第二章直线的斜率

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人教新课标版数学高一B必修2学案直线方程的概念与直线的斜率

高中数学-打印版数学人教B必修2第二章2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程．2．掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能在实际问题中应用．3．能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角．1．直线方程的概念由于函数y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是________方程，因此，我们也可以说，方程y＝kx ＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系．如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是__________，那么这个方程叫做____________，这条直线叫做__________．直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解．两个条件只要缺少一个，命题就是错误的．【做一做1－1】在平面直角坐标系中，二、四象限角平分线所在的直线的方程为__________．【做一做1－2】给出下列四个命题：①一条直线必是某个一次函数的图象；②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．直线的倾斜角和斜率(1)我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的______．(2)两点斜率公式：已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝__________(x1≠x2)．(3)倾斜角θ：x轴正向与__________所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为θ.当直线l与x轴__________时，规定θ＝0°，故θ的取值范围是__________．(4)斜率k 与倾斜角θ的关系如图所示．当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率越大，且均为负．但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大．【做一做2】过点P (1,3)和Q (0,5)的直线的斜率为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12对直线斜率的全方位剖析剖析：(1)斜率公式的适用范围．经过两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，其适用范围是x 1≠x 2.说明如下：①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示．②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．③如果y 2＝y 1(x 2≠x 1)，则直线与x 轴平行或重合，k ＝0；如果x 1＝x 2，y 1≠y 2，则直线与x 轴垂直，倾斜角θ＝90°，斜率k 不存在．(2)从运动变化的观点看斜率公式．由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k 与这两点在直线上的顺序无关，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)．如果令Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝y 2－y 1，则Δx 表示变量x 的改变量，Δy 表示相应的y 的改变量，于是k ＝ΔyΔx(Δx ≠0)．(3)斜率的功能．斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量，它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角θ与斜率k 有k ＝tan θ这一关系式．结合图示说明如下：如图所示，直线PQ ，直线PM ，且直线MQ 与y 轴平行，由直线斜率公式：k PQ ＝ΔyΔx ，k PM ＝Δy ′Δx，由图易知Δy ′＞Δy ，∴k PM ＞k PQ .显然直线PM 相对于x 轴正方向比直线PQ 相对于x 轴正方向倾斜程度要大．比如某人从点P 沿直线PQ 到达点Q ，相对于从点P 沿直线PM 到达点M 来说，此人会感到沿直线PM 走比沿直线PQ 走更费劲．一般地，直线斜率为k ，若有|k |越大，反映直线相对于x 轴倾斜程度越大；反之|k |越小，反映直线相对于x 轴倾斜程度越小．若k AB ＝k AC ，此时直线AB 与直线AC 的倾斜角相同，即三点A ，B ，C 共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但k AB ＝k CD 只能说明直线AB 与直线CD 倾斜角相同，不能说明A ，B ，C ，D 四点共线，因此要用斜率证明共线问题，而线段(或两条直线)必须有公共点才行．题型一概念辨析题【例1】下列四个命题：①一条直线向上的方向与x 轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角； ②直线l 的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；③已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1；④若直线l 的方程是ax ＋by ＋c ＝0，则直线l 的斜率k ＝－ab .其中正确命题的个数是( )．A ．3B ．2C ．1D ．0反思：斜率与倾斜角是直线中最基本的概念，正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础，要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系，还有斜率公式是有使用范围的，直线与x 轴垂直时斜率不存在．题型二求直线的斜率【例2】已知直线l 经过两点A (2,－1)，B (t,4)，求直线l 的斜率．分析：点B 的坐标中含参数t ，注意分类讨论．反思：应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x 1≠x 2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论．题型三斜率公式的综合应用【例3】求证：A (1,5)，B (0,2)，C (－1,－1)三点共线．分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相等，则两直线必重合，从而证明三点共线．反思：通过本题可归纳出：若斜率k AB ，k AC 存在，则k AB ＝k AC ⇔A ，B ，C 三点共线，当然也可以用|AB |＋|BC |＝|AC |来证，最后需指出的是当证明四点共线时，一定要注意看是否有公共点．【例4】已知直线l ：y ＝ax ＋2和两点A (1,4)，B (3,1)，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围．分析：过定点的动直线与线段相交，可借助图形加以解决．反思：通过本题的解决，要掌握斜率与倾斜角之间的关系，还要注意数形结合思想的利用．【例5】已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．分析：根据yx 的几何意义，本题即是求直线y ＝－2x ＋8(2≤x ≤3)上的点与原点连线的斜率的最值．反思：利用斜率公式解决代数问题的关键是：根据题目中代数式的特征，看是否可写成y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形的直观性来分析解决问题．题型四易错辨析【例6】设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转30°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )．A ．α＋30°B ．α－150°C ．150°－αD ．当0°≤α＜150°时为α＋30°，当150°≤α＜180°时为α－150°错解：∵直线l 按逆时针旋转，结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l 1的倾斜角为α＋30°.答案：A错因分析：没有考虑到α＋30°会越过180°，这样就不满足倾斜角的范围[0，π)了．1过点P (－2，m )和点Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )． A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或42若两直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是( )． A ．若α1＜α2，则两直线的斜率k 1＜k 2 B ．若α1＝α2，则两直线的斜率k 1＝k 2 C ．若两直线的斜率k 1＜k 2，则α1＜α2 D ．若两直线的斜率k 1＝k 2，则α1＝α23若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角α的范围是__________． 4若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0,4)共线，则a 的值等于__________．5已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率等于2，把直线方程写成一次函数形式，并求出点B 的坐标．答案：基础知识·梳理1．二元一次这个方程的解这条直线的方程这个方程的直线【做一做1－1】y ＝－x【做一做1－2】A 由直线方程的定义可知③，④均不正确．又y ＝5表示一条直线，但它却不是一次函数，原因是一次函数y ＝kx ＋b 中的k ≠0，∴①也不正确．当一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中的b ＝0时，其图象经过原点，可知②也不正确．2．(1)斜率 (2)y 2－y 1x 2－x 1 (3)直线向上的方向平行或重合 0°≤θ＜180°【做一做2】B 典型例题·领悟【例1】C 根据倾斜角定义知，①正确；倾斜角范围为[0，π)，∴②不正确；当x 1＝x 2时，直线P 1P 2的斜率k 不存在，不能用公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1求解，∴③不正确；当b ＝0时，直线斜率不存在，∴④不正确．故选C.【例2】解：(1)当t ＝2时，直线l 与x 轴垂直， ∴直线l 的斜率不存在．(2)当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝4－(－1)t －2＝5t －2，∴综上所述，当t ＝2时，直线l 的斜率不存在；当t ≠2时，直线l 的斜率k ＝5t －2. 【例3】证明：利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率，k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝－1－5－1－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ， ∴A ，B ，C 三点共线．【例4】解：如图所示，直线l 过定点C (0,2)，k CB ＝1－23－0＝－13，k CA ＝4－21－0＝2，k l ＝a .当直线l 与线段AB 相交时，k CB ≤k l ≤k CA ， ∴－13≤a ≤2.【例5】解：如图，由已知，点P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)，而y x ＝y －0x －0，其几何意义为直线OP 的斜率．由图可知k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2.故所求的y x 的最大值为2，最小值为23.【例6】D 正解：要分类讨论，旋转30°后，看α＋30°是否在0°≤α＜180°范围内．若在，则l 1的倾斜角为α＋30°；若不在，则l 1的倾斜角为α＋30°－180°＝α－150°.随堂练习·巩固1．A 由斜率公式，有1＝4－mm －(－2)，得m ＋2＝4－m .∴m ＝1.2．D3．90°＜α＜180° 如图所示，直线过第二、四象限，可知直线l 的倾斜角为钝角，其范围是90°＜α＜180°.4．4由题意可得k AB＝22－a＝k AC＝2－42＝－1⇒a＝4.5．解：设所求直线方程为y＝kx＋b，∵k＝2，A(3,4)在直线上，∴4＝2×3＋b，解得b＝－2.∴直线方程为y＝2x－2.如果B在x轴上，则可设B(x0,0)，代入直线方程解得x0＝1，即B(1,0)；如果B在y轴上，则可设B(0,y0)，代入直线方程解得y0＝－2，即B(0,－2)．。

