高中数学说题课件

2
由（ 1）得 OB
1 a b 1 2 a 2b 2 OA
2 2
则S 2 AOB
1 1 1 1 1 2 2 2 OA OB OA 2 2 2 2 4 4 4 a b 1 a b 1 2 2 4 a 2b 2 OA a 2 b 2 OA OA
随着 OA的增加，此函数值在增 加. OA a, S 2 AOB 1 1 1 2 a 2b 2 2 4 a b 4 1 a 2b 2 a 2 a 4
2
OA OB , 且 AB
2
2
2
2
OA OB ab
2 2
2
2

1 1 OB 2 OH
, 所以 OH ab a b
2 2
a b
,
故点H的轨迹是以O为圆心，
为半径的圆。
高考链接：
2 2
1. y x k
2 a 2b 2 k 2 x2 y2 x 2 a2 b2 1 2 a b2k 2 由 , 得 a 2b 2 y 1x y2 2 k a2 b2k 2 1 1 1 1 1 1 a2 b2 2 2 2 2 ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b k a b a b k a b a b x y x y OA OB 1 1 2 2 b2 a2k 2 b2 a2k 2 a2 b2k 2 a2 b2k 2
x2 y2 结论：己知椭圆方程为 2 2 1 , A、B 分别为椭圆上的两 a b
y
点，若 OA⊥OB，则
1 OA
2

1 OB
2

1 1 。 2 2 a b
A 2
探究2（结论作用）：过O作AB的 垂线，垂足为H，求点H的轨迹方 程。
从而 OH 即 1 OA
2 2
B
O
2 2
x
因为OH AB,由等面积得 OH AB OA OB , AB
2

解：（1）设椭圆的方程为 a 2
方法二 ： 利用平面直角坐标系求解 x y
2

2
b2
1
，
当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为 y kx ,则直线OB方程为
2 a 2b 2 x x 2 y 2 2 1 1 b a 2k 2 记A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则由 a , 得 b k 2 a 2b 2 2 y1 2 y kx b a2k 2
（2）依题意，得到
S AOB 1 1 OA OB 1 2 2 2 1 a 2b 2 , 2 (b 2 cos2 1 a 2 sin 2 1 )(b 2 sin 2 1 a 2 cos2 1 ) 1 a 2b 2 2 b 4 cos2 1 sin 2 1 a 2 b 2 cos4 1 a 2 b 2 sin 4 1 a 4 sin 2 cos2 1
S 2 AOB
ab 2
a 2b 2 ab 综上所述S AOB 有最小值 2 , S 有最大值 . AOB 2 a b2
1、体会数形结合、类比推理的思想方法；通过自 主探究培养学生观察、分析、比较和归纳能力。
2、 通过实例让学生体会学习和应用极坐标系的 有效性和便利性，极坐标法中极径可由极角表示 出来，利用极角之间的关系减少未知变量，比参 数方程两个变量更方便，而在求最值问题时，转 化为三角函数最值问题，利用三角函数的有界性， 更容易处理。在解决问题当中训练学生优化数学 思维，激发学习兴趣。
a 2b2 (k22 1) 同理可得 OB 2 2 2 ，所以 a k2 b
2
a 2 k12 b 2 a 2 k2 2 b 2 a 2 b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b (k1 1) a b (k2 1) ab OA OB 1 1
化简得 k1k2 1，所以逆命题不成立, 当斜率异号或其中一条斜率不存在时成立。
S 2 AOB
ab 2
a 2b 2 ab 综上所述S AOB 有最小值 2 , S 有最大值 . AOB 2 a b2
方法三 ：利用参数方程求解
解（1）令椭圆的参数方程为
设A(a cos , b sin ), B(a cos , b sin ), 又因为OA OB, 则a 2 cos cos +b2 sin sin 0,
2 2 2 2
x a cos y b sin
3 1 1 1 1 a 2 b2 当， 其中一个为 或 时，则另一个为0或，此时 2 2 2 2 2 2 2 2 a b ab OA OB 1 1 a2 b2 综上所述， 是定值 . 2 2 2 2 a b OA OB
为y轴建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为
以O点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为
x2 y2 2 1 2 a b
( cos ) 2 ( sin ) 2 1 2 2 a b
a 2b 2 即 2 b cos 2 a 2 sin 2
2
由于OA OB, 可设A( 1 , 1 )，令B ( 2 , 1
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(2)由S AOB
1 1 2 2 OA OB ，可得S 2 AOB OA OB 2 4
由（ 1 ）可得， 2 2 OA OB

