辽宁省高一数学上学期期末考试试题
辽宁省大连市2022-2023学年高一上册12月期末考试数学试卷(含解析)
辽宁省大连市2022-2023学年高一上册12月期末考试数学试卷（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}1,2,3,4A =，集合()(){}130B x x x =+-<，则A B = （）A.{}1,0,1,2,3- B.{}1,2,3 C.{}1,2 D.{}2【答案】C2.已知向量()1,2a =r ，(),4b x =- ，且//a b r r，则实数x =（）A.2B.1C.1- D.2-【答案】D3.若1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则131x +，231x +，…，1031x +的方差是（）A.18B.7C.6D.2【答案】A4.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕．党的二十大报告鼓舞人心，内涵丰富．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（）A.120 B.35C.310D.910【答案】B5.下列函数中，其图像如图所示的函数为（）A.13y x-= B.23y x=C.13y x = D.23y x -=【答案】A6.“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P （单位：mg L ）与时间t （单位：天）间的关系为：0ektP P -=⋅，其中0P 表示初始含量，k 为正常数．令2121P P t t μ-=-为[]12,t t 之间海水稀释效率，其中1P ，2P 分别表示当时间为1t 和2t 时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即(]0,5，(]5,10，(]10,15，(]15,20分别记为Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，则下列哪个时期的稀释效率最高（）．A.Ⅰ期B.Ⅲ期C.Ⅲ期D.Ⅳ期【答案】A7.已知0x >，0y >，且满足20x y xy +-=，则92x y+的最大值为（）A.9 B.6 C.4D.1【答案】D8.已知定义域为D 的函数()f x ，若1x D ∀∈，都2x D ∃∈，满足()122x f x a +=，则称函数()f x 具有性质()P a ．若函数()f x 具有性质()1P ，则“()f x 存在零点”是“2D ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若a b >，01c <<，则a bc c <C.若1a b >>，1c >，则log log a b c c<D.若1a b <<-，0c >，则c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD10.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则（）A.A 与C 互斥B.B 与D 对立C.A 与D 相互独立D.B 与C 相互独立【答案】AD11.已知点P 为ABC 所在平面内一点，且230PA PB PC ++=，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是（）A.向量PA 与PC可能平行B.点P 在线段EF 上C.:2:1PE PF =D.::1:2:3PAB PAC PBC S S S =△△△【答案】BC12.已知函数()()21350f x x x x =+->，()22e2xf x x =+-，()3ln 24f x x x =+-的零点分别为1x ，2x ，3x ，则下列结论正确的是（）A.123x x x <<B.232x x +=C.()310f x <D.()()3223f x f x =【答案】BC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题功4小题，每小题5分，共20分．）13.2log 522log 4+=______．【答案】714.已知向量a ，b满足()1,2a =- ，(),1b x =r ，3a b += ，则实数x =______．【答案】115.在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法抽取男生24人，女生16人，得到了男生的平均身高是170cm ，女生的平均身高是165cm ，则估计该校全体学生的平均身高是______cm ．【答案】16816.函数()()()224f x xxax b =-++满足：x ∀∈R ，都有()()20222024f x f x -=-，则函数()f x 的最大值为______．【答案】16四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图所示，在ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD DC =．过D 点的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 两点不重合）．（1）用AB，AC 表示AD；（2）若AE AB λ=，AF AC μ=，求12λμ+的值．【答案】（1）1233AD AB AC=+（2）3.【解析】【小问1详解】在ABD △中，由AD AB BD =+,又2BD DC =，所以23BD BC =，所以23AD AB BD AB BC=+=+ ()23AC ABAB =+- 2233AB ACAB =-+ 1233AB AC =+【小问2详解】因为1233AD AB AC =+ ，又AE AB λ= ，AF ACμ=所以1AB AE λ= ，1AC AF μ=，所以3231A E D A A F μλ=+，又,,D E F 三点共线，且A 在线外，所以有：12133λμ+=，即123λμ+=.18.已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{}22,R B x m x m m =-≤≤+∈．（1）若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；（2）若:p x A ∈，R :q x B ∈ð，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2m =（2）{5m m >或}3m <-．【解析】【小问1详解】因为{}03A B x x ⋂=≤≤，所以2023m m -=⎧⎨+≥⎩，所以21m m =⎧⎨≥⎩，所以2m =；【小问2详解】{R 2B x x m =<-ð或}2x m >+，:p x A ∈，R :q x B ∈ð，且p 是q 的充分条件由已知可得R A B ⊆ð，所以23m ->或21m +<-，所以5m >或3m <-，故实数m 的取值范围为{5m m >或}3m <-．19.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．【答案】（1）小吃类16家，玩具类4家；（2）（i ）中位数为342.9，平均数为352.5；（2）128.【解析】【小问1详解】()40125%15%10%5%5%16⨯-----=，4010%4⨯=，所以应抽取小吃类16家，玩具类4家.【小问2详解】（i ）根据题意可得()0.00130.0030.0050.007501a ⨯++++⨯=，解得0.002a =，设中位数为x ，因为()0.0010.003500.2+⨯=，()0.0010.0030.007500.55++⨯=，所以()3000.0070.20.5x -⨯+=，解得342.9x ≈，平均数为()2250.0012750.0033250.0073750.0054250.0024750.0015250.00150352.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.（ii ）4504200.0020.0010.0015080012850-⎛⎫⨯++⨯⨯=⎪⎝⎭,所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.20.第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．（1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；（2）已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．【答案】（1）925；（2）49.【解析】【小问1详解】设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件A ，若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，所以()3395525P A =⨯=；【小问2详解】设“该局比赛甲得11分获胜”为事件B ，甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲11:8获胜；甲得3分，乙得1分，则甲11:9获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，所以()22112112111221143323322332233229P B =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.21.已知函数()14xb f x a =++的定义域为R ，其图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称．（1）求实数a ，b 的值；（2）求122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；（3）若函数()412log 22xg x f x x+⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，判断函数()g x 的单调性（不必写出证明过程），并解关于t 的不等式()()2121g t g t -++>．【答案】（1）2,2a b ==-（2）1011（3）103t -<<【解析】【小问1详解】有条件可知函数()f x 经过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()112210122f f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭∴⎨⎪+=⨯⎪⎩，即12112411114b a b b aa ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+++=⎪++⎩，解得：2,2a b ==-，()2414242xx xf x -=+=++；【小问2详解】由于120222************1,1,,1202320232023202320232023+=+=+= ，1202222021101110121,1,,1202320232023202320232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问3详解】由于42log 2x y x +=-是奇函数，根据函数平移规则，()()12h x g x =-也是奇函数，并且由于()f x 是增函数，42log 2xy x+=-也是增函数，()h x ∴也是增函数，定义域为()2,2-不等式()()2121g t g t -++>等价于()()11212022g t g t --++->，即()()2120h t h t -++>，()()()2122h t h t h t ->-+=--，由于()h x 是增函数，2122212222t t t t ->--⎧⎪∴-<-<⎨⎪-<+<⎩，解得103t -<<；综上，（1）2,2a b ==-；（2）1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）103t -<<.22.已知函数()f x 的图像与函数()31xg x =-的图像关于直线y x =对称，函数()()9log 1h x x a =-+．（1）若4a =，求()()()F x f x h x =⋅在[]0,4x ∈上的最大值；（2）设()()(){}max ,2H x f x h x =，[]0,4x ∈，求()H x 的最小值，其中{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩．【答案】（1）()F x 在[]0,4x ∈上的最大值为12（2）()H x 的最小值()()()3min 33log 1,0log 1,082log 3,8a a a H x a a a ⎧-≤⎪⎪⎛⎫=+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎩【解析】【小问1详解】解：因为函数()f x 的图像与函数()31xg x =-的图像关于直线y x =对称，即()f x 与()g x 互为反函数，所以()()3log 1f x x =+当4a =，有()()9log 41h x x =-+，则()()()()()3939log 1log 41log 1log 5F x x x x x =+⋅-+=+⋅-()()331log 1log 52x x =+⋅-，又[]0,4x ∈时，[][]11,5,51,5x x +∈-∈，所以()()33log 10,log 50x x +≥-≥，所以()()()()()()()()2233223333log 1log 511111log 1log 5log 15log 29222882x x F x x x x x x ⎛⎫++-⎡⎤=+⋅-≤=+-=--+≤ ⎪⎣⎦⎝⎭，当且仅当()()33log 1log 52x x x ⎧+=-⎨=⎩，即2x =时等号同时成立，所以()F x 在[]0,4x ∈上的最大值为12；【小问2详解】解：()()()9322log 1log 1h x x a x a =-+=-+，()()2f x h x <等价于11x x a +<-+，即x x a <-，因为[]0,4x ∈，当0a ≤时，x a x a x -=-≥恒成立，所以()()2f x h x ≤，则()()3log 1H x x a =-+，所以()H x 在[]0,4x ∈上单调递增，所以()()()min 30log 1H x H a ==-；当04a <<时，[)[],0,,,4a x x a x a x a x a ⎧-∈⎪-=⎨-∈⎪⎩，此时当0,2a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x h x <，当,42a x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()2f x h x >，所以()()()33log 1,0,2log 1,42a a x x H x a x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，()H x 在0,2a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,42a x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()min 3log 122a a H x H ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当4a ≥时，x a a x -=-，当48a ≤<时，()H x 与上一种情况相同，所以()min 3log 122a a H x H ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当8a ≥时，x a a x x -=-≥恒成立，所以()()2f x h x <，则()()3log 1H x a x =-+，所以()H x 在[]0,4x ∈上单调递减，所以()()()min 34log 3H x H a ==-；综上，()H x 的最小值()()()3min 33log 1,0log 1,082log 3,8a a a H x a a a ⎧-≤⎪⎪⎛⎫=+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎩.。
辽宁省重点高中高一上学期期末考试数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}33A x x =-≤<{}1B x x =≥()R A B ⋂=ðA ． B ．C ．D ．{}3x x ≥-{}1x x ≥{}13x x ≤<{}31x x -≤<【答案】D【分析】根据集合交集，补集运算解决即可.【详解】由题知，集合，， {}33A x x =-≤<{}1B x x =≥所以，{}R 1B x x =<ð所以， (){}R 31A B x x ⋂=-≤<ð故选：D2．命题“”的否定是（ ）210,0x x x x∃<+-<A ．B ．210,0x x x x ∃<+-≥210,0x x x x∀<+->C ．D ．210,0x x x x∀<+-≥210,0x x x x∀≥+-≥【答案】C【分析】利用存在量词命题的否定的结构形式可得正确的选项.【详解】命题“”的否定为：“”，210,0x x x x∃<+-<210,0x x x x ∀<+-≥故选：C.3．我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．133石 B ．159石 C ．336石 D ．168石【答案】D【分析】根据254粒内夹谷28粒可得比例，即可解决. 【详解】由题意得，这批米内夹谷约为石， 281524168254⨯=故选：D4．给出的下列条件中能成为的充分不必要条件是（ ） 03xx ≥-A ．或 B ．或 C ．或 D ．0x ≤3x >1x <-3x >1x ≤-3x ≥0x ≥【答案】B【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合集合的包含关系解决即可.【详解】由题知，， 03xx ≥-所以，解得，或，()3030x x x ⎧-≥⎨-≠⎩0x ≤3x >对于A ，能成为的充分必要条件； 03xx ≥-对于B, 能成为的充分不必要条件； 03xx ≥-对于C ，能成为的既不充分也不必要条件； 03xx ≥-对于D ，能成为的既不充分也不必要条件； 03xx ≥-故选：B5．设是定义域为上的偶函数，且在单调递增，则（ ）()f x R ()0,∞+A ．B ．233221log 223f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭233221log 223f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．D ．23232122log 3f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23322122log 3f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】根据指数函数单调性可知，再根据对数函数单调性可得，结233222-->3322212lo 2g 3-->>>合函数的奇偶性和单调性即可得出结论.()f x 【详解】由指数函数为单调递增函数可知，所以，2xy =230322122--=>>233222f f --⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又是定义域为上的偶函数，()f x R 所以，()()2221log log 3log 33f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭由对数函数可知，，所以，2log y x =22log 3log 21>=233221log (1)223f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>即.233221log 223f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B6．如图，在中，，，直线交于点，若，则ABC A 12BM BC = NC AC λ=AM BN Q 57BQ BN = λ=（ ）A ．B ．C ．D ．35252313【答案】A【分析】由三点共线可得存在实数使得，再由三点共线可,,A M Q μ()1BQ BM BA μμ+-=u u u r u u u r u u r ,,A N C 解得，利用向量的线性运算化简可得，即.47μ=35N A C C =u u u r u u u r 35λ=【详解】根据图示可知，三点共线，由共线定理可知，,,A M Q 存在实数使得,μ()1BQ BM BA μμ+-=u u u r u u u r u u r 又，所以，,5712B B M BC Q BN ==u u u r u u u r u u u r u u u r ()57112BC BN BA μμ=+-u u u r u u u r u u r 又三点共线，所以，解得，,,A N C 57112μμ=+-47μ=即可得，所以，2355B BC N BA =+u u u r u u u r u u r ()()2355B BA A AN A BA C +=++u u r u u u r u ur u u u r u u r 所以，即，可得，25AN AC =25NC AC AC -=u u u r u u u r u u u r 35N A C C =u u u r u u u r 又，即可得.NC AC λ= 35λ=故选：A7．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足，则()f x R a b ()()210f a f b +-=1aa b +的最小值是（ ）A ．