27.2.2相似三角形应用举例PPT课件
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27.2.2-相似三角形的判定(3)优秀课件
C’
B
第13页，共22页。
(2)
D
(4)
E A
E C
2、判断题：
基础演练
⑴ 所有的直角三角形都相似 .
⑵ 所有的等边三角形都相似.
⑶ 所有的等腰直角三角形都相似.
⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 .
（ ）× （ ）√
（ ）√
（ ）×
顶角相 底角相
等
等
顶角与底角 相等
第14页，共22页。
顶角相等
A
A'
B
C B' C'
第4页，共22页。
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的
两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
A'
B
第5页，共22页。
C B' C'
直角三角形被斜边上的高分成的 两个直角三角形和原三角形相似。
第6页，共22页。
第7页，共22页。
A
D
B
C
例1.如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= 18 BD= 4 √2 BC= 12√2
第8页，共22页。
例2.如图直线BE、DC交于A, AD·AC=AE·BA，
求证：∠E=∠C
E
A
D
将△DAE绕A点旋转
D
A
E
B
C
B
C
如何证明∠DEA＝∠C？
九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件
3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准 确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决 复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质，求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比，计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式，利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质，解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法， 如代数运算、方程求 解等，提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ，选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质， 即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已 知的两边和夹角是对应的，避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。
人教版九年级下册数学27.2.3：相似三角形的应用 举例 测量(金字塔高度、河宽)问题 课件 (共12张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
相似三角形应用举例ppt课件
FH 5 12 1.6 10.4
解得FH=8（m） 由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于
８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，
观察者点看拨不：到解它实。际问题关键是找出相似的三角形，然后根据对 应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型来解决问题。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？
解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，
∴
BC CD
EF GE
，即
BC 3.6
2 1.2
，∴BC＝6m
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，
即点树拨长：A解B是答12此m类。问题时，首先要把实际问题转化为数学
问题。利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
OA：OC=OB：OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
解：∵OA：OC＝OB：OD＝n且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD
∵ OA：OC＝AB：CD＝n，又∵CD＝b，
∴AB=CD•n＝nb，∴
x
a AB 2
a nb 2
点拨：利用三角形相似求线段长是常用方法。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？
活动2 例题讲解
例2：小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿 影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全 落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 l.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
解得FH=8（m） 由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于
８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，
观察者点看拨不：到解它实。际问题关键是找出相似的三角形，然后根据对 应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型来解决问题。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究四：如何解相似三角形与函数的综合应用？
解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，
∴
BC CD
EF GE
，即
BC 3.6
2 1.2
，∴BC＝6m
在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，
即点树拨长：A解B是答12此m类。问题时，首先要把实际问题转化为数学
问题。利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究一：如何测量不能到达顶部的物体的高度？
OA：OC=OB：OD=n，且量得CD=b，求厚度x。
解：∵OA：OC＝OB：OD＝n且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD
∵ OA：OC＝AB：CD＝n，又∵CD＝b，
∴AB=CD•n＝nb，∴
x
a AB 2
a nb 2
点拨：利用三角形相似求线段长是常用方法。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究三：什么是视点、视角、盲区？它们是如何应用的？
活动2 例题讲解
例2：小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿 影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全 落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 l.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
人教版九年级数学下册第二十七章《相似三角形应用举例》优质公开课课件
27.2.2相似三角形的应用（2） 走进生活! 探索自然!
例1 已知左、右并排的两棵
大树的高分别是AB=8m和 CD=12m,两树的根部相距 BD=5m.一个身高1.6m的 人沿着正对这两棵树的一 F 条水平直路m从左向右前进， E 当他与左边较低的树的距 离小于多少时，就不能看 到右边较高的树的顶端点C?
A
A
A
P
P
Q
Q P
Q
C
BC
BC
B
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/32022/5/3May 3, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
C A
BDm
C A
F H
K
G
EB D m
李巍同学在回家的 路上发现了如图两根电线
杆AB、CD，分别在高10m的A处和15m的C处有 两根钢索将两杆固定,求钢索AD与钢索BC的交点 M离地面的高度MH.
C AM
E
BH D
F
例2 如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同 时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动， 设P、Q两点移动t秒（0<t<5)后, 四边形ABQP的面积 为S平方米。
老师的小结：
1、“数学建模”解决实际问 题： 构造相似三角形解决实际生活中求线段长问题 2、“数学思想”解决综合题
“方程思想” “分类讨论思想”
例1 已知左、右并排的两棵
大树的高分别是AB=8m和 CD=12m,两树的根部相距 BD=5m.一个身高1.6m的 人沿着正对这两棵树的一 F 条水平直路m从左向右前进， E 当他与左边较低的树的距 离小于多少时，就不能看 到右边较高的树的顶端点C?
