湖北省荆州中学2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
湖北省荆州中学2016-2017学年高二下学期5月段测数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年湖北省荆州中学高二（下）5月段测数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题有且只有一个答案正确）1．设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．已知x∈R，则“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣1＜0”B．若p∨q为真命题，则简单命题p与q都为真命题C．“∀x∈R，（x﹣1）2＞0”是一个真命题D．“若x＞2，则x2﹣x﹣2≥0”的逆否命题是“若x2﹣x﹣2＜0，则x≤2”4．从集合{1，2，3，4}中随机取出两个不同的元素，它们的和为奇数的概率是（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．16．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±2x7．圆x2+y2=50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40=0的公共弦长为（）A．B．C．2 D．28．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C． D．9．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=（）A．B．C．﹣D．﹣10．如图，横梁的横断面是一个矩形，而横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为（）A．d， d B．d， d C．d， d D．d，d11．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）12．函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式e x•f（x）＞2e x+e的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＜﹣1或0＜x ＜1}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是．14．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，则实数c的取值范围是．15．在区间（0，2）内任取两数m，n（m≠n），则椭圆的离心率大于的概率是．16．函数y=f（x）图象上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）处的切线的斜率分别是k M，k N，规定φ（M，N）=（|MN|为线段MN的长度）叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”．①函数f（x）=x3+1图象上两点M与点N的横坐标分别为1和2，φ（M，N）=；②设曲线f（x）=x3+2上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x1•x2=1，则φ（M，N）的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，其定义域是[﹣3，2]．（1）求f（x）在其定义域内的极大值和极小值；（2）若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，求t的最小值．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，计算高三全体学生视力在5.0以下的人数，并估计这100名学生视力的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查，得到如表1中数据，根据表1及临界值表2中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？表一附：临界值表2（参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ）19．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x ﹣y ﹣4=0相切．（Ⅰ）求圆O 的方程； （Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆O 内的动点P 使|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，求P 点的轨迹方程，并指出轨迹的形状．20．设F 1、F 2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P 的坐标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．21．已知f （x ）=xlnx ，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣3（1）对x ∈（0，+∞），不等式2f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有．22．某市地产数据研究的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y关于x的回归方程；（Ⅱ）政府若不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅的销售均价．（从3月到7月的参考数据：x i=25，y i=5.36，（x i﹣）（y i﹣）=0.64；回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．）2016-2017学年湖北省荆州中学高二（下）5月段测数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题有且只有一个答案正确）1．设i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得a=﹣2．故选：C．2．已知x∈R，则“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先解出不等式x2﹣3x＞0，再判断命题的关系．【解答】解：解x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；∵x＜0，或x＞3得不出x﹣4＞0，∴“x2﹣3x＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；但x﹣4＞0能得出x＞3，∴“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”必要条件．故“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选：B．3．下列说法正确的是（）A．“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是“∃x0∈R，x02﹣1＜0”B．若p∨q为真命题，则简单命题p与q都为真命题C．“∀x∈R，（x﹣1）2＞0”是一个真命题D．“若x＞2，则x2﹣x﹣2≥0”的逆否命题是“若x2﹣x﹣2＜0，则x≤2”【考点】21：四种命题．【分析】进行一一判断即可．【解答】解：①“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是“∃x∈R，x2﹣1≤0”，故A错误；②若p∨q为真命题，则简单命题p与q都为真命题或p，q中有一个是真命题，故B错误；③“∀x∈R，（x﹣1）2＞0”是一个假命题，取x=1，可知（x﹣1）2=0，故C错误；④“若x＞2，则x2﹣x﹣2≥0”的逆否命题是“若x2﹣x﹣2＜0，则x≤2”，故D正确．故选：D．4．从集合{1，2，3，4}中随机取出两个不同的元素，它们的和为奇数的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】用列举法列举总基本事件的个数和其和为奇数的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，其中和为奇数的有（1，2），（1，4），（2，3），（3，4）共4个，由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为=．故选：C．5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1【考点】E7：循环结构．【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i ﹣1），由此能够求出结果．【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．6．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±2x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，得双曲线中c=4，结合离心率求出a，b即可得到结论．【解答】解：抛物线线y2=16x 的焦点坐标为（4，0），∵双曲线﹣=1 的一个焦点与抛物线y2=16x 的焦点重合，∴c=4，∵双曲线的离心率等于2，∴=2=，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则b=2，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A7．圆x2+y2=50与圆x2+y2﹣12x﹣6y+40=0的公共弦长为（）A．B．C．2 D．2【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆系方程直接求出相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长．【解答】解：x2+y2=50，①；x2+y2﹣12x﹣6y+40=0②；②﹣①得：2x+y﹣15=0为公共弦所在直线的方程，原点到相交弦直线的距离为：，弦长的一半为，公共弦长为：故选C．8．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C． D．【考点】9V：向量在几何中的应用；J8：直线与圆相交的性质．【分析】利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选C．9．已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB最小时点P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域D，如图所示，要使∠APB最大，则∠OPB最大，∵sin∠OPB==，∴只要OP最小即可，即点P到圆心O的距离最小即可；由图象可知当OP垂直于直线3x+4y﹣10=0，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则∠APO=，即sin==，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos∠APB=，∴∠APB=60°，∴△PAB为等边三角形，此时对应的∠PAB=60°为最小，且cos∠PAB=．故选：B．10．如图，横梁的横断面是一个矩形，而横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为（）A．d， d B．d， d C．d， d D．d，d 【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】根据横梁的强度和它的矩形横断面的宽与高的平方的乘积成正比，建立关系．由勾股定理可得x 2+y 2=d 2，利用导函数的性质求出最值． 【解答】解：由题意，设横梁的强度为T ，则T=xy 2．（x ＞0，y ＞0） 由勾股定理可得x 2+y 2=d 2， 可得：T=x （d 2﹣x 2）=xd 2﹣x 3． 则T′=d 2﹣3x 2． 令T′=0．可得：x=或（舍去）．当时，可得T′＞0，则T 是单调递增函数．当时，可得T′＜0，则T 是单调递减函数．∴x=时，T 取得最大值，此时y==．故选：B ．11．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆上存在点P 使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．（0，） B ．（） C ．（0，） D ．（，1）【考点】HP ：正弦定理；K4：椭圆的简单性质．【分析】由“”的结构特征，联想到在△PF 1F 2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a （a +ex 0）=c （a ﹣ex 0）解出x 0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．12．函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式e x•f（x）＞2e x+e的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＜﹣1或0＜x ＜1}【考点】63：导数的运算．【分析】令g（x）=e x f（x）﹣2e x﹣e，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【解答】解：令g（x）=e x f（x）﹣2e x﹣e，则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣2e x=e x[f（x）+f′（x）﹣2]，∵f（x）+f′（x）＜2，∴f（x）+f′（x）﹣2＜0，∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，又f（1）=3，∴g（1）=ef（1）﹣2e﹣e=0，故当x＜1时，g（x）＞g（1），即e x f（x）﹣2e x﹣e＞0，整理得e x f（x）＞2e x+e，∴e x f（x）＞2e x+e的解集为{x|x＜1}．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是760．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】先计算出样本中高三年级的女学生人数，再根据分层抽样的性质计算出该校高三年级的女生的人数．【解答】解：根据题意，设样本中高三年级的女生人数为x，则（x+10）+x=200，解得x=95，所以该校高三年级的女生人数是1600×200×95=760．故答案为：760．14．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，则实数c的取值范围是（﹣∞，）．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由已知中函数解析式f（x），我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）有极值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜，故答案为：．15．在区间（0，2）内任取两数m，n（m≠n），则椭圆的离心率大于的概率是．【考点】CF：几何概型；K4：椭圆的简单性质．【分析】由已知中在区间（0，2）内任取两个实数，我们易求出该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件椭圆的离心率大于对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：区间（0，2）内任取两个实数计为（m，n），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，当m＞n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，m＞2n；当M＜n时，椭圆的离心率e=＞，化简得，n＞2m；故其中满足椭圆的离心率大于时，有m＞2n或n＞2m．它表示的平面区域如下图中阴影部分所示：2×1=2．其中正方形面积S=4，阴影部分面积S阴影=2××∴所求的概率P==故答案为：．16．函数y=f（x）图象上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）处的切线的斜率分别是k M，k N，规定φ（M，N）=（|MN|为线段MN的长度）叫做曲线y=f（x）在点M与点N之间的“弯曲度”．①函数f（x）=x3+1图象上两点M与点N的横坐标分别为1和2，φ（M，N）=；②设曲线f（x）=x3+2上不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x1•x2=1，则φ（M，N）的取值范围是（0，）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】对于①，由y=x3+1，得y′=3x2，则k M=3，k N=12，则|k M﹣k N|=9，y1=2，y2=9，则|MN|==5，即可求出φ（M，N）==；对于②，利用定义，再换元，即可得出结论．【解答】解：对于①，由y=x3+1，得y′=3x2，则k M=3，k N=12，则|k M﹣k N|=9，y1=2，y2=9，则|MN|==5，φ（M，N）==；②曲线f（x）=x3+2，则f′（x）=3x2，设x1+x2=t（|t|＞2），则φ（M，N）===，∴0＜φ（M，N）＜．故答案为，（0，）．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣3x﹣1，其定义域是[﹣3，2]．（1）求f（x）在其定义域内的极大值和极小值；（2）若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，求t的最小值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f （x ）的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t 即可，求出f （x ）的最大值和最小值，从而求出t 的范围．【解答】解：（1）求导得f'（x ）=3x 2﹣3令f'（x ）=0得x=±1，∴x=±1为极值点﹣﹣﹣﹣﹣﹣令f'（x ）＞0得﹣3≤x ＜﹣1或1＜x ≤2令f'（x ）＜0得﹣1＜x ＜1所以f （x ）极大值为f （﹣1）=1，极小值为f （1）=﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）对于区间[﹣3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤t ， 则只须f （x ）max ﹣f （x ）min ≤t 即可﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由（1）可知f （x ）max =1，f （x ）min =﹣19，t ≥f （x ）max ﹣f （x ）min =1﹣（﹣19）=20，即t ≥20， 所以t 的最小值为20﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，计算高三全体学生视力在5.0以下的人数，并估计这100名学生视力的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查，得到如表1中数据，根据表1及临界值表2中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？ 表一附：临界值表2（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】BO：独立性检验的应用；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用直方图中后四组的频数成等差数列，设公差为d，求出视力在5.0以下的频率，即可估计全年级视力在5.0以下的人数；利用组中值估计这100名学生视力的中位数；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）直方图中后四组的频数成等差数列，设公差为d，则0.2×（1.35+1.35+d+1.35+2d+1.35+3d+0.15+0.35）=1，∴d=﹣0.15，∴后四组的频率为0.27，0.24，0.21，0.18，∴后四组频数依次为27，24，21，18，所以视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×=820．这100名学生视力的中位数 4.1×0.15×0.2+4.3×0.35×0.2+4.4×0.27+4.5×0.24+4.6×0.21+4.7×0.18≈4.5（Ⅱ）K2=≈5.482＞3.841．因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．19．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x﹣y﹣4=0相切．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）圆O与x轴相交于A，B两点，圆O内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求P点的轨迹方程，并指出轨迹的形状．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】析：（1）圆心到直线的距离求半径．（2）由|PO|2=|PA|．|PB|平方化简得x2﹣y2=2，注意曲线是已知圆的内部．【解答】解：（Ⅰ）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，则，得圆O的方程为x2+y2=4…（Ⅱ）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，，即x2﹣y2=2…由于点P在圆O内，故由此得或所以所求轨迹方程为x2﹣y2=2（或）…即P点的轨迹为双曲线x2﹣y2=2在圆x2+y2=4内的一部分…20．设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的坐标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．【考点】9R：平面向量数量积的运算；I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）求出椭圆的a，b，c，P是第一象限内该椭圆上的一点设为（x，y），利用，以及P在椭圆上，求点P的坐标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆联立，注意到交于不同的两点A、B，△＞0且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），就是利用韦达定理，代入化简，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．则，又，联立，解得，．（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立∴，由△=（16k）2﹣4•（1+4k2）•12＞016k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①又∠AOB为锐角，∴又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4===∴．②综①②可知，∴k的取值范围是．21．已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3（1）对x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由已知得a≤2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+（x＞0），则h′（x）=，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．（2）问题等价于证明xlnx＞﹣（x∈（0，+∞）），设m（x）=﹣（x∈（0，+∞）），则m′（x）=，由此利用导数性质求证即可．【解答】解：（1）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a≤2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+（x＞0），则h′（x）=，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=4，∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤[h（x）]min=4．证明：（2）问题等价于证明xlnx＞﹣（x∈（0，+∞）），由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，当且仅当x=时取得．设m（x）=﹣（x∈（0，+∞）），则m′（x）=，由题意得[m（x）]max=m（1）=﹣，当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣成立．22．某市地产数据研究的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y关于x的回归方程；（Ⅱ）政府若不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅的销售均价．（从3月到7月的参考数据：x i=25，y i=5.36，（x i﹣）（y i﹣）=0.64；回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由题意，计算，，求出回归系数，，即可写出回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中回归方程，计算x=12时的值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得出下表；计算=×x i=5，=×y i=1.072，（x i﹣）（y i﹣）=0.64，∴===0.064，=﹣=1.072﹣0.064×5=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为=0.064x+0.752；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中回归方程，计算x=12时，=0.064×12+0.752=1.52；即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.52万元/平方米．2017年6月23日。
荆州市2016-2017学年度上学期高二期末考试文科数学(扫描版含答案)(2017.01)
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此时 PC
4 1 5 ，弦长为 2 25 5 4 5 ………………12 分
19 解： （1）由概率和为 1 可得： 0.2 0.3 0.4 20a 1 a 0.005 ………………3 分 （2） 区间 50,70] 的概率和为 0.05 0.4 0.45 ， 则区间 [70,80] 中还需拿出概率 0.05 的 区域才到达概率为 0.5 ，即区间 [70,80] 要拿出 故中位数为 70 （3） 分数段
3 1 .………………………………6 分 27 9
（2）“ a, b, c 不完全相同”的对立事件是“ a, b, c 完全相同”， “ a, b, c 完全相同” 包 含 三 个 基 本事 件 ：
“ a b c 1, a b c 2, a b c 3 ” ………………………9 分 所以 p 1
1 2 10 71 ……………………………8 分 6 3
1 的区域， 6
50,60
1:1
5人 5人
60,70
2 :1
40 人 20 人
70,80
3: 4
30 人 40 人
80,90
4:5
20 人 25 人
x: y
x y
根据上表知： [50,90) 外的人数为： 100 (5 20 40 25) 10 ………………12 分 20 解 由 f(x)= 1 3+ 3 1 3 + 3 1
2k
3 3 3 ，直线方程为 y x ………………6 分 4 4 4
0
（2） CPQ 面积最大时， PCQ 90 ， S
湖北省荆州中学高二上学期期末考试数学(文)Word版含答案
