初一数学几何说理欣赏

实验中学初一年级数学学科几何说理欣赏

编审：王林春

初一数学第六章《平面图形的认识》中的线与角的内容很相似，它们都可以度量，线段有中点、三等分点、四等分点┄┄┄，角有角平分线、三等分线、四等分线┄┄┄，就是有关线与角的说理题也相似！相关结论也相似。教师列举几个说理过程（线与角类比呈现），请大家先看懂，然后对着已知条件与图形反复口述，以达到熟练掌握的程度！为几何入门打好坚实的基础！

1、如图：已知C 是线段AB 上一点，点D 、E 分别是AC 、BC 的中点，试说明：AB DE 2

1=.

解：∵点D 、E 分别是AC 、BC 的中点（已知）

∴AC DC 21=，BC CE 2

1=（线段的中点定义） ∴()BC AC BC AC CE DC +=+=+2

12121（等式性质） 即AB DE 21= 2、如上图：已知C 是线段AB 上一点，点D 是AC 的中点，E 是BC 上一点，且AB DE 2

1=， 试说明：E 是BC 的中点.

解：∵点D 是AC 的中点（已知） ∴AC DC 2

1=

（线段的中点定义） 又∵AB DE 2

1= ∴()AC AB AC AB DC DE -=-=-2

12121（等式性质） 即BC CE 21=， ∴E 是BC 的中点（线段的中点定义） 3、如图：已知C 是线段AB 上一点，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，试说明：

AC DE 2

1=.

解：∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点（已知） ∴AB DB 21=，BC BE 2

1=（线段的中点定义） ∴()BC AB BC AB BE DB -=-=-2

12121（等式性质） 即AC DE 21=

4、如图：已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OD 、OE 分别平分AOC ∠、BOC ∠， 试说明：AOB DOE ∠=∠2

1.

解：∵射线OD 、OE 分别平分AOC ∠、BOC ∠（已知） ∴AOC DOC ∠=

∠21，BOC EOC ∠=∠2

1（角的平分线定义） ∴()BOC AOC BOC AOC EOC DOC ∠+∠=∠+∠=∠+∠2

12121（等式性质） 即AOB DOE ∠=∠21

5、如上图：已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OD 平分AOC ∠，射线OE 在BOC ∠的内部，且满足：AOB DOE ∠=

∠2

1，试说明：OE 平分BOC ∠. 解：∵射线OD 平分AOC ∠（已知） ∴AOC DOC ∠=∠2

1（角的平分线定义） 又∵AOB DOE ∠=∠2

1（已知） ∴()AOC AOB AOC AOB DOC DOE ∠-∠=∠-∠=∠-∠2

12121（等式性质） 即BOC COE ∠=∠21，∴OE 平分BOC ∠（角的平分线定义）

6、如图：已知射线OC 在AOB ∠的内部，射线OD 、OE 分别平分AOB ∠、BOC ∠， 试说明：AOC DOE ∠=∠2

1.

解：∵射线OD 、OE 分别平分AOB ∠、BOC ∠（已知） ∴AOB DOB ∠=

∠21，BOC EOB ∠=∠2

1（角的平分线定义） ∴()BOC AOB BOC AOB EOB DOB ∠-∠=∠-∠=∠-∠2

12121（等式性质） 即AOC DOE ∠=∠21

7、如图：已知D 是线段AB 的中点，C 是AB 上一点，BC AC 2=，试说明：CD AB 6=.

解：设x AB =， ∵D 是线段AB 的中点（已知）

∴2

21x AB AD ==

（线段的中点定义） 又∵BC AC 2=（已知）

∴3

232x AB AC ==（等量代换） 又∵AD AC CD -=（图知） ∴6

232x x x CD =-=（等量代换） ∴CD AB 6=（等式性质） 结论：在几何题中的线段长度或角度的计算中，可利用方程思想来解决！

8、如图：已知AOC BOC ∠=∠2，OD 平分AOB ∠，试说明：COD AOB ∠=∠6.

解：设︒

=∠x AOB ， ∵OD 平分AOB ∠（已知） ∴2

21x AOB AOD =∠=

∠（角的平分线定义） 又∵AOC BOC ∠=∠2（已知） ∴3

31x AOB AOC ==∠（等量代换） 又∵AOC AOD COD ∠-∠=∠（图知） ∴6

32x x x COD =-=∠（等量代换） ∴COD AOB ∠=∠6（等式性质）

9、如图：已知O 是直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，射线OD 、OE 分别平分AOC ∠、BOC ∠，试说明：OE OD ⊥.

法①、解：∵OD 、OE 分别平分AOC ∠、BOC ∠（已知）

∴21∠=∠，43∠=∠（角的平分线定义）

又∵︒=∠+∠+∠+∠1804321（平角定义）

∴︒=∠+∠1803222（等量代换）

∴︒=∠+∠9032（等式性质），即︒=∠90DOE

∴OE OD ⊥（垂直的定义）

法②、解：∵OD 、OE 分别平分AOC ∠、BOC ∠（已知） ∴AOC ∠=

∠212，BOC ∠=∠2

13（角的平分线定义） ∴()BOC AOC BOC AOC ∠+∠=∠+∠=∠+∠2

1212132（等式性质） 又∵︒=∠+∠180BOC AOC （平角定义）

∴︒=∠+∠9032（等量代换），即︒=∠90DOE

∴OE OD ⊥（垂直的定义） 结论：邻补角的角平分线互相垂直．

10、如图：已知直线AB 与CD 相交于点O ，OE 与OF 分别平分AOC ∠、BOD ∠，

试说明：射线OE 与OF 在一直线上.

解：∵OE 与OF 分别平分AOC ∠、BOD ∠（已知 ） ∴AOC ∠=

∠211，BOD ∠=∠2

14（角的平分线定义） 又∵BOD AOC ∠=∠（对顶角相等）

∴41∠=∠（等量代换）

又∵︒=∠+∠+∠180321（平角定义）

∴︒=∠+∠+∠180432（等量代换） ∴射线OE 与OF 在一直线上（平角定义）.

结论：对顶角的角平分线成一条直线．