实数与数轴上的点.

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数轴的认识与运算知识点总结

数轴的认识与运算知识点总结数轴是一种用于表示和比较数值大小的图形工具。

它可以帮助我们直观地理解和应用数学中的一些基本概念和运算规则。

本文将对数轴的认识与运算知识点进行总结，帮助读者全面了解和掌握数轴的使用方法。

一、数轴的基本概念数轴是一条直线上的点，每个点代表一个实数。

数轴上有一个原点，通常表示为0，它把数轴分成两部分，左边是负数，右边是正数。

任意一点的位置可以用它到原点的距离来表示，距离是非负实数。

二、数轴的表示和标记为了方便使用数轴，我们需要将它进行适当地表示和标记。

通常，我们用一条带有箭头的直线来表示数轴，箭头指向正方向。

数轴上的每个点都对应着一个实数，我们可以在数轴上标记出关键的实数，例如整数、分数和根号等。

三、数轴上的点与实数的关系数轴上的每个点都与一个实数相对应，它们之间存在一一对应的关系。

由于数轴上的点可以表示实数的大小关系，我们可以通过数轴来比较实数的大小，并判断实数之间的相对位置。

四、数轴上的运算1. 加法：在数轴上表示加法运算时，我们可以把两个实数在数轴上的位置相加，得到它们的和的位置。

例如，在数轴上表示2+3的运算时，我们可以从2出发向右移动3个单位，得到5的位置。

2. 减法：在数轴上表示减法运算时，我们可以把被减数在数轴上的位置减去减数在数轴上的位置，得到它们的差的位置。

例如，在数轴上表示5-2的运算时，我们可以从5的位置向左移动2个单位，得到3的位置。

3. 乘法：在数轴上表示乘法运算时，我们可以先在数轴上表示被乘数的位置，然后按照乘数的大小进行长度的改变，得到乘积的位置。

例如，在数轴上表示2×3的运算时，我们可以从2的位置出发，按照3的倍数进行长度的改变，得到6的位置。

4. 除法：在数轴上表示除法运算时，我们可以先在数轴上表示被除数的位置，然后按照除数的大小进行长度的改变，得到商的位置。

例如，在数轴上表示6÷2的运算时，我们可以从6的位置出发，按照2的倍数进行长度的改变，得到3的位置。

实数与数轴的关系

课题实数与数轴的关系教学目标1. 理解实数与数轴上的点一一对应关系，能估算无理数的大小2. 会求实数的相反数、倒数、绝对值，能比较实数的大小重难点透视 1．实数与数轴的关系、大小比较、估算和运算教学内容知识整理1、实数与数轴的关系实数与数轴上的点是一一对应的。

每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数。

例题：如图，数轴上点A 表示的实数是．2、实数的相反数与绝对值相反数:数a 的相反数是-a ，这里a 表示任意一个实数。

例：3的相反数是3-。

0的相反数等于0. 绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是他的相反数；0的绝对值是0。

（1）任何实数的绝对值都是非负数。

即0≥a（2）互为相反数的两个数的绝对值相等，即a a -=例题：的相反数是．3、实数的运算实数之间可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。

（1）实数运算的限制条件：除法运算中除数不能是0，负数不能进行开平方运算。

（2）实数运算的不同结果：若未要求近似计算，则可保留根号或π；若要求近似计算，则用近似有限小数去代替无理数。

（3）实数的混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。

4、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.例题：比较52和0.5的大小基础训练1．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a ﹣b |的结果为（）A ．a +bB ．a ﹣bC ．b ﹣aD ．﹣a ﹣b2．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n +q ＝0，则m ，n ，p ，q 四个实数A．p B．q C．m D．n3．在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（）A．②③ B．②③④C．①②④D．②④4．计算题（1）（2）（4）（3）（5）|﹣3|+（6）（7）（8）5．实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简：+|a﹣b|+﹣|b﹣c|（1）和4；（2）和0.5．7．已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．（1）求a，b的值；（2）比较a+b的算术平方根与的大小．8.在数轴上表示下列各数，π，|﹣4|，0，﹣，并把这些数按从小到大的顺序进行排列9.如图所示是小军同学设计的一个计算机程序，请你仔细看懂后完成下题：（1）若输入的数x＝5，输出的结果是．（2）若输出的结果是0且没有返回运算，输入的数x是．（3）请你输入一个数使它经过第一次运算时返回，经过第二次运算则可输出结果，你觉得可以输入的数是，输出的数是．提高训练1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（）A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b2．如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（）A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n3．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点A是BC的中点，则点C所表示的数为（）A．B．1﹣C．D．2﹣4．实数a、b在数轴上的对应位置如图所示，化简|2a﹣b|﹣|b﹣1|+|a+b|．5．已知a，b为正实数，试比较+与+的大小．6．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．7．已知a、b分别是6﹣的整数部分和小数部分．（1）分别写出a、b的值；（2）求3a﹣b2的值．8、已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求（﹣a）3+（b+3）2的值．9．计算：（1）2+++|﹣2| （2）+﹣．3 （3）+|﹣2|++（﹣1）2011（4）||+||+．（5）|﹣3|﹣×+（﹣2）3．（6）﹣14﹣2×．10．化简求值：（），其中a＝2+．11、若的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b﹣的值．12、已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．课后作业1.计算：﹣+||+．2．计算：．3．求值：+（）2+（﹣1）2015．4．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求的值。