B ．C ．2D ．41+【答案】A【分析】根据题意得，得，再根据基本不等式解决即可. 21a b +=121a b a a b a b+=++【详解】由题知，奇函数是定义在上的单调函数，正实数，满足， ()f x R a b ()()210f a f b +-=所以， ()()()2112f a f b f b =--=-所以，即，12a b =-21a b +=所以122111a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=+当且仅当，即时取等号， 2b a a b =1,1a b ==故选：A8．高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大[]()y x x =∈R []x x 整数，如，，，已知，则函数的值域为[]1.62-=-[]1.61=[]22=()e 11e 12x x f x -=++()y f x ⎡⎤=⎣⎦（ ） A ． B ．C ．D ．{}0{}1,0-{}1,0,1-{}2,1,0--【答案】C【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出的值域，结合已知定义即可求()f x 解．【详解】因为 ()e 1132e 1221e x x xf x -=+=-++又， e 11x +>所以， 2021e x<<+所以 2201e x-<-<+所以， ()3213,21e 22x f x ⎛⎫=-∈- ⎪+⎝⎭则的值域． ()[()]g x f x ={}1,0,1-故选：C ．二、多选题9．下列命题中，正确的是（ ） A ．若，则 a b >22a b >B ．若，则11a b <a b >C ．若，则0,0b a m >>>a a m b b m+<+D ．若，则 15,23a b -<<<<43a b -<-<【答案】CD【分析】利用特值可判断AB ，利用作差法可判断C ，根据不等式性质可可判断D. 【详解】对于A 选项，当时，，故A 错误； 11a b =>=-22a b =对于B 选项，当，时，，故B 错误； 1,1a b =-=11a b<a b <对于C 选项，若，，，所以，故C 正确；0b a >>0m >()()0a b m a a m b b m b b m -+-=<++a a mb b m +<+对于D 选项，若，，则， 15a -<<23b <<32b -<-<-根据不等式性质得到，故D 正确. 43a b -<-<故选：CD.10．某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了10个用户的满意度评分，评分用区间[]0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.用户对产品的满意度评分如下：7，8，9，7，5，4，10，9，4，7.则下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的众数为7 B ．这组数据的第30百分位数为6 C ．这组数据的极差为6 D ．这组数据的方差为40【答案】ABC【分析】对于A ，根据众数定义判断即可；对于B ，根据百分位数定义判断即可；对于C ，根据极差定义判断即可；对于D ，根据方差定义判断即可.【详解】由题知，这组数从小到大排列为4,4,5,7,7,7,8,9,9,10， 所以这组数据的众数为7，故A 正确； 因为，100.33⨯=所以这组数据的第30百分位数为，故B 正确； 5762+=这组数据的极差为，故C 正确； 1046-=因为这组数据的平均数为； ()144577789910710+++++++++=所以这组数据的方差为，故D 错误； ()19940001449410+++++++++=故选：ABC11．一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（ ） A ．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B ．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等 C ．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是 625D ．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是 1625【答案】BD【分析】根据对立事件的概念判断A 选项即可；结合古典概型，列举基本事件，分别求对应的概率即可判断BCD.【详解】由题知，不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况，所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A 错误； 记2个红球分别为，3个白球分别为1，2，3， ,a b 不放回地从中取2个球的样本空间共20{}1,1,2,3,,1,2,3,1,1,12,13,2,2,21,23,3,3,31,32ab a a a ba b b b a b a b a b Ω=种，记事件为“第1次取到红球”，事件为“第2次取到红球”， A B 则， {}{},1,2,3,,1,2,3,,,1,1,2,2,3,3A ab a a a ba b b b B ab ba a b a b a b ==所以，故B 正确； ()()P A P B =有放回地从中取2个球的样本空间，共25种； {}2,,1,2,3,,,1,2,3,1,1,11,12,13,2,2,21,22,23,3,3,31,32,33aa ab a a a bb ba b b b a b a b a b Ω=记事件为“取出1个红球和1个白球”，则C ，共12种，{}1,2,3,1,2,3,1,1,2,2,3,3C a a a b b b a b a b a b =所以，故C 错误； 12()25P C =记事件为“取出2个白球”，则，共9种； D {}11,12,13,21,22,23,31,32,33D =所以， 9()25P D =所以至少取出1个红球的概率为，故D 正确. 91251625-=故选：BD12．已知函数，，且，则下列结论正确的是()e 2xf x x =+-()ln 2g x x x =+-()()0f a g b ==（ ） A ． B ． 2a b +=()()0g a f b <<C ． D ．e ln 2a b +<e ln 2a b +>【答案】AB【分析】对于A ：利用与互为反函数的性质即可求解；对于B ：利用的单e x y =ln y x =()(),f xg x 调性即可求解；对于CD ：由题得，，则()e 20af a a =+-=()ln 20g b b b =+-=.()e ln 42a b a b +=-+=【详解】对于A ：由，()e 20xf x x =+-=()ln 20g x x x =+-=得：，， e 2x x =-+ln 2x x =-+则和与都相交，e x y =ln y x =2y x =-+又与互为反函数，图象关于对称，e x y =ln y x =y x =由，解得，2y xy x =⎧⎨=-+⎩11x y =⎧⎨=⎩即和与的交点关于对称， e x y =ln y x =2y x =-+()1,1所以，即.故A 正确； 12a b+=2a b +=对于B ：函数都是增函数，()(),f x g x 因为，，()00e 0210f =+-=-<()11e 12e 10f =+-=->所以在区间内存在零点，即；()0,101a <<因为，， ()1ln11210g =+-=-<()2ln 222ln 20g =+-=>所以在区间内存在零点，即；()1,212b <<所以，所以，， a b <()()0g a g b <=()()0f a f b =<所以.故B 正确；， ()()0g a f b <<对于CD ：由A 知，2a b +=因为，，()e 20af a a =+-=()ln 20g b b b =+-=所以，()e ln 42ab a b +=-+=故CD 错误. 故选：AB.【点睛】方法点睛：（1）两个函数互为反函数，则它们的图象关于对称，若两个函数与其他y x =直线都相交，设为，则其他直线与的交点即为的中心对称点；（2）根据零点存在性,A B y x =,A B 定理可以确定零点所在的区间，根据区间的范围可以间接求出函数的范围.三、填空题13．已知幂函数在第一象限单调递减，则______.()()231mf x m m x =++()f m =【答案】 127-【分析】根据题意得，即可解决.23110m m m ⎧++=⎨<⎩【详解】由题知，幂函数在第一象限单调递减，()()231mf x m m x =++所以，解得（舍去），或，23110m m m ⎧++=⎨<⎩0m =3m =-所以，()3f x x -=所以， ()1327f -=-故答案为： 127-14．已知点在直线上，点在直线外，若，且，，M BC A BC AB AC AB AC +=-4AB =u u u r 2AC = 则的最小值为______. AM【分析】根据条件可得出 从而得出，进而得出BC ，根据题意知，当0AB AC ⋅=AB AC ⊥时，最小，从而得出可得出的最小值．AM BC ⊥AM AM【详解】根据题意，当时，最小； AM BC ⊥AM由， AB AC AB AC +=- ， 222222AB AC AB AC AB AC AB AC ∴++⋅=+-⋅ ∴ ，即，0AB AC ⋅=AB AC ⊥，=∴当时，由面积法得 ，AM BC ⊥24AM =⨯ AM =所以的最小值为AM15．已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是()()2ln 22f x ax x =-+()f x 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a ______.【答案】02a ≤≤【分析】设，由题得在区间上为减函数，且在区()222g x ax x =-+()222g x ax x =-+1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0g x >间上恒成立，分，，三种情况讨论即可解决.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭0a =a<00a >【详解】因为函数在区间内单调递减，()()2ln 22f x ax x =-+1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭设，()222g x ax x =-+所以在区间上为减函数，且在区间上恒成立，()222g x ax x =-+1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0g x >1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当时，，满足题意；0a =()22g x x =-+当时，，开口向下，在区间上不为减函数，不满足题意；a<0()222g x ax x =-+1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当时，，0a >()222g x ax x =-+所以，解得；01042122a aa ⎧⎪>⎪⎪+≥⎨⎪-⎪-≥⎪⎩02a <≤所以综上可得. 02a ≤≤故答案为：02a ≤≤四、双空题16．已知函数 ，若函数有4个零点，，，，则()12,011,04x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩3()()2g x f x =-1x 2x 3x 4x ____________；若关于的方程 有个不相等的实数1234x x x x +++=x 25()()02f x f x a -+=()a R ∈8根，则的取值范围是____________． a 【答案】 2-325,216⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据指数函数与二次函数的性质，作出函数的图象，结合函数图象的对称性，即可()f x求解的值，再令令，根据有8个不等的实数根，转化1234x x x x +++()f x t =25()()02f x f x a -+=为在有2个不同的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.2502t t a -+=(1,2)t ∈【详解】由题意，函数，()12,011,04x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩根函数的图象变换，函数的图象关于对称，()1x f x e-=1x =根据二次函数的性质，可得函数的图象关于对称，()2114f x x x =--+2x =-在坐标系中作出函数的图象，如图所示，()f x 函数有4个零点，，，，3()()2g x f x =-1x 2x 3x 4x 可得，所以； 34122,122x x x x ++=-=12342x x x x +++=-令，则方程可化为，()f x t =25()()02f x f x a -+=2502t t a -+=因为有8个不等的实数根， 25()()02f x f x a -+=则方程必有4个实数根，所以， ()f x t =12t <<所以在有2个不同的实数根，2502t t a -+=(1,2)t ∈令，可得其对称轴的方程为，()252h t t t a =-+54t =则满足，解得，()()5252504168511022450h a h a h a ⎧⎛⎫=-+< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-+>⎨⎪=-+>⎪⎪⎩325216a <<所以实数的取值范围是.a 325(,216故答案为：；.2-325(,216五、解答题17．平面内给定三个向量，，.()3,2a = ()1,2b =- ()4,1c =(1)若，求实数；()()//2a kc b a +-k (2)若满足，且的坐标.d ()()//d c a b -+ d - d【答案】(1) 8k =(2)或()3,1d =- ()5,3d =【分析】（1）根据题意得，，由平行向量的坐标表示即可解()34,2a kc k k +=++()27,2b a -=-- 决；（2）设，得，，根据题意列方程组即可解决. (),d x y = ()4,1d c x y -=--()2,4a b += 【详解】（1）因为，，，()3,2a = ()1,2b =- ()4,1c =所以，， ()34,2a kc k k +=++()27,2b a -=-- 因为，()()//2a kc b a +- 所以， ()()()()234720k k -⨯+--⨯+=解得；8k =（2）设，则，，(),d x y = ()4,1d c x y -=--()2,4a b += 因为，()()//d c a b -+d -所以， ()()()()2244210415x y x y ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩解得或，31x y =⎧⎨=-⎩53x y =⎧⎨=⎩所以或.()3,1d =- ()5,3d =18．期末考试结束后，某校从高一1000名学生中随机抽取50名学生，统计他们数学成绩，成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，[)65,75[)75,85，第八组.如图是按上述分组方法得到的频率分数分布直方图的一部分.L []135,145(1)求第七组的频率；(2)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分；(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值大于10分的概率. 【答案】(1) 0.080(2)（分）102(3) 35【分析】（1）根据频率之和为1求解即可； （2）根据求解即可；1ni i i x x p ==∑（3）由频率分布直方图知样本成绩属于第六组的有（人），设为，样本成绩0.00610503⨯⨯=,,A B C 属于第八组的有（人），设为，，再用列举法求解即可. 0.00410502⨯⨯=a b 【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：；()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.080-++++++⨯=（2）用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分为：700.00410800.01210900.016101000.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯（分）；1100.020101200.006101300.008101400.00410102+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（3）由频率分布直方图知，样本成绩属于第六组的有（人），设为， 0.00610503⨯⨯=,,A B C 样本成绩属于第八组的有（人），设为，， 0.00410502⨯⨯=a b 从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，有，，，，，{},A B {},A C {},C B {},A a {},A b ，，，，共10种，{},B a {},B b {},C a {},C b {},a b 其中他们的分差得绝对值大于10分包含的基本事件有，，， {},A a {},A b {},B a ，，共6种，{},B b {},C a {},C b 所以他们的分差的绝对值大于10分的概率. 63105P ==19．已知函数，. ()()2log 1f x x =+()()2log 1g x x =-(1)求函数的定义域； ()()()h x f x g x =-(2)若不等式在上恒成立，求实数取值范围.()()2log 1m h x x x >-11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】(1) ()1,1-(2) 7036m <<【分析】（1）由，得，即可解决；()()()22log 1log 1h x x x =+--1010x x +>⎧⎨->⎩（2）由函数在上单调递增，得在上恒成立，即2log y x =()0,∞+()111x m x x x +>--11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦在上恒成立，即可解决.20m x x <<+11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）因为，， ()()2log 1f x x =+()()2log 1g x x =-所以， ()()()2221log 1log 1log 1x h x x x x+=+--=-所以函数定义域满足，解得，1010x x +>⎧⎨->⎩11x -<<所以函数的定义域为. ()()()h x f x g x =-()1,1-（2）因为， ()21log 1x h x x+=-所以，即，()()2log 1mh x x x >-()221log log 11x m x x x +>--因为函数在上单调递增， 2log y x =()0,∞+所以在上恒成立，()111x m x x x +>--11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为， ()10x x ->所以，20m x x <<+又函数在上单调递增，221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以， ()2min736x x+=则. 7036m <<20．某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否35343512胜出互不影响.(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】(1)派乙参赛赢得比赛的概率更大(2) 35【分析】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件1A 2A 表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，由表示“甲赢得比1B 2B 12A A 赛”，表示“乙赢得比赛”求解即可；12B B （2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛”由（1）知，，由表C D ()1625P C =()58P D =C D ⋃示“两人中至少有一个赢得比赛”，且求解即可.()()1P C D P CD =- 【详解】（1）记事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”， 1A 2A 事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，1B 2B 所以表示“甲赢得比赛”，，12A A ()()()12123395525P A A P A P A ==⨯=表示“乙赢得比赛”，，12B B ()()()1212313428P B B P B P B ==⨯=因为，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大； 93258<（2）记表示“甲赢得比赛”，表示“乙赢得比赛” C D 由（1）知，， ()()12916112525P C P A A =-=-=()()12351188P D P B B =-=-=所以表示“两人中至少有一个赢得比赛”， C D ⋃所以， ()()()()16531112585P C D P CD P C P D ⋃=-=-=-⨯=所以两人至少一人赢得比赛的概率为.3521．