《应用一元一次方程——水箱变高了》示范公开课教学设计【北师大版七年级数学上册】

第五章一元一次方程
5.3应用一元一次方程——水箱变高了
教学设计
一、教学目标
1．通过分析图形、问题中的数量关系，建立方程解决问题．
2．进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程模型的重要性.
3.解决生活中相关的等积变形和等周长变形问题，使学生进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，列出方程．
二、教学重点及难点
重点：分析等量关系，建立方程．
难点：关键是让学生抓住问题变化中的不变量，确定等量关系，列出方程．
三、教学准备
实物投影，课件，2瓶纯净水，量杯，橡皮泥，30厘米长的铁丝.
四、相关资源
动画《阿基米德检验皇冠》故事，动画《应用一元一次方程——水箱变高了》
五、教学过程
【复习回顾】复习回顾，引入新课
动画《阿基米德检验皇冠》故事
情境1：同学们都听说过“阿基米德检验皇冠”的故事吧，那么：阿基米德要判断制作精美的皇冠是否纯金的，必须得知道皇冠的体积，那么在故事中阿基米德是用什么方法算出皇冠的体积的？
在这个问题的讨论交流中，学生不难发现：皇冠的体积＝溢出容器的水的体积．
设计意图：故事的讲述侧重点要尽量倾向于建立“皇冠体积＝溢出水的体积”的等量关系，为感受等量关系提供直观素材．
【新课讲解】合作交流，新课讲解
探究一：
问题1：复习常见图形的体积、面积、周长公式．
师生活动：结合提出的问题，组织学生讨论，重视图形变化过程中相等关系的建立，
理顺变量与不变量的关系．教师可组织学生多做几个橡皮泥的图形变化，借此复习各种立
体图形的体积公式，为例题的教学积累数学活动经验，化解难点，排除知识障碍．（1）常用的体积公式：
长方体的体积＝长×宽×高；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h．
（2）常用的面积、周长公式：
长方形的面积＝长×宽；长方形的周长＝2×（长＋宽）；正方形的面积＝边长×边长；正方形的周长＝边长×4；
三角形的面积＝1
2
×底×高；平行四边形的面积＝底×高；梯形的面积＝
1
2
×（上底
＋下底）×高；
圆的面积＝πr2；圆的周长＝2πr．
问题2.解决问题：
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱，现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积需要将它的底面直径由4m减少为3.2米，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4米增高为多少米？
解：设水箱的高为x厘米．
根据题意，得π×（1.6）2×x＝π×22×4．
解得x＝6.25．
答：水箱的高变成了6.25厘米．
探究二：
如下图，将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
（1）讨论分析：在锻压过程中哪些量改变了？哪些量没变？问题中的等量关系是什么？
设计意图：由情境2的启发，学生很容易得出结论．
圆柱的底面直径和高发生了变化，但圆柱的体积没有改变．所以，在这个问题中的等量关系是：锻压前的体积＝锻压后的体积．
（2）列表分析：设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表：
（单位：厘米）
解：
根据题意，得π×52×x＝π×102×9．
解得x＝36．
答：锻压后高变成了36厘米．
（3）规律探究：圆柱在锻压过程中，随着直径的变化，圆柱高度的变化有什么规律？
2010 5
当圆柱直径为40时，高度变为2.25；当圆柱直径为5时，高度变为144．观察直径和高的变化规律，不难发现：圆柱在锻压过程中体积不变，随着直径逐渐变小，圆柱高度不断增大．
（4）你认为解决问题的关键是什么？你采用了什么方法辅助分析？在解题过程中有哪些易错点？
在分析问题过程中最关键的是抓住锻压变化中的不变量——物体的体积．为了更好地理清问题中的变量和不变量以及它们之间的关系可以采用图示法或列表法．设计意图：在解题过程中，学生易出现半径与直径混淆、算式中直接用3.14替代π、圆柱体积计算公式遗忘等问题，要注意及时纠正．
【典型例题】
例1.用一根长为10米的铁丝围成一个长方形．
（1）使得该长方形的长比宽多1.4 m，此时长方形的长、宽各为多少米？
（2）使得该长方形的长比宽多0.8 m，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？
师生活动：用你手里的线绳亲自动手操作，根据你的生活经验和操作过程以及用一元一次方程解决实际问题的基础，分组独立完成例1中的（1）（2）（3）三个问题．选派小组代表板演解题过程，教师规范步骤、发现问题及时指出并加以纠正．
解：（1）设此时长方形的宽为x m ， 则它的长为（x ＋1.4）m ．
根据题意，得[x ＋（x ＋1.4）]×2＝10． 2x ＝5－1.4.x ＝1.8． x ＋1.4＝1.8＋1.4＝3.2．
此时长方形的长和宽分别为3.2 m 、1.8 m ． （2）设此时长方形的宽为x m ， 则它的长为（x ＋0.8） m ．
根据题意，得[x ＋（x ＋0.8）]×2＝10． 2x ＝5－0.8，x ＝2.1． x ＋0.8＝2.1＋0.8＝2.9．
此时长方形的长和宽分别是2.9 m 和2.1 m ．它围成的长方形的面积为2.1×2.9＝6.09（m 2）．而（1）中长方形的面积为 3.2×1.8＝5.76（m 2）．此时长方形的面积比（1）中面积增大6.09－5.76＝0.33（m 2）．
（3）设正方形的边长为x m ． 根据题意，得4x ＝10，x ＝2.5.
