减少解析几何计算量的十种方法

减少解几试题计算量的十种方法

—高考对策之一

在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是：

（1）设而不求.

【题1】（湖北黄冈，元月考，10题） 已知直线l 交椭圆4x 2+5y 2=80于M 、N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是 ( )

A.6x －5y －28=0

B.6x +5y －28=0

C.5x +6y －28=0

D.5x －6y －28=0 【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN 的重心，容易求出边MN 的中点 坐标，那么求直线l 的方程，关键在求该直线的斜率.

若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定 理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是：

【解析】由22

2

2

458012016

x y x y +=⇒

+=.∴椭圆上顶点 B （0，4）,右焦点F （2,0）.为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C （3，-2）.

设直线l 的斜率为k.，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，∴221122

224580

4580

x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩ ()()()()12121212121212124466

4505545

y y x x x x x x y y y y k x x y y -+-++-+=⇒=

=-⋅=-⋅=-+-

所求直线方程为()6

23652805

y x x y +=

-⇒--=，选A. 【评注】我们用参数设置了M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求.

（2）使用特值

【题2】（湖北重点中学4月联考，理科8题）在离心率为65的双曲线()22

2210x y a b a b

-=>>中，F 为

右焦点，过F 点倾斜角为60゜的直线与双曲线右支相交于A,B 两点，且点A 在第一象限，若,AF mFB =

则

m =（ ）

x

y O B 04(,)

M

N

F 20(,)

C 32(,-)

图1

A.2

B.3

C.4

D.5

【分析】按常规求m 值，必先求向量AF FB

与之长.由于双曲线的

方程无法确定，又必须使用参数，其计算量之大是让人望而生畏的.

注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形 状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果.

所以我们可以通过取特值，让方程具体化.

【解析】6

5

c e a =

=.不妨设2225,6,,11a c c a b ==∴= =+b ，双曲线 方程为：

22

12511

x y -=,其右焦点()6,0F

，设()

6A t +，代入双曲线方程： ()2

21162532511t t +-⋅=⨯2641321210t t ⇒--=

()()16114110.t t ⇒+-=于是1122

1111

,,4416t t t m t =

=-==，故选C. （3）平几给力

【题3】（2011.武汉四月调考.15题）过圆C ：22200(,)x y R M x y +=内一定点作一动直线交圆C 于两点P 、R ，过坐标原点O 作直线ON ⊥PM 于点N ，过点P 的切线交直线ON 于点Q ，则O M O Q ⋅

= 。

【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件 中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积 容易想到直角三角形中成比例的线段.

【解析】如图4,连OP,则OP ⊥PQ.但是OQ ⊥PR 于N,根据

直角三角形的射影性质有：2

2

OQ ON OP R ⋅==

∴2cos OM OQ OQ OM OQ ON R α⋅=⋅⋅=⋅=

即2OM OQ R ⋅=

.

（4）减少参数

【题4】（北京西城元月考.13题）双曲线2

2

:1C x y -=的渐近线方程为

若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =

，则直线

l 的斜率为

【分析】第一空，简单；难点是第二问.

y

A

B

F O

A 1

B 1

x

图3

x

y

O

P

R

Q

N α

图2

x

y

O

A 10(,)

P

Q

按常规，为求直线l 的斜率，必先确定P 或Q 的坐标.但由现有 条件却确定不了，因此退而求P,Q 两坐标之间的关系.但是两点的坐标有4个未知量，计算太过繁杂.故考虑减少未知量，使运算量减半.

【解析】设()()1122,,,P x y Q x y .当2PA AQ =

时， 1220y y +=.设直线():1PQ y k x =-.令x=y,得

()11,1k y k y y k =-∴=-令x=-y,得()21,1

k

y k y y k -=--∴=+

于是：

212

00,01111

k k k k k k k -=≠∴-=-+-+ ()1210k k ⇒+--=

【别解】（巧用中点公式）如图设P （a,a ）,则P 关于A （1,0）的对称点为R （2-a,-a ）, AR 的中点

3,22a a Q -⎛⎫- ⎪⎝⎭符合所设条件且在直线y=-x 上，3

03332,,,33222212

PQ

a a P k --⎛⎫∴=∴== ⎪⎝⎭

-得 （5）回归定义

【题5】（山西师大附中，元月考，8题）设12F F ，是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左，右两个焦

点，若双曲线右支上存在一点P ，使()

220.OP OF F P +⋅= （O 为坐标原点），且12PF =

，则双曲

线的离心率是（ ）

2

1A C D

【分析】根据向量加法的平行四边形法则，2=,OP OF OQ +

2OQ F P ∴⊥ 2OQ F P

且必过的中点.可知12PF F ∆为直角三角形.

这就为用定义法求离心率创造了条件.

【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令

)

21=,,21PF r PF a r =∴=

则，1290,F PF ∠=︒但是

)

2

222

21212,4 1.PF PF F F r r ∴+=+== 即

，得

于是1c a e a =

===，选D 得k=3.

图4

图5

x y

P O

F 1

F 2

Q

M