9.第三章一元函数微分学(微分的概念)
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章 一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过
程中， 需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.
10第三章一元函数微分学(中值定理及罗必塔法则)
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) A （或） xa() g( x) xa() g( x) xa() g( x)
5o
若函数是Βιβλιοθήκη 0,型可采用代数变形，化成
0 0
或
型；若是 1
,00
,0
型可采用对数或指数变形，化成
0 0
或
型.
例 3 求lim x 1 ． x1 x 1 ln x
f (0) (x3 x2 ) x0 0
∴ f (x) 满足罗尔定理的条件。由定理可得：
f ( ) 3 2 2 0
解得： 1
2 3
,
2 0
∵2 0 不在（-1，0）内，舍去；
∴
2 3
2.拉格朗日（Lagrange）中值定理： 如果函数 f(x)满足：
在(a, b)内至少存
10 在[a, b]上连续， 20 在(a, b)内可导；
解 这是 未定型，通过“通分”将其化为
0 未定型．
0
lim x1
x
x
1
1 ln x
lim
x1
x
ln (x
x (x 1) 1) ln x
lim
x1
x1 x ln
ln x 1 x x 1
1
x
lim x1 1
ln x 1 ln x
x
lim
x 1
1 x2
x
1 x
1 2
.
例4．求下列极限
定理： f (x) 和 g (x) 满足条件：
lim f (x) 0 (或）
xa
1o lim g(x) 0 (或）； xa
2o 在点 a 的某个邻域内可导，且 g(x) 0 ；
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学是微积分的重要内容之一，主要研究函数的变化率、斜率、极值、凹凸性等性质。
以下是一元函数微分学的内容概要总结：
1. 导数与微分，导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率，常用符号表示为f'(x)或者dy/dx。
微分是函数在某一点附近的线性近似，常用符号表示为dy。
2. 函数的求导，通过求导可以得到函数在某一点的导数，可以通过极限的定义或者导数的运算法则进行求导。
3. 导数的应用，导数可以用来求函数的极值，判断函数的增减性和凹凸性，求曲线的渐近线，解决最优化问题等。
4. 微分方程，微分方程是关于未知函数及其导数的方程，是自然科学和工程技术中描述变化规律的重要数学工具。
5. 泰勒公式，泰勒公式是函数在某点附近的多项式逼近公式，可以用来近似计算函数的值。
6. 函数的高阶导数，除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等高阶导数，可以描述函数的曲率、加速度等性质。
7. 微分学与积分学的关系，微分学和积分学是微积分的两大分支，它们之间通过微积分基本定理建立了联系，即导数与原函数的
关系。
以上是一元函数微分学的内容概要总结，涵盖了导数与微分、
函数的求导、导数的应用、微分方程、泰勒公式、高阶导数以及微
分学与积分学的关系等内容。
希望能对你有所帮助。
一元函数微分学
第二章一元函数微分学一．先回顾导数的定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：1．=；2．；要特别关注处的导数有特殊形式：（更特别地，要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知=A，试求下列极限的值（1）（2）。
例2．研究函数在处的可导性.解：因为同理，可求得.由于，所以在处不可导。
（记住这个结论）练习：设在处可导，求的值.解：（一）因为在处可导，从而在处也连续.所以，即（二）由得.例3．已知，试求在处的导数.解：因为，所以，由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：，求.二．导数的几何意义关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。
一种题型是选择题或判断题。
比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（√）；反之，若曲线在处有切线，则在处必可导，则（×）.另一种题型是根据几何意义找切线.例4．求曲线与直线垂直的切线.解：设切点.切线斜率由题意，即故切线方程为下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.例5．设为连续函数，且求曲线在点处的切线方程。
