☆排列组合解题技巧归纳总结89231资料讲解
排列组合讲解方法汇总
排列组合讲解方法汇总 The following text is amended on 12 November 2020.1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.3.排列数公式:4.组合数公式:排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.分隔排列--插空法相邻排列--捆绑法互斥分类--分类法先后有序--位置法反面明了--排除法方法1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。
8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题. 解：先排学生共有88A 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有47A 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为4878A A 种.方法2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解： 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有66A 种排法,其中女生内部也有33A 种排法,根据乘法原理,共有6363A A 种不同的排法.方法3 转化法（插拔法）:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.解：此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有711C 种不同的放法,所以名额分配方案有711C 种.方法4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法分析：此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.解： 把所有的硬币全部取出来,将得到×23+×10=元,所以比2元多元,所以剩下元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有311232310C C C +种取法.方法5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序分析：对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.解：不加任何限制条件,整个排法有99A 种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有9912A 。
排列组合解题方法和策略总结
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
高中数学排列与组合的解题技巧
高中数学排列与组合的解题技巧在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和题型。
它们不仅在数学考试中常常出现，而且在实际生活中也有广泛的应用。
掌握排列与组合的解题技巧，不仅可以帮助我们在考试中取得好成绩，还可以在解决实际问题时提供有效的思路和方法。
一、排列问题排列是指从给定的元素中选出若干个进行排列，其顺序是重要的。
在排列问题中，我们常常需要考虑以下几个方面的技巧。
1.1 有关位置的排列对于有关位置的排列问题，我们可以利用“填空法”来解决。
例如，某班有10名同学，要从中选出3名同学参加篮球比赛，问有多少种不同的排列方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从10名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的9名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的8名同学中选择一个填入第三个空格。
根据乘法原理，可以得到答案为10×9×8=720种不同的排列方式。
1.2 有关重复元素的排列在有些排列问题中，给定的元素中可能存在重复的元素。
对于这类问题，我们需要注意重复元素的处理。
例如，某班有5名同学，其中2名同学是双胞胎，要从中选出3名同学参加篮球比赛，问有多少种不同的排列方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从5名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的4名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的3名同学中选择一个填入第三个空格。
根据乘法原理，可以得到答案为5×4×3=60种不同的排列方式。
但是由于双胞胎两名同学是相同的，所以要将重复的排列方式去掉。
即答案为60/2=30种不同的排列方式。
二、组合问题组合是指从给定的元素中选出若干个进行组合，其顺序不重要。
在组合问题中，我们常常需要考虑以下几个方面的技巧。
2.1 有关位置的组合对于有关位置的组合问题，我们可以利用“填空法”来解决。
例如，某班有10名同学，要从中选出3名同学组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？解题思路：我们可以用三个空格表示三个位置，然后从10名同学中选择一个填入第一个空格，再从剩下的9名同学中选择一个填入第二个空格，最后从剩下的8名同学中选择一个填入第三个空格。
数学排列组合题解题技巧
数学排列组合题解题技巧数学中的排列组合是一个重要的概念，在解题过程中使用排列组合技巧可以帮助我们更快地得到答案。
