数学建模-工厂最优生产计划模型
工厂生产的最优设计模型
摘要本文利用线性规划知识建立数学模型，研究了在决策变量不同情况下，工厂计划和收益的变化。
问题一属于简单的线性规划模型，直接利用LINGO软件求解。
在求解问题二时，巧妙引入价格指数的概念，衡量价格变化与市场容量的关系，依然用模型一分析了价格变化对工厂计划和收益的影响。
在问题三中，根据各机床的停工维修时间不确定，利用0—1模型原理对模型一进行改进。
通过求解结果与问题一结果进行比较，讨论了停工时间灵活性的价值。
关键词：线性规划，价格指数，收益，最优解一、 问题重述某厂拥有4台磨床、2台立式钻床、3台卧式钻床、1台镗床和1台刨床，用以生产7种产品，记作1P 至7P 。
工厂收益规定为产品售价减去原材料费用之剩余。
表一：每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）本月（一月）和随后的5各月中，下列机床停工维修： 表二：各月机床的维修情况表三：各种产品各月份的市场容量每种产品存货最多可到100件，存费为每件每月0.5元。
现无存货，要求到6月底每种产品有存货50件。
工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。
不需要考虑排队等待加工的问题。
1、为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的生产？2、研究市场价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。
3、若各机床的停工维修时间不作预先规定，而是选择最合适的月份维修。
除磨床外，每台机床在这6个月中的一个月必须停工维修；6个月中4台磨床有2台需要维修。
扩展工厂计划模型，使得可以对灵活安排机床维修时间作出决策。
停工时间的这种灵活性价值如何？二、模型假设1、忽略1—6月的天数差异，统一规定为每月为四周，28天；2、同种机床不存在性能差异；3、所有机床加工出的产品全部合格，无次品；4、用于产品的原材料的费用保持不变；5、每月末的存货量就是下月初的存货量；6、产品生产费与生产率无关，只取决于原材料费用。
三、符号说明a表示i P在j月的生产量；ijB表示k类机床在j月的工作台数；kjC表示生产1件i P需k类机床工作时间（小时）；kiiL 表示单件iP 的收益（元）； ije表示i P 在j 月的销售量（件）；ijD表示i P 在j 月的市场容量；ijy表示i P 在j 月末的存货量；S 表示工厂的总收益；其中1,2,...7i =，1,2,...6j =。
最优生产计划安排 数学 模型
最优生产计划安排摘要优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。
如调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排成从各供应点到各需求点的运量和路线，是运输总费用最低；公司负责人需根据生产成本和市场需求确定产品价格。
针对优化问题可以通过建立优化模型确定优化目标和寻求的决策。
一般讲，一个经济管理问题凡满足以下条件就能够建立线性规划模型： (1) 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数； (2) 存在多种方案及有关数据；(3) 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些约束条件可以用线性等式或不等式来描述。
问题重述某厂生产三种产品I ，II ，III 。
每种产品要经过B A ,两道工序加工。
设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以21,A A 表示；有三种规格的设备能完成B 工序，它们以321,,B B B 表示。
产品I 可在B A ,任何一种规格设备上加工。
产品II 可在任何规格的A 设备上加工，但完成B 工序时，只能在1B 设备上加工；产品III 只能在2A 与2B 设备上加工。
已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。
附表一基本假设与符号说明基本假设：每一类产品在A 工序加工的产品总量等于B 工序加工产品的总量，即每一件产品都经过完整的程序成为真正的成品而不是半成品。
符号说明：设产品I 在21,A A 321,,B B B 上加工的数量分别为11x 、12x 、13x 、14x 、15x；产品II 在21,A A ，1B 上加工的数量分别为212223,,x x x；产品III 在21,A B 上加工的数量分别为3234,x x 。
问题的分析运用数学建模方法处理一个优化问题，首先应确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制，然后用数学工具（变量、常量、函数等）表示它们。
数学建模最优化模型
➢
许多生产计划与管理分配问题都可以归纳为 最优化问题,最优化模型是数学建模中应用 最广泛的模型之一,其内容包括线性规划、 非线性规划、整数线性规划、动态规划、 多目标规划、决策规划等.
