第十五章 机械波部分习题解答

第十五章机械波部分习题分析与解答
15-6 波源作简谐运动,周期为1.0×10-2s,以它经平衡位 置向正方向运动时为时间起点,若此振动以u=400m·s-1 速度 沿直线传播,求:(1)距波源为8.0m处的质点p的运动 方程和初相;(2)距波源为9.0m和10.0m处两点的相位差.
（1）由题给条件得：
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(2)绳上质点的振动速度为
V dy / dt
(0.5m s1) sin[(2.5s1)(t 2.5m s1)] Vmax 0.5m s1 1.57m s1
(3)t=1s和t=2s时的波形方程分别为
y1 (0.20m) cos[2.5 (m1)x)] y2 (0.20m) cos[5 (m1)x)]
角频率 2 / T 200s1
波速u 400 m s1
初相0 3 / 2(或 / 2)
故得波动方程为:
y Acos[(200s1)(t x / 400 m s1) 3 / 2]
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位于xp=8.0m处,质点P的运动方程为
的位置，可根据相消条件 (2k 1) 来获得.
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以A、B两点的中心o为
A o pB
原点，取坐标如图所示。
x
x
两波的波长均为λ=u/ν=4.0m.在A、B连线上 可分为三个部分进行讨论。 1.位于点A左侧部分
B A 2 (rB rA) / 14
如图15-17（a）所示，其振幅相等、频率皆为
100Hz，B比A的相位超前π. 若A、B相距30.0m，波
速为u=400m·s-1，试求AB连线上因干涉而静止的
各点的位置。
A
B
30m
x
两列相干波相相遇时的相位差为：
2 1 2r /
因此，两列振幅相同的相干波因干涉而静止的点
y Acos[2 (t / T x / ) 0 ] (0.10m) cos[2 (t / 0.4s x / 2.0m) / 2]
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15-14 有一波在介质中传播，其波速u=1.0 × 103m·s-1, 振幅A= 1.0×10-4m ，频率ν= 1.0 × 103Hz 。若介质 的密度为ρ= 8.0 × 102 kg·m-3, ，求:（1）该波的能流 密度；（2）1min内垂直通过4.0 × 10-4m2的总能量。
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15-3 波源作简谐运动,其运动方程为: y=(4.0×10-3m)cos(240πs-1)t ,它所形成的波形以30m·s-1 的速度沿一直线传播。 (1)求波的周期及波长；（2） 求写出波动方程。
已知波源运动方程求波动物理量及波动方程，可
先 进将 行运 比动 较方 ，程求与出其振一幅般A、形角式频率y ω及A初co相s(t，0 而这0 )
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从图中可知波长λ=2.0m,振幅A=0.10m。由波 形曲线(Ⅰ)得知在t=0时，原点处质点位于平 衡位置且向oy轴负向运动，利用旋转矢量法 可得初相 0 / 2 根据上面的分析，周期为：
T (0.1s) /(k 0.25),k 0,1,2
由题意知T>0.1s，故上式成立的条件为k=0,可 得T=0.4s。 波动方程为：
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15-2 一横波在沿绳子传播时的波动方程为 y=(0.20m)cos[2.5πs-1)t-(πm-1)x].(1)求波的振幅、波速、 频率及波长；（2）求绳上质点振动时的最大速度； （3）分别画出t=1s和t=2s时的波形，并指出波峰和波 谷.画出x=1.0m处质点的振动曲线并讨论其与波形图的 不同。
T 2 / 8.33103 s 波长为: uT 0.25m
(2)将已知的波源运动方程与简谐运动方程的 一般形式比较后可得:
A 4.0 10 3 m, 240s1,0 0
故以波源为原点,沿x轴正向传播的波的波动方程为:
y Acos[(t x / u) 0 ] (4.0103 m) cos[(240s1)t (8m1)x]
上式与驻波方程具有相同形式，因此，这就是驻 波的运动方程。
由 2Acos(2xp / ) ，0 得波节位置的坐标为
xp (2k 1) / 4 (k 0.5)m k 0,1,2,
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由 2Acos(2xp / ) 2A 0.12m,得波腹位置的坐标为
yp Acos[(200s1)t 9 / 2]
质点P振动的初相也变为 p0 9 / 2 ,但波线上任
两点间的相位差并不改变.
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15-8 图15-8为平面简谐波在t=0时的波形图,设此简谐波 的频率为250Hz,且此时图中质点P的运动方向向上. 求:(1)该波的波动方程;(2)在距原点O为7.5m处质点的 运动方程与t=0时该点的振动速度.
波形图如下图所示:
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y/m
0.2
t=1s t=2s
Leabharlann Baidu
o 1.0
2.0
x/m
-0.2
X=1.0m处质点的运动方程为:
y1 (0.20m) cos(2.5s1)t
振动图线如下图所示 :
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y/m
