离散数学结构 习题5

习题5

1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：

(1) x y(F(x)∧G(y))

(2) x y(F(x)∨G(y))

(3) xF(x)→yG(y)

(4) x(F(x,y)→yG(y))

答案

(1) x y(F(x)∧G(y))

xF(x)∧yG(y)

(F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c))

(2) x y(F(x)∨G(y))

xF(x)∨yG(y)

(F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c))

(3) xF(x)→yG(y)

(F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c))

(4) x(F(x,y)→yG(y))

xF(x,y)→yG(y)

(F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c))

2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。

(1) x(F(x)→G(x))

(2) x(F(x)∧G(x))

.(1)

答案

I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3

F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以

x(F(x)→G(x))

(F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。

I2: F(x)同I1,G(x):x≤0

则F(1),F(2)均为真，而G(1),G(2)均为假，

x(F(x)→G(x))为假。

(2)留给读者自己做。

3．给定解释I如下：

(a) 个体域D={3,4}。

(b) (x)为(3)=4，(4)=3。

(c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。

答案

试求下列公式在I下的真值：

(1) x yF(x,y)

(2) x yF(x,y)

(3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))

(1) x yF(x,y)

(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))

(0∨1)∧(1∨0) 1

(2) x yF(x,y)

(F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))

(0∧1)∨(1∧0)0

(3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))

(F(3,3)→F(f(3),f(3)))

∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))

∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))

∧(F(4,4)→F(f(4),f(4)))

(0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0) 1

4．在自然推理系统F中构造下面推理的证明：

(1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)

结论：x(F(x)∧R(x))

(2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x)

结论：xF(x)

(3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x)

结论：xF(x)

答案

.(1)

证明:①xF(x)前提引入

② F(c)①EI

③x(F(x)→(G(a)∧(R(x)))前提引入

④ F(c)→(G(a)∧R(c))④UI

⑤ G(a)∧R(c)②④假言推理

⑥ R(c)⑤化简

⑦ F(c)∧R(c)②⑥合取

⑧x(F(x)∧R(x))⑥EG

(2)

证明：① ┐xG(x)前提引入

②x┐G(x)①置换

③ ┐G(c)②UI

④x(F(x)∨G(x)前提引入

⑤ F(c)∨G(c)④UI

⑥ F(c)③⑤析取三段论

⑦xF(x)⑥EG

(3)

证明：①x(F(x)∨G(x))前提引入

② F(y)∨G(y)①UI

③x(┐G(x)∨┐R(x))前提引入

④ ┐G(y)∨┐R(y)③UI

⑤xR(x)前提引入

⑥ R(y)⑤UI

⑦ ┐G(y)④⑥析取三段论

⑧ F(y)②⑦析取三段论

⑨xF(x)UG

5．在自然推理系统F中，证明下面推理：

(1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。

(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。

(3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不是无理数。答案

(1)

设F(x):x为有理数，R(x):x为实数，G(x):x是整数。

前提：x(F(x)→R(x))，x(F(x)∧G(x))

结论：x(R(x)∧G(x))

证明：①x(F(x)∧G(x))前提引入

② F(c)∧G(c)①EI

③ F(c)②化简

④ G(c)②化简

⑤x(F(x)→R(x))前提引入

⑥ F(c)→R(c)⑤UI

⑦ R(c)③⑥假言推理

⑧ R(c)∧G(c)④⑦合取

⑨x(R(x)∧G(x))⑧EG

(2)

设：F(x):x为有理数，G(x):x为无理数，R(x)为实数，H(x)为虚数

前提：x((F(x)∨G(x))→R(x)),x(H(x)→┐R(x))

结论：x(H(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))

证明：①x((F(x)∨G(x)→R(x))前提引入

② F(y)∨G(y))→R(y)①UI

③x(H(x)→┐R(x))前提引入

④ H(y)→┐R(y)③UI

⑤ ┐R(y)→┐(F(y)∨G(y))②置换