已知函数，.()22f x x x a =-+()5g x ax a =+-(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；()y f x =[]3,0-a (2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. []13,3x ∈-[]23,3x ∈-()()12f x g x =a 【答案】(1) []15,0-(2) (][),610,∞∞--⋃+【分析】（1）根据函数在上单调递减，由函数在区间上存在零点，得()f x []3,0-()y f x =[]3,0-即可解决；（2）记函数，的值域为集合，(3)150(0)0f a f a -=+≥⎧⎨=≤⎩()22f x x x a =-+[]3,3x ∈-A ，的值域为集合，则对任意的，总存在，使得()5g x ax a =+-[]3,3x ∈-B []13,3x ∈-[]23,3x ∈-成立，又，的值域分，，求()()12f x g x =A B ⇔⊆{}|115A y a y a =-≤≤+()g x 0a =0a >a<0解，即可解决.【详解】（1）由题知，，()22f x x x a =-+因为的图象开口向上，对称轴为，()y f x =1x =所以函数在上单调递减()f x []3,0-因为函数在区间上存在零点，()y f x =[]3,0-所以，解得，(3)150(0)0f a f a -=+≥⎧⎨=≤⎩150a -≤≤所以实数的取值范围为.a []15,0-（2）记函数，的值域为集合，()22f x x x a =-+[]3,3x ∈-A ，的值域为集合，()5g x ax a =+-[]3,3x ∈-B 则对任意的，总存在，使得成立， []13,3x ∈-[]23,3x ∈-()()12f x g x =A B ⇔⊆因为的图象开口向上，对称轴为， ()y f x =1x =所以当，[]3,3x ∈-，， ()()min 11f x f a ==-()()max 315f x f a =-=+得，{}|115A y a y a =-≤≤+当时，的值域为，显然不满足题意； 0a =()g x {}5当时，的值域为， 0a >()g x {}|5452B y a y a =-≤≤+因为，A B ⊆所以，解得；5415215a a a a -≤-⎧⎨+≥+⎩10a ≥当时，的值域为，a<0()g x {}|5254B y a y a =+≤≤-因为，所以，解得，A B ⊆5215415a a a a +≤-⎧⎨-≥+⎩6a ≤-综上，实数的取值范围为.a (][),610,∞∞--⋃+22．已知函数.()22x xk f x k-+⋅=(1)若为偶函数，且函数在区间上的最小值为，求实数的()f x ()()1424xx g x mf x =+-[)1,+∞11-m 值；(2)若为奇函数，不等式在上有解，求实数的取值范围.()f x ()()32f x mf x ≥[]1,2x ∈m【答案】(1) 3m =(2) 2110m ≥【分析】（1）令为偶函数，得，得，令，()f x 1k =()()221442x xx x g x m -=++-22x x t -=+，令，分，解决即可；（2）由为奇函数，得5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭()222t t mt ϕ=--52m ≤52m >()f x ，由在上有解，得：，令，()22xxf x -=-()()32f x mf x ≥[],12x ∈()222122x x x xm --+-≥+22x x s -=+，得，令，根据单调性解决即可.517,24s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦211s m s s s -≥=-()1h s s s =-【详解】（1）由于为偶函数，()22x xk f x k-+⋅=所以，代入得：， ()()f x f x -=2222x x x xk k k k --+⋅+⋅=所以，2222x x x x k k --+⋅=+⋅所以，()()1220x xk --⋅-=所以，1k =所以，()22x xf x -=+因为函数在区间上的最小值为， ()()1424xxg x mf x =+-[)1,+∞11-令，则，22x x t -=+5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭此时，()222t t mt ϕ=--①当时，在单调递增， 52m ≤()t ϕ5,2t ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭所以，解得：，不满足题意； ()min 5112t ϕϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭615202m =>所以无解； ②当时，，解得：； 52m >()()min 11t m ϕϕ==-3m =±因为， 52m >所以， 3m =综上所述：.3m =（2）因为为奇函数，()f x所以， ()00f =所以，1k =-经检验是奇函数满足题意.()22x xf x -=-又因为不等式在上有解， ()()32f x mf x ≥[],12x ∈所以，()33222222xx x x m ---≥-所以，()33222222x x x xm ---≤-由平方差和立方差公式得：，()2222212212222xx x xx x xxm ----+-++≥=++令， 22x x s -=+因为，[]1,2x ∈所以，517,24s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，211s m s s s-≥=-在而在上单调递增，()1h s s s =-517,24s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，()min 521210h s h ⎛⎫== ⎪⎝⎭因为不等式在上有解， ()()32f x mf x ≥[]1,2x ∈所以. 2110m ≥。
辽宁省2021-2022年高一上学期数学期末考试试卷(I)卷(精编)
辽宁省2021-2022年高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共27分)1. （2分）函数f(x)=的零点所在的一个区间是（）A . （-2，-1）B . （-1,0）C . （0,1）D . （1,2）2. （2分）若函数满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1，1]时，f（x） =l—x2 ，函数,则函数h（x）=f（x）一g（x）在区间[-5,5]内的与x轴交点的个数为（）A . 5B . 7C . 8D . 103. （2分） (2019高一上·涟水月考) 若角满足 , ,则角是（）A . 第三象限角B . 第四象限角C . 第三象限角或第四象限角D . 第二象限角或第四象限角4. （2分） (2016高一下·大连期中) 已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于（）A . 2B . 3C . 1D . 45. （2分）若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在（）A . 第一或第三象限B . 第一或第二象限C . 第二或第四象限D . 第三或第四象限6. （2分）(2017·自贡模拟) 已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+ ）的值为（）A . ﹣3B . 3C . ﹣3或3D . ﹣1或37. （2分）化简sin 2013o的结果是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高一上·昌平期末) 为了得到函数y=cos（x+ ）的图象，只需把余弦曲线y=cosx上的所有的点（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度9. （2分） (2018高二上·深圳期中) 已知，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高一上·济宁期末) 若，，，则､､的大小关系为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高三上·福建期中) 已知函数的部分图象如图所示，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，12. （5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=sin2x，则f（﹣）=（）A .B . -C .D . -二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·潮州期中) 已知函数，记函数在区间上的最大值为M，最小值为m，设函数 .若，则函数的值域为________.14. （1分） (2017高二下·定州开学考) 已知α是第二象限的角，tanα= ，则cosα=________．15. （1分） (2020高二下·呼和浩特月考) 已知，，则函数的零点个数为________.16. （1分） (2019高三上·吉安月考) 已知函数， .若函数有6个零点（互不相同），则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2020高一下·江西期中) 若角的终边上有一点，且 .（1）求m的值；（2）求的值.18. （10分） (2019高一上·哈尔滨期末) 已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的对称轴和对称中心；（3）若，，求的值．19. （10分） (2016高一下·河源期中) 已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求f（x）的最大值和单调递增区间．20. （10分） (2016高一下·太谷期中) 已知函数y=sin2x+sin2x+3cos2x，求（1）函数的最小值及此时的x的集合．（2）函数的单调减区间．21. （5分） (2018高一下·毕节期末) 已知函数是偶函数.（1）求证：是偶函数；（2）求证：在上是增函数；（3）设（，且），若对任意的，在区间上总存在两个不同的数，，使得成立，求的取值范围.22. （10分） (2019高一上·宿州期中) 已知函数在区间上有最大值和最小值；设（1）求的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围参考答案一、单选题 (共12题；共27分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
辽宁省鞍山市普通高中2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题含答案
（2）设 ， ， （ 的反函数），当 时，试比较 ， ， 大小．
21.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在 处每投进一球得3分，在 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用 表示，如果 的值高于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案：方案1：先在 处投一球，以后都在 处投；方案2：都在 处投篮.已知甲同学在 处投篮的命中率为 ，在 处投篮的命中率为 .
（2）若 是 上的倒函数，当 时， ，方程 是否有正整数解？并说明理由；
（3）若 是 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 上是增函数．设 ，若 ，求解不等式 ．
鞍山市普通高中2022-2023学年度上学期高一质量监测
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
A.17天B.19天C.21天D.23天
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 ， ， ， ， ， ，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）
（1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分 的所有可能的取值以及相应的概率；
（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
22.一般地，设函数 的定义城为D，如果对D内的任意一个x，都有 ，且 ，则称 为倒函数．请根据上述定义回答下列问题：
辽宁省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）{}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤A. B.C.D.{}2,1--{}2,2-{}0,1{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为，在根据补集与交集的运算即可得答案. ()R B A ⋂ð【详解】集合，，韦恩图中表示的集合为， {}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤()R B A ⋂ð则或，所以. R {|1B x x =≤-ð1}x >(){}R 2,2B A ⋂=-ð故选：B.2. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） 2log 0.7a =0.21.2b -=0.43c =a b c A. B.C.D.b c a <<b a c <<a c b <<a b c <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质，并借助中间值即可比较大小. 【详解】由题可知，，，故，，的大小关系为.a<001,1b c <<>a b c a b c <<故选：D3. 甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习，则他们选择的校本课程各不相同的概率为（ ） A.B.C.D.293882789【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲，乙，丙3位同学从开设的3门校本课程中任选一门参加的事件数为， 33甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为， 3216⨯⨯=故所求概率为 36239P ==故选：A4. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度()c ()t 最快的是（ ）A. B. C. D.[]5,10[]15,20[]25,30[]30,35【答案】B 【解析】【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为5t =10t =15t =20t =25t =30t =35t =,,,,,,,A B C D E F G0,0,0,AB CD EF CD FG CD k k k k k k >>>>>>所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； []15,20故选：B5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织21552111lg lg 22m m E E -=-k m ()1,2k E k =女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（ ） A .B.C. D. 3101031010-3lg1010lg3【答案】B 【解析】【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.【详解】因为，所以． 55212211115lg lg lg0.75222E m m E E E -=-==-3210110E E -=故选：B6. 已知向量，，且，则为（ ）()2,0a = ()1,2b =()()()3//2R a b a kb k -+∈2a kb + A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最3a b - 2a kb +k 后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以， ()2,0a = ()1,2b =()1,63a b ---= ，()()()222,01,24,2a kb k k k +=+=+又，所以，解得，()()3//2a b a kb -+()1264k k -⨯=-⨯+6k =-所以，则.()22,12a kb +=-- 2a kb +== 故选：A7. 分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M 相互独立的是M =（ ）A. 3枚硬币都正面朝上B. 有正面朝上的，也有反面朝上的C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上【答案】B 【解析】【分析】由已知运用列举法列出样本空间，事件M 、选项A 、B 、C 、D 的事件，再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.【详解】解：样本空间为{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），（反，Ω=正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，设“有正面朝上的，M =B =也有反面朝上的”，对于A 选项：设事件{（正，正，正）}． A =∴，，， ()4182P M ==()18P A =()18P AM =∴，事件A 与M 不相互独立，故A 不正确；()()()P AM P M P A ≠对于B 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，B =反），（反，反，正）}． ∴，，， ()4182P M ==()6384P B ==()38P BM =∴，事件B 与M 相互独立，故B 正确；()()()P BM P M P B =对于C 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}． C =∴，，， ()4182P M ==()38P C =()38P CM =∴，事件C 与M 不相互独立，故C 不正确；()()()P CM P M P C ≠对于D 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，D =反），（反，反，正），（反，反，反）}． ∴，，， ()4182P M ==()78P D =()38P DM =∴，事件D 与M 不相互独立，故D 不正确； ()()()P DM P M P D ≠故选：B.8. 若，则（ ） 3322x y x y --->-A.B.C.D.ln 0x y ->ln 0x y -<1ln01y x <-+1ln01y x >-+【答案】C 【解析】【分析】构造函数，由其单调性可得，结合选项可得答案.()32x x f x -=-x y >【详解】令，因为为增函数，为减函数，所以为减函数； ()32x x f x -=-2x y =3x y -=()f x 因为，所以，所以. 3322x y x y --->-()()f x f y >x y <由于与1无法确定大小，所以A,B 均不正确； x y -因为，所以，所以，C 正确，D 不正确；11y x -+>1011y x <<-+1ln 01y x <-+故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则下列不等式中成立的是（ ） 0a b <<A. B.C.D. a b ab +<2ab b <11b b a a +<+11a b b a+<+【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质可得正误，利用特值可得C 的正误，利用作差比较法可得D 的正误. 【详解】对于A ，因为，所以，所以，A 正确； 0a b <<0,0ab a b >+<a b ab +<对于B ，因为，所以，B 错误； 0a b <<2ab b >对于C ，当，，C 错误； 2,1a b =-=-11b b a a +>+对于D ，， ()1111a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，，所以，即，D 正确. 0a b <<0ab >0a b -<()110a b ab ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭11a b b a+<+故选：AD.10. 为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：则下列结论正确的是（ ） A. 图中的值是0.16a B. 估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元 C. 估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元D. 估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20% 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图频率和为1即可求,可结合选项逐一计算中位数,平均值以及所占的比重判断a 得解.