多项式的最大公因式

多项式的最大公因式

问题：

（一）. 多项式的最大公因式的定义是什么？

设f(x)与g(x)是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d(x)称为f(x)与g(x)的最大公因式，如果满足下面两个条件：

(1).d(x)是f(x)与g(x)的公因式；

(2).f(x)，g(x)的公因式全是d(x)的因式。

我们约定用( f(x)，g(x))表示首项系数为1的那个最大公因式。

定理1：对于P[x]中任意两个多项式f(x)，g(x)，在P[x]中存在一个最大公因式d(x)，且d(x)可以表示成f(x)，g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x)，v(x)使

d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)

引理：设f(x),g(x),q(x),h(x)∈F(x),g(x)≠0，且

f(x)=g(x)q(x)+h(x)

则f(x)与g(x)与q(x)与h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且

( f(x)，g(x))=( g(x)，h(x))

定理2：F(x)的任意两个多项式f(x)与g(x)一定存在最大公因式。

（二）.用来求最大公因式的方法

(1).辗转相除法:

如果f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，且q q(q),q q(q)∈P[x],使

f(x)=q1(q)g(x)+q1(q)

g(x)=q2(q)q1(q)+q2(q)

q1(q)=q3(q)q2(q)+q3(q)

⋯⋯

q q−2(q)=q q(q)q q−1(q)+q q(q)

q q−1(q)=q q+1(q)q q(q)+0

其中∂(q q(q))≥0，则q q(q)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。

(2).串位加减法

(3).矩阵求法：

A=(f(x)

g(x)

)一系列初等行变换

→ (

d(x)

) d(x)=( f(x)，g(x))

例1.设f(x)=q4+3q3−q2−4x−3

g(x)=3q3+10q2+2x−3

求( f(x)，g(x))

解：法1辗转相除法。

求得r2(q)=9q+27是最大公因式，即

( f(x)，g(x))=x+3

法2串位加减法

设c≠0，则对于任意多项式f(x)，g(x)

( f(x)，g(x))=( f(x)，cg(x))

于是r7(q)=2x+6是最大公因式，即

( f(x)，g(x))=x+3

例2．令F 是有理数域，求出F [x ]的多项式

f (x )=4q 4−2q 3−16q 2+5x +9，

g (x )=2q 3−q 2

−5x +4

使得u (x )f (x )+v (x )g (x )=d (x )成立的d (x )，u (x )，v (x ),其中d (x )=( f (x )，g (x ))。

解 我们把I 拼在(f (x

)

g (x )

)的右边一起做行初等变换： ( f (x )10 g (x )01)=(4q 4−2q 3−16q 2+5x +9102q 3−q 2−5x +401

)q 1+q 2×(−2)→ (−6q 2−3x +91−2q 2q 3−q 2−5x +401)q 2+q 1×q → (−6q 2

−3x +91−2q 6q 3−3q 2

−15x +1203

)→⋯ (0∗∗−3q +3q −1−2q 2

+2q +3

)q 1↔q 2 q 1×(−1

3)

→ (q −1−13(q −1

)

2

3

q 2−2

3q −10

∗

∗

)。 所以d (x )=q −1，u (x )=−1

3(q −1)，v (x )=23q 2−2

3q −1。

注：如果d (x )是f (x )，g (x )在F [x ]中的公因式，则d (x )是f (x )与g (x )的最大公因式的充分必要条件是存在u (x ),v (x )∈F (x )，使得

d (x )=u (x )f (x )+v (x )g (x )

例3.求u (x ),v (x )使u (x )f (x )+v (x )g (x )=( f (x )，g (x ))：

f (x )=q 4

+2q 3

−q 2

−4x −2，g (x )=q 4

+q 3

−q 2

−2x −2

（P45,6.(1)）

解：f (x )=g (x )q 1(q )+q 1(q )，其中，

{

q 1(q )=1

q 1(q )=q 3−2x

g (x )=q 1(q )∙q 2(q )+q 2(q ),其中，

{

q 2(q )=x +1

q 2(q )=q 2−2

q 1(q )=q 2(q )∙q 3(q )+q 3(q ),其中，

{

q 3(q )=x

q 3(q )=0

所以，q 2(q )=q 2

−2是f (x )和g (x )的最大公因式。

因为g(x)=q1(q)∙q2(q)+q2(q),f(x)=g(x)∙q1(q)+q1(q)，所以

( f(x)，g(x))=−q2(q)∙f(x)+[1+q

1

(q)∙q2(q)]∙g(x)由此可得：

{u(q)=−q2(q)=−x−1

v(q)=1+q

1

(q)q2(q)=q+2

注：利用辗转相除法求出最大公约数，然后逆向推导。

例4．证明：如果d(x)│f(x),d(x)│g(x)，且d(x)为f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。（P45,8）

证：

设d(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，即有d′(x)│f(x)和d′(x)│g(x)

不妨设f(x)=d′(x)∙q1(q),g(q)=d′(x)∙q2(q)

由已知条件可得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)

所以d(x)=u(x)d′(x)∙q1(q)+v(x)d′(x)∙q2(q)

故有d′(x)│d(x)

因此，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。

注：已知d(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，只需证明f(x)与g(x)的任一公因式都是d(x)的公因式便可得证。