数轴的基本概念

数轴的基本概念一、引言数轴是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解数学中的各种概念和问题。

在本文中，我们将详细介绍数轴的基本概念，包括什么是数轴、数轴的构成、数轴上的点、实数和有理数在数轴上的表示等内容。

二、什么是数轴1.定义：数轴是一条直线，它用来表示实数集合。

2.构成：数轴由一个无限长的直线和一个原点组成。

原点通常被标记为0。

3.性质：数轴上任意两个点之间都有且只有一个距离，并且距离可以用正实数表示。

三、数轴上的点1.定义：在数轴上，每个点都对应着一个实数。

2.坐标系：我们可以使用坐标系来描述每个点在数轴上的位置。

坐标系通常由两个垂直于彼此的直线组成，其中一条被称为x-轴，另一条被称为y-轴。

x- 轴与y- 轴相交于原点(0, 0)。

3.坐标：在坐标系中，每个点都可以用一个有序对(x,y)来表示。

在一维数轴上，每个点只需要一个坐标，通常用x来表示。

4.范围：数轴上的点可以是任意实数，因此数轴是一个无限集合。

四、实数和有理数在数轴上的表示1.实数：实数是包括有理数和无理数的所有实数。

在一维数轴上，每个实数都可以用一个唯一的点来表示。

例如，π和√2都是无理数，在一维数轴上它们分别对应着两个不断无限不循环地延伸的线段。

2.有理数：有理数是可以表示为两个整数之比的实数。

在一维数轴上，每个有理数都可以用一个唯一的点来表示。

例如，1/2和-3/4分别对应着两个线段。

3.正负号：在一维坐标系中，正方向通常被定义为向右移动。

因此，在这种情况下，正实数位于原点右侧，而负实数位于原点左侧。

五、总结本文介绍了关于数字中心概念——数轴的基本概念。

我们讨论了什么是数字中心、数字中心的构成、数字中心上的点以及如何在数字中心上表示不同类型的数字(即实数和有理数)。

希望这篇文章能够帮助读者更好地理解数字中心的概念，从而更轻松地学习和掌握相关的数学知识。

初中数学实数与数最新轴上的点的一一对应关系沪科版分析

实数与数轴上的点的一一对应关系沪科版分析1、（重题，请删除）己知a与b互为相反数，c与d互为倒数，e的绝对值为1，求的值。

答案=1+2007-0=2008. 解析2、如图，已知□ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是AB边上的一动点（动点E与点A不重合，可与点B重合），设AE＝x 答案B 解析3、如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥轴，AC∥轴，△ABC的面积记为，则A．答案B 解析4、︳－3︳的值等于答案A 解析考点：绝对值．分析：根据绝对值的性质一个负数的绝对值等于这个数的相反数，直接就得出答案．解：|-3|=3，故选：A．5、观察下列各式：……计算：3×(1×2+2×3+3×4+…+99×100)=A．97×98×99B．98×99×1 答案C 解析6、下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是答案B 解析7、（2014?宜宾县模拟）图形分割是令人困惑有趣的．比如将一个正方形分割成若干锐角三角形，要求分割的锐角三角的个数答案A 解析试题分析：根据轴对称图形的性质直接得出全等三角形即可．解：∵图④是一个轴对称图形，∴图④中全等三角形有△AFC≌△EGC，△AFB≌△EGD，△BFN≌△DGN一个有3对．故选；A．点评：此题主要考查了全等三角形的判定和轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出是解题关键．8、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC-=0B 答案B 解析9、一个平行四边形绕着对角线的交点旋转90°能够与本身重合，则该平行四边形为（;答案C 解析考点：旋转的性质；正方形的判定．分析：根据题意，该四边形的对角线互相垂直平分且相等．解答：解：因为平行四边形对角线互相平分，绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，说明对角线互相垂直平分且相等，所以该四边形是正方形．故选C．点评：此题考查了平行四边形的性质及与特殊四边形的关系，属基础题．解题时要根据旋转的性质解答．10、下列说法正确的是答案D 解析11、下列各图中，是中心对称图形的是图答案D 解析12、下列各数中是整数的是(;).A．B．C．D．答案B 解析13、某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润.若该商品标价为28元，则商品的进价为：A．21元B．19.8元答案A 解析14、用化学方程式表示下列反应原理：(1)如图：甲、乙组成元素相同且常温下均为液体，甲常用于实验室制取氧气（反应产物为答案(1)?? 2H2O2=2H2O＋O2↑或2H2O2H2↑＋O2↑等(2)?CO2＋Ca(OH)2＝CaCO3↓＋H2O(3) Zn+H2SO4=ZnSO4+H2↑解析15、－(－2)＝A．－2B．2C．±2D．4 答案B 解析16、如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，设点P运动的路答案B 解析17、动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元．某日动物园售出门票700张，共得29000元．设儿童票售出答案A 解析18、经过平移后得到，则的对应角和的对应边分别是（;）A．、答案C 解析19、下列分解因式正确的是答案B 解析20、下面四个数中比－2小的数是（）A 答案D 解析21、练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元.如果设水性笔的单价为元，那么下列所列方答案A 解析22、下列函数不属于二次函数的是（;）答案解析23、如图，是一个实物在某种状态下的三视图，与它对应的实物图应是（;）. 答案A 解析考点：由三视图判断几何体．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为圆台，从左视图和主视图可以看出是一个站立的圆台．只有A满足这两点，故选A．24、观察图a－图d,对应每个图形下面都有一个推理或判断.4个推理或判断中，你认为正确的个数有（）. 答案B 解析25、-2的相反数是A．2B．C．D．-2 答案A 解析26、若在实数范围内有意义，则的取值范围是（; 答案C 解析27、温度从-2℃上升3℃后是（m 答案A 解析28、的相反数是A．B．C．D．答案C 解析29、经过直线外一点，有几条直线和已知直线平行n 答案B 解析30、如图，点A在双曲线上，且OA＝4，过A作AC⊥轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为( 答案C 解析31、函数的自变量x的取值范围是A．B．C．D．答案B 解析32、如图，已知正方形ABCD的边长为4 ，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于F, 设BE=，FC=，答案A 解析33、（2014?射阳县一模）为治理大气污染，保护人民健康．某市积极行动，调整产业结构，压减钢铁生产总量，2013年某答案D 解析试题分析：首先根据降低率表示出2014年的产量，然后表示出2015年的产量，令其等5000即可列出方程．解：设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，则2014年的产量为9700（1﹣x），2015年的产量为9700（1﹣x）2，故选D．点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．计算：【小题1】（-3）0-+|1-|; 答案【小题1】（-3）0-+|1-|??????????? =1-3+-1???????? =-3+【小题2】(4ab3－8a2b2)÷4ab＋(2a＋b)(2a－b) =b2-2ab+4a2-b2………………………1分= -2ab+4a2……………………………1分当a＝2，b＝1时原式= -2×2×1+4×22………………1分=12 解析34、已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（答案D 解析。

数字空间知识点总结归纳

数字空间知识点总结归纳数字空间是指数字在一个特定范围内的分布和变化规律。

数字空间知识点包括数轴、整数、有理数、无理数等内容，这些知识点是我们学习数学的基础，也是解决实际问题的重要工具。

在本文中，我们将对数字空间的相关知识点进行总结归纳。

一、数轴数轴是用来表示实数的一种图形工具。

数轴上的每个点都对应着一个实数，并且实数和数轴上的点是一一对应的。

数轴的原点是零点，正方向是向右，负方向是向左。

数轴上的相邻两个整数之间的距离是1。

数轴的刻度表示了不同的整数或分数，使得我们可以方便地表示和比较不同的数值。

二、整数整数包括正整数、负整数和零。

在数轴上，整数可以表示为一些分布在数轴上的点。

整数的运算包括加法、减法、乘法和除法，可以通过数轴上的移动和取点来进行统一的表示和理解。

在整数运算中，我们需要注意正数和负数的运算规律，以及零的特殊性。

三、有理数有理数是可以表示为一个整数分数的数，包括正有理数、负有理数和零。

有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法，我们可以通过数轴上的分布和比较来理解有理数的加减乘除规律，以及有理数的大小比较。

