椭圆中的重要结论(用)

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圆锥曲线常见结论

圆锥曲线的方程与性质1、椭圆中的几个重要结论:(1) 定义及周长:2古=1(a b ■ 0)上的点，F1, F2是椭圆的焦点，/ F PF= 9 ,o o 1.r o距O最近，最近距离为b；b -c < PF1 PF2 <b2设P是椭圆笃-a过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦(通径)为最短，其长度为焦半径公式: PF2 =^ex0.（8）椭圆上的点A1距g的距离最近,最近距离为a-c, A距片的距离最远，最远距为a+c；b2兰PFPF2 <a(9)A、A为椭圆2 2x v2 2=1(a b 0)长轴两端点，P为椭圆上异于A1、A的点,a b则kpq kpf（10）k AB k OMb2~ .a(11)已知椭圆具有性质：若N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM PN的斜率k PM,k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值，k PM・k PN- □屮一尸mx + m x —mb22a2 2 - 2x —m b 宀,+x2- mT-a«定值）•2 2(12)经过椭圆=1(a b 0)上一点M(x0,y0)的切线方程为a bx0x. V0V — a2b22、双曲线中的几个重要结论:(1)定义及周长:2 2⑵ 设P 是双曲线笃一爲=1上的点，F 1，F 2是双曲线的焦点，/ HP 氐B ,a b则 PF1F2 二 b cot -(3)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦(通径)为最短，其长度为 (4)特征三角形:2 2笃岭=1右支上的点，F 2到其一条渐近线的距离为 b ; a 2 b 222②过双曲线冷 2 =1右焦点F 2引其一条渐近线的垂线，则第一象限内垂足的坐标一 b叵些)c c2 2(8)若M N 为双曲线* —缶=1( a >0, b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线 PM PN 的斜率k PM ， k PN 都存在时，那么k pM 与k pN 之积是与点P 的位置无关的2b 2；a①设P 是双曲线(5)焦半径公式:PF i =a+ex o ， PF 2⑹设P 是双曲线2告=1右支上的点，贝y PF 2 >c -a , b【例】(重庆高考)已知双曲线2 2 x y 22~ 1(a0, b 0)的左、右焦点分别为a bFj-cQ), F 2(C ,0),若双曲线上存在一点P 使sin PFiF 2=_g ，则该双曲线的离心率的取sin NPF 2R c值范围是(7 )渐近线方程：与双曲线2 x2a2告=1(a0,b 0)共渐近线的双曲线系方程为b2x_ 2 ,2 a b—=■ C --=0)，渐近线的方程为 2x 2a£o •2 2 I 2 2 2 I 2I i y — ny +ny — n bx — m b k pM k pN = • — _2 2 — —2 • 2 2= —2x — mx + mx — m a x — m a3、抛物线中的几个重要结论：（1）定义（转化化归思想）【例1】（1）已知抛物线x 2=4y 的焦点F 和点A （-1，8），P 为抛物线上一点，则|PA|+|PF| 的最小值是（）A.16B.6C.12D.9（2）（辽宁理10）已知点P 是抛物线y 2 =2x 上的一个动点，则点 P 到点（0, 2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A. -17B. 3C.5D. 92 2（3）（潍坊期末）已知点P 是抛物线y 2 =_8x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离是 d 1,到直线x y -1^0的距离是d 2,则d 1+d 2的最小值是（）【例】过抛物线 y 2=4x 的焦点的一条直线交抛物线于 A B 两点，正三角形 ABD 的顶点C 在该抛物线的准线上，则 △ ABC 的边长是（）A. 8B. 10C. 12D. 14⑷以AB 为直径的圆与准线相切；（5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切; ⑹ / CFD= 90 °定值， A.、.3 B. 23C.6 .2D.3【例2】两点，（潍坊一模）如图，已知直线 l : y =k （x +1）（ k >0）与抛物线C ： y 2=4x 相交于 B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M N,若|AM =2| BN | ,则k 的值是 (A)1(B)33(C) .2(D) 232【例3】已知抛物线 y 2=4x 的动弦 AB 的中点的横坐标为 2 ,则| AB 的最大值为（)A. 4B. 6C. 8D.12(2) 焦半径公式：(3) 焦点弦长公式： 2p | AB — X 1+ x 2+ p = . 2 ( B 为 AB 的倾斜角sin o1ITT/uX）；【例】过点M 1,O)作直线与抛物线y 2= 4x 交于A B 两点，贝y ]A M +]；皿2pX 1X 2=—；4，(9)设点A 的坐标为(a ,0), a € R,抛物线y 2=2px 上的点P 到点A 距离的最小值d,则d=f ( a ) 的函数表达式：齐IIl a1I AF1 I BF 12 为定值p ；2(8) y i y 2=- p ,欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

椭圆二级结论高频考点

椭圆二级结论高频考点引言椭圆是一种重要的几何形状，在数学和应用中都有广泛的应用。

椭圆的性质和特点在各类考试中经常被问及，而椭圆的二级结论是其中一个高频考点。

本文将深入探讨椭圆二级结论的相关知识点，包括定义、性质及应用。

定义椭圆可以通过以下定义得到：给定两个焦点F和F’和一条长度为2a的线段作为定长，所有与这条线段和焦点的距离之和等于定长的点所组成的轨迹被称为椭圆。

其中，焦点F和F’到椭圆上的任意一点的距离之和等于2a。

二级结论1：椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的参数，用来衡量椭圆的平扁程度。

离心率的定义可以通过焦距长度和长轴长度的比值得到。

数学上，椭圆的离心率e可以表示为：e=c a其中，c是焦距长度，a是长轴长度。

离心率e的取值范围为0到1，当e=0时，椭圆退化为一条线段；当e=1时，椭圆退化为一条抛物线。

二级结论2：椭圆的焦点与直径的中点椭圆的焦点与直径的中点之间有一个有趣的关系。

对于一个椭圆，任意一条直径的中点到焦点的距离之和等于长轴长度。

具体来说，设直径的中点为M，焦点为F和F’，则有MF + MF’ = 2a。

二级结论3：椭圆的切线与法线性质椭圆的切线与法线是椭圆性质的重要组成部分。

对于椭圆上的一点P，通过该点的切线和法线与椭圆的几何关系如下：切线•切线是指通过椭圆上一点的直线，且与椭圆相切于该点。

•切线与该点处的椭圆弧相切，且切线与椭圆的切点处的切线垂直。

•椭圆上任意一点处的切线的斜率等于该点处的导数。

•两条切线中点连线的中点在椭圆上。

法线•法线是指通过椭圆上一点的直线，且与椭圆的切线垂直于该点。

•法线与该点处的椭圆弧相切。

•椭圆上任意一点处的法线的斜率等于该点处的导数的负倒数。

应用椭圆的二级结论在数学和应用问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：圆锥曲线及天体力学椭圆是圆锥曲线中的一种，而圆锥曲线在天体力学中有着广泛的应用。

例如，奇焦椭圆轨道可以用来描述行星绕太阳运动的轨迹。

椭圆中的重要结论

椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正 (余)弦定理、内角和定理、面积公式等一•焦点三角形的形状判定及周长、面积计算2 2例1椭圆・ 1 1上一点P 到焦点F 「F 2的距离之差为2，试判断：PF 1F 2的形状. 16 12 性质一： 2 2已知椭圆方程为笃•爲=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形 a bPF 1F 2 中. F 1PF 2 ",则 S -F 1PF 2 形PF 1F 2，若一 F 1 PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

性质三：h 厶过椭圆焦点的所有弦中通径 (垂直于焦点的弦)最短，通径为2 b a 性质四： 2 2已知椭圆方程为务•每=1(a b 0),两焦点分别为F“ F 2,设焦点三角形a b2PF 1F 2 中 FfF 2- V,则 COST 一1 — 2e . 2 2一x y 例2 (2000年高考题)已知椭圆 — 2 =1(a b 0)的两焦点分别为F-F 2,若椭圆上a b存在一点P,使得三F 1PF 2二12。