【详解】对于A ， 根据频率分布直方图频率和为1,得(0.130.0420.024+0.22)11,0.14a a ⨯+⨯+⨯⨯+⨯==，故A 错误；对于B ，设该地农户家庭年收入的中位数为万元，x 则，即，则中位数是，故B 正确;0.020.040.100.140.20.5++++=7.5x =7.5对于C ，该地农户家庭年收入的平均值为 30.0240.0450.1060.1470.280.290.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，故C 错误；100.1110.04120.02130.02140.027.68+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=对于D ，设该地家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为 ，故D 正确；0.10.040.0230.2++⨯=故选：BD. 11. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（ ） x 241x k x x x x-=--k A. B. 0C. 1D. 54-【答案】ABD 【解析】【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素0x ≠1x ≠240x x k +-=可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.k【详解】由已知方程得：，解得：且；2100x x x -≠⎧⎨-≠⎩0x ≠1x ≠由得：； 241x k xx x x-=--240x x k +-=若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： 241x k x x x x-=--①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 240x x k +-=011640k ∴∆=+=4k =-此时的解为，满足题意；240x x k +-=2x =-②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=01由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 0400k +⨯-==0k 240x x ∴+=4x =-③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=10由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 1410k +⨯-=5k =2450x x ∴+-=5x =-综上所述：或或. 4k =-05故选：ABD12. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是0x ()e 2xf x x =+-e 2.71828= （ ） A. B.C.D.()00,1x ∈()00ln 2x x -=00e0x x --<020e x x ->【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答. 0x 【详解】函数在上单调递增，而，()e 2xf x x =+-R ()00e 210f =-=-<， 12113(e 20222f =+-=->而是方程的零点，则，即，A 正确；0x ()e 2xf x x =+-01(0,)2x ∈()00,1x ∈由得：，整理得：，B 正确；()00f x =002e xx -=00)n(2l x x -=因，且在上单调递增,则有，C 正确; 0102x <<e x y x -=-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭001e 02xx --<<当，，则， D 不正确. 0102x <<021x ->02001xx x -<<故选：ABC .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______. p R x ∀∈220x x λ-+≥λ【答案】或λ<-λ>【解析】【分析】利用给定条件为假命题，说明有解，结合二次函数图象可得答案. 220x x λ-+<【详解】因为，为假命题，所以有解， R x ∀∈220x x λ-+≥220x x λ-+<所以，解得或280λ->λ<-λ>故答案为：或λ<-λ>14. 某厂生产A ，B 两种充电电池.现采用分层随机抽样从某天生产的产品中抽取样本，并分别计算所抽取的A ，B 两种产品的样本可充电次数的均值及方差，结果如下：则由20个产品组成的总样本的平均数为______；方差为______. 【答案】 ①. 204 ②. 28【解析】【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.【详解】设A 产品可充电次数分别为：，A 产品可充电次数平均数为，方差为，B 产品1238,,,a a a a a 21s 可充电次数分别为，B 产品可充电次数平均数为，方差为，则，12312,,,,b b b b b 22s 8182101680ii a==⨯=∑，()()()22222118148s a aa aa a ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，，()2221281288232a a a a a a a a ++++-+++= 222128832a a a a +++-= ，2222128328352832a a a a +++=+=同理，，121200122400i i b ==⨯=∑()()()2222212121412s b b b bb b ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，()21222211222112248b b b b b b b b +-++++++= ，222121224812480048b b b b =+++=+ 则20个产品组成的总样本的平均数： ， ()()128121211168024002042020x a a a b b b =+++++++=+= 方差为：()()()()()()22222221281212120s a x axa xb x bxb x ⎡⎤=-+-++-+-+-++-=⎢⎥⎣⎦()221228122222221218112120220x x a a a b b b a a a b b b ⎡⎤++-+++++++⎣⎦++++++ ()2222222212811212020a a ab b x b =++-+++++ ()21352832480048202042820=+-⨯=故答案为：204；2815. 实数，满足，则的最小值是______.a b 22431a b b +=22a b +【解析】【分析】根据条件可得，代入，结合基本不等式求解. 42213b a b-=22a b +【详解】因为，所以， 22431a b b +=42213b a b-=所以 22221233b a b b +=+≥=当且仅当时，等号成立； 22a b ==. 16. 函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，()f x {}R0x x ∈≠∣()11f =-1x 2x ，都有，则不等式的解集为______.()()2112121x f x x f x x x ->-()102f x x +<-【答案】 ()(),11,2∞--⋃【解析】【分析】设，则由可得，即在120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()121211f x f x x x ++>()()1f xg x x+=上单调递增，然后得出的奇偶性和取值情况，然后分、、三种情况解()0,∞+()g x 2x >02x <<0x <出不等式即可.【详解】设，则由可得120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()211212x f x x f x x x ->-所以，所以 ()()12122111f x f x x x x x ->-()()121211f x f x x x ++>所以可得在上单调递增()()1f x g x x+=()0,∞+因为函数是定义在上的偶函数， ()f x {}R0x x ∈≠∣所以函数是定义在上的奇函数 ()g x {}R0x x ∈≠∣因为，所以，()11f =-()10g =所以当或时，当或时， 10x -<<1x >()0g x >1x <-01x <<()0g x <所以由可得当时，，，此时无解()102f x x +<-2x >()10f x +<()()10f x g x x+=<当时，，，此时.02x <<()10f x +>()()10f x g x x+=>12x <<当时，，，所以0x <()10f x +>()()10f x g x x+=<1x <-综上：不等式的解集为.()102f x x +<-()(),11,2∞--⋃故答案为：.()(),11,2∞--⋃四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数的定义域为集合，集合. ()()2lg 3f x x x=-A 313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭（1）若，求； 0a =A B ⋃（2）“”是“”的充分不必要条件.求实数的取值范围.x A ∈x B ∈a 【答案】（1） {}13x x -≤<（2）{}23a a ≤≤【解析】【分析】（1）先化简集合然后用并集的定义即可求解；,,A B （2）利用题意可得到 ，然后列出对应不等式即可A B 【小问1详解】由题意集合，{}{}23003A x x x x x =->=<<当时，，0a ={}11B x x =-≤≤所以{}13A B x x ⋃=-≤<【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以 ，x A ∈x B ∈A B 因为，， {}03A x x =<<313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭所以，解得，30313a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩23a ≤≤所以实数的取值范围是. a {}23a a ≤≤18. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；4535在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. 2334（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1） 25（2）派甲参赛获胜的概率更大（3） 223300【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.【小问1详解】设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，1A =2A =“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，1B =2B =则，，，相互独立，且，，，， 1A 2A 1B 2B ()145P A =()223P A =()135P B =()234P B =设“甲在比赛中恰好赢一轮”C =则； ()()()()121212124112625353155P C P A A A P A A P A =+=+=⨯+⨯==【小问2详解】因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，12A A =12B B =所以， ()()()12124285315P A A P A P A ==⨯=， ()()()12123395420P B B P B P B ==⨯=因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 891520>【小问3详解】设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，D =E =于是“两人中至少有一人赢得比赛”，D E = 由（2）知，， ()()12815P D P A A ==()()12920P E P B B ==所以， ()()87111515P D P D =-=-=， ()()911112020P E P E =-=-=所以. ()()()()7112231111520300P D E P DE P D P E =-=-=-⨯= 19. 已知函数是奇函数. ()321x a f x =-+（1）求的值； a （2）判断在上的单调性，并证明；()f x R （3）求关于的不等式的解集. x ()()2251240f x x f x --+-<【答案】（1）6（2）单调递增，证明见解析 （3） 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值；a （2）判断函数在的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性； R （3）结合函数的奇偶性与单调性，可将不等式转化为一元二次不等式即可得解集.【小问1详解】由函数是奇函数 ()()3R 21x a f x x =-∈+所以即， ()()f x f x -=-332121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭化简可得，解得. 262121x x x a a ⋅+=++6a =【小问2详解】函数在上单调递增，理由如下：()f x R 在上任取两个实数，，设，R 1x 2x 12x x <则 ()()()()()1212211212622666633212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭因为，所以，所以，，，12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上单调递增.()f x R 【小问3详解】由得， ()()2251240f x x f x --+-<()()225124f x x f x --<--由得，所以 ()()f x f x -=-()()2424f x f x --=-+()()225124f x x f x --<-+又在上单调递增，在恒成立，()f x R 225124x x x --<-+R 即，解得， 22350x x --<512x -<<所以原不等式解集为. 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，ABC A D E BC AB 2DC BD =2BE AE =AD CE P 设，. BC a = BA b =（1）若，试用，和实数表示；EP tEC = a b t BP （2）试用，表示； a b BP（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.AC F 5AC AF = B P F 【答案】（1） ()213BP ta t b =+- （2） 1477BP a b =+ （3）证明见解析【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【小问1详解】由题意，所以， 2233BE BA b == 23EC EB BC a b =+=- ① ()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ 【小问2详解】设，由，， DP k DA = 1133BD BC a == 13DA DB BA b a =+=- ② ()1111333BP BD DP a k b a k a kb ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 由①、②得，， ()()211133ta t b k a kb +-=-+ 所以，解得，所以； ()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1477BP a b =+ 【小问3详解】由，得，所以， AC a b =- ()1155AF AC a b ==- 1455BF BA AF a b =+=+ 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 75BF BP = BF BP B B P F 21. 某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（()P x x ()1k P x x=+k 为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： ()Q x x (天) x 510 15 20 25 30 (个)()Q x 55 60 65 70 65 60 已知第10天该商品的日销售收入为72元.（1）求的值；k（2）给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中()Q x ax b =+()20Q x a x b =-+选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； ()Q x x （3）求该商品的日销售收入（，）（单位：元）的最小值.()f x 130x ≤≤*x ∈N 【答案】（1）2（2）(，) ()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N （3）64元【解析】【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.()P x ()Q x (2)由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列式计算即可.(3)利用(2)的信息求出函数的解析式，再分段求出最值即可作答.()f x 【小问1详解】依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，()()()f x P x Q x =⋅则，即，解得， (10)(10)(10)f P Q =⋅(1)607210k +⨯=2k =所以的值是2.k 【小问2详解】由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型， ()20Q x a x b =-+从表中任取两组值，不妨令，解得，即，显然表中(10)1060(20)70Q a b Q b =+=⎧⎨==⎩170a b =-⎧⎨=⎩()2070Q x x =--+其它各组值均满足这个函数，所以该函数的解析式为(，).()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N 【小问3详解】由(1)知， ，由(2)知，2()1,130,N P x x x x*=+≤≤∈， ()50,120,N 207090,2030,N x x x Q x x x x x **⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩于是得， 10052,120,N ()()()18088,2030,N x x x x f x P x Q x x x x x **⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩当时，在上单调递减，在上单调递增，当120,N x x *≤≤∈100()52f x x x=++[1,10][10,20]10x =时，取得最小值(元)，()f x (10)72f =当时，在上单调递减，当时，取得最小值2030,N x x *<≤∈180()88f x x x=-++(20,30]30x =()f x (元)，(30)64f =显然，则当，时，(元)，7264>130x ≤≤*x ∈N min ()(30)64f x f ==所以该商品的日销售收入的最小值为64元.22. 函数且，函数 . ()3x f x =(2)18f a +=()34ax xg x =-（1）求的解析式；()g x （2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围； x ()80xg x m -⋅=[]22-,m （3）设的反函数为，，若对任意()3x f x =()()()()23,[]log p x h x p x p x x λ=-++()21x x ϕλλ=+-的，均存在，满足 ，求实数的取值范围.1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤λ【答案】（1）()24x x g x =-（2）1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）)5⎡-+∞⎣【解析】【分析】（1）直接根据解得即可；(2)18f a +=32a =（2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可； m 222x x m --=-[]22-,（3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得()()12max h x x ϕ≤λ()2x ϕ的最大值，然后转化为恒成立问题即可【小问1详解】由，可得：(2)18f a +=2318a +=解得：32a =则有： ()24x xg x =-故的解析式为： ()g x ()24x xg x =-【小问2详解】由，可得： ()80xg x m -⋅=222x x m --=-不妨设2x t -=则有： 221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭又22x -≤≤则有： 144t ≤≤故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 1t =m 14-4t =m 12故 1124m -≤≤故实数的取值范围为： m 1,124⎡⎤-⎢⎣【小问3详解】的反函数为：()3x f x =()3log p x x =若对任意的，均存在，满足1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤则只需：恒成立()()12max h x x ϕ≤()()()23[]log h x p x p x x λ=-++不妨设，则设 3log x b =()()21b s b b λ=-++，则 1x ⎤∈⎦122b ≤≤在上可分如下情况讨论：()21x x ϕλλ=+-[]21,1x ∈- 当时，，此时，不满足恒成立 0λ=()1x ϕ=-()2s b b b =-+()()12max h x x ϕ≤②当时，，此时只需：在上恒成立 0λ<()()1max 11x ϕϕλ=-=-()211b b λλ-++≤-122b ≤≤则只需：在上恒成立 ()2110b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则只需：时，不等式成立 12b =()2110b b λλ++-≥-解得：，与矛盾； 52λ≥0λ<③当时，，此时，只需保证：0λ>()()1max 131x ϕϕλ==-()2131b b λλ-++≤-则只需：在上恒成立 ()21310b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，只需保证：当时，成立 122λ+≤12b λ+=()21310b b λλ++-≥-则有：21050λλ-+≤解得：55λ-≤≤+又，故有： 122λ+≤53λ-≤≤当时，只需保证：当时，成立 122λ+>2b =()21310b b λλ++-≥-此时解得：1λ>-又故有：122λ+>3λ>故当时，0λ>5λ≥-综上所述，解得：实数的取值范围为：λ)5⎡-+∞⎣【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数 ， ， ，，则有： ()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若 ，， 恒成立， ； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x ≤()()12max min f x g x ≤（2）若 ，， 能成立，[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x ≤()()12max max f x g x ≤。