有理数的运算规律是有整数运算规律的推广，我们需要注意整数运算规律在有理数中的适用。

四、无理数无理数是不能表示为一个整数分数的数，包括无限不循环小数和无限不循环十进制小数。

无理数在数轴上的分布是与有理数交叉混合的，无理数的大小关系和运算规律需要通过数线上的点表示和比较来理解和推导。

无理数的运算涉及到实数运算，我们需要了解有理数和无理数的运算规律，以及实数的特点和性质。

五、小数小数是有限或无限、循环或不循环的十进制小数。

小数可以转化为分数表示，也可以通过小数加法、减法、乘法和除法来进行运算。

小数的运算涉及到有理数和实数的运算，我们需要了解小数的表示方式、运算规律和四舍五入等知识。

六、分数分数是以分子和分母的形式表示的有理数，分数可以用来表示整数、小数和比率。

分数的运算包括加法、减法、乘法和除法，分数的大小关系和比较可以通过数轴上的分布和比较来理解。

实数和数轴上的点一一对应

动脑思考
比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可.
巩固知识典型例题
需要判断它们差的符号．通常需要利用
实数和数轴上的点一一对应．
“正数之和为正数”，“负数之和为负数”，
巩固知识典型例题
如何利用数们的差即可.
动脑思考探索新知
比巩左固边知的识点典对型应例的题实不数等大式.的基本性质
“正数之和为“正数”正，“数负数之之和为和负数为”，正数”，“负数之和为负数”，
“同号相乘为正”，“异号相乘为负”等结论.
运用知识强化练习
教材练习
（1）比较 4 与 5 的大小； 79
（2）比较13 与1.63 的大小； 5
（3）当a b 1时，比较a b与a b 2 的大小．
运用知识强化练习
第2章不等式
2.1不等式的性质
知识回顾揭示课题
问题1 实数与数轴上的点是如何对应的？问题2 在数轴上表示出与实数－2、－1、0、2、4对应的点. 问题3 如何利用数轴上的点比较这五个数的大小？
知识回顾揭示课题
ABC D
E
x
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
实数和数轴上的点一一对应．数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大.
动脑思考探索新知
对于两个任意的实数 a 和 b，有： ab0ab； ab0ab； ab0ab．
比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可.
巩固知识典型例题
比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可.
例 1 比较 2 与 5 的大小． 38
例 2 当 a b 0 时，比较 a 2 和b 1的大小．
归纳小结自我反思
采用了怎样的学习方法？

初中数学实数与数轴上的点的一一对应关系部审湘教版20最新19

实数与数轴上的点的一一对应关系部审湘教版20191、已知，化简二次根式的正确结果是答案A 解析2、如果,那么这两个数( 答案B 解析3、下列运算中错误的有（答案B 解析4、如图所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是A 答案C 解析5、2011年，某地区有54310人参加中考，将54310用科学记数法（保留2个有效数字）表示为（答案C 解析6、已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，－3）,那么该抛物线有（; ▲;）A 答案B解析7、下面图形中不是中心对称图形的是答案C 解析8、如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具找到圆形工件圆心的最少使用次数是（;）A．答案B 解析考点：垂径定理的应用．分析：根据垂径定理的推论可得，CD 所在直线是直径的位置，而两个直径的交点即为圆心，故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．故选B。

9、如图，已知□ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是AB边上的一动点（动点E与点A不重合，可与点B重合），设AE＝x 答案B 解析10、下列图形中，中心对称图形有（;）．; 答案C 解析11、下列图形中，对称轴有且只有3条的是（;）A．菱形B．等答案B 解析12、如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B 答案C 解析13、下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是（;答案C 解析14、如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数答案B 解析15、某件商品连续两次9折降价销售,降价后每件商品售价为a元,则该商品每件原价为(;答案D 解析16、如图，正方形ABCD的边长为5，P为DC上一点，设DP=x，△APD的面积为y,关于y 与x的函数关系式为：y=, 答案B 解析17、计算：【小题1】(1 + )－()0【小题2】+ ――答案【小题1】原式?????【小题2】原式== 解析18、下面是空心圆柱的两种视图，正确的是（; 答案B 解析19、在如图所示的4×4的正方形网格中，△ＭＮＰ绕某点旋转一定的角度，得到△Ｍ1Ｎ1Ｐ1 ，则其旋转中心可能是（）答案B 解析考点：旋转的性质．分析：连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．解答：解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选B．点评：本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．20、不等式组的正整数解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C 解析21、如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（; ▲;）A．2 答案D 解析22、-5的倒数是A．5B．C．-5 D．答案D 解析23、若,则下列结论不正确的是（）A．答案B 解析24、（2012?潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋答案C 解析试题分析：分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答案．解：A、若放入黑（3，7）；白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形，故本选项正确；D、若放入黑（3，7）；白（2，6），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选C．点评：此题考查了轴对称图形的定义，属于基础题，注意将选项各棋子的位置放入，检验是否为轴对称图形，有一定难度，注意细心判断．25、小明拿一张50元的人民币到银行等额换取5元或10元的人民币，请问小明换钱方式有（n 答案C 解析26、某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下:80，90，75，75，80，80.下列表述错误的是A．众数是80B．中答案B 解析27、（重题，请删除）下面是在博物馆里的一段对话.管理员：先生，这个化石有800002年了. 参观者：你怎么知道得这么答案解法一是错误的。

八年级上册实数知识点及练习

第四章实数一、实数1、实数的定义：有理数和无理数统称实数。

2、分类：正有理数有理数0 有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数二、无理数1、无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。

2、常见的无理数：（1）所有开方开不尽的方根。

（2）化简后含有π的数。

（3）无限不循环小数。

3、无理数的小数部分的表示一个无理数减去整数部分，差就是小数部分。

如：√2的整数部分是1，因此√2的小数部分就是√2−1；π的小数部分就是π−3.三、实数与数轴上的点的对应关系1、实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数。

【提醒：任意两个实数之间都有无数个有理数和无数个无理数。

】2、利用实数与数轴的对应关系解题例、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则√(a+b)2+a的化简结果为。

四、实数大小的比较方法1、一般方法（1）性质比较法：正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数；两个负数相比，绝对值大的反而小。

（2）数轴比较法：右边点表示的数总比左边点表示的数大。

（3）差值比较法（4）商值比较法2、特殊比较法（1）平方法（2）倒数比较法3的大小：。

例、比较2，√5，√7五、平方根、算术平方根1、平方根的概念：如果x2=a，那么x 叫做a的平方根。

2、平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。

（2）0的平方根是0.（3）负数没有平方根。

3、平方根的表示方法正数a的算数平方根可以用√a表示；正数a的负的平方根，可以用“−√a”表示，故正数a的平方根可以用符号“±√a”表示，读作“正、负根号a”.4、平方根与算术平方根的联系（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是该数的算术平方根。

（2）相同点：只有非负数才有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.5、开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中数a叫作被开方数。