荆州中学2017～2018学年度上学期期 末 考 试 卷年级：高二 科目：数学（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1.抛物线212y x =的准线方程是 ( ) A. 18y =- B. 12y =- C. 18x =- D. 12x =- 2.已知命题p :R x ∃∈使得12x x +<，命题2q :R,1x x x ∀∈+>，下列为真命题的是（） A. ()q p ⌝∧ B. ()p q ∧⌝ C.q p ∧ D. ()()p q ⌝∧⌝3.圆22460x y x y +-+=和圆2260x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（ ）A. 30x y -=B. 30x y +=C. 30x y -=D. 30x y +=4.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）5.“15k <<”是“方程22151x y k k +=--表示椭圆”的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.执行如图所示的程序框图,输出20172018s =,那么判断框内应填（ ）A. 2017?k ≤B. 2018?k ≥C. 2017?k ≥D. 2018?k ≤7.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的3倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）A. 128.若()2,2P -为圆()221100x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（）． A.260x y --= B.220x y ++= C.220x y +-= D.260x y --=9.已知圆1F ：()22236x y ++=，定点()22,0F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是（ ） A. 22143x y += B. 22134x y += C. 22195x y += D. 22159x y += 10.甲、乙两名同学打算在下午自习16:00-17:00期间去向杨老师问问题，预计解答完一个学生的问题需要15分钟.若甲乙两人在16:00-17:00内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率是（ ） A. 316 B. 516 C. 716 D. 91611.已知0,0a b >>，且3a b +=，则14a b +的最小值为（ ） A. 2B. 3 C. 4 D. 512.将一颗六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体形状的骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为a b 、，设直线1:2l ax by +=与2:22l x y +=平行的概率为1P ，相交的概率为2P ，则圆22:16C x y +=上到直线126211()PxP y -+=的距离为2的点的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.学生A ，B 在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A 的平均成绩与学生B 的成绩的众数相等，则m =__________．14.在ABC ∆中，三顶点()2,4A ，()1,2B -，()1,0C ，点(),P x y 在ABC ∆内部及边界运动，则z x y =-最大值为_________.15.在球面上有,,,A B C D 四个点，如果,,AD AB AB BC ⊥⊥,BC AD ⊥1,AD =2,AB =3,BC =则该球的表面积为________.16.已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A 、B 两点关于原点O 对称，若直线PA 、PB 的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率e =_______．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos cos a B b A C +=． （Ⅰ）求角C 的值．（Ⅱ）若CA CB ⋅= ，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．18.（本题满分12分）已知0m >，2:280p x x --≤，:22q m x m -≤≤+.（Ⅰ）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若3m =，“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围.19.（本题满分12分）为对期中七校联考成绩进行分析，随机抽查了其中3000名考生的成绩，根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图． （Ⅰ）求成绩在[)600,700的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；（Ⅲ）我校共有880人参加这次考试，请根据频率分布直方图估计我校成绩在[)650,700这段的人数？20.（本题满分12分）已知直线10ax y -+=与圆22:6440C x y x y +-++=交于,A B 两点，过点()5,1P -的直线l 与圆C 交于,M N 两点，（Ⅰ）若直线l 垂直平分弦AB ，求实数a 的值； （Ⅱ）若4MN =，求直线l 的方程；21.（本题满分12分）已知三棱锥A BCD -中,BCD ∆是等腰直角三角形,且BC CD ⊥,4BC =,AD ⊥平面BCD ,2AD =.（Ⅰ）求证:平面ABC ⊥平面ADC（Ⅱ）若E 为AB 的中点,求点A 到平面CDE 的距离.22.（本题满分12分） 已知椭圆22154x y +=，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．l 的方程； （Ⅱ）若直线l 的斜率存在，线段MN 的中垂线与x 轴相交于点(),0P a ，求实数a 的取值范围．荆州中学2017—2018学年上学期高二年级期末考试文科数学试题参考答案及评分标准一、 选择题BCABB ADACD BB二、 填空题13：514：1 15：14π 16：2三、解答题17、解：（1）cos cos cos a B b A C +=由正弦定理得sin cos sin cos cos A B B A C C +=，∴sin()cos A B C C +=∴sin cos C C C =cos 2C ∴=又0C π<<，∴π4C =．…………………………………5分（2）∵cos CA CB ab C ⋅===∴11sin ()222ABC S ab C ab ∆===10分 18、解：(1)记命题p 的解集为A=[-2，4]， 命题q 的解集为B=[2-m ，2+m]，∵p 是q 的充分不必要条件 ∴∴22{ 24m m -≤-+≥，解得：4m ≥. …………………………………5分(2)∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，∴命题p 与q 一真一假，①若p 真q 假，则241,,5x x or x -≤≤⎧⎨<->⎩»，解得：[)2,1x ∈--…………………8分②若p 假q 真，则2,,415x or x x <->⎧⎨-≤≤⎩，解得：(]4,5x ∈. ………………11分 综上得：[)(]2,14,5x ∈-- .………………………………………12分19、解：（1）根据频率分布直方图，得:成绩在[600，700）的频率为0.003500.001500.2⨯+⨯= ；…………………………………………2分（2）设样本数据的平均数为a ,中位数为b ,0.002504250.004504750.00550525a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.005505750.003506250.00150675+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯540=…………………………………………………………5分根据直方图估计中位数b 在[500,550)段0.002500.004500.005(500)0.5b ⨯+⨯+⨯-=解得540b = ……………………………………………………8分所以数据的平均数和中位数都是540（3）成绩在[650，700）的频率为：0.001×50=0.05，所以我校880名学生生中成绩在[650，700）的人数为：0.05×880=44（人），……12分20、解：（Ⅰ）由于圆22:6440C x y x y +-++=即22:(3)(2)9C x y -++=圆心()3,2C -，半径为3，直线10ax y -+=即1y ax =+ 由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在直线l 上，所以l 的过点()5,1P -和()3,2C - 所以2AB k a ==-， …………………………………………………………6分 （Ⅱ）设直线l 的方程是(5)1y k x =--, C 到l 的距离解得2k =-，……………………………………………………………10分所以l 的方程是：2(5)1y x =--- 即l 方程为：290x y +-=………………………………………………12分21、解：（1）证明：AD ⊥ 平面,BCD BC ⊂平面BCD ，AD BC ∴⊥，又,BC CD CD AD D ⊥= ，BC ∴⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ACD . …………………………………5分（2）由已知可得CD =，取CD 中点为F ，连结EF ，132ED EC AB === ，ECD ∴∆为等腰三角形，EF ∴= ECD S ∆=8分由（1）知BC ⊥平面,ACDE ∴到平面ACD 的距离为122BC =， 4ACD S ∆=，……………10分 设A 到平面CED 的距离为d ，有11233A ECD ECD E ACD ACD V S d V S -∆-∆=⋅⋅==⋅⋅，解得d =A ∴到平面CDE………………………………12分 22、解：（1）当直线l的斜率不存在时，M ⎛ ⎝⎭，1,N ⎛ ⎝⎭，1分 当直线l 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的方程为()1y k x =-，①又椭圆的方程为22154x y +=，② 由①②可得()222254105200k x k x k +-+-=， ∴21221054k x x k +=+，212252054k x x k -+=+，…………………………………3分 ∴()22121212216154k y y k x x x x k -⎡⎤=-++=⎣⎦+，…………………………………4分 ，解得24k =，………………………5分 ∴2k =±，即直线l 的方程为()21y x =-或()21y x =--．………………………6分（2）由（1）可知()121228254k y y k x x k k -+=+-=+， 设MN 的中点为Q ，即22254,5454k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，…………………………8分 1PQ MN k k ⋅=- ，直线PQ 的方程是令0y =解得10分 当0k =时，M ，N 为椭圆长轴的两个端点，则点P 与原点重合，当0k ≠时，10,5a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，…………………………………………………11分综上所述，存在点P 且10,5a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．………………………………………12分。
【数学】湖北省荆州市2016-2017学年高二(上)期末试卷(文)(解析版)
2016-2017学年湖北省荆州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）A．30 B．25 C．20 D．152．（5分）在下列命题中，正确命题的个数是（）①两个复数不能比较大小；②复数z=i﹣1对应的点在第四象限；③若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x=±1；④若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，则z1=z2=z3．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）用“辗转相除法”求得360和504的最大公约数是（）A．72 B．36 C．24 D．25204．（5分）下面使用类比推理恰当的是（）A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”D．“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”5．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4内一点P（2，1），则过P点的直径所在的直线方程是（）A．x﹣y﹣1=0 B．x+y﹣3=0 C．x+y+3=0 D．x=26．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2] B．[﹣5，﹣1] C．[﹣4，5] D．[﹣3，6]7．（5分）当下面的程序段输出结果是41，则横线处应填（）A．i＞4 B．i＞=4 C．i＜4 D．i＜=48．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如表的列联表：算得，K2≈7.8．见附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”9．（5分）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，P A，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3 B．C．D．210．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg11．（5分）半径为r的圆的面积公式为s=πr2，当r=5时，计算面积的流程图为（）A．B．C．D．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标的取值范围为（）A．B．[0，1] C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设z1=2﹣i，z2=1﹣3i，则虚数z=+的实部为．14．（5分）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为．15．（5分）若x，y满足约束条件，则的范围是．16．（5分）“开心辞典”中有这样个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，它的第8个数可以是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）18．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，（1）求证：直线l恒过定点；（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．19．（12分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．20．（12分）已知函数f（x）=，（1）f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3）的值；（2）归纳猜想一般性的结论，并证明之．21．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．（Ⅰ）若l1与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．22．（10分）由经验得知，在某大商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表：（1）不多于6个人排队的概率；（2）至少8个人排队的概率．参考答案一、选择题1．C【解析】设样本中松树苗的数量为x，则故选C2．A【解析】对于①，若两个复数都是实数，则可以比较大小，命题①错误；对于②，复数z=i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，1），位于第二象限，命题②错误；对于③，（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则，解得x=1，命题③错误；对于④，若z1﹣z2=i，z2﹣z3=1，则（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，命题④错误．∴正确命题的个数是0．故选：A．3．A【解析】∵504÷360=1 (144)360÷144=2 (72)144÷72=2∴360和504的最大公约数是72故选A．4．C【解析】对于A：“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，对于B：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，对于C：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+”是正确的，对于D：“（ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”是错误的，如（1+1）2=12+12故选C5．A【解析】由题意，圆心C（1，0），∴过P点的直径所在的直线方程是，即x﹣y﹣1=0，故选A．6．D【解析】若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D7．D【解析】模拟程序的运行结果如下：当i=1时，s=1；当i=1时，s=1；当i=2时，s=3；当i=3时，s=10；当i=4时，s=41；此时程序循环结束，输出变量s值故i≤4应满足循环的条件．故选：D．8．C【解析】由题意知本题所给的观测值K2≈7.8＞6.635，∴这个结论有0.01=1%的机会说错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选：C．9．D【解析】圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形P ACB=2S△PBC，四边形P ACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长）∴d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故选D．10．D【解析】对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．11．D【解析】∵输入和输出框是平行四边形，故计算面积的流程图为D．故选D．12．A【解析】设点M（x，y），由MA=2MO，知：，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，化简可得0≤a≤，故选A．二、填空题13．0【解析】z=====i．故其实部为0．故答案为0．14．6.8【解析】∵根据茎叶图可知这组数据是8，9，10，13，15这组数据的平均数是=11∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]= [9+4+1+4+16]=6.8故答案为：6.8．15．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知CD的斜率最小，由得C（，），则CD的斜率z==，即z=的取值范围是（0，]，故答案为：．16．【解析】将这一组数：，化为：﹣，，﹣，，﹣，分母上是2的乘方，分子组成等差数列，奇数项符号为正，偶数项符号为负，则它的第8个数可以是故答案为三、解答题17．解：（Ⅰ）由题意，（a，b，c）所有的可能为：（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，所以P（A）==．因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为．（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．所以P（B）=1﹣P（）=1﹣=．因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．18．（1）证明：直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0所以直线恒过定点（3，1）（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短直线l的斜率为由解得此时直线l的方程是2x﹣y﹣5=0圆心C（1，2）到直线2x﹣y﹣5=0的距离为所以最短弦长是19．解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．20．解：，同理可得：，．证明：设x1+x2=1，=21．解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x=1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得．所求直线l1的方程是x=1或3x﹣4y﹣3=0．（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，则圆心到直l1的距离d=又∵三角形CPQ面积S=×2=d=∴当d=时，S取得最大值2．∴d==，k=1或k=7．∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．22．解：设排队人数在5人及以下、6人、7人、8人、9人、10人及以上等分别对应事件A、B、C、D、E、F，并且它们之间是两两互斥的．则（1）设排队人数至多6个人排队为事件G，包含事件A和B，∵P（A）=0.1，P（B）=0.16，∴P（G）=P（A+B）+P（A）+P（B）=0.1+0.16=0.26（2）设排队人数至少8个人排队为事件H，并且H=D+E+F∵P（D）=0.3，P（E）=0.1，P（F）=0.04∴P（H）=P（D+E+F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.1+0.04=0.44．。
湖北省荆州中学高二数学上学期期末考试试题文
湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 曲线313y x =在1x =处的切线的倾斜角为（ ） A. 1B. 4π-C .4π D ．54π 2. 对于常数,m n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=”的曲线是椭圆的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C . 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 某公司10名员工的月工资（单位：元）为1210,,,x x x 其均值和方差分别为x 和2S ，若从下A. 22,100x S + C . 2,x SD 4. 若0,0a b >>在1x =处有极值，则a +A. 2 B. 3 5. 从抛物线24y x =垂足为M ，且5PM =则PMF ∆的面积为（ A. 10 6. 其中收入记为正数，支出记为负数，该店用下列的程序框图 计算月总收入S ，那么在图中空白的判断框和处 理框中，应分别填入（A. 0,A V S T >=- C . 0,A V S T >=+7.已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则,x y 的值分别为（ ） A. 2、6B. 2、7C . 3、6D ．3、78. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线2y =的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ）C .2D ．9. 若函数1()f x x ax x 2=++在1(,)2+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. [1,0]-B. [1,)-+∞C .[0,3]D ．[3,)+∞10. 椭圆22110064x y +=的焦点为12F F 、，椭圆上的点P 满足01260F PF ∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）A.3B.3C .3D ．64311. 已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0,()()()()0,g x f x g x f x g x ''≠-<()(1)(1)5,()(1)(1)2x f x f f a g x g g -=+=-，则关于x 的方程2502abx ++=，(0,1)b ∈有两个不同的实根的概率为（ ） A.35B.25C .15D ．1212. 定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数()sin g x x =(0),x π<< 3()ln (0),()(0)h x x x x x x ϕ=>=≠的“新驻点”分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. c b a >> C . a c b >>D ．b a c >>二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数2()1f x x mx =++，若命题“000,()0x f x ∃><”为真，则m 的取值范围是 .14. 已知,A B 两地相距800,m 在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2,s 且声速为340/m s ，则炮弹爆炸点的轨迹是 .15. 如图甲是某市有关部门根据当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图。
2016-2017学年高二数学上学期期末试卷含答案)