A
A
A
P
P
Q
Q P
Q
C
BC
BC
B
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/32022/5/3May 3, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
C A
BDm
C A
F H
K
G
EB D m
李巍同学在回家的 路上发现了如图两根电线
杆AB、CD，分别在高10m的A处和15m的C处有 两根钢索将两杆固定,求钢索AD与钢索BC的交点 M离地面的高度MH.
C AM
E
BH D
F
例2 如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同 时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动， 设P、Q两点移动t秒（0<t<5)后, 四边形ABQP的面积 为S平方米。
老师的小结：
1、“数学建模”解决实际问 题： 构造相似三角形解决实际生活中求线段长问题 2、“数学思想”解决综合题
“方程思想” “分类讨论思想”
《相似三角形的性质》精品ppt课件
1.根据你的猜想和证明，你发现相似三角形的对应 中线、对应角平分线、对应高各有什么性质？请你用文 字、图形和符号语言分别描述出来.
结论1：相似三角形的对应中线、对应角平分线、 对应高的比都等于相似比.
生成与挖掘
A A′
B
EF D
A
C
B'
E′ F′ D' C′
若 ABC∽A'B'C', 相似比为k，两个三角形的对应高、 对应中线、对应角平分线分别是 AD和A'D' 、AE 和 A'E、'
形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ √ ）
（2）一个三角形各边长扩大为原来的9倍，这个三角
形的面积也扩大为原来的9倍.（ Χ ）
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
例题与练习
例1 如图，在△ABC 和△DEF 中， AB=2DE ，
所以 AD = AB . A' D' A' B'
同理
BE AB B' E' = A' B' .
所以
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
AD BE A' D' = B' E' .
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
例题与练习
练习2：
3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原 图中的2 cm变成了6 cm，放缩比例是多少？这个三角 形的面积发生了什么变化？
即证明
AD A' D '
AB A' B '
结论1：相似三角形的对应中线、对应角平分线、 对应高的比都等于相似比.
生成与挖掘
A A′
B
EF D
A
C
B'
E′ F′ D' C′
若 ABC∽A'B'C', 相似比为k，两个三角形的对应高、 对应中线、对应角平分线分别是 AD和A'D' 、AE 和 A'E、'
形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ √ ）
（2）一个三角形各边长扩大为原来的9倍，这个三角
形的面积也扩大为原来的9倍.（ Χ ）
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
例题与练习
例1 如图，在△ABC 和△DEF 中， AB=2DE ，
所以 AD = AB . A' D' A' B'
同理
BE AB B' E' = A' B' .
所以
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
AD BE A' D' = B' E' .
《相似三角形的性质》精品实用课件 （PPT优 秀课件 ）
例题与练习
练习2：
3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原 图中的2 cm变成了6 cm，放缩比例是多少？这个三角 形的面积发生了什么变化？
即证明
AD A' D '
AB A' B '
27.2.3相似三角形应用举例PPT课件
又∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°， ∴△OAB∽△O′A′B′. ∴OB∶O′B′＝AB∶A′B′.
∴OB＝ ABOB 2741 137
AB
2
答:金字塔高为137米．
（米）
例2. 在△ABC中，AC=4,AB=5，D是AC 上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,试 写出y与x之间的函数关系式，并画出函数 的图像.
一、回顾与复习
（一）相似三角形的判定
1.两角 对应相等 的两个三角形相似. 2.两边 对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似. 3.三边 对应成比例的两个三角形相似.
（二）相似三角形的性质
1.对应角 相等，对应边 成比例. 2.对应高 的比，对应中线 的比，对应角平分线 的 比都等于相似比.（相似形中的对应线段） 3.周长的比等于相似比 . 4.面积的比 等于相似比的平方 .
二、探索与应用
例1. 如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖 一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′ 与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度 OB．如果O′B′＝1m，A′B′＝2m，AB＝274m， 求金字塔的高度OB.
解：∵太阳光是平行光线， ∴∠OAB＝∠O′A′B′．
三、思考与演练
1、 在△ABC中，BC=a，DE∥BC，交
AB于E，交AC于D，SADE S梯形BCDE
求DE的长度.
A
E
D
B
C
A
D
2.已知:四边形ABCD
中,AC平分∠BCD,
∠D= ∠BAC.、布置作业
课本58页第11----12题
∴OB＝ ABOB 2741 137
AB
2
答:金字塔高为137米．
（米）
例2. 在△ABC中，AC=4,AB=5，D是AC 上一动点,且∠ADE=∠B,设AD=x,AE=y,试 写出y与x之间的函数关系式，并画出函数 的图像.
