第二章直线的斜率
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第二章直线的斜率
2020/8/14
问题1：可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？ 提示：可以． 问题2：上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么 对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？ 提示：可以．
一个定值
不存在
如图，在平面直角坐标系中，给定一条直线l. 问题1：若直线l过点P，直线的位置能够确定吗？ 提示：不能． 问题2：过点P可作与l相交的直线多少条？ 提示：无数条． 问题3：对于上述问题中的所有直线怎样描述它们的倾斜 程度？ 提示：可利用直线相对于x轴的倾斜角度．
经过下列两点的直线斜率是否存在？如果存在 ，求其斜率． (1)P(1,1)，Q(－1，－2)； (2)P(－2，－3)，Q(－2,3)； (3)P(2,1)，Q(m,2)．
答案：1
答案：(1,6)
已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交 ，且点M、N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．
(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线， 把x轴所在的直线绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合 时所转过的最小正角 称为这条直线的倾斜角．规定与x轴平 行或重合的直线的倾斜角为 0° .
(2)倾斜角α的范围是 0°≤α＜180° . (3)当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间 满足： k＝tan.α
1．对于直线的倾斜角要把握 (1)定义中三个条件①x轴正方向；②直线向上的方 向；③小于180°的非负角． (2)它直观地描述且表现了直线相对x轴正方向的倾 斜程度． (3)每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程 度相同的直线，倾斜角相等．
2．直线的斜率与倾斜角的关系 (1)从关系式上看：若直线l的倾斜角为α(α≠90°)，则直 线l的斜率k＝tan α. (2)从几何图形上看
(1)求直线PM与PN的斜率； (2)求直线l的斜率k的取值范围． [思路点拨] (1)代入斜率公式， (2)数形结合求k的范围．
[一Biblioteka Baidu通] 数形结合确定斜率变化时注意k＞0与k＜ 0的变化情况．
5．直线l过点A(1,2)；且不过第四象限，那么直线l的斜率 的取值范围是____________．
[一点通] 解决此类问题主要依据倾斜角的定义和范围 ，结合图形求角时，注意平面几何知识的应用．
1.若直线l的向上方向与y轴的正方向成 30°角，则直线l的 倾斜角为____________． 解析：如图所示，直线l有两种情况，故l的 倾斜角为60°或120°. 答案：60°或120°
2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点按逆时 针方向旋转60°，得到直线l′的倾斜角α＋60°，则 α的取值范围是 ____________． 解析：由倾斜角的范围知，0°≤α＋60°＜180°且 0°≤α＜180°， ∴0°≤α＜120°. 答案：0°≤α＜120°
解析：如图所示，kl＝kOA＝2，kl′＝0， 只有当直线l落在阴影部分才符合题意， ∴k∈[0,2]． 答案：[0,2]
6 ．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)， 若点D在线段BC 上移动时，求直线 AD斜率的变化范围．
直线情形
α的大小 k的大小 k的范围
0° 0°＜α＜90°
0
k＝tan α
0
k＞0
90° 不存在 不存在
90°＜α＜ 180°
k＝tan α＝ －an(180° －α)
k＜0
图中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各 条直线l的倾斜角．
[思路点拨] 明确直线倾斜角概念是解决本题的关键． [精解详析] 设直线l的倾斜角为β，结合倾斜角的定义可知 ，图①中α是直线l的倾斜角，即β＝α. 图②中α不是直线l的倾斜角，但α与β互补， 即有β＝180°－α. 图③中α不是直线l的倾斜角，但α与β是对顶角，故β＝α. 图④中α不是直线l的倾斜角，但β＝90°＋α.
2020/8/14
问题1：可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？ 提示：可以． 问题2：上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么 对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？ 提示：可以．
一个定值
不存在
如图，在平面直角坐标系中，给定一条直线l. 问题1：若直线l过点P，直线的位置能够确定吗？ 提示：不能． 问题2：过点P可作与l相交的直线多少条？ 提示：无数条． 问题3：对于上述问题中的所有直线怎样描述它们的倾斜 程度？ 提示：可利用直线相对于x轴的倾斜角度．
经过下列两点的直线斜率是否存在？如果存在 ，求其斜率． (1)P(1,1)，Q(－1，－2)； (2)P(－2，－3)，Q(－2,3)； (3)P(2,1)，Q(m,2)．
答案：1
答案：(1,6)
已知直线l经过点P(1,1)，且与线段MN相交 ，且点M、N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．
(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线， 把x轴所在的直线绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合 时所转过的最小正角 称为这条直线的倾斜角．规定与x轴平 行或重合的直线的倾斜角为 0° .
(2)倾斜角α的范围是 0°≤α＜180° . (3)当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间 满足： k＝tan.α
1．对于直线的倾斜角要把握 (1)定义中三个条件①x轴正方向；②直线向上的方 向；③小于180°的非负角． (2)它直观地描述且表现了直线相对x轴正方向的倾 斜程度． (3)每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程 度相同的直线，倾斜角相等．
2．直线的斜率与倾斜角的关系 (1)从关系式上看：若直线l的倾斜角为α(α≠90°)，则直 线l的斜率k＝tan α. (2)从几何图形上看
(1)求直线PM与PN的斜率； (2)求直线l的斜率k的取值范围． [思路点拨] (1)代入斜率公式， (2)数形结合求k的范围．
[一Biblioteka Baidu通] 数形结合确定斜率变化时注意k＞0与k＜ 0的变化情况．
5．直线l过点A(1,2)；且不过第四象限，那么直线l的斜率 的取值范围是____________．
[一点通] 解决此类问题主要依据倾斜角的定义和范围 ，结合图形求角时，注意平面几何知识的应用．
1.若直线l的向上方向与y轴的正方向成 30°角，则直线l的 倾斜角为____________． 解析：如图所示，直线l有两种情况，故l的 倾斜角为60°或120°. 答案：60°或120°
2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点按逆时 针方向旋转60°，得到直线l′的倾斜角α＋60°，则 α的取值范围是 ____________． 解析：由倾斜角的范围知，0°≤α＋60°＜180°且 0°≤α＜180°， ∴0°≤α＜120°. 答案：0°≤α＜120°
解析：如图所示，kl＝kOA＝2，kl′＝0， 只有当直线l落在阴影部分才符合题意， ∴k∈[0,2]． 答案：[0,2]
6 ．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)， 若点D在线段BC 上移动时，求直线 AD斜率的变化范围．
直线情形
α的大小 k的大小 k的范围
0° 0°＜α＜90°
0
k＝tan α
0
k＞0
90° 不存在 不存在
90°＜α＜ 180°
k＝tan α＝ －an(180° －α)
k＜0
图中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各 条直线l的倾斜角．
[思路点拨] 明确直线倾斜角概念是解决本题的关键． [精解详析] 设直线l的倾斜角为β，结合倾斜角的定义可知 ，图①中α是直线l的倾斜角，即β＝α. 图②中α不是直线l的倾斜角，但α与β互补， 即有β＝180°－α. 图③中α不是直线l的倾斜角，但α与β是对顶角，故β＝α. 图④中α不是直线l的倾斜角，但β＝90°＋α.