本文将介绍一些常用的排列组合题解题技巧，希望能对你的学习有所帮助。
一、排列组合的基本概念排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
组合是指从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
排列组合的计算公式如下：排列：P(n,m) = n!/(n-m)!组合：C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)其中，n表示总的元素个数，m表示选取的元素个数，!表示阶乘运算。
二、全排列和循环排列全排列是指从一组元素中选取全部元素按照不同的顺序进行排列，这个排列中的每个元素都是唯一的。
全排列的个数可以通过n的阶乘来计算。
循环排列是指在全排列的基础上，将首尾相连形成一个圆环，这样的排列中的每个元素也是唯一的。
循环排列的个数可以通过n-1的阶乘来计算。
例如，有3个元素A、B、C，全排列的个数为3! = 6，可以得到6个排列方式：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA；而循环排列的个数为2! = 2，可以得到2个排列方式：ABC和ACB。
三、组合的性质组合是不考虑元素顺序的排列，因此组合的个数要比排列的个数小。
在组合中，如果选取的元素个数等于总的元素个数，那么就是全组合，其个数为1。
组合有以下几个重要性质：1. C(n,m) = C(n,n-m)：组合个数对称性质。
2. C(n,0) = C(n,n) = 1：选取0个或全部元素只有一种情况，即空集和全集。
3. C(n,1) = C(n,n-1) = n：选取一个元素的组合个数等于总的元素个数。
四、应用技巧在解答排列组合题时，可以结合具体问题使用以下技巧：1. 利用排列组合公式计算个数。
2. 利用组合性质简化计算。
3. 利用循环排列和全排列计算特定问题。
4. 引入辅助元素进行排列组合的计算。
5. 利用因子分解简化计算。
例如，某班有10位学生，要从中选取3位学生组成一个小组，有多少种不同的选取方式？根据组合的性质可知，该问题的解为C(10,3) = 10!/(3!*7!) = 120种选取方式。
排列组合解题方法
排列组合解题方法排列组合题在高考试题中占据较大比例，或单独命题，或与概率内容相结合，由于排列组合题抽象性较强，解题思路敏捷，（方法）多样，切入点多，同学在解题过程中往往简单消失思维遗漏、或重复的错误。
下面就是我给大家带来的排列组合解题方法，盼望大家喜爱！1.相离问题插空法相离问题插空法主要用来解决2个或若干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。
它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进行整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。
例1 在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对挨次不变，再添加进去3个节目，则全部不同的添加方法共有多少种？解析：该题若直接进行解答较为麻烦，此时可以借助相离问题插空法，可以使问题迎刃而解。
先将原来的6个节目排列好，这时中间和两端有7个空位，然后用一个节目去插7个空位，有A种方法;接着再用另一个节目去插8个空位，有A种方法;将最终一个节目插入到9个空位中，有A种方法，由乘法原理得：全部不同的添加方法AAA=504种。
例2 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A种方法，要求空位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空当中任选一个，将空位置插入其中有C种方法。
故共有AC种方法。
2.相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参加排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列挨次进行一一分析排列。
例3 有6名同学排成一排，其中甲、乙两人必需排在一起的不同排法有多少种？解析：由于甲、乙两人必需要排在一起，故可将甲、乙两人捆绑起来作为一个整体进行考虑，即将两人视为一人，再与其他四人进行全排列，则有A种排法，甲、乙两人之间有A种排法。
(完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结(可编辑修改word版)
344 4 3 4A C 5 2 2 5 排列组合解题技巧归纳总结教学内容1. 分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第 1 类办法中有m 1 种不同的方法，在第 2 类办法中有m 2 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C 1 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3由分步计数原理得C 1C 1A 3 = 288443练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
考公排列组合解题技巧
考公排列组合解题技巧
在各类考试中，排列组合问题一直是重点与难点。
为了更有效地解决这类问题，以下是一些关键的解题技巧。
一、理解基本概念
在处理排列组合问题时，首先需要明确什么是排列、什么是组合。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n），按照一定的顺序放入一起，构成一个有序的组合；而组合则是从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n），不考虑顺序放入一起。