0,求椭圆的离心率e 的取值范围。

二 b 2 tan —。

2 性质二：已知椭圆方程为 2 2+着 x 2 = 1(a b ■ 0),左右两焦点分别为F 1, F 2,设焦点三角例3已知椭圆的焦点是F i( —1, 0)、F2(1 , 0) , P为椭圆上一点，且| IF1F2 I 是 | PF I 和PR丨的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且/ PFF2= 120°,求tan F1PF2.欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

椭圆常用结论及其推导过程

椭圆中重要结论一椭圆中的一些不等关系2 2〔 1〕设椭圆〔 x2y 2 1(a b 0) 〕， P( x 0 , y 0 ) 是椭圆上任意一点， F 1, F 2 为ab椭圆的两个焦点，那么：① a x 0 a ， b y 0 b例 F 1, F 2 是椭圆 C :x 2y 21(a b 0) 的左右焦点， P 是椭圆上的一点且a 2b 2PF 1 PF 2 c 2 ，那么此椭圆离心率的范围是 ______.[ 3,2 ]32② b PO a 〔其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远〕③ PF 1 PF 2 2c .例假设椭圆上存在一点 P ，使得 P 到两个焦点的距离之比为 2 :1 ，那么此椭圆离心率的取值范围是 ______. [ 1,1)3④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点 . 到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点 .例椭圆x 2y 21(a b c 0) 的左右焦点分别为 F 1 , F 2 ，假设以 F 2 为圆C :a 2b 2心， b c 为半径作圆 F 2 ，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T ，且 PT 的最小值不小于3(ac) ，那么椭圆的离心率取值范围为 ______.[ 3, 2 )252④过椭圆焦点的所有弦中通径 ( 垂直于焦点的弦 ) 最短，通径为 2二椭圆焦点三角形的结论b 2a〔〕椭圆方程为x 2y 21(0), 两焦点分别为 F , F ,1a 2b 2ab12 设焦点三角形PF 1F 2 中F 1PF 2,那么 SF 1PF 2b 2 tan2例 F 1, F 2 是椭圆x 2y 2 1(a b0) 的两个焦点， P 为椭圆上一点，且a 2b 2PF 1 PF 2，假设 PF 1 F 2 面积为 9 ，那么短轴长为练习椭圆x 2y 21的焦点为 F 1, F 2 ，点 P 为其上的动点，当F 1 PF 2 为钝角时，94点 P 的横坐标的取值范围为 _______. ( 3 5 , 35 )55〔 2〕椭圆方程为x2y 21( a b 0), 左右两焦点分别为F1, F2,设焦点三a 2b2角形 PF1F2，假设PF1PF2最大，那么点 P 为椭圆短轴的端点，且最大值为a2.例椭圆x2y 21(a b0) 的两焦点分别为F, F, 假设椭圆上存在一点P,a 2b212使得 PF1 PF22b2，那么椭圆的离心率e的取值范围_________. [2,1)2〔 3〕椭圆方程为x2y 21( a b 0), 左右两焦点分别为F1, F2,设焦点三a 2b2角形 PF1F2，假设F1PF2最大，那么点P为椭圆短轴的端点例椭圆x2y 21(a b0) 的两焦点分别为F, F, 假设椭圆上存在一点P,a 2b212使得 F1PF2 90，那么椭圆的离心率3e的取值范围_________.[ ,1)2〔 4〕椭圆方程为x2y 21( a b 0), 两焦点分别为F1, F2,设焦点三角形a 2b22e2 .PF F中 FPF , 那么cos11212例椭圆x2y 21(a b0) 的两焦点分别为F, F, 假设椭圆上存在一点P,a 2b212使得F1PF21200 , 那么椭圆的离心率e的取值范围_________. [3,1)2三椭圆的中点弦问题〔 1〕在椭圆x 2y 2 1(a b 0) 中，假设直线 l 与椭圆相交于 M ， N 两点，点a 2b 2P( x 0, y 0 ) 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为，那么y 0b 2kMNx 0a 2〔 2〕在椭圆 y2x 2 1(a b 0) 中，假设直线 l 与椭圆相交于 M ， N 两点，点a 2b 2P( x 0, y 0 ) 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为，那么y 0a 2kMNx 0b 2例 1 椭圆x 2y 21，以点 M ( 1,2) 为中点的弦所在直线的斜率为_____. 〔 9〕16 932例 2 椭圆 E： x 2 y 2 1(a b 0) 的右焦点为 F (3,0) ，过点 F 的直线交 Ea 2b 2于 A, B 两点 . 假设 AB 的中点坐标为 (1,1) ，那么椭圆的方程为 _________.2 2（x y1〕 18 9练习 1 椭圆y 2x 21 的一条弦的斜率为 3 ，它与直线 x1的交点恰为这75 252条弦的中点 M ，那么 M 的坐标为 _____. (1, 1 )2 2练习 2 椭圆y 2x 2 1 ，那么它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为 _____.75 25 x y 0(5 3x5 3 ) 22〔综合题〕椭圆 E 过点 A(2,3) ，对称轴为坐标轴，焦点 F 1, F 2 在 x 轴上，离心率 e1 .2〔 1〕求椭圆 E 的方程；x 2y 2 11612〔 2〕求 F 1AF 2 的角平分线所在的直线 l 的方程； 2x y 1 0（ 3〕在椭圆上是否存在关于直线 l 对称的相异的两点？假设存在，请找出；假设不存在，说明理由 . 〔不存在〕四椭圆与直线的位置关系及其弦长公式假设椭圆 x2y21(a b 0) ，直线l : y kx b(k 0)与椭圆交于 A( x1, y1 ) ，a2b2B( x2 , y2 ) 两点，那么弦AB 的长度为：AB21k x1x2或AB11k2y1y2例设椭圆的右焦点为 F ，过 F 的直线l与椭圆C相交于A, B两点，直线l的倾斜角为 60 ， AF 2FB .〔 1〕求椭圆的离心率；〔 2〕如果AB 15，求椭圆C的方程.l 4练习1椭圆 C :2x y21，直线l 过点 E( 1,0) 且与椭圆相交于A, B两点，4是否存在AOB面积的最大值，假设存在，求出AOB的面积，假设不存在，说明理由 .练习2椭圆 C :2x y21，假设直线l : y kx m(k0) 与椭圆相交于不同的4两点 M,N 〔出定点的坐标M ,N .不与左右顶点重合〕，且MA NA0，求证：l 过定点，并求。

专题：椭圆几何相关的二级结论及推导-讲解(最全、最经典)

专题：椭圆几何相关的二级结论及推导-讲解(最全、最经典)1. 引言本文将讨论椭圆几何相关的二级结论及推导。

椭圆几何是一门重要的数学分支，应用广泛。

通过深入理解和推导椭圆几何的二级结论，我们可以更好地应用于实际问题中。

2. 二级结论及推导2.1 椭圆的焦点性质椭圆是一个非常特殊的形状，它具有一些独特的性质。

其中一个重要的性质是焦点性质。

2.1.1 定义椭圆的焦点是指椭圆内部到两个焦点的距离之和是一个常数。

符号表示为 $2a$，即 $PF_1+PF_2=2a$。

2.1.2 推导我们可以通过推导来证明椭圆的焦点性质。

首先，考虑椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

假设椭圆上任意一点为 $P(x,y)$，焦点为 $F_1(c,0)$ 和 $F_2(-c,0)$。

根据距离公式可得：$PF_1=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ 和$PF_2=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$。

将以上约束条件带入焦点性质的定义中可得：$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$。

经过一系列推导和化简，可得最终结果：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，即为椭圆的标准方程。