2016-2017学年高二数学上学期期末试卷(含答案)kj.co荆州中学2016～2017学年度上学期期末考试卷年级：高二科目：数学（理科）本试题卷共4页，三大题22小题．全卷满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某单位员工按年龄分为A、B、c三个等级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则从c等级组中应抽取的样本数为A．2B．4c．8D．102．下列有关命题的说法错误的是A．若“”为假命题，则均为假命题B．“”是“”的充分不必要条件c．“”的必要不充分条件是“”D．若命题：，则命题：3．若向量，，则A．B．c．D．4．如右图表示甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图.则甲得分的中位数与乙得分的中位数之和为A．分B．分c．分D．分5.已知变量与负相关，且由观测数据计算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A．B．c．D．6．执行如图所示的程序框图,输出的等于A．B．c．D．7.圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为A．B．c．D．8.函数图象上的动点P到直线的距离为，点P到y轴的距离为，则A．B.c．D.不确定的正数9.如果实数满足条件，则的最大值为（）A．B．c．D．10.椭圆的长轴为，短轴为，将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为A.75°B.60° c.45° D.30°11．如图，在正方体ABcD-A1B1c1D1中，P是侧面BB1c1c 内一动点，若P到直线Bc与直线c1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是A.直线B.圆c.双曲线D.抛物线12．过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两条直线，与双曲线分别交于、两点，若，则双曲线离心率的值所在区间是A．B.c．D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知椭圆x210－＋y2－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则＝________.14．下列各数、、中最小的数是___________.15．已知函数，其中实数随机选自区间，对的概率是_________.16．已知的三边长分别为，，，是边上的点，是平面外一点．给出下列四个命题：①若平面，且是边中点，则有；②若，平面，则面积的最小值为；③若，平面，则三棱锥的外接球体积为；④若，在平面上的射影是内切圆的圆心，则三棱锥的体积为；其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）设是实数，有下列两个命题：空间两点与的距离.抛物线上的点到其焦点的距离.已知“”和“”都为假命题，求的取值范围.18．（本小题满分12分）已知圆过点，，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若点在圆上，求的最大值．19.（本题满分12分）某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数，满分100分）分成六段[40，50），[50，60）…，[80，90），[90，100]，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率以及频率分布直方图中第四小矩形的高；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分；（3）把从[80，90）分数段选取的最高分的两人组成B组，[90，100]分数段的学生组成c组，现从B，c两组中选两人参加科普知识竞赛，求这两个学生都来自c组的概率．20．（本题满分12分）在直角梯形PBcD中，∠D=∠c=，Bc=cD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB 沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥Bc，点E在SD上，且，如图2．(1)求证：SA⊥平面ABcD；(2)求二面角E-Ac-D的正切值；(3)在线段Bc上是否存在点F，使SF∥平面EAc？若存在，确定F的位置，若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）已知直线经过椭圆：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆的方程；（2）如图，分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为．①若直线平分线段，求的值；②对任意，求证：．22．（本题满分10分）已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为；的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（Ⅱ）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围．荆州中学2016～2017学年度上学期期末考试卷年级：高二科目：数学（理科）命题人：冯钢审题人：冯启安参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案AcDBccDBBBDc12【解析】选c设为左焦点，由双曲线的对称性，不妨设点的纵坐标为，则由得，又∵直线的方程为，∴，即，又∵，∴，两边同除以，得，即，令，∵，，∴双曲线离心率的值所在区间是.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.814.15.16.①④三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解答：和都是假命题，为真命题，为假命题.………………2分,；…………………………………………6分又抛物线的准线为，为假命题，，.…………………………………10分故所求的取值范围为.………………………………12分18.解答：（1）设圆心坐标为，则解得：，故圆的方程为：……………6分（2）因为z＝x＋y，即，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或最小，即可求出的最大和最小值.将代入圆的方程，令，或者利用圆心到直线的距离等于半径可求得最大值为：……………………………………12分 19.解答：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为：1-（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）10=0.30第四个小矩形的高为=0.03……4分（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，故这次考试的及格率约为75%，………………6分由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，得本次考试中的平均分约为71：………………8分（3）由已知可得c组共有学生60×10×0.005=3人，则从B，c两组共5人中选两人参加科普知识竞赛，设5人分别为，共有等10种不同情况，其中这两个学生都来自c组有3种不同情况，∴这两个学生都来自c组的概率．……………………………………12分20.解法一：(1)证明：在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABcD为正方形，所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABcD是边长为2的正方形，因为SB⊥Bc，AB⊥Bc，所以Bc⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，所以Bc⊥SA，又SA ⊥AB，所以SA⊥平面ABcD，……………………4分(2)在AD上取一点o，使，连接Eo．因为，所以Eo∥SA 所以Eo⊥平面ABcD，过o作oH⊥Ac交Ac于H，连接EH，则Ac⊥平面EoH，所以Ac⊥EH．所以∠EHo为二面角E-Ac-D的平面角，．在Rt△AHo中，，，即二面角E-Ac-D的正切值为．……………………8分(3)当F为Bc中点时，SF∥平面EAc理由如下：取Bc的中点F，连接DF交Ac于，连接E，AD ∥Fc，所以，又由题意，即SF∥E，所以SF∥平面EAc，即当F为Bc的中点时，SF∥平面EAc...............12分解法二：(1)同方法一 (4)(2)如图，以A为原点建立直角坐标系，A(0，0，0)，B(2，0，0)，c(2，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)，E 易知平面AcD的法向为设平面EAc的法向量为，由所以，可取所以所以即二面角E-Ac-D的正切值为．………………………………8分(3)设存在F∈Bc，所以SF∥平面EAc，设F(2，a，0)所以，由SF∥平面EAc，所以，所以4-2a-2=0，即a=1，即F(2，1，0)为Bc的中点.……………………………………12分21.解：（1）在直线中令x=0得y=1；令y=0得x=-1，由题意得c=b=1，∴，则椭圆方程为．…………………………3分（2）①由，，的中点坐标为，所以．……………………………………………6分②解法一：将直线PA方程代入，解得，记，则，于是，故直线的方程为，代入椭圆方程得，由，因此，………………………………………………9分∴，，∴，∴，故．…………12分解法二：由题意设，，，则，∵三点共线，∴，……………………………………8分又因为点在椭圆上，∴，两式相减得：， (10)分∴，∴．……………………………………………………12分 22.解：（I）曲线方程为，可得，可得∴的直角坐标方程：，的参数方程为，消去参数可得：的普通方程：．………………………………5分（II）由（I）知，为以（0，1）为圆心，为半径的圆，的圆心（0，1）到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为0，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为．…………………10分kj.co。
湖北省2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)(B卷)Word版含解析
湖北省2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）（B 卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．数列的前4项为1，﹣，，﹣，则此数列的通项公式可以是（ ）A ．（﹣1）nB ．（﹣1）n+1C ．（﹣1）nD ．（﹣1）n+12．“x 2+2x ﹣8＞0”是“x＞2”成立的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知﹣9，a 1，a 2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b 1，b 2，b 3，﹣1五个实数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）=（ ）A ．8B ．﹣8C ．±8D ．4．若＜＜0，则下列结论不正确的是（ ） A ．a 2＜b 2 B ．ab ＞b 2 C ．a+b ＜0 D ．|a|+|b|＞a+b5．已知椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线y 2=﹣8x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A ． +=1 B ．+=1C ．+y 2=1 D ． +y 2=16．已知两函数y=x 2﹣1与y=1﹣x 3在x=x 0处有相同的导数，则x 0的值为（ ）A ．0B ．﹣C ．0或﹣D ．0或17．我国古代数典籍《九章算术》》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢．（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6、8．已知F 1、F 2分别为椭圆+y 2=1的左右两个焦点，过F 1作倾斜角为的弦AB ，则△F 2AB 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣19．已知直线y=kx 是y=lnx 的切线，则k 的值是（ ）A ．eB ．﹣eC ．D ．﹣10．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点M 到焦点F 的距离等于3p ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．±B ．±1C ．+D ．±11．已知f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 与x 轴有3个交点（0，0），（x 1，0），（x 2，0），且f （x ）在x=，x=时取极值，则x 1•x 2的值为（ ） A ．4B ．2C ．6D ．不确定12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2，b 2，c 2成等差数列，则sinB 最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 13．命题“∀x ∈R ，4x 2﹣3x+2＜0”的否定是 ．14．△ABC 的周长等于3（sinA+sinB+sinC ），则其外接圆直径等于 ．15．已知x ，y 满足约束条件，则3x ﹣y 的最小值为 ．16．在△ABC 中，已知当A=， •=tanA 时，△ABC 的面积为 ．17．如果方程﹣=1表示双曲线，那么实数m 的取值范围是 ．18．若f （x ）=x 3﹣3x+m 有三个零点，则实数m 的取值范围是 ．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且=，则S n 为非负值的最大n 值为 ．20．已知函数f （x ）=x+，g （x ）=2x +a ，若∃x 1∈[，3]，∀x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围 ．三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）21．（10分）已知命题p：x2+2mx+（4m﹣3）＞0的解集为R，命题q：m+的最小值为4，如果p与q只有一个真命题，求m的取值范围．22．（10分）设等差数列{an }的公差为d，前n项和为Sn，已知a5=9，S7=49．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =an•2n，求数列{bn}的前n项和．23．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， =．（1）求角A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，求的范围．24．（10分）已知椭圆E： +=1，（a＞b＞0）的e=，焦距为2．（1）求E的方程；（2）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．25．（10分）设函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在[1，3]上不存在单调增区间，求a的取值范围．湖北省2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（文科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．数列的前4项为1，﹣，，﹣，则此数列的通项公式可以是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n+1 C．（﹣1）n D．（﹣1）n+1【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据数列项与项数之间的关系进行求解即可．【解答】解：数列为分式形式，奇数项为正数，偶数项为负数，则符合可以用（﹣1）n+1表示，每一项的分母和项数n对应，用表示，则数列的通项公式可以为（﹣1）n+1，故选：B【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决本题的关键．2．“x2+2x﹣8＞0”是“x＞2”成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式，根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0，解得：x＞2或x＜﹣4，故“x2+2x﹣8＞0”是“x＞2”成立的必要不充分条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．3．已知﹣9，a1，a2，﹣1四个实数成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1五个实数成等比数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先由已知条件和等差数列以及等比数列的性质求得，再利用等比数列中的第三项与第一项同号即可求出答案．【解答】解：由题得，又因为b2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b2=﹣3∴b2（a2﹣a1）=﹣8．故选 B．【点评】本题是对等差数列以及等比数列性质的综合考查．在做关于等差数列以及等比数列的题目时，其常用性质一定要熟练掌握．4．若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＞b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞a+b【考点】不等关系与不等式．【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可．【解答】解：∵＜＜0，可得：a＜b＜0，|a|＞|b|，a2＞b2，显然A不对，故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5．已知椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A． +=1 B． +=1C． +y2=1 D． +y2=1【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，利用离心率求出a，然后求出b，即可得到椭圆方程．【解答】解：椭圆的中心在原点，离心率e=，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣8x的焦点（﹣2，0）重合，可得c=2，则a=4，b=2，则此椭圆方程为： +=1．故选：A ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．6．已知两函数y=x 2﹣1与y=1﹣x 3在x=x 0处有相同的导数，则x 0的值为（ ）A ．0B ．﹣C ．0或﹣D ．0或1【考点】导数的运算．【分析】由y=x 2﹣1，得=2x 0，由y=1﹣x 3，得，由此根据两函数y=x 2﹣1与y=1﹣x 3在x=x 0处有相同的导数，能求出x 0的值．【解答】解：∵y=x 2﹣1，∴y′=2x， =2x 0，∵y=1﹣x 3，∴y′=﹣3x 2，，∵两函数y=x 2﹣1与y=1﹣x 3在x=x 0处有相同的导数，∴，解得x 0=0或x 0=﹣．故选：C ．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．7．我国古代数典籍《九章算术》》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢．（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6、【考点】等比数列的前n 项和；等比数列的通项公式． 【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列， 前n 天打洞之和为=2n ﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣，∴2n ﹣1+2﹣=10，解得n ∈（3，4），取n=4． 即两鼠在第4天相逢． 故选：B ．【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知F 1、F 2分别为椭圆+y 2=1的左右两个焦点，过F 1作倾斜角为的弦AB ，则△F 2AB 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．﹣1【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】求出直线AB 的方程，代入椭圆方程，求得交点A ，B 的坐标，利用S=•|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|，即可得出S ．【解答】解：椭圆+y 2=1的左右两个焦点（﹣1，0），过F 1作倾斜角为的弦AB ，可得直线AB 的方程为：y=x+1，把 y=x+1 代入 x 2+2y 2=2 得3x 2+4x=0，解得x 1=0 x 2=﹣，y 1=1，y 2=﹣，∴S=•|F 1F 2|•|y 1﹣y 2|==．故选：B ．【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、椭圆的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于中档题．9．已知直线y=kx 是y=lnx 的切线，则k 的值是（ ）A ．eB ．﹣eC ．D ．﹣【考点】导数的几何意义．【分析】欲求k 的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=lnx ，∴y'=，设切点为（m ，lnm ），得切线的斜率为，所以曲线在点（m ，lnm ）处的切线方程为：y ﹣lnm=×（x ﹣m ）． 它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e ，∴k=． 故选C ．【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．10．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点M 到焦点F 的距离等于3p ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．±B ．±1C ．+D ．±【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设P （x 0，y 0）根据定义点M 与焦点F 的距离等于P 到准线的距离，求出x 0，然后代入抛物线方程求出y 0即可求出坐标．然后求解直线的斜率． 【解答】解：根据定义，点P 与准线的距离也是3P ，设M （x 0，y 0），则P 与准线的距离为：x 0+，∴x 0+=3p ，x 0=p ， ∴y 0=±p ，∴点M 的坐标（p ，± p ）．直线MF 的斜率为： =．故选：D ．【点评】本题考查了抛物线的定义和性质，解题的关键是根据定义得出点M 与焦点F 的距离等于M 到准线的距离，属于中档题．11．已知f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 与x 轴有3个交点（0，0），（x 1，0），（x 2，0），且f （x ）在x=，x=时取极值，则x 1•x 2的值为（ ） A ．4B ．2C ．6D ．不确定【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由f （0）=0，可得d=0．f′（x ）=3ax 2+2bx+c ．根据f （x ）在x=，x=时取极值，可得f′（）=0，f′（）=0，又f （x ）=x （ax 2+bx+c ），可得f （x 1）=f （x 2）=0，x 1，x 2≠0．可得x 1x 2=． 【解答】解：∵f （0）=0，∴d=0． f′（x ）=3ax 2+2bx+c ，∵f （x ）在x=，x=时取极值，∴f′（）=0，f′（）=0，a ≠0，可得2×++3=0，4×++12=0，解得： =6， 又f （x ）=x （ax 2+bx+c ）， f （x 1）=f （x 2）=0，x 1，x 2≠0．∴x 1x 2==6． 故选：C ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2，b 2，c 2成等差数列，则sinB 最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由等差数列的定义和性质可得2b 2=a 2 +c 2 ，再由余弦定理可得cosB=，利用基本不等式可得cosB ≥，从而求得角B 的取值范围，进而利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：由题意可得2b2=a2 +c2 ，由余弦定理可得cosB==≥，当且仅当a=c时，等号成立．又 0＜B＜π，∴0＜B≤，∵sinB在（0，]单调递增，∴可得sinB的最大值是sin=．故选：D．【点评】本题主要考查余弦定理、等差数列的定义和性质，以及基本不等式的应用，求得cosB≥，是解题的关键，属于基础题．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）13．命题“∀x∈R，4x2﹣3x+2＜0”的否定是∃x∈R，4x2﹣3x+2≥0 ．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定【解答】解：原命题为“∀x∈R，4x2﹣3x+2＜0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：∃x∈R，4x2﹣3x+2≥0故答案为：∃x∈R，4x2﹣3x+2≥0【点评】本题考查命题的否定，本题解题的关键是熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，熟练两者之间的变化．14．△ABC的周长等于3（sinA+sinB+sinC），则其外接圆直径等于 3 ．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理和△ABC的外接圆半径表示出sinA、sinB、sinC，代入已知的式子化简后求出答案．【解答】解：由正弦定理得，，且R是△ABC的外接圆半径，则sinA=，sinB=，sinC=，因为△ABC的周长等于3（sinA+sinB+sinC），所以a+b+c=3（sinA+sinB+sinC）=3（++），化简得，2R=3，即其外接圆直径等于3，故答案为：3．【点评】本题考查了正弦定理的应用：边角互化，属于基础题．15．已知x，y满足约束条件，则3x﹣y的最小值为﹣3 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（0，3），此时z=3×0﹣3=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16．在△ABC中，已知当A=，•=tanA时，△ABC的面积为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出，然后代入三角形面积公式得答案．【解答】解：由A=，•=tanA，得•=tanA=tan=．∴，则，∴==．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查正弦定理求面积，是中档题．17．如果方程﹣=1表示双曲线，那么实数m的取值范围是（﹣1，1）∪（2，+∞）．【考点】双曲线的标准方程．【分析】方程表示双曲线的充要条件是mn＜0．【解答】解：∵方程﹣=1表示双曲线，∴（|m|﹣1）（m ﹣2）＞0， 解得﹣1＜m ＜1或m ＞2，∴实数m 的取值范围是（﹣1，1）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣1，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查双曲线的定义，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．18．若f （x ）=x 3﹣3x+m 有三个零点，则实数m 的取值范围是 ﹣2＜m ＜2 ． 【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可． 【解答】解：由函数f （x ）=x 3﹣3x+m 有三个不同的零点， 则函数f （x ）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0． 由f′（x ）=3x 2﹣3=3（x+1）（x ﹣1）=0，解得x 1=1，x 2=﹣1， 所以函数f （x ）的两个极值点为 x 1=1，x 2=﹣1．由于x ∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x ）＞0； x ∈（﹣1，1）时，f′（x ）＜0； x ∈（1，+∞）时，f′（x ）＞0，∴函数的极小值f （1）=m ﹣2和极大值f （﹣1）=m+2． 因为函数f （x ）=x 3﹣3x+m 有三个不同的零点，所以，解之得﹣2＜m ＜2．故答案为：﹣2＜m ＜2．【点评】本题是中档题，考查函数的导数与函数的极值的关系，考查转化思想和计算能力．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0且=，则S n 为非负值的最大n 值为 20 ．【考点】等差数列的性质．【分析】设出等差数列的公差d ，由=得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式，由S n ≥0求出n 的范围，再根据n 为正整数求得n 的值．【解答】解：设等差数列的公差为d ，由=，得=，即2a 1+19d=0，解得d=﹣，所以S n =na 1+×（﹣）≥0，整理，得：S n =na 1•≥0．因为a 1＞0，所以20﹣n ≥0即n ≤20， 故S n 为非负值的最大n 值为20． 故答案是：20．【点评】本题考查等差数列的前n 项和，考查了不等式的解法，是基础题．20．已知函数f （x ）=x+，g （x ）=2x +a ，若∃x 1∈[，3]，∀x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g（x 2），则实数a 的取值范围 a ≤ ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】由∀x 1∈[，3]，都∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g （x 2），可得f （x ）在x 1∈[，3]的最大值不小于g （x ）在x 2∈[2，3]的最大值，构造关于a 的不等式，可得结论．【解答】解：当x 1∈[，3]时，由f （x ）=x+得，f′（x ）=，令f′（x ）＞0，解得：x ＞2，令f′（x ）＜0，解得：x ＜2，∴f （x ）在[，2]单调递减，在（2，3]递增，∴f （）=8.5是函数的最大值，当x 2∈[2，3]时，g （x ）=2x +a 为增函数， ∴g （3）=a+8是函数的最大值，又∵∀x 1∈[，3]，都∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g （x 2），可得f （x ）在x 1∈[，3]的最大值不小于g （x ）在x 2∈[2，3]的最大值，即8.5≥a+8，解得：a≤，故答案为：a≤．【点评】本题考查的知识是指数函数以及对勾函数函数的图象和性质，考察导数的应用，函数的单调性问题，本题是一道中档题．三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）21．（10分）（2016秋•珠海期末）已知命题p：x2+2mx+（4m﹣3）＞0的解集为R，命题q：m+的最小值为4，如果p与q只有一个真命题，求m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对命题p，使不等式解集为R，△＜0，求出m的范围；命题q利用对对勾函数的性质可求出此处的m的范围，然后利用复合命题的真值表即可求出【解答】解：命题p真：△=4m2﹣4（4m﹣3）＜0⇒1＜m＜3命题q真：m+=m﹣2++2的最小值为4，则m＞2，当p真，q假时，1＜m＜3且m≤2，⇒1＜m≤2；当p假，q真时，m≤1或m≥3且m＞2，⇒m＞3；综上：m的取值范围（1，2]∪（3，+∞）【点评】考查了复合命题的真假判断表，另外还考查了对勾函数的性质，属于基础题．22．（10分）（2016秋•珠海期末）设等差数列{an }的公差为d，前n项和为Sn，已知a5=9，S7=49．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =an•2n，求数列{bn}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由S7=49结合等差数列的性质求得a4=7，再求等差数列的公差和通项式；（2）bn =an•2n=（2n﹣1）•2n，用错位相减法求数列{bn}的前n项和为Tn【解答】解：（1）在等差数列{an }中，由S7=7（a1+a7）=49，得：a4=7，又∵a5=9，∴公差d=2，a1=1，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣1 （n∈N+），（2）bn =an•2n=（2n﹣1）•2n，令数列{bn }的前n项和为Tn，Tn=1×21+3×22+5×23+…+（2n﹣3）×2n﹣1+（2n﹣1）•2n…①2 Tn=1×22+3×23++…+（2n﹣5）×2n﹣1+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1…②﹣Tn=2+2（22+23++…+2n﹣1+•2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=2+2n+2﹣8﹣+（2n﹣1）•2n+1；∴Tn=（2n﹣3）2n+1+6．