4.3实数(十大题型)(解析版) 八年级数学上学期

八年级上册数学《第4章实数》4.3实数◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.◆2、实数的分类：（1）按定义分类．（2）按性质分类.◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.◆2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.◆3、实数的大小比较①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；②两个正实数，绝对值大的数较大；③两个负实数，绝对值大的数反而小.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．◆1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.◆2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数，则|a|=o＞0)0(=0)−o＜0)◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.◆3、实数的运算律.①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交换律：ab＝ba；④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)⑤分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.①被开方数一定是非负数，即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a≥0.【例题1】（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：①﹣3.14，②2π，③−13，④0.618，⑤−16，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨227，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．整数集合：{……}；分数集合：{……}；无理数集合：{……}．【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空．【解答】解：整数有：⑤−16=−4，⑥0，⑦﹣1，⑧+3；分数有：①﹣3.14，③−13，④0.618，⑨227；无理数有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），故答案为：⑤⑥⑦⑧；①③④⑨；②2⑩．【点评】本题考查了实数的定义，解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义．【变式1-1】（2022秋•社旗县期末）实数−13，−6，0，﹣1中，为负整数的是（）A．﹣1B．−6C．0D．−13【分析】根据实数的分类进行解答即可．【解答】解：这一组数中的负整数是﹣1．故选：A．【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•宁波期中）下列实数：2，39，1，2，−73，0.3⋅，分数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据实数的分类及分数的定义进行解答即可．−73，0.3⋅共3个．故选：B．【点评】本题考查的是实数，熟知所有的分数都是有理数是解题的关键．【变式1-3】（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（）A．实数包括有理数、无理数和零B．有理数包括正有理数和负有理数C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D．无论是有理数还是无理数都是实数【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念，注意容易混淆的知识点．【解答】解：有理数和无理数统称为实数，0属于有理数，故A错误，有理数包括正有理数、负无理数和0，0既不是正数也不是负数，故B错误，无限不循环的小数是无理数，故C错误，实数分为有理数和无理数，故D正确．故选：D．【点评】考查了实数的概念，以及有理数和无理数概念及分类．【变式1-4】下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③2的算术平方根是2；④无理数是带根号的数．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B；【分析】直接利用有关实数的性质分别分析得出答案．【解答】解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故原题说法错误；②实数包括无理数和有理数，故原题说法正确；③2的算术平方根是2，故原题说法正确；④无理数是无限不循环小数，故原题说法错误，例如4=2是有理数．故选：B．【变式1-5】（2022春•夏津县期末）下列说法中错误的是（）A．3−27是整数B．−1713是有理数C．33是分数D．9的立方根是无理数【分析】根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的意义，即可解答．【解答】解：A、∵3−27=−3，∴3−27是整数，故A不符合题意；B、−1713是有理数，故B不符合题意；C、33是无理数，不是分数，故C符合题意；D、∵9=3，3的立方根是33，33是无理数，∴9的立方根是无理数，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数，无理数的意义是解题的关键．【变式1-6】（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：33，−4，−34，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）【分析】根据无理数以及正实数的定义，在给定实数中分别挑出无理数以及正实数，此题得解．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【变式2-7】（2023秋•滨湖区期中）将下列各数的序号填入相应的括号内：①﹣2.5；②313；③0；④2；⑤﹣8；⑥10%；⑦−27；⑧﹣1.12121112…；⑨2；⑩−0.345⋅⋅．整数集合：{…}；负分数集合：{…}；正有理数集合：{…}；无理数集合：{…}．【分析】根据实数的分类，即可解答．【解答】解：整数集合：{③⑤⑨…}；负分数集合：{①⑦⑩…}；正有理数集合：{②⑥⑨…}；无理数集合：{④⑧…}．故答案为：③⑤⑨；①⑦⑩；②⑥⑨；④⑧．【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．【例题2】（2022•海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜0B．a＜b C．b+5＞0D．|a|＞|b|【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．【变式2-1】（2022春•南岸区期中）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜2，则b的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3【分析】先判断b的范围，再确定符合条件的数即可．【解答】解：∵1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b只能是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．【变式2-2】（2023秋•昌黎县期中）如图，在数轴上，点A表示实数a，则a可能是（）A．−12B．−10C．−8D．−3【分析】根据数轴可得−9＜＜−4，再逐一分析各选项的数据即可．【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，∴−9＜＜−4，∵9＜12，9＜10，∴−12＜−9，−10＜−9，故A，B不符合题意；∵3＜4，∴−3＞−4，故D不符合题意；∵4＜8＜9，∴−9＜−8＜−4，即−3＜−8＜−2，故选：C．【点评】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．【变式2-3】（2023秋•新吴区校级期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2020将与正方形上的哪个字母重合（）A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D【分析】正方形滚动一周的长度为4，从﹣2到2020共滚动2022，由2022÷4＝505......2，即可作出判断．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴正方形的周长为4，∴正方形滚动一周的长度为4，∵正方形的起点在﹣2处，∴2020﹣（﹣2）＝2022，∵2022÷4＝505......2，∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合，故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，根据正方形的特点找出滚动规律是解题的关键．【变式2-4】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，2．【分析】先计算﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数，然后写出它们的大小关系．【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，用数轴表示为：，它们的大小关系为﹣|﹣4|＜﹣1.5＜0＜﹣（﹣1）＜2＜3．【变式2-5】（2022春•海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、5的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（）A．5−1B．1−5C．5−2D．2−5【分析】设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可．【解答】解：设C点表示的数为x，则r52=1，解得x＝2−5．故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．【变式2-6】（2023•市南区一模）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．1＜|a|＜b B．1＜﹣a＜b C．|a|＜1＜|b|D．﹣b＜a＜﹣1【分析】根据相反数的意义，绝对值的性质，有理数的大小比较，可得答案．【解答】解：由题意，得1＜|a|＜b，1＜﹣a＜b，﹣b＜a＜﹣1，故C符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用相反数的意义，绝对值的性质，数轴上的点右边的总比左边的大是解题关键．【变式2-7】（2023春•岳池县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为1+【分析】根据正方形的面积求出正方形的半径，即圆的半径为5，所以E点表示的数为OE的长度，即1+5．【解答】解：∵正方形的面积为5，∴AB为5；∵以A点为圆心，AB为半径，和数轴交于E点，∴AE＝AB=5；∵A点表示的数为1，∴OE＝OA+AE＝1+5故答案为：1+5【点评】本题主要考查了实数与数轴的位置关系，结合正方形面积以及圆的半径考查．解题关键是求出OE的长度．【变式2-8】（2022秋•西安月考）如图，已知实数−5，﹣1，5，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D．（1）求点C与点D之间的距离；（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值．【分析】（1）根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案；（2）先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值，再求a﹣b即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，点C与点D之间的距离为3−5；（2）根据题意可得，a＝|﹣1+5|=5−1，b＝3−5，a﹣b=5−1﹣（3−5）＝25−4．【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．【例题3】实数−3的绝对值是（）A．3B．C．−3D．33【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：实数−3的绝对值是：3．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．【变式3-1】−2的相反数是（）A．−2B．2CD．2【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得−2的相反数是：2．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．【变式3-2】（2023春•潮南区期中）5−2的相反数是（）A．﹣0.236B．5+2C．2−5D．﹣2+5【分析】根据相反数的定义即可得出结论．【解答】解：5−2的相反数是2−5．故选C．【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．【变式3-3】（2023春•京山市期中）下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与(−2)2B．﹣2与3−8C．﹣2与−12D．2与|﹣2|【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、(−2)2=2，﹣2与(−2)2是互为相反数，故本选项正确；B、3−8=−2，﹣2与3−8相等，不是互为相反数，故本选项错误；C、﹣2与−12是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，对各项准确计算是解题的关键．【变式3-4】（2023秋•秦都区校级月考）下列说法正确的是（）A．2的绝对值是22B．2的倒数是22C．2的相反数是22D．4的平方根为±2【分析】根据绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识分别对四个选项进行分析．【解答】解：2的绝对值是2，所以A选项不正确；2的倒数是22，所以B选项正确；2的相反数是−2，所以C选项不正确；4的平方根是±2，所以D选项不正确．故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识．【变式3-5】填空：（1）5的相反数是，绝对值是；（2）3−1的相反数是，绝对值是；（3）若|x|=3，则x＝．【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．【解答】解：（1）5的相反数是−5，绝对值是5；（2）3−1的相反数是1−3，绝对值是3−1；（3）∵|x|=3，∴x=±3．故答案为：（1）−5，5；（2）1−3，3−1；（3）±3．【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，掌握绝对值等于3的数有2个是解题的关键．【变式3-6】（2022秋•余姚市校级期中）a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）求o+p+2−的值．【分析】（1）直接利用算术平方根的概念以及立方根的概念、倒数的概念分别分析得出答案；（2）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、算术的性质分析得出答案．【解答】解：（1）∵a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数，∴a＝2，b＝3，c＝5；故答案为：2，3，5；（2）原式=2(3+5)+22−2×5=6+25+4−25=10．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式3-7】（2022秋•芗城区校级月考）31−2与33−2互为相反数，求代数式6x﹣9y+5的值．【分析】由题意得方程1﹣2x+3y﹣2＝0，求得2x﹣3y＝﹣1，再将其代入求解即可．【解答】解：由题意得1﹣2x+3y﹣2＝0，整理，得2x﹣3y＝﹣1，∴6x﹣9y+5＝3（2x﹣3y）+5＝3×（﹣1）+5＝﹣3+5＝2．【点评】此题考查了运用立方根和相反数进行化简、求值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识和整体思想．【变式3-8】（2022春•如皋市校级月考）已知|x|=5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案．【解答】解：∵|x|=5，∴x＝±5，∵y是11的平方根，∴y＝±11，∵x＞y，∴当x=5，则y=−11，故x+y=5−11，当x=−5，则y=−11，故x+y=−5−11，综上所述：x+y的值为5−11或−5−11．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键．