121222743927437123327439437627439y m my m m m y m m y m m m m -+-+--+-=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-=∵22-+x x 37411439437123322+-=--+-=m m m mm ，解得774=x ，因此，点G 在定直线774=x 上.22.解：（1）由题意得()()xe m mx xf 1-+='，∴()()e m f 121-='，()()n e m f +-=11.∴函数()x f 在点()()11f ，处的切线的斜率()()e m f k 121-='=，∴()x f 在点()()11f ，处的切线方程为()()11-=-x k f y ，整理可得：()me n ex m y -+-=12，由已知可得，⎩⎨⎧-=-=-e me n m 2112解得⎩⎨⎧==21n m ，∴()()21+-=xe x xf ，()R x xe x f x∈='，.令()0<'x f ，则0<x ，∴()x f 在()0，∞-上单调递减，∴()()10=>f x f .又0<x 时，有()01<-xe x ，∴()()221<+-=xe x xf ，∴()21<<x f ；令()0>'x f ，则0>x ，∴()x f 在()∞+，0上单调递增，∴()()10=>f x f ；综上所述，()x f 的值域为[)∞+，1.（2）①由题意得()()112-≡+='x x xe x g x，.令()0<'x g ，则1-<x 或01<<-x ，∴()x g 在()1-∞-，上单调递减，在()0,1-上单调递减，∴当1-<x 时，()x g 的值域为()0，∞-；当01<<-x 时，()x g 的值域为()∞+，1；令()0>'x g ，则0>x ，∴()x g 在()∞+，0上单调递增，∴当0>x 时，()x g 的值域为()∞+，1.作出函数()()21+-=xe x xf 以及()1+=x e x g x的图象如下图，设()()()()t d g c g b f a f ====，且d c b a <<，，有图象可知，21<<t ，且d c <<<-01，b a <<0.令()()()x g x g x G --=，01<<-x ，则()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-'+'='222111x x e x e xx g x g x G x x .令()()()x e x x T x+--=11，01<<-x ，则()1--='xxe x T .令()1--=xxe x Q ，则()()01<+-='xe x x Q ，∴()x Q 在()0,1-单调递减，∴()()()10-<<Q x Q Q ，即()0111<-<<-ex Q ，即()x T '在()0,1-单调递减，∴()()0111<-=-'<'eT x T ，∴()x T 在()0,1-单调递减，∴()()00=>T x T ，∴()()x e x x+>-11.又01>-x ，∴011>-+>xxe x.∴()()()0111111112222<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+='x x e x x e x e x x x e x e xx G x x xx x ，∴()x G 在()0,1-单调递减，∴()()00=>G x G ，∴()()x g x g ->，∴()()c g c g ->.又()()c g d g =，∴()()c g d g ->.∵()x g 在()∞+，0上单调递增，0>d ，0>-c ，∴c d ->，∴0>+d c ；②、由①得，设()()()()t d g c g b f a f ====，21<<t ，b a <<0.∵()()xex x g -=-11，∴()()()()x f e x e x x g xx =+-=--=--211212，∴()()tc g c f 1212-=-=-，∵21<<t ，∴2121=⨯≥+t t t t ，当且仅当t t 1=，即1=t 时等号成立.∵21<<t ，∴21>+t t ，即t t>-12，即()()b f c f >-.∵()x f 在()∞+，0上单调递增，0>b ，0>-c ，∴b c >-，∴0>+c b .。
2023-2024学年山东省潍坊市高三二模数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则下列Venn 2023-2024学年山东省潍坊市高三二模数学试题✽图中阴影部分可以表示集合的是( )A. B.C. D.2.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则( )A. B.C.D.3.已知函数，则( )A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数4.在中，D 在BC 上且，点E 是AD 的中点，记，，则( )A.B.C.D.5.已知事件A 、B 满足，，则( )A.B.C. 事件A ，B 相互独立D. 事件A ，B 互斥6.某公司为实现利润目标制定奖励制度，其中规定利润超过10万元且少于1000万元时，员工奖金总额单位：万元随利润单位：万元的增加而增加，且奖金总额不超过5万元，则y 关于x 的函数可以为参考数据：，( )A.B.C.D.7.如图，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一.现制作一件三层六角宫灯模型，三层均为正六棱柱内部全空，其中模型上、下层的底面周长均为，高为现在其内部放入一个体积为的球形灯，且球形灯球心与各面的距离不少于则该模型的侧面积至少为( )A. B.C. D.8.已知双曲线的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为( )A. B. 2 C. D. 3二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则( )A. B. C. D.10.已知实数，则( )A. B.C. D.11.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则( )A.B. 函数为偶函数C.D. 曲线在处的切线斜率为12.已知四棱锥，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，点M在平面ABCD上，且，则( )A. 存在，使得直线PB与AM所成角为B. 不存在，使得平面平面PBMC. 当一定时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面ABCD围成的几何体的外接球的表面积为D. 若，以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥各面的交线长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市虹口区2024届高三二模数学试卷及答案