一、回顾与复习
（一）相似三角形的判定
1.两角 对应相等 的两个三角形相似. 2.两边 对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似. 3.三边 对应成比例的两个三角形相似.
（二）相似三角形的性质
1.对应角 相等，对应边 成比例. 2.对应高 的比，对应中线 的比，对应角平分线 的 比都等于相似比.（相似形中的对应线段） 3.周长的比等于相似比 . 4.面积的比 等于相似比的平方 .
二、探索与应用
例1. 如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖 一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′ 与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度 OB．如果O′B′＝1m，A′B′＝2m，AB＝274m， 求金字塔的高度OB.
解：∵太阳光是平行光线， ∴∠OAB＝∠O′A′B′．
三、思考与演练
1、 在△ABC中，BC=a，DE∥BC，交
AB于E，交AC于D，SADE S梯形BCDE
求DE的长度.
A
E
D
B
C
A
D
2.已知:四边形ABCD
中,AC平分∠BCD,
∠D= ∠BAC.、布置作业
课本58页第11----12题
27.2.2 相似三角形的性质
B
CE
F
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 12 5 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 1 ×6 = 3， 2
面积为
1 2
2
12
5 3
5.
A
D
B
CE
F
练一练
如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较 大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上 的高为___1_4__.
相似比 2 周长比 2 面积比 4
1 3 100
k ……
1 3 100 k ……
1 10000 k2 ……
9
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的___2_5__倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的__1_0___倍.
小数)？
A
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
EF D
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
H
B
C
∴ DF AF ，即 0.6 2， CH AH CH 3
解得 CH = 0.9米.
A
A'
B
C
B'
C'
由前面的结论，我们有
S△ABC
1 BC AD 2
BC
AD k k k 2.
S△A'B'C' 1 B 'C ' A' D ' B 'C ' A' D '
27.2.2相似三角形应用举例(一)课件(共15张PPT)
中 AB=10, A′B′=5, BC=12, 那么
B′C′=__________？
A
B
C
A′
B′
C′
因为△ABC∽△A′B′C′，
所以 AB BC
,
AB BC
所以BC BC AB AB
12 5 6 10
WXQ
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古 代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东南西北四个方向， 塔基呈正方形，每边长约２３０多米。据考证，为建成大金 字塔，共动用了１０万人花了２０年时间.原高１４６．５９ 米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高 度有所降低 。
1.8 x 3 60 x 601.8
3 x 36
答:楼高36米.
WXQ
给我一个支点我可以撬起整个地球!
---阿基米德
2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当
短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 8 m。
B
16m
C
0.5m ┛ 1mO
A
(第WX1Q 题)
？
┏
D
WXQ
例2 为了估算河的宽度,我们可以在河
C
E
A
┏ 0.8m
5m D
10m WXQ
？
┏
B
2.数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下 两种方法：
方法一：如图，把镜子放在离树（AB）8M点E处 ，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里 看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8M，观察 者目高CD=1.6M；
A
A
C
C
D
E
B
WXQ
B
2.数学兴趣小组测校内一棵树高，有 以下两种方法：
B′C′=__________？
A
B
C
A′
B′
C′
因为△ABC∽△A′B′C′，
所以 AB BC
,
AB BC
所以BC BC AB AB
12 5 6 10
WXQ
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古 代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东南西北四个方向， 塔基呈正方形，每边长约２３０多米。据考证，为建成大金 字塔，共动用了１０万人花了２０年时间.原高１４６．５９ 米，但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高 度有所降低 。
1.8 x 3 60 x 601.8
3 x 36
答:楼高36米.
WXQ
给我一个支点我可以撬起整个地球!