一般在实际生活中，我们总是利用最优化方
法解决两方面的问题：成本最小化和利润
最大化
2021/10/10
t1
vxha,所以b(t2)12h1t12vhx2a
，而火灾的损失费 w1c1b(t2)与救火费用w 2 之和为：
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w1 2c1h1t2(vc1hx 2a)c3xvc2x xah
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• 所以森林救火费用最小问题的数学模型为：
m.w in 1 2c1h1 t2(v c1h x 2a)c3xvc2 x xah
设失火时刻t 0，开始救火的时刻为 ，
火被t1 扑灭的时刻为 。 时t刻2 森t 林烧毁的面
积为 ， 为b (t烧) 毁c 1 单位面积森林的损失费，
则火灾造成的损失费为
。
w1c1*b(t2)
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•
易见
db dt
表示单位时间内烧毁的森林面积
当t
0,t2时，
db dt
0 ；设当
t
t1
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把影响化为表达式
即模型的建立，即文字数字化。
改进结果，找最优解
不断根据事实，改进模型，
从而实现真正意义上的优化。
常用模型：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规 划、多目标规划等。
2021/10/10
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谢 谢！！！
2021/10/10
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上述问题是一个无约束的非线性规划问题，
数学模型 汽车厂生产计划
例2 原油采购与加工
库存500吨 原油 吨 原油A 库存 库存1000吨 原油 吨 原油B 库存 汽油甲 售价 售价4800元/吨 元吨 (A≥50%) ≥ 汽油乙 售价 售价5600元/吨 元吨 (A≥60%) ≥
市场上可买到不超过1500吨的原油 ： 吨的原油A： 市场上可买到不超过 吨的原油 • 购买量不超过 购买量不超过500吨时的单价为 吨时的单价为10000元/吨； 吨时的单价为 元 • 购买量超过 购买量超过500吨但不超过 吨但不超过1000吨时，超过 吨时， 吨但不超过 吨时 超过500吨的 吨的 部分8000元/吨； 部分 元 • 购买量超过 购买量超过1000吨时，超过 吨时， 吨的部分6000元/吨。 吨时 超过1000吨的部分 吨的部分 元 应如何安排原油的采购和加工 ？
x1 ≥ 80, x2 ≥ 80, x3 = 0
x1 ≥ 80, x2 = 0, x3 ≥ 80
x1 ≥ 80, x2 ≥ 80, x3 ≥ 80
x1 , x 2 , x 3 = 0
× ×
x1=80，x2= 150，x3=0，最优值 ， ， ，最优值z=610
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 若生产某类汽车，则至少生产80辆 求生产计划。 80 方法2：引入 变量 变量， 方法 ：引入0-1变量，化为整数规划 x1=0 或 ≥80 x2=0 或 ≥80 x3=0 或 ≥80
IP 的最优解 1=64，x2=168，x3=0，最优值 的最优解x ， ， ，最优值z=632
汽车厂生产计划
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 若生产某类汽车，则至少生产80辆 求生产计划。 80
s. t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 600
数学建模案例分析--最优化方法建模2生产计划的制定
§2 生产计划的制定企业内部生产计划的制定是一项非常复杂的工作，让我们简要地分这样几个层次加以讨论。
第一，在工厂一级，根据市场需求和人力、设备条件，以最大利润为目标制定产品生产计划；第二，在车间一级，根据产品生产计划、生产流程、资源约束以及费用参数等，以最小成本为目标，制定生产批量计划；第三，在车间内部，根据产品的加工时间和顺序，以完工时间最早或设备均衡生产为目标，给出各产品的作业排序。
此外，不论哪个层次，当目标不止一个时，将使问题更加复杂。
下面举例说明这些优化问题的建模过程。
例1 某厂有n 种产品n J J J ,,,21 ，单位数量产品的利润为n c c c ,,,21 ，根据市场调查，其需求不超过n q q q ,,,21 ，按照工厂生产能力，单位数量),,2,1(n i J i =所需人力资源为i a 1，所需设备资源为i a 2，所需原料为i a 3，而工厂的人力、设备、原料资源限制分别为321,,b b b ，问工厂在制定生产计划时应如何确定这n 种产品的产量。
这类优化问题建模的关键是确定决策变量、目标函数和约束条件，并用数学形式（符号、式子等）将它们表达出来。
决策变量应是问题要求确定的量——各产品的产量，记以n x x x ,,,21 。
目标函数显然应是总利润∑==ni i i x c C 1 （1）人力、设备、原料及需求量的限制构成了约束条件∑=≤ni ii b x a111 （2）∑=≤ni ii b x a122 （3）∑=≤ni ii b x a133 （4）n i x q x i i i ,,2,1,0, =≥≤ （5）问题归结为在条件（2）~（5）下求n x x x ,,,21 ，使（1）式给出的∑==ni ii xc C 1最大。
在运筹学中（1）~（5）称为线性规划，因为决策变量在目标函数和约束条件中都是线性的。
例2 工厂已经拟定了对某种产品的需求量，譬如10个时段（可以一周或一天为一时段）的需求分别为1021,,,d d d ，该产品的生产流程如图1，其中1是（最终）产品，2~6是它的零部件，箭头旁的数字是装配系数，如4个5装配1个3。
数学建模——工厂计划模型
数学建模——工厂生产计划模型学院：数学与统计学院专业：信息与计算科学教师：郑**姓名：杨**学号：***********摘要本文以工厂所获得的总收益为研究对象，采用了线性规划的分析方法，通过求解不同产品的生产计划以及按计划生产所获得的利润，解决了工厂为达到最大总收益的产品生产计划问题。