第10题图1第10题图2上海市虹口区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.若3sin 5x ，则cos 2x ．2.已知一个球的表面积为36 ，则该球的体积为．3.过抛物线24y x 焦点的弦AB 的中点横坐标为2，则弦AB 的长度为．4.5.6.7.8.则lim n n S9.c a 的最大值为10.O ，将篮球且AB BC11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D 中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ．若12AB AA ，点M 为棱1CC 的中点，点P 在1A B 上，则线段PA 、PM 的长度和的最小值为．第11题图12.已知关于x 的不等式 2ln 340x k x x k x 对任意 0,x 均成立，则实数k 的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.欧拉公式e cos sin i i把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos 和sin 联系在一起，被誉为“数学的天桥”．若复数z 满足32e 2i z i i，则z （）.A 14.设 f x y g x 的.A 2x对称；.C 2 ．15.②数据③已知.A 16.①对任意12,x x R ，都有 1212f x f x g x g x ；②若 g x 的值域为 ,m M ， 1f m ， 1f M ，则对任意x R 都有 f x g x ．则下列判断正确的是（）.A ①②都是假命题；.B ①②都是真命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①是真命题，②是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知等差数列 n a 满足25a ，9672a a ．（1）求 n a 的通项公式；（2）设数列 n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a ，若432m S ，求正整数m 的最小值．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，CA CB ，D 为AB 的中点，2CA CB ，13CC ．（1）求证：1//AC 平面1B CD ；（2）若1CC 平面ABC ，点P 在棱1AA 上，且PD 平面1B CD ，求直线CP 与平面1B CD 所成角的正弦值．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：（1）求样本质量差的平均数x ；假设零件的质量差 2~,X N，其中216，用x 作为 的近似值，求 5668P X 的值；（2）0.9973．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1x y a b（0a b ）的焦距为 0,1P 在椭圆 上，动直线l 与椭圆 相交于不同的两点A 、B ，且直线PA 、PB 的斜率之积为1．（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线PA 的法向量为 1,2n，求直线l 的方程；（3）是否存在直线l ，使得PAB 为直角三角形？若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若函数 y f x 满足：对任意12,x x R ，120x x ，都有12120f x f x x x ，则称函数 y f x 具有性质P ．（1）设 e xf x ， 3g x x x ，分别判断 y f x 与 y g x 是否具有性质P ？并说明理由；（2）设 sin 2f x x a x 若函数 y f x 具有性质P ，求实数a 的取值范围；（3）已知函数 y f x 具有性质P ，且图像是一条连续曲线，若 y f x 在R 上是严格增函数，求证： y f x 是奇函数．上海市虹口区2024届高三二模数学试卷-简答（第18题图1）A 11参考答案和评分标准2024年4月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）1．7252．36π3.64．,225．126.1447.8．39.112.1,1e二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.A14.D15.C16.B三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：(1)设等差数列 n a 的公差为d ，则由条件，得11158725a d a d a d ， (3)分解得13a ，2d ，故 1121n a a n d n ．……6分（2）由（1）可得123n a n ，则22(23)(21)8(1).n b n n n ……8分所以18,n n b b 故数列 n b 是以116b 为首项、8为公差的等差数列，故168(1)4(3).2m m m T m m……11分因为432m T ，所以23108m m ，所以 1290m m ，所以9m 或12m ．因为m 为正整数，所以m 的最小值是10．……14分18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)证：（1）连接B 1C 与CB 1底相交于点E ，因四边形11BCC B 为平行四边形，所以点E 是B 1C 的中点.……2分又因D 为AB 的中点，故DE 为1BAC 的中位线，从而1.AC DE ∥……4分故由111B CD DE B D A C C 平面,平面，得（第18题图2）1AC ∥平面1B CD .……6分解：(2)由条件知1,,CA CB CC 两两垂直，故以点C 为坐标原点，直线1,,CA CB CC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系;则相关点的坐标为：1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(2,0,3),C A B D A 11(0,2,3),(0,0,3).B C ……8分设点(2,0,t),P 的坐标为则1(1,1,t),(1,1,3),DP DB从而由1(1,1,t)(1,1,3)3t 20,DP DB 得2t .3所以点22(2,0,),(2,0,).33P CP 的坐标为故……10分设平面1B CD 的一个法向量为(,,),n x y z则1(,,)(1,1,0)0,(,,)(0,2,3)230,n CD x y z x y n CB x y z y z即,2,3x y z y取3,y 得(3,3,2).n (12)分设直线CP 与平面1B CD 所成的角为,则222(2,0,)(3,3,2)3sin cos ,2(2,0,)(3,3,2)3CP n (14)分19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）由条件得：样本平均数为54557216046632566360100x (2)分由22,,60,16,X N x 得：(5668)(6046024)P X P X ……4分()(22)P X P X0.68270.95450.8186.……6分解：（1）由条件知1,b c (2)分所以2224,a b c 于是椭圆 的方程为22 1.4x y ………4分（2）由条件知：直线PA 的斜率为12，方程为11,2y x 则由2211,214y x x y得，220,x x 所以 2.A x 从而(2,0).A ………6分由于1PA PB k k ，所以直线PB 的方程为21,y x 同理可得1615(,).1717B所以直线l 的斜率为150()5171662()17A Bk，………8分从而直线l 的方程为50(2),6y x 即55(56100).63y x x y或……10分（3）假设存在满足条件的直线l ，并设直线PA 的方程为1(0),y mx m 则由221,14y mx x y 得22(41)80,m x mx 所以2841A mx m．………12分由于1PA PB k k ，所以直线PB 的方程为11,y x m同理可得22188144()1B m mx m m故直线l 的斜率为11(1)(1)A B A B A B A BA B A Bmx x mx x y y m m k x x x x x x222222222222224228181(()41(4)41441488(41)(4)()()4144141111(153(1)33m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m分当PAB 为直角三角形时，只有可能90,90,PAB PBA 或于是1,.k k m m或若1k m，由111(),3m m m可得m k 从而若k m ，由11(3m m m可得22m k 也有因此，直线l的斜率为2………18分21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）()y f x 不具有性质P .