北师大版高中数学必修二第二章1.1直线的倾斜角和斜率.docx

§1直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率问题导学1．求直线的倾斜角活动与探究1已知直线l1的倾斜角是30°，直线l2⊥l1，试求直线l2的倾斜角．迁移与应用1．如图，有三条直线l1，l2，l3，倾斜角分别是α1，α2，α3，则下列关系正确的是( )．A．α1＞α2＞α3 B．α1＞α3＞α2C．α2＞α3＞α1 D．α3＞α2＞α12．直线l过原点，且倾斜角为150°，若将直线l绕原点逆时针方向旋转30°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为__________．求直线的倾斜角，主要是根据题意画出图形，根据倾斜角的定义，找出直线向上的方向与x轴正半轴所成的角，即为倾斜角，注意平面几何中相关知识的应用．2．求直线的斜率活动与探究2(1)已知两条直线的倾斜角α1＝30°，α2＝45°，求这两条直线的斜率；(2)如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；(3)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率．迁移与应用1．(1)若直线l 的倾斜角为60°，则该直线的斜率为__________；(2)经过两点A (3,2)，B (4,7)的直线的斜率是__________．2．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．①(1,1)，(－1，－2)；②(1，－1)，(－2,4)；③(2,2)，(10,2)；④(－2，－3)，(－2,3)．1．求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k ＝tan α求得；二是已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式计算求得．2．使用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，要注意前提条件x 1≠x 2.若x 1＝x 2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．3．直线的倾斜角和斜率的关系活动与探究3a 为何值时，过点A (2a,3)，B (2，－1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？迁移与应用已知直线l经过点P(5,10)，Q(m,12)，若l的倾斜角θ≥90°，则实数m的取值范围是__________．根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．4．运用斜率公式解决三点共线问题活动与探究4已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．迁移与应用已知三点A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)，求证：三点在同一直线上．三点共线问题的证明(1)用斜率法证明三点共线问题．(2)三点共线问题也可利用线段长度之间的关系来证明，即若|AB |＋|BC |＝|AC |，则可判定A ，B ，C 三点共线．当堂检测1．对于下列命题：①若θ是直线l 的倾斜角，则0°≤θ＜180°；②若k 是直线l 的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．若直线l 的斜率k ＝－1，则其倾斜角等于( )．A ．0° B．45° C．90° D．135°3．过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为( )．A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44．已知A (3，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3，C (a ，2a )三点共线，求实数a 的值． 5．已知直线l 的倾斜角为30°，且过点P (1,2)和Q (x,0)，求该直线的斜率和x 的值．答案：课前预习导学预习导引1．一个点方向2．(1)逆时针倾斜角 0° 0°≤α＜180°预习交流1 提示：任何一条直线都有唯一的倾斜角；倾斜角相同的直线不是唯一的，它们是一组平行线；不同的直线其倾斜角可能是相同的．(2)正切 tan α预习交流2 提示：并非每一条直线都有斜率，当直线与x 轴垂直时，即倾斜角为90°时，该直线的斜率不存在；当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率k ≥0；当90°＜α＜180°时，斜率k ＜0，故可知斜率k 的取值范围为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即k ∈R .预习交流3 提示：斜率和倾斜角之间的关系是“数与形”的关系，斜率是个实数，倾斜角则是一个角；每条直线都有唯一的倾斜角与之对应，但并不是每条直线都有斜率，当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率也越大．3．y 2－y 1x 2－x 1(x 2≠x 1) 预习交流4 提示：不能．斜率公式的适用条件是x 1≠x 2，当两点的横坐标相同时，不能用斜率公式，因为此时直线与x 轴垂直，其倾斜角为90°，斜率不存在．预习交流5 提示：无关，即k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2. 课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：由l 1⊥l 2知两直线与x 轴可构成直角三角形，因此可利用三角形内角和定理以及倾斜角的定义求出l 2的倾斜角．解：如图所示，由于l 2⊥l 1，所以△MAB 是直角三角形，而l 1的倾斜角等于30°，即∠MAB ＝30°，于是∠MBA ＝60°，从而∠MBx ＝180°－60°＝120°，即直线l 2的倾斜角等于120°.迁移与应用 1．D2．0° 解析：将l 绕原点旋转30°后，直线与x 轴重合，其倾斜角为0°.活动与探究2 思路分析：利用斜率公式k ＝tan α和k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)来解决．解：(1)k 1＝tan 30°＝33，k 2＝tan 45°＝1. (2)直线AB 的斜率k AB ＝1－2－4－3＝17；直线BC 的斜率k BC ＝－1－10－(－4)＝－24＝－12；直线AC 的斜率k AC ＝2－(－1)3－0＝33＝1. (3)当a ＝3时，斜率不存在．当a ≠3时，直线的斜率k ＝43－a . 迁移与应用 1．(1) 3 (2)52．解：①k ＝－2－1－1－1＝32；②k ＝4－(－1)－2－1＝－53；③k ＝2－210－2＝0；④∵x 1＝x 2＝－2，∴斜率不存在．活动与探究3 思路分析：根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的倾斜角是锐角，则k ＞0，若为钝角，则k ＜0，若为直角，则斜率不存在．解：当过点A ，B 的直线的倾斜角是锐角时，k AB ＞0，根据斜率公式得k AB ＝3＋12a －2＝2a －1＞0， ∴a ＞1；同理，当倾斜角为钝角时，k AB ＜0，即2a －1＜0， ∴a ＜1.当倾斜角为直角时，A ，B 两点的横坐标相等．即2a ＝2，∴a ＝1.迁移与应用 m ≤5 解析：当θ＝90°时，直线l 的斜率不存在，故m ＝5；当θ＞90°时，倾斜角为钝角，l 的斜率k ＜0，即2m －5＜0，解得m ＜5.综上m 的取值范围是m ≤5. 活动与探究4 思路分析：先用k AB ＝k BC 建立关于a 的方程，然后解方程求实数a 的值．解：∵A ，B ，C 三点共线，且3≠－2，∴BC ，AB 的斜率都存在，且k AB ＝k BC .又∵k AB ＝7－23－a ＝53－a ，k BC ＝－9a －7－2－3＝9a ＋75， ∴9a ＋75＝53－a ，解得a ＝2或a ＝29. 迁移与应用证明：∵k AB ＝3＋13－1＝2，k BC ＝5－34－3＝2， ∴k AB ＝k BC .又直线AB 和BC 有公共点B ，∴A ，B ，C 三点共线．当堂检测1．C 2．D 3．A4．解：∵A ，B ，C 三点共线，3≠32， ∴AB ，AC 的斜率都存在，且k AB ＝k AC .∴－3－032－3＝2a －0a －3，解得a ＝2. 5．解：由斜率的计算公式得，该直线的斜率k ＝tan 30°＝33. 又l 过点P (1,2)和Q (x,0)，则k ＝2－01－x ＝33，解得x ＝1－2 3.。

2.1.1 倾斜角与斜率(解析版)..