2.2 椭圆的弦长公式椭圆的弦是连接椭圆上两点的线段。

弦的长度也有一个重要的公式。

2.2.1 定义椭圆的弦长是连接椭圆上两点的线段的长度。

2.2.2 推导我们可以通过推导来求解椭圆的弦长公式。

假设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，连接两点的线段为弦，而弦的端点分别为 $A(x_1,y_1)$ 和$B(x_2,y_2)$。

根据距离公式可得：$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。

再根据椭圆的标准方程可得：$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1$ 和$\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$。

几何中的椭圆形心定理

几何中的椭圆形心定理椭圆形心定理，也称为联络圆定理，是在椭圆中成立的一个重要定理。

它确定了椭圆内部所有线段的端点连成的三角形的内切圆的圆心与椭圆的中心重合。

本文将介绍椭圆形心定理的含义、证明和应用。

一、椭圆形心定理的含义椭圆形心定理指出，任意在椭圆内部取三个点，连接这三个点得到的三角形的内切圆的圆心恰好位于椭圆的中心。

这一定理是在17世纪由法国数学家奥盖尔发现的，并由其命名为"椭圆形心定理"。

二、椭圆形心定理的证明为了证明椭圆形心定理，我们需要先引入一些辅助性质。

设椭圆O 为原点，a、b分别为x轴和y轴上的半径，假设椭圆上有三点A、B、C。

首先我们可以证明在这三个点上，任意两个切线（分别过A、B、C点）的交点构成的直线交于同一点P。

首先，连接AO、BO、CO，并延长直到和椭圆交于点D、E、F。

由于D、E、F是椭圆上的点，所以有OD=OE=OF=R，其中R表示椭圆的半径。

因为AO与椭圆的交点是A，所以AO垂直于椭圆上的切线，同理BO、CO也垂直于椭圆上的切线。

所以，我们可以得到△AOE、△BOF、△COD都是直角三角形。

由于△AOE是直角三角形，所以OE的中点M在椭圆的周长上。

同理，BF的中点N以及CD的中点L也分别在椭圆的周长上。

连接MN、NL、LM并延长，三线交于一点P。

根据定理可知MN、NL、LM是两两相切的，而这三条切线交于同一点P。

所以我们证明了椭圆形心定理的几何性质。

三、椭圆形心定理的应用椭圆形心定理在几何学和工程学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 建筑设计：在建筑设计中，椭圆形心定理可以用于绘制准确的椭圆形结构，例如圆顶和圆形门洞等。

2. 航空航天工程：在航空航天工程中，椭圆形心定理可以应用于火箭发动机喷嘴的设计，确保燃烧室和喷嘴之间的结构准确。

3. 汽车制造：在汽车制造中，椭圆形心定理可以用于设计悬挂系统和车轮轨迹，以确保行驶平稳性。

4. 光学设计：在光学设计中，椭圆形心定理可以用于确定透镜和镜头的中心位置，确保光线聚焦准确。

高中数学椭圆二级结论

高中数学椭圆二级结论椭圆是椭球面上的一种形状，它有着众多的应用，包括汽车制造、航空航天、零件制造和精密机械等。

椭圆是一种数学几何形状。

它是一条形象的线，一个有限的部分空间，像一台缝纫机的布料，可以用来模拟不同的实际场景。

椭圆二级结论是椭圆数学方面的重要结论，这也是高中生需要学习和掌握的重要知识，特别是在考试中，它往往是考核中重要的知识点。

椭圆二级结论有三种，即椭圆定律，中心定律和焦点定律。

椭圆定律是椭圆的主要性质，它表明椭圆是由许多相似的椭圆组成的，这些椭圆具有相同的尺寸，角度和方向。

中心定律指出椭圆的中心是一个固定的点，它是椭圆的几何中心，椭圆的长轴和短轴可以由其中心确定。

焦点定律指出椭圆的两个焦点是固定的，它们可以用来定义椭圆的长轴和短轴。

椭圆的定义在几何学中包括了一些基本的定理。

椭圆的定义指明椭圆是一种椭球面，它包括两个焦点和一个椭圆面，并以椭圆面上一点为中心变换椭圆形状；它还提出了椭圆的参数方程，椭圆的定义通常根据椭圆的参数方程来进行计算。

椭圆的定义有着重要的理论意义，它表明椭圆可以由其参数方程进行确定，因此可以完美地描述不同的椭圆。

椭圆二级结论是椭圆数学领域中重要的一类结论，它可以概括椭圆的数学特性，为研究椭圆形、椭球面和其他几何形状提供理论支持。

在学习椭圆二级结论之前，学生需要掌握椭圆的定义，并加深对椭圆参数方程的理解，学生还需要了解几何学中的其他定理，以便更好地理解椭圆的实际运用。

椭圆二级结论的掌握有利于学生在高中学习数学课程时理解椭圆的定义和椭球面的特性，它可以帮助学生记住椭圆的关键性质，使用椭圆的三个定律来帮助求解复杂的数学问题。

此外，椭圆二级结论还可以帮助学生更好地理解椭圆的实际应用，比如天文学、天体力学、建筑设计等方面，从而为学生未来学习科学知识提供基本的理论基础。

综上所述，椭圆二级结论是椭圆数学领域中重要的一类定理，学生在学习椭圆二级结论时，应在理解椭圆的定义和参数方程的基础上，掌握椭圆的三个定律，并且加深对几何学中的其他定理的理解，以便更好地理解椭圆的数学特点、实际应用和椭球面的概念。

椭圆极点极线定理结论

椭圆极点极线定理结论
椭圆极点极线定理是解析几何中的一个重要定理，它描述了椭圆曲线上的极点和极线的性质。

该定理是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

椭圆曲线是平面上的一条曲线，其形状类似于一个椭圆。

椭圆曲线上的点可以用坐标系中的坐标表示。

在椭圆曲线上，存在一些特殊的点，称为极点。

极点有一个重要的性质，即通过极点的直线称为极线。

椭圆极点极线定理描述了椭圆曲线上的极点和极线之间的关系。

具体来说，椭圆极点极线定理的结论如下：
对于任意一条椭圆曲线，其上的任意一点P都可以确定一条极线L，同时，对于任意一条极线L，其上的任意一点Q都可以确定一个极点P。

这个极点P和极线L的确定是唯一的。

此外，椭圆曲线上的任意两条极线L1和L2都有且仅有一个交点，该交点称为极点P。

同时，任意两个极点P1和P2之间都有且仅有一条极线L，该极线L 同时经过P1和P2。

椭圆极点极线定理的结论表明，椭圆曲线上的极点和极线之间存在着一种特殊的
对应关系。

这种对应关系可以用来解决一些几何问题，例如确定椭圆曲线上的一些特殊点的位置，或者求解椭圆曲线上的一些特殊直线的方程等。

总之，椭圆极点极线定理是解析几何中的一个重要定理，它描述了椭圆曲线上的极点和极线之间的特殊关系，为解决一些几何问题提供了有力的工具。

椭圆的所有二级结论

椭圆的所有二级结论椭圆是欧几里德几何学和微积分学中最基础的几何体，它被广泛应用于数学、物理学、工程学、经济学等领域。

很多椭圆相关的研究，都能帮助我们更好地理解它，并利用它来解决实际问题。

本文试图总结椭圆的一些二级结论，以期能对椭圆的研究作出更多的深入探究。

首先，让我们从椭圆的定义开始讨论。

椭圆是一个二维的曲面，它的定义是：一系列的点组成的曲线，使得它们组成的面积恒定，参数方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴，坐标原点为椭圆的中心点。