【例题4】（2023•潍坊）在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜2，∴在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是2，故选：D．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．【变式4-1】（2022•沂源县一模）在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是（）A．3B．−3C．0D．2【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解．【解答】解：在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是−3．故选：B．【点评】此题考查了实数大小比较，可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．【变式4-2】三个数﹣π，﹣3，−3的大小顺序是（）A．﹣3＜﹣π＜−3B．﹣π＜﹣3＜−3C．﹣π＜−3＜−3D．﹣3＜−3＜−π【分析】先对无理数进行估算，再比较大小即可．【解答】解：﹣π≈﹣3.14，−3≈−1.732，因为3.14＞3＞1.732．所以﹣π＜﹣3＜−3．故选：B．【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法，即两个负数相比较，绝对值大的反而小．【变式4-3】（2023秋•农安县期中）将数“22，5，−2，0，﹣1.6”按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来是：．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵22=8＞5，−2≈−1.57＞﹣1.6，∴﹣1.6＜−2＜0＜5＜22，故答案为：﹣1.6＜−2＜0＜5＜22．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较时绝对值大的反而小．【变式4-4】设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，，1这四个数中（）A．1＞＞＞2B．2＞＞＞1C．＞＞1＞2D．1＞＞＞2【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜＜1，1＞1，∴1＞＞a＞a2．故选：D．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．【变式4-5】比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．5＜37＜2D．37＜2＜5【分析】把2转化为4，38，即可比较大小．【解答】解：∵2=4，∴5＞2，∵2=38，∴2＞37，∴5＞2＞37，即37＜2＜5，故选：D．【点评】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是把2转化为4，38．【变式4-6】比较大小：− 1.5．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：(−3)2=3，（﹣1.5）2＝2.25，∵3＞2.25，∴−3＜−1.5．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小．【例题5】已知：x＜21＜y（x，y是两个连续整数），则x，y的值为（）A．x＝2，y＝3B．x＝3，y＝4C．x＝4，y＝5D．x＝5，y＝6【分析】根据16＜21＜25，即可得出x、y的值．【解答】解：∵16＜21＜25，∴x＝4，y＝5；故选：C．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，解题的关键是用有理数逼近算术平方根．【变式5-1】（2023秋•郁南县期中）估算57的值应在（）A．6～7之间B．7～8之间C．8～9之间D．不能确定【分析】利用无理数的估算即可求得答案．【解答】解：∵49＜57＜64，∴7＜57＜8，即57的值在7～8之间，故选：B．【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．【变式5-2】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9＝18，则大正方形的边长为：18，∵16＜18＜ 4.52，∴4＜18＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．【变式5-3】（2022春•江津区校级月考）若x、y为两个连续的整数，且x＜39＜y，则x+y＝．【分析】通过36＜39＜49求解．【解答】解：∵36＜39＜49，∴6＜39＜7，∴x＝6，y＝7，∴x+y＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-4】（2023秋•青龙县期中）估算2+14的值在（）A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间【分析】先估算出14的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜14＜16，∴3＜14＜4，∴5＜2+14＜6．故选：B．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．【变式5-5】（2023秋•秦都区期中）估计23−2的值在（）A．2到3之间B．1到2之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先估算出23的大小，进而估算23−2的范围．【解答】解：∵16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴2＜23−2＜3，∴23−2的值在2和3之间．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．【变式5-6】（2022•南关区校级开学）已知x，y为两个连续的整数，且x＜20＜y，则5x+y的值为．【分析】先求出20的范围，求出x、y的值，求出5x+y的值，根据平方根的定义求出即可．【解答】解：∵4＜20＜5，∴x＝4，y＝5，∴5x+y＝5×4+5＝25，∴5x+y的平方根是±5，故答案为：±5．【点评】本题考查了算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-7】（2023秋•二七区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：（1）23的整数部分是，小数部分是；（2）如果7+1的小数部分为，9−17的整数部分为b，求+−7的平方根；（3）已知10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数23的大小即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数7+1，9−17的大小即可确定a、b的值，再代入计算即可；（3）根据算术平方根的定义估算无理数10+7的大小确定整数部分x，小数部分是y，再求出x﹣y的相反数即可．【解答】解：（1）42＝16，52＝25，而16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴23的整数部分是4，小数部分为23−4，故答案为：4，23−4；（2）∵22＝4，32＝9，而4＜7＜9，∴2＜7＜3，∴3＜7+1＜4，∴7+1的整数部分是3，小数部分为7+1﹣3=7−2，即a=7−2；∵4＜17＜5，∴﹣5＜−17＜−4，∴4＜9−17＜5，∴9−17的整数部分是4，即b＝4，∴a+b−7=7−2+4−7=2，∴+−7的平方根是±2；（3）∵2＜7＜3，∴12＜10+7＜13，∴10+7的整数部分是12，小数部分是10+7−12=7−2，又∵10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝12，y=7−2，∴x﹣y的相反数是y﹣x=7−14．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、平方根的定义是正确解答的前提．【例题6】通过估算，比较下列各组数的大小：（1）6（2（3）5−121；（4）3+12112．【分析】（1）利用平方运算，比较大小即可解答；（2）根据算术平方根的意义，比较大小即可解答；（3）先估算出5的值的范围，再估算出5−1的值的范围，进行计算即可解答；（4）先估算出3的值的范围，再估算出3+1的值的范围，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵62＝36，（35）2＝35，∴36＞35，∴6＞35，故答案为：＞；（2）∵8＜10，∴8＜10，故答案为：＜；（3）∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，故答案为：＜；（4）∵1＜3＜4，∴1＜3＜2，∴2＜3+1＜3，∴132，故答案为：＜．【点评】本题考查了数的大小比较，熟练掌握估算算术平方根的值的大小是解题的关键．【变式6-1】（2023春•西城区校级期中）比较大小：（1；（2）5−11．【分析】（1）先把4写成算术平方根的形式，然后根据算术平方根的被开方数越大，那个数就越大进行解答；（2）先估算5的大小，然后进行判断即可．【解答】解：（1）∵4=16，17＞16，∴17＞4；（2）∵2＜5＜3，∴5−1＞1，故答案为：（1）＞；（2）＞．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是能够正确的估算无理数的大小．【变式6-2】（2022秋•新津县校级月考）比较大小：3−1212，23．【分析】（1）比较出两个数的差的正负，即可判断出它们的大小关系．（2）首先比较出两个数的平方的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出原来的两个数的大小关系即可．【解答】解：（1）∵3−12−12=32−1＜0，∴3−12＜12．（2）(32)2=18，(23)2=12，∵18＞12，∴32＞23．故答案为：＜、＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．【变式6-3】（2023春•前进区月考）比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．37＜2＜5D．37＜5＜2【分析】先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．【解答】解：∵26＝64，(5)6=[(5)2]3=125，(37)6=[(37)3]2=49，而49＜64＜125，∴(37)6＜(5)6＜26，∴37＜2＜5．故选：C．【点评】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键．【变式6-4】比较下列各组数的大小：（1）120与11．（2）5+12与2．【分析】（1）根据11=121，即可进行比较；（2）先通分，可得2=42，再比较分子5+1与4的大小即可求解．【解答】解：（1）∵11=121，120＜121，∴120＜11．（2）∵2=42，5+1＜4，∴5+12＜2．【点评】此题主要考查了算术平方根的估算能力，两个正数的算术平方根的比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．【变式6-5】比较下列各组数的大小（1）8与10；（2）65与8；（3）5−12与0.5；（4）5−12与1．【分析】（1）根据8＜10，即可解答；（2）根据8=64，即可进行比较；（3）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可；（4）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可．【解答】解：（1）∵8＜10，∴8＜10；（2）∵64=8，64＜65，∴65＞64，∴65＞8；（3）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＞12．（4）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＜1．【点评】本题考查了数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小．【例题7】（2022秋•大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|−2的结果是（）A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b【分析】首先由数轴可得a＜b＜0，然后利用算术平方根与绝对值的性质，即可求得答案．【解答】解：根据题意得：a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|−2=|a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b．故选：C．【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质．此题难度适中，注意2=|a|．【变式7-1】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|3−b|+|a+3|+2的值．【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：a＜−3，0＜b＜3，故|3−b|+|a+3|+2=3−b﹣（a+3）﹣a=3−b﹣a−3−a＝﹣2a﹣b．故答案为：﹣2a﹣b．【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简(−p2−|a+c|+(−p2−|b|【分析】利用数轴首先得出各式的符号，进而化简得出答案．【解答】解：如图所示：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，b＞0，则原式＝b﹣a+a+c+b﹣c﹣b＝b．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键．【变式7-3】（2021春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：2+|a+b|+3(+p3−|b﹣c|．【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解．【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）＝b．【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-4】实数a，b，c表示在数轴上如图所示，完成下列问题，试化简：(−p2−|−U+3(−p3．【分析】根据题意可得：b＜0＜a＜c，从而可得a﹣c＜0，b﹣a＜0，然后利用二次根式的性质，绝对值，立方根的意义进行化简计算，即可解答．【解答】解：由题意得：b＜0＜a＜c，∴a﹣c＜0，b﹣a＜0，∴(−p2−|−U+3(−p3＝c﹣a﹣（a﹣b）+b﹣c＝c﹣a﹣a+b+b﹣c＝2b﹣2a．【点评】本题考查了整式的加减，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式7-5】（2022秋•保定月考）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B 表示3，设点A所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+2）2+|m+1|的值．【分析】（1）根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行计算即可得出答案；（2）把（1）中m的值代入进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，m=3−2；故答案为：3−2；（2）m+1=3−2+1=3−1，∵1＜3＜2，∴0＜3−1＜1，（m+2）2+|m+1|＝（3−2+2）2+|3−1|＝（3）2+3−1＝3+3−1＝2+3．故答案为：2+3．【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．【变式7-6】（2022秋•青龙县月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A 表示−2，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+1）（1﹣m）的值；（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且|c+3|与−5互为相反数，求c+3d的平方根．【分析】（1）根据点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，即可得到m的值；（2）根据（1）的结果求值即可；（3）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案．【解答】解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，∴m=−2+2，故答案为：−2+2；（2）（m+1）（1﹣m）＝1﹣m2＝1﹣（−2+2）2＝1+42−6＝42−5；（3）∵|c+3|与−5互为相反数，∴|c+3|+−5=0，∵|c+3|≥0，−5≥0，∴c+3＝0，d﹣5＝0，∴c＝﹣3，d＝5，∴c+3d＝（﹣3）+3×5＝﹣3+15。