理由：取122,1x x ，有21212()()e e01f x f x x x (2)分()y g x 具有性质P .理由：对任意12,x x R ，120x x ，有23322212112211221221212()()1311024f x f x x x x x x x x x x x x x x x x. (4)分（2）函数()y f x 具有性质P ，故对12,x x R ，120x x ，都有1212()()0f x f x x x ，而()y f x 是奇函数，故1212()()0f x f x x x ，即()y f x 是严格增函数， '12cos 20f x a x恒成立. (7)分若0a ，则 min '120f x a ，解得102a ；若0a ，则 '10f x 恒成立；若0a ，则 min '120f x a ，解得102a.综合上述，实数a 的取值范围为11,.22……10分证明：（3）因函数()y f x 的定义域为R ,要证明()y f x 是奇函数，只要证明：对任意实数0,x 000f x f x 即可.对任意实数0,x 设 0,f x c 则由()y f x 具有性质P 知：当00x x 时，000.f x f x x x ① (12)分设 0(),h x f x f x f x c 当000,x x x x 即时，由①得0()()0,f x f x 即0(,)x x 当时，()0.h x ② (14)分当000,x x x x 即时，由①得0()()0,f x f x 即0(,)x x 当时，()0.h x ③于是由曲线()y h x 的连续性，函数()y h x 在R 上存在零点,x 即0()()()0.h x f x f x ④……16分由函数()y f x 在R 上严格增，知：函数()y h x 在R 上严格增；所以由②知0,x x 由③知0;x x 故0.x x 故由④得：000()()()0,h x f x f x 即对任意对任意实数0,x 均有000f x f x ；因此，函数()y f x 是奇函数.……18分另证：（3）由()y f x 具有性质P ，知：当0x 时 00f x f ，当0x 时00f x f ，由零点存在定理知 000f f ，即 00f .……12分下面用反证法证明()y f x 是奇函数.假设存在0x 使得 000f x f x ，不妨设00x ，则由()y f x 在R 上严格增，知000f x f f x .若 000f x f x ，则构造函数00()2f x f x F x f x，000000(0)00222f x f x f f x f f x F f，000000()022f x f x f x f x F x f x，由零点存在定理知，存在0(),t x 0,使得()0F t ,……14分即000()2f x f x f t f x；而()y f x 在R 上严格增，同样由单调性知00000()()()()102f t f x f x f x t x t x ，从而有00000()()()()102f t f x f x f x t x t x ，与()y f x 具有性质P 矛盾.……16分若 000f x f x ，构造函数00()2f x f x G x f x，同理也可推出与()y f x 具有性质P 矛盾.综合上述，存在0x 使得 000f x f x 的假设不能成立，即对任意R x 都有0f x f x ，故()y f x 是奇函数.……18分。
2024届上海市闵行区高三二模数学试题及答案
上海市闵行区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合210A x x ， 2,1,0B ，则A B ．2.若复数z 满足 234i z i （i 为虚数单位），则z．3.4.在 2x5.6.7.现有5A 项目，8.函数y 9.已知a 当 取任意实数时，c 10.双曲线B 两点，若1F B12F A 11.a 的取值范围为．12.已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形．例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形．当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设a R ，则“21a ”是“31a ”的（）.A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 既非充分又非必要条件．14.已知 y f x ，x R 为奇函数，当0x 时， 2log 1f x x ，则集合0x f x f x 可表示为（）.A 2, ；.B ,2 ；.C ,22, ；.D 2,02, ．15.某疾病预防中心随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如下表：假设H 2P 2P ②有③2.A 016.已知f关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合 表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合 表示的平面图形的面积不大于2512．.A ①是真命题，②是假命题；.B ①是假命题，②是真命题；.C ①是真命题，②是真命题；.D ①是假命题，②是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c，且2sin 0b A ．（1）求角B ；（2）求sin sin A C 的取值范围．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ，PA 平面ABCD ，2AB AD AP ．（1）求证：PC AB ；（2）求二面角C BP A 的大小．ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各白从给定的10个问题中随机抽取9个作答，已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个．（1）求小张能全部回答正确的概率；（2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；（3）在这轮挑战中，分别求出小张和ChatGPT答对题数的期望与方差．如图，已知椭圆221:14x C y 和抛物线22:2C x py （0p ），2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S 、OAB S ．（1）求p 的值；（2）求OM ON的值；（3）的取值范围．己知定义在 0, 上的函数 y f x 的表达式为 sin cos f x x x x ，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列 n x （1n ，n N ）．（1）求函数 y f x 在区间 0, 上的值域；（2）求证：函数 y f x 在区间,1n n （1n ，n N ）上有且仅有一个零点；（3）求证： 11n n n x x n．上海市闵行区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案与评分标准一.填空题1．{2,1} ；23．45；4．160 ；5．18；6．121；7．96；8．340x y ；9．；10．4；11． ,2 ；12．20.二.选择题13．B ；14．D ；15．D ；16．A ．三.解答题17．[解]（1）2sin 0b A,2sin sin 0A B A ,……………4分又 sin 0A,sin 2B, 3B .