椭圆中的重要结论(用)

焦点三角形常用结论 （1）焦点三角形周长为2a+2c
bc (2)三角形MF1F2面积最大值为多少？
(3)SMF1F2
b2 tan
2
M
2b2
(4)
MF1
MF2

1 cos
F2
F1
当cos =1时，PF1 PF2 取最小值b2
(5)
MF1

MF2


MF1
2
MF2
2
a2
MF1 MF2 最大值为a2
yP
b2

A F1
F2
x PF1 a c cos
By
F1
F2
A
x
通径 AB
2b2
a
B
yP
b2
F2 x kPA kPB a2
A
双曲线中：kPA
kPB

b2 a2
Байду номын сангаас
焦半径范围 a c PF1 a c a c PF2 a c
5、椭圆的第二定义
(2).平面内一个动点M (x, y)到一个定点F (c,0)的
距离和它到一条定直线l : x a2 的距离的比是 c
小于1的正常数e c (a c 0)时,这个动点的轨 a
迹是椭圆.
这个定点是椭圆的焦点， 这条定直线叫做椭圆的准线，
y
Md
l
这个常数e是椭圆的离心率.

r
2 1

r
2 2
2r1r2 cos (r1 r2 )2 2(1 cos )r1r2 4a2
2(1 cos )r1r2 r1r2
2b2
1 cos
, SPF1F2

1 2
r1r2 sin
b2 sin

b2
tan

2
;
练习2.若点P是椭圆
x a
2 2

第五讲 椭圆
4、椭圆中的焦点三角形问题
由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形, 称作焦点三角形.
M
F2
F1
解决焦点三角形通常从以下几方面入手 （1）椭圆的第一定义 （2）三角形的正(余)弦定理,内角和定理 （3）三角形面积公式
M
F2
F1
焦点三角形常用结论 （1）焦点三角形周长为2a+2c
(2)三角形MF1F2面积最大值为多少？
bc M
F2
F1
例2、已知P是椭圆
x a
2 2

y2 b2
1(a
b

0)上的点,
F1, F2是椭圆的左右焦点,且F1PF2 ,求三角形
F1PF2的面积. 分析：设 | PF1 | r1,| PF2 | r2;则r1 r2 2a
Q
SPF1F2

1 2
r1r2
sin

,
而由余弦定理得4c2
y2 b2
1上的一点,F1和
F2分别是椭圆的左,右焦点,若F1PF2 ,求
证:SPF1F 2

b2

tan

2
.
y
P
F1
F2
x
练习1.已知点P是椭圆
y2 5

x2 4
1上的一点,F1
和F2是焦点,且F1PF2 300,求F1PF2的面积.
8-4 3
思考.若点P是椭圆
x2 a2
椭圆有两条准线 ,
其方程 : x a2 ; x a2 .
c
c
F1
F2
x
椭圆上一点P（x0，y0）和焦点F1、F2的连线 叫做点P处的焦点半径（或焦半径），如果分 别以r1，r2表示它们的长度，e表示离心率,
那么有
r1＝a＋ex0 r2＝a－ex0
这个公式叫做椭圆的
焦半径公式．

y2 b2
1上的一点,F1和
F2分别是椭圆的左,右焦点
（1）PF1 PF2 的最大值是多少？
（2）PF1
PF1 PF2
PFP2 F的1 2最PF小2 值2 是a2多少？F1
yP
F2
x
PF1 PF2 最大值为a2
PF1

PF2
2b2
1 cos
当cos =1时，PF1 PF2 取最小值b2