在问题一的求解过程中，以每月每种产品的销售量和生产量为自变量，以工厂所获得的收益为目标函数，结合各种约束条件，建立了一个动态规划方程组，将各月份各种产品生产的最佳配置转化为动态规划方程组的求解问题，得到了最大收益为6.9256万元。
问题二在问题一的基础上考虑了市场价格的变化及引入新机床两个因素，为使模型简化，首先考虑市场价格的变化对计划和收益的影响。
然后假定市场价格不变，利用Lingo 软件，模拟出引入新机床对计划和收益的影响。
它是问题一的拓展，通过更改约束方程，利用模型一的计算程序，从而得到拓展模型的最优解。
关键字：总收益销售量生产量动态规划一、问题重述某厂拥有4台磨床、2台立式钻床、3台卧式钻床、一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作P1至P7。
工厂收益规定为产品售价减去原材料费用之剩余。
每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表：产品P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7收益10 6 8 4 11 9 3磨0.5 0.70 0 0 0.3 0.2 0.5垂直钻孔0.1 0.2 0 0.3 0 0.6 0水平钻孔0.2 0 0.8 0 0 0 0.6镗孔0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08刨0 0 0.01 0 0.05 0 0.05本月（一月）和随后的5个月中，下列机床停工维修：一月磨床一台二月卧式钻床2台三月镗床一台四月立式钻床一台五月磨床一台，立式钻床一台,上台下六月刨床一台，卧式钻床一台各种产品各月份的市场容量如下表：产品P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7一月500 1000 300 300 800 200 100二月600 500 200 0 400 300 150三月300 600 0 0 500 400 100四月200 300 400 500 200 0 100五月0 100 500 100 1000 300 0有存货50件。
工厂生产计划问题的优化模型
工厂生产计划问题的优化模型摘要企业内部的生产计划有各种不同的情况。
从空间层次看，工厂要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大的利润为目标制定产品的生产计划；从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。
实际生产中要考虑的除了成本费、存贮费等与产量有关的费用，还要考虑生产这种产品所需要的时间，生产设备的检修等等因素。
用数学规划的解决这种问题通常是最有效的方法。
针对工厂生产计划问题,本文首先全面分析了题目所给的信息和数据。
我们建立了动态优化模型——整数线性规划模型，以每月的生产量和库存量为决策变量，以市场最大需求量、库存面积、生产能力（即工时）的限制为约束条件，合理安排生产从而达到本季度利润最大的目标。
因此，我们在解决问题（1）时建立了整数线性规划模型I。
模型I问题（2每类机器的检修总台数不变，故我们主要是通过引入0——1变量来实现每月的检修模式安排，将模型I改进为模型II，使得该厂在本季度的获利最大。
模型II由于模型I方便而且还可以对模型进行灵敏度分析。
虽然并不能满足每月都能达到市场最大需求，但这是由机器的最大运转工时决定的。
对实际问题来说，还有很多的因素没有考虑，比如原料的供应、原料的成本、生产的产品是不是都符合标准等，模型还有待改进。
这类数学规划模型在生产计划问题上具有普遍性和推广性，对其它的工厂（或企业）的生产也适用，只要给出的数据足够，实际和精确，则模型得出的最优解将具有很强的实际意义。
关键词：动态规划；生产量；库存量；最大需求量；线性规划模型。
一、问题重述生产计划是工厂每个季度必须进行的重要的决策，它直接关系到该工厂该季度的经济效益和下一季度的发展战略，而工厂的计划又要包括外部需求、内部设备。
外部需求量的大小关系到该季度的直接的经济效益，内部设备的生产能力以及生产设备的检修等又直接影响到产品的供求是不是能够保持平衡，如果供大于求那么月末多余产品的贮存费用。
企业最优生产的数学模型
企业最优生产的数学模型第九组：张乐 康倩妮 罗少梅 (西安航空学院，西安 710077)摘要本文针对企业及工厂应该怎样合理安排生产计划而获得最大利润做了简单分析，主要用于解决企业及工厂在各种互相矛盾，互相排斥的约束条件下如何安排生产获取最大利润，建立了生产量对利润影响的线性规划模型。
对于问题一，根据对影响利润的因素的初步分析，综合得出其主要因素有：每种产品的单件利润、生产单位各种产品所需的有关设备台时、生产量、最大需求量、库存量、每月的工作时间、设备维修。
综合考虑多种因素，利用线性规划来建立模型解决问题，即将每月各种产品的最大需求量、一月初无库存、任何时候每种产品的存储量均不能超过100件、六月末各种产品各储存50件作为约束条件，最大利润作为目标函数，利用lingo11.0软件求解，得出最大利润为：93.71518万元。
对于问题二，要求重新安排维修，并以最大利润作为前提，类比于问题一，并在问题一模型的基础上，添加ij b ，ij z 分别为第i 种设备在第j 个月工作的台数和第i 种设备在第j 个月维修的台数。
并定义ij p 为在不进行维修的情况下工作的台数，则ij p =ij z +ij b ；表示第i 种设备在第j 月维修的台数等于每种设备可以维修的台数s 。
关键词：线性规划、lingo 软件、最大利润问题的提出每个企业都希望在成本最低，工作时间最短的条件下获得最大利润，但各种约束条件总是互相制约，这就需要我们在考虑到实际情况时，酌情筛减。
已知某企业要生产7种产品，以，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ来表示，并给出了每种产品的单件利润，生产单件每种产品的设备所耗费的时间及每种产品在各个月的最大需求量。
产品当月销售不了的每件每月存储费为5元，且任何时候每种产品的存储量均不能超过100件。