第二章《直线和圆的方程》2.1直线的倾斜角与斜率2．1.1倾斜角与斜率知识梳理知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k ＝0k >0不存在k <03．过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.题型探究题型一、直线的倾斜角1．直线的倾斜角前提条件直线l 与x 轴_________定义以_________作为基准，x 轴_________与直线l _________的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角特殊情况当直线l 与x 轴_________或_________时，规定它的倾斜角为_________取值范围__________________【答案】相交x 轴正向向上平行重合00180α≤≤2．（多选）设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（）A ．45α+B ．45α-o C ．135α-D ．135α-【答案】AC【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<，∴当0135α≤<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45α+；当135180α<<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45180135αα+-=-.故选：AC.3．分别写出下列直线的倾斜角：(1)垂直于x 轴的直线；(2)垂直于y 轴的直线；(3)第一、三象限的角平分线；(4)第二、四象限的角平分线．【答案】(1)90；(2)0；(3)45；(4)135【详解】(1)当直线垂直于x 轴时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为90，所以所求直线的倾斜角为90.(2)当直线垂直于y 轴时，此时，直线与x 轴平行或重合，所以所求直线的倾斜角为0.(3)当直线为第一、三象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为45，所以所求直线的倾斜角为45.(4)当直线为第二、四象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为135所以所求直线的倾斜角为135.4．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为______．【答案】2π【详解】当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为2π故答案为：2π题型二、直线的斜率1．若直线l 的倾斜角为120︒，则直线l 的斜率为________.【答案】3-【详解】因为直线l 的倾斜角为120︒，则tan1203k =︒=-.故答案为：3-.2．经过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，则m =___________.【答案】2【详解】因为过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，所以4tan 45111AB mk m -===+-，解得2m =，故答案为：2.3．根据下列直线的倾斜角α，判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率的值：(1)0α=︒；(2)60α=︒；(3)90α=︒；(4)150α=︒．【答案】(1)存在，且斜率为0(2)存在，且斜率为3(3)不存在(4)存在，且斜率为33-【详解】(1)0α=︒，斜率存在，且斜率为tan00︒=.(2)60α=︒，斜率存在，且斜率为tan 603︒=.(3)90α=︒，斜率不存在.(4)150α=︒，斜率存在，且斜率为3tan1503︒=-.4．求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角(1)()2,3A ，()3,4B (2)()2,3C ，()3,3D (3)()2,3E ，()2,4F (4)()2,3G ，(),4H a 【答案】(1)1AB k =，倾斜角为4π(2)0CD k =,倾斜角为0(3)斜率不存在，倾斜角为2π(4)见解析【详解】(1)43132AB k -==-，所以AB 的倾斜角为4π；(2)33032CD k -==-，所以CD 的倾斜角为0；(3)因为点,E F 的横坐标相等，所以直线EF 的斜率不存在，倾斜角为2π；(4)当2a =时，直线GH 的斜率不存在，倾斜角为2π，当2a ≠时，43122GH k a a -==--，若2a >，倾斜角为1arctan2a -；若2a <，倾斜角为1arctan2a π+-.题型三、倾斜角和斜率的应用1．已知直线l 经过(2,1)A 、2(1,)B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【详解】∵直线l 过(2,1)A ，2(1,)B m (R)m ∈两点，∴直线l 的斜率为2211112m k m -==-≤-，设直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，且tan 1α≤，解得π04α≤≤或ππ2α<<∴直线l 的倾斜角α的取值范围是ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.2．过点(0,1)P -的直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，求直线l 的倾斜角α的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】如图所示，因为(0,1)P -，(3,2)A ，(2,3)B -，可得12(1)130l k --==-，13(1)120l k ---==--，要使得直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，设直线l 的倾斜角为α，其中[0,)π，则满足tan 1α≤或tan 1α≥-，解得04πα≤≤或34παπ≤<，即直线l 的倾斜角α的取值范围30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.3．已知直线1l 的斜率为12，直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.【答案】43【详解】由题意，设直线1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为2α，由已知得11tan 2k α==，所以直线2l 的斜率为222tan 4tan 21tan 3k ααα===-.4．设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（）A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭，故选：D跟踪训练1．确定一条直线的条件确定一条直线的条件是_________和一个_________．规定水平直线的方向_________，其他直线_________的方向为这条直线的方向．【答案】一点方向向右向上2．已知直线1l 的倾斜角115α=︒，直线1l 与2l 的交点为A ，直线1l 和2l 向上的方向之间所成的角为120︒，如图所示，求直线2l 的倾斜角.【答案】135︒【详解】设直线2l 的倾斜角为2α，结合图形及三角形外角与内角的关系可得2112012015135αα=︒+=︒+︒=︒，故直线2l 的倾斜角为135︒.3．直线0y =倾斜角为____________.【答案】0【详解】直线0y =即为x 轴，该直线的倾斜角为0.故答案为：0.4．如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．60︒B ．150︒C ．0︒D ．不存在【答案】B【详解】由图可知：该直线的倾斜角为150°故选：B5．直线1l 与直线2:2l x =所成的锐角为30°，则直线1l 的倾斜角为______．【答案】60°或120°．【详解】如图，直线1l 的倾斜角为60°或120°﹒故答案为：60°或120°﹒6．函数1y =表示的直线的倾斜角大小为___________.【答案】0【详解】由题设，1y =平行于x 轴，即斜率为0，若倾斜角为[0,)θπ∈，则tan 0θ=，故0θ=.故答案为：07．判断正误（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为1．()（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞．()【答案】×√【详解】（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为-1（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞8．过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（）A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1-【答案】A【详解】过A 、B 的斜率为2011(1)k -==--，则该直线的倾斜角为45︒，故选：A ．9．求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角.(1)(2,0)P 、()1,3Q ；(2)(1,2)P 、(,0)Q a ，其中实数a 是常数.【详解】(1)经过(2,0)P ､()1,3Q 两点的直线的斜率30312k -==--，设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，又tan 3θ=-，则2π3θ=(2)设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，当1a =时，直线PQ 的斜率不存在，倾斜角π2θ=；当1a ≠时，21k a=-，则2tan 1a θ=-①若1a <，则2arctan1aθ=-；②若1a >，则2πarctan1aθ=+-.10．设直线l 的倾斜角为θ，若原点在直线l 上的射影为(2,1)-，则sin 2θ的值为______．【答案】45【详解】由原点在直线l 上的射影为(2,1)-知过原点和(2,1)-的直线和直线l 垂直，过原点和(2,1)-的直线斜率为12-，故直线l 的斜率为2，即tan 2θ=，故2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++.故答案为：45.11．已知直线斜率为k ，且13k -≤≤，那么倾斜角α的取值范围是（）．A ．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【详解】由题意，直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，因为13k -≤≤，即1tan 3α-≤≤，结合正切函数的性质，可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：B ．12．当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为______．【答案】[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦【详解】当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为[)(2tan ,,tan 1,,343ππ⎡⎫⎛⎤⎤+∞⋃-∞=+∞⋃-∞-⎪ ⎢⎥⎦⎣⎭⎝⎦，故答案为：[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦﹒13．求经过(,3)A m （其中m 1≥）、(1,2)B 两点的直线的倾斜角α的取值范围．【答案】090α<≤︒【详解】由题意，当1m =时，倾斜角90α=︒，当1m >时，321tan 011m m α-==>--，即倾斜角α为锐角；综上得：090α<≤︒．高分突破1．如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k <<B ．132k k k <<C ．213k k k <<D ．321k k k <<【答案】A【详解】由斜率的定义可知，123k k k <<.故选：A ．2．直线m 过点()()0012O A ，，，，其倾斜角为α，现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =：，若直线'm 的倾斜角为2α，则k 的值为（）A ．22B ．22-C ．2D ．-2【答案】B【详解】由题，tan 2OA k α==，直线'm 的倾斜角为2α，故()222tan 22tan 2221tan 12k ααα====---故选：B3．已知过点()2,m ，()4,6的直线的倾斜角为45︒，则实数m =（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【详解】由6tan 45142m-︒==-，解得4m =.故选：B ．4．设直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，3tan 1α∴-<≤，因为[0,π)α∈，2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：A.5．直线l 的斜率为33，则l 的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为33，所以l 的倾斜角为30°.故选：A.6．(多选)如果直线l 过原点(0，0)且不经过第三象限，那么l 的倾斜角α可能是（）A ．0°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】ABC【详解】依题意，直线l 过原点，且不经过第三象限，则0α=︒或90180α︒≤<︒，所以ABC 选项符合，D 选项不符合.故选：ABC7．（多选）下列四个命题中，错误的有（）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ【答案】ACD【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是[)0,p ，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tanθk =，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan33k π==，此时直线的倾斜角为3π，故D 错误；故选：ACD 8．若直线12,l l 的倾斜角分别为12,αα，且12l l ⊥，则有()A ．1290αα-=︒B ．2190αα-=︒C ．2190αα-=︒D ．12180αα+=︒【答案】C 【详解】根据两条直线垂直，可知|α2−α1|=90°，故选：C9．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是()A ．2B ．1 C.12D ．0【答案】A【详解】如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.10．下列命题中，错误的是______．（填序号）①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；③若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．【答案】①②③【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于②中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以②错误；对于③中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以③错误.故答案为：①②③.11．直线l 的斜率为3，将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的斜率是______．【答案】3-【详解】设直线l 的倾斜角为α，)0,180α⎡∈⎣，因为直线l 的斜率为3，所以tan 3α=，所以60α=，所以将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的倾斜角为6060120+=，所以所得直线的斜率是tan1203=-，故答案为：3-.12．若过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°，则y ＝______．【答案】－9【详解】过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°则有3tan 603230y --==-，解之得9y =-故答案为：－913．若直线l 的倾斜角α的正弦值为35，则它的斜率为___________.【答案】34±【详解】由题设，3sin 5α=，而α∈[0,)π，则4cos 5α=±，所以3tan 4α=±，即斜率为34±.故答案为：34±14．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．【答案】(－∞，1)∪(1，＋∞)【详解】k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0.要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0，∴k ≠1.15．已知直线l 过第一象限的点(,)m n 和(1,5)，直线l 的倾斜角为135°，求14m n +的最小值．【答案】32【详解】由题意，可得0m >，0n >，且5tan13511n m-==--︒，即6m n +=，又由()14114141435526662n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4n m m n =时，即24n m ==时，等号成立，所以14m n +的最小值为32．16．已知直线l 经过两点()22,A a a ､(0,1)B -，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ.当0a =时，k 不存在，2πθ=；当0a ≠时，211222a a k a a+==+：若0a >时，则12122a k a ≥⋅=，,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；若0a <时，则12()()122ak a ≤--⋅-=-，3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.17．已知直线l 的斜率的绝对值为33，求这条直线的倾斜角．【答案】30°或150°【详解】由题意知直线的斜率k ＝33或k ＝－33，且倾斜角的范围为0180α︒≤<︒，所以直线的倾斜角的大小为30°或150°.18．已知直线1l 的斜率为1-，直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，求直线2l 的斜率．【答案】23--【详解】因为直线1l 的斜率为1-，所以直线1l 的倾斜角为135︒，又直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，所以直线2l 的倾斜角为105︒，所以()tan 45tan 6013tan105tan 4560231tan 45tan 60113°+°+°=°+°===---鞍-´，所以直线2l 的斜率为23--．19．（1）若直线l 的倾斜角,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线l 斜率k 的范围；（2）若直线l 的斜率[]1,1k ∈-，求直线l 倾斜角α的范围.【答案】（1）3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.【详解】（1）因为tan k α=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3tan 63π=，tan 33π=，结合正切函数在[)0,p 的单调性得3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（2）直线l 的斜率[]1,1k ∈-，tan 14π=，3tan 14π=-，结合正切函数在[)0,p 的单调性得30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.20．经过点()0,1P -作直线l ，且直线l 与连接点()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α和斜率k 的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭;11k -≤≤.【详解】因为2(1)110PA k ---==--，1(1)120PB k --==-，由l 与线段AB 相交，所以PA PB k k k ≤⇒≤11k -≤≤，所以0tan 1α≤≤或1tan 0α-≤<，由于tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭及,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦均为增函数，所以直线l 的倾斜角α的范围为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故倾斜角的范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，斜率k 的范围是11k -≤≤.21．已知坐标平面内两点M(m ＋3,2m ＋5)，N(m －2,1).(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？【答案】(1)m>－2.(2)m<－2.(3)不可能为直角.【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +>0，解得m>－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +<0，解得m<－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角.22．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．【详解】y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为－16，53.。

