初中数学-三角形知识点归纳

初中数学湘教版八年级数学上册三角形知识点集⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.（１）三角形的表示方法：三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示，△AB Ｃ的角可表示为∠Ｂ或者∠ＡＢＣ，∠Ｃ或者∠ＡＣＢ，∠Ａ或者∠ＢＡＣ，到底用一个大写字母还是三个大写字母表示角，要看题目用一个大写字母表示角会不会产生混淆（２）三角形一共有三个顶点，三条边，三个角，这就是三角形的三元素；（３）三角形的对边与对角：一个角对着一条边，一条边对着一个角如图∠ＢＡＣ的对边是边ＢＣ，边ＡＢ的对边是∠Ｃ或者∠ＡＣＢ⒉ 三角形的分类：(1)按边分类：(2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部；③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫做重心；④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做内心三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：① AD 是∆ABC 的角平分线② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③ ③ 如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD =∠DAC =21∠BAC . 三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC =21BC . 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 （等边三角形三条边都相等，也叫做正三角形） 直角三角形有一个角是９０度，直角三角形的两个锐角互余。

A BC D E 图1（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在三角形外；③三角形三条高所在直线交于一点，这个点叫做垂心．三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM是∆ABC的高；②AM是∆ABC中BC边上的高；图2③如果AM是∆ABC中BC边上高，那么AM⊥BC，垂足是E；④如果AM是∆ABC中BC边上的高，那么∠AMB=∠AMC=90︒.⒍三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边７.三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。

８.三角形的外角的定义三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.（我们要学会识别外角）注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角，所以说一个三角形有六个外角，但如果我们每个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．９.定义与命题，定理，证明与反证法定义：对一个概念的含义加以描述说明或者作出明确规定的语句叫做这个概念的定义命题：对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫做命题判断一个句子是否为命题的依据：（１）命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和祈使句不是命题（２）必须对某件事情作出肯定或者否定的判断命题的结构：命题可以看成由条件和结论两部分组成的，所以命题可以改写成：如果……那么……的形式互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件与结论是另一个命题的结论和条件，我们就把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个就叫逆命题怎么求一个命题的逆命题：把原命题的条件和结论互换位置命题有真假，正确的命题称为真命题，错误的命题叫假命题判断真命题的方法是证明，判断假命题的方法是举反例判断一个命题是真命题的依据（或者说证明的依据）是：定义、定理、推论、公理公理与定理的区别是：公理是不需要证明，是基本事实，而定理是需要证明的。

公理与定理的联系是：公理与定理都是真命题互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理每个逆命题都有逆命题，但是不是每个定理都有逆定理反证法：当直接证明有困难的时候，可以换一个角度来证明，可以使用反证法。

反证法的基本步骤：假设结论不成立——根据已知条件和学过的公理定理等推出矛盾——假设错误，原命题成立１０.等腰三角形的性质：（１）等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴，对称轴是顶角平分线所在的直线（２）等腰三角形底边上的高、中线以及顶角平分线重合（简称“三线合一”）（３）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）已知等腰三角形的边，如果没有明确指出是腰还是底，则必须根据三角形的三边关系分情况来讨论已经等腰三角形的角，如果没有明确指出是顶角还是底角，则必须依据三角形的内角和分情况来讨论等腰三角形“三线合一”的性质可以用来证明线段相等，角相等，还有互相垂直关系１１.等边三角形的性质（１）等边三角形的轴对称图形，它有三条对称轴（２）等边三角形的三个内角相等，而且都等于６０度（３）等边三角形每条边上的高、中线和所对应的角平分线三线合一，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴１２.等腰三角形的判定方法（１）有两条边相等的三角形是等腰三角形（２）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）１３．等边三角形的判定方法（１）按边来说：有三条边相等的三角形是等边三角形（２）按角来说：三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都是６０度的三角形是等边三角形有两个角等于６０度的三角形是等边三角形（３）按边与角来说：有一个角是６０度的等腰三角形是等边三角形１４.线段垂直平分线定义：我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线线段也是轴对称图形，它有两条对称轴，一条是线段本身所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上１５.全等三角形全等图形：能够完全重合的两个图形。

其中完全重合有两层含义，第一，形状相同，第二，大小相等。

注意：图形全等与它们的位置无关；全等图形的周长、面积分别相等，但周长、面积相等的两个图形不一定是全等图形判断两个图形是否为全等图形，只要将两个图形通过平移、翻折与旋转等全等变换方式是否能完全重合，如果完全重合就是全等图形全等三角形：能够完全重合的两个三角形全等三角形的对应元素：对应边、对应角、对应顶点、对应中线、对应高、对应角平分线、对应周长与对应面积等等。

特别注意：写两个三角形全等时，一定要把对应顶点的字母写在对应的位置上方法点拨：怎么找对应元素？怎么确定对应元素？一．图形大小确定法最大的边（角）是对应边（角）；最小的边（角）是对应边（角）；相等的边（角）是对应边（角）二．图形位置确定法公共边一定是对应边；公共角一定是对应角；对顶角一定是对应角三．字母顺序确定法三角形全等按照对应顶点写在对应的位置上以后，可以按照对应字母的顺序写出对应边与对应角全等三角形的性质——全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等，全等三角形的性质是证明线段相等与角相等的常用方法全等三角形的判定方法ＳＡＳ、ＡＳＡ、ＡＡＳ、ＳＳＳ，特别注意ＳＳＡ和ＡＡＡ不能证明三角形全等证明边相等的方法１.公共边都相等 ２.等线段加（减）等线段的和（差）相等，即等式性质３.由中点得到线段相等 ４.同等于第三条线段的两条线段相等，即等量代换５.全等三角形的对应边相等证明角相等的方法：１.公共角、对顶角分别相等 ２.等角加（减）等角所得和（差）相等，即等式性质３.同角或等角的余（补）角相等 ４.角平分线得到的角相等 ５.平行线的同位角、内错角相等６.直角都相等 ７.第三角代换，即等角代换 ８.全等三角形的对应角相等在写两个三角形全等的时候，注意要先进行转化，写三角形的时候要把对应顶点的字母写在对应的位置上，另外按照判定方法的边角顺序写（比如ＳＡＳ，要按照边角边对应的顺序写），左边写左边三角形的边与角，右边写右边三角形的边与角；证明了两个三角形全等以后，就可以用这个三角形全等的性质，所有对应边与对应角相等１６．三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．注意：（1）只有三角形具有稳定性；（2）四边形及四边形以上图形都没有稳定性.（3）三角形稳定性的原理是ＳＳＳ１７．全等三角形辅助线口诀有时需把两点连，构造一对公共边图中有角平分线，可向两边作垂线线段垂直平分线，常向两端把线连线段计算和与差，巧用截长补短法三角形里有中线，延长中线等中线１８.等腰三角形：适当添加辅助线，寻找基本图形(1)基本图形一，如图，在∆ABC 中，AB=AC ，B,A,D 成一条直线，则∠DAC =2∠B =2∠C 或∠B =∠C =21∠DAC . (2)基本图形二，如图，如果CO 是∠AOB 的角平分线，DE ∥OB 交OA,OC 于D,E ，那么∆DOE 是等腰三角形，DO=DE .当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.基本图形三，如图10，如果BD 是∠ABC 的角平分线，M 是AB 上一点，MN ⊥BD ，且与BP,BC 相交于P,N .那么BM=BN ，即∆BMN 是等腰三角形，且MP=NP ，即：角平分线+垂线→等腰三角形.当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.。