一月初无库存，要求六月末各种产品各存储50件，并且每月均有设备参与维修：一月维修1台磨床，二月维修2台水平钻，三月维修1台镗床，四月维修1台立钻，五月维修1台磨床和1台立钻，六月维修1台刨床和1台水平钻。
关于工厂生产进度的计划安排的数学建模
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数学建模——生产计划问题
v .. . ..数学建模作业生产计划问题班级数学与应用数学一班高尚学号. . . 资料. .1生产计划问题摘 要本文通过对每个季度各种产品产量、需求量和存储量之间关系的分析，建立了基于Lingo 的生产决策模型，解决了生产计划问题，并提出合理的生产方案得到了总赔偿和存储费用的最优解。
针对该问题，采用线性规划的方法，首先确定ij x 为第j 季度产品i 的产量，ij d 为第j 季度产品i 的需求量，ij s 为第j 季度末产品i 的库存量，用0-1规划来限制上述变量，然后确定这些变量所具有的约束条件，最后列出目标函数与约束条件，利用Lingo 软件（见附录）求解出总的赔偿和库存费用的最小值为5900.70元。
模型思路清晰，考虑周全，可以针对同类问题进行建模，具有一定的应用性和推广性。
关键词：Lingo、0-1规划、生产决策、线性规划一、问题重述对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表1所示。
1该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。
已知该厂每季度生产工时为15000.8小时，生产I、II、III产品每件分别需要2.1、4.3、2.7小时。
因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20.5元，产品III赔10.8元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5.1元。
问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。
二、问题分析该问题的目标是使一年总的赔偿加库存费用最小，需要重新建立生产计划，每种产品在每个季度的产量、贮存量、需求量都对最终决策起到了限制,因此需要对变量进行0-1规划，建立目标函数与约束条件，在此基础上实现总的赔偿加库存的费用最小的目的。
三、模型假设1.产量、贮存量、需求量不受外界因素影响；2.产品的生产时间互不影响；3.变量间没有相互影响。
四、变量说明变量含义z总赔偿和库存费用i4,3,2,1=jx,3,2,1,=第j季度产品i的产量ij=ji,=d34,3,2,1,,2,1第j季度产品i的需求量ij114,3,2,1,3,2,1,==j i s ij 第j 季度末产品i 的库存量五、模型的建立与求解根据题中所给条件分析可得：决策目标:总的赔偿费用为每个季度各产品费用的总和，总的库存费用为每个季度各产品的总库存量与费用之积，总的赔偿加库存的费用最小为目标，即：()∑∑∑===+++=3131313211.58.105.205.20min j i j ijj j j s d d d z约束条件一：每个季度总工时是有限的，第j 季度生产所有产品所耗总工时不能超过每季度生产工时，即：8.150007.33.41.2321≤++j j j x x x约束条件二：产品I 在第二季度无法生产，产量为0，即：012=x约束条件三：每种产品在第四季度给库存150件，四个季度的总产量与第四季度库存量总和为该种产品一年的总需求量，即：1504141+=∑∑==j j ij ijd x约束条件四：第i 季度的库存量就是本季度生产量与上个季度库存量之和在除去需求量，即：11j jik ij ij ik k k xd s d ==+-=∑∑ 约束条件五：每个季度每种产品的产品量不可能为负数，并且也只能为整数，即：4,3,2,1,3,2,1,0==≥j i x ij 且为整数，1线性规划的目标函数与约束条件方程为：33312311112312441111min (20.520.510.8) 5.12.1 4.3 3.715000.80.15001,2,3,1,2,3,4j j j ijj i j j j j ij ij j j jj ik ij ij ik k k ij z d d d s x x x x s t x d x d s d x i j ========+++⎧⎪++≤⎪⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪+-=⎪⎪≥==⎩∑∑∑∑∑∑∑且为整数，利用Lingo 得出总的赔偿加库存的费用最小为5900.70元。
数学建模-最优化模型
8 4 x 8 3 x 32 x 24 x 1 2 1 2
因检验员错检而造成的损失为：
( 8 25 2 % x 8 15 5 % x ) 2 8 x 12 x 1 2 1 2
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
例2 有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
解
设剪去的正方形的边长为 x ，则水槽的容积为： (3 2 x) 2 x
2 建立无约束优化模型为：min y =- (3 2 x) x ， 0< x <1.5
先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval
线性规划 整数规划 非线性规划
动态规划
多目标规划
对策论
两个引例
问题一：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
原材料A
原材料B
4
0
0
4
16kg
12kg
该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品 II可获利3元。问应如何安排计划使该工厂获利最多？
①前期分析：分析问题，找出要解决的目标，约束条件， 并确立最优化的目标。
数学建模-生产计划问题
数学建模作业生产计划问题班级数学与应用数学一班高尚学号生产计划问题摘 要本文通过对每个季度各种产品产量、需求量和存储量之间关系的分析，建立了基于Lingo 的生产决策模型，解决了生产计划问题，并提出合理的生产方案得到了总赔偿和存储费用的最优解。