【点评】本题考查了等差数列的通项，及错位相减法求和，属于基础题．23．（10分）（2016秋•珠海期末）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，=．（1）求角A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，求的范围．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知的式子后，由余弦定理求出cosA的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；（2）由（1）和内角和定理表示出B，由锐角三角形的条件列出不等式组，求出C的范围，由正弦定理、两角差的正弦公式、商的关系化简后，由正切函数的图象与性质求出答案．【解答】解：（1）由题意知，，由正弦定理得，，化简得，，即，由余弦定理得，cosA==，又0＜A＜π，则A=；（2）由（1）得A=，又A+B+C=π，则B=﹣C，因为△ABC是锐角三角形，所以，解得，由正弦定理得， ====，由得，tanC＞1，即，所以，即的范围是．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理，两角差的正弦公式，内角和定理，商的关系等，以及正切函数的图象与性质，考查转化思想，化简、变形能力．24．（10分）（2016秋•珠海期末）已知椭圆E： +=1，（a＞b＞0）的e=，焦距为2．（1）求E的方程；（2）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆中，e=，焦距为2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆E 的方程．=2．当（2）当AB为长轴（或短轴）时，依题意C是椭圆的上下顶点（或左右顶点）时，S△ABC直线AB的斜率不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，联立方程组，得|OA|2=，直线直线OC 的方程为y=﹣，由，得|OC|2=．从而求出，由此能求出△ABC 面积的最小值为，此时直线直线AB 的方程为y=x 或y=﹣x ．【解答】解：（1）∵椭圆E ： +=1，（a ＞b ＞0）的e=，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆E 的方程为．（2）当AB 为长轴（或短轴）时，依题意C 是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时S △ABC =|OC|×|AB|=2．当直线AB 的斜率不为0时，设其斜率为k ，直线AB 的方程为y=kx ，联立方程组，得=，，∴|OA|2==，由|AC|=|CB|知，△ABC 为等股三角形，O 为AB 的中点，OC ⊥AB ，∴直线直线OC 的方程为y=﹣，由，解得=， =，|OC|2=．S △ABC =2S △OAC =|OA|×|OC|==．∵≤=，∴，当且仅当1+4k 2=k 2+4，即k=±1时，等号成立，此时△ABC面积的最小值是，∵2＞，∴△ABC面积的最小值为，此时直线直线AB的方程为y=x或y=﹣x．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、三角形面积等知识点的合理运用．25．（10分）（2016秋•珠海期末）设函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在[1，3]上不存在单调增区间，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）将a=2代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=2时，f（x）=lnx+x2﹣4x+4，（x＞0），f′（x）=+2x﹣4=，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，故f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；（2）f′（x）=+2x﹣2a=，x∈[1，3]，设g（x）=2x2﹣2ax+1，假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，于是，解得：a≥．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查曲线的切线方程以及导数的应用，是一道中档题．。
2017-2018学年湖北省荆州中学高二(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．2．（5分）已知命题p：∃x∈R使得，命题q：∀x∈R，x2+1＞x，下列为真命题的是（）A．（￢p）∧q B．p∧（￢q）C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）3．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0和圆x2+y2﹣6y=0交于A，B两点，则直线AB的方程是（）A．x﹣3y=0B．x+3y=0C．3x﹣y=0D．3x+y=0 4．（5分）将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．5．（5分）“1＜k＜5”是“方程表示椭圆”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s=，那么判断框内应填（）A．k≥2017？B．k≥2018？C．k≤2017？D．k≤2018？7．（5分）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的3倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）若P（2，﹣2）为圆（x﹣1）2+y2=100的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣6=0B．x+2y+2=0C．2x+y﹣2=0D．2x﹣y﹣6=0 9．（5分）已知圆F1：（x+2）2+y2=36，定点F2（2，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹C的方程是（）A．=1B．=1C．=1D．=110．（5分）甲、乙两名同学打算在下午自习16：00﹣17：00期间去向杨老师问问题，预计解答完一个学生的问题需要15分钟．若甲乙两人在16：00﹣17：00内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=3，则的最小值为（）A．2B．3C．4D．512．（5分）将一颗六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体形状的骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为a、b，设直线l1：ax+by=2与l2：x+2y=2平行的概率为，相交的概率为P2，则圆C：x2+y2=16上到直线6P1x+2（P2﹣1）y=1的距离为2的点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某班学生A、B在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A平均成绩与学生B的成绩的众数相等，则m=．14．（5分）在△ABC中，三顶点A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x﹣y最大值为．15．（5分）在球面上有A，B，C，D四个点，如果AD⊥AB，AB⊥BC，BC⊥AD，AD=1，AB=2，BC=3，则该球的表面积为．16．（5分）已知A、B、P是双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点O对称，若直线PA、PB的斜率乘积k PA•k PB=3，则该双曲线的离心率e．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（Ⅰ）求角C的值．的值．（Ⅱ）若=4，求△ABC的面积S△ABC18．（12分）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（Ⅰ）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m=3，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．19．（12分）为对期中七校联考成绩进行分析，随机抽查了其中3000名考生的成绩，根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图．（Ⅰ）求成绩在[600，700）的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；（Ⅲ）我校共有880人参加这次考试，请根据频率分布直方图估计我校成绩在[650，700）这段的人数？20．（12分）已知直线ax﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0交于A，B两点，过点P（5，﹣1）的直线l与圆C交于M，N两点，（Ⅰ）若直线l垂直平分弦AB，求实数a的值；（Ⅱ）若|MN|=4，求直线l的方程．21．（12分）已知三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等腰直角三角形，且BC⊥CD，BC=4，AD⊥平面BCD，AD=2．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC（Ⅱ）若E为AB的中点，求点A到平面CDE的距离．22．（12分）已知椭圆，过右焦点F2的直线l交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）若，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率存在，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（a，0），求实数a的取值范围．2017-2018学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．【分析】先将抛物线方程化为标准方程，其为开口向上，焦准距为1的抛物线，写出其准线方程y=﹣即可【解答】解：抛物线的标准方程为x2=2y，焦准距p=1，=∴抛物线的准线方程为y=﹣故选：A．【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何意义，特别注意方程是否标准形式，属基础题2．（5分）已知命题p：∃x∈R使得，命题q：∀x∈R，x2+1＞x，下列为真命题的是（）A．（￢p）∧q B．p∧（￢q）C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）【分析】举例说明p为真命题，利用作差法判断大小说明q为真命题，再由复合命题的真假判断逐一核对四个选项得答案．【解答】解：当x＜0时，，∴命题p：∃x∈R使得为真命题；∵x2+1﹣x=，∴∀x∈R，x2+1＞x，即命题q为真命题．∴（￢p）∧q为假命题；p∧（￢q）为假命题；p∧q为真命题；（￢p）∧（￢q）为假命题．故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假判断，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．3．（5分）圆x2+y2﹣4x+6y=0和圆x2+y2﹣6y=0交于A，B两点，则直线AB的方程是（）A．x﹣3y=0B．x+3y=0C．3x﹣y=0D．3x+y=0【分析】两圆相减，能求出直线AB的方程．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x+6y=0和圆x2+y2﹣6y=0交于A，B两点，∴两圆相减，得：﹣4x+12y=0，∴直线AB的方程是x﹣3y=0．故选：A．【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（5分）将正方体（如图（1）所示）截去两个三棱锥，得到如图（2）所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，看看左视图是怎样画出的，即可得出正确的选项．【解答】解：根据题意，得；点A在平面BCC1B1上的投影是B，点D在平面BCC1B1上的投影是C，棱AB1在平面BCC1B1上的投影是BB1，AD1在平面BCC1B1上的投影是BC1，B1D1在平面BCC1B1上的投影是B1C1，B1C是被挡住的棱，应画成虚线，如图所示．故选：B．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，属于基础题，5．（5分）“1＜k＜5”是“方程表示椭圆”的什么条件（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】方程表示椭圆⇔，解出k即可判断出结论．【解答】解：方程表示椭圆⇔，解得1＜k＜5，且k≠3．∴1＜k＜5”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义、不等式的解法与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s=，那么判断框内应填（）A．k≥2017？B．k≥2018？C．k≤2017？D．k≤2018？【分析】模拟执行程序框图，根据程序的功能进行求解即可．【解答】解：本程序的功能是计算S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由1﹣=，得k+1=2018，即k=2017，即k=2018不成立，k=2017成立，故断框内可填入的条件k≤2017，故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，属于基础题．7．（5分）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的3倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由题意可知，本题需作辅助线，可以根据三角形的特征，进行求解．【解答】解：已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的3倍，设底面边长为1，侧棱长为3，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角∠PAO的余弦值等于=，故选：D．【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对三角形的利用，是基础题．8．（5分）若P（2，﹣2）为圆（x﹣1）2+y2=100的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣6=0B．x+2y+2=0C．2x+y﹣2=0D．2x﹣y﹣6=0【分析】求出圆心C的坐标，计算PC的斜率，利用中垂线的性质求得直线AB 的斜率，由点斜式写出AB的方程，并化为一般式，即可的答案．【解答】解：根据题意，设圆（x﹣1）2+y2=100的圆心为C，则C的坐标为（1，0），点P（2，﹣2）为弦AB的中点，则PC的斜率为K PC==﹣2，则直线AB的斜率k=，所以直线AB的方程为y+2=（x﹣2），即x﹣2y﹣6=0．故选：A．【点评】本题考查了直线和圆相交的性质，线段中垂线的性质以及点斜式求直线的方程应用问题，是基础题目．9．（5分）已知圆F1：（x+2）2+y2=36，定点F2（2，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹C的方程是（）A．=1B．=1C．=1D．=1【分析】由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6，又|F1F2|=4，4＜6根据椭圆的定义，点P的轨迹是M，N为焦点，以3为实轴长的椭圆，即可得出结论【解答】解：由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6又|F1F2|=4，4＜6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是F1，F2为焦点，以3为实轴长的椭圆，所以2a=6，2c=4，所以b=，所以，点P的轨迹方程为：+=1．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题10．（5分）甲、乙两名同学打算在下午自习16：00﹣17：00期间去向杨老师问问题，预计解答完一个学生的问题需要15分钟．若甲乙两人在16：00﹣17：00内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据几何概型的概率知，试验包含的所有事件Ω={（x ，y ）|16＜x ＜17，16＜y ＜17}，求出事件对应的区域面积，再计算满足条件的事件A={（x ，y ）|16＜x ＜17，16＜y ＜17，且|x ﹣y |≥}表示的区域面积，计算面积比即可．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x ，y ）|16＜x ＜17，16＜y ＜17}，事件对应的集合表示的面积是S=1×1=1，满足条件的事件是A={（x ，y ）|16＜x ＜17，16＜y ＜17，且|x ﹣y |≥}，事件对应的集合表示的面积是S′=2××=， 根据几何概型概率公式得到两人独自去时不需要等待的概率： P==．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．（5分）已知a ＞0，b ＞0，且a +b=3，则的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据题意，分析可得=（a +b ）（+）=×（5++），由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，a ＞0，b ＞0，且a +b=3，则=（a +b ）（+）=×（5++）≥×（5+2）=3，当且仅当b=2a时等号成立，即的最小值为3；故选：B．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式，属于基础题．12．（5分）将一颗六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体形状的骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为a、b，设直线l1：ax+by=2与l2：x+2y=2平行的概率为，相交的概率为P2，则圆C：x2+y2=16上到直线6P1x+2（P2﹣1）y=1的距离为2的点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】验发生包含的事件是一颗骰子投掷两次，共有36种结果，使得两条直线平行的a，b的值可以通过列举做出，还有一种就是使得两条直线重合，除此之外剩下的是相交的情况，求出概率，从而得到直线方程，再判断直线和圆的位置关系，即可求出答案．【解答】解：由题意知本题是两个古典概型的问题，试验发生包含的事件是一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，共有36种结果，要使的两条直线l1：ax+by=2与l2：x+2y=2平行，则a=2，b=4；a=3；b=6，共有2种结果，当A=1，B=2时，两条直线平行，其他33种结果，都使的两条直线相交，∴两条直线平行的概率p1==，两条直线相交的概率p2==，∵6P1x+2（P2﹣1）y=1，∴2x+y﹣6=0，则圆心到直线的距离d==＜4，∴直线和圆相交，故则圆C：x2+y2=16上到直线2x+y﹣6=0的距离为2的点的个数是2个，故选：B．【点评】本题考查点与圆的位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意概率、两点间距离公式的合理运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某班学生A、B在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A平均成绩与学生B的成绩的众数相等，则m=5．【分析】根据茎叶图写出学生A的平均成绩和B成绩的众数，列方程求出m的值．【解答】解：根据茎叶图知，学生A的平均成绩为=×（73+79+82+85+80+m+83+92+93）=，学生B成绩的众数84，∴=84，解得m=5．故答案为：5．【点评】本题考查了茎叶图与平均数、众数的计算问题，是基础题．14．（5分）在△ABC中，三顶点A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x﹣y最大值为1．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由平移可知当直线y=x﹣z，经过点C（1，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，代入z=x﹣y=1﹣0=1即z=x﹣y的最大值是1，故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．（5分）在球面上有A，B，C，D四个点，如果AD⊥AB，AB⊥BC，BC⊥AD，AD=1，AB=2，BC=3，则该球的表面积为14π．【分析】根据题意，AD⊥AB，AB⊥BC，BC⊥AD，AD=1，AB=2，BC=3，看成是在长方体中的四点，根据长方体的外接球的性质可得该球的表面积．【解答】解：根据题意，AD⊥AB，AB⊥BC，BC⊥AD，AD=1，AB=2，BC=3，看成是在长方体中的四点，如图：AC=，那么：CD=根据长方体的外接球的性质可得该球的半径R=．该球的表面积S=4πR2=14π．故答案为：14π【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（5分）已知A、B、P是双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点O对称，若直线PA、PB的斜率乘积k PA•k PB=3，则该双曲线的离心率e2．【分析】设出点点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA•k PB=3，即可求得结论【解答】解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1）∴k PA•k PB=×=∵，，∴两式相减可得=∵k PA•k PB=3，∴=3，∴=e2﹣1=3，∴e=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，考查斜率公式，属基础题三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（Ⅰ）求角C的值．的值．（Ⅱ）若=4，求△ABC的面积S△ABC【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合sinC≠0，可得，结合范围0＜C＜π，可得C的值．（Ⅱ）由已知利用平面向量数量积的运算可求ab的值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得：，∴，∴，∵sinC≠0，∴，又0＜C＜π，∴．…（5分）（Ⅱ）∵=abcosC=ab=4，∴解得：ab=4，∴，…（10分）【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，平面向量数量积的运算，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（Ⅰ）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m=3，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．【分析】（Ⅰ）记命题p的解集为A=[﹣2，4]，命题q的解集为B=[2﹣m，2+m]，由p是q的充分不必要条件，得A⊊B，再由两集合端点值间的关系列式求解；（Ⅱ）由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得命题p与q一真一假，然后利用交、并、补集的混合运算求解．【解答】解：（Ⅰ）记命题p的解集为A=[﹣2，4]，命题q的解集为B=[2﹣m，2+m]，∵p是q的充分不必要条件，∴A⊊B，∴，解得：m≥4；（Ⅱ）p：﹣2≤x≤4，m=3时，q：﹣1≤x≤5，∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，①若p真q假，则，解得：x∈[﹣2，﹣1）；②若p假q真，则，解得：x∈（4，5]．综上得：x∈[﹣2，﹣1）∪（4，5]．【点评】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查交、并、补集的混合运算，是中档题．19．（12分）为对期中七校联考成绩进行分析，随机抽查了其中3000名考生的成绩，根据所得数据画了如下的样本频率分布直方图．（Ⅰ）求成绩在[600，700）的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；（Ⅲ）我校共有880人参加这次考试，请根据频率分布直方图估计我校成绩在[650，700）这段的人数？【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求得成绩在[600，700）的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图求出平均数和中位数；（Ⅲ）计算成绩在[650，700）的频率和频数即可．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图得，成绩在[600，700）的频率为0.003×50+0.001×50=0.2；…（2分）（Ⅱ）设样本数据的平均数为a，中位数为b，则a=0.002×50×425+0.004×50×475+0.005×50×525+0.005×50×575+0.003×50×625+0.001×50×675=540；…（5分）根据直方图估计中位数b在[500，550）段，∵0.002×50+0.004×50+0.005×（b﹣500）=0.5，解得b=540，…（8分）∴数据的平均数和中位数都是540；（Ⅲ）成绩在[650，700）的频率为：0.001×50=0.05，∴我校880名学生生中成绩在[650，700）的人数为：0.05×880=44（人）．…（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．20．（12分）已知直线ax﹣y+1=0与圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0交于A，B两点，过点P（5，﹣1）的直线l与圆C交于M，N两点，（Ⅰ）若直线l垂直平分弦AB，求实数a的值；（Ⅱ）若|MN|=4，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标与半径，由于l垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在直线l上，求出直线l的斜率，由两直线垂直与斜率的关系求解a；（Ⅱ）设直线l的方程是y=k（x﹣5）﹣1，利用垂径定理结合弦长求得k，则直线l的方程可求．【解答】解：（Ⅰ）化圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0为C：（x﹣3）2+（y+2）2=9，可得圆心C（3，﹣2），半径为3，直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．由于l垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在直线l上，∴直线l过点P（5，﹣1）和C（3，﹣2），则斜率，∴k AB=a=﹣2；（Ⅱ）设直线l的方程是y=k（x﹣5）﹣1，∵C到l的距离，，∴，解得k=﹣2，∴l的方程是：y=﹣2（x﹣5）﹣1，即：2x+y﹣9=0．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．21．（12分）已知三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等腰直角三角形，且BC⊥CD，BC=4，AD⊥平面BCD，AD=2．（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC（Ⅱ）若E为AB的中点，求点A到平面CDE的距离．【分析】（Ⅰ）证明AD⊥BC，结合BC⊥CD，推出BC⊥平面ACD，然后证明平面ABC⊥平面ACD．=4，设A到平面（Ⅱ）由已知可得，取CD中点为F，连结EF，求出S△ACD CED的距离为d，利用等体积法求解A到平面CDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AD⊥BC，又∵BC⊥CD，CD∩AD=D，∴BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．…（5分）（Ⅱ）解：由已知可得，取CD中点为F，连结EF，∵，∴△ECD为等腰三角形，∴，，…（8分）由（Ⅰ）知BC⊥平面ACD，∴E到平面ACD 的距离为：，=4，…（10分）∴S△ACD设A到平面CED的距离为d，有，解得，∴A到平面CDE 的距离是．…（12分）第21页（共23页）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查转化思想以及计算能力．22．（12分）已知椭圆，过右焦点F2的直线l交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）若，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率存在，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（a，0），求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，求得斜率k，即可得到所求直线方程；（Ⅱ）运用中点坐标公式可得MN的中点Q的坐标，k PQ•k MN=﹣1，求得PQ的方程，可令y=0，可得a关于k的关系式，讨论k是否为0，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，可得M（1，），N（1，﹣），，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为y=k（x﹣1），①椭圆，②由①②可得（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，∴x1+x2=，x1x2=，第22页（共23页）∴y1y2=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=k2[﹣+1]=﹣，∴，解得k2=4，∴k=±2，即直线l的方程为y=2（x﹣1）或y=﹣2（x﹣1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=﹣2k=﹣，设MN的中点为Q，即Q （，﹣），∵k PQ•k MN=﹣1，直线PQ的方程是y+=﹣（x﹣），令y=0解得，当k=0时，M，N为椭圆长轴的两个端点，则点P与原点重合，当k≠0时，a∈（0，），综上所述，存在点P且a∈[0，）．【点评】本题考查直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，考查两直线垂直的条件，以及分类讨论思想方法，属于中档题．第23页（共23页）。