（08年研究生考试题）解：由于，且故（前面已讲过理由）而，所以，切线方程为三．导数的四则运算四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。
下面举几个小例子.例6．求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例7．设求此题应先化简再求导：注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.例8．求的导数.解：.四．反函数求导法则若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且.例9．求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据反函数求导法则.有.五．复合求导法则大家可能还有印象，复合函数的导数是.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如果记，则，故此题恰好满足等式：（*）这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理:若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且或（或.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数，如记，则各变量间的关系是：有上式可通过连续使用两次链式法则得到。
一元函数微分学知识点
一元函数微分学知识点一元函数微分学是微积分中的重要内容，它主要研究函数的变化率和极值问题。
微分学中的主要概念包括导数、微分以及一些常见函数的微分法则。
下面将依次介绍这些知识点。
一、导数导数是描述函数变化率的重要工具。
给定一个函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的变化速率。
导数可以用极限来定义，即导数等于函数在该点处的极限值。
导数的记号常用f'(x)或者dy/dx 表示。
导数有几个重要的性质，包括线性性、乘积法则、商法则和链式法则。
线性性表示导数运算具有线性性质，即对于任意常数a和b，有(a*f(x) + b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。
乘积法则描述了两个函数相乘的导数计算方法，即(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
商法则是用来计算两个函数相除的导数，即(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2。
链式法则适用于复合函数，即若有一个函数h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x))*g'(x)。
二、微分微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数在某一点的值。
微分的记号常用dx表示，它表示函数在某一点的微小变化。
微分的计算公式是dy = f'(x)*dx，其中dy表示函数在x处的微小变化，dx表示自变量的微小变化。
微分和导数之间有一个重要的关系，即导数是微分的极限形式。
当自变量的微小变化趋于0时，微分就变成了导数。
因此，导数可以用微分来近似计算。
三、常见函数的微分法则在微分学中，有一些常见函数的微分法则被广泛应用。
这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。
对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的导数为f'(x) = 0。
高等数学同济教材大一总结
高等数学同济教材大一总结在大一的高等数学学习中，同济教材是我们的主要教材之一。
通过学习这本教材，我对于高等数学的知识有了更深入的理解。
下面我将对这本教材进行一个总结，希望能够对其他同学有所帮助。
第一章概率与统计这一章主要介绍了概率与统计的基本概念和原理。
通过学习，我对于概率的计算和统计的分析有了一定的掌握。
在这一章中，我学到了如何计算事件的概率，如何进行随机变量的运算，以及如何利用统计的方法进行数据的分析与推断。
这些知识对于我们日后的学习和工作都有着重要的作用。
第二章函数与极限函数与极限是高等数学的重要内容，在这一章中，我们学习了各种类型的函数以及函数的性质和特点。
通过学习函数与极限，我们能够更好地理解函数的图像、函数的性质以及函数的极限的概念和计算方法。
掌握了这些知识之后，我们就能够更好地解决实际问题并进行相关的计算。
第三章一元函数微分学一元函数微分学是高等数学中的重要分支，它是微积分学的基础。