针对该问题，采用线性规划的方法，首先确定ij x 为第j 季度产品i 的产量，ij d 为第j 季度产品i 的需求量，ij s 为第j 季度末产品i 的库存量，用0-1规划来限制上述变量，然后确定这些变量所具有的约束条件，最后列出目标函数与约束条件，利用Lingo 软件（见附录）求解出总的赔偿和库存费用的最小值为5900.70元。
模型思路清晰，考虑周全，可以针对同类问题进行建模，具有一定的应用性和推广性。
关键词： Lingo 、0-1规划、生产决策、线性规划一、问题重述对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表1所示。
该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。
已知该厂每季度生产工时为15000.8小时，生产I、II、III产品每件分别需要2.1、4.3、2.7小时。
因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20.5元，产品III赔10.8元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5.1元。
问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。
二、问题分析该问题的目标是使一年总的赔偿加库存费用最小，需要重新建立生产计划，每种产品在每个季度的产量、贮存量、需求量都对最终决策起到了限制,因此需要对变量进行0-1规划，建立目标函数与约束条件，在此基础上实现总的赔偿加库存的费用最小的目的。
三、模型假设1.产量、贮存量、需求量不受外界因素影响；2.产品的生产时间互不影响；3.变量间没有相互影响。
四、变量说明变量含义z总赔偿和库存费用=jix,=4,3,2,1,3,2,1第j季度产品i的产量ij=jd,=i,3,2,1,34,2,1第j季度产品i的需求量ijis=j4,3,2,1,=,3,2,1第j季度末产品i的库存量ij五、模型的建立与求解根据题中所给条件分析可得：决策目标:总的赔偿费用为每个季度各产品费用的总和，总的库存费用为每个季度各产品的总库存量与费用之积，总的赔偿加库存的费用最小为目标，即：()∑∑∑===+++=3131313211.58.105.205.20min j i j ijj j j s d d d z约束条件一：每个季度总工时是有限的，第j 季度生产所有产品所耗总工时不能超过每季度生产工时，即：8.150007.33.41.2321≤++j j j x x x约束条件二：产品I 在第二季度无法生产，产量为0，即：012=x约束条件三：每种产品在第四季度给库存150件，四个季度的总产量与第四季度库存量总和为该种产品一年的总需求量，即：1504141+=∑∑==j j ij ijd x约束条件四：第i 季度的库存量就是本季度生产量与上个季度库存量之和在除去需求量，即：11j jik ij ij ik k k xd s d ==+-=∑∑ 约束条件五：每个季度每种产品的产品量不可能为负数，并且也只能为整数，即：4,3,2,1,3,2,1,0==≥j i x ij 且为整数，线性规划的目标函数与约束条件方程为：33312311112312441111min (20.520.510.8) 5.12.1 4.3 3.715000.80.15001,2,3,1,2,3,4j j j ijj i j j j j ij ij j j jj ik ij ij ik k k ijz d d d s x x x x s t x d x d s d x i j ========+++⎧⎪++≤⎪⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪+-=⎪⎪≥==⎩∑∑∑∑∑∑∑且为整数，利用Lingo得出总的赔偿加库存的费用最小为5900.70元。
数学建模——生产计划的制定
其欧拉方程为 F − d F = 0 & x x
dt
k2 2k1
x(0) = 0, x(T ) = Q
k 2 2 4 k1 Q − k 2 T 2 x(t ) = t + t 4k1 4k1T
模型讨论
理论最优解
根据实际生产计划的意义，必须满足下面的条件：
∀t ∈ [ 0, T ] , x(t ) ≥ 0, x′(t ) ≥ 0
ts
如何求？
2.以哪种方式转换？
问题：
1.转换点
ts
如何求？
令f (t ) = λ (t ) g (t ) − e
f (t ) = 0 ⇔
−δ t
, 则f (ts ) = 0.
1 p p δ ( t −t ) = P (t ) = − ( − 1)e f δ δ g (t )
通常 2.以哪种方式转换？
ts dx ∫0 dt dt = ∫0 [−2 +
2 (1 + t )
1 2
1 2
]dt + ∫ (−2)dt , ∀t > ts
ts
t
x (t ) = 4(1 + t s ) + 96 − 2t
H
由自由边界条件
t =t f
= −ϕ t f
− δt f
λ (t f ) = e
x (t ) = 4(1 + t s ) + 96 − 2t
H = px (t )e −δt − λm(t ) + [λg (t ) − e −δt ]u(t )
⎧umax , λ g (t ) − e −δ t > 0 ⎪ 由于H关于u为线性函数，所以可见， u * (t ) = ⎨ 0, λ g (t ) − e −δ t < 0 ⎪ ⎩
数学建模-工厂最优生产计划模型
数学建模与数学实验课程设计报告学院数理学院专业数学与应用数学班级学号学生姓名指导教师2015年6月工厂最优生产计划模型【摘要】本文针对工厂利用两种原料生产三种商品制定最优生产计划的问题，建立优化问题的线性规划模型。
在求解中得到了在不同生产计划下收益最优化的各产品的产量安排策略、最大收益，以及最优化生产计划的灵敏度分析。
对于问题一，通过合理的假设，首先根据题中所给的条件找出工厂收益的决定条件，利用线性规划列出目标函数MAX。
由题目中所得，工厂原料及价格的约束条件下运用lingo软件算出最优生产条件下最大收益为1920元，其次是不同产品的产量。
对于问题二，灵敏度分析是研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时，最优基保持不变。
对产品结构优化制定及调整提供了有效的帮助。
根据问题一所给的数据，运用lingo软件做灵敏度分析。