接下来，我们来讨论椭圆的性质。

椭圆是对称的，它的对称轴为它的长轴和短轴；椭圆的曲率都是相等的，且都小于圆的曲率。

如果长轴和短轴的比值相等，则椭圆可以通过旋转变成圆形。

接下来，我们可以探究一下椭圆的解析学性质。

我们可以利用积分来研究椭圆的面积、周长、曲线长度和笛卡尔态密度等问题。

另外，关于椭圆的微积分学性质，我们可以用它求解椭圆上非常复杂的问题，例如电磁学场、热学场等等。

此外，我们还可以探究一下椭圆的几何学性质。

这其中包括椭圆的平行弦和直角弦的计算方法、椭圆的顶点和焦点的计算方法、椭圆的点对称点的计算方法、椭圆与其它几何体的位置关系等等。

上述是椭圆的一些二级结论，从椭圆的定义出发，我们开始讨论它的性质，进而分析它的解析学性质和几何学性质，最终讨论到一些详细的计算方法，以此来探究其巧妙的构造。

椭圆的研究对于很多领域都有着重要的意义，它不仅被用来求解复杂的物理问题，同时它还被大量用于经济学、数学建模等方面，从而在工程和科学研究方面发挥着重要作用。

因此，研究和解决椭圆相关问题，将会帮助我们更好地理解它，并利用它来解决实际问题。

总之，椭圆是欧几里德几何学和微积分学中最基础的几何体，它的研究具有重要的意义。

本文试图总结椭圆的一些二级结论，以期能对椭圆的研究作出更多的深入探究。

此外，研究和解决椭圆相关问题，将会帮助我们更好地理解它，并利用它来解决实际问题。

椭圆的92条神仙级结论

椭圆的92条神仙级结论
椭圆是高中数学的重要内容，以下是椭圆的92条神仙级结论：
1. 若P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|=2a。

2. 椭圆的焦点三角形面积公式：$\underline{S=b^2\tan\frac{\theta}{2}}$。

3. 椭圆的准线方程：$\underline{x=±a^2\frac{c}{a}}$。

4. 椭圆的焦半径公式：$\underline{|PF1|=a+ex}$，$\underline{|PF2|=a-ex}$（F1为左焦点，F2为右焦点，P为椭圆上任意一点）。

5. 椭圆的切线方程：$\underline{椭圆上一点P(x_0,y_0)处的切线方程是x_0x+y_0y=1}$。

6. 椭圆的焦准距：$\underline{椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到相应准线的距离，其数值为离心率的倒数，即$p={\frac{1}{e}}$。

$0\lt e\lt1$。

椭圆的性质还有很多，同学们可以在学习中不断总结和积累。

高中数学-椭圆与双曲线共焦点常用7结论与8应用(教师版)