………………………………6分（2） ABC △为锐角三角形，A (,62,则2sin sin sin sin()3A C A A3sin cos 22A A6A ，…10分sin sin A C3(2.………………………………14分18．[解]（1）连接AC ,ABCD 为等腰梯形，//AD BC ,120BAD ,2AB AD；4,BC AC ，90BAC ，………………2分PA 平面ABCD ,所以由三垂线定理得PC AB .……………………6分（2）取BP 的中点H ，连接CH AH 、，则AH PB ，因为4PC BC，所以CH BP ,所以CHA 为二面角C BP A 的平面角，…………………8分因为,PA AC AC AB ，PA AB A ，所以AC 平面ABP ,所以AC AH ……………………10分在Rt AHC △中，CA,AH所以tan CHA 所以二面角C BP A的大小为.……………………14分19．[解]（1）设小张答对的题数为X ，则999101(9)10C P X C .………4分（2）设事件A 表示“输入的问题没有语法错误”，事件B 表示“一个问题能被ChatGPT 正确回答”，2由题意知()0.1P A ，()0.98P B A ，0.18P B A ，则()1()0.9P A P A ，………………………………6分P B P B A P B A P B A P A P B A P A 0.980.90.180.10.9 ………………………………8分（3）设小张答对的题数为X ，则X 的可能取值是89、，且8191910C C 9(8)C 10P X ，99910C 1(9)C 10P X ，………………………………10分设ChatGPT 答对的题数为Y ，则Y 服从二项分布9(9,10B ，91()898.11010E X，()90.98.1E Y np ，……………………12分22819811()(8(9)0.0910101001D X ，()90.90.10.81D Y npq .……………………14分20．[解]（1）抛物线2C 的焦点为 0,1F ，故2p .……………………4分（2）若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx ，点 11,M x y 、 22,N x y ，联立214y kx x y可得2440x kx ，216160k 恒成立，则124x x ,……………………………6分221212121241344x x OM ON x x y y x x .……………………10分（3）设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，其中10k ，20k ，联立12244y k x x y 可得 221414k x，解得x ………………12分点A在第三象限，则A x ，点B在第四象限，同理可得B x ，……………………………14分且121212121164y y x x k k x x1222OMN OAB OM ON x x S S OB OA△……………………………16分2，当且仅当112k 时，等号成立.…………18分21．[解]（1）由cos cos sin sinf x x x x x x x，………………2分当0,x时， 0f x，即函数y f x在区间0, 上是严格增函数，且 00f ，f，所以f x在区间0, 上的值域为0, .……………………………4分（2）当,1x n n时，①当n是偶数时， 0f x，函数y f x在区间,1n n上是严格增函数；…………………6分②当n是奇数时， 0f x，函数y f x在区间,1n n上是严格减函数；…………………8分且 11nf n n，故2110f n f n n n，所以由零点存在定理可知，函数y f x在区间,1n n上有且仅有一个零点.…………………10分（3）由（2）可知函数f x在,1n n上有且仅有一个零点nx，且满足 sin cos0n n n nf x x x x，即tann nx x（几何意义：nx是y tan x与y x交点的横坐标）…………………………12分又因为 12nf n，故2f n f n n，所以由零点存在性定理可知，函数y f x在,2n n上有且仅有一个零点nx，于是1,1,12n nx x n n，1,22n nx x111111tan tantan tan1tan tan1n n n nn n n nn n n nx x x xx x x xx x x x (14)分①因为1n nx x，得1tan0n nx x所以1n nx x，即1n nx x；（或者111tan tan tan tan0n n n n n nx x x x x x1tan tann nx x1n nx x） (16)分34②因为 112222133322tan 12n n n n n n n x x x x x x x n n n由（1）可知，当0,2x 时，有tan x x 故 11tan n n n n x x x x n ，所以1n n x x n ；由①②可知 11n n n x x n.………………………………18分。
2024北京昌平区高三二模数学试题及答案
2024北京昌平高三二模数 学本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}{21,0,1,2,3,20A B x x x =-=->∣∣，则A B = （ ）A ．{}0,1,2B ．{}1C ．{}1,0,1,2-D ．1,3-2．已知数列{}n a 满足122,4n n a a a +==，则数列{}n a 的前4项和等于（ ）A ．16B ．24C ．30D ．623．已知抛物线()220y px p =>的焦点和双曲线2213y x -=的右顶点重合，则p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．64．在61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．－15B ．15C ．30D ．3605．若01,1a b c <<<>，则（ ）A ．bac c<B ．log log c c a b>C ．sinsin c ca b>D ．c c a b <6．若圆22860x x y y m ++-+=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],9-∞B ．(],16-∞C ．[)9,25D ．[)16,257．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且,//m ααβ⊂，则“n β⊥”是“n m ⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()()24,1,ln 1, 1.x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩若对任意的x 都有()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．[]4,0-C ．[]3,0-D ．(],2-∞9．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过t min 后的温度为y ℃，可选择函数()600.920 0ty t =⨯+≥来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）A ．2.5min B ．4.5min C ．6min D ．8min10．已知数列n a 满足434121,1,n n n n a a a a --=-==，该数列的前n 项和为n S ，则下列论断中错误的是（ ）A ．311a =B ．20241a =-C ．∃非零常数*,N T n ∀∈，使得n T n a a +=D ．*n ∀∈N ，都有22n S =-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知复数1iiz +=，则z z ⋅=______．12．