华中科技大学复变函数与积分变换练习册答案
华中科技大学复变函数与积分变换练习册问题详解
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i ii i 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12解：i i+12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
显然函数在负实轴上不连续。
lim f (z) lim Arg (rei)
2sin
cos( )
2 2 2
isin(
2
i
2sin e2 2
2
(5)
z3
解：
i3
3i
re
cos3
isin3
(6)
e1 i
解：
ee
cos1 i sin1
(7)
1i
解：
1i
1i
i ei3 /4cos3
/ 4 isin3 /4
1i
1i
、计算下列数值
(1)
a ib
解：
ib
i ar ctgb2k
2 2 abe
cos2
L
L
cosn
1i i(e e
2
L
L
in i i2e ) (e e
L
in
L ein)
1 ei
(1
ine
)e
i(1 ein)
1
ie
(1
in i ie ) 1 e e
(1
in ie ) 1 e
2
1
ie
1 ei
2
2(1cos
)
cos
i i i(n 1) i(n 1) in in
1 e e 2 e e e e
22(1cos )
2sin
2
(8)
sin
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 13i +解：()/31322cos /3sin /3i i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7) 11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值 (1) a ib +解：1ar 2ar 2222421ar 22421ar 2242 b b i ctg k i ctg k a a bi ctg abi ctg a a ib a b ea b ea b ea b e ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=+=+⎧+⎪=⎨⎪-+⎩(2)3i解：62263634632323322322i k i i i i k i e i i eee e iπππππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)ii解：()1/2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i e e ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=(1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=(1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
复变函数与积分变换华中科技大学
(
)
{
}
…………………………………………………………………………………………………………… （2） f (t = sin 2 t ; ) [解] 由于
f ( ) = sin 2 t = t
同上题, 利用(＊)式可得
1 1 1 (1 - cos 2 ) = - (e 2 ti + e -2 ti ) , t 2 2 4
F [ f ( )] = t
…………………………………………………………………………………………………………… 5、求函数 F ( ) = p [ ( + w0 ) + d ( - w0 )] 的 Fourier 逆变换 f (t . w d w w ) [解] 根据 Fourier 逆变换的定义, 有
F [ f ( )] = pd ( ) t w
p
2
d ( - 2 w )
p
2
d ( + 2 . w )
…………………………………………………………………………………………………………… （3） f (t = sin( 2 ) t [解] 由于
p
) . 6
f (t ) =
复变函数与积分变换习题
班级
姓名
学号
17 Fourier 变换
1、求矩形脉冲函数 f ( ) = í t
ì H , î 0 ,
0 £ t £ t 的 Fourier 变换. t < 0 t > t ,
+¥
[解] 根据 Fourf ( )] = ò f ( ) × e -iwt dt t t
故有
[ pd ( - w0 )] = 2 w
华中科技大学 复变函数与积分变换练习册答案
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i iii 524321----； 解：i ii i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i+12解：i i +12 )4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i 2332++-解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi += 3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周,11==z z 又因321z z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1)i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2)-1解：1cos sin i e i πππ-==+(3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4)1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5)3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6)1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑ (6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=(1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++ 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=(1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