两者的主要区别在于顺序是否重要。
二、掌握计算公式
1. 排列数公式：A=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)
2. 组合数公式：C=n!/[m!(n-m)!]
3. 插空法、捆绑法等其他常用方法。
三、分析具体问题
针对具体问题，首先要明确是排列问题还是组合问题，其次要分析元素的性质、限制条件等因素，选择合适的方法进行计算。
四、运用间接法
在某些情况下，通过间接法可以更简便地解决问题。
例如，在求排列数时，可以先求出总数，然后减去其他不满足条件的情况数。
五、重视组合特点
组合问题有其自身的特点，如无序性、独立性等。
在解题时，要充分利用这些特点简化问题。
六、培养逻辑思维
排列组合问题往往涉及到复杂的逻辑关系，需要我们进行深入的分析和推理。
培养逻辑思维有助于更好地解决这类问题。
七、熟悉常见问题
为了更好地应对考试，需要对各种类型的排列组合问题都有所了解，并掌握相应的解题技巧。
总的来说，解决排列组合问题需要扎实的理论基础、灵活的思维方式和丰富的解题经验。
希望以上技巧能对大家有所帮助。
排列与组合问题的解题方法
排列与组合问题的解题方法排列与组合是数学中重要的组合数学问题，常用于解决计数和选择问题。
在排列与组合中，排列是指从一组元素中选取若干个按特定顺序排列的方式；而组合则是指从一组元素中选取若干个无序的方式。
解决排列与组合问题的方法有很多，下面将介绍一些常用的解题方法。
一、排列问题的解题方法1. 全排列方法：全排列是指对给定的一组元素进行全面排列，确保每个元素都排在不同的位置上。
全排列问题可以通过递归算法来解决。
具体步骤如下：1）选取第一个元素作为排列的首位；2）将剩余的元素进行全排列；3）将选取的元素与全排列的结果进行组合。
2. 循环方法：循环方法是指通过循环遍历的方式来求解排列问题。
具体步骤如下：1）确定排列的元素个数和位置；2）通过循环遍历的方式确定每个位置上的元素。
3. 递归方法：递归方法是指通过递归函数的调用来求解排列问题。
递归方法可以将一个问题分解为更小的子问题，并通过递归调用来解决子问题。
具体步骤如下：1）选取第一个元素作为排列的首位；2）将剩余的元素进行递归调用，求解子问题的排列；3）将选取的元素与子问题的排列进行组合。
二、组合问题的解题方法1. 递推公式法：递推公式法是一种求解组合问题的常用方法。
通过递推公式，可以将大的组合问题分解为更小的子问题，并通过递归调用来解决子问题。
具体步骤如下：1）确定组合的元素个数和位置；2）通过递推公式计算每个位置上的元素。
2. 数学公式法：数学公式法是指通过数学公式来求解组合问题。
常用的组合公式有排列组合公式、二项式定理等。
通过应用数学公式，可以快速计算组合问题的解。
具体步骤如下：1）确定组合的元素个数和位置；2）通过数学公式计算每个位置上的元素。
3. 动态规划法：动态规划法是一种求解组合问题的高效算法。
通过定义递推关系和初始条件，可以通过动态规划的方式求解组合问题。
具体步骤如下：1）定义递推关系和初始条件；2）通过递推公式计算每个位置上的元素。
总结：排列与组合问题的解题方法有很多种，选择合适的方法取决于具体的问题和求解的要求。
排列组合解题方法总结
排列组合解题方法总结1. 前言在数学中，排列组合是一种重要的数学概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
排列和组合问题通常涉及到从给定的元素集中选择特定数量的元素并进行排列或组合的方式。
本文将对排列和组合的解题方法进行总结和归纳，希望能帮助读者更好地理解和应用这些方法。
2. 排列问题排列是从给定的元素集中选择特定数量的元素进行排序的方式。
在解决排列问题时，我们常常使用以下两种常见的解题方法：2.1. 乘法法则乘法法则是一种直观且常用的解决排列问题的方法。
根据乘法法则，如果有n个元素要进行排列，第一个位置上有n种选择，第二个位置上有n-1种选择，以此类推，直到最后一个位置上只剩下1种选择。
因此，总的排列数为 n * (n-1) * … * 2 * 1，即 n!（阶乘）。
例如，如果有4个元素要进行排列，那么一共会有 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 种排列方式。
2.2. 公式法除了乘法法则，我们还可以使用公式来求解排列问题。
根据排列的定义，如果从n个元素中选择r个元素进行排列，并且排列顺序很重要，那么排列数可以由下面的公式给出：P(n, r) = n! / (n - r)!其中P(n, r)表示从n个元素中选择r个元素进行排列的方式数。
3. 组合问题组合是从给定的元素集中选择特定数量的元素并形成一个子集的方式。
在解决组合问题时，我们常常使用以下两种常见的解题方法：3.1. 公式法根据组合的定义，如果从n个元素中选择r个元素进行组合，并且组合顺序不重要，那么组合数可以由下面的公式给出：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)其中C(n, r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数。
3.2. 递推法递推法是一种通过递推关系来解决组合问题的方法。
根据组合的性质，我们可以得到以下递推关系式：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)通过逐步推导，可以从基础情况开始递推计算出组合数。
高中数学排列组合解题技巧
高中数学排列组合解题技巧
排列组合问题是高中数学中的一大重点，很多高中生学起来会觉得比较吃力，小编认为掌握一些解题技巧是很有必要的，本文就给各位学生说一说高中数学排列组合解题技巧有哪些?