辽宁省抚顺市六校2024_2025学年高一数学上学期期末考试试题
辽宁省抚顺市六校2024-2025学年高一数学上学期期末考试试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分第I 卷(共60分)一、选择题(1－10为单选题(每题5分)，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.11－12为多选题(每题5分)，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
将答案填在答题纸相应位置上。
)1、已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|x<－4或x>1}，则A ∪B ＝A 、{x|x<－4或x>2}B 、{x|x<－4或x>1}C 、{x|1<x<2}D 、{x|x<－4或x>－1}2、函数ln(1)()2x f x x +=-的定义域 A 、(－1，＋∞) B 、(－1，2)∪(2，＋∞) C 、(－1，2) D 、[－1，2)(2，＋∞)3、一组数据的平均数为x ，方差为s 2，将这组数据的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据，则下列说法正确的是A 、这组新数据的平均数为xB 、这组新数据的平均数为a ＋xC 、这组新数据的方差为as 2D 、这组新数据的标准差为a 2s 4、下列函数中，满意f(xy)＝f(x)·f(y)的单调递增函数是A 、f(x)＝x 3B 、31()f x x=- C 、f(x)＝log 3x D 、f(x)＝3x 5、在同始终角坐标系中，函数f(x)＝x a (x ≥0)，g(x)＝－log a x 的图像可能是6、已知f(2x ＋1)＝3x －2，若a 是函数y ＝f(x)－4的一个零点，则a 的值为A 、2B 、5C 、143 D 、12- 7、设a ＝0.66， b ＝60.6， c ＝log 0.66，则a ，b ，c 的大小关系是A 、a<c<bB 、a<b<cC 、c<b<aD 、c<a<b8、已知a>b>0，下列不等式中正确的是A 、c c a b >B 、ab<b 2C 、－a 2<－abD 、1111a b <-- 9、某射击运动员射击一次命中目标的概率为p ，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率为3764，则p 为A 、14B 、34C 10、定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(－1)＝2，且f(x －2)≤2，则x 的取值范围是A 、[1，3]B 、(1，3)C 、[1，＋∞)D 、[3，＋∞)11、若“∀x ∈M ，|x|>x ”为真命题，“∃x ∈M ，x>3”为假命题，则集合M 可以是A 、(－∞，－5)B 、(－3，－1]C 、(3，＋∞)D 、[0，3]12、下列结论中正确的是A 、已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x)在任何区间内的平均改变率均比g(x)＝2在同一区间内的平均改变率小，则函数f(x)在R 上是减函数；B 、已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12，a ，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；C 、方程log 5(2x ＋1)＝log 5(x 2－2)的解集为{－1，3}；D 、一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)肯定存在反函数。
辽宁高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设，则“”是“”的（ ） x ∈R 0x <()ln 10x +<A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解出，然后判断即可 ()ln 10x +<【详解】因为， ()ln 10x +<所以01110x x <+<⇒-<<由为的真子集， {|10}x x -<<{|0}x x <所以“”是“”的必要不充分条件 0x <()ln 10x +<故选：B.2．已知向量，则（ ）()()1,23,5a b -= =，2a b += A ．(4，3) B ．(5，1) C ．(5，3) D ．(7，8)【答案】B【分析】根据向量的坐标运算即得. 【详解】∵， ()()1,23,5a b -==，∴．()()()221,23,55,1a b +=-+=故选：B. 3．若，，，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） 0.15a =21log 32b =3log 0.8c =A ．a >b >c B ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b【答案】A【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.【详解】，且，0.1551a =>= 1222log 3log 0b ==>22log log 1b =<=，， 33log 0.8log 10c =<=c b a ∴<<故选：A4．定义在R 上的偶函数在上单调递增，，，，则a ，()f x [)0,∞+()ln 3a f =32b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1c f =b ，c 的大小关系为（ ） A ．B ． a b c ＞＞b c a ＞＞C ．D ．a cb ＞＞b ac ＞＞【答案】D【分析】先根据奇偶性把自变量全部转到 上，再比较 与 的大小关系，再根据单调[)0,∞+ln 332性判断.【详解】，又，即，即，所以， ln 3ln e 1>=233e <323e <3ln 32<31ln 32<<因为为偶函数，所以，又在上单调递增，()f x 3322f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x [)0,∞+所以．即；()()31ln 32f f f <⎛⎫< ⎪⎝⎭b ac ＞＞故选：D ．5．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心， 则下列判断错误的是A ．B ．∥AB OC = AB DEC ．D ．AD BE = AD FC = 【答案】D【详解】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知，∥且，∴选项AB OC = AB DEAD BE = A 、B 、C 正确，故选D6．据某地区气象局发布的气象数据，未来某十天内该地区每天最高温度（单位：℃）分别为：31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，则这组数据的第40百分位数为（ ） A ．27 B ．26.5C ．25.5D ．25【答案】C【分析】先将所给数据按 小到大排序，再根据百分位数的定义求第40百分位数.【详解】先将这些数据按照从小到大进行排序，分别为23，24，24，25，26，26，26，27，29，31，又，所以该组数据的第40百分位数为排序后的数列的第4个数和第5个数的平均数，1040%4⨯=即， 252625.52+=故选：C ．7．某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表： 命中球数 46 47 48 49 50 频数 24464则这组数据的中位数和众数分别为（ ）A ．48，4 B ．48.5，4C ．48，49D ．48.5，49【答案】D【分析】根据中位数和众数的定义即可求解. 【详解】数据总个数为20个，因此中位数是第10个与第11个数据的中位数，即， 484948.52+=众数为出现最多的数据，即数据49（出现6次）， 故选：D. 8．若，，，则事件与的关系是（ ）()16P AB =()13P A =()14P B =A B A ．互斥 B ．相互独立 C ．互为对立 D ．无法判断【答案】B【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可 【详解】解：因为，所以，又，所以事件与事件不对立，()13P A =()23P A =()14P B =A B 又因为，所以有，所以事件与相互独立但不一定互斥. ()16P AB =()()()P AB P A P B =A B 故选：B二、多选题9．已知向量，若，则以下结论正确的是（ ）()(),2,1,1a m b m ==+ a bA A ．时与同向B ．时与同向1m =a b1m =-a bC ．时与反向D ．时与反向2m =a b2m =-a b【答案】AD【分析】由共线向量的坐标运算求出或，代入判断与的方向即可. 1m =2m =-a b【详解】解：，则即或，a b∥()12m m +=1m =2m =-当时，与的方向相同，故A 成立； 1m =()()1,2,1,2,,a b a b a === b当时，与的方向相反，故D 成立. 2m =-()()2,2,1,1,2,a b a b a =-=-=-b 故选:AD.10．已知函数，设命题p ：对任意，的定义域与值域都相同．下()f x =(0,)m ∈+∞()f x 列判断正确的是（ ） A ．p 是真命题B ．p 的否定是“对任意的定义域与值域都不相同” (0,),()m f x ∈+∞C ．p 是假命题D ．p 的否定是“存在，使得的定义域与值域不相同” (0,)m ∈+∞()f x 【答案】AD【分析】由（）解得函数的定义域，再根据240x mx -+≥0m >()f x）求得函数的值域，即可判断选项A 、()f x ==04m x ≤≤()f x C ；再由命题的否定得到p 的否定即可判断选项B 、D.【详解】函数的定义域为，()f x {}2|40x x mx -+≥又，所以函数的定义域为，(0,)m ∈+∞()f x |04m x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭设（），()24t x x mx =-+04m x ≤≤则，当时，，()224816m m t x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭04m x ≤≤()2016m t x ≤≤此时，函数，()0,4m f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由上知，当时，函数的定义域与值域均为，(0,)m ∈+∞()f x 0,4m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以p 是真命题，且p 的否定是“存在，使得的定义域与值域不相同”． (0,)m ∈+∞()f x 故选：AD.11．2022年夏天，我国部分地区迎来罕见的高温干旱天气，其特点是持续时间长、范围广、强度大、干旱少雨、极端性强．中央气象局国家气象中心发布的统计数据显示，本次高温热浪的综合强度，已达1961年有完整气象记录以来最强．某地气象部门统计当地进入8月份以来（8月1日至8月10日）连续10天中每天的最高温和最低温，得到如下的折线图：根据该图，关于这10天的气温，下列说法中正确的有（ ） A ．最高温的众数为37℃ B ．最高温的平均值为37.9℃ C ．第9天的温差最小 D ．最高温的方差大于最低温的方差【答案】AB【分析】根据折线图一一判断.【详解】对于A ．最高温37℃出现4次，所以最高温的众数为37℃，A 正确． 对于B ．，所以B 正确； ()13837373938393837393737.9C 10x =+++++++++=︒对于C ．第9天的温差为8℃．而第2和8天的温差为7°C ，所以C 不正确；对于D ．最高温的波动比最低温小，所以最高温的方差小于最低温的方差，所以D 不正确． 故选：AB ．12．已知函数，则下列关于函数的性质说法正确的是（ ） ()1e 1exxf x -=+()f x A ．在区间的值域为 ()f x []01，1e ,01e -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ．为奇函数()f x C ．在区间上存在零点 ()()1g x f x x =--()1,0-D ． ()01f =【答案】ABC【分析】A.首先函数变形为，再根据函数的定义域求值域； ()211e xf x =-++B.根据奇函数的定义，即可判断； C.根据零点存在性定理，即可判断；D.代入，即可求解.0x =【详解】A.,， ()()e 121e 211e 1e 1e x x x x xf x -++-===-++++[]0,1x ∈，则，则，故A 正确； []1e 2,1e x +∈+22,11e 1e x ⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦21e 1,01e 1e x -⎡⎤-+∈⎢⎥++⎣⎦B.函数的定义域为，，所以函数是奇函数，R ()()1e e 11e 1e x x x x f x f x -----===-++()f x 故B 正确；C.，，并且函数在区间上连续，所以根据零点()111e 11101e g ----=+->+()()00010g f =--<()1,0-存在定理可知，函数在区间上存在零点，故C 正确； ()1,0-D.，故D 错误.()01e 001e f -==+故选：ABC三、填空题13．某校共有学生480人；现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试；若这80人中有30人是男生，则该校女生共有___________. 【答案】人##300300【分析】根据人数占比直接计算即可. 【详解】该校女生共有人. 803048030080-⨯=故答案为：人.30014．已知向量，，若A ，B ，C 三点共线，则____________． ()3,24AB m =- ()2,4BC =m =【答案】5【分析】由向量共线的坐标表示求解.【详解】由A ，B ，C 三点共线知，则，解得． //AB BC()34242m ⨯=-⨯5m =故答案为：5．15．已知函数，则函数的零点为__________.()20log ,0x f x x x x ≤=+>⎪⎩()3y f x =-【答案】和8-2【分析】分和两种情况讨论，通过解方程或结合函数单调性处理零点问题. 0x ≤0x >【详解】当时，令，解得；0x ≤()330y f x =-==8x =-当时，则在上单调递增，且， 0x >()23log 3y f x x x =-=+-()0,∞+2|0x y ==故在内有且仅有一个零点2； ()3y f x =-()0,∞+综上所述：函数的零点为和. ()3y f x =-8-2故答案为：和.8-216．函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则()log 41a y x =+-A A 10mx ny ++=0mn >的最小值为___________. 11m n+【答案】4+4+【分析】先求出定点，再将点代入直线中，结合基本不等式即可求解. A A 【详解】解：函数的图像恒过定点 ()log 41a y x =+-A 所以()3,1A --又点在直线上 A 10mx ny ++=所以，即310m n --+=31m n +=()111111134443m n m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⋅+=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，取等号. 3n m nm=所以的最小值为 11m n+4+故答案为：.4+四、解答题17．在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，OAB BA C AC BA =OB D 13DB OB DC =，OA E 设，用表示向量及向量.OA a OB b == ，a b，OC DC【答案】；2OC a b =-523DC a b =-【分析】用平面基底向量表示向量，结合平面向量的线性运算求解.【详解】∵A 是的中点，则， BC ()2222OC OB BC OB BA OB OA OB OA OB a b =+=+=+-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r r r 故，2OC a b =-，22522333DC OC OD OC OB a b b a b =-=-=--=- 故.523DC a b =- 18．已知幂函数为奇函数.()()23122233m m f x m m x++=-+(1)求函数的解析式；()f x (2)若，求的取值范围.()()132f a f a +<-a 【答案】(1)()3f x x =(2)2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函2331m m -+=1m =2m =()f x 数，即可求解；（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. ()f x R 132a a +<-【详解】（1）解：由题意，幂函数，()()23122233m m f x m m x++=-+可得，即，解得或， 2331m m -+=2320m m -+=1m =2m =当时，函数为奇函数，1m =()311322f x x x ++==当时，为非奇非偶函数，2m =()21152322f x xx ++==因为为奇函数，所以.()f x ()3f x x =（2）解：由（1）知，可得在上为增函数，()3f x x =()f x R 因为，所以，解得， ()()132f a f a +<-132a a +<-23<a 所以的取值范围为.a 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19．函数的定义域为.()1423x x f x +=-+11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（1）设，求t 的取值范围； 2x t =（2）求函数的值域.()f x【答案】（1）（2）. t ∈2,5⎡-⎣【分析】（1）由题意，可先判断函数，单调性，再由单调性求出函数值的取值范2x t =11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦围即可；（2）由于函数是一个复合函数，可由，将此复合函数转化为二次函数()1423x x f x +=-+2x t =，此时定义域为，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数()223g t t t =-+t ∈的值域.()f x 【详解】（1）在上单调递增2x t = 11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.t ∴∈（2）函数可化为：， ()y f x =()223g t t t =-+t ∈在上单调递减，在上单调递增 ()y g t = ⎤⎥⎦⎡⎣比较得，g g<，()()12min f x g ∴==()5max f x g ==-所以函数的值域为.25⎡-⎣，【点睛】本题考查了对数函数的值域的求法，对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用.20．