正方形的边长为2.5 m ，它所围成的面积为2.5×2.5＝6.25（m 2），比（2）中面积增大6.25－6.09＝0.16（m 2）．
讨论：解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验．
解答这道题的关键是要认识到在改变长方形的长和宽的同时，长方形的周长不变，始终是铁丝的长度（10 m ），由此便可建立等量关系；同时我们也发现，虽然长方形的周长不变，但改变长方形的长和宽时，长方形的面积却在发生变化，而且大家发现长和宽越接近面积就越大．
2．（1）一个圆柱体，半径增加到原来的3倍，而高变成原来的1
3
，则变化后的圆柱体体积是原来圆柱体体积的（ B ）．
A ．2倍
B ．3倍
C ．6倍
D ．8倍
（2）将一灌满水的直径为40厘米、高为60厘米的圆柱形水桶A 里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶B 里．问这时水桶B 里的水的高度是多少厘米？若设水的高度是x 厘米．下面方程正确的是（ B ）．
A ．π×40×60＝π×30x
B ．π⎝⎛⎭
⎫4022
×60x ＝π×302
C ．π⎝⎛⎭⎫4022
×60＝π×302x D ．π×402×60＝π×302
x
设计意图：有了“分析问题，探究新知”环节作铺垫，找出引例问题中等量关系比较容易，教师要注意组织学生对“解题感悟”的反思和提升，对于学生在解题过程中出现的列式计算问题，教师应及时指出并加以纠正．
【随堂练习】
1．用5.2米长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6米，求围成的长方形的长为多少米？设长方形的宽为x 米，可列方程为（ ）．C A ．x ＋（x ＋0.6）＝5.2 B ．x ＋（x －0.6）＝5.2 C ．2（x ＋x ＋0.6）＝5.2 D ．2[x ＋（x －0.6）]＝5.2
2.把一块长、宽、高分别为5 cm 、3 cm 、3 cm 的长方体木块，浸入半径为4 cm 的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）
分析：相等关系：水面增高体积＝长方体体积． 解：设水面增高x 厘米． 根据题意，得π×42×x ＝5×3×3． 解得x ＝
45
16π
≈0.9． 因此，水面增高约为0.9厘米．
3．如下图，墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？
师生活动：鼓励学生自主思考解答，然后小组交流，各小组选出代表上台讲解，教师适时点评．
分析：等量关系是变形前后周长相等． 解：设长方形的长是x 厘米．
根据题意，得2（x ＋10）＝10×4＋6×2． 解得x ＝16．
因此，小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米．
设计意图：改变问题情境，解决生活中的常见的形变问题，强化应用意识．
六、课堂小结
本节课你有什么感受和收获？
1．通过对引例的理解，我们知道“锻压前体积＝锻压后体积”，“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题的关键．其中也蕴涵了许多变与不变的辨证的思想．2．遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题中的等量关系，借此列出方程，并进行方程解的检验．
3．学习中要善于将复杂问题简单化、生活化，再由实际背景抽象出数学模型，从而解决实际问题．
七、板书设计。