第2章 1.1 直线的倾斜角和斜率

§1直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率学习目标 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？答案不同．梳理倾斜角的概念(1)在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件①直线上的一个点．②这条直线的方向．(2)直线的倾斜角知识点二直线的斜率思考1 在日常生活中，我们常用“升高量前进量”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？答案不同，因为32≠22.思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案存在．图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β. 梳理 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. (2)斜率与倾斜角的对应关系(3)由两点确定的斜率公式直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1( x 1≠x 2)．1．任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(×)2．若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(×)3．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan α.(×)类型一直线的倾斜角例1设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α<140°时，倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，倾斜角为α－140°考点直线的倾斜角题点数形结合求倾斜角答案 D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，直线l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，直线l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟(1)解答此类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．考点直线的倾斜角题点数形结合求倾斜角答案 60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为60°，即直线l 的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l 向上方向与x 轴正向所成的角为120°，即直线l 的倾斜角为120°. 类型二直线的斜率例2 (1)过原点且斜率为33的直线l 绕原点逆时针方向旋转30°到达l ′位置，则直线l ′的斜率为________．考点斜率的计算公式题点由斜率公式计算斜率答案3解析因为直线l 的斜率为33，所以直线l 的倾斜角为30°，所以直线l ′的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l ′的斜率为tan 60°＝ 3.(2)如图所示，直线l 1，l 2，l 3都经过点P (3，2)，又直线l 1，l 2，l 3分别经过点Q 1(－2，－1)，Q 2(4，－2)，Q 3(－3，2)，计算直线l 1，l 2，l 3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．考点斜率的计算公式题点由斜率公式计算斜率解设k 1，k 2，k 3分别表示直线l 1，l 2，l 3的斜率．由于Q 1，Q 2，Q 3的横坐标与P 点的横坐标均不相等，所以k 1＝－1－2－2－3＝35，k 2＝－2－24－3＝－4，k 3＝2－2－3－3＝0.由k 1>0知，直线l 1的倾斜角为锐角；由k 2<0知，直线l 2的倾斜角为钝角；由k 3＝0知，直线l 3的倾斜角为0°.反思与感悟 (1)已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k ＝tan α求得． (2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，注意前提条件x 1≠x 2.若x 1＝x 2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．跟踪训练2 经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12，则m 的值是( )A ．4B ．3C ．1或3D ．1或4 考点斜率的计算公式题点由斜率公式计算斜率答案 B解析由5－m 2m －2＝12，解得m ＝3.类型三直线的倾斜角、斜率的应用命题角度1 三点共线问题例3 如果三点A (2，1)，B (－2，m )，C (6，8)在同一条直线上，求m 的值．考点三点共线题点三点共线求参数的值解 k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74，∴m ＝－6.反思与感悟斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3 若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．考点三点共线题点三点共线的判断及应用答案 12解析由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，B 两点的坐标表示，也可用A ，C 两点的坐标表示，于是有22－a＝2－b 2，由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围例4 直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的变化趋势及应用解如图所示．∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4 已知点A (3，3)，B (－4，2)，C (0，－2)．若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的变化趋势及应用解如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，k AB ＝3－23＋4＝17，k AC ＝3＋23－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.1．下列图中α能表示直线l 的倾斜角的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．②④ 考点直线的倾斜角题点数形结合求倾斜角答案 A解析由倾斜角的定义可得．2．已知点A (a ，2)，B (3，b ＋1)，且直线AB 的倾斜角为90°，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝1 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝3 C ．a ＝3，b ∈R 且b ≠1考点题点答案 D解析由已知a ＝3，又A ，B 为不同的两点，故b ≠1.3．若经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 考点斜率的计算公式题点由斜率公式求参数的值答案 A解析 tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.4．若三点A (2，3)，B (3，2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 共线，则实数m 的值为________．考点三点共线题点三点共线求参数的值答案 92解析设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得 k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.5．经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m ≥1) 考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的变化趋势及应用答案 (0°，90°]解析当m ＝1时，倾斜角α＝90°，当m >1时，tan α＝3－2m －1>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：一、选择题 1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点直线的倾斜角题点直线倾斜角的概念的理解答案 C解析 ①②③正确．2．a ，b ，c 是两两不等的实数，则经过P (b ，b ＋c )，C (a ，c ＋a )的直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．90° D ．135° 答案 B解析 ∵k ＝b ＋c －(a ＋c )b －a ＝1，∴倾斜角为45°.3．已知直线l 的斜率的绝对值等于3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．60°或120°D ．30°或150°考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的综合计算答案 C解析由题意知，|tan α|＝3，即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°.4．下列各组中，能构成三角形的三个顶点的坐标为( )A ．(1，3)，(5，7)，(10，12)B ．(－1，4)，(2，1)，(－2，5)C ．(0，2)，(2，5)，(3，7)D ．(1，－1)，(3，3)，(5，7)考点三点共线题点三点共线的判断及应用答案 C解析 A ，B ，D 三个选项中三点均共线．5.若图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率与象限的关系答案 D解析由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2. 6．l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．0°≤α<90° B ．90°≤α<180° C ．90°<α<180°D ．0°<α<180°考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率与象限的关系答案 C解析直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的范围是90°<α<180°.7．设点P 在y 轴上，点N 是点M 关于y 轴的对称点，若直线PM 的斜率为k (k ≠0)，则直线PN 的斜率是( )A ．kB ．－k C.1k D ．－1k考点斜率的计算公式题点由斜率公式计算斜率答案 B解析设点P 的坐标为(0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (－x 1，y 1)，由题意知，PM 斜率k ＝y 0－y 10－x 1，而直线PN 的斜率为y 0－y 10－(－x 1)＝－k ，故选B. 8．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 考点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的计算答案 B解析由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.二、填空题9．已知直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是________．考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率与象限的关系答案 2解析如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0，2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.10．已知三点A (a ，2)，B (3，7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，则实数a 的值为________．考点三点共线题点三点共线求参数的值答案 2或29解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即53－a ＝9a ＋75， ∴a ＝2或29. 11．已知点A (3，4)，在y 轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为________．考点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的计算答案 (0，－2)解析设B (0，y )，则y －40－3＝2，即y ＝－2，即B 点的坐标为(0，－2)． 12．若经过点A (1－t ，1＋t )和点B (3，2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是________．考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的综合计算答案 (－2，1)解析由题意知，k AB ＝2t －(1＋t )3－(1－t )＝t －1t ＋2. 因为直线的倾斜角为钝角，所以k AB ＝t －1t ＋2<0，解得－2<t <1.三、解答题 13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，1)，B (1，1)，C (－2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角．考点直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的计算解由斜率公式知直线AB 的斜率k AB ＝1－11－(－2)＝0，倾斜角为0°；直线BC 的斜率k BC ＝4－1－2－1＝－1，倾斜角为135°；因为点A ，C 的横坐标均为－2，所以直线AC 的倾斜角为90°，其斜率不存在．四、探究与拓展14．已知坐标平面内两点M (m ＋3，2m ＋5)，N (m －2，1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的综合计算解 (1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45>0，解得m >－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝2m ＋5－1m ＋3－(m －2)＝2m ＋45<0，解得m <－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角．15．已知坐标平面内三点P (3，－1)，M (6，2)，N (－3，3)，直线l 过点P .若直线l 与线段MN 相交，求直线l 的倾斜角的取值范围．考点直线的图像特征与倾斜角、斜率的关系题点倾斜角、斜率的变化趋势及应用解考虑临界状态，令直线PM 的倾斜角为α1，直线PN 的倾斜角为α2，由题意知，tan α1＝1，tan α2＝－33，故直线PM 的倾斜角为45°，直线PN 的倾斜角为150°，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.。