湖北省荆州市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 文(含解析)
2016-2017学年湖北省荆州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.多涂、不涂或涂错均得0分.1．（2015春•荆州期末）“xy=0”是“x2+y2=0”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：因为x2+y2=0，可得x，y=0，再根据充要条件的定义进行判断；解答：解：∵xy=0，或者x=0，或y=0或x=y=0；∵x2+y2=0，可得x=y=0，∵“x2+y2=0”⇒“xy=0”；∴“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件，故选B；点评：此题主要考查充分条件和必要条件的定义，是一道基础题，考查的知识点比较单一．2．（2015春•荆州期末）命题“∃x0∈R，x02+1＜0”的否定是（ ） A．∀x∈R，x2+1＜0B．∀x∈R，x2+1≥0 C．∃x0∈R，x02+1≤0D．∃x0∈R，x02+1≥0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，x2+1≥0，故选：B点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（2015春•荆州期末）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0），若a=2b，则双曲线的离心率为（ ） A．B．C．D．3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用双曲线的几何量的关系，求出离心率即可．解答：解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0），a=2b，可得a2=4b2=4（c2﹣a2），解得e=．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．4．（2015春•荆州期末）设命题p：∀x∈R，x2﹣x+≥0；命题q：∃x∈R，x2+2x+2≤0．则下列命题中是真命题的是（ ） A．p∧q B．（¬p）∨q C．p∧（¬q）D．（¬p）∧（¬q）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：对于命题p，q都可通过求判别式△来判断二次函数的取值情况，从而判断出命题p是真命题，q是假命题，然后根据p∧q，￢p，p∨q的真假和p，q真假的关系即可找到正确选项．解答：解：对于命题p：设y=；∵△=0；∴y≥0；即∀x∈R，；∴命题p是真命题；对于命题q：设y=x2+2x+2；∵△=﹣4＜0；∴∀x∈R，x2+2x+2＞0；即不存在x∈R，x2+2x+2≤0；∴命题q是假命题；∴p∧q为假命题，￢p为假命题，（￢p）∨q是假命题，￢q是真命题，p∧（￢q）为真命题，（￢p）∧（￢q）为假命题．故选：C．点评：考查二次函数的判别式△和二次函数取值的关系，真命题、假命题的概念，以及命题p∧q，p∨q，￢p的真假和p，q真假的关系．5．（2015春•荆州期末）若圆C的半径为1，其圆心C与点（1，0）关于直线x+y= 0对称，则圆C的标准方程为（ ） A．x2+（y﹣1）2=1B．x2+（y+1）2=1C．（x﹣1）2+y2=1D．（x+1）2+y2=1考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=﹣x的对称点为（﹣b，﹣a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=﹣x对称，可得圆心为（0，﹣1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y+）2=1，故选：B．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=﹣x的对称点为（﹣b，﹣a），属于基础题．6．（2015春•荆州期末）函数f（x）=2lnx+的单调递减区间是（ ） A．（﹣∞，]B．（0，]C．[，1）D．[1，+∞﹚考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求．解答：解：由f（x）=2lnx+，得：f′（x）=．因为函数f（x）=2lnx+的定义域为（0，+∞），由f′（x）≤0，得：≤0，即2x﹣1≤0，解得：0＜x≤．所以函数f（x）=2lnx+的单调递减区间是：（0，]．故选：B．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．7．（2015春•荆州期末）书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次为2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书的本数为（ ） A．20B．25C．30D．35考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：直接利用抽样比，统筹兼顾即可解答：解：书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，应抽出的英语书x本．可得=，x=25．故选：B．点评：本题考查分层抽样的应用，利用抽样比求解是解题的关键．8．（2015春•荆州期末）将2枚质地均匀的骰子抛掷一次，记向上的点数分别为a、b，则事件“a+b=5”的概率为（ ） A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：将2枚质地均匀的骰子抛掷一次，其基本事件的总个数，由列举法可得事件“a+b=5包含基本事件数目，由古典概型公式，计算可得答案；解答：解：由题意得，掷骰子1次，其向上的点数有6种情况，则将一枚骰子连掷两次，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种，事件“a+b=8”包含基本事件：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4，∴所求事件的概率=．故选：D．本题考查等可能事件概率计算，涉及一元二次方程有根的充要条件与列举法求基本事件的数目，关键是正确运用列举法，得到基本事件的数目．9．（2015•衡阳三模）执行如图所示的程序框图，输出的i值为（ ） A．2B．3C．4D．5考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=lg24时，满足条件S＞1，退出循环，输出i的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0不满足条件S＞1，i=2，S=lg2不满足条件S＞1，i=3，S=lg2+lg3=lg6不满足条件S＞1，i=4，S=lg6+lg4=lg24＞lg10=1满足条件S＞1，退出循环，输出i的值为4，故选：C本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了对数的运算法则的应用，属于基础题．10．（2015春•荆州期末）如果实数x，y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（ ） A．﹣1B．﹣2C．2D．1考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，令z=2x﹣y并化为y=2x﹣z，﹣z相当于直线y=2x ﹣z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，令z=2x﹣y并化为y=2x﹣z，﹣z相当于直线y=2x﹣z的纵截距，故当x=0，y=﹣1时，有最大值，最大值为0+1=1；故选D．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．11．（2010•辽宁）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA ⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（ ） A．B．8C．D．16考点：抛物线的简单性质；抛物线的定义．分析：先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．解答：解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8故选B．点评：本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．12．（2015春•荆州期末）已知函数f（x）=若函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，﹣4）D．（﹣5，0）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由分段函数知，分段讨论函数的单调性，从而求导可知f（x）在[0，1]上是增函数，从而化为函数f（x）在[0，1]与（1，+∞）上各有一个零点；从而求实数m的取值范围．解答：解：当0≤x≤1时，f（x）=2x3+3x2+m，f′（x）=6x2+6x=6x（x+1）≥0；故f（x）在[0，1]上是增函数，故若使函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则函数f（x）在[0，1]与（1，+∞）上各有一个零点；故m＜0，故，解得，m∈（﹣5，0）；故选：D．点评：本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中相应的横线上.13．（2015春•荆州期末）设=a+bi（a，b∈R），其中i是虚数单位，则a+ b= 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答：解：∵a+bi====i，∴，∴a+b=1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了计算能力，属于基础题． 14．（2015春•荆州期末）若曲线f（x）=x3﹣alnx在x=1处的切线与直线2x+y=0垂直，则实数a= ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：求导函数，求得切线的斜率，运用切线与直线x+2y﹣1=0垂直：斜率之积为﹣1，即可求a的值．解答：解：∵f（x）=x3﹣alnx，∴f′（x）=3x2﹣，∵曲线f（x）=x3﹣alnx在x=1处的切线与直线2x+y=0垂直，∴（3﹣a）•（﹣2）=﹣1．解得a=．故答案为：．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的垂直的条件，考查学生的计算能力，属于中档题．15．（2015春•荆州期末）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+m在[0，1]上的最小值为，则实数m的值为 2 ．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的导数，通过求解极值点，端点的函数求出最小值，然后求解m 即可．解答：解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+m，可得f′（x）=x2﹣2x﹣1．令x2﹣2x﹣1=0，可得x=1，x∈（1﹣，1+）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x=1时函数取得最小值：可得：，解得m=2．故答案为：2．点评：本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．16．（2015春•荆州期末）某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是：[75，80﹚，[80，85﹚，[85，90﹚，[90，95﹚，[95，100]．规定90分及以上为合格．则（1）图中a的值是 0.04 ；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率是 0.4 ．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据直方图知．（0.01+0.02+0.06+0.07+a）×5=1，解得即可．（2）设事件根据直方图得出（0.06+0.02）×5=0.4．求解即可．解答：解：（1）由直方图知．（0.01+0.02+0.06+0.07+a）×5=1．解得a=0.04．（2）设事件A为“某名学员交通考试合格”．由直方图知，P（A）=（0.06+0.02）×5=0.4．故答案为：0.04，0.4．点评：本题考查了频率分布直方图，以及概率的问题，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2015•东城区一模）下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据中位数平均数的定义求出即可；（Ⅱ）分别计算成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名的取法种数，和恰有2名学生在乙组取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案解答：解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9，12，10+x，24，27．乙组五名学生的成绩为9，15，10+y，18，24．因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8所以10+x=13，9+15+10+y+18+24=16.8×5所以x=3，y=8；（Ⅱ）成绩不低于（10分）且不超过（20分）的学生中共有5名，其中甲组有2名，用A，B表示，乙组有3名，用a，b，c表示，从中任意抽取3名共有10种不同的抽法，分别为（A，B，a），（A，B，b），（A，B，c），（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c），（B，a，b），（B，a ，c），（B，b，c），（a，b，c）恰有2名学生在乙组共有6种不同抽法，分别为（A，a，b），（A，a，c），（A ，b，c），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c）所以概率为P==．点评：本题考查了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键18．（2015春•荆州期末）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．（1）若点A（0，b）与焦点F1、F2构成△AF1F2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．（2）若椭圆E的离心率为，过点P（0，1）的直线与椭圆交于B、C两点，且当点B、C关于y轴对称时，|BC|=，求椭圆E的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得c=b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到；（2）由离心率为，可得3a2=4b2，①，再由B，C关于y轴对称，可得它们的纵坐标为1，代入椭圆方程，结合条件可得a，b的方程，解方程，即可得到a2=4，b2=3，则椭圆方程可得．解答：解：（1）△AF1F2为等腰直角三角形，则|OA|=|OF1|，即b=c，c=，即有c=a，e==；（2）由e==，可得a2=4c2=4（a2﹣b2），即3a2=4b2，①由B，C关于y轴对称，设B（m，n），C（﹣m，n），|BC|=2|m|，又P为BC的中点，则2n=2，即n=1，由+=1可得|m|=，由题意可得=，②由①②解得a2=4，b2=3，则椭圆方程为+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用，注意点在椭圆上满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（2015春•荆州期末）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+ax+b（a，b∈R），f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（﹣1）=0（1）求f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[﹣2，4]上的最值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用f′（﹣1）=0，求出a，利用导数的正负可得f（x）的单调区间；（2）由（1）f（x）在[﹣2，﹣1]与[3，4]上单调递减，在（﹣1，3）上单调递增，即可求函数f（x）在[﹣2，4]上的最值．解答：解：（1）∵f（x）=﹣x3+3x2+ax+b，∴f′（x）=﹣3x2+6x+a，∴f′（﹣1）=﹣9+a=0，∴a=9，∴f′（x）=﹣3（x+1）（x﹣3），由f′（x）＞0得﹣1＜x＜3；f′（x）＜0得x＜﹣1或x＞3，∴函数f（x）在（﹣1，3）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）、（3，+∞）上单调递减；（2）由（1）f（x）在[﹣2，﹣1]与[3，4]上单调递减，在（﹣1，3）上单调递增，又f（﹣2）=2+b，f（﹣1）=﹣5+b，f（3）=27+b，f（4）=20+b，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣5+b，f（x）max=f（3）=27+b．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，正确求导数是关键．20．（2015春•荆州期末）顶点在原点、焦点在y轴上的抛物线过点P（4，2）上，A、B是抛物线上异于P的不同两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）设直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=2．（ⅰ）求证：直线AB的斜率是定值；（ⅱ）若抛物线在A、B两点处的切线交于点Q，请探究点Q是否在定直线上．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过设抛物线的方程为：x2=2py，p＞0，将点P（4，2）代入，计算即可；（2）通过设A（x1，）、B（x2，），利用k1+k2=2计算可得x1+x2=8．（ⅰ）利用斜率公式、结合x1+x2=8，计算即可；（ⅱ）通过求导，分别写出两切线方程，通过作差、利用x1+x2=8即得结论．解答：（1）解：根据题意可设抛物线的方程为：x2=2py，p＞0，∵抛物线过点P（4，2），∴4p=16，即p=4，∴抛物线的标准方程为：x2=8y；（2）设A（x1，），B（x2，），又∵P（4，2），∴k1==，k2==，∵k1+k2=2，∴+=2，∴x1+x2=8．（ⅰ）证明：k AB===，∵x1+x2=8，∴k AB===1，即直线AB的斜率为定值1；（ⅱ）结论：点Q在定直线x=4上．理由如下：∵x2=8y，∴y=，y′=，∴A、B两点处的切线的斜率分别为：、，从而两切线方程分别为：y=x﹣、y=x﹣，两式相减得：x==，∴x===4，∴点Q在定直线x=4上．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查抛物线、斜率等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（2015•东城区一模）已知函数f（x）=x++lnx，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）讨论函数g（x）=f'（x）﹣x的零点个数．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．专题：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得f′（1）=0，即可解得a，注意检验；（Ⅱ）由条件可得，f′（x）≥0在区间（1，2）上恒成立，运用参数分离，求得右边函数的范围，即可得到a的范围；（Ⅲ）令g（x）=0，则a=﹣x3+x2+x，令h（x）=﹣x3+x2+x，x＞0，求出导数，求得单调区间和最值，结合图象对a讨论，即可判断零点的个数．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=x++lnx（x＞0），f′（x）=1﹣+=，f（x）在x=1处取得极小值，即有f′（1）=0，解得a=2，经检验，a=2时，f（x）在x=1处取得极小值．则有a=2；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x＞0，f（x）在区间（1，2）上单调递增，即为f′（x）≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≤x2+x在区间（1，2）上恒成立，由x2+x∈（2，6），则a≤2；（Ⅲ）g（x）=f′（x）﹣x=1﹣+﹣x，x＞0，令g（x）=0，则a=﹣x3+x2+x，令h（x）=﹣x3+x2+x，x＞0，则h′（x）=﹣3x2+2x+1=﹣（3x+1）（x﹣1），当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）在（0，1）递增；当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）递减．即有h（x）的最大值为h（1）=1，则当a＞1时，函数g（x）无零点；当a=1或a≤0时，函数g（x）有一个零点；当0＜a＜1时，函数g（x）有两个零点．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用和函数的零点的个数，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．22．（2015春•荆州期末）已知直线l：y=a（x﹣1）与圆C：（x+1）2+（y+a）2 =1交于A、B两点．（1）若△ABC为正三角形，求a的值；（2）设P（0，），Q是圆C上一动点，当点P到直线l的距离最大时，求|PQ|的最小值．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）△ABC为正三角形点C到直线l的距离d==，即可求a的值；（2）利用|PQ|min=|PC|﹣r，即可求|PQ|的最小值．解答：解：（1）由题意，点C到直线l的距离d==，∴a=±；（2）直线l：y=a（x﹣1）过定点T（1，0），∴点P到直线l的距离d≤|PT|，d=|PT|事，k PT•a=﹣1，∴a=，∴|PC|==，∴|PQ|min=|PC|﹣r=﹣1．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．。
数学---湖北省荆州市2016-2017学年高一(上)期末试卷(文科)(解析版)
湖北省荆州市2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]2．（5分）设x＞0，0＜b x＜a x＜1，则正实数a，b的大小关系为（）A．1＞a＞b B．1＞b＞a C．1＜a＜b D．1＜b＜a3．（5分）函数y=log3（x2﹣2x+4）的值域为（）A．[1，+∞） B．[0，+∞） C．[3，+∞） D．R4．（5分）sin210°的值为（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）函数的定义域是（）A．B．C．D．6．（5分）已知向量=（λ，1），=（λ+1，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣27．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．8．（5分）函数f（x）=log2x+1与g（x）=2﹣x﹣1在同一平面直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）设P为等边三角形ABC所在平面内的一点，满足=+2，若AB=1，则•=（）A．4 B．3 C．2 D．110．（5分）若函数f（x）=log a（a x﹣t）（a＞0且a≠1）在区间[，]上的值域为[m，n]，则实数t的取值范围是（）A．（0，1）B．（，）C．（0，）D．（，1）11．（5分）函数f（x）=3x﹣﹣a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围（）A．（﹣2，7）B．（﹣1，6）C．（﹣1，7）D．（﹣2，6）12．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]为非减函数，且满足以下三个条件；①f（0）=0；②f（）=f（x）；③f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）等于（）A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知幂函数f（x）的图象过点（2，16），则f（）=．14．（5分）计算=．15．（5分）已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ=．16．（5分）下列说法中，所有正确说法的序号是．①终边落在y轴上的角的集合是；②函数图象的一个对称中心是；③函数y=tan x在第一象限是增函数；④为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．（1）若a=0，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．（12分）平面内的向量=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1）．（1）若（+k）⊥（2﹣），求实数k的值；（2）若向量满足∥，且||=，求向量的坐标．19．（12分）函数f（x）=A sin（ωx+φ），x∈R（0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M（，﹣2）．（1）求函数f（x）的解析式及单调增区间；（2）求当x∈[，]时，f（x）的值域．20．（12分）扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x米/秒（0＜x＜17）．根据安全和车流的需要，当0＜x≤6时，相邻两车之间的安全距离d为（x+b）米；当6＜x＜17时，相邻两车之间的安全距离d为米（其中a，b是常数）．当x=6时，d=10，当x=16时，d=50．（1）求a，b的值；（2）一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y秒．①将y表示为x的函数；②要使车队通过隧道的时间y不超过280秒，求汽车速度x的范围．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设=λ+，求λ+μ的值．（2）若AB=，BC=2，当•=1时，求DF的长．22．（12分）如图，过函数f（x）=log c x（c＞1）的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）=log m x（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC与x轴平行．（1）当a=2，b=4，c=3时，求实数m的值；（2）当b=a2时，求﹣的最小值；（3）已知h（x）=a x，φ（x）=b x，若x1，x2为区间（a，b）任意两个变量，且x1＜x2，求证：h（f（x2））＜φ（f（x1））参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．