在这一章中，我们学习了导数的概念、导数的计算方法以及导数的应用。
通过学习一元函数微分学，我们能够更深入地理解函数的变化规律，能够更好地求解函数的最值问题，并能够应用导数进行曲线的研究与优化。
第四章函数积分学函数积分学是微积分学的另一个重要分支，它与一元函数微分学形成互补。
在这一章中，我们学习了不定积分、定积分以及它们的计算方法和性质。
通过学习函数积分学，我们能够更深入地理解曲线下的面积、积分的应用以及微积分与几何之间的关系。
第五章多元函数微分学多元函数微分学扩展了一元函数微分学的概念与方法，使我们能够研究多元函数的性质与变化规律。
在这一章中，我们学习了多元函数的偏导数、全微分以及它们的计算方法和性质。
通过学习多元函数微分学，我们能够更好地理解多元函数的变化规律，能够更好地应对多元函数的最值问题，并能够应用多元函数进行曲面的研究与优化。
第六章无穷级数与幂级数无穷级数与幂级数是数学中的重要概念，它们在分析学、物理学等领域有着广泛的应用。
一元函数微分学
一元函数微分学微分学的发展历史表明，它是一门具有重要实际应用价值的理论学科。
它可以在力学、热学、电磁学、光学和生物学等各种学科中被广泛地应用，因此研究如何将微分法应用于这些问题是十分必要的。
根据解决问题的不同目的和要求，我们可以对微分法进行分类。
为了叙述方便，我们可以按照求解区间上的函数值来分类，即按导数所处的区间来分类。
一元函数导数的主要应用包括： 1.求函数极值及其区间； 2.求导数的最大值及其区间； 3.求导数的最小值及其区间； 4.求导数的零点； 5.求函数曲线的切线； 6.求函数图形的拐点等。
5.1分类讨论一：定义微分法5.4分类讨论一：分类定义微分法（续）一类变量的导数是另一类变量的函数，从而得到新变量在原变量的增量与自变量之间的另一函数关系。
一元函数微分法的基本思想：假设两个变量之间存在某种函数关系，通过对变量取极限或微分，就可以定义出一个新的变量（ x，h），从而揭示出这种函数关系。
求导公式： y>x（ a,b）或y<x （ a,b）。
求导法则：①初等函数的导数②高阶导数。
其中，可微的求导公式： y>x（ a,b）或y<x（ a,b）。
把x看作“常数”，而y当作“变量”，导数仍然是原变量y对自变量x的偏导数。
如： f(x) =1/x+1/x^2+4/x^4+…+f(x)^+=0；又如：f'(x) =f(x)-2x+4；又如： g'(x) =-2x-8。
2.对比（求导）性质一个变量x对另一个变量y求导，对这两个变量来说，都有相同的微分和积分，且等于原变量对新变量的导数，故称为对比（求导）性质。
3.比较法与无穷小量的关系如果用微分的观点去认识，那么微分法则成为整个数学的一个完整体系，而对比法则成为微分法的一个特殊的分支。
4.边界条件把x看作“常数”，而y当作“变量”，导数仍然是原变量y对自变量x的偏导数。
如： f(x) =1/x+1/x^2+4/x^4+…+f(x)^+=0；又如：f'(x) =f(x)-2x+4；又如： g'(x) =2*x-8。
高等数学一元函数微分学考点
高等数学一元函数微分学考点高等数学一元函数微分学考点高等数学一元函数微分学考点大家生疏了吗？下面我为大家介绍高等数学一元函数微分学考点，希望能帮到大家！(一)导数与微分1.学问范围(1)导数概念导数的定义左导数与右导数函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系(2)求导法则与导数的基本公式导数的四则运算反函数的导数导数的基本公式(3)求导方法复合函数的求导法隐函数的求导法对数求导法由参数方程确定的函数的求导法求分段函数的导数(4)高阶导数高阶导数的定义高阶导数的计算(5)微分微分的定义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式不变性2.要求(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，把握用定义求函数在一点处的导数的方法。
(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
(3)娴熟把握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。
(4)把握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。
(5)理解高阶导数的概念，会求简洁函数的阶导数。
(6)理解函数的'微分概念，把握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