2019-2020人教B版数学必修2 第2章 2.2 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．思考1：如何判断点P(2,1)是否在直线y＝x－1上？[提示]把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上．2．直线的斜率及斜率公式(1)斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan α.(2)斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．(3)斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x 轴正方向的倾斜程度． 3．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义①当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.(3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．思考2：直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？[提示] 不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．1．如图所示，直线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．以上都不对C [根据倾斜角的定义知，直线l 的倾斜角为30°＋90°＝120°.]2．直线l 过点M (－3，2)，N (－2，3)，则l 的斜率为( ) A ．62 B ．1 C ．63D ． 6B [根据题意，l 的斜率为3－2－2－(－3)＝1.]3．斜率不存在的直线一定是( ) A ．过原点的直线 B ．垂直于x 轴的直线 C ．垂直于y 轴的直线D．垂直于坐标轴的直线B[只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________．2或29[∵A、B、C三点共线，∴k AB＝k BC，即53－a＝9a＋75，∴a＝2或29.]时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意1．方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．2．两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.](1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．[思路探究](1)利用k＝y2－y1x2－x1及k＝tan α求解；(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围．[解](1)由斜率公式得k AB＝1－11－(－1)＝0，k BC＝3＋1－12－1＝ 3.k AC＝3＋1－12－(－1)＝33.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.又∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°.tan 60°＝3，∴BC的倾斜角为60°.tan 30°＝33， ∴AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式k ＝tan α(α≠90°)解决． 2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解． 3．涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解．2．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围． [解] 如图所示，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1，或k ≥1.(2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.1．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2.2．你能证明A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)三点在同一条直线上吗？ [提示] 能．因为A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)，所以k AB ＝3－(－5)1－(－3)＝2，k BC ＝11－35－1＝2，所以k AB ＝k BC ，且直线AB ，BC 有公共点B ，所以A ，B ，C 这三点在同一条直线上．【例3】已知直线l 过点M (m ＋1，m －1)，N (2m ，1)． (1)当m 为何值时，直线l 的斜率是1? (2)当m 为何值时，直线l 的倾斜角为90°？ [思路探究] 求直线的斜率⇒直线的斜率公式． [解] (1)k MN ＝m －1－1m ＋1－2m＝1，解得m ＝32.(2)l 的倾斜角为90°，即l 平行于y 轴，所以m ＋1＝2m ，得m ＝1.1．本例条件不变，试求直线l 的倾斜角为锐角时实数m 的取值范围． [解] 由题意知 ⎩⎨⎧m －1－1m ＋1－2m ＞0m －1≠1，解得1＜m ＜2.2．若将本例中的“N (2m,1)”改为“N (3m,2m )”，其他条件不变，结果如何？[解] (1)由题意知m －1－2mm ＋1－3m ＝1，解得m ＝2.(2)由题意知m ＋1＝3m ，得m ＝12.直线斜率的计算方法1．判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． 2．若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(其中x 1≠x 2)进行计算．1．本节课的重点是理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，难点是掌握倾斜角与斜率的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求直线倾斜角的方法． (2)求直线斜率的方法．(3)直线的倾斜角和斜率之间的关系．3．本节课的易错点是对直线倾斜角和斜率之间的对应关系理解不够透彻而致错.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法． ( ) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应． ( ) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线． ( ) (4)斜率公式与两点的顺序无关． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√[提示] (1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度． (2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P 和一个倾斜角α.(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．2．若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 等于( ) A ．－32 B ．32 C ．－1 D ．1 C [k AB ＝y ＋34－2＝tan 45°＝1，即y ＋32＝1，∴y ＝－1.]3．如图所示，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．k 1<k 3<k 2 [设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k 1<k 3<k 2.]4．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．[解] 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.。

高中数学选择性必修一课件：2.1.1倾斜角与斜率

第二章 §2.2 2.2.1 直线的点斜式方程

§2.2直线的方程2．2.1直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题．导语给定一个点P0(x0，y0)和一个方向(斜率或倾斜角)可以确定唯一一条直线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是确定的，如何表示这一关系呢？一、求直线的点斜式方程问题1给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？提示y－y0＝k(x－x0)知识梳理我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y 轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.例1已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．解(1)如图所示，因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB 边所在直线的方程为y ＝1.(2)因为∠A ＝60°，所以k AC ＝tan 60°＝3，所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)．因为∠B ＝45°，所以k BC ＝tan 135°＝－1，所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)．反思感悟求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0，y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)．(2)点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外．跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y ＝33x 的倾斜角的2倍； (2)经过点P (5，－2)，且与y 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．解 (1)∵直线y ＝33x 的斜率为33， ∴直线y ＝33x 的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为 3.∴所求直线方程为y ＋3＝3(x －2)，即3x －y －23－3＝0.(2)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x ＝5.(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1. ∵直线过点P (－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y －3＝－(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.二、直线的斜截式方程问题2 直线l 上给定一个点P 0(0，b )和斜率k ，求直线l 的方程．提示 y ＝kx ＋b 知识梳理1．直线l 与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距．2．把方程y ＝kx ＋b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x 轴上的截距和在y 轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y 轴上的截距．(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别：当k ≠0时，y ＝kx ＋b 为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数．故一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程．例2 已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解由斜截式方程知，直线l 1的斜率k 1＝－2，又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2.由题意知，l 2在y 轴上的截距为－2，所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.延伸探究本例中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程．解 ∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12. ∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数，直线l 2：y ＝4x －2，∴l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2. 反思感悟求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．跟踪训练2 已知斜率为－43的直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l 的方程．解设l ：y ＝－43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝34b . 由题意，得12·|b |·⎪⎪⎪⎪34b ＝6， ∴b 2＝16，∴b ＝±4.故直线l 的方程为y ＝－43x ±4. 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直例3 已知直线l 1：y ＝－3m 8x ＋10－3m 8和l 2：6my ＝－x ＋4，问m 为何值时，l 1与l 2平行或垂直？解当m ＝0时，l 1：4y －5＝0；l 2：x －4＝0，l 1与l 2垂直；当m ≠0时，l 2的方程可化为y ＝－16m x ＋23m. 由－3m 8＝－16m ，得m ＝±23；由10－3m 8＝23m ，得m ＝23或m ＝83，－3m 8·⎝⎛⎭⎫－16m ＝－1无解．故当m ＝－23时，l 1与l 2平行；当m ＝0时，l 1与l 2垂直．反思感悟若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1. 跟踪训练3 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)判断直线l 1与l 2是否能平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)当a ＝1时，显然两直线不平行．当a ≠1时，将方程ax ＋2y ＋6＝0化为y ＝－a 2x －3，将方程x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝化为y ＝11－ax －a －1. 若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则⎩⎨⎧ －a 2＝11－a ，－3≠－a －1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(2)当l 1⊥l 2时，a ＋2(a －1)＝0，解得a ＝23. 即当a ＝23时，l 1⊥l 2.1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合思想．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．方程y ＝k (x －2)表示( )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线答案 C解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴．2．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为( )A ．9B ．－9 C.274 D ．－274答案 B解析由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝94x －9，∴l 在y 轴上的截距为－9.3．已知直线l 的倾斜角为60°，且在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为() A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2答案 D解析 ∵α＝60°，∴k ＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y ＝3x －2.4．若直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( )A ．k >0，b >0B ．k >0，b <0C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0答案 B解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.课时对点练1．已知一直线经过点A (3，－2)，且与x 轴平行，则该直线的方程为( )A ．x ＝3B ．x ＝－2C ．y ＝3D ．y ＝－2答案 D解析 ∵直线与x 轴平行，∴其斜率为0，∴直线的方程为y ＝－2.2．若直线l 的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l 的方程是( )A ．y －1＝xB ．y ＋1＝xC ．y －1＝－xD ．y ＋1＝－x答案 B解析 ∵直线l 的倾斜角为45°，∴直线l 的斜率为1，又∵直线l 过点(0，－1)，∴直线l 的方程为y ＋1＝x .3．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( )A ．60°，2B ．120°，2－ 3C ．60°，2－ 3D ．120°，2 答案 B解析该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3.4．过点(－1,3)且垂直于直线y ＝12x ＋32的直线方程为( ) A ．y －3＝－2(x ＋1)B ．y －3＝－2(x －1)C ．y －3＝－12(x ＋1) D ．y －3＝12(x ＋1) 答案 A解析所求直线与已知直线垂直，因此所求直线的斜率为－2，故方程为y －3＝－2(x ＋1)．5．以A (2，－5)，B (4，－1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A ．y －(－3)＝2(x －3)B ．y －3＝2(x －3)C ．y －3＝－12(x －3) D ．y －(－3)＝－12(x －3) 答案 D解析由A (2，－5)，B (4，－1)，知线段AB 的中点坐标为P (3，－3)，又由斜率公式可得k AB＝－1－(－5)4－2＝2，所以线段AB的垂直平分线的斜率为k＝－1k AB ＝－12，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－(－3)＝－12(x－3)．6．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点()A．(1,3) B．(－1，－3)C．(3,1) D．(－3，－1)答案 C解析直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是．答案y＝3x－6或y＝－3x－6解析因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为3或－3，又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y＝3x－6或y＝－3x－6.8．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为．答案y－1＝－(x－2)解析直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．9．求满足下列条件的m的值．(1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；(2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直．解(1)∵l1∥l2，∴两直线的斜率相等．∴m2－2＝－1且2m≠1，∴m ＝±1.(2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12， ∴m ＝34. 10．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程．解当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2k －2k，由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2. 解得k ＝12. 可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)．综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．11．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是( )答案 C解析对于选项A ，y ＝ax 过坐标原点，且a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；对于选项B ，y ＝ax 过坐标原点，且a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意；对于选项C ，y ＝ax 过坐标原点，且a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意；对于选项D ，两直线均不过原点，不符合题意．12．设a ∈R ，如果直线l 1：y ＝－a 2x ＋12与直线l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1平行，那么a ＝ . 答案－2或1解析由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1.13．已知直线l 在y 轴上的截距等于它的斜率，则直线l 一定经过点．答案 (－1,0)解析由题意可设方程为y ＝ax ＋a ，即y －0＝a (x ＋1)，由点斜式方程可知，直线过定点(－1,0)．14．将直线y ＝3(x －2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是 . 答案 y ＝－3(x －2)解析 ∵直线y ＝3(x －2)的倾斜角是60°，∴按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－3，且过点(2,0)， ∴其方程为y －0＝－3(x －2)，即y ＝－3(x －2)．15．已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是．答案 ⎣⎡⎦⎤－2，12 解析由已知得，直线l 恒过定点P (2,1)，如图所示．若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ，因为k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12，所以－2≤k ≤12. 16．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．(1)证明由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)． (2)解设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1. 所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－15，1.。