公司检测一批产品的质量情况，共计件，将其质量指标值统计如下所示.1000(1)求的值以及这批产品质量指标的平均值以及方差；(同组中的数据用该组区间的中点值表a x 2s 示)(2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为的产品中随机抽取件，再从这件中任取[)185,205553件，求至少有件产品的质量指标在的概率. 2[)195,205【答案】(1)，， 0.002a =200x =2150s =(2) 710【分析】（1）根据频率和为1计算得到，根据公式计算平均值和方差即可.0.002a =（2）根据分层抽样的比例关系得到各层的个数，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【详解】（1），解得； ()100.0090.0220.0330.0240.0081a a ++++++=0.002a =；1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200= ()()()22221702000.021802000.091902000.22s =-⨯+-⨯+-⨯.()()()2222102000.242202000.082302000.02150+-⨯+-⨯+-⨯=（2）由分层抽样可知，质量指标在的产品中抽个，记为； [)185,19522052550⨯=A B ，在的产品中抽个，记为，则任取个，[)195,20531,2,33所有的情况为，共()()()()()()()()()(),,1,,,2,,,3,,1,2,,1,3,,2,3,,1,2,,1,3,,2,3,1,2,3A B A B A B A A A B B B 种，10其中满足条件的为，共种， ()()()()()()(),1,2,,1,3,,2,3,,1,2,,1,3,,2,3,1,2,3A A A B B B 7故所求概率. 710P =21．乒乓球比赛规则规定，一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球． （I ） 求开球第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（II ） 求开始第5次发球时，甲得分领先的概率．【答案】10.352 20.3072（）（）【分析】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题．首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论． 【详解】【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题．情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况．22．已知函数，．2()2f x x ax =++R a ∈(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；()0f x …2()1f x x -…(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a 的取值范围；[1x ∈-1]()2(1)4f x a x -+…(3)已知，若方程在有解，求实数a 的取值范围． 2()(2)1g x ax a x =+++()()f x g x =1(,3]2【答案】(1)，， (-∞1[12)∞+(2) 13a ≤(3)[0，1）．【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出，然后解一a 元二次不等式即可；（2）问题转化为在，恒成立，令，，，根据函数的单调性求出222x a x --…[1x ∈-1]22()2x h x x -=-[1x ∈-1]的范围即可； a （3）利用参数分离法进行转化求解即可．【详解】（1）解：若不等式的解集为，，()0f x …[12]即1，2是方程的两个根，220x ax ++=则，即，123a +=-=3a =-则，由得，2()32f x x x =-+2()1f x x -...22321x x x -+-...即得，得或， 22310x x -+...(21)(1)0x x --...1x (12)x …即不等式的解集为，，．(-∞1][12 )∞+（2）解:不等式恒成立，()2(1)4f x a x -+…即在，恒成立， 222x a x --…[1x ∈-1]令，，， 22()2x h x x -=-[1x ∈-1]则， 2242()(2)x x h x x -+'=-令，解得：，()0h x '=2x =故在，递增，在，递减，()h x [1-2(21]故（1）或，()min h x h =1()h -而（1），，h 1=1(1)3h -=故． 13a …（3）解：由得，()()f x g x =22(2)12ax a x x ax +++=++，即，2(1)210a x x ∴-+-=2(1)12a x x -=-若方程在，有解，等价为有解， ()()f x g x =1(23]2212121x a x x x--==-设， 22121()(1)1h x x x x =-=--，，，， 1(2x ∈ 3]∴11[3x ∈2)即，即，则， 1()0h x -<…110a --<…01a <…即实数的取值范围是，．a [01)。
辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
2022-2023学年度上学期东北育才高中部高一数学期末考试试卷第I 卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合(){},20A x y x y =+-=，(){},40B x y x y =--=，则A B = （）A ．()3,1-B ．{}3,1-C ．3x =，1y =-D ．(){}3,1-2．若,R a b ∈且0ab ≠.则2211a b >成立的一个充分非必要条件是（）A ．0a b >>B ．b a>C ．0b a <<D ．()0ab a b -<3．某中学举行运动会，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学随机地安排在1,2,3,4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1跑道且乙不在4跑道的概率为（）A ．12B ．712C ．23D ．344．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知3,,AE EF AB a AD b === ，则AE =（）A ．1292525a b+ B ．16122525a b+C ．4355a b+D ．3455a b+5．命题“*R,N x n ∀∈∃∈，使得n x ≤”的否定形式是（）A ．*R,N x n ∀∈∃∈，使得n x >B ．R,N ,x n *∀∈∀∈都有n x >C ．*R,N x n ∃∈∃∈，使得n x>D ．R,N x n *∃∈∀∈，都有n x>6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数()22411x x f x x ++=+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知实数和b 满足20222023a =，20232022b =．则下列关系式中正确的是（）A ．22log log 1a b +<B ．2a b +<C ．221a b +<D ．224a b +<8．已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+ ，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．已知a 为实数，0a ≠且1a ≠，函数1()1ax f x x -=-，则下列说法正确的是（）A ．当2a =时，函数()f x 的图像关于(1,2)中心对称B ．当1a >时，函数()f x 为减函数C ．函数1()y f x =图像关于直线y x =成轴对称图形D ．函数()f x 图像上任意不同两点的连线与x 轴有交点10．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD ，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）A ．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是12B ．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是16C ．丙同学随机选择选项，能得分的概率是15D ．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是11011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.2]4-=-，[2.3]2=．已知函数21()122x x f x =-+，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在R 上是增函数C ．()g x 是偶函数D ．()g x 的值域是{}1,0-12．已知函数()42log 4,0log ,0241,2x x f x x x x x ⎧+≤⎪=<≤⎨⎪-->⎩，若方程()f x a =有六个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 且123456x x x x x x <<<<<则下列说法正确的是（）A ．()0,1a ∈B ．12343x x x x ++⋅=-C ．()4122341624x x x x x ⎡⎤-++∈⎣⎦⋅D ．()63123,04x f x x x ⎛⎫∈- ⎪+⎝⎭第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域是R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立.如果命题p 和q 有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是______.14．为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A ，B ，C ，D 四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占35，则下列结论中，正确结论的个数是______.①男、女员工得分在A 区间的占比相同；②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数；③得分在C 区间的员工最多；④得分在D 区间的员工占总人数的20%.15．已知()33f x x x =+，x 为实数且满足8（r1）3−3≥3−6r1，则()f x 的最大值为___________．16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y =+，则x y -=____________．四、解答题（本大题共70分。
辽宁省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设P 和Q 是两个集合，定义集合且.如果，{P Q x x P -=∈，}x Q ∉{}2log 1P x x =≤，那么=（ ）{}21Q x x =-≤P Q -A ．B ． {}01x x <<{}01x x <≤C ．D ．{}12x x ≤<{}23x x ≤<【答案】A【分析】化简集合P ，Q ，后由所给定义可得答案.P Q -【详解】由题，，2221202l og l og l og x x x ≤⇔≤⇔<≤则.， {}02P x x =<≤22144113x x x x -≤⇔-+≤⇔≤≤则.则由题中所给定义有：.{}13Q x x =≤≤{}01P Q x x -=<<故选：A2．已知，，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ） :p x k ≥3:11q x ≤+A ．B ． [)2,+∞()1,+∞C ．D ． [)1,+∞(),1-∞-【答案】A【分析】求出不等式的解集， 由是的充分不必要条件列不等式确定的取值范围. 311≤+x p q k 【详解】由得，所以或，解得或， 311≤+x 201x x -+≤(2)(1)0x x -+<20x -=1x <-2x ≥所以或，又，是的充分不必要条件，:1q x <-2x ≥:p x k ≥p q 所以 或{}x x k ≥{1x x <-}2x ≥所以，2k ≥所以k 的取值范围是.[)2,+∞故选：A.3．若函数的定义域是[1，2023]，则函数的定义域是（ ） ()y f x =()()11f x g x x +=-A ．[0，2022]B ． [)(]1,11,2022-⋃C ．（1，2024]D ．[)(]0,11,2022⋃【答案】D【分析】由抽象函数定义域相关概念可得答案.【详解】因的定义域是[1，2023]，()y f x =则由可得：， ()()11f x g x x +=-11202302022101x x x x ≤+≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩则定义域为：.()g x [)(]0,11,2022⋃故选：D4．已知某药店只有，，三种不同品牌的口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌A B C 95N 的口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是，，买B 品牌口罩的概率分别为，95N A 0.20.30.6，则甲、乙两人买相同品牌的口罩的概率为（ ）0.495N A ．B ．C ．D ．0.70.650.350.36【答案】D 【分析】甲、乙两人买相同品牌的口罩，可分为三种情况，即甲、乙两人都买品牌或品牌95N A B 或品牌的口罩，利用独立事件的概率公式，分别求出这三种情况对应的概率，再利用互斥事C 95N 件的概率公式，即可得结果．【详解】由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率分别是、，C 0.20.3所以甲、乙两人买相同品牌的口罩的概率为． 95N 0.20.30.60.40.20.30.36P =⨯+⨯+⨯=故选：D ．5．已知函数，是上的单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） ()212,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩R A ． B ． 11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ． 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]1,2【答案】A【分析】由函数可得且，故可得函数只能是上的单调递减函数，结合二次函数和对数0a >1a ≠R 函数性质列不等式即可.【详解】由可得且，()212,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩0a >1a ≠所以当时，不可能是增函数，1x ≤()f x 所以函数在上不可能是增函数，()f x R 则函数是上的单调递减函数，()f x R所以，解得， 011145214a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩1184a ≤≤综上：实数a 的取值范围为， 11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A.6．已知，，规定：当时，；当()21x f x =-()22g x x =-()()f x g x ≥()()h x f x =()()f xg x <时，，则（ ）()()h x g x =-()h x A ．有最小值－1，无最大值B ．有最小值－2，无最大值C ．有最大值2，无最小值D ．有最大值－1，无最小值【答案】B【分析】在同一直角坐标系画出函数，的图象，结合题中规定，得()21x y f x ==-()22g x x =-到函数的图象，最后利用数形结合进行判断即可.()h x 【详解】在同一直角坐标系内画出，的图象，如下图所示：()21x y f x ==-()22g x x =-根据题中规定，得到函数的图象如下图；()h x根据数形结合思想结合图象可知函数有最小值－2，无最大值，故选：B7．若不等式（，且）在内恒成立，则实数a 的取值范围为()21log a x x -<0a >1a ≠(]1,2x ∈（ ）A ．B ． [)1,2()1,2C ．D ． ((【答案】B【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形01a <<1a >()log a f x x =()()21g x x =-结合得到实数a 的取值范围.【详解】若，此时，，而，故无解； 01a <<(]1,2x ∈log 0a x <()210x -≥()21log a x x -<若，此时，，而， 1a >(]1,2x ∈log 0a x >()210x -≥令，， ()log a f x x =()()21g x x =-画出两函数图象，如下：故要想在内恒成立， ()21log a x x -<(]1,2x ∈则要，解得：.log 21>a ()1,2a ∈故选：B.8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[]）和氢H +氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L ，记作[]）的乘积等于常数．已知pH 值的定义OH -1410-为 ，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的pH 1H g +⎡⎤=-⎣⎦H OH +-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦可以为（参考数据：1g2≈0.301，1g3≈0.477）（ ） A ． B ． C ． D ． 14151718【答案】C【分析】利用[]，[]之间关系把转化为，结合题目条件可得H +OH -H OH +-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦21410H +⎡⎤⎣⎦，则.验证各选项以10为底的对数即可判断7457351010..H -+-⎡⎤≤≤⎣⎦{}214091007.l g H .+⎡⎤-≤≤-⎣⎦各选项正误.【详解】由题，，则. 14H OH 10+--⎡⎤⎡⎤⋅=⎣⎦⎣⎦H OH +-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦21410H +⎡⎤=⎣⎦又由题有：. {}7457357357451010...l g H .H +-+-⎡⎤⎡⎤≤-≤⇒≤≤⎣⎦⎣⎦则.2091407101010..H -+-⎡⎤≤≤⎣⎦{}214091007.l g H .+⎡⎤⇒-≤≤-⎣⎦A 选项，，其不在内，故A 错误； 12206024l g l g .⎛⎫=-≈ ⎪⎝⎭0907.,.⎡⎤--⎣⎦B 选项，，其不在内，故B 错误； ()151206995l g l g l g .⎛⎫=-=--≈- ⎪⎝⎭0907.,.⎡⎤--⎣⎦C 选项，注意到， 2111576l g l g l g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又， 22352231087515l g l g l g l g l g l g .⎛⎫=--=--≈- ⎪⎝⎭，则， 162307786l g l g l g l g .⎛⎫=-=--≈- ⎪⎝⎭1087507787.l g .⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭其在内，故C 正确；0907.,.⎡⎤--⎣⎦D 选项，，其不在内，故D 错误. 13209038l g l g .⎛⎫=-≈- ⎪⎝⎭0907.,.⎡⎤--⎣⎦故选：C二、多选题9．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ）A ．这种抽样方法是分层抽样B ．这5名男生成绩的20%分位数是87C ．这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数【答案】BC【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及平均数、百分位数和方差的公式及样本与总体的关系逐项判断即可．【详解】解：由于抽样比不同，故不是分层抽样，故A 错误，5名男生成绩的20%分位数是87，故B 正确， 86882+=5名男生成绩的平均数为， 1(8694889290)905⨯++++=5名女生成绩的平均数为， 1(8893938893)915⨯++++=5名男生成绩的方差为， 211(1616440)85s =⨯++++=5名女生成绩的方差为， 221(94494)65s =⨯++++=由于从这五名学生的成绩得不出该班的男生成绩和女生成绩的平均分，故C 正确，D 错误. 故选：BC ．10．5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲、然后由乙各抽一张，则下列结论正确的是（ ） A ．