D【解析】A={x|2x≤4}={x|x≤2}，由x﹣1＞0得x＞1∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}∴A∩B={x|1＜x≤2}2．A【解析】根据题意，假设有指数函数y=a x与y=b x，若x＞0，有0＜b x＜a x＜1，则有a＞1且b＞1，若0＜b x＜a x＜1，则有=（）x＜1，又由x＞0，则＜1，即a＞b，则有1＞a＞b；3．A【解析】函数y=log3（x2﹣2x+4），令u=x2﹣2x+4，那么函数y=log3（x2﹣2x+4）转化为y=log3u是增函数，由u=x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3，可得u≥3．∴当u=3时，函数y=log3u取得最小值为1．∴函数y=log3（x2﹣2x+4）的值域为[1，+∞）4．B【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．5．B【解析】由题意得：2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，解得：kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z，6．D【解析】∵向量=（λ，1），=（λ+1，2），若（+）⊥（﹣），则（+）•（﹣）=﹣=λ2+1﹣[（λ+1）2+4]=0，求得λ=﹣2，7．B【解析】∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．∴则函数f（2x+1）的定义域为．8．D【解析】∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、B，又∵g（x）=2﹣x﹣1=2﹣（x+1）的图象是由y=2﹣x的图象左移1而得，故其图象也必过（﹣1，1）点，及（0，）点，故排除C，9．B【解析】∵P为等边三角形ABC所在平面内的一点，=+2，若AB=1，则•=（﹣）•（﹣）=（﹣2）•（﹣﹣）=2•+2 =2•1•1•cos60°+2=3，10．C【解析】∵y=a x﹣t与y=log a x的单调性相同，∴f（x）=log a（a x﹣t）（a＞0且a≠1）在定义域上是增函数，∵f（x）区间[，]上的值域为[m，n]，∴，∴方程log a（a﹣t）=x有两解，即方程a x=a﹣t有两解，设a=m（m＞0），则t=m﹣m2，作出t=m﹣m2（m＞0）的函数图象如图所示：∵方程a x=a﹣t有两解，∴关于m的方程t=m﹣m2有两解，∴0＜t＜．11．C【解析】由题意可得f（1）f（2）=（3﹣4﹣a）（9﹣2﹣a）＜0，即（a+1）（a﹣7）＜0，解得：﹣1＜a＜7，故实数a的取值范围是（﹣1，7），12．D【解析】∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，①f（0）=0；③f（1﹣x）+f（x）=1，∴f（1）=1，令x=，所以有f（）=．又∵②f（）=f（x），∴f（x）=2f（），∴令=1，可得1=2f（），∴f（）=．令x=，可得f（）=f（）=，令x=，可得f（）=f（）=．∵当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），＜＜，∴f（）≤f（）≤f（），∴f（）=，∴f（）+f（）=+=，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．9【解析】设幂函数f（x）=xα，其图象过点（2，16），∴2α=16，解得α=4，∴f（x）=x4，∴f（）==9．故答案为：9．14．【解析】=lg5+lg2+lne+1=1++1=，故答案为；15．【解析】如图所示，点P在线段AB上，且，∴==；又，∴λ=．故答案为：．16．②④【解析】①当角θ的终边落在y轴的非负半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，当角θ的终边落在y轴的非正半轴上时，角θ=2kπ+，k∈Z，故终边落在y轴上的角的集合是{θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+，k∈Z}={θ|θ=2kπ+，或θ=2kπ+π+，k∈Z}={θ|θ=nπ+，n∈Z }，不正确；②令x﹣=kπ+，k∈Z，可得对称中心为（kπ+，0），k∈Z，令k=0，得到一个对称中心的坐标（，0），故正确；③∵390°，45°是第一象限角，390°＞45°，但tan390°=＜1=tan45°，∴函数y=tan x在第一象限是增函数错误，命题①为假命题；④由于函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，故只需把函数y=3sin2x的图象向右平移个长度单位即可得到函数y=sin（2x﹣）的图象，故正确；故答案为：②④．三、解答题（共6小题，满分70分）17．解（1）若a=0，集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜3}．则A∩B={x|﹣1＜x＜1}∩{x|0＜x＜3}={x|0＜x＜1}；（2）若A⊆B，则，即1≤a≤2，∴实数a的取值范围是1≤a≤2．18．解（1）+k=（3+4k，2+k），2﹣=（﹣5，2），∵（+k）⊥（2﹣），∴（+k）•（2﹣）=（3+4k）×（﹣5）+（2+k）×2=0，解得k=﹣．（2）设=（x，y），∵∥，且||=，∴，解得，或，∴向量的坐标为，或．19．解（1）∵依题意，由最低点为，得A=2，又∵周期T=π，∴ω=2．∵由点在图象上，∴得，∴，∴．∵，∴，∴．由，得．∴函数f（x）的单调区间是．（2）∵，，∴．当，即时，f（x）取得最大值2；当，时，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，2]．20．解（1）当x=6时，d=x+b=6+b=10，则b=4，当x=16时，，则a=1；所以a=1，b=4．…（4分）（2）①当0＜x≤6时，，当6＜x＜17时，所以．…（10分）②当0＜x≤6时，，不符合题意，当6＜x＜17时，解得15≤x＜123，所以15≤x＜17∴汽车速度x的范围为[15，17）．…（16分）21．解（1）=﹣=+﹣（+）=+﹣（+）=+﹣（+）=﹣=λ+，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=．（2）以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系如图：AB=，BC=2则A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2），∴=（，1），=（x﹣，2），∵•=1，∴（x﹣）+2=1，∴x=，∴|DF|=．22．解（1）由题意得A（2，log32），B（4，log34），．又AC与x轴平行，∴log m4=log32，解得m=9．（2）由题意得A（a，log c a），B（b，log c b），．∵AC与x轴平行，∴log m b=log c a．∵b=a2，∴m=c2，∴．∴时，﹣取得最小值﹣1．（3）h（f（x2））=a，φ（x1）=b，∵a＜x1＜x2＜b，且c＞1，∴log c a＜log c x1＜log c x2＜log c b．又∵a＞1，b＞1，∴．又∵log c b•log c a=log c a•log c b，∴．∴，∴．即h[f（x2）]＜φ（f（x1））．。
度荆州中学第一学期高二期末考试(文)
2009-2010学年度荆州中学第一学期高二期末考试数学试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出正确选项填在相应位置）1．已知αβ、为平面，m n 、为直线，下列命题中不正确的是 （ ）A ．m ∥n ，m α⊥，则n α⊥B ．α∥β，m α⊥，则m β⊥C ．m ∥α，m ∥β，,n αβ=则m ∥nD ．m ∥α，,n αβ=则m ∥n2．与直线23y x =-+平行，且与直线34y x =+交于x 轴上同一点的直线方程为 （ ）A ．24y x =-+B ．142y x =+C ．823y x =--D ．1823y x =- 3．已知三条直线两两平行且不共面，这三条直线可以确定m 个面，而这m 个面将空间分成了n 个部分，则 （ ）A ．2,2m n ==B ．2,4m n ==C ．5,7m n ==D ．3,7m n ==4．直线1x y -=与圆222430x y x y +-++=的位置关系是 （ ）A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交不过圆心5．直线l ⊂平面α，经过α外一点A 与l ，α都成030角的直线有且只有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6||1x =-表示的图形是 （ ）A ．两个圆B ．两个半圆C ．一个圆和一个半圆D ．一个半圆和14个圆 7．已知三棱柱111ABC A B C —的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC ∆的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的余弦值为（ ）ABCD8．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为2x y +=与74x y -=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 （ ）A ．3B ．2C ．13-D ．12-9．在正方体1111ABCD A B C D —中，已知M N 、分别为正方形11AA B B 与11BB C C 的中心，则MN 与1AB 所成角的正弦值为（ ）A ．12B ．13C．3D．310．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围 （ ）A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．(1,5)D ．(5,)+∞二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．若,x y 满足约束条件03003x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =-的最大值为 ．12，且对角线与底面所成角的余弦值为3，则该四棱柱的底面的边长为 ． 13．若直线340x y m ++=与圆12cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）没有公共点，则m 的取值范围为 ．14．若三棱锥P ABC —中PA PB PC ＝＝，且P A P B P C 、、两两垂直，则PA 与面ABC 所成角的余弦值为 ．15．垂直于直线210x y -+=且与圆225x y +=的相切直线方程为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）如图，四面体A BCD —被一平面所截，截面EFGH 是平行四边形．求证CD ∥平面.EFGH17．（本小题满分12分）已知两直线1:sin 0l x y θ+=和2:2sin 10l x y θ++=，试求θ的值，使得①1l ∥2l ，②12.l l ⊥18．（本小题满分12分）矩形A B C D 的两条对角线相交于点(2,0)M ；AB 边所在直线的方程为360,(1,1)x y T --=-在AD 边所在直线上（Ⅰ）求AD 边所在直线的方程； （Ⅱ）求矩形ABCD 外接圆的方程． 19．（本小题满分12分）如图，OA OB OC 、、两两垂直，,4,6OAB AB D π∠==为AB 一点，.OB OC =（Ⅰ）为D 为AB 中点时，求CD 与AO 所成角的大小； （Ⅱ）试确定D 的位置，使CD 与面AOB 所成角最大．20．（本小题满分13分）已知点(1,0)F ，直线:-1.l x P =为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B 、两点，交直线l 于点M ，已知12,MA AF MB BF λλ==，求12λλ+的值．21．（本小题满分14分）已知A B 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的两个动点，O 为坐标原点，满足0OA OB ⋅=，过O 作AB 的垂线OD ，垂足为D ，求D 点的轨迹方程．。
湖北省荆州20162017学年高二上学期第二次质量检测数学文试题Word版含答案
荆州中学高二年级第二次质量检测考试数学卷（文科）命题人：朱代文 审题人：杨少平一、选择题（本题满分60分，共12个小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．两次都不中靶2.若两条直线34120x y +-=和8110ax y ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．235 B ．2310 C ．72 D ．52 3.已知x 与y 之间的一组数据如下表，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 ˆ0.35ybx =+ ， 那么b 的值为（ ）A ．B ．0.6C ．D ．4.在面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积大于2S的概率是（ ） A.31 B.21 C.43 D.415.如图给出的是计算1001614121++++ 的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（ ） A ．100>i B ．100≤iC ．50>iD ．50≤i6.已知k ∈[-2,1]，则k 的值使得过A （1，1）可以作两条直线与圆045222=--++k y kx y x 相切的概率等于（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．437.集合{(,)||1|}A x y y x =≥-,集合{(,)|||6}B x y y x =≤-+，先后掷两颗骰子，掷第一颗骰子得点数为a ,掷第二颗骰子得点数为b ,则B A b a ⋂∈),(的概率等于（ ）x 34 5 6 y34A.14B.29C.736D.11368.当曲线241x y --=与直线033=+--k y kx 有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（ ）A ．212,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛2,52C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛52,0D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡512,29．给出下面四个命题：①“b a 直线直线//”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线⊥l 平面α内所有直线”的充要条件是“⊥l 平面α”； ③“直线b a ,为异面直线”的充分而不必要条件是“直线b a ,不相交”；④“平面αβαβ② B.②③ C.③④ D.②④ 10.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．2B ．1C ．21+D ．211．设P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2的面积为（ ）A. B. C.12.设22:(2)(3)1p x y -+-≤，12:23110x y q y x ty +≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩若p 是q 的充分不必要条件则（ ）A.4t ≥B.3544t ≤≤C.04t <≤D.354t ≥ 二、填空题（本题满分20分，共4个小题，每小题5分，只要求写出结果）13.如果双曲线221369x y -=的弦被点(2,4)p 平分，则这条弦所在的直线方程为 . 14.从区间[]0,2随机抽取2n 个数1212,,,,,,n n x x x y y y 构成n 个数对1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其中两数的平方和小于4的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 .15.用秦九韶算法计算多项式5432()7125635f x x x x x x =+--+-在计算(5)f 时所需进行的加法和乘法的运算总次数是 .16.以下命题中，正确命题是 .①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π；②四面体ABCD 中，和A B C D 、、、距离相等的平面共有4个；③命题“若a b <，则22a b <”的否定是“若a b <，则22a b ≥”；④用三个不等式：0,0,0c dab bc ad a b>->->（其中a b c d 、、、均为实数）中的两个作为条件，另一个作为结论组成一个命题，得到的真命题有3个.三、解答题（共70分，要求写出解答过程）17.（本题满分12分）已知命题p ：方程2221212x y m m -=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分）荆州市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）.一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费。
湖北省荆州市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 扫描版含答案
高二年级上学期期末考试理科数学试题答案 一、选择题：1-12 CADBB CDDDA CA 二、填空题：13 、错误！未找到引用源。
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三、解答题： 17、解（1）∵2b ≤a,若a=1则b=－1， 若a=2则b=－1，1,若a=3则b=－1，1，………………………………4分记事件A 为“所取的两数中能使2b ≤a ”,则事件A 包含基本事件的个数是1+2+2=5 ∴所求事件A 的概率为P(A)= 518………………………………………6分（2）依题设条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧a+b-6≤0a ＞0b ＞0 ,而构成所求事件的区域为三角形AOB 部分,如图所示.………8分由⎩⎪⎨⎪⎧a+b-6=0b= a 2解得交点为B(4,2).……………………10分∴所求事件的概率为P=S △AOB S △AOC = 12 ×6×212 ×6×6 = 13……………………………12分18.解（1）圆方程错误！未找到引用源。
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………………2分 由于错误！未找到引用源。
四点共圆，则过错误！未找到引用源。
的圆方程为错误！未找到引用源。
…4分由于错误！未找到引用源。
为两圆的公共弦，则两圆相减得错误！未找到引用源。
直线方程为：错误！未找到引用源。
…6分 （如用圆的切线方程求出的相应给分）（2）①若割线斜率存在，设错误！未找到引用源。
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…9分 ②若割线斜率不存在，错误！未找到引用源。
代入圆方程得错误！未找到引用源。
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………11分综上直线错误！未找到引用源。
2016-2017学年湖北省荆州市五县市区高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年湖北省荆州市五县市区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若集合M＝{x∈N|x＜6}，N＝{x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}，则M∩N＝（）A．{3，4，5}B．{x|2＜x＜6}C．{x|3≤x≤5}D．{2，3，4，5} 2．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．（5分）如果等差数列{a n}中，a5+a6+a7＝15，那么a3+a4+…+a9等于（）A．21B．30C．35D．404．（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤（x+）≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）直线y＝kx+1（k∈R）与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，5）∪（5，+∞）D．[1，5）∪（5，+∞）6．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）据统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表：由表中样本数据求回归直线方程＝bx+a，则点（a，b）与直线x+18y＝110的位置关系为是（）A．点在直线左侧B．.点在直线右侧C．.点在直线上D．无法确定8．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为60°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝（）A．B．C．D．10．（5分）某几何体侧视图与正视图相同，则它的表面积为（）A．12+6πB．16+6πC．16+10πD．8+6π11．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b＝．设函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y＝f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞）B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]＝3，则方程f（x）﹣f′（x）＝2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（1，2）C．（，1）D．（2，3）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分，把正确的答案填写在答题卡中对应的横线上．）13．（5分）设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则═．14．（5分）已知＝5．则sin2α﹣sinαcosα＝．15．（5分）由动点P向圆x2+y2＝1引两条切线P A、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为．16．（5分）对于实数x，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用符号〈x＞表示．对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：①a1＝〈a＞；②a n+1＝．（Ⅰ）若a＝时，数列{a n}通项公式为；（Ⅱ）当a＞时，对任意n∈N*都有a n＝a，则a的值为三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，试判断△ABC的形状．18．（12分）某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求续驶里程在[200，300]的车辆数；（Ⅲ）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率．19．（12分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C的各条棱长都为a，P为A1B的中点，M为AB的中点，（1）求证：AB⊥平面PMC；（2）求点B到平面P AC的距离．20．（12分）已知，动点P到点A的距离比到直线x＝﹣的距离少1；（1）求点P的轨迹方程；（2）已知M（4，0），是否存在定直线x＝a，以PM为直径的圆与直线x＝a的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）＝xe1﹣x．（a∈R，e为自然对数的底数）（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数上无零点，求a的最小值．请考生在第22、23题中任选一题作答22．（10分）已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6＝0．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．23．设函数f（x）＝|x﹣a|+x，其中a＞0（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤3x的解集为{x|x≥2}，求实数a的值．2016-2017学年湖北省荆州市五县市区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∵集合M＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，N＝{x|（x﹣2）（x﹣9）＜0}＝{x|2＜x＜9}，∴M∩N＝{3，4，5}．故选：A．2．【解答】解：由已知，x＝（1+i）（1﹣yi），计算x＝1+y+（1﹣y）i根据复数相等的概念，解得，x+yi＝2+i，其共轭复数为2﹣i．故选：D．3．【解答】解：由等差数列的性质可得a5+a6+a7＝3a6＝15，解得a6＝5．所以a3+a4+…+a9＝7a6＝35，故选：C．4．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵﹣1≤（x+）≤1∴解得0≤x≤，∵0≤x≤2∴0≤x≤∴所求的概率为：P＝故选：A．5．【解答】解：联立，化为：（m+5k2）x2+10kx+5﹣5m＝0．∵直线与椭圆恒有两个公共点，∴△＝100k2﹣4（m+5k2）（5﹣5m）＞0，m＞0，m≠5．化为：m2﹣（1﹣5k2）m＞0，m＞0，m≠5．∴m＞1﹣5k2，m＞0，m≠5，又k∈R，∴m＞1，且m≠5．∴m的取值范围为（1，5）∪（5，+∞）．故选：C．6．【解答】解：∵x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y＝（x+4y）＝3+≥3+2＝3+2，当且仅当x＝2y＝1+时取等号．∴最小值为3+2．故选：B．7．【解答】解：由题意可知＝18，＝110．样本中心（18，110）在回归直线上，∴110＝18b+a．∴点（a，b）在直线上．故选：C．8．【解答】解：由题意可知∠C＝30°，∠BAC＝30°，∠DAB＝30°，AD＝60m，∴BC＝AB＝＝40．故选：C．9．【解答】解：n＝1时，M＝1+＝，n＝2时，M＝2+＝，n＝3时，M＝+＝，故选：D．10．【解答】解：由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为1，底面对角线长为2，球的半径为，所以几何体的表面积为：S＝×4π×+π×+×2×2+4×1×＝6π+8．故选：D．11．【解答】解：∵，∴函数f（x）＝（x2﹣2）⊗（x﹣1）＝，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y＝c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选：B．12．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]＝3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t＝f（x）﹣log2x，则f（x）＝log2x+t，又由f（t）＝3，即log2t+t＝3，解可得，t＝2；则f（x）＝log2x+2，f′（x）＝，将f（x）＝log2x+2，f′（x）＝代入f（x）﹣f′（x）＝2，可得log2x+2﹣＝2，即log2x﹣＝0，令h（x）＝log2x﹣，分析易得h（1）＝﹣＜0，h（2）＝1﹣＞0，则h（x）＝log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣＝0，即f（x）﹣f′（x）＝2的根在（1，2）上，故选：B．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分，把正确的答案填写在答题卡中对应的横线上．）13．【解答】解：根据题意，向量＝（x，1），＝（2，﹣4），若⊥，则有2x+1×（﹣4）＝0，解可得x＝2，又由＝（1，y），＝（2，﹣4），若∥，则有1×（﹣4）＝2y，解可得y＝﹣2，＝（x，1）＝（2，1），＝（1，y）＝（1，﹣2），故＝（3，﹣1）；故答案为：（3，﹣1）14．【解答】解：依题意得：＝5，∴tanα＝2，∴sin2α﹣sinαcosα＝＝＝＝．故答案为：15．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则|PO|＝∵∠APB＝60°∴∠AP0＝30°∴|PO|＝2|OB|＝2∴＝2即x2+y2＝4故答案为：x2+y2＝416．【解答】解：（I）∵1＜3，∴a1＝＜＞＝﹣1，∴＝＝，∵2，∴a2＝＜＞＝＝﹣1，同理可得：a3＝a4＝…＝a n＝，∴a n＝﹣1，（II）∵a1＝＜a＞＝a，∴a＜1，又，∴1，∴a2＝＜＞＝＜＞＝，∵a2＝a，∴，解得a＝．故答案为（I），（II）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin x+sin（x﹣）＝sin x+sin x﹣cos x ＝sin x﹣cos x＝（sin x﹣cos x）＝sin（x﹣），由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）∵f（A）＝sin（A﹣）＝，∴sin（A﹣）＝，∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，∴A＝，又a＝b，∴由正弦定理＝得：sin B＝，又a＞b，A＝，∴B＝，∴C＝，则△ABC为直角三角形．18．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可得：（0.002+0.005+0.008+x+0.002）×50＝1，∴x＝0.003；（Ⅱ）由题意可知，续驶里程在[200，300]的车辆数为：20×（0.003×50+0.002×50）＝5；（Ⅲ）由（Ⅱ）及题意可知，续驶里程在[200，250）的车辆数为3，续驶里程在[250，300]的车辆数为2，从这5辆中随机抽取2辆车，共有＝10种抽法；其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法有•＝6种，∴恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率为＝．19．【解答】（1）证明：连接PM，CM（1分）可知PM∥AA1，而AB⊥AA1，∴AB⊥PM又∵AB⊥CM，PM∩CM＝M，∴AB⊥面PMC（6分）（2）解：假设点B到平面P AC的距离：h，四面体P﹣ABC的体积V＝（8分）∵△P AC中，AC＝a，AP＝a，PC＝a，∴（9分）∴（12分）20．【解答】解：（1）∵，动点P到点A的距离比到直线x＝﹣的距离少1，∴点P的轨迹是以A为焦点的抛物线，即点P的轨迹方程：y2＝x（4分）（2）由（1），点P的轨迹方程是y2＝x；设P（y2，y），∵M（4，0），则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T（，），以PM为直径的圆与直线x＝a的相交弦长：L＝2＝2（6分）＝2（8分）若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a﹣＝0，即a＝时，L＝（11分）（12分）∴存在定直线x＝，以PM为直径的圆与直线x＝的相交弦长为定值．21．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣2lnx，x＞0，求其导数可得f′（x）＝1﹣，令1﹣＞0，可得x＞2，令1﹣＜0，可得0＜x＜2，故此时函数的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）；（2）因为f（x）＜0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的，f（x）＞0恒成立，即对恒成立．令，则＝，再令，则，故m（x）在上为减函数，于是，从而，l′（x）＞0，于是l（x）在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；请考生在第22、23题中任选一题作答22．【解答】解：（1）即ρ2﹣4（+），即x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0．（2）圆的参数方程为，∴x+y＝4+（sinα+cosα）＝4+2sin（α+）．由于﹣1≤sin（α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y的最大值为6，最小值等于2．23．【解答】解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≥x+2，即|x﹣1|+x≥x+2，即|x﹣1|≥2，∴x﹣1≥2，或x﹣1≤﹣2，求得x≥3，或x≤﹣1，故不等式f（x）≥x+2的解集为{x|x≥3，或x≤﹣1}．（2）不等式f（x）≤3x，即|x﹣a|+x≤3x，即|x﹣a|≤2x，可得，求得x≥．再根据不等式f（x）≤3x的解集为{x|x≥2}，可得＝2，∴a＝6．。