(二)微分中值定理及导数的应用1.学问范围(1)微分中值定理罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)中值定理(2)洛必达(L‘Hospital)法则(3)函数增减性的判定法(4)函数的极值与极值点最大值与最小值(5)曲线的凹凸性、拐点(6)曲线的水平渐近线与铅直渐近线2.要求(1)理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。
会用罗尔定理证明方程根的存在性。
会用拉格朗日中值定理证明简洁的不等式。
(2)娴熟把握用洛必达法则求各种型未定式的极限的方法。
(3)把握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简洁的不等式。
(4)理解函数极值的概念。
把握求函数的极值、最大值与最小值的方法，会解简洁的应用问题。
一元函数微分学总结
一元函数微分学总结一元函数微分学是微积分学中的一个重要分支，用于研究一元函数的变化率和极值问题。
它是微分学的基础，对于理解和应用微积分具有重要的意义。
一元函数的微分学主要涉及函数的导数、极值和曲线的图像等内容。
其中，函数的导数是函数在某一点的变化率，它可以表示为函数的斜率或者切线的斜率。
函数的导数可以帮助我们研究函数在不同点的变化规律，了解函数的增减性、凹凸性、极值等特征。
在一元函数微分学中，求导是一个重要的操作。
通过求导，我们可以得到函数的导数表达式，从而可以计算函数在任意一点的导数值。
求导的基本规则包括常数导数规则、幂函数导数规则、指数函数导数规则、对数函数导数规则等，这些规则可以帮助我们快速计算导数。
另外，函数的导数还可以用于研究函数的极值。
通过求导，我们可以找到函数的极值点，即导数为零或者不存在的点。
极大值点对应函数的局部最大值，极小值点对应函数的局部最小值。
通过求导，我们可以判断一个函数在某一点的极值类型，并且可以进一步确定函数的增减区间和凹凸区间。
函数的导数还可以用于研究函数的图像。
通过求导，我们可以得到函数在不同点的斜率，进而可以画出函数的切线和曲线的大致形状。
通过分析切线和曲线的关系，我们可以了解函数的增减性和凹凸性，从而更加深入地理解函数的性质。
总而言之，一元函数微分学是微积分学中的重要分支，它研究一元函数的变化率和极值问题。
通过求导和分析导数，我们可以了解函数的增减性、凹凸性和极值等特征，从而更好地理解和应用微积分。
在实际应用中，一元函数微分学广泛应用于物理、经济、工程等领域，为实际问题的建模和求解提供了有力的工具和方法。
一元函数微分学的概念
常见的中值定理
柯西中值定理 泰勒中值定理
常见的中值定理
费马定理
通常作为小定理与其他的搭配使用
常见的中值定理
罗尔定理
通常等式较多，且给了函数值
常见的中值定理
拉格朗日中值定理
见到研究f和f`关系以及f-f的时候要考虑
常见的中值定理
柯西中值定理
通常会明显出现ln和分式
常见的中值定理
泰勒中值定理
隐函数
两边同时求导
1
多项相乘除
变成对数的加法好 解
3
幂指函数
5
2
反函数
一阶反函数求导简 单，要记好二阶反 函数求导的公式
4
参数求导
用公式即可
高阶求导
数学归纳法
熟练掌握高阶求导三部曲 先写通式
再写对应题目函数的具体展 开式
消除掉对应项 剩下的即是其高阶求导的结
果
12 43
把高阶求导的十个常见展开式背下 来
导数
导数的存在性
左导数=右导数
导数
常研究存在性的点
分段函数的分段点 抽象函数的特指点 抽象函数的泛指点 四则运算中的特殊点
导数
常见的几个不存在点
需要特殊注意分段点和带绝对值符号时候的0聆听
极坐标通常转换为
参数方程来进行处
3
理
隐函数
5
2
参数方程
4
分段函数
一元函数微分学的应用
物理应用
通常为求A对B的变化率问题，然后我们需要从A到B研究出一条可 导路径
03
中值定理
常见的中 值定理
0 1
连续函数的存 在性定理
0 4
费马定理
0 2
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第三章一元函数微分学及其应用-电子课件
分析：运动员跳水过程可以视为自由落体
运动，该案例实际上一个求变速直线运动
第
的瞬时速度问题。
一
节
运动跳下的距离和时间的关系为：s 1 gt 2 4.9t 2
2
导 数 的
如果运动员起跳时间记为 t 0 ，则入水时间为t 28 2.4(s)
4.9
概
我们用一些持续缩短的时间间隔 [2.4,2.4 t]上的平均速度
导
特别地，若
lim
x0
y x
,
也称函数
y
f
(x) 在
数 的 概
点 x0 的导数为无穷大，其属于导数不存在 的情形。
念
导数定义的 等价形式
前面两个案例中的导数：
第
v(t0
)
s(t0
)
lim
t 0
s(t0
t) t
s(t0
)
一
节 导
k
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
数
的
概
念
y
y 1 3(x 1) , 3x y 2 0
法线方程：
y 1 1 (x 1) , 3
x 3y 4 0