已知ABC △中，34,2,cos 4a b c A ===-，则ABC S = ______．13．已知正方形ABCD 的边长为1，点P 满足()0AP AB λλ=> ．当13λ=时，AC PD ⋅= ______；当λ=______．时，PC DP ⋅取得最大值．14．已知p ：设函数()f x 在区间()0,+∞上的图象是一条连续不断的曲线，若()()120f f ⋅>，则()f x 在区间()1,2内无零点．能说明p 为假命题的一个函数的解析式是______．15．已知曲线:4,0G x x y y +=为坐标原点．给出下列四个结论：①曲线G 关于直线y x =成轴对称图形；②经过坐标原点0的直线l 与曲线G 有且仅有一个公共点；③直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为2π-；④设直线:2l kx γ=+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．本小题13分已知函数())cos 3cos f x xx x a =+-的图像经过点3,62π⎛⎫⎪⎝⎭．（I ）求实数a 的值，并求()f x 的单调递减区间；（II ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围．17．本小题14分如图，在棱长均为2的四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 是1CC 的中点，BC 交平面1AD E 于点F ．（I ）求证：点F 为线段BC 的中点；（II ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱1111ABCD A B C D -存在且唯一确定．（i ）求二面角1D AF B --的余弦值；（ii ）求点1B 到平面1AD EF 的距离．条件①：1DD ⊥平面ABCD ；条件②：四边形ABCD 是正方形；条件③：平面11AA D D ⊥平面11CC D D ．注：如果选择的条件不符合要求，则第II 问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）某行业举行专业能力测试，该测试由,,A B C 三项组成，每项测试成绩分为合格和不合格，三项测试结果相互独立．当三项测试成绩均合格时，认定分为10分；当C 项测试成绩合格，且,A B 两项中恰有一项成绩合格时，认定分为5分；当C 项测试成绩不合格，且,A B 两项测试成绩都合格时，认定分为2分；其它测试成绩，认定分为0分．甲在参加该专业能力测试前进行了20次模拟测试，测试成绩合格的频数统计如下表：测试项ABC频数161510用频率估计概率．（I ）试估计甲参加该专业能力A 项测试成绩合格的概率；（II ）设X 表示甲获得的认定分，求X 的分布列和数学期望()E X ；（III ）若乙参加该专业能力测试，三项测试成绩合格的概率均为23．试估计甲、乙两人获得认定分的大小，并说明理由．19．本小题15分已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为12，短轴长为（I ）求椭圆E 的方程；（II ）设,A B 是椭圆E 的左、右顶点，F 是椭圆E 的右焦点．过点F 的直线l 与椭圆E 相交于,M N两点（点M 在x 轴的上方），直线,AM BN 分别与y 轴交于点,P Q ，试判断OP OQ是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．20．（本小题15分）已知函数()e xaf x x =+．（I ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值；（III ）若0a >，当0x >时，求证：()()ln ln f a x f a x ->+．21．本小题15分已知12:,,,N Q a a a 为有穷正整数数列，12N a a a ≤≤≤ ，且12N s a a a =+++ ．从Q 中选取第1i 项，第2i 项， ，第m i 项()12m i i i <<< ，称数列1,i i i a a ，,m i a 为Q 的长度为m 的子列．规定：数列Q 的任意一项都是Q 的长度为1的子列．若对于任意的正整数t s ≤，数列Q 存在长度为m 的子列12,,,m t t t a a a ，使得12m t t t a a a t +++= ，则称数列Q 为全覆盖数列．（I ）判断数列1,1,1,5和数列1,2,4,8是否为全覆盖数列；（II ）在数列Q 中，若21s N ≤-，求证：当2n N ≤≤时，1211n n a n a a a -≤≤++++ ；（III ）若数列Q 满足：11a =，且当2n N ≤≤时，1211n n a a a a -≤++++ ，求证：数列Q 为全覆盖数列．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
2024届上海市静安区高三二模数学试题及答案
上海市静安区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.中国国旗上所有颜色组成的集合为．2.已知i 是虚数单位，复数2z im i是纯虚数，则实数m 的值为．3.函数1lnxy 的定义域为． 4.5.N 闭区间6.2,6 内，7.8.①a 9.10.0,1,2i ）个次品的概率如下：则各批产品通过检查的概率为．（精确到0.01）11.已知实数 0,6a ，记 f x x a．若函数 y f x 在区间 0,2上的最小值为2 ，则a 的值为．12.我们称右图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点 ,P x y都满足方程2220x x y y ．现将一边在x 轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点,2M到“爱心线”上任意一点的最小距离为d ，则用d 表示心吧面积的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.函数2sin cos y x x （x R ）的最小正周期为（）.A14.设）.A // ；.C ，则// ．15.设.A16.于任意的,a b Z ，方程x a b 与a y b 都有整数解；而实数集R 关于实数的乘法（ ）不构成群，因为方程01y 没有实数解．以下关于“群”的真命题有（）①自然数集N 关于自然数的加法（ ）构成群；②有理数集Q 关于有理数的乘法（ ）构成群；③平面向量集关于向量的数量积（ ）构成群；④复数集C 关于复数的加法（ ）构成群．.A 0个；.B 1个；.C 2个；.D 3个．第12题图第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a ，5b ，7c ．（1）求角C 的大小；（2）求 sin A C 的值．18.（本题满分15分，第1小题满分5分，第2小题满分10分）某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间 160,165， 165,170， 170,175，175,180， 180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）．（1）求身高不低于170cm 的学生人数；（2）将身高在 170,175， 175,180， 180,185区间内的学生依次记为A 、B 、C 三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．①求从这三个组分别抽取的学生人数；②若要从6名学生中抽取2人，求B 组中至少有1人被抽中的概率．第19题图1第19题图219.（本题满分15分，第1小题满分6分，第2小题满分9分）如图1所示，ABCD是水平放置的矩形，AB ，2BC ．如图2所示，将ABD 沿矩形的对角线BD 向上翻折，使得平面ABD 平面BCD ．