关键词：最优化线性规划灵敏度分析 LINGO一、问题重述某工厂利用两种原料甲、乙生产A1、A2、A3三种产品。
如果每月可供应的原料数量（单位：t），每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的价格如下表所示：（1）试制定每月和最优生产计划，使得总收益最大；（2）对求得的最优生产计划进行灵敏度分析。
二、模型假设（1）在产品加工时不考虑排队等待加工的问题。
（2）假设工厂的原材料足够多，不会出现原材料断货的情况。
（3）忽略生产设备对产品加工的影响。
（4）假设工厂的原材料得到充分利用，无原材料浪费的现象。
三、符号说明Xij（i=1,2,；j=1,2,3；）表示两种原料分别生产出产品的数量（万件）；Max为最大总收益；A1，A2，A3为三种产品。
四、模型分析问题一分析：对于问题一的目标是制定每月和最优生产计划，求其最大生产效益。
由题中所给的条件找出工厂收益的决定条件，利用线性规划列出目标函数MAX。
由题目中所得，工厂原料工厂原料及价格的约束，列出约束条件。
问题二分析：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时，最优基保持不变。
数学建模-最优生产计划安排
最优生产计划安排关键词：最优解有效解弱有效解线性加权摘要：企业内部的生产计划有各种不同情况，从空间层次来看，在工厂级要根据外部需求和内部设备，人力，原料，等条件，以最大利润为目标制定生产计划，在车间级则要根据产品的生产计划，工艺流程，资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制定生产批量计划。
从空间层次来看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等随时间变化，可以制定但阶段的生产计划，否则就要制定多阶段深产计划。
本模型则仅考虑设备，工艺流程以及费用参数的情况下，通过线性规划来为企业求解最有生产方案。
I问题的提出：某厂生产三种产品I∏I I I每种产品要经过A、B两道工序加工。
设该厂有两种规格的设备能完成A工序，他们以A1、A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1、B2、B3表示，产品I可以在A、B任何一种规格设备上加工；产品∏可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1设备上加工；产品I I I只能在A2与B2设备上加工。
已知各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床的设备费用，如下表所示，要求安排最优的生产计划，使厂方利润最大。
II问题分析：这个问题的目标是获利最大，有两个方面的因素，一是产品销售收入能否最大，二是设备费用能否最小。
我们要做的决策是生产计划，决策受到的限制有：原材料费，产品价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床的设备费用。
显然这是一个多目标线性规划问题。
III问题假设1不允许出现半成品，即每件产品都必须经过两道工序。
2不考虑加工过程中的损失。
符号设定：设Z为净利润，Z1为产品销售纯收入，Z2为设备费用，iλ为权植，（i=1，2）且121=+λλ设经过工序A1、A2、B1、B2、B3加工的产品I 的数量依次为Xi1（i=1--5）； 设经过工序A1、A2、B1、B2、B3加工的产品∏的数量依次为Xi2（i=1--5）； 设经过工序A1、A2、B1、B2、B3加工的产品I I I 的数量依次为Xi3（i=1--5）。
数学建模论文-最优生产计划问题
- . 数学建模一周论文论文题目：最优生产方案问题摘要此题是设计一个最优的生产方案问题，从题中可以看出，是一个简单的线性规划求最优解的问题。
根据题意列出方程式和目标函数，找到约束条件，最后运用matlab软件求解。
得到每周的最优的生产方案是：生产甲0件，生产乙100件，生产丙450件时，工厂的利润最大为9250元。
关键字：生产方案线性规划matlab 最优解一、问题重述某厂生产三种产品Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ产品。
Ⅰ依次经A、B设备加工，产品Ⅱ经A、C设备加工，产品Ⅲ经过C、B设备加工。
有关数据如下表所示，请为该厂制订一个最优的生产方案。
二、问题分析此题是一个生产规划问题，要求最优的生产方案，那么理解为求一周的最优生产方案。
此题只需要求出甲乙丙分别得生产量，使得工厂的利润最大，那么就是最优的生产方案。
由题知道，可以根据列出的目标函数，依据约束条件，运用matlab编程求得最优解。
三、符号说明x：生产产品甲的数量y：生产产品乙的数量z：生产产品丙的数量Y：工厂的利润四、模型的建立与求解1、模型的建立由题意可以知道工厂的利润〔Y 〕=销售额-本钱-机器费用 由题得到目标函数：(5015)(10025)(4510)*200*100*200*200*100*200102020510200x x y y z z Y x y x =-+-+------- 化简可以得到：52515Y x y z =++由题中知道，机器用量的的约束为：50102045201060520x yx zy z+≤+≤+≤即：21000290041200x y x z y z +≤+≤+≤自身的条件：x>0 y>0 z>02、 模型的求解根据列出的目标函数，运用matlab 编程求解〔程序在后面〕，求得，当x =0y =100z 450 时工厂的利润最大为：9250元。
此时的生产方案最优五、模型的分析1、优点①此模型可以运用到其它的简单线性规划的模型中去；②此模型的求解用了matlab编程求解，结果准确清晰。
最优生产计划问题的数学模型
最优生产计划问题的数学模型李静静王云龙高琪一、摘要本题需要设计最优的生产计划，使生产花费的最少，即求四个月内生产准备费与存储费的和的最小值。
另外考虑到生产准备费是否够用和时间的问题，从而做出最佳的生产方案，是生产能够顺利进行，顺利竣工。
通过假设各月的生产量，1月产x百件，2月产y百件，3月产z百件，4月产（13-x-y-z）百件来建立数学模型，通过列方程、分析求解的过程，得出结论。