椭圆与双曲线共焦点常用7结论与8应用圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，下面我们介绍此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用一、常用结论结论1：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点)0,(),0,(21c F c F -，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点),(00y x P 是1C 和2C 的一个公共点，则c a a x 210=，c b b y 210=，212100a a b b x y =证明：因为点),(00y x P 是1C 和2C 的一个公共点，所以21122112122a a PF a PF PF a PF PF +=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+由焦半径公式得caa x a a x a c a x e a PF 210210110111=⇒+=+=+=，代入椭圆的方程得c b b y 210=，所以212100a a bb x y =结论2：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则2221222121b b a a PF PF +=-=，222121b b PF PF -=⋅，2121b b S F PF =∆证明：设θ=∠21PF F ，由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+21221122112122a a PF a a PF a PF PF a PF PF 222121a a PF PF -=⇒由余弦定理得2cos 2cos 221212111112212121F F PF PF PF PF PF PF F F PF PF -+=⇒-+=θθ所以222122221212422b b c a a PF PF -=-+==⋅21222122212cot 2tan 2cot 2tan21b b b b b b S F PF =⋅===∆θθθθ结论3：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，θ=∠21PF F ，则122tan b b =θ，2221222122212221cos b b b b a a b b +-=--=θ，特别地，若21b b =，则02190=∠PF F ，反之亦然证明：⇒==∆2cot 2tan 222121θθb b S F PF 212tan b b =θ，22212221cos a a b b PF PF --==θ结论4：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点)0,(),0,(21c F c F -，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则222122212122b b e b e b +=+证明：22122212212111c b c c b c a e +=+==------①，22222222222211cb c b c c a e -=-==-------②，①+⨯22b ②21b⨯得222122212122b b e b e b +=+注：结论4反映2121,,,b b e e 之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是2121,e e ，分子分别是2221,b b ，等式右边是21,b b 的平方和结论5：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，θ=∠21PF F ，则2cos 1cos 12221=++-e e θθ，即12cos 2sin 222212=+e e θθ证法1：因为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+21221122112122a a PF a a PF a PF PF a PF PF ，所以在21F PF ∆中余弦定理得θcos ))((2)()(421212212212a a a a a a a a c -+--++=θcos )(22222212221a a a a --+=两边都除以22c 得222122212221cos 1cos 1cos 11(112e e e e e e θθθ++-=--+=⇒+=⇒2222122cos 22sin 22e e θθ12cos 2sin 222212=+e e θθ证法2：2sin 2cos)(2cos 2sin)(2cot 2tan 222221222121θθθθθθa c c a b b S F PF -=-⇒==∆⇒-=-⇒2cos )11(2sin )11(222221θθe e 12cos 2sin 2cos 2sin 22222212=+=+θθθθe e 结论6：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线互相垂直证明：设点),(00y x P ，则椭圆1C 在点P 处的切线为1210210=+b yy a x x ，斜率为0210211y a x b k -=双曲线2C 在点P 处的切线为1220220=-b yy a x x ，斜率为0220221y a x b k =，所以20222120222121y a a x b b k k -=，又由结论1知212100a a b b x y =120222120222121-=-=⇒y a a x b b k k ，所以1C 和2C 在点P 处的切线互相垂直结论7：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 的一个公共点为P ，若椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线互相垂直，则它们有共同的焦点证明：设点),(00y x P ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+212222212221222120212222212221222120222022202120212011b a b a a a b b y b a b a b b a a x b y a x b y a x ，椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线分别为1210210=+b y y a x x 和1220220=-b yy a x x ，斜率为0210211y a x b k -=，0220222y a x b k =因为1C 和2C 在点P 处的切线互相垂直，所以222120222120202221202221211b b y a a x y a a x b b k k =⇒-=-=所以2222212122212221212222212221212222212221b a b a a a b b b a b a a a b a b a b b +=-⇒-=+⇒+-=++，所以它们有共同的焦点二、典型应用（一）公共点问题例1.已知点21,F F 分别为椭圆1C ：11022=+y x 的左、右焦点，椭圆1C 与双曲线2C ：1822=-y x 的一个交点为P ，O 坐标原点，直线OP 的斜率为k ，则=k 解析：20581011212100=⨯⨯===a ab b x y k （二）公共焦点三角形问题例2.已知椭圆1C ：)1(1222>=+m y m x 与双曲线2C ：)0(1222>=-n y nx 有公共焦点21,F F ，P是它们的一个公共点，则21F PF ∆的面积为，21F PF ∆的形状是解析：1112121=⨯==∆b b S F PF ，所以01219012tan121=∠⇒=∠⨯=∆PF F PF F S F PF ，所以21F PF ∆的形状是直角三角形例3.（2022·上海·高三专题练习）已知点P 是椭圆14822=+y x 与双曲线222=-y x 的一个交点，21,F F 为椭圆的两个焦点，则=21PF PF 解析：628222121=-=-=a a PF PF 例4.椭圆1C ：11622=+m y x 与双曲线2C ：1822=-ny x 有相同的焦点21,F F ，P 为两曲线的一个公共点，则21F PF ∆面积的最大值为（）A.4B.32 C.2D.34解析：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+224224248212121PF PF PF PF PF PF ，所以当21PF PF ⊥时，21F PF ∆面积最大，最大值为4)(2121222121=-=a a PF PF ，故选A （三）角度问题例5.设椭圆1C ：181222=+y x 与双曲线2C ：)0(122>=-m y mx 有公共的焦点21,F F ，点P是1C 和2C 的一个公共点，则=∠21cos PF F （）A.97 B.92 C.41 D.91解法1：422212tan 1221===∠b b PF F ，所以724)42(1422tan 221=-⨯=∠PF F 所以=∠21cos PF F 97，故选A 解法2：=+-=+-=1818cos 22212221b b b b θ97例6.（2022浙江嘉兴市·高二月考）设椭圆12622=+y x 与双曲线1322=-y x 有公共焦点21,F F ，点P 是两条曲线的一个公共点，则=∠21cos PF F 解析：=∠21cos PF F 22212221a a b b --313612=--=（四）公共点处切线有关问题例7.已知椭圆192522=+y x 与双曲线C ：)0,0(12222>>=-n m n y m x 有公共焦点21,F F ，点)59,4(P 在双曲线C 上，则该双曲线在点P 处的切线的斜率为解析：注意到点P 在椭圆上，即点P 是椭圆与双曲线的公共点，椭圆在点P 处切线为15254=+y x ，其斜率为54-，所以双曲线在点P 处的切线的斜率为45例8.若两曲线在交点P 处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点P 处正交．设椭圆C ：)20(14222<<=+b b y x 与双曲线1222=-y x 在交点处正交，则椭圆C 的离心率为解析：由题意知题意与双曲线共焦点，所以3=c ，所以椭圆C 的离心率为23（五）求离心率的值（或取值范围）例9.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点21,F F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，21F PF ∆是以一个以1PF 为底的等腰三角形，41=PF ，1C 的离心率为73，则2C 的离心率是（）A.2B.3C.32 D.6解析：由题意32734221=⇒=+=c c c e ，所以31432=-=e ，故选B例10.已知21,F F 是双曲线1C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 与椭圆2C ：192522=+y x 的公共焦点，点P 是曲线1C 、2C 在第一象限的交点，若21F PF ∆的面积为63，则双曲线1C 的离心率为（）A.5102 B.310 C.553 D.25解析：66332121=⇒===∆b b b b S F PF ，又222122212122b b e b e b +=+，即=1e 6925169621+=+e 解得51021=e ，故选A （六）共焦点椭圆、双曲线离心率的关系例11.已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且3221π=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则=+222113e e （）A.4B.32C.2D.3解析：由题意413160cos 60sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，故选A 例12.设21,e e 分别为具有公共焦点21,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足21PF PF ⊥，则22212221e e e e +的值为（）A.21 B.1 C.2D.不确定解析：由题意2211145cos 45sin 22212221222122022102=+⇒=+⇒=+e e e e e e e e ，故选B 例13.（2022河南郑州市·高三一模）已知21,F F 是椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的公共焦点，A 是21,C C 在第二象限的公共点.若21AF AF ⊥,则双曲线2C 的离心率为（）A.56 B.26 C.3 D.2解析：由题意=⇒=+⇒=+2222202210221431145cos 45sin e e e e 26，故选B 例14.设P 为有公共焦点21,F F 的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且21PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，，双曲线2C 的离心率为2e ，若123e e =，则=1e 解析：由题意211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又123e e =，所以29112121=+e e 351=e 例15.（2022陕西渭南市，高二期末）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知21,F F 是一对相关曲线的焦点，P 椭圆和双曲线在第一象限的交点，当02160=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A.3B.2C.332 D.2解析：由题知431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又121=e e ，所以432222=+e e ，解得=2e 3，故选A（七）离心率的范围问题例16.（2021·全国高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，02190=∠PF F ，若椭圆的离心率]322,43[1∈e ，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围为解析：由题211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又]322,43[1∈e ，所以]223,7142[2∈e 例17.设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，21,F F 分别为左､右焦点，1C 和2C 在第一象限的交点为M ，若21F MF ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率]27,2[2∈e ，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A.]95,94[ B.]167,0( C.167,52[ D.)1,72[解析：21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e ，又]27,2[2∈e ，所以∈1e ]167,52[，选C（八）与离心率有关的不等式问题例18.（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知21,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且321π=∠PF F ，若椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，则21e e 的最小值为A.4151+B.332 C.415 D.23解析：由题⇒⋅≥=+⇒=+2221222122022102312431130cos 30sin e e e e e e ≥21e e 23，当且仅当2312221==e e 即26,2221==e e 时等号成立，故选D 例19.