荆州中学高二数学上学期期中试题文科有答案
荆州中学2015年高二数学上学期期中试题（文科有答案）荆州中学2015～2016学年度上学期期中考试卷年级：高二科目：数学（文科）一．选择题（60分，每小题5分，每题的四个选项中有且仅有一个是正确的）1.荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况，打算从高一年级1256名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1256人中剔除6人，剩下1250人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）A.不全相等B.均不相等C.都相等D.无法确定2.已知点,且,则实数的值是（）．A.或4B.或2C.3或D.6或3．某店一个月的收入和支出总共记录了个数据，，其中收入记为正数，支出记为负数。
该店用右边的程序框图计算月总收入和月净盈利，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的()A．B．C．D．4.用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的（）A.倍B.倍C.2倍D.倍5.如图（１）所示的一个几何体，在图中是该几何体的俯视图的是（）（1）6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，给出下列结论：①若∥，则∥；②若∥，则∥；③若⊥，则⊥；④若⊥，则⊥其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.37．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4.再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的之底面积比为（）A.3∶4B.9∶16C.4:3D.16:98.在同一直角坐标系中，方程与的图形正确的是（）A.B.C.D.9.若为圆的弦的中点，则直线的方程为（）A.B.C.D.10.已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（）A.B.C.D.11.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.12.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A.B.C.D.二、填空题（共20分，每小题5分）13.过圆外一点的切线方程为．01231314.已知与之间的一组数据如右图所示，当变化时，与的回归直线方程必过定点.15.在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有个. 16．荆州市为了解岁的老人的日平均睡眠时间（单位：），随机选择了位老人进行调查，下表是这位老人睡眠时间的频率分布表：序号分组（睡眠时间）组中值（）频数（人数）频率（）1621032041054在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的的值为.三、解答题分组频数[0，0.5）4[0.5，1）8[1，1.5）15[1.5，2）22[2，2.5）25[2.5，3）14[3，3.5）6[3.5，4）4[4，4.5]2合计10017.（本小题满分10分）某地区100位居民的人均月用水量（单位：t）的频率分布直方图及频数分布表如下：（1）根据频率分布直方图估计这组数据的众数与平均数；（2）当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府解释说，85%以上的居民不超出这个标准，这个解释对吗？为什么？18.（本小题满分12分）已知一条光线从点射出，经过轴反射后，反射光线与圆相切，求反射光线所在直线的方程.19.（本小题满分12分）在2015年全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩：甲：9.4，8.7，7.5，8.4，10.1，10.5，10.7，7.2，7.8，10.8；乙：9.1，8.7，7.1，9.8，9.7，8.5，10.1，9.2，10.1，9.1；（1）用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；并根据茎叶图估计他们的中位数；（2）已知甲、乙两人成绩的方差分别为与，分别计算两个样本的平均数和标准差，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较好，哪位运动员的成绩比较稳定.20.（本小题满分12分）已知点到直线的距离相等，求得值.21.（本小题满分12分）在三棱锥中，，，点在棱上，且. （Ⅰ）试证明：；（Ⅱ）若，过直线任作一个平面与直线相交于点，得到三棱锥的一个截面，求面积的最小值；（Ⅲ）若，求二面角的正弦值.22．（本小题满分12分）已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足．(1)求实数间满足的等量关系；(2)求线段长的最小值；(3)若以为圆心的圆与圆有公共点，试求圆的半径最小时圆的方程．荆州中学2015～2016学年度上学期期中考试卷年级：高二科目：数学（文科）出题人：审题人：参考答案一、选择题CDCBCABCCAＢB二、填空题;;４；6.42三、解答题17.解:（1）由图知，这组数据的众数为2.25，平均数为2.02．（2）人均月用水量在3t以上的居民的比例为6%+4%+2%=12%，即大约是有12%的居民月均用水量在3t 以上，88%的居民月均用水量在3t以下，因此，政府的解释是正确的．18.解:A关于x轴的对称点。
湖北省荆州市数学高二上学期文数期末考试试卷
湖北省荆州市数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是（ ）A . “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”B . “若一个数的平方是正数，则它是负数”C . “若一个数是负数，则它的平方不是正数”D . “若一个数的平方不是正数，则它不是负数”2. （2 分） 曲线 y=ax3+bx﹣1 在点（1，f（1））处的切线方程为 y=x，则 b﹣a=（ ）A . -3B.2C.3D.43. （2 分） 椭圆的焦距等于（ ）A . 20B . 16C . 12D.84. （2 分） (2016 高二上·徐水期中) 已知命题 P：∃ x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p 是（ ）A . ∃ x0∈R，x02+2x0+2＞0B . ∀ x∈R，x2+2x+2≤0C . ∀ x∈R，x2+2x+2＞0第 1 页 共 14 页D . ∀ x∈R，x2+2x+2≥05. （2 分） (2017 高二下·黑龙江期末) 定义在 上的奇函数满足等式恒成立，则函数的零点的个数为（ ），且当时，不A.B.C.D.6. （2 分） (2018·凯里模拟) 已知抛物线 ：的一点，点 关于 的对称点为 ，若且的焦点为 ，准线为 ， 是 上 ，则 的值为（ ）A . 18 B . 12 C.6 D . 6 或 187. （2 分） (2015 高二上·集宁期末) 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则 P 的值 为（ ）A . ﹣2 B.2 C.4 D . ﹣48. （2 分） (2013·湖北理) 已知 0＜θ＜ =1 的（ ），则双曲线A . 实轴长相等第 2 页 共 14 页与 C2：﹣B . 虚轴长相等 C . 焦距相等 D . 离心率相等 9. （2 分） “ ”是“函数 A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件在区间内单调递增”的（ ）10. （2 分） (2017 高二下·菏泽开学考) 已知命题 p：∀ a∈R，且 a＞0，a+ ≥2，命题 q：∃ x0∈R， sinx0+cosx0= ，则下列判断正确的是（ ）A . p 是假命题 B . q 是真命题 C . （￢q）是真命题 D . （￢p）∧q 是真命题 11. （2 分） (2017·淄博模拟) 已知函数 f（x）的导函数为 f'（x），且满足 f（x）=2x2﹣f（﹣x）．当 x∈ （﹣∞，0）时，f'（x）＜2x；若 f（m+2）﹣f（﹣m）≤4m+4，则实数 m 的取值范围是（ ） A . （﹣∞，﹣1] B . （﹣∞，﹣2] C . [﹣1，+∞） D . [﹣2，+∞）12. （2 分） (2018 高二下·河北期末) 若函数的导函数在区间上的图象可能是（ ）第 3 页 共 14 页在区间上是增函数，则函数A.B. C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高三上·商丘开学考) 已知等腰梯形 ABCD 的顶点都在抛物线 y2=2px（p＞0）上，且 AB∥CD， CD=2AB=4，∠ADC=60°，则点 A 到抛物线的焦点的距离是________．14. （1 分） 若一物体的运动方程如下： 移），则此物体在 t=4 时的瞬时速度为________ m/s．（t（单位：s）是时间，s（单位：m）是位15. （1 分） (2015 高二下·射阳期中) 函数 f（x）=xe﹣x ， x∈[0，4]的最小值是________．16. （1 分） (2017 高二上·靖江期中) 双曲线为 e1 和 e2 ， 则=________．三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17. （10 分） (2018 高二上·承德期末) 已知函数（1） 求曲线在点处的切线方程；与双曲线 .的离心率分别（2） 设，计算的导数.第 4 页 共 14 页18.（5 分）(2018 高二上·佛山期末) 已知动圆 轨迹为曲线 .过定点 且与定直线相切，动圆圆心 的（Ⅰ）求曲线 的方程；（Ⅱ）已知斜率为 的直线 交 轴于点 ，且与曲线 相切于点 ，设 为坐标原点）.求证：直线 的斜率为 0.的中点为 （其中19. （10 分） (2016 高二上·宝应期中) 设命题 p：∃ x∈R，x2﹣2（m﹣3）x+1=0，命题 q：∀ x∈R，x2﹣2 （m+5）x+3m+19≠0（1） 若 p∨q 为真命题，且 p∧q 为假命题，求实数 m 的取值范围（2） 若 p∧q 为假命题，求实数 m 的取值范围．20. （5 分） (2019·龙岩模拟) 已知函数，（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当 a=1 时,若关于 的不等式恒成立,求实数 的取值范围．21. （10 分） (2019·扬州模拟) 在平面直角坐标系中，椭圆 ：的离心率为 ，左、右顶点分别为 、 ，线段 的长为 4.点别作，，直线 ， 交于点 .在椭圆上且位于第一象限，过点 ， 分（1） 若点 的横坐标为-1，求点 的坐标； （2） 直线 与椭圆 的另一交点为 ，且，求 的取值范围．22. （5 分） (2016 高三上·辽宁期中) 已知函数 f（x）=第 5 页 共 14 页在点（1，f（1））处的切线方程为 x+y=2．（Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）若对函数 f（x）定义域内的任一个实数 x，都有 xf（x）＜m 恒成立，求实数 m 的取值范围． （Ⅲ） 求证：对一切 x∈（0，+∞），都有 3﹣（x+1）•f（x）＞ ﹣ 成立．第 6 页 共 14 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 14 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17-1、 17-2、18-1、第 8 页 共 14 页19-1、19-2、20-1、第 9 页 共 14 页第 10 页 共 14 页21-1、第11 页共14 页21-2、第12 页共14 页第13 页共14 页22-1、第14 页共14 页。
2016-2017学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期期中数学试卷与解析(文科)
2016-2017学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（3分）从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A．B．C．D．2．（3分）已知倾斜角为α的直线l与直线x﹣2y+2=0平行，则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．（3分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．014．（3分）如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）A．B．C．D．5．（3分）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球6．（3分）某学校课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：由最小二乘法求得回归方程为，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为（）A．60 B．62 C．68 D．68.37．（3分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．08．（3分）若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤89．（3分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y ﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．410．（3分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称，则ab的取值范围是（）A．[0，]B．[﹣，0]C．（﹣∞，]D．[，+∞）11．（3分）过圆C：x2+y2=10x内一点（5，3）有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项a k，若公差d∈[，]，则k取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．812．（3分）已知圆O的方程为x2+y2=4，P为圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域x2+y2≥a2覆盖，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[﹣2，2]D．[0，2]二、填空题13．（3分）取一根长5米的细绳，拉直后从其中任一点剪断，剪得的两段细绳长度都不小于1.5米的概率为．14．（3分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到240在第一营区，从241到496为第二个营区，从497到600为第三营区，则第二营区被抽中的人数为．15．（3分）在△ABC中，BC=3，若AB=2AC，则△ABC面积的最大值为．16．（3分）设x，y满足，并设满足该条件的点（x，y）所形成的区域为Ω，则（1）Z=x2+y2﹣2y的最小值为；（2）包含Ω的面积最小的圆的方程为．三、解答题17．已知两条直线l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16，m为何值时，l1与l2：（1）平行（2）垂直．18．已知圆O：x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=45°时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．19．某地统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本数据的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500））．（1）求居民月收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽多少人？20．已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，0，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的一点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．21．如图，已知平面ABB1N⊥平面BB1C1C，四边形BB1C1C，是矩形，ABB1N是梯形，且AN⊥AB，AN∥BB1，AB=BC=AN=4，BB1=8．（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）若M为AB中点，P是BC边上一点，且满足=，求证：MP∥平面CNB1；（3）求多面体ABB1NCC1的体积．22．已知点H在圆D：（x﹣2）2+（y+3）2=32上运动，点P坐标为（﹣6，3），线段PH中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）若直线y=kx与M的轨迹交于B、C两点，点N（0，t）使NB⊥NC，求实数t的范围．2016-2017学年湖北省荆州市沙市中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的总事件是从5张卡片中任取2张，有C52中取法，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的有A，B；B，C；C，D；D，E四种结果，∴由古典概型公式得到P==．故选：B．2．（3分）已知倾斜角为α的直线l与直线x﹣2y+2=0平行，则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵直线x﹣2y+2=0的斜率为，且倾斜角为α的直线l与直线x﹣2y+2=0平行，∴tanα=，∵0＜α＜π，∴cosα=，故选：D．3．（3分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．4．（3分）如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是直三棱柱削去两个相同的三棱锥，由侧视图得三棱柱的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，三棱柱侧棱长为4，∴三棱柱的体积为=2，由正视图与俯视图知两个三棱锥的高为1，∴三棱锥的体积为××1×1×1=，∴几何体的体积V=2﹣2×=．故选：A．5．（3分）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选：C．6．（3分）某学校课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：由最小二乘法求得回归方程为，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为（）A．60 B．62 C．68 D．68.3【解答】解：由题意可得=（10+20+30+40+50）=30，设要求的数据为t，则有=（t+68+75+81+89）=（t+303），因为回归直线过样本点的中心．所以（t+303）=0.67×30+54.9，解得t=62．故选：B．7．（3分）两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．0【解答】解：由题意可知：直线x﹣y+c=0是线段AB的垂直平分线，又直线x﹣y+c=0 的斜率为1，则=﹣1①，且﹣+c=0②，由①解得m=5，把m=5代入②解得c=﹣2，则m+c=5﹣2=3．故选：C．8．（3分）若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，由于S=2+22+…+26=126，故①中应填n≤6．故选：B．9．（3分）若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y ﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．4【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6=0，∴M到原点的距离的最小值为d==3．故选：C．10．（3分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0对称，则ab的取值范围是（）A．[0，]B．[﹣，0]C．（﹣∞，]D．[，+∞）【解答】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当a=b=时取等号，故ab的最大值是，故选：C．11．（3分）过圆C：x2+y2=10x内一点（5，3）有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项a k，若公差d∈[，]，则k取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：设A（5，3），圆心O（5，0），最短弦为垂直OA的弦，a1=8，最长弦为直径：a K=10，公差d=，∴，∴5≤k≤7故选：D．12．（3分）已知圆O的方程为x2+y2=4，P为圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域x2+y2≥a2覆盖，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[﹣2，2]D．[0，2]【解答】解：随着点P在圆上运动，OP的垂直平分线形成的区域是圆：x2+y2=1的外部，…①平面区域x2+y2≥a2表示以原点为圆心，a为半径的圆的外部，…②若OP的垂直平分线总是被平面区域x2+y2≥a2覆盖，则①区域要包含②区域，故|a|≤1，∴﹣1≤a≤1．故选：A．二、填空题13．（3分）取一根长5米的细绳，拉直后从其中任一点剪断，剪得的两段细绳长度都不小于1.5米的概率为．【解答】解：记“两段的长都不小于1.5米”为事件A，则只能在距离两段超过1.5米的绳子上剪断，即在中间的2米的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1.5米，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率P（A）=．故答案为．14．（3分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到240在第一营区，从241到496为第二个营区，从497到600为第三营区，则第二营区被抽中的人数为22．【解答】解：由题意，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，通项为12n﹣9，由241≤12n﹣9≤496，∴21≤n≤42∴第二营区被抽中的人数为42﹣21+1=22．故答案为22．15．（3分）在△ABC中，BC=3，若AB=2AC，则△ABC面积的最大值为3．【解答】解：设AC=x，则AB=2x，根据面积公式得S△=AC•BC•sinC=x•sinC=x．ABC由余弦定理可得cosC=，=x=x =．∴S△ABC由三角形三边关系有：x+2x＞3且x+3＞2x，解得1＜x＜3，取得最大值3，故当x=时，S△ABC故答案为：3．16．（3分）设x，y满足，并设满足该条件的点（x，y）所形成的区域为Ω，则（1）Z=x2+y2﹣2y的最小值为；（2）包含Ω的面积最小的圆的方程为x2+y2﹣3x+y=0．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：（1）Z=x2+y2﹣2y=x2+（y﹣1）2﹣1的最小值为（0，1）到直线x﹣2y=0的距离的平方减去1，为||2﹣1=﹣；（2）包含Ω的面积最小的圆的方程即为三角形区域的外接圆方程，则此时过点O，B（2，1），A（0，﹣1）三点的圆，设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，得到，解得，所以包含Ω的面积最小的圆的方程为x2+y2﹣3x+y=0．故答案为：；x2+y2﹣3x+y=0．三、解答题17．已知两条直线l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16，m为何值时，l1与l2：（1）平行（2）垂直．【解答】解：（1）∵l1：x+（1+m）y=2﹣m，l2：2mx+4y=﹣16，∴1×4﹣（1+m）（2m）=0，解得m=1或m=﹣2，当m=﹣2时，两直线重合，当m=1时两直线平行；（2）由垂直关系可得1×2m+4（1+m）=0，解得m=，∴当m=时，两直线垂直．18．已知圆O：x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=45°时，求AB的长；（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．【解答】解：（1）依题意直线AB的斜率为1，直线AB的方程为：y﹣2=x+1，即x﹣y+3=0，圆心0（0，0）到直线AB的距离为d=，则AB的长为2=．（2）当弦AB被点P0平分时，AB和OP0垂直，故AB 的斜率为，根据点斜式方程直线AB的方程为x﹣2y+5=0．19．某地统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本数据的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500））．（1）求居民月收入在[3000，3500）的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽多少人？【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，居民月收入在[3000，3500）内的频率为0.0003×500=0.15；（2）由频率分布直方图可知，0.0002×（1500﹣1000）=0.1，0.0004×（2000﹣1500）=0.2，0.0005×（2500﹣2000）=0.25∵0.1+0.2+0.25=0.55＞0.5∴样本数据的中位数2000+=2400；（3）居民月收入在[2500，3000]的频率为0.0005×（3000﹣2500）=0.25，∴10000人中月收入在[2500，3000]的人数为0.25×10000=2500（人），再从10000人用分层抽样方法抽出100人，∴月收入在[2500，3000]的这段应抽取100×=25人．20．已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，0，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的一点，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为x=要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a若a=1则b=﹣1，0；若a=2则b=﹣1，0，1；若a=3则b=﹣1，0，1；∴事件包含基本事件的个数是2+3+3=8∴所求事件的概率为：．（2）解：作出不等式组内对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×8×8=32，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××8=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，21．如图，已知平面ABB1N⊥平面BB1C1C，四边形BB1C1C，是矩形，ABB1N是梯形，且AN⊥AB，AN∥BB1，AB=BC=AN=4，BB1=8．（1）求证：BN⊥平面C1B1N；（2）若M为AB中点，P是BC边上一点，且满足=，求证：MP∥平面CNB1；（3）求多面体ABB1NCC1的体积．【解答】证明：（1）取BB1中点D，连结ND，∵平面ABB1N⊥平面BB1C1C，四边形BB1C1C，是矩形，ABB1N是梯形，且AN⊥AB，AN∥BB1，AB=BC=AN=4，BB1=8，∴BC⊥平面ABB1N，DN=AB=4，BN=B1N==4，∴BN⊥B1C1，BN=BB12，∴BN⊥B1N，∵B1C1∩B1N=B1，∴BN⊥平面C1B1N．解：（2）由（1）知AB、BB1、BC两两垂直，以B为原点，BA、BB1、BC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，M（2，0，0），P（0，0，1），C（0，0，4），N（4，4，0），B1（0，8，0），=（﹣2，0，1），=（4，4，﹣4），=（0，8，﹣4），设平面CNB 1的法向量，则，取y=1，得=（1，1，2），∵=﹣2+0+2=0，MP⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB 1．（3）多面体ABB1NCC1的体积：V==+=+=．22．已知点H在圆D：（x﹣2）2+（y+3）2=32上运动，点P坐标为（﹣6，3），线段PH中点为M．（1）求点M的轨迹方程；（2）若直线y=kx与M的轨迹交于B、C两点，点N（0，t）使NB⊥NC，求实数t的范围．【解答】解：（1）设点M（x，y），则H（2x+6，2y﹣3），又H在圆上，得（2x+6﹣2）2+（2y﹣3+3）2=32，化简得（x+2）2+y2=8；（2）由直线y=kx与（x+2）2+y2=8，消去y得（1+k2）x2+4x﹣4=0，∴x1+x2=x1x2=﹣，又0==（1+k2）x1x2﹣kt（x1+x2）+t2，∴=∈[﹣，]，∴t．。
