工程力学23 梁的正应力计算
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将应力表达式代入(1)式，得
Sz
ydA 0
A
中性轴通过横截面形心
将应力表达式代入(2)式，得
I yz
yzdA 0
A
自然满足
将应力表达式代入(3)式，得
M yE ydA M E y2dA
A
A
பைடு நூலகம்
E
M Iz
1M
E Iz
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
工 程力 学
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS 梁的正应力计算
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
1、实验（ Experiment）
纯弯曲梁加载过程
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
（1）变形现象（Deformation phenomenon )
纵向线 各纵向线段弯成弧线，且靠近顶 端的纵向线缩短，靠近底端的纵 向线段伸长
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
2、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
dx
图（a）
dx
o o
zb
o yx b
y
图（b）
d
o’
b’ z
y
o’
x
b’
图（c）
应变分布规律 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
3、物理关系(Physical relationship)9
Hooke’s Law E
横向线 各横向线仍保持为直线，相对转 过了一个角度，仍与变形后的纵 向弧线垂直
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
（2）提出假设 ( Assumptions）
(a) 平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁 轴线.
(b) 单向受力假设 纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压.
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
推论（Inference）:
横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长，由于 变形的连续性，中间必有一层纵向线段 无长度改变。此层称为 中性层 (Neutral surface)。中性层与横截面的交线称为 中性轴( neutral axis).
ENGINEERING MECHANICS
M.y
Iz
(Flexure Formula)
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式
式中: M
横截面上的弯矩(bending moment in the beam)
Iz
横截面对中性轴的惯性矩 (moment of inertia of the
横截面上内力系为垂直于横截面的空间平 行力系
这一力系简化，得到三个内力分量
FN
A dFN
dA 0
A
(1)
M y
A dM y
zdA 0
A
(2)
Mz
A dMZ
ydA
A
M(3)
Mz z
O
x
My
y
dFN dA
dM y z dA dMz y dA
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
M
所以 E y
?
?
应力分布规律
z
O
x
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离
成正比
待解决问题
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
4、静力关系 (Static relationship）
cross section of the beam)
y
求应力的点到中性轴的距离 (distance from the neutral
axis of the beam to the fibers)
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
谢 谢 观 赏！
Sz
ydA 0
A
中性轴通过横截面形心
将应力表达式代入(2)式，得
I yz
yzdA 0
A
自然满足
将应力表达式代入(3)式，得
M yE ydA M E y2dA
A
A
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E
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1M
E Iz
工 程力 学
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工 程力 学
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1、实验（ Experiment）
纯弯曲梁加载过程
工 程力 学
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（1）变形现象（Deformation phenomenon )
纵向线 各纵向线段弯成弧线，且靠近顶 端的纵向线缩短，靠近底端的纵 向线段伸长
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2、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
工 程力 学
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dx
图（a）
dx
o o
zb
o yx b
y
图（b）
d
o’
b’ z
y
o’
x
b’
图（c）
应变分布规律 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
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3、物理关系(Physical relationship)9
Hooke’s Law E
横向线 各横向线仍保持为直线，相对转 过了一个角度，仍与变形后的纵 向弧线垂直
工 程力 学
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（2）提出假设 ( Assumptions）
(a) 平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁 轴线.
(b) 单向受力假设 纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压.
工 程力 学
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推论（Inference）:
横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长，由于 变形的连续性，中间必有一层纵向线段 无长度改变。此层称为 中性层 (Neutral surface)。中性层与横截面的交线称为 中性轴( neutral axis).
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M.y
Iz
(Flexure Formula)
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式
式中: M
横截面上的弯矩(bending moment in the beam)
Iz
横截面对中性轴的惯性矩 (moment of inertia of the
横截面上内力系为垂直于横截面的空间平 行力系
这一力系简化，得到三个内力分量
FN
A dFN
dA 0
A
(1)
M y
A dM y
zdA 0
A
(2)
Mz
A dMZ
ydA
A
M(3)
Mz z
O
x
My
y
dFN dA
dM y z dA dMz y dA
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M
所以 E y
?
?
应力分布规律
z
O
x
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离
成正比
待解决问题
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
工 程力 学
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4、静力关系 (Static relationship）
cross section of the beam)
y
求应力的点到中性轴的距离 (distance from the neutral
axis of the beam to the fibers)
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
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