归纳综合数列知识点归纳

必修 5

第二章 数列 （复习 1）

一 、等差数列知识点

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，

那么

这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表

示为 a n

a n 1 d ( n 2) 或 a n 1 a n d (n 1)。

2、等差数列的通项公式：

a n a 1 (n 1)d ；说明：等差数列

的单调性：

为数列

当

为常数列，

为递减数列。

3、等差中项的概念：定义：如果

a ， A ，

b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差

其中 A a ， A ， b 成等差数列 。

4、等差数列的前

n 和的求和公式：

。

5、等差数列的性质： （ 1）在等差数列 a n 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（ 2）在等差数列

a n 中，相隔等距离的项组成的数列是 AP ，

如： a 1 ， a 3 ， a 5 ， a 7 ，⋯⋯； a 3 ， a 8 ， a 13 ， a 18 ，⋯⋯；

（3）在等差数列

a n 中，对任意 m ， n N ， a n ， d (m n) ；

（ 4）在等差数列 a n 中，若 m ， n ， p ， q N 且 m

n

p q ，则

；

说明：设数列 { a n } 是等差数列，且公差为 d ，

（Ⅰ）若项数为偶数，设共有

2n 项，则① S 奇

S 偶 nd ； ② S 奇

a n ；

S 偶 a n

1

（Ⅱ）若项数为奇数，设共有

2n 1项，则① S 偶 S 奇 a n

a 中 ；②

S 奇

n 。

S 偶

n 1

（ 2） S n 最值的求法：①若已知 S n ，可用二次函数最值的求法（ n N ）；②若已知 a n ，则 S n 最

值时 n 的值（ n

a n 0

a n 0

N ）可如下确定

或

a

n 1

。

a n

10

变式训练

1， 根据各题的条件，求等差数列

a n

的前 n 项和 S n ，

（ 1） a 1 2,d

5, n 10

（ 2） a 12, a n

6,n 12

（ 3） a 10 2, d 5, n 8

2. 在 1 和 15 之间插入 25 个数，使得所得到的的 27 个数成等差数列。求插入的 25 个数的和 ?

6、数列最值

3,等差数列

a n 的前 n 项和为 S n ，已知 S 9 0, S 10 0 ，则此等差数列的前 n 项和中， n 是多少的

（ 1） a 1 0 ， d 0 时， S n 有最大值； a 1 0 ， d 0 时， S n 有最小值；

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时取最小值？

4，在等差数列a n中，已知 a3a116, 求S13 =？

5，已知 f (x) x 1 x 2 x 3 ........ x 20 , x N 且1 x20（1）分别计算 f (1), f (5), f (20)

（2）当 x 为何值时，f (x)取得最小值？最小值是多少？3．（ 02 京）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为390，则这个

数列有项

4．设数列 { a n} 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是

n 是等差数列｛a n｝的前n项和，若

S

3＝

1

，则

S

6＝

5．（ 06 全国 II ）设 S S63S

12

6．（ 00 全国）设｛ a n｝为等差数列，S n为数列｛ a n｝的前 n 项和，已知 S7＝ 7， S15＝75，T n为数列

S

n

7．（ 02 上海）设｛ a n｝（ n∈N*）是等差数列，S n是其前 n 项的和，且S5＜S6，S6

＝ S ＞ S ，则下列结论错误的是（）

78．．

A. d＜ 0

B.a7＝ 0

C.S9＞ S5

D.S6与 S7均为 S n的最大值

8．（ 94 全国）等差数列 { a n} 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前3m 项和为

巩固提高

1．（ 01 天津理， 2）设 S n是数列 { a n} 的前 n 项和，且 S n=n2，则 { a n} 是数列

2．设a n是公差为正数的等差数列，若a1a2a315 ， a1a2a380 ，则 a11a12a13第二章数列（复习2）

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二、等比数列知识清单

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起 ，

数，那么这

．．．．

．

个数列就叫做等比数列，这个常数叫

；公比通常用字母

q 表示 (q 0) ，

即：

a

n 1

： a n

q q

0) 数列（注意： “从第二项起” 、“常数” q

、等比数列的公比和项都不为零）

(

2．等比数列通项公式为： a n a 1 q n 1 (a 1 q 0) 。

说明：

（ 1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比 q 1 时该数列既是等比数列也是等差数列；

（ 2）等比数列的通项公式知：若

{ a n } 为等比数列，则 a m

q m n 。

a n

3．等比中项

如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a,G, b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的

（两个符

号相同的非零实数，都有两个等比中项）

。

4．等比数列前 n 项和公式

一般地，设等比数列 a 1, a 2 , a 3 , , a n ,

的前 n 项和是 S n a 1 a 2 a 3 a n ，

当 q 1时，

或；

当 q=1 时， S n

na 1 （错位相减法） 。 说明：（ 1）

a 1 , q, n, S n 和

a 1 , a n , q, S n

各已知三个可求第四个；

（ 2）注意求和公式中是 q n

，通项公式中是 q

n 1

不要混淆；

（ 3）应用求和公式时 q

1，必要时应讨论 q 1的情况。

5．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：

如果 a n 是等比数列的第

n 项， a m 是等差数列的第 m 项，且 m n ，

公比为 q ，则有 a n

；

②对于等比数列

a n ，若 n m u v ，则

.

③若数列 a n 是等比数列， S n 是其前 n 项的和， k N *

，那么

，

，

成等比

数列。

变式训练

1， 等比数列 { a n } 中：

（ 1） 已知 a 1

1.5，a 4 96，求 q 与S n

（ 2） 已知 a 1 2，S 3 26，求 q 与a 3

（ 3） 已知 q

1

， s 5 3 7

，求 a 1与 a 4

（ 4） 已知 a 3

4，a 4

6，求 q 与 S 5

2

8

2，三个数成等比，它们的和是

14，它们的积是 64.求这个数列？

3, 三个不同数成等差数列，它们的和是

6，如果将 3 这个 数重新排列，它们又成等比。求这个等

差数列？

n(n 1)

4，等比数列

a n 的公比为 q ，求证 a 1a 2......a n a 1n q 2

5，在数列 a n 中。 S n 1 4a n 2且 a 1 =1

（ 1） 设

b n

a n 1 2a n ,求证数列

b n 是等比数列

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