---阿基米德
2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当
短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 8 m。
B
16m
C
0.5m ┛ 1mO
A
(第WX1Q 题)
？
┏
D
WXQ
例2 为了估算河的宽度,我们可以在河
C
E
A
┏ 0.8m
5m D
10m WXQ
？
┏
B
2.数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下 两种方法：
方法一：如图，把镜子放在离树（AB）8M点E处 ，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里 看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8M，观察 者目高CD=1.6M；
A
A
C
C
D
E
B
WXQ
B
2.数学兴趣小组测校内一棵树高，有 以下两种方法：
27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册
位置情况进行分类. 注意多种情况的存在，利用相似找函
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
27.2.2相似三角形应用举例
Ｃ
解:∵太阳光是平行光线 12 1.5 ∴ BC 1.2 ∴BC=9.6 ∵9.6＞9 ∴乙的采光会受影响．
Ａ
12
可以计算出甲投在乙 墙壁上的影长吗？ 1.5
∵EC=9.6-9=0.6 ∴
DE 1.5 0.6 1.2
D
C
1.2
Ｂ
9.6
E
0.6
∴DE=0.75
5.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小 块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地 面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离 是40米.求塔高AB? A 解:∵∠DEC=∠ABC=90° ∠DCE=∠ACB ∴△DEC∽△ABC
A
解:∵太阳光是平行光线
D E E F A B B C
∴ AB=8
D
D 1
1.5 C
B 12
1
E
E
1.5 F
4.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得
小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学 楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一 部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米， 墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米? 解：作DE⊥AB于E A 得
尝试画出影子
A
甲
D
乙 丙
B
E C
F
如何运用“三角形的相似知识”来说明 “平行光线的照射下，同一时刻物高与影 长成比例”？
想一想
怎样利用相似三角形的有关知识 测量旗杆的高度?
测高是本课重点学习的内容
利用影长来测 高
Ｏ
怎样测量旗杆 的高度呢？ Ｏ′
Ａ
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
求旗杆高度的方法:
相关主题
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-
11
一题多解 还可以有其他方法测量吗？
B E
┐
平面镜
F
A
△ABO∽△AEF
OB OA EF = AF
-
┐
O
OB
=
OA ·EF AF
12
抢答
怎样测量旗杆的高度?
-
13
Ｏ
Ｏ′
1.6 m
6m
1.2m
Ａ
-Ｂ
Ａ′
Ｂ′14
知识要点
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度， 通常用“在同一时刻物高与影长成正比 例”的原理解决。
-
20
3. △ABC是一块锐角三角形余料，边
BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成
正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余
两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零
件的边长是多少？
A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为 x 毫米。
P
E
-
9
例题
古希腊数学家、天文学 家泰勒斯利用相似三角形的 原理，测量金字塔的高度。
-
10
B
O 201m
E 2m
3m D A(F)
解：太阳光是平行线， 因此∠BAO= ∠EDF
又 ∠AOB= ∠DFE=90°
∴△ABO∽△DEF
BO OA
EF = FD
BO
=
OA· EF FD
=
201×2 3
= 134
A
C
B
D
E
-
24
-
25
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
-
15
P
例题
求河宽?
45m
60m QR
b
90m
a
S
T
分析：∵∠PQR=∠PST= 90°
∠P=∠P
∴ △PQR ∽△PST
∴ PQ QR PQ QS ST
∴
PQ 60 PQ 45 90
得 PQ=90
-
16
知识要点
测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造 相似三角形求解。
N
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以 AE
PN
=
AD
BC
B
C Q DM
因此 80–x = x ，得 x=48（毫米）。
80
120
-
21
4. 小明在打网球时，使球恰好能打过网， 而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高 度h.（设网球是直线运动）
2.4m
C
E
A
┏ 0.8m
？ ┏
5m
D
10m
新课导入
乐山大佛
-
1
世界上最高的树 —— 红杉
-
2
怎样测量这些非常 高大物体的高度？
世界上最高的楼 ——台北101大楼
-
3
怎样测量河宽？
世界上最宽的河
——亚马孙河 -
4
利用三角形相似可以解决一些不能 直接测量的物体的长度的问题
-
5
-
6
教学目标
知识与能力
• 会应用相似三角形性质、判定解决实际 问题．
（1）审题。 （2）构建图形。 （3）利用相似解决问题。
-
19
随堂练习
1. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂 端点下降0.5m时,长臂端点升高__8__B__m。
0.5m
16m
C ┛1m O A
？ ┏
D
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为
1.5米的人的影长为3米,则树高为4______。
-
7
过程与方法
• 通过利用相似三角形解决实际问题中不能 直接测量的物体的长度的问题，让学生体会 数学转化的思想，并体会如何用已学习的数 学知识解决实际问题．
情感态度与价值观
• 让学生体会用数学知识解决实际问题的成 就感和快乐．
-
8
教学重难点
• 相似三角形性质与判定的应用． • 相似三角形性质与判定的应用． • 从识图能力入手，明确应用相似三角 形判定、 性质的前提是寻找和问题有 关的两块三角形．
B
-
22
5. 在同一时刻物体的高度与它的影长成正 比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹 竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么 高楼的高度是多少米？
-
23
6. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定 一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使 AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确 定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米， DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
-
17
课堂小结
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用
“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。 （2） 测距（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三 角形求解。
-
18
2. 解相似三角形实际问题的一般步骤：