1.相离问题插空法
相离问题插空法主要用来解决2个或若干个不相邻元素的排列组合问题，是解决排列组合问题的常见方法之一。
它是指先把无位置要求，无条件限制的元素排列好，然后对有位置要求，受条件限制的元素进行整理，再将受条件限制的元素插入到已排列好的无条件限制元素的间隙或两端中。
2.相邻问题捆绑法
相邻问题捆绑法作为排列组合题最为常见的解法之一，就是在解决对于某几个元素相邻问题时，将相邻元素作为整体加以考虑，视为一个“大”元素参与排序，然后再单独对大元素内部各元素间的排列顺序进行一一分析排列。
3.多元问题分类法
多元问题分类主要用解决元素较多，情况多种时的排列组合问题。
它是在弄清题意的基础上，按结果要求将其分成不相容的几类情况加以考虑，分别计数，最后一一相加，进行总计。
4.特殊元素优先安排法
特殊元素优先安排法是指在具有特殊元素的排列组合问题中，应优先对特殊元素进行安排，再考虑其它元素。
以上就是小编带来的高中数学排列组合解题技巧有哪些?学会了本文介绍的相关解题技巧之后，相信以后您就能轻松应对数学排列组合问题了!。
(完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结教学内容1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？443解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
排列组合解题运算技巧
排列组合解题运算技巧
排列组合是概率论和组合数学中的基本概念，解题时需要灵活运用一些技巧。
以下是一些排列组合解题的常见技巧：
排列：
1. 基本定义：排列是指从一组元素中取出一部分元素进行安排，考虑元素的顺序。
2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行排列的方法数为\(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)。
3. 重复排列：如果有重复的元素，需要除以重复元素的阶乘。
组合：
1. 基本定义：组合是指从一组元素中取出一部分元素，不考虑元素的顺序。
2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行组合的方法数为\(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)。
3. 二项式定理：\((a+b)^n\) 的展开式中各项的系数就是\(C(n, r)\)。
常见技巧：
1. 分步法：复杂问题可以分解为若干个简单的排列或组合问题。
2. 分类讨论：当问题中有多个条件时，可以分情况讨论，再求解各种情况下的排列或组合。
3. 相对排列组合：某些问题中，可以将问题转化为相对排列或组合，简化计算。
4. 应用场景：排列组合常见于概率、统计、密码学等领域，多在计数问题中使用。
5. 注意特殊情况：在排列组合中，0的阶乘为1，\(C(n, 0) = C(n, n) = 1\)。
这些技巧在解决排列组合问题时可以提供一些指导。
在具体问题中，理解问题的本质，巧妙应用这些技巧，可以更高效地解决问题。
排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结一、排列组合解题概述排列组合解题是一种常见的数学解题方法，它是从实际问题中抽象出的数学思路，即利用数学的思想研究问题的中可能的不同情况。
它是指将从某概念领域中抽出的元素，按一定规则进行排列组合，以求出符合要求的所有可能情况，并且再对这些可能情况进行比较选择。
二、关于排列组合解题的技巧1、熟悉必要的知识排列组合解题一般有四种情形，分别是无重复排列，有重复排列，无重复组合，有重复组合。
读者在学习排列组合解题技巧时要先熟练掌握这四种情形的基本概念。
2、理解问题为正确解决排列组合解题，必须结合问题本身，仔细阅读题干，弄清所求的具体内容，讨论其间的联系和规律，并把握到全局。
3、合理分类将题目中的个体或要素，按某种形式或方法进行分类，这样就可以有效地缩小解题范围，把问题转化成容易求解的形式。
4、计算概率排列组合解题究竟有多少种可能，有时可以利用数学概率公式，计算概率，从而辅助解题，快速缩小解题步骤，提高解题效率。
5、模拟实验在排列组合解题过程中，可以采用模拟实验的方法，通过模拟试验来找出具体的结果情况，以有效节约解题时间。
6、求解问题求解排列组合解题有三种方法：因式分解法、基本计算法和穷举法。
因式分解法是把问题分解为几个不同的小问题进行全面求解；基本计算法就是用一定的数学计算技巧，用必要的算式和穷举函数，来对复杂的问题进行求解；穷举法就是把所有可能的情况都列出来，逐一筛查出正确的结果。
三、总结排列组合的解题方法，是从实际问题中抽象出的数学思路，它可以帮助我们把复杂的问题转化为容易解答的数学计算。
其具体解题技巧也有很多，这就要求读者先有足够的数学知识，精确把握问题，合理地分类，根据题意来确定使用穷举法、因式分解法、基本计算法等，以最短时间最高效地解决问题。
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排列组合解题技巧归纳总结排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学内容1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有1m种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有1m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A=练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 510C五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 422. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87 六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！A B C D E AE H G F练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mn A n24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
一班二班三班四班六班七班练习题：1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C 十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +。
再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22236423/C C C A 种分法。
将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C -- 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（544213842/C C C A ）2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（22224262/90C C A A =）十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有22112223353455C C C C C C C ++种。
练习题：1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有342. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以nn A (n 为均分的组数)避免重复计数。
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。