实数概念例题和知识点总结

实数概念例题和知识点总结实数，是数学中一个非常基础且重要的概念。

它包括有理数和无理数两大类，涵盖了我们日常生活和数学学习中的众多应用场景。

接下来，让我们一起深入了解实数的相关知识，并通过一些例题来加深对其的理解。

一、实数的定义和分类实数是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。

例如，3、0、－5 都是整数，而 1/2、－3/4 则是分数。

无理数则是无限不循环小数，比如圆周率π（约等于 314159）、根号 2（约等于 1414）等。

二、实数的性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定满足 a ＜ b、a ＝ b、a ＞b 中的一种关系。

2、实数的稠密性：在任意两个不相等的实数之间，必定存在无数个实数。

3、实数的运算性质：实数的加法、减法、乘法、除法（除数不为0）运算都满足相应的运算法则。

三、实数的数轴表示实数与数轴上的点一一对应。

也就是说，数轴上的每一个点都表示一个实数，反之，每一个实数都可以在数轴上找到对应的点。

例如，在数轴上，点 2 表示实数 2，点－15 表示实数－15 。

四、实数的大小比较1、正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。

2、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

例如，比较 3 和 5 的大小，因为 3 ＜ 5 ，所以 3 小于 5 。

再比如，比较－2 和－5 的大小，因为｜－2 ｜＝ 2 ，｜－5 ｜＝ 5 ，而 2 ＜ 5 ，所以－2 ＞－5 。

五、实数的运算1、加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8 ，－3 ＋ 5 ＝ 2 。

2、减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

例如，5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2 。

3、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例如，3 × 5 ＝ 15 ，－3 × 5 ＝－15 。