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练习1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
1 2i 2 i 1) 3 4i 5i ； 2i 1 2i解： 16 4i 5i (1 3i )3(2)( 2)1 3i(解：)3= 25 8 i25 Re z 16Im z 25 285 z85 (cos3isin 3) [e i 3]3 25Re z Im z z1Argz arctan 12 2k kArgz2k2．将下列复数写成三角表示式。
1) 1 3i 解： 1 3i 2i2(cos 53 i sin 5 ) 3 2) 1 i2i解：2(cosi sin )43．利用复数的三角表示计算下列各式。
2 3i 1) 3 2i 2 3i解： 3 2i cos2 i sin 2 2)42 2i4 2 2i 解：38 3 / 4 28[cos [2 2(cos 3 4 2k ] isin 3 4 k 0,1,2,3i sin 1 4)]4 /4 2k ] 328[cos8k 163i sin168k]4．.设 z 1 , z 2 , z 3三点适合条件： z 1 z 2 z 3=0， z 1 z 2 1, z 1, z 2 ,z 3 是内接于单位圆z 3=1 的一个正三角形的项点证：因z1 z2 z3 1,所以z1 , z2 , z3都在圆周z z1 1,又因z1 z2 z3 =0则z1 z2 z3 , z1 z2 z3 1，所以z1 z2 也在圆周z 1上，z1 z2 z1 z2 1,所以以0，z1,z1 z2 为顶点的三角形是正三角形，所以向量z1与z12 之间的张角是3 ，同理z2与z1 z2之间的张角也是3 ，于是z1与z2之间的张角是3 ，同理2与z3，z2与z3之间的张角都是3 ，所以z1,z2, z3是一个正三角形的三个顶点。
35．解方程z 3 1 07．设z z 2cos (z 0,是Z的辐角)，求证z n z n 2cosn证：z z1 2 cos2z 2 cos z10则z cos i sin当z cos i sin1时z cos i sinn znz(cosn i sin ) [cos(n ) i sin( n )] 2 cos n故z n z n 2cos n当z cos i sin 时，同理可证*8 . 思考题：（1）复数为什么不能比较大小？答：复数域不是有序域，复数的几何意义是平面上的点（2）是否任意复数都有辐角？答：否，z 0 是模为零，辐角无定义的复数。
又z2z1解3 :z12kz cos133z1cos i sin i3322z2cos i sin15513 z3cos i sin33222ki sin3k 0,1,26．试证：证：1,当1时，练习(1)4 z x iy arg(z i) arg[x i(y 1)] 解：设 iy 则 4 x 0y 1 0x y 1 则点 Z 的轨迹为： 1．指出满足下列各式的点 Z 的轨迹是什么曲线？ arg(z i) 2) z a Re(z b) ，其中 a, b 为实数常数； y解：设 z x iy 则： (x a) iy Re(x b iy) 2 2 2y 22(a b)x b 2a 2(x 22a) y (x b)2x b0 则若： a b 则轨迹为： y 0a b bx若： a b则22b)(xaby 2 2(a)轨迹：2a b,bx若a 则2 无意义3) zz az az b ab2(a b)(x 2 ) xb0，其中为 a 复数 b 为实常数。
解：由题设 可知：(z a)(z a) b2 2即： z aa b 2b ， 若： a 2则 Z 的轨迹为一点 -a ， 若： ab ， 则 Z 的轨迹为圆，圆心在- a ，半径为 2a02．用复参数方程表示曲线，连接 1 i 与 1 4i 直线段 解： z (1 i) [( 1 4i) (1 i)]t 0 t 1 则 z (1 i) (2 5i)t (0 t )3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域， 并标出区域边界的方向。
并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？z 1,Rez（1）2解：由 z 1，得 x y 2 11 1Rez x 又 2 ，得 2 有界，单连域2 （2） Rez 1 解：令 z x iy 由 Rez 2 1 x 2 y 2 1 2 x 2 1 即： y无界，单连域2xxRez limlimx 0x iy 证：z 0 z =y 0x iy令 y kx 则：上述极限为 1 ki 不确定，因而极限不存在。
*6. 思考题(1)怎样理解复变函数 w f (z) ？答：设w u iv, z x iy,则w f (z) 就是u iv f(x iy) u(x, y) iv(x, y) u u(x,y) 即v v(x,y)因此，一个复变函数 f ( z)与两个实变函数 u(x,y)和 v(x,y)相对应，从几 何意义上来说，复变函数可以看作是 z 平面上的点集 D 到 w 平面上的点集 G 上的映射。
z13)z1解：令 z xiy 则：52(x 3) 2 2 4 2 y 2 (3) 24．对于函数 解：令 z xf (z) iz,D :Imz 0，描出当iy 则w f (z) iz i(x iy) y ix y0 Im z 0, 则Rew y w 的变化范围在第 2,3 象限 , 但不包括虚轴 0,lim Rez5. 试证z 0z 不存在。