直线的倾斜角和斜率

必修2 第二章直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准, 叫做直线l 的倾斜角．．．.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. ②范围：倾斜角α的取值范围是特别：当时，称直线l 与x 轴垂直2．直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = .①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ;②当直线l 与x 轴垂直时,α= , k .3. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k=若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率③已知直线方程，将方程化成斜截式y=kx+b ，则x 项的系数就是斜率k,也可能无斜率.4. 两条直线平行与垂直的判定①两条直线都有斜率．．．而．且不重合．．．．，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 ;②两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 .1.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角是 .2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–，则a 等于( )A .–8B .10C .2D .4 3．直线6x +=的斜率是，倾斜角是 .4．试求m 的值,使过点()(),1,1,A m B m -的直线与过点()()1,2,5,0P Q -的直线(1)平行(2)垂直215．已知直线1l 过点A （2，-1）和B （3，2），直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.6．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值7．已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．8．已知四边形ABCD 的顶点为()(),,6,1,A m n B()()3,3,2,5C D ,求mn 的值,使四边形ABCD 为直角梯形.9．已知M(1, –2), N(2,1)，直线l 过点P(0, -1)，且与线段MN 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.1.在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜率k= tan θ；②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为135°；③经过A （-1，0），B （-1，3）两点的直线的倾斜角为90°；④直线y=1的倾斜角为45°。

2020-2021学年数学第2章 §11.1直线的倾斜角和斜率含解析

2020-2021学年北师大版数学必修2教师用书：第2章§1 1.1直线的倾斜角和斜率含解析§1直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率学习目标核心素养1。

理解直线的倾斜角和斜率的概念．（重点）2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．（重点）1。

通过直线的倾斜角和斜率的概念培养数学抽象素养．2．通过学习过两点的直线的斜率公式的应用培养数学运算素养。

1．直线的确定及直线的倾斜角（1)直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．（2)直线的倾斜角：①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示．②范围:0°≤α〈180°.思考1：若一条直线的倾斜角为0°时，此直线与x轴什么关系？提示：平行或重合．2．直线的斜率(1）直线的斜率：直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝错误!(2)经过两点的直线斜率的计算公式：经过两点P1（x1,y1），P2（x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k ＝错误!。

(3)斜率与倾斜角的关系：图示倾斜角（范围）α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率（范围)k＝0k＞0不存在k＜0思考2:所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少?提示:不是．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为90°。

思考3：在同一直线(与x轴不重合）上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗?提示：相等．对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等．1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．错误![k＝tan 60°＝错误!.]2．经过两点A（3,2），B（4，7)的直线的斜率是________．5［k＝错误!＝错误!＝5.]3．经过两点P(1，－4）,Q（－1,－4）的直线的倾斜角是________．0°[k＝tan α＝错误!＝错误!＝0,∴α＝0°。

2020年高中数学第二章解析几何初步11.1直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2

【解析】当 0°≤α＜135°时，l1 的倾斜角为 α＋45°；当 135°≤α＜180°时，如图．此时 l1 的倾斜角为 β，则
β＝α＋45°－180°＝α－135°. 【答案】当 0°≤α＜135°时，倾斜角为 α＋45°，当 135°≤α ＜180°时，为 α－135°
【规律总结】求倾斜角时，主要根据定义，画出图形，找准倾斜角．有时需分类讨论，把角分为四类：①0°角；②锐角； ③直角；④90°＜α＜180°.
【错因分析】 (2)中求斜率 k 的取值范围时，未结合图形分析 k 的变化趋势．
【正解】 (1)kPM＝－23－－11＝－4，kPN＝－－23－－11＝34.
(2)如图所示，l′是经过点 P 且与 x 轴垂直的直线，当直线 l 由 PN 位置绕点 P 向 l′位置旋转时，直线的倾斜角在锐角范围内逐渐增大，斜率也逐渐增大，此时 k≥kPN＝34；当直线 l 由 l′位置绕点 P 向直线 PM 位置旋转时，直线的倾斜角在钝角范围内逐渐变大，斜率也逐渐增大，此时，k≤kPM＝－4.
5．已知 a>0，若平面上三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3) 共线，求 a 的值．
解：∵kAB＝a2－2－－1 a＝a2＋a 存在，又 A，B，C 三点共线，∴kAC＝a3－3－－1 a＝a3＋2 a也存在，且 kAB＝kAC，即 a2＋a＝a3＋2 a，整理得 a(a2－2a－1)＝0. 解得 a＝0 或 a＝1± 2.又∵a>0，∴a＝1＋ 2.
已知三点 A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同一
直线上，求 a 的值．解：∵kBC＝－2a4－－15＝－2a－ 9 1存在，又 A，B，C 三点共线， ∴kAB 也存在，且 kAB＝kBC. 即－2a－ 9 1＝15－－2a(a≠5)， ∴2a2－11a＋14＝0，解得 a＝72或 a＝2.

直线斜率说课稿

直线斜率说课稿直线斜率说课稿1一、教材分析1、教材中的地位与作用：“直线与方程”是苏教版数学必修2的第二章的内容，是解析几何的开篇之作。

而“直线的斜率”这一节是这一章的第一节，是用斜率与倾斜角来刻画直线方向的，它学习的内容是基础的，学习方法是重要的。

是为今后用代数的方法研究解析几何问题的的学习奠定基础，起到了启下的作用。

2、教学的重点与难点：根据课程标准的要求，本节教学的重点为：直线斜率的本质认识与直线斜率的坐标公式。

因为过定点的直线的倾斜程度就是用直线的斜率来刻画的，斜率的是通过直线上两点的纵坐标的差与横坐标的差的比来计算的，反映了用代数的方法来研究几何问题的核心思想。

教学的难点为：直线斜率、倾斜角的定义和本质的理解、斜率与倾斜角之间的关系。

因为倾斜角实际上是直线相对x轴的倾斜程度来反映直线的倾斜程度的，它与斜率一样，都是刻画直线的'倾斜程度，但两者的角度不同，所以存在一定的联系，这一联系正是教学的难点所在。

二、教学目标的确定由于“直线的斜率”是“直线与方程”的第一课时，又是解析几何的开始部分。

从学生原有的认知上分析，确定教学的目标为：1、知识目标：（1）理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式（2）理解直线的倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围（3）掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系（4）使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线的方向的变化规律，只要研究直线的斜率的变化的规律2、能力目标：培养学生的主动探究知识、合作交流的意识，观测、探究、分析问题、解决问题的能力3、情感目标：通过课堂教学培养学生的数行结合的美感与严谨治学的生活态度三、教学与学法1、学法指导：学生原有对直线知识的掌握情况为：在坐标系中能画出直线的图形，而高中则要求学生能用几何量：斜率与倾斜角来刻画直线的倾斜程度，能用代数的方法研究斜率的问题，所以在学法上要指导学生：观测生活中的楼梯的坡度；探究坡度的大小与数学中的斜率有关系；领悟斜率的计算公式；理解斜率与倾斜角的关系。