实数知识点与习题及答案

13.4 实数⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数1. 有理数：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

2.无理数：无限不循环小数叫做无理数.常见的无理数：1.含根号且开放开不尽得数；2.∏及含有∏的数；3.无限不循环小数.3.像有理数一样，无理数也有正负之分，实数也可以这样分类：⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数4. 实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点是一一对应的.每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.5. 数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。

6. 实数的绝对值：一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0一、算术平方根1. 算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。

二、平方根1. 平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．2.开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

3. 平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±34. 一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算5. 符号：正数a 的正的平方根可用a 表示a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6. 平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

12.5 用数轴上的点表示实数

第十二章实数第三节实数的运算§12.5 用数轴上的点表示实数教学目标理解每一个实数都可以用数轴上一个点来表示，知道数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示，能将一个实数用数轴上大致位置的点表示出来。

知道两数各自对应的点在数轴上的位置与这两个数大小之间的关系；知道数的范围扩充后，有理数范围内已有的绝对值、相反数等有关概念，在实数范围内依然成立，会求实数的绝对值、相反数，会对实数的大小进行比较；会根据数轴上两点所对应的实数求这两点间的距离。

知识精要1.实数与数轴的关系：数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.2.绝对值与相反数：一个在实数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

实数a 的绝对值记作a .一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为⎩⎨⎧<-≥=时。

当时；当0,0,a a a a a 就是说实数a 的绝对值是一个非负数，即0≥a ，并且有若a x =(0≥a )，则a x ±=.绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零。

非零实数a 的相反数是a -. 在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且到原点的距离相等。

具体地，若a 与b 互为相反数，则0=+b a ；反之，若0=+b a ，则a 与b 互为相反数.有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。

3.实数大小比较：负数小于零；零小于正数.两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小.从数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.4.数轴上两点距离公式：在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为b a 、，那么A 、B 两点的距离为b a -.经典题型精讲(一)数轴上的点与实数例1.如图，数轴上表示21、对应的点分别为B A ,，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的数是( )A .12-B .21-C .22-D .22-举一反三：在数轴上分别标出35-、5所对应的点的大致位置。

八年级数学上册实数知识点

八年级数学上册实数知识点在八年级数学课程中，实数是重要的概念之一。

实数包括有理数和无理数，是数学中的基本概念之一。

本文将重点介绍实数的相关知识。

一、实数的定义实数是可以用数轴上的点来表示的数。

它包括有理数和无理数。

具体来说，有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能表示为两个整数的比值。

二、实数的表示1、数轴上的表示实数可以用数轴上的点来表示。

数轴上的零点表示0，正数表示在零点右侧的数，负数表示在零点左侧的数。

2、小数的表示小数是实数的一种常见表示形式。

它的整数部分表示数轴上的整数部分，小数部分表示数轴上的小数部分。

三、实数的基本性质实数具有以下基本性质：1、对于任意实数a，b，c，满足交换律、结合律和分配律。

2、实数有加法逆元和乘法逆元。

对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a+b=0；对于任意非零实数a，存在一个实数1/a，使得a×1/a=1。

3、实数的四则运算仍为实数。

特别的，除数为0时，除法没有意义。

四、实数的关系运算实数之间可以进行大小比较。

常用的关系运算有以下几种：1、大于：设a，b为实数，若a>b，则a在数轴上位于b的右侧。

2、小于：设a，b为实数，若a<b，则a在数轴上位于b的左侧。

3、大于等于：设a，b为实数，若a≥b，则a在数轴上位于b 的右侧或位于同一点上。

4、小于等于：设a，b为实数，若a≤b，则a在数轴上位于b 的左侧或位于同一点上。

五、实数的应用实数在生活中的应用广泛。

例如，将数轴上的点和实际情况对应，可以用来表示温度、海拔高度、经纬度等物理量。

六、实数的拓展除了有理数和无理数以外，还有复数等拓展概念。

复数包括实部和虚部，是实数和虚数的和。

虚数有单位虚数i，满足i²=-1。

七、总结实数是数学中的基本概念之一，包括有理数和无理数。

实数有数轴上的表示和小数的表示两种方式，还具有四则运算、大小比较等基本性质。

实数的应用非常广泛，还有复数等拓展概念。

实数与数轴的关系-学易试题君之每日一题君2018学年下学期七年级数学人教版(课堂同步系列一)

1
如图，数轴上点P 表示的数可能是
A ．10
B ．5
C ．3
D ．2
【参考答案】
B
【解题必备】
1．实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
【注意】任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应，但是，数轴上的点并不都表示有理数．
2．在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
1．若将三个数-3，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是
A ．-3
B ．7
C ．11
D ．7和11
2．已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a -b |-|a +b |的结果为。

实数的概念及性质

实数的概念及性质实数是由有理数和无理数组成的。

×属于正实数的数是大于0的实数。

√数轴上的点和实数是一一对应的。

√如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1或0.√若x=2则x=2.√实数包括有理数和无理数两部分。

其中，无理数是指无限不循环小数，而有理数可以化为分数。

需要注意的是，不是所有带根号的数都是无理数，只有开不尽的XXX才是无理数。

另外，圆周率π及一些含π的数也是无理数。

实数可以分为正整数、负整数、有限小数或无限循环小数、正分数、负分数、正无理数、负无理数等七类。

其中，有理数包括整数和分数，而无理数包括无限不循环小数。

实数具有一些基本性质，例如任何实数都有一个相反数，任何非零实数都有倒数，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是0.此外，实数可以与数轴上的点一一对应，即每个实数都可以在数轴上找到表示它的点。