（2021·新江宁这育·高二期末）已知21,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且3221π=∠PF F ，若椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则222127e e +的最小值为（）A.25B.100C.9D.36解析：由题知413160cos 60sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，所以)13)(27(4127222122212221e e e e e e ++=+25)327282(41)32782(412122222121222221=⋅+≥++=e e e e e e e e ，当且仅当21222221327e e e e =即7,3721==e e 时等号成立，故选A 令析：由柯西不等式得)13)(27(4127222122212221e e e e e e ++=+25)19(412=+≥，故选A例20.(2014高考湖北卷)已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且02160=∠PF F ，则若椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则2111e e +的最大值为()A.334 B.332 C.3 D.2解析:由题意得431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，由柯西不等式得316)31)(311()33111(11(2221221221=++≤⨯+⨯=+e e e e e e ，当且仅当321ee =即331=e ，32=e 时等号成立，2111e e +的最大值为334，故选A例21.已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有相同的焦点21,F F ，1C 和2C 的离心率分别为21,e e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的第一象限的交点，且321π=∠PF F ，2121e e ee +的取值范围是解析：由题意431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，令θθsin 23,cos 2121==e e ，则由301sin 32101cos 2121πθθθ<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=<>=e e ，所以)3sin(334sin 32cos 21121πθθθ+=+=+e e ]334,2(∈所以2121e e e e +的取值范围是21,43[例22.（2022·河南洛阳·模拟预测）已知F 是椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点，A 为椭圆1C 的下顶点，双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 与椭圆1C 焦点，若直线AF与双曲线2C 的一条渐近线平行，21,C C 的离心率分别为21,e e ，则2121e e +的最小值为解析：由题意12122222222222222=⇒=⇒-=-⇒=⇒=e e mc c a m m c c c a m n c b m n c b 所以22212212121=⋅≥+e e e e ，当且仅当2121e e =即2,2221==e e 时等号成立，所以2121e e +的最小值为22例23.已知中心在坐标原点的椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点，且左，右焦点分别为21,F F ，1C 与2C 在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若101=PF ，1C 与2C 的离心率分别为21,e e ，则212e e +的取值范围是A.),221(+∞+ B.),35(+∞ C.),1(+∞ D.),65(+∞解析：2112102,10222121=-⇒-=+=e e c c e c c e 12221+=⇒e e e ，所以222211222e e e e e ++=+令3122>=+t e ，则=+212e e t t t t t 1221211-+=-+-，因为t t t f 1221)(-+=在),3(+∞∈t 上递增，所以35)3()(=>f t f ，即212e e +的取值范围为),35(+∞，故选B例24.已知椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点21,F F ，其中1F 为左焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，21,e e 分别为曲线21,C C 的离心率，若21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，则12e e -的取值范围为解析：21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e 12221+=⇒e e e ，所以=-12e e 12222+-e e e 令3122>=+t e ，则=-12e e 1)1(212121-+=---t t t t t ，因为1)1(21)(-+=t t t f 在),3(+∞∈t 上递增，所以32)3()(=>f t f ，即12e e -的取值范围为),32(+∞例25.（2022·吉林·希望高中高二期末）椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有公共焦点21,F F ，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ，O 为坐标原点，2214MF F F =，则12e e -的取值范围是解析：211122,22211211=-⇒-=+=e e c PF c e cPF c e 22221+=⇒e e e ，所以12e e -22222+-=e e e 424222-+++=e e ，由211122022221<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><+=<e e e e e ，令)4,3(22∈=+t e ，则4412-+=-t t e e ，因为函数44)(-+=t t t f 在)4,3(上递增，所以1)4(,31)3(==f f ，所以12e e -)1,31(∈提升训练1.如图21,F F 是椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的公共焦点B A ,分别是21,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（）A.2B.3C.23 D.26解析：由题意02190=∠AF F ，所以211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又231=e ，所以=2e 26，故选D 2.已知椭圆1922=+y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 共焦点21,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且021=⋅PF PF ，则双曲线的渐近线方程为（）A.x y 77±= B.x y 7±= C.x y 37±= D.x y 773±=解析：由题意211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又3221=e ，所以222=e 所以722)(122=⇒=+=abab e ，所以双曲线的渐近线方程为x y 7±=，故选B 3.（2022·四川·阆中中学高二月考（文））设P 是椭圆1244922=+y x 和双曲线12422=-y x 的一个交点，则=∠21PF F （）A.6πB.3π C.4π D.2π解析：易知椭圆和双曲线共焦点，所以=∠⇒==∠21122112tanPF F b b PF F 2π，故选D4.若)0,5(),0,5(21F F -是椭圆1C ：1822=+m y x 与双曲线2C ：1422=-ny x 的公共焦点，且P 是1C 与2C 一个交点，则=∠21PF F （）A.6π B.3π C.2π D.32π解析：1,3548==⇒=+=-n m n m ，所以=∠21cos PF F 21481322212221=--=--a a b b ，所以=∠21PF F 3π，故选B 5.已知有相同焦点21,F F 的椭圆)1(1222>=+m y m x 和双曲线)0(1222>=-n y nx ，点P 是它们的一个交点，则21F PF ∆面积为解析：12121==∆b b S F PF 6.已知椭圆1422=+m y x 与双曲线122=-ny x 有公共的焦点21,F F ，若P 为两曲线的一个交点，则=21PF PF 解析：222121a a PF PF -=314=-=7.（2016·上海市延安中学三模（文））已知椭圆1C ：)1(1222>=+a y a x 与双曲线2C ：)0(1222>=-m y mx 有公共焦点21,F F ，两曲线在第一象限交于点P ，PI 是21PF F ∠的角平分线，O 为坐标原点，G F 1垂直射线PI 于H 点，若1=OH ，则=a 解析：由1=OH 可知1=m ，所以31112=⇒+=-a a 8.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有公共焦点21,F F ，点P 是两曲线的一个交点，若221=PF PF ，则=+22n b 解析：=+=222121b b PF PF 222=+n b 9.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点21,F F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，21F PF ∆是一个以1PF 为底的等腰三角形，41=PF ，1C 的离心率是73，则2C 的离心率是（）A.76B.67 C.56 D.3解析：32734221=⇒=+=c c c e ，所以33432422=-=-=c c e 10.（多选题）（2022江苏·高二专题练习）若双曲线1C ：)0(12222>=-b b y x 与椭圆2C ：14822=+y x 有相同的左右焦点21,F F ，且1C 与2C 在第一象限相交于点P ，则（）A.21=PF B.1C 的渐近线方程为x y ±=C.直线2+=x y 与1C 有两个公共点 D.21F PF ∆的面积为22解析：23222211=+=+=a a PF ，A 错；24822=⇒-=+b b ，所以渐近线方程为x y ±=，B 正确；直线2+=x y 与渐近线平行，与1C 仅一个公共点，C 错；222121==∆b b S F PF ，D 正确；故选BD11.（多选题）（2022重庆巴蜀中学高三月考）已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有公共焦点21,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底的等腰三角形，21,C C 的离心率分别为21,e e ，则（）A.22222121b a b a +=- B.21121=+e e C.112=-e e D.21,31(1∈e 解析：因为椭圆与双曲线共焦点，所以⇒+=-=212222212b a b ac 22222121b a b a +=-，A 正确；21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e ，所以B 错，C 错；因为12>e ，所以21121+=e e )3,2(∈)21,31(1∈⇒e ，D 正确；故选AD12.（多选题）（2022江苏·高二单元测试）已知椭圆C ：)0(13222>=+b b y x 与双曲线1C ：122=-y x 共焦点，过椭圆C 上一点P 的切线l 与x 轴、y 轴分别交于B A ,两点21,(F F 为椭圆C 的两个焦点)，又O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最小时，下列说法正确的是（）A.1=bB.21PF F ∠的平分线长为362C.02190=∠PF F D.直线OP 的斜率与切线l 的斜率之积为定值31-解析：因为椭圆C 与双曲线1C 共焦点，所以11132=⇒+=-b b ，A 正确；设点),(00y x P ，则切线l ：1300=+y y x x ，所以)1,0(),0,3(00y B x A ，所以2332130020202020≤⇒≥=+y x y x y x 所以00001231321y x y x S OAB ==∆3≥，当且仅当22,2600==y x 时等号成立，此时022123222(2020200021=-+=-+=+-+=⋅y x y x x PF PF ，所以02190=∠PF F ，C 正确；由角平分线张角定理得3631311311145cos 2210=⇒=-++=+=PM PF PF PM 所以B 错；直线OP 斜率与切线l 的斜率之积为31)3(0000-=-⨯y x x y ，所以D 正确，故选ACD 13.（2022全国·高三月考）设椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 有公共焦点21,F F ，将21,C C 的离心率记为21,e e ，点A 是21,C C 在第一象限的公共点，若点A 关于2C 的一条渐近线的对称点为1F ，则=+222111e e 解析：由题意02190=∠AF F ，所以211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e 14.已知21,F F 为椭圆1C ：12222=+y m x 和双曲线2C ：1222=-y nx 的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且211F F PF ⊥，那么椭圆1C 和双曲线2C 的离心率之积为解析：因为211F F PF ⊥，所以n m nm 212=⇒=，又1222+=-n m ，所以1,2==n m 所以122221=⨯=e e15.（2022·浙江·高三学业考试）已知椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m n y m x 有公共焦点21,F F ，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，x PM ⊥轴，M 为垂足，若O OF OM (322=为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为解析：由232OF OM =知点P 横坐标为c 32，所以m c e c e a PF -⋅=⋅-=32322122311)(32212121=⇒+=+=+⇒e e e e c m a e e 16.已知椭圆1422=+m y x 与双曲线122=-ny x 的离心率分别为21,e e ，且有公共的焦点21,F F ，则=-22214e e ，若P 为两曲线的一个交点，则=21PF PF 解析：椭圆与双曲线共焦点，所以314=+⇒+=-n m n m ，所以0)(3)1(4)4(442221=+-=+--=-n m n m e e ，314222121=-=-=a a PF PF 例17.已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且321π=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则当211e e 取最大值时，21,e e 的值分别是（）A.26,22 B.25,21 C.6,33 D.3,42解析：由题⇒⋅≥=+⇒=+2221222122022102312431130cos 30sin e e e e e e ≥21e e 23，当且仅当2312221==e e 即26,2221==e e 时等号成立，故选A。