（1）求四面体ABCD 的体积V ；（2）试判断与证明以下两个问题：①在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得l AD ？②在平面BCD 上是否存在经过点C 的直线l ，使得//l AD ？第20题图江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点A 与点B ．现在准备以地平面上的点C 与点D 为起点建造上、下桥坡道，要求：①BD AC；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为1:（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．（1）请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；（2）并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）（3）若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土.请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由（如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．已知k R ，记 xxf x a k a （0a 且1a ）．（1）当e a （e 是自然对数的底）时，试讨论函数 y f x 的单调性和最值；（2）试讨论函数 y f x 的奇偶性；（3）拓展与探究：①当k 在什么范围取值时，函数 y f x 的图像在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数 y f x 的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）上海市静安区2024届高三二模数学试卷-简答）2211030,3032210100,03250040,030x x x x x x ；（2）63.9m ；（3）略．参考答案与评分标准一、1．{红，黄}；2．21；3．)1,2( ；4．2；5．1360；6．5π3；7．1 ；8．②③④；9．5；10．0.91；11．3；12．225d ．二、13．A ；14．C ；15．D ．16．B ．三、17．解：(1)由余弦定理，有212cos 222ab c b a C ，所以3π2 C …………………6分(2)解1：由正弦定理，有C c B b sin sin ，即.1435sin sin c C b B 所以B B C A sin )πsin()sin( .1435………………………6分解2：由正弦定理，有C cA a sin sin ，即.1433sin sin c C a A 所以.1413sin 1cos 2 A A 故，.1435sin cos cos sin )sin( C A C A C A ………………………6分解3：由余弦定理，有14132cos 222 bc a c b A ，所以.1433sin A 故，.1435sin cos cos sin )sin( C A C A C A ………………………6分18．解:(1)由频率分布直方图可知515(0.070.040.020.01)x ，所以1[150.14]0.065x ．身高在170cm 以上的学生人数为100(0.0650.0450.025)60 (人)．(2)A ,B ,C 三组的人数分别为30人,20人,10人.因此应该从A ,B ,C 三组中每组各抽取630360(人),620260 (人),610160(人)．………………………4分设A 组的3位同学为1A ,2A ,3A ,B 组的2位同学为1B ,2B ,C 组的1位同学为1C ,则从6名学生中抽取2人有15种可能：12(,)A A ,13(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A C ,23(,)A A ,21(,)A B ,22(,)A B ,21(,)A C ,31(,)A B ,32(,)A B ,31(,)A C ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .其中B 组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B ,11(,)B C ,21(,)B C .所以B 组中至少有1人被抽中的概率为93155P．……………6分19．解：(1)过点A 作AE BD ，垂足为E ．因为平面 ABD 平面BCD ，有AE 平面BCD，则AE ……………………4分所以11122332BCD V S AE△．.........2分(2)①在平面BCD 上存在经过点C 的直线l ，使得AD l ． (1)证明：过点C 作CF BD ，垂足为F ．因为AE 平面BCD ，则DE 为AD 在平面BCD 内的投影．由三垂线定理，CF AD ，则存在l AD ．…4分②在平面BCD 上不存在经过点C 的直线l ，使得AD l //…1证明：假设存在//l AD ，因为AD 不在平面BCD 内，则//AD 平面BCD ，与AD 平面BCD D 矛盾．…3分所以不存在//l AD ．注：用异面直线判断定理证明给满分．20．解1：如图，以线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系.…………………1分则，圆O 的方程为10022 y x ；由221tanC ，10 OE 得220 ，30 CO ．过点C 作圆O 的切线DE ，切点为E ，直线CE 的斜率为221，其方程为)30(221x y ．所以直线OE 的斜率为22 ，其方程为x y 22 ，将其代入10022 y x ，得点E 的坐标为3220,310．经过点D 作圆M 与圆O 切于点F （圆O 与y 轴的交点），设圆M 的半径为r ，则，222DM OM OD ，即222)10(30r r ，解得50 r ．所以，圆M 的方程为22250)40( y x ，故，用函数表示过桥道路为：.300,402500,0310,100,31030),30(22122x x x x x x y ……………………3分BD(2)解1：由点E 的坐标为3220,310，得22arctan 2πEOF ，所以圆弧EF 的长为22arctan 2π10 3.398，……………………2分由点D 的坐标为 0,30，点M 的坐标为 40,0 ，得43arctan DMF ，所以圆弧FD 的长为43arctan 50 32.175，……………………2分故，过桥道路的总长度为 22022arctan 2π1043arctan 50 9.63 m ．……2分解2：(1)如图建系…………………………………………………………1分作圆N 与x 轴相切于点D ，并和圆O 切于点G ，设圆M 的半径为r ，则，222ON DN OD ，即222)10(30 r r ，解得40 r ．所以，圆N 的方程为22240)40()30( y x ，将直线OG 的方程代入10022 y x 得，点G 的坐标为6,8故，用函数表示过桥道路为：.306,)30(160040,6310,100,31030),30(22122x x x x x x y …………………3分(2)因为3220,310OE ，)8,6( OG ，则15283,cosOG OE OG OE ，即，15283arccos , OG OE ．所以圆弧EG 的长为15283arccos10 9.833．……………………2分又由点G 的坐标为)8,6(，得34arctan 2π OND ，所以圆弧GD 的长为 34arctan 2π40 25.740．………………………2分故，过桥道路的总长度为 22015283arccos10 34arctan 2π40 63.9m ． (2)分(3)设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，则桥拱左侧铺设的是以曲边形ACE 为底面，高为10米的柱体；桥拱右侧铺设的是以曲边形BDF (BDG )为底面，高为10米的柱体；……………………2分提问：铺设坡道共需要混凝土多少立方米？