对于无理数的大小比较，可以采用比较两个数的平方的大小、比较被开方数的大小、作差法、作商法等方法。

需要注意的是，带根号的数不一定是无理数，一个实数的立方根只有一个，负数没有平方根。

综上所述，实数是数学中一个重要的概念，包括有理数和无理数两部分。

对于实数的定义、分类和性质需要进行深入的研究和掌握。

C．坐标系中的点的坐标都是实数对。

D．2是近似值，无法在数轴上表示准确。

正确选项：C。

无需改写。

巩固3】下列实数7，，3.，8，327，12，0.xxxxxxxx0……中无理数有（）。

正确选项：B。

需要改写为：在实数7，，3.，8，327，12，0.xxxxxxxx0……中，无理数的个数是3个。

例2】有下列说法：1）无理数就是开方开不尽的数；2）无理数是无限不循环小数；3）无理数包括正无理数、零、负无理数；4）无理数都可以用数轴上的点来表示。

其中正确的说法的个数是（）。

正确选项：B。

无需改写。

例3】若|x|33，则x＝______；若|x|31，则x＝______．正确答案：x=33或x=-33；x=3-1或x=-3+1.无需改写。

实数知识点

实数知识点
实数知识点总结：
1. 实数的定义与分类：实数是有理数和无理数的总称，包括有理数、无理数和零。

有理数包括整数和分数，而无理数则是一些无法表示为两个整数的比的数，如π和根号2等。

实数还可以根据其性质分为正数、负数、零、正有理数、负有理数和复数等。

2. 实数的表示方法：实数可以用多种方式表示，如小数、分数、指数形式和根式等。

实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之亦然。

3. 实数的运算：实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

这些运算的基本性质包括交换律、结合律、分配律等。

在进行实数运算时，需要注意运算的优先级，如先乘除后加减，括号内的运算优先等。

4. 实数的性质：实数具有一些基本的性质，如实数的有序性、传递性和阿基米德性质等。

这些性质在证明数学定理和解决数学问题时非常重要。

5. 实数的应用：实数在各个领域都有广泛的应用，如数学、物理、工程和经济等。

例如，在物理学中，速度、密度和加速度等物理量都可以用实数表示；在工程中，电路中的电压和电流也是用实数表示的；在经济学中，增长率、收益率和价格等也都是用实数来计算的。

以上是关于实数的知识点总结，希望能对您有所帮助。

七年级数轴整理知识点

七年级数轴整理知识点数轴是数学中用来表示实数集合中各元素之间大小关系的图形工具。

在数学学科中，数轴有着重要的作用，尤其是在初中的数轴应用中，更是难以忽视。

本文将为大家介绍七年级数轴整理知识点，以便初中学生更好地掌握数轴知识。

一、数轴的定义及表示方法数轴是一条直线，数轴上的点和实数一一对应，以0为中心，向右为正，向左为负。

例如：数轴上的点A表示的实数为0，点B表示的实数为-1，点C表示的实数为3。

表示方法：将数轴的中心标在纸上，画一条长直线。

再在这条直线上取一个点标为0，然后，以0为中心，用等分线分出若干个等距区间。

每个等距区间上标注的数值即为该区间所代表的实数。

比如，将0所在的区间记为“0”，向右数第2个区间记为“2”，向左数第5个区间记为“-5”。

二、数轴上的加减在数轴上表示加法时，以原点为起点，向右走正数，向左走负数。

若要求“1+3”，则先找出1的坐标，然后向右走3个单位即可。

类似地，若要求“4-2”，则先找出4的坐标，然后向左走2个单位即可。

三、数轴上的绝对值绝对值表示一个数离原点的远近，它在数轴上的位置就是该数的绝对值。

例如：-2的绝对值是2，2的绝对值也是2。

四、相反数的表示如果x是数轴上的一个数，则它的相反数-x就是数轴上它关于0点对称点。

五、数轴上的等式在数轴上解决等式问题时，最好采用简化等式法。

比如，要解决这个问题：“x+1=3”，先找到数轴上1的位置，然后向右数两个单位，即可得到方程的根。

六、数轴上的不等式数轴还可以用于解决不等式问题。

例如，对于“x<3”这个不等式，可以在数轴上画出小于3的整体，从而方便图像化地解决问题。

如果是“x≥2”的不等式，则可以画出大于等于2的整体来解决问题。

七、数轴上的倍数关系在数轴上求解倍数关系的问题时，可以利用数轴上两点之间的距离就是它们差的绝对值的原理。

例如，如果想知道4和12之间的倍数关系，只要计算它们在数轴上的距离即可，此时4代表4×1，12代表4×3，因此它们之间是3倍关系。

实数与数轴上的点是一一对应的

6.3 数学的教学设计教学目标：了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算教学重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律围内的运算教学过程：一、创设情景，导入新课试一试学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类。

试一试1、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？动手试一试，说说你的发现并与同学交流（结论：上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式）可以在此基础上启发学生得到结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。

2、追问：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？二、合作交流，解读探究探究使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限环小数的形式。

归纳任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。

反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数观察通过前面的探讨和学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数，也是无理数。

结论有理数和无理数统称为实数试一试把实数分类总结1、事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大讨论当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？总结数的相反数是，这里表示任意一个实数。

一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

三、应用迁移，巩固提高例1把下列各数分别填入相应的集合里：四、总结反思，拓展升华小结1、什么叫做无理数？什么叫做有理数？有理数和数轴上的点一一对应吗？2、无理数和数轴上的点一一对应吗？3、实数和数轴上的点一一对应吗？五、课堂跟踪反馈六、作业必做：课本第86页习题第1、2、3题；选做：课本第87页习题第7题。

表示实数a,b,c的点在数轴上的位置

表示实数a,b,c的点在数轴上的位置
当描述实数a、b 和 c 在数轴上的位置时，可以根据它们的相对关系使用以下术语：
1. a 和b 相等：表示a 和b 在数轴上的位置重合。

2. a 小于b：表示a 在数轴上位于b 的左侧。

3. a 大于b：表示a 在数轴上位于b 的右侧。

4. a 不大于b：表示a 在数轴上位于或重合于b 的位置。

5. a 不小于b：表示a 在数轴上位于或重合于b 的位置。

6. a 和b 之间取值：表示a 和b 之间的一个区间，通常表示为(a, b)。

7. a 和b 之间包括端点的取值：表示a 和b 之间的一个闭区间，通常表示为[a, b]。

8. a 和b 之间的开区间：表示a 和b 之间的一个开区间，通常表示为(a, b)。

9. a 和b 之间的半开半闭区间：表示a 和b 之间的一个半开半闭区间，通常表示为[a, b) 或(a, b]。

以实际数值为例说明：
-如果a = 2, b = 5, c = 7，则a 小于b，b 小于c。

-如果a = -1, b = 0, c = 4，则a 小于b，b 小于c。

-如果a = 3, b = 3, c = 3，则a 等于b，b 等于c。

-如果a = 10, b = 8, c = 5，则a 大于b，b 大于c。

请注意，以上表示仅适用于一维数轴，如果涉及更高维度的情况，可能需要使用其他坐标系或表示方法来描述点的位置关系。

数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点在数轴

(4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．
判断下列说法是否正确：
(1)(2，3)和(3，2)表示同一点；
(1)(2，3)和(3，2)表示同一点；
在直角坐标系中，根据坐标找出点；
两条坐标轴上的点的坐标特征；
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原点的对称点P′（-x，-y）。
正数．
检测反馈
▪ 2.指出下列各点所在的象限或坐标轴：
▪ A(－3,－5)，B(6,－7)，C(0,－6)，D(－3,5)，
E(4,0)．
▪ 3.填空：
▪ (1)点P(5,－3)关于x轴对称点的坐标是
；
▪ (2)点P(3,－5)关于y轴对称点的坐标
是
；
▪ (3)点P(－2,－4)关于原点对称点的坐标
数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个
点在数轴
如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标
例如，点A在数轴上的坐标是4，点B在数轴上的坐标是－．知道一个点的坐标，这个点的位置就确定了．
解 (1)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；
解 (1)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；
(2)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数．
▪ 交流反思
▪ 1.平面直角坐标系的有关概念及画法；
▪ 2.在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标的方法；
▪ 3.在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第一、三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征；
如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标