0.2
o 0.2 0.6
t/s
-0.2
波形图与振动图虽然在图形上相似,但却有 着本质的区别,前者表示某确定时刻波线上所有 质点的位移情况,而后者则表示某确定位置的一 个质点,其位移随时间变化的情况.
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可见它们的振幅A=0.06m,周期T=0.5s，波长λ=2 . 在波线上任取一点P，它距原点为xp，则该点的合 运动方程为：
y y1p y2 p (0.12m) cos(sp ) cos(4s1)t
(0.12m) cos(2 xp ) cos(4s1)t
x
x
则两列波在点p的相位差为：
B A 2 (rB rA) / (x / m 1)
根据分析中所述，干涉静止的点应满足方程：
(x / m 1) (2k 1)
得： x 2km k 0,1,2,
因 x 15m ，故 k 7 ，即在A、B之间的连线
（1）由能流密度I的表达式得：
I 1 uA2 2 2 2uA2v2 1.58105 w m2
2
（2）在时间间隔Δt=60s内垂直通过面积s的能量为：
W P t IS t 3.79103 J
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15-17 两相干波波源位于同一介质中的A、B两点，
矢量法可得其初相为: 0 / 3 . 故波动方程为:
y Acos[(t x / u) 0 ] (0.10m) cos[(500s1)(t x / 5000m s1) / 3]
(2)距原点o为x=7.5m处质点的运动方程为:
y (0.10m) cos[(500s1)t 13 /12]
（1）将已知波动方程表示为：
y (0.20m) cos[(2.5s1)(t x / 2.5m s1)]
与一般表达式 y A cos[(t x / u) 0 ] 比较,可得
A 0.20m, u 2.5m s1,0 0 v / 2 1.25Hz, u / v 2.0m
u
波的振幅A、波长λ，利 0.10
Ⅱ
用旋转矢量法可确定原 点处质点的初相。因此， o 1.0 2.0
x/m
确定波的周期就成为了 -0.10
解题的关键。
由曲线 (Ⅰ)可知，在t=0时，原点处的质点处在平衡 位置且向oy轴负向运动，而曲线 (Ⅱ)表明，经过0.1s 后，该质点已运动到oy轴的-A处，因此可列方程 kT+T/4=0.1s,k=0,1,2,…即质点在0.1s内，可以经历k 个周期振动后再回到-A处，故有T=(0.1s)/(k+0.25)
yp Acos[(200s1)t 5 / 2]
该质点振动的初相为: p0 5 / 2
(2)距波源9.0m和10.0m两点的相位差为:
2 (x2 x1) / 2 (x2 x1) / uT / 2 如果波源初相取 0 / 2 ,振动方程为:
因该范围内两列波相位差恒为2π的整数倍，故干 涉后质点振动处处加强，没有静止的点
2.位于点B右侧部分
B A 2 (rB rA ) / 16
显然该范围内质点振动也都是加强的，无干涉静 止的点
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3.在A、B两点的连线之间
A o pB
设任意一点p距原点为x， 因rB=15m-x , rA=15m+x,
xp k / 2 km k 0,1,2,
(2)驻波振幅 A 2Acos(2xp / ) ，在波腹处
A 2A 0.12m
在x=0.12m处，振幅为：
A 2Acos(2xp / ) (0.12m) cos0.12 0.097m
只需证明这两列合成后具有驻波方程 y=2Acos(2πx/λ)cos(2πνt)的形式即可.由 驻波方程可确定波腹、波节的位置和任 意位置处的振幅。 （1）将已知两波动方程分别改写为：
y1 (0.06m) cos2 (t / 0.5s x / 2m)
y2 (0.06m) cos2 (t / 0.5s x / 2m)
三个物理量与波动方程的一般形式：
y A cos[(t x / u) 0 ] 中相应的三个物理
量是相同的，再利用题中已知的波速u及公式
2v 2 / T 和 uT 即可求解。
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(1)质点的振动角频率为ω=240πs-1,根据分析中 所述,波的周期就是振动的周期,故有:
上共有15个静止点。
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15-19 两波在同一细绳上传播，它们的方程分别为 y1=(0.06m)cos[(πm-1)x-(4πs-1)t]和y1=(0.06m)cos[(πm1)x+(4πs-1)t]. （1）证明这细绳是作驻波式振动，并 求节点和波腹的位置；（2）波腹处的振幅多大？在 x=1.2m处，振幅多大？
从波形图获取波的特 征量,从而写出波动方 程是建立波动方程的 又一途径.
y/m
0.10 0.05
o
p
10.0m
x/m
(1)从图中可得知:波的振幅A=0.10m,波长 λ=20.0m,则波速为:
u v 5.0103 m s1
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根据t=0时点p向上运动,可知波沿ox轴负向传播,并判定 此时位于原点处的质点将沿oy轴负方向运动,利用旋转
t=0时该点的振动速度为:
V

dy ( dt )to

(50m s1) sin13
/12
40.6m s1
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15-11 图15-11中(Ⅰ) 是t=0时的波形图, (Ⅱ) 是t=0.1s时 的波形图,已知T>0.1s,写出波动方程的表达式.
从t=0时的波形曲线可知 y / m Ⅰ