可导与连续的关系 可导必定连续，反之则不成立。
第
一 节
例如函数 f (x) x 在点 x 0处连续但不可导，
导
因为
数 的 概
f
(0)
lim
x0
f (0 x) f (0)
x
lim x0
导
增量的比值的极限，即平均变化率的极限。
数
的
概
类似问题还有：
高等数学同济第八版教材
高等数学同济第八版教材高等数学是大学数学的重要组成部分，它主要包含微积分和线性代数两个方面的内容。
而同济大学出版社的《高等数学同济第八版教材》是目前国内应用最广泛的高等数学教材之一。
本文将对该教材进行全面介绍，以帮助读者更好地理解和学习高等数学知识。
第一章微积分基础《高等数学同济第八版教材》的第一章主要介绍了微积分的基本概念、函数与极限、连续与间断等内容。
在这一章中，教材详细而全面地解释了微积分的起源和发展，为读者奠定了扎实的数学基础。
第二章一元函数微分学在第二章中，教材围绕一元函数的微分学展开讲解。
从导数的定义和性质开始，逐步引入微分的概念，并介绍了一元函数的凹凸性、单调性以及最值问题等重要内容。
此外，教材还给出了一些常见函数的导数和微分计算方法，为读者提供了丰富的例题和习题。
第三章一元函数积分学第三章主要介绍了一元函数的积分学。
教材从不定积分的定义和性质开始，讲解了反常积分和定积分的概念及其计算方法。
同时，教材还对定积分的应用进行了深入的讲解，如曲线长度、旋转体的体积等。
这些应用案例的介绍有助于读者理解积分在实际问题中的应用。
第四章微分方程本章主要介绍了微分方程的基本概念和解法。
教材首先介绍了一阶微分方程和高阶微分方程的概念，并详细讲解了可分离变量、齐次方程和一阶线性微分方程等常见的解法。
此外，教材还对二阶线性齐次微分方程的解法进行了详尽的介绍，并给出了一些典型的例题供读者练习。
第五章多元函数微分学在第五章中，教材引入了多元函数的微分学。
从偏导数和全微分的概念开始，教材展示了多元函数的极值、条件极值的判定方法，并详细介绍了隐函数的微分法和参数方程的微分法等内容。
本章的讲解重点在于培养读者对多元函数微分学的直观理解和应用能力。
第六章多元函数积分学多元函数积分学是本教材的第六章内容，它是微积分的重要组成部分。
教材从二重积分的概念和计算开始，讲解了二重积分的应用，如计算平面图形的面积、质量和重心等。
数分：一元函数微分学习题课
y 1 cos x sin x ln sin x cos x y x sin x
所以
y x(sin x )
cos x
1 ( sin x ln sin x cos x cot x ) x
【例11】设 y 分析
x ( x 5) 2 3 ，求 y 。 ( x 1)
所以切点坐标为 1， 0
再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对 x求导，得
e xy y xy 2 y 0
将 x 1 , y 0代入上式, 得 y 1 1
则所求切线方程为
y x 1
1 f ( x) f ( x) f (ln x) f (ln x) x
2
1 x
1 1 x2
所以
dy y dx
1 dx 2 1 x
y x(sin x )cos x ，求y 。 【例10】设
分析 因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。
解：应用对数求导法。函数两边取对数得
ln y ln x cos x ln sin x
方程两边对 x 求导得
1 f ( y )
函数 y f
1
( x ) 在对应的 I x 内也可导，且 [ f 1 ( x )]
dy 1 或 。 dx dx dy
3．复合函数求导法则 设 y f (u) 及 u g( x )都是可导函数，则复合函数 y f ( g( x )) 也是可导函数且 y ( x ) f [ g( x ) ] g ( x ) 。 4．隐函数求导法则 由方程 F ( x, y ) 0 确定了y f ( x )，方程两端对 x 求导，在 求导过程中牢记 y 是 x 的函数 ( y f ( x )) ，方程中含有 y 的
微分的概念_经济数学——微积分（第2版）（微课版）_[共2页]
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第２章 一元函数微分学———导数、微分及其应用７７ （１）当犘＝６时的需求价格弹性犈犘；（２）当犘＝６时，总收益对价格的弹性犈犘，若价格下降２％，总收益变化百分之几？是增加还是减少？９．设某商品的供给函数为犙犛＝－５＋５犘，求供给弹性函数犈犘及犘＝３时的供给弹性，并解释其经济意义．１０．某厂的一产品滞销，已知该产品的需求弹性为１．５～２，现采取薄利多销的策略，试问如果降价１０％，销售量变化的百分比的范围为多少？２ ４函数的微分 学习要求１．了解微分的概念，微分的几何意义，导数与微分的关系．２．掌握微分的运算法则和公式．３．会用微分进行简单的近似计算．本节介绍微分学的另一个重要概念：微分．