1
1
a2 b2 2 a 2b 2
OA OB 2
2
1 OA
2

1 OB
2

2 OA OB
a 2b 2 2 a b2
S AOB
1 a b2 OA OB 2 2 a b2

1 a 2b 2 2 (b 4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2 b 2 (cos4 1 sin 4 1 ) 1 a 2b 2 2 (b 4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2 b 2 (cos4 1 sin 4 1 ) 1 a 2b 2 2 2 (b 4 a 4 ) cos2 1 sin 2 1 a 2 b 2 (cos2 1 sin 2 1） - 2 cos2 1 sin 2 1
数学说题
说题人：大同十九中 高晓琴
各位评委、老师，您们好： 我今天要说的题目是5号题。 5．已知椭圆的中心为O，长轴短轴的长分 别为2a,2b(a>b>0)，A，B分别在椭圆上的 两点,且 OA OB ． 1 1 （Ⅰ）求证 OA OB 为定值. （Ⅱ）求 AOB 面积的最大值和最小值．
3、反思题目的已知和结论，思考变式考察以及结 论的作用。
x2 y2 结论：己知椭圆方程为 2 2 1 , A、B 分别为椭圆上的两 a b
点，若 OA⊥OB，则
1 OA
2

1 OB
2

1 1 2 。 2 a b
逆命题成立吗？
x2 y 2 探究 1：己知椭圆 2 2 1 ,A、B 分别为椭圆上的两点， a b
当直线OA与OB其中一条直线斜率不存在时，则另一条直线斜率是0，
1 1 a2 b2 此时 2 2 2 2 2 2 a b a b OA OB 1 1 a2 b2 综上所述， 2 是定值 2 2 . 2 a b OA OB 1 1
(2)由S AOB
1 1 2 2 OA OB ，可得S 2 AOB OA OB 2 4
2 2
则S 2 AOB
1 1 1 1 1 2 2 2 OA OB OA 2 2 2 2 4 4 4 a b 1 a b 1 2 2 4 a 2b 2 OA a 2 b 2 OA OA
随着 OA 的增加，此函数值在增加. OA a, S 2 AOB 1 1 1 2 a 2b 2 2 4 a b 1 4 - 4 2 2 2 aba a
若
1 OA
2

1 OB
2

1 1 2 ，试研究 OA⊥OB 是否成立？ 2 a b
设 OA 所在的直线斜率为 k1 0 ，OB 所在的直线斜率为 k2 0
2 a 2b 2 y k1 x x 2 2 2 2 2 2 a k1 b a b ( k 2 2 1 1) 2 由x 得 所以 OA 2 2 2 y 2 2 2 a k1 b 2 2 1 y 2 a b k1 a b 2 2 2 a k b 1
5．已知椭圆的中心为O，长轴短轴的长分 别为2a,2b(a>b>0)，A，B分别在椭圆上的 两点,且 OA OB ． 1 1 （Ⅰ）求证 OA OB 为定值. （Ⅱ）求 AOB 面积的最大值和最小值．
2 2
y
A
2
B
O
2 2
x
方法一 ：利用极坐标求解
解：（1）以椭圆中心O点为坐标原点，长轴所在直线为x轴，短轴所在直线


1 a 2b 2 2 (b 4 a 4 - 2a 2 b 2 ) cos2 1 sin 2 1 a 2 b 2 1 2 a 2b 2 sin 2 21 (a b ) a 2b 2 4
2 2 2
5 a 2b 2 当且仅当sin 21 1，即1 或 时，S AOB 有最小值 2 ； 4 4 a b2 ab 当sin 2 21 0，即1 0或时，S AOB 有最大值 . 2
12
a 2b 2 , 2 2 2 2 2 2 b cos 1 a sin 1
)，则 2 a 2b 2 2 , b sin 2 1 a 2 cos 2 1

于是
1 1 1 1 OA2 OB 2 12 2 2
b 2 cos 2 1 a 2 sin 2 1 b 2 sin 2 1 a 2 cos 2 1 a 2 b2 a 2b 2 a 2b 2 1 1 所以， 2 为定值。 OA OB 2
由（ 1 ）可得， 2 2 OA OB

1
1
a2 b2 2 a 2b 2
OA OB 2
2
1 OA
2

1 OB
2

2 OA OB
a 2b 2 2 a b2
S AOB
1 a b2 OA OB 2 2 a b2
2
由（ 1）得 OB
1 a b 1 2 a 2b 2 OA
3 a2 当， 都不为 或 时，则tan tan =- 2 2 2 b 1 1 1 1 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OA OB a cos +b sin a cos +b sin a cos +b sin a cos +b 2 sin 2
2 2
一.题目 二.解答
三.反思
四.变式迁移
1. 5题为圆锥曲线题，是历年高考的必考点。这道题是 放在课本选修4-4习题1.3第六题，是学习了极坐标系 后的一道习题。 2.本题难度较大，主要考察椭圆普通方程，在极坐标系 下的方程，参数方程的运用，以及直线方程，三角 函数、最值等一系列问题。
3.考察学生代数推导，数形结合，解题优化的思想和能 力。
tan 2 1 tan 2 1 (tan 2 1)(a 2 +b 2 tan 2 ) (tan 2 1)( a 2 +b 2 tan 2 ) 2 2 2 2 2 2 a +b tan a +b tan (a 2 +b 2 tan 2 )(a 2 +b 2 tan 2 ) 2a 2 (a +b )(tan tan 2 ) a 2 +b 2 b 2 2 2 2 a ab a 2b 2 (tan 2 tan 2 2 ) b