当生产准备费为500元/批时，求得有三种方案可以给工厂带来的效益，但考虑生产准备费可能不够用，不能使生产顺利竣工的问题，选择1月产300件，2月产500件，3月产500件时更加合理，工厂所花费最少费用为1700元。
当生产准备费为700元/批时，与准备费为500元/批时情况一样，选择1月产300件，2月产500件，3月产500件合理，由于生产准备费增加，再考虑到时间上的问题，第2种方案和第3种方案在两个月内就完成生产所需，用时更短，也可以采用，这三种方案工厂所花费最少费用都是2300元。
当生产准备费为300元/批时，求得1月产300件，2月产500件，3月产500件时工厂所花费费用最少为1100元。
当生产准备费为100元/批时，生产个月所需工厂所花费费用最少为400元。
二、问题重述某厂定期向市场供应某一种产品，每月底发货，未来4个月每月底的订单分别为4、5、3、2百件，工厂现有存货1百件。
生产准备费5百元/批，生产费1百元/百件，若产品跨月积压库存则有储存费1百元/百件每月。
4月底即五月初不要有库存，请给生产计划。
另外，若将生产准备分别改为7、3、1百元，如何计划？本题生产总量、生产费用已定，可变的只有批数，存储件数。
最优的生产计划就是使工厂所花费费用最少，忽略生产中可能出现的问题，即求生产准备费与存储费的和的最小值。
三、模型假设与符号说明假设1月产x百件；2月产y百件；3月产z百件；生产准备费分别为500元/批，300元/批，100元/批时的生产准备费和存储费之和为W、S、T。
数学建模-最优生产计划安排
最优生产计划安排关键词：最优解有效解弱有效解线性加权摘要：企业内部的生产计划有各种不同情况，从空间层次来看，在工厂级要根据外部需求和内部设备，人力，原料，等条件，以最大利润为目标制定生产计划，在车间级则要根据产品的生产计划，工艺流程，资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制定生产批量计划。
从空间层次来看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等随时间变化，可以制定但阶段的生产计划，否则就要制定多阶段深产计划。
本模型则仅考虑设备，工艺流程以及费用参数的情况下，通过线性规划来为企业求解最有生产方案。
I问题的提出：某厂生产三种产品I∏I I I每种产品要经过A、B两道工序加工。
设该厂有两种规格的设备能完成A工序，他们以A1、A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1、B2、B3表示，产品I可以在A、B任何一种规格设备上加工；产品∏可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1设备上加工；产品I I I只能在A2与B2设备上加工。
已知各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床的设备费用，如下表所示，要求安排最优的生产计划，使厂方利润最大。
II问题分析：这个问题的目标是获利最大，有两个方面的因素，一是产品销售收入能否最大，二是设备费用能否最小。
我们要做的决策是生产计划，决策受到的限制有：原材料费，产品价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床的设备费用。
显然这是一个多目标线性规划问题。
III问题假设1不允许出现半成品，即每件产品都必须经过两道工序。
2不考虑加工过程中的损失。
符号设定：设Z为净利润，Z1为产品销售纯收入，Z2为设备费用，iλ为权植，（i=1，2）且121=+λλ设经过工序A1、A2、B1、B2、B3加工的产品I 的数量依次为Xi1（i=1--5）； 设经过工序A1、A2、B1、B2、B3加工的产品∏的数量依次为Xi2（i=1--5）； 设经过工序A1、A2、B1、B2、B3加工的产品I I I 的数量依次为Xi3（i=1--5）。
数学建模-工厂生产安排问题
；
；
；
；
；
；
然后找出产品量中的各种关系：
；
；
；
而生产出这些产品所需的总成本为：
；
运用这些关系建立一个线性规划模型，
最后使得 ，并借助 LINGO软件，计算出 及此时对应的 到 的值。
X1 275.0000 0.000000
X2 25.00000 0.000000
X3 150.0000 0.000000
X4 0.000000 0.000000
X5 200.0000 0.000000
X6 50.00000 0.000000
X7 150.0000 0.000000
X8 100.0000 0.000000
在模型建立分析中我们可建立的模型为：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
问题三即将问题二中模型解出，进过lingo编程求解，得到满足约束条件的最低总成本为 467500元，此时后3个月常态下的生产和超时加班的生产情况为：
；
；
；
；
。
即一月正常生产275个单位，加班生产100个单位，其中为二月库存225个单位，为三月库存0个单位；二月正常生产200个单位，加班生产25个单位，其中为三月库存200个单位；三月正常生产100个单位，加班生产0个单位。
对于问题四，我们明白其生产力的空闲情况，工厂可以根据此分析对空闲生产力做出更好的处理，以此来获得更好的收益。
关键词：最低成本；线性规划；LINGO软件；
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数学建模与数学实验
课程设计报告
学院数理学院专业数学与应用数学班级学号
学生姓名指导教师
2015年6月
工厂最优生产计划模型
【摘要】本文针对工厂利用两种原料生产三种商品制定最优生产计划的问题，
建立优化问题的线性规划模型。
在求解中得到了在不同生产计划下收益最优化的各产品的产量安排策略、最大收益，以及最优化生产计划的灵敏度分析。
对于问题一，通过合理的假设，首先根据题中所给的条件找出工厂收益的决定条件，利用线性规划列出目标函数MAX。
由题目中所得，工厂原料及价格的约束条件下运用lingo软件算出最优生产条件下最大收益为1920元，其次是不同产品的产量。
对于问题二，灵敏度分析是研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时，最优基保持不变。
对产品结构优化制定及调整提供了有效的帮助。