导数表示函数在一点处由于自变量变化所引起的函数变化的快慢程度，微分是函数在一点处由于自变量的微小变化所引起的函数改变量的近似值．两者都是研究函数在局部的性质，有着密切的联系．微分的概念241 微分的概念先看一个具体的例子：设犛表示边长为狓０的正方形金属薄片的面积，则犛＝狓２０．受热膨胀后，边长狓０的改变量为Δ狓，则面积犛相应地有改变量Δ犛（如图２．４所示），即Δ犛＝（狓＋Δ狓）２－狓２＝２狓Δ狓＋（Δ狓）２上式中，Δ犛分成两部分，第一部分２狓０Δ狓是关于Δ狓的线性函数，即图２．４中阴影的两个矩形的面积之和；而第二部分即图２．４中右上角小正方形的面积．当Δ狓→０时，（Δ狓）２是比Δ狓高阶的无穷小．显然，当｜Δ狓｜很小时，（Δ狓）２可以忽略不计，Δ犛可用２狓０Δ狓近似代替，即Δ犛≈２狓０Δ狓图２．４对于一般函数狔＝犳（狓），能否用Δ狓的线性函数近似代替Δ狔？换句话说，就是能否把Δ狔表示为Δ狔＝犃Δ狓＋狅（Δ狓）为此引入微分的定义．定义２．５ 设函数狔＝犳（狓）在狓０的某个邻域内有定义，狓０＋Δ狓在该邻域内，如果函数的增量Δ狔＝犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）可以表示为Δ狔＝犃Δ狓＋狅（Δ狓）其中犃是与Δ狓无关的常数，那么称函数狔＝犳（狓）在点狓０处可微，并且称犃Δ狓为函数狔＝犳（狓）在点。
一元函数的导数公式和微分
一、一元函数微分学一元函数微分学由导数和微分组成。
导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。
二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(='(10) (e )e x x '=(11) a x x a ln 1)(log ='(12) x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14) 211)(arccos x x --='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛四、反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'='或dydxdx dy 1=五、复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=六、高阶导数的莱布尼兹公式七、隐函数的导数一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数. 对数求导法根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此称为对数求导法.幂指函数的一般形式为()0v y u u =>，其中,u v 是x 的函数. 八、由参数方程所确定的函数的导数22234241433339t t t t t ed dte e e dx dt dx e dt--⎛⎫=-⋅=-== ⎪-⎝⎭22223t d y d dy d e dx dx dx dx ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭一般地，如果参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数） 确定y 与x 之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.如果函数()t x ϕ=，()t y ψ=都可导，且()0≠'t ϕ，又()t x ϕ=具有单调连续的反函数()x t 1-=ϕ，则由参数方程所确定的函数可以看成()t y ψ=与()x t 1-=ϕ复合而成的函数()[]x y 1-=ϕψ，根据复合函数与反函数的求导法则，有()()t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，即()()t t dx dy ϕψ''= ，也可写成 dtdxdtdy dx dy=.求方程32ttx ey e-⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数的二阶导数22d ydx.解 ()()tt t t t e ee e e dx dy 2323232-=-=''=--，注意二阶导的求法。
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特别注意：
(1)微分与导数虽然有着密切的联系,但它们是有区别的；
(2)导数是函数在一点处的变化率,而微分是函数在一点处由
自变量增量所引起的函数增量的主要部分； (3)导数的值只与 x 有关,而微分的值一般与x 和x 都有关. 例 2 求函数 y x2 1在 x=1,x=0.1 时的改变量 y和 dy.
