高中数学函数的对称性与周期性讲义

高中数学函数的对称性与周期性讲义

一、引例：若)(x f 是定义在R 上的函数，对于满足下例条件中，)(,x f r x ∈∀某一个，那么对于每个条件下的)(x f ，各具有哪些特殊性质？

(1),)1()1(x f x f -=+ (4),)1()1(x f x f --=+ (7),)1()1(-=+x f x f

(2),)2()(x f x f -= (5),)2()(x f x f --+ (8),)()2(x f x f =+

(3),)3()1(x f x f -=+- (6),)2(4)(x f x f --= (9),)()1(x f x f -=+

二、 函数的对称性

1、轴对称

)()()()

2()()

()()(]

0[x f x f y x f x a f x f x a f x a f a x x f a =-⇔-=⇔-=+⇔=⊃=轴对称关于对称关于

2、点对称 0

)()()()()00()(]

0[)

()()2()()0,()(]

0[2)()()2(2)(),()(=-+⇔--=⇔=-=+⇔--=⇔==-++⇔--=⇔x f x f x f x f x f a x a f x a f x a f x f a x f b b

x a f x a f x a f b x f b a x f 对称，关于对称关于对称关于

3、本质特征：

【自变量】 为常数）

（定义域）且a a x x D x x (2212,1=+∈∀ 【函数值】 a x x x x x f x f =→+=→→=对称轴对称轴轴对称性2

)()(2121 ),)22,2(2)()(2121b a b x x b x f x f 对称中心（对称中心中心对称

→+→→=+ 模型：对称关于2

)()()(,b a x x f x b f x a f D x +=⇔-=+∈∀ 对称关于)0,2

()()()(,b a x f x b f x a f D x +⇔--=+∈∀ 三，函数的周期性

定义：设定义在D 上的函数,),(D x x f ∈∀对于都存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+则函数)(x f 为周期函数,T 为)(x f 的一个周期，

【自变量】 D x x ∈∀21,（定义域）且T x x =-21（T 为非零常数）

【函数值】 )

(1)(1)()(1)()()()()(221212121x f x f x f x f x f x f x f x f x f -+=±

=-==或或或 模型：函数)(x f 的周期为T )()(x f T x f =+⇔

)()2

()()()2(2x f T x f T x f x f T x f T x x =+-=+−−−→−-=+⇔+换成 )()2(1)()(1)2(2x f T x f T x f x f T x f T x x =+±=+−−−→−±=+⇔+换成

)4(1)4(1)2()(1)(1)4(4

T x f T x f T x f x f x f T x f T x x --++=+−−−→−-+=+⇔+换成 四，对称性与周期性，

1，若b x a x x f ==和关于)(对称，则)(x f 是周期函数，一个周期为),(2b a -

2，若)()0,)0,)(x f b a x f 对称，则和（关于（是周期函数，一个周期为)(2b a -， 3，若)()0,()(x f b a x x f 对称，则和关于=是周期函数，一个周期为)(4b a -

例：（1），设函数),7(),2()2(),()(x f x f x f x f ++=-+∞-∞上满足在且在闭区间【0，7】上只有0)3()1(==f f ， （1），试判断函数)(x f y =的奇偶性，（2),试求方程0)(=x f 在闭区间][2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论，

（2),)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 ,0)2(=f 则)(x f 在区间（0，6）内解得个数的最小值是（ ）A, 2 B, 3 C, 4 D, 5

(3),若存在常数 ,0>p 使得函数

)(),)(2

()()()(x f r x p px f px f px f x f 则满足∈-== 的一个正周期为 （4），已知定义在R 上的函数)(x f 的图像关于（)0,

43-成中心对称图形，且满足)2008()2()1(,2)0(,1)1(),2

3()(f f f f f x f x f +⋅⋅⋅++-==-+-=则的值为（ ） A , -2 B, 0 C, 1 D, 2

（5），已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足,1)()(=-+x f x f 当

][,)(,1,02x x f x =∈时现有四个命题：1，)(x f 是周期性函数，且周期为2，2，当

][,2)(2,12x x x f x -=∈时， 3，)(x f 是偶函数， 4，,4

3)5.2004(=-f 其中正确命题的个数是，（ ）， A, 1 B, 2 C, 3 D, 4

(6），已知函数()2006(,2005)0(),

(1)(1)1()(==-+=+f f x f x f x f x f 则若满足 ）， （7），设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =得图像关于直线1=x 对称，下列说法：1，);()2(x f x f =+ 2，)()4(x f x f -=+； 3，0)4()3()2()1(=+++f f f f ， 4，),()4(x f x f =+ 正确的是（ ）

A, 1 2 3 , B,1 3 , C,3 4 , D, 2 3 4 ,

(8),定义在R 上的函数][,)(1,1),()2()(3x x f x x f x f x f =-∈-=+时，且当满足 1，求][5,1)(在x f 上的表达是，

2，若}{,,,)(1Φ≠∈>=A R x a x f x A 且求实数a 的取值范围，