z在区域(2)设复变函数 f (z) 当 径)有无关系？z z 0 时的极限存在， 此极限值与 z 趋于 z 0 所采取的方式 (取的路 答：没有关系， z 以任意方式趋于 z 0时，极限值都是相同的，反过来说，若令 z 沿两条不同 的曲线趋于 z 0时极限值不相等，则说明 f(z) 在z 0没有极限，这与高等数学中的情形是类似的， 只是一元实函数中， x 只能从左、右以任何方式趋于 x 0 ，而这里可以从四面八方任意趋于 练习三 z 0。
。
1．用导数定义，求 lim f (z 解： z 0 f (z) zRe z 的导数。
( z z)Re(z z) zRe z lim z0z) f (z) 2． z Re z z Re z lim z0 lim (Re z z0 z Re z)z z 0 时，导数不存在， z 0 时，导数为 0。
z Re z lim (Re zx0 y0lim (Re z Re z z z0x x i y ) x i y 下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？ 1 1) f (z) 解： uxf ( z)Re z)zx 2iyyi 2 2 u( x,y) iv( x, y) xy 2 2 2 (x y ) u y2xy (x 2 当且仅当 xv x 22y) y时，(x2x 2(x2f ( z) 满足C v y2xy22y)2 y 22y)R 条件，故当 xy时 f (z) 可导，但在复平面不解析。
2) 32 x 3 xy解： f (z) 令 f (z) u(x, y)22u x 3x 3 yi(3x 2y iv( xy) y 3) u y 6xy v x 6xy 22 v y 3x 3 y 则因 f (z)在复平面上处处满足 C R 条件，且偏导数连续， f (z)可导且解析。
3．设 my nx y i( x lxy )为解析函数，试确定l,m,n 的值 。
解：由 C R 条件可知：2nxy 2lxy所以 n l又3my 2 nx 23x 2 ly 2所以3m l ,且n 3m1即n l32) Im f(z) 常数；(5) f ( z)解析；(6) f(z) 常数。
证:由于 f (z)在且域 D 内解析，则可得 C R 方程成立，即u vuvxy 且 yx1)→2) 由 f ( z) c 则f ( z) c在D内成立，故( 2) 显然成立，uv ivu iu u 0 u(x, y)f (z)2)→3) 由 x x yyxy是常数即 Re f ( z) 常数v 0yv(x,y)uu 0v 0 3)→4)u 常数 xy由CR 条x是常数Im f (z) 常数4) → 5 )若 Im f (z)c, f (z)u ic, f (z) u ic 1,因f ( z)在D 内解析u vcuvc0,xyyyxxu( c), u( c) 即x yyx一阶偏导连续且满足CR 条件f (z)在 D 内解析5) →6)f ( z) u iv, g(z) f (z) u iv因 g(z) 解析，则由 C R 条件uvuvxyyx， 对 f (z)在 D 内解析，4. 设 f (z) 在区域 D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的1)f (z) =常数；2) f (z) 0 ；3)Ref (z) 常数u v 0 v 为常数 yx u v0 v 为常数 yxf ( z)为常数6)→1)f (z) 常数f ( z)= 常数，令2u v 2 c分别对x,y求偏导数得u u u v 0 (u 2v 2) u 0x yxv u u u0 (u 2v 2) u 0x yy2 若u2 v 0 则u v 0, f (z) 0，因而得证u u iv2若u2v 20 ，则 x y，故 u 常数，由 C R 条件 xf (z) 常数0,v为常数*5. 思考题：(1) 复变函数 f (z) 在一点 z 0可导与在 z 0解析有什么区别？答： f (z)在z 0解析则必在 z 0可导，反之不对。
这是因为 f ( z)在z 0解析，不但要求 f (z)在z 0可导，而且要求 f(z)在 z 0的某个邻域内可导，因此，f(z)在 z 0解析比 f(z)在z 0可导的要求高2得多，如 f(z) z 在 z 0=0 处可导，但在 z 0 0处不解析。
(2)函数 f (z) 在区域 D 内解析与 f (z) 在区域 D 内可导有无区别？ 答：无，(两者等价) 。
3)用 C R 条件判断 f(z) u(x, y) iv ( x, y)解析时应注意些什么？ 答：u( x, y), v( x, y)是否可微。
4)判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。
答：一是定义。
二是充要条件。
三是可导(解析)函数的和、差、积、商与复合仍可导(解析)函数练习四px2．设 v e sin y ，求 p 的值使 v 为调和函数，并求出解析函数 f ( z) u iv 。
解：要使v(x, y)为调和函数，有：v v xx v yy 0，即：p 2e px sin y e px sin y 0解：由 f (z) 解析可知 ：u xv y u y v x而 u x2y u y2(x 1)则v x u y 2(x 1),v y u x2y所以 v(x,y)v ydy2ydy2 y(x)2(x 1)v x(x)(x)2( x 1)dx(x 1) 2 c由 f (2)i可知 cf ( z) 2(x 1)y i(y 2x 22 x 1)v2)y arctg , xx0.v x解：因v yx22xy f (z) 解析可知：u xv y x 22 xyu yv xu(x, y)u x dx1ln( x 22 uyx即f (z)y2y1ln( 2(y)y 2)2 dx y2y22xy c iarctgyxxy 2)(y) u(x,y)1 2 2 ln( x y ) 222 1时， v为调和函数，要使 f (z) 解析，则u x v y ,uyv xu(x, y)u x dxv y dye pxcos ydx1 px pxu ye pxsin y ( y) pe px sin yp( y) ( 1p)e px sin y( y)p1e px cosy (y) p(p1)e px cos y c p1．由下列条件求解析函数 f ( z) u iv(1)u 2(x 1)y, f(2) i1而 i f (z) v iu v i ( u)v x可知：( u) u yyv yu x ( u) x即满足 C R 条件if (z)也是解析函数。