【高中数学】第2章 2.2.1 直线的倾斜角与斜率【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修

2.2直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率学习目标核心素养1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．(重点)2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点)3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点) 4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用．(难点)5．掌握直线的方向向量和法向量．(重点) 1．通过直线的倾斜角与斜率的概念学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养．我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l 的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．(2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0°．(3)倾斜角α的范围为[0°，180°)． 2．直线的倾斜角与斜率一般地，如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线上l 两个不同的点，直线l 的倾斜角为θ，则：(1)当y 1＝y 2时(此时必有x 1≠x 2)，θ＝0°． (2)当x 1＝x 2时(此时必有y 1≠y 2)，θ＝90°． (3)当x 1≠x 2且y 1≠y 2时，tan θ＝y 2－y 1x 2－x 1．思考1：当x 1≠x 2且y 1＝y 2时，(3)式中的式子成立吗？ [提示] 成立．(4)一般地，如果直线l 的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称k ＝tan θ为直线l 的斜率，当θ＝90°时，称直线l 的斜率不存在．(5)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，当x 1≠x 2时，直线l 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1．思考2：运用(5)中公式计算直线AB 的斜率时，需要考虑A 、B 的顺序吗？ [提示] k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝k BA ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以直线AB 的斜率与A 、B 两点的顺序无关．思考3：直线的斜率与倾斜角是一一对应的吗？ [提示] 不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 3．直线的方向向量(1)一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，则称向量a 为直线l 的一个方向向量，记作a ∥l ．(2)如果a 为直线l 的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa 都是l 的一个方向向量，而且直线l 的任意两个方向向量一定共线．(3)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量．思考4：设l 是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？[提示](1,1)．(4)一般地，如果已知a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则：①当u＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°．②当u≠0时，直线l的斜率存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝vu，tan θ＝vu．4．直线的法向量一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l．思考5：如果a＝(－1,2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？[提示](2,1)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．()(3)一个倾斜角α不能确定一条直线．()(4)斜率公式与两点的顺序无关．()(5)直线的方向向量与法向量不唯一．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(5)√[提示](1)错误．除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度．(2)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(3)正确．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α．(4)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．(5)正确．若a为直线的方向向量，则λa(λ≠0)也是直线的方向向量．2．如图所示，直线l的倾斜角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．以上都不对C [根据倾斜角的定义知，直线l 的倾斜角为30°＋90°＝120°．] 3．直线l 过点M (1,2)，N (2,5)，则l 的斜率为( ) A ．3 B ．－3 C ．13D ．－13 A [根据题意，l 的斜率为5－22－1＝3．]4．直线l 经过点A (2,1)和B (－5，－2)，则直线l 的一个方向向量为． (－7，－3) [AB →＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)．]5．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为．2或29 [∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即53－a ＝9a ＋75，∴a ＝2或a ＝29．]直线的倾斜角【例1】绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°D [根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．故选D．]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．[跟进训练]1．已知直线l1的倾斜角为α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角．[解]∵l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B，∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°．直线的斜率【例2】如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)．(1)试计算直线l1，l2，l3的斜率；(2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率．[思路探究]根据题意，分清直线过哪两个点，然后用斜率公式求解，要注意斜率不存在的情况．[解](1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在．设它们的斜率分别为k1，k2，k3．则由斜率公式得：k1＝－1－2－2－3＝35，k2＝－2－24－3＝－4，k3＝2－2－3－3＝0．(2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，此时其斜率不存在．当a≠3时，其斜率k＝3－2a－3＝1a－3．1．求斜率时要注意斜率公式的适用范围，若给出直线上两个点的坐标，首先要观察横坐标是否相同，若相同，则斜率不存在；若不相同，则可使用斜率公式．若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”．2．由例题中图可以看出：(1)当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；(2)当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；(3)当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合．[跟进训练]2．已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．[解](1)由斜率公式得k AB＝1－11－(－1)＝0，k BC＝3＋1－12－1＝3．k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33．倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．又∵tan 0°＝0， ∴AB 的倾斜角为0°． tan 60°＝3，∴BC 的倾斜角为60°． tan 30°＝33，∴AC 的倾斜角为30°．(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3．斜率公式的应用[探究问题1．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2．2．你能证明A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)三点在同一条直线上吗？ [提示] 能．因为A (－3，－5)，B (1,3)，C (5,11)，所以k AB ＝3－(－5)1－(－3)＝2，k BC ＝11－35－1＝2，所以k AB ＝k BC ，且直线AB ，BC 有公共点B ，所以A ，B ，C 这三点在同一条直线上．【例3】已知直线l 过点M (m ＋1，m －1)，N (2m ，1)． (1)当m 为何值时，直线l 的斜率是1? (2)当m 为何值时，直线l 的倾斜角为90°？ [思路探究] 求直线的斜率⇒直线的斜率公式． [解] (1)k MN ＝m －1－1m ＋1－2m＝1，解得m ＝32．(2)l 的倾斜角为90°，即l 平行于y 轴，所以m ＋1＝2m ，得m ＝1．1．本例条件不变，试求直线l 的倾斜角为锐角时实数m 的取值范围． [解] 由题意知 ⎩⎨⎧m －1－1m ＋1－2m ＞0，m －1≠1，解得1＜m ＜2．2．若将本例中的“N (2m,1)”改为“N (3m,2m )”，其他条件不变，结果如何？ [解] (1)由题意知m －1－2m m ＋1－3m ＝1，解得m ＝2．(2)由题意知m ＋1＝3m ，得m ＝12．直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． (2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(其中x 1≠x 2)进行计算．求直线的方向向量或法向量【例向量，并确定直线l 的斜率与倾斜角．[解] AB →＝(4－1,5－2)＝(3,3)是直线l 的一个方向向量．由法向量与方向向量垂直，∴法向量可以为(－1,1)．因此直线的斜率k ＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而可知θ＝45°．求方向向量和法向量的方法(1)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线上的两个不同的点，则直线l 的方向向量为AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，直线的法向量和方向向量垂直．(2)直线的方向向量和法向量不唯一．[跟进训练]3．已知直线l 经过点M (3,3)和N (2,3＋3)，求直线l 的一个方向向量和法向量，并求直线l 的斜率和倾斜角．[解] MN →＝(2－3,3＋3－3)＝(－1，3)，∴直线l 的一个方向向量为(－1，3)，由于法向量与方向向量垂直． ∴法向量v ＝(3，1)，斜率k ＝3＋3－32－3＝－3，由tan θ＝－3知θ＝120°．1．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫或k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)． 2．直线的倾斜角定义及范围：0°≤α＜180°． 3．直线斜率的几何意义：k ＝tan α(α≠90°)． 4．斜率k 与倾斜角α之间的关系⎩⎨⎧α＝0°⇒k ＝tan 0°＝0，0°＜α＜90°⇒k ＝tan α＞0，α＝90°⇒tan α(不存在)⇒k 不存在，90°＜α＜180°⇒k ＝tan α＜0.1．若经过P (－2，m )和Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 等于( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4A [由题意知k PQ ＝4－mm ＋2＝1，解得m ＝1．] 2．斜率不存在的直线一定是( ) A ．过原点的直线 B ．垂直于x 轴的直线 C ．垂直于y 轴的直线 D ．垂直于坐标轴的直线B [只有直线垂直于x 轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．]3．若过两点M (3，y )，N (0，3)的直线的倾斜角为150°，则y 的值为( ) A ． 3 B ．0 C ．－ 3 D ．3B [由斜率公式知3－y 0－3＝tan 150°，∴3－y 0－3＝－33， ∴y ＝0．]4．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l 的斜率的取值范围是．(－∞，－1)∪[0，＋∞) [设直线的倾斜角为α，斜率为k ，当0°≤α＜90°时，k ＝tan α≥0，当α＝90°时无斜率，当90°＜α＜135°时，k ＝tan α＜－1，故直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．]5．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值．[解] 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2，k AC ＝7－1a －1＝6a －1，k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2，所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高中数学第二章直线的点斜式方程课件新人教A版选择性必修第一册

名师点睛
1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、
负数和0.当直线过原点时,它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距,如直线
y=2x-1的斜率k=2,在y轴上的截距为-1.
距b;同理,如果已知截距b,只需引入斜率k
变式训练2
已知斜率为解设
4
3
的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6,求直线l的方程.
4
l:y=-3x+b,令
x=0,得 y=b;令 y=0,得
1
3
由题意,得2·|b|·4
=6,∴b2=16,∴b=±4.
故直线 l 的方程为
4
y=- x±4.
3
3
x=4b.
(1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的
坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.
(2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.
变式训练1
直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点B(-1,4).求满足下列条件的直线l2的方
程.
(1)直线l2∥l1;(2)直线l2⊥l1.
(2)过两点A(1,3),B(2,5).
思路分析先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.
√3
解 (1)∵α=150°,∴k=tan 150°=- 3 ,
√3
∴直线的点斜式方程为 y+2=- 3 (x-4).
5-3
(2)∵k= =2,
2-1
∴直线的点斜式方程为 y-3=2(x-1).