A (x x)2 x 2 2x x (x)2
0
0
0
A 由两部分组成,第一部分是2x x 0
是x的线性函数,当x 0时,
x0 x
x0 x0
x
第二部分(x)2是比x 高阶的无穷小,
由此可见,如果边长改变很微小时,面积的改变量 A可近
似地用第一部分代替.
2 微分的概念
定义 如果函数 y f (x) 在点 x 处的改变量 y可以表示为
0
0
dy f (x)x
例 1 求 y x2在 x 1和 x 3处的微分
解 函数 y x2在 x 1处的微分为 dy (x2 ) x 2x
x1
函数 y x2在 x 3处的微分 dy (x2 ) x 6x
x3
3 可微的充要条件
定理 2 函数 y f (x) 在点 x 处可微的充要条件是 f (x) 在点 x 处可导,且
解 y f x x f x x x2 1 x2 1 2xx x2,
y x1 21 0.1 (0.1)2 0.21
x0.1
dy f xx x2 1x 2xx,
dy 21 0.1 0.2 x 1 x 0.1
4 复合函数的微分
复合函数的微分法则
设函数 y f (u),u (x)都可微,则复合函数 y f [ (x)]的微分为
dy sin 2xdx 1 cos 2xdx.
2x 解法二 由微分形式不变性,得
dy cos 2xd 2x cos 2x 1 d2x 1 cos( 2x)dx.
2 2x
2x
A f (x) . 由此可得
dy f xx.
当 y x 时,dy dx 1 x,即dx x,因此,微分通常写成：
dy f xdx.
两边同除以 dx ,有
dy f x.
dx 在导数中, dy 是一个完整的记号,表示函数 y 对 x 的导数,而现
dx
在可以看成函数的微分与自变量的微分的商,所以,导数又叫
dy f uxdx f xxdx .
由于du (x)dx ,所以,复合函数 y f [ (x)]的微分也可以写成：
dy f udu.
可见,无论 u 是自变量还是中间变量,这一性质称为微分形式不变性.
例 3 设 y sin 2x ,求 dy.
解法一 由公式dy ydx,得
§ 3.1导数与微分
三 微分
1 引例 2 微分的概念 3 可微的充要条件 4 复合函数的微分
1 引例
例 1 一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由 x 变到 0
x x,问此薄片的面积改变了多少？ 0 解 设此薄片的边长为 x,面积为 A,则 A x2
当自变量 x在 x 有增量x时, 0
相应的面积增量为
y Ax ox （x 0）, 其中, A是与x 无关的量,则称函数 y f (x) 在点 x 处可微,称
Ax为函数 y f (x) 在点 x 处的微分,记作 dy,即 dy Ax.
定理 1 函数 f (x)在点 x 可微的充分必要条件是 f (x)在点 0
x 可导,且当 f (x)在点 f (x)在点 x 可微时,其微分一定是