高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论

高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论【名师综述】在高考中，圆锥曲线肯定要出一至两道小题，难度在中等偏上，所以，为了节省时间，记住一些重要的结论，到时候就可以直接用了！下面小数老师给大家带来8条出题率最高的结论，一定要记住哦;【典例剖析】例题1.椭圆＝1上存在n个不同的点P1，P2，…，P n，椭圆的右焦点为F．数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）A．16B．15C．14D．1312 【分析】（|P n F|）min≥|a﹣c|＝，（|P n F|）max≤a+c＝3，|P n F|＝|P1F|+（n﹣1）d．再由数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，可求出n的最大值．【解答】解：∵（|P n F|）min≥|a﹣c|＝，（|P n F|）max≤a+c＝3，||P n F|＝|P1F|+（n﹣1）d ∵数列{|P n F|}是公差d大于的等差数列，∴d＝＞，解得n＜10+1，则n的最大值为15故选：B．【典例剖析】例题2.已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．解法一：基本解题法【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，利用斜率计算公式可得＝＝．于是得到，化为a2＝2b2，再利用c＝3＝，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．3∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，＝＝．∴，化为a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为．故选：D．解法二：结论解题法【典例剖析】例题3.椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．45【分析】由题意求A 1、A 2的坐标，设出点P 的坐标，代入求斜率，进而求PA 1斜率的取值范围．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A 1（﹣2，0）、A 2（2，0），设点P （a ，b ）（a ≠±2），则＝1…①，＝，＝；则＝＝，将①式代入得＝﹣，∵∈[﹣2，﹣1]，∴∈．故选：D ．解法二：结论解题法【典例剖析】例题4.已知P是椭圆+＝1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若＝，则△F1PF2的面积为（）A．3B．2C．D．【分析】先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F1F2|，设F1P＝m，F2P＝n，再根据条件求出∠F1PF2＝60°，然后利用余弦定理可求得mn的值，je利用三角形面积公式求解．【解答】解：由题意可得：a＝5，b＝3，所以c＝4，即F1F2＝2c＝8．设F1P＝m，F2P＝n，所以由椭圆的定义可得：m+n＝10…①．因为，所以由数量积的公式可得：cos＜＞＝，所以．在△F1PF2中∠F1PF2＝60°，所以由余弦定理可得：64＝m2+n2﹣2mn cos60°…②，由①②可得：mn＝12，所以．故选：A．解法二：结论解题法67【典例剖析】例题5. 已知椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．【分析】当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值，由此可得结论．【解答】解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值．由此可得：∵椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角， ∴△P 0F 1F 2中，∠F 1P 0F 2＞90°， ∴Rt △P 0OF 2中，∠OP 0F 2＞45°，所以P 0O ＜OF 2，即b ＜c ，∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2，∴e＞，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：B．解法二：结论解题法【典例剖析】例题6.已知圆的方程为x2+y2＝1，则经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0•x+y0•y＝1，类比上述性质，可以得到椭圆x2+4y2＝8上经过点的切线方程为8；．9【分析】已知圆的方程为x 2+y 2＝1，则经过圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0•x +y 0•y ＝1，类比上述性质，可以得到：椭圆mx 2+ny 2＝c （m ，n ，c 同号，且m ≠n ）经过椭圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为：．【解答】解：已知圆的方程为x 2+y 2＝1，则经过圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为x 0•x +y 0•y ＝1，类比上述性质，可以得到：椭圆mx 2+ny 2＝c （m ，n ，c 同号，且m ≠n ）经过椭圆上一点M （x 0，y 0）的切线方程为：故椭圆x 2+4y 2＝8上经过点的切线方程为：2x ﹣4y ＝8，即；，故答案为：．【典例剖析】例题7. 已知两定点A （﹣1，0），B （1，0），若直线l 上存在点M ，使得|MA |+|MB |＝3，则称直线l 为“M 型直线”，给出下列直线：①x ＝2；②y ＝x +3；③y ＝﹣2x ﹣1；④y ＝1；⑤y ＝2x +3．其中是“M 型直线”的条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】点M的轨迹方程是，把①，②，③，④，⑤分别和联立方程组，如果方程组有解，则这条直线就是“M型直线”．【解答】解：由题意可知，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程是，①把x＝2代入，无解，∴x＝2不是“M型直线”；②把y＝x+3代入，无解，∴y＝x+3不是“M型直线”；③把y＝﹣2x﹣1代入，有解，∴y＝﹣2x﹣1是“M型直线”；④把y＝1代入，有解，∴y＝1是“M型直线”；⑤y＝2x+3代入，有解，∴y＝2x+3是“M型直线”．故选：C．解法二：结论解题法10数学思想高中数学【高考椭圆选填题中常考的8个神奇结论】数学思想 | 高中数学 11【典例剖析】例题8.过点(0,2)P 的直线l 交椭圆22:142x y E +=于,M N 两点，且OM ON ⊥，则直线l 的方程为；20y -+=或20y +-=22a b，则有OA OB ⊥，d =。

三十个椭圆二级结论及其证明

三十个椭圆二级结论及其证明
《三十个椭圆二级结论及其证明》
椭圆是几何学中的重要概念，它是一种完美的曲线，具有复杂的几何特性。

椭圆的几何特性可以用二级结论来描述。

下面总结了三十个椭圆二级结论及其证明：
1、椭圆的中心距离是椭圆的两个焦点的距离的一半。

证明：将椭圆的两个焦点A、B和它们的中心C连成一条直线，由于椭圆是对称的，所以AB=2*AC，即中心距离是椭圆的两个焦点的距离的一半。

2、椭圆的长轴是椭圆的两个焦点的距离。

证明：将椭圆的两个焦点A、B和它们的中心C 连成一条直线，由于椭圆是对称的，所以AB=2*AC，即椭圆的长轴是椭圆的两个焦点的距离。

3、椭圆的短轴是椭圆的两个焦点的距离的一半。

证明：将椭圆的两个焦点A、B和它们的中心C连成一条直线，由于椭圆是对称的，所以AB=2*AC，即椭圆的短轴是椭圆的两个焦点的距离的一半。

4、椭圆的长轴和短轴之比等于椭圆的两个焦点距离之比。

证明：将椭圆的两个焦点A、B 和它们的中心C连成一条直线，由于椭圆是对称的，所以AB=2*AC，即椭圆的长轴和短轴之比等于椭圆的两个焦点距离之比。

以上就是三十个椭圆二级结论及其证明，它们描述了椭圆的几何特性，为我们探索椭圆的形状提供了重要的参考。

椭圆二级结论高频考点

椭圆二级结论高频考点椭圆二级结论是高中数学中的一个重要考点，也是高考中经常出现的题型。

椭圆是一种常见的二次曲线，其方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长轴和短轴。

在解题过程中，我们需要掌握一些椭圆的基本性质和二级结论。

首先，我们需要了解椭圆的基本性质。

椭圆的中心为原点$(0,0)$，对称轴分别为$x$轴和$y$轴，长轴与$x$轴的夹角为$\theta$，则有$a>b$，且$\tan\theta=\frac{b}{a}$。

椭圆的焦点分别位于$x$轴上的$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

椭圆的离心率为$e=\frac{c}{a}$，且$0<e<1$。

椭圆的周长为$C=4aE(e)$，其中$E(e)$为第二类完全椭圆积分。

其次，我们需要掌握椭圆的二级结论。

椭圆的二级结论是指椭圆上的任意一点$P(x,y)$到两个焦点的距离之和等于常数$2a$。

即$PF_1+PF_2=2a$，其中$F_1$和$F_2$分别为椭圆的两个焦点。

这个结论可以用勾股定理和焦点定义来证明。

在解题过程中，我们可以利用椭圆的二级结论来求解一些问题。

例如，已知椭圆的长轴和离心率，求短轴的长度。

我们可以利用椭圆的离心率和长轴长度求出焦距$c$，然后利用椭圆的二级结论求出短轴长度$b$，即$b=\sqrt{a^2-c^2}$。

又如，已知椭圆上一点$P(x,y)$到两个焦点的距离之和为$2a$，求椭圆的方程。

我们可以利用椭圆的二级结论和勾股定理，列出方程$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$，然后化简得到椭圆的标准方程。

总之，掌握椭圆的基本性质和二级结论对于解题非常重要。

在解题过程中，我们需要灵活运用椭圆的二级结论，结合勾股定理和焦点定义，来求解各种问题。

同时，我们也需要注意椭圆的特殊情况，如圆和退化椭圆等。

椭圆中的重要结论(用)

第五讲椭圆
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1
4、椭圆中的焦点三角形问题
由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形, 称作焦点三角形.
M
F2
F1
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2
解决焦点三角形通常从以下几方面入手（1）椭圆的第一定义（2）三角形的正(余)弦定理,内角和定理（3）三角形面积公式
M
F2
F1
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3
焦点三角形常用结论（1）焦点三角形周长为2a+2c
( 2 ) 三角形 M F 1 F 2 面积最大值为多少？
bc M
F2
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F1
4
例2、已知P是椭圆ax22 by22 1(ab0)上的点,
F1,F2是椭圆的左右焦点,且F1PF2 ,求三角形
F1PF2的面积.
分析：设| PF1 | r1,| PF2 | r2;则r1 r2 2a
8
焦点三角形常用结论（1）焦点三角形周长为2a+2c
b c ( (2 3)) S三 M角 F1F2形 M b2F 1 F ta2 n面 2积最大值为多少？ M
2b2
(4) MF1 MF2 1cos
F2
F1
当cos=1时，PF1 PF2 取最小值b2
(5) MF1
MF2
MF1
MF2 2
F2分别是椭圆的左,右焦点,若F1PF2 ,求
证:SPF1F2 b2 tan2.
y
P
F1
F2
x
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6
练习 1.已知点 P是椭圆 y52x421上的一点 ,F1 和 F2是焦点 ,且 F1PF2300,求 F1PF2的面积 .

