随机过程试题及解答

2016随机过程（A ）解答

1、（15分）设随机过程V t U t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。

1) 求)(t X 的一维概率密度函数；

2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解：

由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +⋅=)(也服从正态分布，

且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==⋅+=⋅+=+

{}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==⋅+=+=+

故： (1) )(t X

的一维概率密度函数为：()2

22218(1)

(),x t t t f x e

x ---

+=

-∞≤≤∞

(2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为：

{}{}

(,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =⋅=⋅+⋅⋅+

{}{}{}

22()13()413

st E U s t E U V E V st s t =⋅++⋅⋅+=⋅++⋅+

协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-⋅=+

（3）相关系数：

(,)s t ρρ==

==

)(t X 的二维概率密度函数为：

2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e

ρ⎧⎫⎡⎤-----⎪⎪

+⎢⎥⎨⎬-++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭

=

2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的

平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解：

到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。

将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为：

419,04

()80,47t t t t λ+≤≤⎧=⎨

<≤⎩

在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值：

6

4

6

2

2

4

(6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=⎰⎰⎰

在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率为：

{}0282

282(282)(6)(2)00!

P X X e e ---==⋅=

在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差相等，均为：

(6)(2)282m m -=

3、（13分）设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周有8户定居，如果一户

4人的概率为0.2，如果一户3人的概率为0.3，一户2人的概率为0.3，一户1人的概率为0.2，并且每户的人口数是相互独立的随机变量，求在8周内移民到该地区人口数的数学期望与方差。 解：

已知移民到某地区定居的户数)(t N 是一个强度8λ=的泊松过程，第i 户的人口数

）（Λ,2,1=i Y i 是相互独立同分布的随机变量，在t 周内移民到该地区人口数：

∑==)

t (N 1

i i Y )t (X 是一个复合泊松过程，i Y 的分布为：

1234

0.20.30.30.2i Y P 22.5

7.3EY EY ∴==

由公式：()()2

tEY )t (X D ,

tEY )t (X E λλ== 可得在5周内移民到该地区人口数的数学期望与方差为：

()()(5)88 2.5160,(5)887.3467.2E X D X =⨯⨯==⨯⨯=

4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

0.20.30.50.10.50.40.60.20.2P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

（1） 求马尔可夫链的平稳分布及各状态的平均返回时间。 （2） 求两步转移概率矩阵)

2(P

及当零时刻初始分布为：

000{1}0.2,{2}0.2,{3}0.6,P X P X P X ======

时，经两步转移后的绝对分布。

解：

（1）此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布123{,,}T

ππππ=满足：

11232123

31231230.20.10.60.30.50.20.50.40.21

πππππππππππππππ=⋅+⋅+⋅⎧⎪=⋅+⋅+⋅⎪⎨

=⋅+⋅+⋅⎪⎪++=⎩ 解得：123323437,,103103103

πππ=== 故平稳分布323437{

,,}103103103

T

π= 各状态的平均返回时间：123123110311031103,,323437

μμμπππ======

（1）(2)

0.20.30.50.20.30.50.370.310.320.10.50.40.10.50.40.310.360.330.60.20.20.60.20.20.260.320.42P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⋅=⋅=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

已知初始分布：(0)(0.20.20.6)T

P =，所以经两步转移后的绝对分布为：

(2)

0.370.310.32(2)(0)(0.20.20.6)0.310.360.33(0.2920.3260.382)

0.260.320.42T T P P P ⎛⎫ ⎪

=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭

5、（10分）假定在路口只有红、绿灯（没有黄灯），开车时这个路口如果红灯则下个路口仍红灯的概率为0.1，而如果这个路口绿灯则下个路口仍绿灯的概率为0.6，试求路口遇红灯的极限概率，以及红灯和绿灯状态的平均返回时间。 解：

设红灯为状态1，绿灯为状态2，可以求出其转移概率矩阵为：0.10.90.40.6P ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布12{,}T

πππ=满足：

1122121

20.10.40.90.61

ππππππππ=⋅+⋅⎧⎪

=⋅+⋅⎨⎪+=⎩ 解得：1249

,1313

ππ=

= 故平稳分布49{,}1313

T

π=

路口遇红灯的极限概率为1413

π=

红灯和绿灯状态的平均返回时间：121

21

13113,49

μμππ=

=

== 6、（15分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：

0.0

0.30.00.70.00.10.20.30.20.20.0

0.00.40.00.60.00.40.00.60.00.00.00.20.0

0.8P ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

（1）试对状态进行分类，并说明各状态的类型；

（2）求各常返闭集的平稳分布，及各状态的平均返回时间。

解：

马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I 可以分解为1{1,2,4}C =和2{3,5}C =的并。其