根据问题一所给的数据，运用lingo软件做灵敏度分析。
关键词：最优化线性规划灵敏度分析 LINGO
一、问题重述
某工厂利用两种原料甲、乙生产A1、A2、A3三种产品。
如果每月可供应的原料数量（单位：t），每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的价格如下表所示：
（1）试制定每月和最优生产计划，使得总收益最大；
（2）对求得的最优生产计划进行灵敏度分析。
二、模型假设
（1）在产品加工时不考虑排队等待加工的问题。
（2）假设工厂的原材料足够多，不会出现原材料断货的情况。
（3）忽略生产设备对产品加工的影响。
（4）假设工厂的原材料得到充分利用，无原材料浪费的现象。
三、符号说明
Xij（i=1,2,；j=1,2,3；）表示两种原料分别生产出产品的数量（万件）；
Max为最大总收益；
A1，A2，A3为三种产品。
四、模型分析
问题一分析：对于问题一的目标是制定每月和最优生产计划，求其最大生产效益。
由题中所给的条件找出工厂收益的决定条件，利用线性规划列出目标函数MAX。
由题目中所得，工厂原料工厂原料及价格的约束，列出约束条件。
问题二分析：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时，最优基保持不变。
通过软件数据进行分析。
五、模型建立与求解
问题一的求解：
建立模型：
题目的目标是寻求总利益最大化，而利润为两种原料生产的六种产品所获得的利润之和。
设Xij（i=1,2,；j=1,2,3；）表示两种原料分别生产出产品的数量（万件）则目标函数:max=12(x11+x21）+5(x12+x22)+4(x13+x23)
约束条件：
1）原料供应：4x11+3x12+x13<=180;
2x21+6x22+3x23<=200
2）非负约束：x11,x12,x13,x21,x22,x23>=0
所以模型为：
max=12(x11+x21）+5(x12+x22)+4(x13+x23)
S.t
200x x 6x 2180x x 34x 232221131211<=++<=++ 0x >=ij (i=1,2;j=1,2,3且为整数)}
模型求解：
model :
max =12*x11+12*x21+5*x12+5*x22+4*x13+4*x23;
4*x11+3*x12+x13<=180;
2*x21+6*x22+3*x23<=200;
End
计算结果：
Global optimal solution found.
Objective value: 1920.000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced
Cost
X11 0.000000 4.000000
X21 100.0000 0.000000
X12 0.000000 7.000000
X22 0.000000 31.00000
X13 180.0000 0.000000
X23 0.000000 14.00000
Row Slack or Surplus Dual
Price
1 1920.000
1.000000
2 0.000000 4.000000
3 0.000000 6.000000
结论：从数据表明，这个线性规划的最优解为
x11=0,x12=0,x13=180,x21=100,x22=0,x23=0 ,最优值为1920.即这个工厂的最
优生产计划为：用甲原料生产A1，A2，A3产品数量分别为0万件，0万件，180万
件；用乙原料生产A1,A2,A3产品数量分别为100万件，0万件，0万件。
问题二的求解：
用lingo软件对模型进行灵敏度分析的结果如下：
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X11 12.00000 4.000000 INFINITY
X21 12.00000 INFINITY 9.333333
X12 5.000000 7.000000 INFINITY
X22 5.000000 31.00000 INFINITY
X13 4.000000 INFINITY 1.000000
X23 4.000000 14.00000 INFINITY
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 180.0000 INFINITY 180.0000
3 200.0000 INFINITY 200.0000
显然可以看出：在最优值不变的条件下目标函数系数允许变化的范围：x11
的系数为（12,12+4）=（12,16）；x12的系数为（5,5+7）=（5,12）；x13的系数
为（4-1,4）=（3,4）；x21的系数为（12-9.333333,12）=（2.666667,12）；x22
的系数为（5,5+31）=（5,36）；x23的系数为（4,4+14）=(4,18)。
同样看出约束右端的限制数没有发生变化。
由于目标函数的系数并不影响约束条件，所以最优解保持不变。
六、模型的优缺点
模型的优点：
（1）模型的适用性好，线性规划性比较好，能够随着市场的变化而做出相应的变动，从而得到更大的效益，具有更强的应用指导意义。
（2）模型的建立运用线性规划的方法，可理解性强，应用广泛。
（3）Lingo软件执行速度很快，易于输入，修改，求解，分析数学规划的问题。
模型的缺点：
（1）没有考虑到机床维修的费用对工厂总体效益的影响，与实际情况有出入。
（2）模型比较单一，并没有用更好的办法去进行相应的检验其最大收益，及最优生产计划。
七、模型的推广
本文的模型是一个典型的线性规划的模型，用来求解最大或最小目标函数极值问题。
此问题有很多的推广应用价值。
优化问题可以说是人们应用科学、工程设计、商业贸易等领域中常遇到的一类问题。
这种数学建模的方法来处理优化问题，即建立和求解所谓的优化模型。
虽然，由于建模时要适当做出简化，可能是结果不一定完全可行或达到实际上的困扰，但是它基于客观规律和数据，模型的建立与求解并不需要耗费太多的时间。
如果在建模的基础上在赋予其现实的意义，就可以期望得到实际问题的一个圆满的结果。
八、参考文献
[1]赵静，但琦，数学建模与数学实验，北京，高等教育版社，2008.1
[2]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型 [M]，北京：高等教育出版社，2003。