椭圆准线二级结论

椭圆准线二级结论
椭圆是一种经典的几何图形，其形状优美，被广泛应用于各种领域。

在椭圆的研究中，有一个重要的结论被称为椭圆准线二级结论，它是椭圆几何中的一个重要定理，具有广泛的应用价值。

椭圆准线二级结论是指：在一个椭圆中，过椭圆的两个焦点分别作一条与椭圆相切的直线，这两条直线交于椭圆上的一点P，则P点的坐标( x，y ) 满足如下方程：
x2/a2 + y2/b2 = 2
其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。

这个结论的证明可以通过多种方法，其中一种比较简单的方法是利用椭圆的定义和焦点的性质，结合一些基本的代数运算和几何知识来完成。

这里不再详细叙述证明过程，有兴趣的读者可以参考相关的数学教材或文献。

椭圆准线二级结论的应用十分广泛，其中一个重要的应用是在椭圆曲线密码学中。

椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学理论的加密技术，它具有高度的安全性和效率，被广泛应用于信息安全领域。

椭圆准线二级结论在椭圆曲线密码学中被用来计算椭圆曲线上的点
的坐标，从而实现加密和解密的过程。

除了在密码学中的应用外，椭圆准线二级结论还被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

例如，在天体力学中，椭圆准线二级结论可以用来计算行星的轨道参数；在电子工程中，椭圆准线二级结论可以用来计算电磁波在椭圆截面导线中的传播特性。

总之，椭圆准线二级结论是椭圆几何中一个重要的定理，它具有广泛的应用价值。

通过深入研究和应用这个结论，我们可以更好地理解和应用椭圆几何的相关知识，为科学技术的发展做出更大的贡献。

椭圆曲线常用的五次结论专题练习

椭圆曲线常用的五次结论专题练习引言椭圆曲线在密码学和数论等领域中具有广泛的应用。

了解椭圆曲线的五次结论对于进一步探索其特性和应用具有重要意义。

本文将介绍椭圆曲线常用的五次结论，并提供相关的专题练。

五次结论1. 五次消子定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果5P=O（即点P与其自身的五次倍数为零点O），那么P属于五阶子群。

五次消子定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果5P=O（即点P与其自身的五次倍数为零点O），那么P属于五阶子群。

2. 五次平方定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果P^5=O（即点P的五次幂为零点O），那么P的阶数是5的倍数。

五次平方定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果P^5=O（即点P的五次幂为零点O），那么P的阶数是5的倍数。

3. 五阶同态定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果P的阶数是5的倍数，那么存在一个群同态映射φ，使得φ(P)的阶数是5。

五阶同态定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果P的阶数是5的倍数，那么存在一个群同态映射φ，使得φ(P)的阶数是5。

4. 五次平方差定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果存在另外两点A和B，使得P=A^5-B^5，那么P的阶数是5的倍数。

五次平方差定理：对于椭圆曲线上的一点P，如果存在另外两点A和B，使得P=A^5-B^5，那么P的阶数是5的倍数。

5. 五次扭曲与五次相应点性质：对于椭圆曲线上的一点P，如果P的扭曲点为P'，那么P的五次倍点与P'的五次倍点互为相应点。

五次扭曲与五次相应点性质：对于椭圆曲线上的一点P，如果P的扭曲点为P'，那么P的五次倍点与P'的五次倍点互为相应点。

专题练请结合上述五次结论，完成以下练：1. 证明五次消子定理中的点P属于五阶子群的必要条件。

2. 给定椭圆曲线上的一点P，找到另外一点Q，使得P^5=Q^5。

3. 设点A和点B是椭圆曲线上的两点，分别为阶数为5的点和阶数为1的点。

请找到一个点P，使得P=A^5-B^5。

椭圆的知识汇总(默写)

贵阳一中 2017届2班、8班椭圆的知识汇总一、定义：椭圆的第一定义：在平面内与两个点21F F ，的距离之等于（此常数必须）的点的轨迹叫做椭圆。

椭圆的第二定义：平面内，到一的距离和它到一的距离之为常数（）的点的轨迹叫椭圆。

定点是椭圆的，定直线是椭圆的，常数e 是椭圆的。

二、椭圆的标准方程及简单几何性质：焦点在x 轴焦点在y 轴图形标准方程焦点坐标焦距顶点坐标范围长轴长、短轴长长轴长为：长半轴长为：短轴长为：短半轴长为：离心率注：离心率越接近0，椭圆越，离心率越接近1，椭圆越准线方程准线于轴，且在椭圆焦半径 P ()00y x ，=左PF ； =右PF ；=下PF ； =上PF ；三、常用关于椭圆的解题技巧及重要结论： ☆☆1.椭圆中的焦点三角形：（1）21MF MF + （2）21MF MF ⋅≤ （3）=⋅21MF MF（4）焦点三角形面积=21F MF S △ (其中θ=∠21MF F )2.焦半径：最大焦半径为，最小焦半径为。

☆3.直线与椭圆的位置关系：直线m kx y +=与椭圆()012222 b a by a x =+的位置关系判断方法：，，得到一个关于（或）的 ——（或）位置关系交点的个数△的取值相离相切相交☆☆4.弦长公式：设直线m kx y +=（k ≠0）与曲线有两个交点分别为()()2211y x B y x A ，，，，则弦长（1）用横坐标计算：=AB =（2）用纵坐标计算 =AB = （第一根横线上写含绝对值的式子，第二根横线上填由A 、B 、C 表达的式子）5.中点弦问题：☆考点1. 求弦的中点，我们可以、、考点2. 已知弦中点坐标，求弦所在直线方程（☆☆重点记忆焦点在x 轴上的情形，y 轴上的只需交换a 与b ）：（1）焦点在x 轴上时，椭圆方程为()012222 b a by a x =+，弦AB 的中点M 为（00y x ，），则=AB k ；（2）焦点在y 轴上时，椭圆方程为()012222 b a bx a y =+，弦AB 的中点M 为（00y x ，），则=AB k ；考点3. 已知椭圆方程，弦AB （不与坐标轴平行）的中点为M ，则此时直线OM 的斜率与弦AB 的斜率之积为（☆☆重点记忆焦点在x 轴上的情形，y 轴上的只需交换a 与b ）：（1）焦点在x 轴上时，椭圆方程为()012222 b a b y a x =+，则=⋅AB OM k k ；（2）焦点在y 轴上时，椭圆方程为()012222 b a bx a y =+，则=⋅AB OM k k ；☆☆6.椭圆上一点P （不在长轴上）到长轴上两顶点A 、B 的斜率之积：（1）交点在x 轴上时，椭圆方程为()012222 b a by a x =+，=⋅PB PA k k = 。

椭圆通径结论

椭圆通径结论
椭圆通径结论是欧几里得提出的一个定理，又称为椭圆曲线连接定理。

它指出，任意两点都可以用一条椭圆曲线连接，如果该椭圆曲线的参数和特征有一定关系，那么这两个点就可以被视为“椭圆通径”。

椭圆通径结论是椭圆曲线密码系统中重要的一个方面，椭圆曲线密码系统利用两个点之间的椭圆曲线上的系数和特征来确定加密消息的密钥。

椭圆曲线上的系数和特征可以通过椭圆通径结论的原理来求得，从而保证了加密消息的安全性。