人教版数学必修2课件-直线的倾斜角与斜率

x2 x1
归纳：对于斜率公式要注意下面四点：
归纳：对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当斜x率1=不x2存时在，，公倾式斜右角边无=意90义o，，直直线线与的
x轴垂直；
归纳：对于斜率公式要注意下面四点：
(1) 当斜x率1=不x2存时在，，公倾式斜右角边无=意90义o，，直直线线与的
x轴垂直； (2) k与P1、P2的顺序无关，即y1,y2和x1,x2
讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定) 一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗?
y l
P
O
x
讲授新课
我们知道，经过两点有且只有(确定)
一条直线. 那么，经过一点P的直线l的位
置能确定吗?
(1)它们都经过点P.
y l
(2)它们的‘倾斜程度’不同.
P
O
x
怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
.
练习
3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的倾斜角为 0o ，斜率为 0 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为
，
斜率为
.
练习
3．已知等边三角形ABC，若直线AB平
行于y轴，则∠C的平分线所在的直线的
倾斜角为 0o ，斜率为 0 ，另两边AC、
BC所在的直线的倾斜角为 120o、60o ，
直线斜率的概念：直线倾斜角的正切值叫直线的斜率.常用k表示，k＝tan.
讨论：当直线倾斜角为90o时, 它的斜率不存在吗? 倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系? 斜率为正或负时，直线过哪些象限呢?
给定两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?

2.1.1 直线的倾斜角与斜率-新教材高二数学人教A选择性必修第一册第2章

答案
知识点二直线的斜率与倾斜角的关系
思考1
在日常生活中，我们常用“ 升高量” 前进量
表示“坡度”，图(1)(2)
中的坡度相同吗？
答案不同，因为32 ≠22
答案
思考2 思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？答案存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中，坡度＝tan β.
答案
解析答案
(2)已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围. 解如图所示：当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是 17，53 .
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值. 解由题意可知kAB＝53－－11＝2，kAC＝7a－－11＝a－6 1 ，kAD＝－b－ 1－11＝b－－21. 因为A，B，C，D四点在同一条直线上，所以k＝2＝a－6 1 ＝b－－21 ，解得a＝4，b＝－3，所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
解析答案
类型三斜率与倾斜角的综合应用例3 (1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2 , 5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值；解 ∵α＝45°， ∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∵P1，P2，P3都在直线l上， ∴kp1p2 ＝kp2 p3＝k， ∴5x2－－y21 ＝31－－x52 ＝1 ，解得x2＝7，y1＝0.
解析答案
(2)经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是_0_°__<_α_≤__9_0° (其中m≥1).

直线的斜率1讲解

x2 x1
y
Q’
Q
P’ P
M’
M
y2 y1 是一个定值 x2 x1
o
x
直线斜率的定义
已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，
y 如果 x1≠x2，则直线 PQ的斜率为：
Q(x2, y2 )
k＝ y2 y1 x2 x1
(x1 x2 )
P(x1, y1)
y2 y1
x2 x1
o
x
解析几何研究问题的一般方法
坐标法几何问题
代数问题
几何对象的性还原质、位置关系
代数方法代数问题的解
解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。
画出下列函数的图象，并观察它们的异同。
y=x+1
y=2x+1
y
y=-x+1
o
x
一点和直线的方向（即直线的倾斜程度）可以确定一条直线
y
o
x
思考:确定一条直线需要什么样的条件? (1)两个点 (2)一点和一个确定的方向可以确定一条直线.
解当m≠1时， k m2 2 - 2 m2 1-m 1-m
当m＝1时，直线AB垂直于x轴，所以斜率不存在.
经过点 A(3,2) 画直线，使直线的斜率分别为① 0，② 不存在， ③ 2， ④ - 2.
3
y
BB((43,4) x, 2 y)
3
y
2 A(3,2） A(3,2）
y 如果 x1≠x2，则直线 PQ的斜率为：
Q(x2, y2 )
k＝ y2 y1
x2 x1
y x (x1 x2 )
P(x1, y1)
y2 y1

第二章 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

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规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
第二章平面解析几何初步
规律方法总结
1．给出直线上一点坐标以及直线的斜率k，设出直线方程y＝kx＋b，再由待定系数法确定b的值即可．当直线斜率不存在时，直线方程形式为x＝a. 2．给出直线方程为Ax＋By＋C＝ 0(A、B、C为系数)时，令x＝0，得直线与y轴的交点，令y＝0，得直线与x轴的交点．连接直线与坐标轴的两个交点可得直线，即两点法画直线(这两点可以不是直线与坐标轴交点)．
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规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
第二章平面解析几何初步
6．与光的反射有关的题目中，入射角一定等于反射角，只有当反射面水平(与x轴平行或重合)时，有k入＝－k反．其它情况下，不一定有此结论． 7．已知三点A，B，C，若kAB＝kAC，则 AB的倾斜角与AC的倾斜角相同，AB，AC两条直线重合，说明这三点共线． 8．掌握斜率的求法及斜率公式，并把斜率的计算公式迁移到代数函数或三角函数的最大、最小值中去，形成数形结合的方法．
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规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
第二章平面解析几何初步
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规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
第二章平面解析几何初步 (2)斜率的定义通常，我们把直线y＝kx＋b中的系数k 叫做这条直线的斜率．垂直于x轴的直线不存在斜率．斜率反映直线的倾斜程度．

2-1-1倾斜角与斜率课件(共43张PPT)

④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－－yx11＝xy11－－xy22；当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性相同随α的增大而增大无随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．

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(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 0° .
(2)倾斜角α的范围是 0°≤α＜180° . (3)当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足： k＝tan.α
直线情形
α的大小 k的大小 k的范围
0° 0°＜α＜90°
0
k＝tan α
0
k＞0
90° 不存在不存在
90°＜α＜ 180°
k＝tan α＝－an(180° －α)
k＜0
图中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角．
[思路点拨] 明确直线倾斜角概念是解决本题的关键． [精解详析] 设直线l的倾斜角为β，结合倾斜角的定义可知，图①中α是直线l的倾斜角，即β＝α. 图②中α不是直线l的倾斜角，但α与β互补，即有β＝180°－α. 图③中α不是直线l的倾斜角，但α与β是对顶角，故β＝α. 图④中α不是直线l的倾斜角，但β＝90°＋α.
[一点通] 解决此类问题主要依据倾斜角的定义和范围，结合图形求角时，注意平面几何知识的应用．
1.若直线l的向上方向与y轴的正方向成 30°角，则直线l的倾斜角为____________．解析：如图所示，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. 答案：60°或120°
2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点按逆时针方向旋转60°，得到直线l′的倾斜角α＋60°，则 α的取值范围是 ____________．解析：由倾斜角的范围知，0°≤α＋60°＜180°且 0°≤α＜180°， ∴0°≤α＜120°. 答案：0°≤α＜120°
(1)求直线PM与PN的斜率； (2)求直线l的斜率k的取值范围． [思路点拨] (1)代入斜率公式， (2)数形结合求k的范围．
[一点通] 数形结合确定斜率变化时注意k＞0与k＜ 0的变化情况．
5．直线l过点A(1,2)；且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是____________．
解析：如图所示，kl＝kOA＝2，kl′＝0，只有当直线l落在阴影部分才符合题意， ∴k∈[0,2]．答案：[0,2]
6 ．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，若点D在线段BC 上移动时，求直线 AD斜率的变化范围．
经过下列两点的直线斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)P(1,1)，Q(－1，－2)； (2)P(－2，－3)，Q(－2,3)； (3)P(2,1)，Q(m,2)．
答案：1
答案：(1,6)
已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交，且点M、N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．
1．对于直线的倾斜角要把握 (1)定义中三个条件①x轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角． (2)它直观地描述且表现了直线相对x轴正方向的倾斜程度． (3)每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，倾斜角相等．
2．直线的斜率与倾斜角的关系 (1)从关系式上看：若直线l的倾斜角为α(α≠90°)，则直线l的斜率k＝tan α. (2)从几何图形上看第二章Biblioteka 线的斜率2020/8/14
问题1：可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题2：上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．
一个定值
不存在
如图，在平面直角坐标系中，给定一条直线l. 问题1：若直线l过点P，直线的位置能够确定吗？提示：不能．问题2：过点P可作与l相交的直线多少条？提示：无数条．问题3：对于上述问题中的所有直线怎样描述它们的倾斜程度？提示：可利用直线相对于x轴的倾斜角度．