湖北省荆州中学高二数学上学期期末考试试题 理
湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面哪组变量具有相关关系（ ）A.出租车费与行驶的里程B.房屋面积与房屋价格C.人的身高与体重D.铁的体积与质量2.设一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上10，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）A ．12.8 3.6B ．2.8 13.6C ．12.8 13.6D ．13.6 12.83.“曲线C 上的点的坐标都是方程(,)f x y =0的解”是“方程(,)f x y =0是曲线C 的方程”的（ ）条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要 4. 已知命题p ：∃x∈(0，π2)，使得cos x≥x，则该命题的否定．．是 （ ） A ．∃x∈(0，π2)，使得cos x>x B ．∀x∈(0，π2)，使得cos x≥xC ．∃x∈(0，π2)，使得cos x<xD ．∀x∈(0，π2)，使得cos x<x5.如图给出的是计算11112462016++++L 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是A ．2013≤iB ．2015≤iC ．2017≤i D.2019≤i 6.下列函数是正态分布密度函数的是（ ）A ．2()2()2x r f x eσσ-=π B ．222π()x f x e -= C ．2(1)4()22x f x e -=πD ．22()2x f x e=π7．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生 在课外读物方面的支出费用的中位数为( )元( )A ．45B ．3909 C.4009D ．468.12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A ．4448412C C CB ．44484123CC CC ．334448412AC C CD ．334448412A C C C 9．有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为()P n ，且()P n 与时刻t 无关，统计得到1()(0)(15)()20(6)nP n P n n ⎧⋅≤≤⎪=⎨⎪≥⎩，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率(0)P 的值是（ ）A ．3233 B ．1 C ．3263 D ．163310.过椭圆15622=+y x 内的一点)1,2(-P 的弦，恰好被点P 平分，则这条弦所在的直线方程是（） A.01335=--y x B.01335=-+y x C.01335=+-y x D.01335=++y x11.设23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++⋅⋅⋅++2012,nn a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时,n 等于（ ）A. 5B.6C.7D.812.如果椭圆1258122=+y x 上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点,则线段ON 的长为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 23 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．下列是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 由其散点图知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系， 其线性回归方程是y ＝－0.7x ＋a ，则a ＝________．月份x 1 2 3 4 用水量y4.5432.514.阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12内，则输入的实数x 的取值范围是____． 15.若在区间[-5,5]内任取一个实数a,则使直线x+y+a=0与圆(x-1)2+(y+2)2=2有公共点的概率为 ．16. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以２后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以２后再加上12，这样就可得到一个新的实数2a .对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜.若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是1a ∈ ．三、计算题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）若n xx )1(66+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（１） 求n 的值；（２）此展开式中是否有常数项？若有，求出常数项，若没有，说明理由。
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2016-2017学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆的焦点坐标是（）A．B．C．D．2．已知变量x与y负相关，且由观测数据计算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=2x﹣1.5 B．y=0.8x+3.3 C．y=﹣2x+14.5 D．y=﹣0.6x+9.13．下列有关命题的说法中错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．若命题p：“∃实数x使x2≥0”，则命题¬p为“对于∀x∈R都有x2＜0”4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．5．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是（）A．B．C．D．6．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A ．24B ．18C ．16D ．127．已知f （x ）=f'（1）+xlnx ，则f （e ）=（ ） A ．1+e B ．eC ．2+eD ．38．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ．2+B ．4+C ．2+2D ．59．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B两点．若线段AB的中点的横坐标为3，则AB 的长度为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．510．曲线y=x 3﹣2x +1在点（1，0）处的切线方程为（ ） A ．y=x ﹣1 B ．y=﹣x +1 C ．y=2x ﹣2 D ．y=﹣2x +211．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角12．F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则C的离心率是（）A．B．2 C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知椭圆+=1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m=．14．下列各数85（9）、1000（4）、111111（2）中最小的数是．15．已知函数f（x）=x3﹣3x+1，则=．16．已知函数f（x）=kx+1，其中实数k随机选自区间[﹣2，1]．对∀x∈[0，1]，f（x）≥0的概率是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设a是实数，对函数f（x）=x2﹣2x+a2+3a﹣3和抛物线C：y2=4x，有如下两个命题：p：函数f（x）的最小值小于0；q：抛物线y2=4x上的动点到焦点F的距离大于2．已知“¬p”和“p∧q”都为假命题，求实数a的取值范围．18．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心C在直线x+y﹣3=0上．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）是圆C上的动点，z=x+y，求z的最大值．19．某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩分成六段，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四个小组的频率以及频率分布直方图中第四个小矩形的高；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分．20．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BMD；（2）求证：A1O⊥平面ABCD；（3）求三棱锥B﹣AMD的体积．21．设椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）动直线交椭圆M于A、B两点，求△PAB面积的最大值．22．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ；C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．2016-2017学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．椭圆的焦点坐标是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆的焦点在y轴上，且a=2，b=1，求出c，即可得到椭圆的焦点坐标．【解答】解：椭圆的焦点在y轴上，且a=2，b=1，∴=，∴椭圆的焦点坐标是（0，±）．故选C．2．已知变量x与y负相关，且由观测数据计算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=2x﹣1.5 B．y=0.8x+3.3 C．y=﹣2x+14.5 D．y=﹣0.6x+9.1【考点】线性回归方程．【分析】利用变量x与y负相关，排除选项A、B，再利用回归直线方程过样本中心验证即可得出结论．【解答】解：根据变量x与y负相关，排除选项A，B；再根据回归直线方程经过样本中心（，），把=4，=6.5，代入C、D中，满足6.5=﹣2×4+14.5，C方程成立，D方程不成立．故选：C．3．下列有关命题的说法中错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．若命题p：“∃实数x使x2≥0”，则命题¬p为“对于∀x∈R都有x2＜0”【考点】全称命题；复合命题的真假．【分析】A：结合条件“p或q”为假命题判断p、q的情况，由此即可做出判断．B：分别判断“x=1”⇒“x≥1”与“x≥1”⇒“x=1”的真假，进而根据充要条件的定义可得答案．C：分别判断“”⇒“”与“”⇒“”的真假，再根据充分必要条件进行判断；D：由“∃实数x，使x2≥0”，根据特称命题的否定为一个全称命题，结合特称命题“∃x∈A，P（A）”的否定为“x∈A，非P（A）”，可得答案．【解答】解：对于A：由题意可知：“p或q”为假命题，∴p、q中全为假，正确；B：当“x=1”时“x≥1”成立，即“x=1”是“x≥1”充分条件当“x≥1”成立时，x＞1或x=1，即“x=1”不一定成立，即“x=1”是“x≥1”不必要条件“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件，正确；C：∵“”不能⇒“”，如x=．反之一定能推出，∴“”的充分不必要条件是“”，故C错；D：命题：“∃实数x使x2≥0”为特称命题，其否定是一个全称命题，即命题：“∃实数x使x2≥0”的否定为“∀x∈R，x2＜0”正确．故选C．4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n=8时，不再运行循环体，直接输出S值．【解答】解：模拟程序图框的运行过程，得；该程序运行后输出的是计算S=++=．故选：D．5．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】首先由组合数公式计算从5台中任选2台的情况数目，进而分析可得所选2台中恰有1甲1乙的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案；【解答】解：从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，有==10种选法，所选两种品牌的彩电都齐全，即1甲2乙的选法有=6种，则从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是为=．故答案为：C6．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A ．24B ．18C ．16D ．12 【考点】分层抽样方法．【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，则可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数．【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．故选C ．7．已知f （x ）=f'（1）+xlnx ，则f （e ）=（ ） A ．1+e B ．eC ．2+eD ．3【考点】导数的运算．【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代值计算即可．【解答】解：由f （x ）=f'（1）+xlnx ， 得：f′（x ）=1+lnx ， 取x=1得：f′（1）=1+ln1=1故f（e）=f'（1）+elne=1+e故选：A．8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE==2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．∴S△ABC=2×=．S△BCO故该三棱锥的表面积是2，故选：C．9．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点．若线段AB的中点的横坐标为3，则AB的长度为（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选：A．10．曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，=1，得切线的斜率为1，所以k=1；y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选A．11．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．利用正方形的性质和线面垂直的性质与判定即可得出；B．利用正方形的性质和线面平行的判定定理即可得出；C．通过平移即可得出异面直线所成的角；D．利用线面垂直的判定与性质、线面角的定义、等腰三角形的性质即可得出．【解答】解：A．∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵SD∩DB=D．∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥DB．B．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，又AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD．C．∵AB∥DC，∴∠SCD（为锐角）是AB与SC所成的角，∠SAB（为直角）是DC与SA所成的角；而∠SCD≠∠SAB．∴AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角不正确；D．由A可知：AC⊥平面SDB，∴∠ASO、∠SCO分别是SA与平面SBD所成的角、SC与平面SBD所成的角．由SA=SC，OA=OC，可得∠ASO=∠SCO，因此正确．综上可知：只有C不正确．故选：C．12．F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则C的离心率是（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设一渐近线OA的方程为y=x，设A（m，m），B（n，﹣），由2=，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于﹣1，求出a2=3b2，代入e==进行运算．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=﹣x，设A（m，），B（n，﹣），∵2=，∴2（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）=n﹣c，﹣=﹣，∴m=c，n=，∴A（，）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即•=﹣1，∴a2=3b2，∴e===．故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．已知椭圆+=1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m=8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据条件可得a2=m﹣2，b2=10﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣12，由焦距为4，即c=2．即可得到m的值．【解答】解：由椭圆+=1的长轴在y轴上，则a2=m﹣2，b2=10﹣m，c2=a2﹣b2=2m﹣12．由焦距为4，即2c=4，即有c=2．即有2m﹣12=4，解得m=8．故答案为：814．下列各数85（9）、1000（4）、111111（2）中最小的数是111111（2）．【考点】进位制．【分析】将四个答案中的数都转化为十进制的数，进而可以比较其大小．=8×9+5=77，【解答】解：85（9）1000（4）=1×43=64，111111（2）=1×26﹣1=63，故最小的数是111111（2）故答案为：111111（2）15．已知函数f（x）=x3﹣3x+1，则=﹣．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+1，∴f′（x）=3x2﹣3∴f′（）=3×﹣3=﹣，故答案为：16．已知函数f（x）=kx+1，其中实数k随机选自区间[﹣2，1]．对∀x∈[0，1]，f（x）≥0的概率是．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k的范围，区间的长度之比等于要求的概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，∵﹣2≤k≤1，其区间长度是3又∵对∀x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调∴∴﹣1≤k≤1，其区间长度为2∴P=故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演17．设a是实数，对函数f（x）=x2﹣2x+a2+3a﹣3和抛物线C：y2=4x，有如下两个命题：p：函数f（x）的最小值小于0；q：抛物线y2=4x上的动点到焦点F的距离大于2．已知“¬p”和“p∧q”都为假命题，求实数a的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】“¬p”和“p∧q”都为假命题，可得p为真命题，q为假命题，分别求出相应a的范围，即可求实数a的取值范围．【解答】解：∵¬p和p∧q都是假命题，∴p为真命题，q为假命题．…∵f（x）=x2﹣2x+a2+3a﹣3=（x﹣1）2+a2+3a﹣4，∴，所以，﹣4＜a＜1；…又∵抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，q为假命题，∴，∴﹣2≤a≤2．…故所求a的取值范围为[﹣2，1）．…18．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心C在直线x+y﹣3=0上．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）是圆C上的动点，z=x+y，求z的最大值．【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．【分析】（1）设圆心坐标为（a，b），则，即可求圆C的方程；（2）令z=x+y，即y=﹣x+z，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或最小．【解答】解：（1）设圆心坐标为（a，b），则解得：a=1，b=2，r=2，故圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4…（2）令z=x+y，即y=﹣x+z，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或圆心到直线的距离d==2，z=3±2，∴最大值为：…19．某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩分成六段，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四个小组的频率以及频率分布直方图中第四个小矩形的高；（2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为，即可求出第四个小矩形的高，（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分【解答】解：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）×10=0.30 则第四个小矩形的高为=0.03，（2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，故这次考试的及格率约为75%，由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，得本次考试中的平均分约为71：20．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BMD；（2）求证：A1O⊥平面ABCD；（3）求三棱锥B﹣AMD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面平行的性质即可证明A1C∥平面BMD；（2）根据线面垂直的判定定理即可证明A1O⊥平面ABCD；（3）利用体积转化法即可求三棱锥B﹣AMD的体积．【解答】证明：（1）连结MO，则⇒MO∥AC，∵MO⊂平面BMD，A1C⊄平面BMD，∴A1C∥平面BMD．（2）∵BD⊥AA1，BD⊥AC，∴BD⊥平面A1AC，于是BD⊥A1O，AC∩BD=O，∵底面ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，∴AO=，AA1=，cos∠A1AC=60°，∴A1O⊥AC，∵A1O⊥BD，∴A1O⊥平面ABCD；（3）体积转换法：∵A1O⊥平面ABCD，M为A1O的中点，∴M到平面ABCD的距离为，三角形ABD的面积为，．21．设椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）动直线交椭圆M于A、B两点，求△PAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，将代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆M的方程；（Ⅱ）将直线代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，则P到AB的距离为d=，则利用三角形的面积公式及韦达定理即可求得△PAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，由椭圆经过点，得，解得：，∴椭圆M的方程为．…（Ⅱ）由，得，由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）＞0，得，，设A（x1，y1），B （x2，y2），∴，．∴=．又P到AB的距离为d=．则…∴当且仅当取等号．∴．…22．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ；C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）直接利用极坐标与直角坐标互化求出C1的直角坐标方程，C2的普通方程．（II）求出C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，利用圆心距推出距离的最值得到范围即可．【解答】（本小题满分10分）解：（I）曲线C1方程为ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，可得x2+y2=2y，∴C1的直角坐标方程：x2+（y﹣1）2=1，C2的参数方程为，消去参数t可得：C2的普通方程：．…（II）由（I）知，C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，C1的圆心（0，1）到C2的距离为，则C1与C2相交，P到曲线C2距离最小值为0，最大值为，则点P到曲线C2距离的取值范围为．…2017年2月18日。