……………………2分方案1：AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOFDOM DMF BDF S S S S 扇形扇形曲边形 所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DOM DMF AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形 )3m ．………2分方案2：AOE COE ACE S S S 扇形曲边形BOGDNG ODN BDG S S S S 扇形扇形曲边形 所以，铺设过桥路需要混凝土10(BOF DNG ODN AOC COD S S S S S 扇形扇形扇形 )3m ．………2分注:1、用直线和圆的方程表示坡道给满分；2、在拱桥右边设计与圆拱相切，切点不在圆拱最高点的上凸圆弧坡道，若计算正确，可酌情给满分；3、在拱桥右边设计与圆拱相切，与水平线相交的下凸圆弧作为坡道，若计算正确，可酌情给满分．4、若学生在拱桥左边设计圆的割线段，建议各扣1分；5、在拱桥右边设计相交圆弧作为坡道，但计算正确，建议各扣1分．21．解：(1)xx k x f e e )('，当0 k 时，0)(' x f ，故函数)(x f y 在R 上为严格增函数；……………………1分函数)(x f y 在R 上无最值．……………………1分当0 k 时，令0)(' x f ，得k x ln 21，所以，当k x ln 21,时，0)(' x f ，函数)(x f y 在k ln 21,上为严格减函数；…1分当 ,ln 21k x 时，0)(' x f ，函数)(x f y 在,ln 21k 上为严格增函数．…………1分函数)(x f y 在R 上有最小值0，无最大值．……………………1分(2)因为“)(x f y 为偶函数” “对于任意的R x ，都有)()(x f x f ”对于任意的R x ，都有R x ，并且x x x x a k a a k a ； 对于任意的R x ，0))(1( x x a a k 1 k ．故，1 k 是)(x f y 为偶函数的充要条件．……………………3分因为“)(x f y 为奇函数” “对于任意的R x ，都有)()(x f x f ”对于任意的R x ，都有R x ，并且x x x x a k a a k a ； 对于任意的R x ，0))(1( x x a a k 1 k ．故，1 k 是)(x f y 为奇函数的充要条件．……………………3分当1 k 时，)(x f y 是非奇非偶函数.(3)①当0 k 时，函数)(x f y 有对称中心0),log(21k ．即，当0 k 时，对于任意的R x ，都有R x ，并且))((log x k f a )(x f ．………2分证明：当0 k 时，令0)( x f ，解得)(log 21k x a为函数)(x f y 的零点由xx a k a x f )(得，))((log x k f a ))((log )(log x k x k a a a k a xx a a k )(x f ．……………………2分②答案1：当0 k 时，函数)(x f y 有对称轴k x a log 21．即，当0 k 时，对于任意的R x ，都有R x ，并且)(log x k f a )(x f ．………………3分参考证明：当0 k 时，由xx a k a x f )(得，)(log x k f a )(log log x k xk a aa k a x x a a k )(x f ．答案2：当1 k 时，)(x f y 的图像关于y 轴对称，即，对于任意的R x ，都有)()(x f x f ．………………………………………………1分答案3：当0 k 时，函数)(x f y 的零点为)(log 21k x a，即.0)(log 21k f a …………1分答案4：表述函数)(x f y 的单调性和最值，并写出定义形式各给1分.。
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江苏省泰州中学附属初级中学～九年级物理第二次模拟考试试题（考试时间：90分钟满分：100分）第一部分选择题（共24分）一、选择题（每题只有一个选项正确，选对得2分，选错不得分，共24分）1. 通过对“声现象”的学习，你认为下列说法中正确的是A．“闻其声而知其人”主要是依据声音的响度来判断的B．“隔墙有耳”说明声音能在固体中传播C．“禁止鸣笛”是为了阻断噪声的传播D．月球上两名宇航员可以面对面直接交谈2. 下列数据最接近实际的是A．中考考场的室温约为50℃ B．物理课本长度约为26cmC．教室里日光灯正常工作时电流约为0.5A D．一块橡皮的质量约为200g 3．如图1所示，下列物态变化中，属于凝华的是图1A．甲图中，正在消融的冰山B．乙图中，碘微微加热后变成紫红色蒸气C．丙图中，水蒸气遇冷后在铁丝网上形成霜D．丁图中，烧水时壶嘴喷出“白气”4．下列事例中，能看到物体实像的是A．在岸边看到水中游动的鱼 B．在电影院看到银幕上的画面C．通过放大镜看报纸上的字 D．在水中通过潜望镜看到水面上的景物5．我国的“嫦娥工程”将按“绕月、落月和驻月”三步进行，计划实施落月探测。
已知月球上无大气、无磁场、弱重力。
下列各项中，在月球上不能．．实现的是A．指南针指示南北方向 B．电子停表测时间C．弹簧测力计测力 D．手电筒照明6. 关于能源的利用，下列说法正确的是A．大量使用石油产品会造成大气污染，所以应该停止开采石油B ．和平利用核能特别要注意防止核泄漏，以免造成环境污染C ．修筑拦河坝建造水电站利用水能发电，有百利而无一害D ．天燃气是一种清洁能源，人类可以无穷无尽地开发7．如图2所示的器件中属于省力杠杆的是8. 如图3所示实验，试管口木塞冲出过程A ．试管口出现的白雾是水蒸气B ．试管口出现白雾说明水蒸气内能增加C ．能量转化情况与内燃机压缩冲程相同D ．水蒸气对木塞做功，水蒸气的内能减少9．将空矿泉水瓶慢慢压入水中，直到完全浸没。
下列对矿泉水瓶受到的浮力分析不正确的是（ ）A ．矿泉水瓶受到水对它的浮力B ．浮力的方向竖直向上C ．排开水的体积越大，受到的浮力越大D ．浸没后，压入越深，受到的浮力越大10．对图4各坐标轴的说法，不正确．．．的是A ．图甲说明物体所受的重力跟它的质量成正比B ．图乙表示物体处于静止状态C ．图丙表示灯丝两端的电压和电流不成正比.D ．图丁警示我们一个多世纪以来人类能源消耗急剧增长11．在实验中经常遇到现象或效果不明显的问题，我们需要对实验进行优化改进，下列采取的措施合理的是A ．在测量纸锥下落的速度时，为了方便时间的测量，选用锥角较小的纸锥B ．在探究平面镜成像时，为了使棋子的像清晰一些，用手电筒对着玻璃板照C ．在探究红外线的热效应时，为了使温度计示数变化明显，将玻璃泡涂黑D ．在估测大气压值时，为了便于弹簧测力计的测量，选用较大容积的注射器12. 小悦将额定电压相同的两只小灯泡L 1、L 2串联接在电源上，如图5所示．闭合开图2 A ．坩埚钳 Ｂ．剪刀 Ｃ．筷子 Ｄ．镊子丁O 1900 2000 甲 G /N O m/kg 丙 O U /V 乙 O V /(m/s) 5 t/s 图4 图3关后发现L1发出明亮的光，却看不到L2发光，造成此现象的原因可能是A．L2断路B．L1的电阻相对太小C．L2的额定功率相对太大D．L1的实际电压相对太小第二部分选择题（共76分）二、填空题（每空1分，共27分）13．如图6所示，位于我市市中心的凤城河水清可鉴。
湖水“水清可鉴”是由于光可以在水面发生____________（选填“镜面”或“漫”）反射；春日里更是分外妖娆，鸟语花香，从物理学的角度分析，“鸟语”是通过______________传播到人的耳中的；人们闻到“花香”说明__________ _____。
14.今年5月8号，扬州泰州机场正式开通，CA1842航班7:25从北京起飞，9:25到达扬泰机场，航线距离约为1000千米，则飞机飞行的速度约为km/h.15.在第21届冬奥会比赛中王濛夺得短道速滑女子冠军，她成为冬奥会上的新晋三冠王．(1)王濛在冰场上曲线滑行时(如图7所示)，冰场上的部分冰会_________(填一物态变化名称)，这一过程中冰的内能．(2)王濛在冰面上滑行时，冰刀所经过的地方会出现水痕，从冰刀的设计与普通鞋不同，你猜想冰的熔点随着压强的增大而____________(填升高或降低)．16．在探究液体内部压强的实验中，小宇同学认为影响液体压强大小的因素有液体的密度和深度，并运用如图8所示的情景对其中的一种猜想进行了实验验证．小宇验证的是液体压强和________________的关系，实验过程中控制的变量是________________．17.如图9所示，工人用滑轮组将重400N的货物匀速提升2m，拉力F为250N，滑轮组的机械效率为，如果这个过程用时5秒，则工人拉绳的速度是 m/s．18．如图10所示电路中，电源电压保持不变，闭合开关S后，将滑动变阻器R2的滑图8图5图7图9图6图10片P 向右移动，在此过程中，电流表A 示数___________，电压表V 1示数__________，电压表V 2示数_________．(选填“变大”、“变小”或“不变”)19．氢气的热值为1.4⨯108J ／kg ，比煤和石油要高出许多，且燃烧 造成污染（填“会”或“不会”）．3kg 氢气完全燃烧放出的热量是___________J ；若这些热量的50％被水吸收，能使_______kg 的水温度升高50℃．已知 c 水=4.2 ⨯103J/（kg·℃）20．小林同学在农村老家发现一种“舂米对”的古代简单机械，其示意图如图11所示．使用这个装置时，人在A 端用力把它踩下后立即松脚，B 端就会立即下落，打在石臼内的谷物上，从而把谷物打碎．用力将它踩下去的过程中，动力是_________（自身的重力/脚踩的力），脚松开到打在石臼内的谷物时，自身的重力是___________（动力/阻力）．21. 6月4日，李娜在法网夺冠，创造了亚洲历史，为祖国增添了光彩。
⑴ 广大观众通过卫星电视见证了这一历史时刻，卫星是利用 传递信息的（选填“电磁波”、“超声波”或“次声波”），家用电视遥控器有时对着墙也能打开电视机是因为红外线被墙__________。
⑵ 比赛中李娜发球时，球拍将球击出，说明力可以改变物体的 ，同时球拍网会发生形变，说明物体间力的作用 ，网球高速飞向对方场地，以网球为参照物，对方场地是 的。
22. 很多同学在喝完袋装酸奶后，又用力吸一下，会发现奶袋变瘪了，这个实验可以证明_______是存在的。
高压锅容易把食物煮烂，是因为锅内水面上方的气压 1个标准大气压，锅内水的沸点 100℃。
（填“大于”或“小于”）三、解答题（49分）23．(6分)按要求完成下列各图．（1）如图12所示，画出光经过透镜后的折射光线．（2）如图13所示，一个重可以忽略的气球用绳子系住浸在水中，气球对绳子的拉力3Ｎ．试用力的示意图表示气球所受浮力和绳子对小球的作用力．（3）如图14所示，如图所示是一个已知N 、S 极的通电螺线管，在图中标出通电螺线管外部磁感线(虚线)的方向和电源的正、负极．。
24．（6分）一个质量为4×103 kg 、底面积为1m 2的货物G 静止于水平地面上，求：图11 图13图12 图14(1)它对地面的压强是多少？(g 取10N/kg)(2)当用如图15所示的起重机将该货物在40s内匀速提起10m 时，起重机对重物做了多少功？功率是多少？25.（6分）电吹风是现代家庭的常用电器。
如图16甲所示是电吹风的电路原理图，R 是电热丝，M 是带动风扇转动的电动机，某电吹风的主要技术参数如图乙所示：(1)当只闭合S 1时，电吹风工作lmin 消耗的电能是多少J?(2)当同时闭合S 1、S 2时，电吹风工作时通过R 的电流为多大?(3)当电吹风吹热风时，1min 内电流通过R 产生的热量是多少J?26．（6分）利用光具座探究凸透镜成像的规律． （1）如图17所示，一束平行于凸透镜主光轴的光线经过凸透镜后，在光屏上形成了一个最小、最亮的光斑．由图可知，该凸透镜的焦距是_______cm ．（要求记录测量结果有估读数字）（2）实验过程中，当把烛焰放在距凸透镜16cm 处时，在凸透镜另一侧移动光屏，光屏上得到了一个倒立、_______的实像，这种成像情况通常应用在_______上（选题“照相机”、“投影仪”或“放大镜”）．由于蜡烛燃烧变短，使烛焰的像成在了光屏中心的上方，要使像仍然成在光屏的中心，如果只调整光屏，应将光屏向_______调．（3）为了做进一步的探究，让凸透镜和烛焰的位置保持不变，将光屏远离凸透镜2cm ，20 30 40 50 cm 光屏图17 图16图15结果光屏上原来清晰的烛焰像变模糊了，接着将一个近视眼镜放在透镜与烛焰之间并做适当调整，结果光屏上烛焰的像再次变清晰，此过程探究的是近视眼的矫正方法．近视眼镜的镜片是_______ 透镜，它对光线有_______作用．27. （6分）在“探究摩擦力大小与哪些因素有关”的实验中，同学们提出了以下猜想：A ．与物体的重力大小有关B ．与物体运动的速度大小有关C ．与物体间的接触面积大小有关D ．与物体间接触面的粗糙程度有关实验室有一个较长且光滑程度一致的木板、一个带钩的各面粗糙程度相同长方体木块和一只弹簧测力计可供使用．小娟同学用弹簧测力计匀速拉动木块在水平放置的木板上进行三次实验，如图18所示．实验数据如下表所示：次数 木块运动快慢 弹簧测力计示数1很慢 1.2N 2慢 1.2N 3较快 1.2N （1）表中数据可以验证猜想 （填序号）的正确或者错误．（2）实验中采用了控制变量法，应注意保持木块与桌面间的 不变，可得到的结论是 。
（3）实验中要水平匀速拉动弹簧测力计，目的是 。
（4）某同学在实验中还发现：在木块还没有被拉动的情况下，弹簧测力计仍然有示数，且示数逐渐增大，直到拉动木块为止．该现象表明：物体在静止时也可能受到 力的作用，且该力的大小与弹簧测力计的拉力 。
28. （6分）小华总结所做的物理探究实验发现：（1）当要研究的物理量不易直接测量时，都要想办法把它们的大小间接表示出来，这图18 探究动能的大小与哪些因素有关甲 比较水和沙子吸热本领的大小 乙图19种研究物理问题的方法叫转换法．如图19：甲实验中小球动能的大小是通过观察比较物块B 反映出来的．乙实验中水和沙子吸收热量的多少是用 （选填“加热时间”或“温度计示数”）来反映的． （2）当要研究的物理量与多个因素有关时，都要采用控制变量法．如图19：甲实验研究小球动能的大小与速度的关系就要多次改变 的大小，同时控制小球的 不变．乙实验中只有物质的 不同，其他因素必须控制相同（例如烧杯的规格相同、水和沙的 相等、酒精灯加热方式相同等）．29. （8分）小名在做“伏安法测电阻”的实验时，设计的电路如图20所示．（1）按所示电路图，用笔画线代替导线将实物连接起来,电压表选用0～3V 量程．（2分）（2）闭合开关后，发现电流表示数为零，电压表有明显偏转，则电路中发生断路的器件是 ．（3）改正电路正确无误后开始实验．前两次的实验数据已填在下面的表格内，第三次实验时电流表的示数如右图所示，请将下面表格中的空白处填写完整．（计算结果保留一（4）小名想测额定电压为“3.8V” 的小灯泡正常发光时的电阻值(约10Ω) ．他的 实验步骤是： , 拆下定值电阻，将标有“3.8V”的小灯泡接入原电路定值阻 的位置，并将变阻器阻值调至最大；调整 ；闭合开关，再移动滑片至小灯泡正常发光时，读出电流表的示数，算出小灯泡电阻．30. （5分）在探究“导体产生的热量与导体两端的电压、导体的电阻和通电时间关系”的实验中，实验装置如图21所示，两烧瓶A 、B 中煤油质量相等，两只温度计的示数实验次数 电流/A 电压/V 电阻/Ω测量结果 R ＝ Ω10.30 2.5 8.3 20.26 2.1 8.1 3 1.6 图20相同，电阻丝的阻值R1＞R2．（1）烧瓶中不装水而装煤油，是因为水的比热容较（选填“大”或“小”）．开关接在干路，是为了控制相同．（2）闭合开关后，发现B中温度计的示数上升较快．则B中电阻丝放出的热量比A中放出的热量多（选填“多”或“少”）．由此得出结论：当导体两端的电压和通电时间相同时，导体电阻越大，导体产生的热量越（选填“多”或“少”）．（3）电烘箱高温和低温两档的调节是通过改变接入电路的电阻大小来实现的．由上述实验可知：低温档接入电路的电阻比高温档接入电路的电阻要（选填“大”或“小”）一些．图21。