甲中奖的概率 ()25P A =B ．乙中奖的概率 ()35P B =C ．只有乙中奖的概率 ()35P C =D ．甲、乙都中奖的概率 ()110P D =【答案】AD【分析】由条件列出样本空间，利用古典概型概率公式求各事件的概率即可判断.【详解】设中奖奖券为1,2，不中奖的奖券为3,4,5，则随机试验首先由甲、然后由乙各抽一张的样本空间为,,, ()()()()1,2,1,3,1,4,1,5()()()()2,1,2,3,2,4,2,5()()()()3,1,3,2,3,4,3,5,，共20个基本事件，()()()()4,1,4,2,4,3,4,5()()()()5,1,2,2,5,3,5,4事件甲中奖包含基本事件,，共8个，所以事件甲中奖()()()()1,2,1,3,1,4,1,5()()()()2,1,2,3,2,4,2,5的概率，选项A 正确； ()82205P A ==事件乙中奖包含基本事件,，共8个，所以事件乙中奖()()()()1,2,2,1,3,1,3,2()()()()4,1,4,2,5,1,5,2的概率，选项B 错误； ()82205P B ==事件只有乙中奖包含基本事件,，共6个，所以事件只有乙中奖的()()3,1,3,2()()()()4,1,4,2,5,1,5,2概率，选项C 错误； ()632010P C ==事件甲、乙都中奖包含基本事件，共2个，所以事件甲、乙都中奖的概率()()1,2,2,1，选项D 正确. ()022011P D ==故选：AD.11．下列结论正确的是（ ）A ．当 0x >2≥B ．当时，的最小值是2 02x <<1x x +C ．当时，的最小值是5 54x <14245x x -+-D ．设，，且，则的最小值是 0x >0y >2x y +=14x y +72【答案】AB【分析】由已知结合基本不等式检验各选项即可判断．【详解】，当且仅当时取等号，正确； 0x >2≥1x =A 当时，，当且仅当时取等号，所以当时，的最小值是2，B 正02x <<12x x+≥1x =02x <<1x x +确；当时，， 54x <11142453(54331454554x x x x x x -+=-++=--++≤-+=---当且仅当时等号成立，故有最大值1，C 错误； 1x =14245x x -+-，，， 0x >0y >2x y +=则， 141411419()(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++⨯=++≥+=当且仅当且即，时取等号，的最小值是，D 错误； 4y x x y =2x y +=23x =43y =14x y +92故选：AB ．12．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]=3，[－1.6]=－2．定义函数：，则下()[]f x x x =-列命题正确的是（ ）A ．()1.80.2f -=B ．当时，10x -≤<()1f x x =+C ．函数的定义域为，值域为()f x R [0,1]D ．函数是增函数()f x 【答案】AB【分析】将代入解析式，即可判断A 项；当时，，得出，从而判断1.8x =-10x -≤<[]1x =-()f x B 项；由表示不超过的最大整数，得出，从而判断C 项；取特殊值，判断D 项.[]x x 0[]1x x ≤-<【详解】对于A 项，，则A 正确；( 1.8) 1.8[ 1.8] 1.8(2)0.2f -=---=---=对于B 项，当时，，得出，则B 正确；10x -≤<[]1x =-()1f x x =+对于C 项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，()f x R []x x 所以，则C 错误；0[]1x x ≤-<对于D 项，，(1)1[1]1(1)0f -=---=---=( 1.5) 1.5[ 1.5] 1.5(2)0.5f -=---=---=，( 1.5)(1)f f ->- 函数不是增函数，则D 错误；∴()f x 故选：AB.三、填空题13．若关于x 的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为0ax b +<()2,-+∞230ax bx a +->______【答案】()3,1-【分析】根据一元一次不等式的解集得到且，从而得到，解出答案即可.a<02b a =2230x x +-<【详解】由题意得：，则，可知且， ax b <-b x a>-a<02b a =则变形为，230ax bx a +->2230ax ax a +->不等式两边同除以得：，a 2230x x +-<解得：，31x -<<不等式的解集为.()3,1-故答案为：()3,1-14．已知，，若对，，使得，则()()2ln 1f x x =+()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]10,3x ∀∈[]21,3x ∃∈()()12f x g x ≥实数m 的取值范围是______．【答案】 1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意只需根据去求出参数范围即可.min min ()()f x g x ≥【详解】由对数函数的单调性可知，在上单调递增，故；()()2ln 1f x x =+[]0,3min ()(0)0f x f ==由指数函数的单调性可知，在上单调递减，故， ()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]1,3min 1()(3)8g x g m ==-为使得，，使得，只需，即， []10,3x ∀∈[]21,3x ∃∈()()12f x g x ≥min min ()()f x g x ≥108m ≥-解得. 1,8m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为： 1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．已知函数，则不等式的解集为())2020ln 20202x x f x x -=++-+()()3124f x f x -+>______．【答案】 1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】令，，判断函数的单调性与奇偶性，()20202020x x g x -=-())h x x =(),()g x h x 从而得到，则原不等式等价于，再根据函数的单调性化简可得()()4f x f x +-=()()312f x f x ->-不等式的解集.【详解】令，，则，定义域为，()20202020x x g x -=-())h x x =()g x ()h x R 则，()()2020202020202020()x x x x g x g x --=--=--=-，所以，为奇函数，又，在定义()()))h x x x h x -=-=-=-()g x ()h x ()g x ()h x 域上单调递增，所以为定义域上的奇函数，所以关于对称，()()y g x h x =+R ()()y g x h x =+()0,0因为，2021()2021log )20212x x f x x -=+-+所以关于对称，()()()2f x g x h x =++()0,2所以，即()()4f x f x +-=()()242f x f x -=-则，即，即()()3124f x f x -+>()()3142f x f x ->-()()312f x f x ->-所以，解得， 312x x ->-15x >不等式的解集为 ()()3124f x f x -+>1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故答案为：. 1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．已知函数 ,则＝________. ()()1,421,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩()21log 5f +【答案】 120【分析】先判断的范围，根据周期性得到,从而得到21log 5+()()221log 52log 5f f +=+的值，()21log 5f +【详解】因为，所以，则， 22log 53<<231log 54<+<242log 55<+<则()21log 5f +()211log 5f =++()22log 5212log 52f +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 1114520=⨯=【点睛】本题考查求分段函数的函数值，属于简单题. 四、解答题17．已知集合，{}221212521log 24x x A y y B y y x x --+⎧⎫⎪⎪⎛⎫==+==-+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}()12R C x m x m m =-≤≤∈．(1)求A B ⋂(2)若，求m 的范围；A C A ⋃=【答案】(1)(]1,2A B = (2)． ()5,12,2⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦【分析】（1）化简集合A ，B ，后由交集定义可得答案；（2）由，可得，分和 两种情况讨论可得答案. A C A ⋃=C A ⊆C =∅C ≠∅【详解】（1）因， ()2221122x x x --+=-++≤则，故.2211215x x y --+<=+≤(]1,5A =因， ()2251121444x x x -+=-+≥则，故.2125224l og y x x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭(],2B =-∞则.(]1,2A B = （2）因为，则．A C A ⋃=C A ⊆当时，即当时，，满足题意； 12m m ->1m <-C A =∅⊆②当时，即当时，，要使得，12m m -≤1m ≥-C ≠∅C A ⊆则，解得． 1125m m ->⎧⎨≤⎩522m <≤综上所述，实数m 的范围是．()5,12,2⎛⎤-∞-⋃ ⎥⎝⎦18．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件x ()W x 时，（万元），在年产量不小于8万件时，（万元），每件产品()213W x x x =+()100638W x x x=+-售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； ()L x x （注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1) ()2142,08310036,8x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润是16万元．【分析】（1）根据题意分和求出利润，得利润的分段函数； 08x <<8x ≥（2）分别利用二次函数及基本不等式求最值，比较大小可得函数的最大值.【详解】（1）因为每件产品售价为5元，则（万件）商品销售收入为万元，依题意当x 5x 08x <<时，；()2211524233L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭当时，． 8x ≥()1001005638236L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. ()2142,08310036,8x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当时，，08x <<()()22114261033L x x x x =-+-=--+此时，当时，取得最大值10；6x =()L x 当时，， 8x ≥()100363616L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭此时，当且仅当，即时，取得最大值16． 100x x=10x =()L x 因为，所以年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是16万1016<元．19．函数．2(3)f x x ax =++（1）当时，恒成立，求实数a 的取值范围； x R ∈()f x a ≥（2）当时，恒成立，求实数a 的取值范围； []2,2x ∈-()f x a ≥（3）当时，恒成立，求实数x 的取值范围．[]4,6a ∈()0f x ≥【答案】（1）；（2） ；（3）[]6,2-[]7,2-(),33⎡-∞--+∞⎣U 【解析】（1）当时，恒成立，利用判别式，求解即可； x R ∈230x ax a ++-≥0∆≤（2）当时，恒成成立，令，该二次函数对称轴为，[]2,2x ∈-()f x a ≥2()3g x x ax a =++-2ax =-属于轴动区间定的问题，需分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别22a -≤-222a -<-<22a-≥求，解不等式求实数a 的取值范围；min ()0g x ≥（3）令，恒成立，即恒成立，函数是关于a 的一次函数，只2()3h a xa x =++()0f x ≥()0h a ≥()h a 需，求解不等式得到实数x 的取值范围.(4)0(6)0h h ≥⎧⎨≥⎩【详解】（1）当时，恒成立，即恒成立，x R ∈2()3f x x ax a =++≥230x ax a ++-≥则，即，解得()2=430a a ∆--≤24120a a +-≤62a -≤≤所以实数a 的取值范围是．[]6,2-（2）当时，恒成成立，令，即，该二次函数对称[]2,2x ∈-()f x a ≥2()3g x x ax a =++-min ()0g x ≥轴为，分如下三种情况讨论： 2ax =-①当，即时，函数在上单调递增，，解22a-≤-4a ≥()g x []22-,min ()(2)4230g x g a a =-=-+-≥得，此时无解； 73a ≤②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，222a -<-<44a -<<()g x 2,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，解得，此时；22min ()()30242a a a g x g a =-=-+-≥62a -≤≤42a -<≤③当，即时，函数在上单调递减，，解得22a-≥4a ≤-()g x []22-,min ()(2)4230g x g a a ==++-≥，此时；7a ≥-74a -≤≤-综上可知，实数a 的取值范围是．[]7,2-（3）令，当时，恒成立，即恒成立，2()3h a xa x =++[]4,6a ∈()0f x ≥()0h a ≥函数是关于a 的一次函数，其图像在上是单调的，所以要，只需，即()h a x R ∈()0h a ≥(4)0(6)0h h ≥⎧⎨≥⎩，解得 22430630x x x x ⎧++≥⎨++≥⎩3x ≤-3x ≥-所以实数x 的取值范围是(),33⎡-∞--+∞⎣U 【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.20．为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了名学生的成10050绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方[)50,60[)60,70[]90,100图（假设每名学生的成绩均不低于50分）．(1)求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数x 50据用该组区间的中点值代表）；(2)用样本估计总体，若高三年级共有名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于分的人200080数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的学生中抽取人，再从这人中任意抽取人70663参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生恰有人被抽到的概率． []80,1001【答案】(1)，平均数为；中位数为 0.02742203(2) 600(3)． 920【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于可求出的值，由小矩形底边中点横坐标乘以小矩形的1x 面积之和可得平均数，根据中位数左右两边小矩形面积相等可得中位数； （2）由频率分布直方图求出不低于分的频率再乘以即可求解；802000（3）分别求出成绩为，，应抽出的人数，求出基本事件的总数以及成绩在[)70,80[)80,90[]90,100的学生恰有人被抽包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.[]80,1001【详解】（1）由频率分布直方图可得，第组的频率为， 4()10.010.030.030.01100.2-+++⨯=所以． 0.20.0210x ==由频率分布直方图可估计所抽取的名学生成绩的平均数为：50．()550.01650.03750.03850.02950.011074⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=由于前两组的频率之和为，()0.010.03100.4+⨯=前三组的频率之和为，故中位数在第3组中．()0.010.030.03100.7++⨯=设中位数为，则有，解得，即所求的中位数为． t ()700.030.40.5t -⨯+=2203t =2203（2）由（1）可知，名学生中成绩不低于分的频率为，5080()0.010.02100.3+⨯=用样本估计总体，可以估计高三年级名学生中成绩不低于分的人数为． 20008020000.3600⨯=（3）由（1）可知，位于，，的人数分别为：[)70,80[)80,90[]90,100，，，500.031015⨯⨯=500.021010⨯⨯=500.01105⨯⨯=这三组中所抽取的人数分别为，，，156315105⨯=++106215105⨯=++56115105⨯=++记成绩为的名学生分别为，，，成绩为的2名学生分别为，，成绩为[)70,803a b c [)80,90d e 的名学生为，[]90,1001f 则从中随机抽取人的所有基本事件为，，，，，，3(),,a b c (),,a b d (),,a b e (),,a b f (),,a c d (),,a c e ，，，，，，，，，(),,a c f (),,a d e (),,a d f (),,a e f (),,b c d (),,b c e (),,b c f (),,b d e (),,b d f (),,b e f ，，，，共个，(),,c d e (),,c d f (),,c e f (),,d e f 20其中成绩在的学生恰有人被抽到包含的基本事件为，，，，[]80,1001(),,a b d (),,a b e (),,a b f (),,a c d ，，，，，有9个．(),,a c e (),,a c f (),,b c d (),,b c e (),,b c f 故成绩在的学生恰有人被抽到概率为． []80,100192021．某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲、乙两队进行比赛，已知甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影35响．(1)若采用三局两胜制进行比赛（即先胜两局者赢得比赛，同时比赛结束），求甲队获胜的概率； (2)若采用五局三胜制进行比赛（即先胜三局者赢得比赛，同时比赛结束），求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率． 【答案】(1) 81125(2) 72625【分析】（1）三局两胜制甲胜，则包括三个基本事件，甲胜前两场比赛，第一或第二场比赛甲输了，其他两场比赛赢了，根据相互独立事件的概率计算公式计算可得.（2）五局三胜制，乙队在第四场比赛后即获得胜利，即第四场比赛乙赢，前三场比赛乙赢了二场比赛，根据相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】（1）设表示甲队在第场比赛获胜．则()1,2,3i A i =i ()()32,,55i i P A P A ==事件甲队获胜可表示为，12123123A A A A A A A A ++所以事件甲队获胜的概率， ()()()()1212312312123123P A A A A A A P A A P A A A P A A ++=++所以． ()()()()()()()()()1212312312123123P A A A A A A A P A P A P A P A P A P A P A P A ++=++ ()2212123123323812555125P A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫++=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设表示甲队在第场比赛获胜，则()1,2,3,4,5i A i =i ()()32,,55i i P A P A ==事件乙队在第四场比赛后获胜可表示为， 123412341234A A A A A A A A A A A A ++所以事件乙队在第四场比赛后获胜的概率为， ()123412341234P A A A A A A A A A A A A ++所以所以()()()()123412341234123412341234P A A A A A A A A A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ++=++， ()31234123412343272355625P A A A A A A A A A A A A ⎛⎫++=⨯⨯=⎪⎝⎭22．已知函数（其中为自然对数的底）是定义域为的奇函数．()()222e e x xf x t t -=---e R (1)求t 的值，并写出的解析式；()f x (2)判断在上的单调性，并用定义证明；()f x R (3)若函数在上的最小值为－2，求k 的值． ()()221e 2e xxg x kf x =+-[)0,∞+【答案】(1)或，3t =1t =-()e e x xf x -=-(2)在上单调递减，证明见解析 ()f x R (3)． 2k =-【分析】（1）由函数为R 上的奇函数，得到，求出或，所以，()00f =3t =1t =-()e e x xf x -=-（2）用定义法求解函数的单调性；（3）令，从而得到在上的最小值为－2，结合在()1e e x xu t x ==-()222h u u ku =++[)0,∞+()t x R 上是增函数，分和两种情况，求出相应的最小值，列出方程，求出的值.0k -≥0k -<k【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，()f x R 所以，即，()00f =()20230f t t --==解得:或，所以，3t =1t =-()e e x xf x -=-又此时满足，所以．()()f x f x -=-()e e x xf x -=-（2）在上单调递减．证明如下：()f x R 设，则，12x x <()()()11222112121e e e e e e 1e e x x x x x x x x f x f x --⎛⎫--+=-+ ⎪⎝-=⋅⎭因为，所以，所以，，12x x <120e e x x <<21e e 0x x ->12110e ex x +>⋅可得，即 ()()120f x f x ->()()12f x f x >所以在上单调递减；()f x R （3）由（1）可知， ()2221111e 2e e 2e 2e e e e x x x x x xx xg x k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎝⎭-⎭-令，则， ()1e exx u t x ==-()222h u u ku =++因为在上是增函数，且，所以．()t x R 0x ≥()00u t ≥=因为在上的最小值为－2， ()()221e 2e xxg x kf x =+-[)0,∞+所以在上的最小值为－2． ()h u [)0,∞+因为，()()222222h u u ku u k k =++=++-所以当时，即时，0k -≥0k ≤()()2min 22h u h k k =-=-=-解得或（舍去）；2k =-2k =当时，即时，不符合题意，舍去； 0k -<0k >()()min 022h u h ==≠-综上可知，．2k =-。
辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一上学期期末
考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．[]
1,2B ．2．若命题p ：“1x ∀>，x A ．1x ∃≤，210x -<A ．210，24B ．210，27C ．252，24
4．设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.1c =，则（）
A ．c b a
>>B ．c b a
>>C ．a c b >>5．在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg30.4771≈，设71049M =⨯，则M 所在的区间为（
）
A ．()
1112
10,10B ．()
1213
10,10C ．()1314
10,10
x-
22
．．．．
二、多选题
12．有5个标记数字1，2，3，4，5的小球，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则（）
A．甲与乙互斥B．丙与丁互斥
C．甲与丙相互独立D．乙与丁相互独立
三、填空题
四、解答题
(1)若依据甲、乙测试成绩的平均数作为选拔标准，应该选派甲、乙中的哪位同学代表学。
辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(含解析)
高一（上）期末数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
1. 已知集合，集合，则( ) A ={x|log 2x <1}B ={y|y =2−x }A ∪B =A.B.C.D.(0,+∞)[0,2)(0,2)[0,+∞)2. 设函数的定义域为，则函数的定义域为( ) f(x)(−1,3)g(x)=f(1+x)ln (1−x)A.B. C.D.(−2,1)(−2,0)∪(0,1)(0,1)(−∞,0)∪(0,1)3. 在人类中，双眼皮由显性基因控制，单眼皮由隐性基因控制，当一个人的基因型为A a 或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．随机从父AA Aa aa 母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母A a 均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 当时，函数( ) x <0y =x +A. 有最大值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值−4−4445. 设，，，则( ) a =log 32b =log 64c =log 3e (2e)A.B.C.D.c <b <a a <b <c b <a <c a <c <b 6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票．六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示在甲抽奖箱中中奖的A 事件，表示在乙抽奖箱中中奖的事件，表示两次抽奖均末中奖的事件．下列结论中正确B C 的是( )A.B. 事件与事件相互独立 A BC. 与和为D. 事件与事件互斥P(AB)P(C)54%A B7. 我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后《》人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵副弦图”中，已知，，，则( ) ⃗AE =3⃗EF ⃗AB =⃗a ⃗AD =⃗b ⃗AE=A. B. C. D.8. 已知函数，若互不相等，f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)(x 1,x 2,x 3,x 4)则的取值范围是注：函数在上单调递减，在上单x 1+x 2+x 3+x 4(ℎ(x)=x +1x (0,1](1,+∞)调递增( ))A. (−12,0)B. [−12,0]C. [0,12)D.(0,12]9. 若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续天，每天新10增疑似病例不超过人”，根据该地区下列过去天新增疑似病例的相关数据，可以认为该710地区没有发生大规模群体感染的是( )A. 平均数为，中位数为 23B. 平均数为，方差大于 10.5C. 平均数为，众数为 22D. 平均数为，方差为2310. 如图，由到的电路中有个元件，分别标为元件，元件，元件，元件，电流能M N 41234通过元件，元件的概率都是，电流能通过元件，元件的概率都是，电流能否通过各12p 340.9元件相互独立．已知元件，元件中至少有一个能通过电流的概率为，则( )120.96A.B. 元件和元件恰有一个能通的概率为 12C. 元件和元件都通的概率是 340.81D. 电流能在与之间通过的概率为M N 0.950411. 在中，是中线，，则下列等式中一定成立的是( ) △ABC AD ⃗AG =2⃗GD A. ⃗AB +⃗AC =2⃗AD B. ⃗AG=13⃗AB +13⃗ACC.S △ABC =3S △GBC D. ⃗AG=13⃗AB +23⃗AC12. 氡又名氭，是一种化学元素，符号是氡元素对应的单质是氡气，为无色、(Radon)Rn.无臭、无味的惰性气体，具有放射性．已知放射性元素氡的半衰期是天，经天衰变后3.82x 变为原来的且，取，则( )a'(a >0a ≠1)0.8347.64=A. 经过天以后，空元素会全部消失 7.64B. 经过天以后，氡元素变为原来的 15.28C.a =0.834D. 经过天以后剩下的氡元素是经过天以后剩下的氡元素的3.827.6413. 袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“中、华，030123民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组机数：232ㅤ321ㅤ230ㅤ023ㅤ123ㅤ021ㅤ132ㅤ220ㅤ001231ㅤ130ㅤ133ㅤ231ㅤ031ㅤ320ㅤ122ㅤ103ㅤ233由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为______．14. 设，且，则______．2a =5b =m 2a +1b =1m =15. 北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”2022难求．甲、乙、丙人为了能购买到冰墩墩，商定人分别去不同的官方特许零售店购买，若33甲、乙人中至少有人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲、乙、丙211213人中至少有人购买到冰墩墩的概率为______． 3116. 在中，点为线段上任一点不含端点，若，则△ABC F BC ()⃗AF =x ⃗AB +2y ⃗AC(x >0,y >0)的最小值为______．17. 已知，． ⃗a=(1,0)⃗b =(2,1)当为何值时，与共线；(1)k k ⃗a+⃗b ⃗a −2⃗b 若，且，，三点共线，求的值．(2)⃗AB =⃗a +3⃗b ⃗BC =⃗a −m ⃗b A B C m18. 年月日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动201844我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降以上，为响应国家政策，某通30%讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下： 套餐名称月套餐费元/月套餐流量/M A 30 3000B506000这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值流量，资费元；如果又超出充值流量，系统再次自2000M 20动帮用户充值流量，资费元，以此类推．此外，若当月流量有剩余，系统将自动2000M 20清零，不可次月使用．小张过去个月的手机月使用流量单位：的频数分布表如下： 50(M)月使用流量分组 [2000,3000] (3000,4000] (4000,5000] (5000,6000] (6000,7000](7000,8000]频数451116122根据小张过去个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：50若小张选择套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过元的概(1)A 50率．小张拟从或套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？(2)A B 说明理由．19. 已知函数，，其中，且，f(x)=log a x g(x)=log a (2x +m−2)x ∈[1,3]a >0a ≠1m ∈R．若且函数的最大值为，求实数的值．(1)m =5F(x)=f(x)+g(x)2a 当时，不等式在有解，求实数的取值范围．(2)0<a <1f(x)<2g(x)x ∈[1,3]m 20. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢． .求第四盘棋甲赢的概率；(1)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．(2)21. 已知定义域为的函数是奇函数．R f(x)=n−3x3+3x +1(1)y=f(x)求的解析式；(2)f(log4x⋅log28x)+f(4−2a)>0a若恒成立，求实数的取值范围．y=f(x)[a,b]x0(a<x0<b)22. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足；，则y=f(x)[a,b]x0称函数是上的“平均值函数”，是它的平均值点．(1)y=2x2[−1,1]函数是否是上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点，如果不是，请说明理由；(2)y=−22x+1+m⋅2x+1+1[−1,1]m现有函数是上的平均值函数，求实数的取值范围．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：集合， ∵A ={x|log 2x <1}={x|0<x <2}集合， B ={y|y =2−x }={y|y ≥0} ∴A ∪B =[0,+∞)故选：．D 求出集合，集合，再根据并集的定义，求出．A B A ∪B 本题考查对数不等式的解法，并集及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：函数的定义域为，则对于函数， ∵f(x)(−1,3)g(x)=f(1+x)ln (1−x)应有，求得或， {−1<1+x <31−x >01−x ≠1−2<x <00<x <1故函数的定义域为， g(x)(−2,0)∪(0,1)故选：．B 由题意，利用函数的定义域的定义和求法，得出结论． 本题主要考查函数的定义域的定义和求法，属于基础题．3.【答案】A 【解析】解：若“父母均为单眼皮”，即父母的基因型都是，所以孩子的基因型也一定为aa aa ，所以一定有“孩子为单眼皮”，若“孩子为单眼皮”，则孩子的基因型，但是父母的基因型可能都是或一个是，一个是aa Aa Aa ，所以父母中有可能有双眼皮，aa 所以“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件． 故选：．A 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．4.【答案】A∵x<0∴−x>0【解析】解：，，∴x=−2，当且仅当时等号成立，A故选：．利用基本不等式可直接得到函数的最值．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由已知得，a−b==ln6−ln9<0a−b<0a<b A C，显然，故，，排除，；b−c===，1−ln2>0ln2−ln3<0b−c<0b<c显然，，故，得，a<b<c故．B故选：．a b c因为，，都大于零，可先换底，然后利用作差或作商法比较大小．本题考查对数运算性质和换底公式，以及对数的大小比较问题，属于中档题．6.【答案】ABC【解析】解：由题意可知，，，A对于，，故A正确；B A B B对于，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件和事件相互独立，项正确；C B P(AB)对于，由可知，所以，故C正确；D A B对于，事件与事件相互独立而非互斥，故D错误．ABC故选：．P(A)P(B)P(C)P(AB)AC分别求出，，进一步求出与，判断选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱A B BD抽奖互不影响，故事件和事件相互独立，判断选项．本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件和对立事件的定义，属于基础题．7.【答案】A 【解析】解：因为，⃗AE =3⃗EF 所以， ⃗AF =⃗AB +⃗BF =⃗AB +⃗ED =⃗AB +(⃗EA +⃗AD )=⃗AB +(−⃗AE +⃗AD )所以，整理得，．⃗AE =⃗AB +⃗AD −⃗AE ⃗AE =(⃗AB +⃗AD )=⃗a +⃗b 故选：．A 根据平面向量的线性运算法则，即可得解．本题考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的加法和数乘的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．画出函数的图象，利用，转化求解f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)x 1+x 2+x 3的取值范围． +x 4【解答】解：作出函数的图象，如下图，f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0或时，，x =122f(x)=1令，t =f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)设，则有，，且， x 1<x 2<x 3<x 4x 1+x 2=−2x 3⋅x 4=112≤x 3<1故，x 1+x 2+x 3+x 4=−2+x 3+x 4=−2+x 3+1x 3因为函数在上单调递减，在上单调递增， ℎ(x)=x +1x (0,1](1,+∞)故．x 3+1x 3∈(2,52]的取值范围是， x 1+x 2+x 3+x 4(0,12]故选：．D9.【答案】AD 【解析】解：对于，因个数的平均数为，中位数为，将个数从小到大排列，设后面个A 1023104数从小到大依次为，，，，显然有，而，则的最大值a b c d d ≥c ≥b ≥a ≥3a +b +c +d ≤14d 为，符合条件；5A 对于，平均数为，方差大于，可能存在大于的数，如连续天的数据为：，，，，B 10.571000000，，，，，，其平均数为，方差大于，不符合；00001010.5B 对于，平均数为，众数为，可能存在大于的数，如连续天的数据为：，，，，，C 22710000222，，，，，其平均数为，众数为，不符合；222822C 对于，设连续天的数据为，，，因平均数为，方差为，D 10x i i ∈N ∗i ≤1023则有，于是得，而，，，因此，11010i =1(x i −2)2=3(x i −2)2≤30x i ∈N i ∈N ∗i ≤10x i ≤7i ∈N ∗，，符合条件． i ≤10D 故选：．AD 根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断，；举例说明判断，作A D B C 答．本题考查了求平均数、众数、中位数与方差的问题，是中档题．10.【答案】ACD 【解析】解：对于，由题意，可得，整理可得，则A C 12p(1−p)+p 2=0.96p 2−2p +0.96=0，则，故A 正确； (p−1.2)(p−0.8)=0对于，，故B 错误；B 对于，，故C 正确；C 0.9×0.9=0.81对于，元件，元件中至少有一个能通过电流的概率为，D 34C 12×0.9×(1−0.9)+C 22×0.92=0.99则电流能在与之间通过的概率为，故D 正确．M N 0.96×0.99=0.9504故选：．ACD 根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，属于基础题．11.【答案】ABC 【解析】解：，在中，是中线，，A 正确，A ∵△ABC AD ∴⃗AB +⃗AC =2⃗AD ∴，在中，是中线，，，B 正确，B ∵△ABC AD ⃗AG =2⃗GD ∴⃗AG =23⃗AD =23×12(⃗AB +⃗AC )=13⃗AB +13⃗AC ∴D 错误，，设的高为，，则的高为， C △GBC ℎ∵⃗AG =2⃗GD △ABC 3ℎ，C 正确，∴S △ABC =12BC ⋅3ℎ=3⋅12BC ⋅ℎ=3S △GBC ∴故选：．ABC 利用平面向量的线性运算，中线的性质判断，利用三角形的面积公式判断．ABD D 本题考查平面向量的线性运算，中线的性质，三角形的面积公式，属于中档题．12.【答案】BC 【解析】解：因为天后，氡元素变为原来的，A 错误；7.64=2×3.82经过天以后剩下的氡元素是原来的，经过天以后剩下的氡元素是原来的，D 错误； 3.827.64要使得氡元素变为原来的，需要经过天，B 正确；=()44×3.82=15.28因为放射性元素氡的半衰期是天，则，3.82f(3.82)=m 所以，a 3.82=因为，0.8347.64=(0.8343.82)2=所以，0.8343.82=所以，C 正确．a =0.834故选：．BC 由已知结合指数的运算性质，结合指数函数的性质可求．本题主要考查了指数运算性质在实际问题中的应用，属于基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，随机数中只有，，，，共种情况，0210011300311035则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为， 故答案为：，根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解．本题考查古典概型定义，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：，∵2a =5b =m >0，， ∴a =lgm lg2b =lgm lg5， ∵2a +1b=1， ∴2lg2lgm +lg5lgm=1，∴lgm =lg20则．m =20故答案为：．20把指数式化为对数式，再利用对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】23【解析】解：因为甲乙人中至少有人购买到冰墩墩的概率为．2112所以甲乙人均购买不到冰墩墩的概率．2P 1=1−12=12同理，丙购买不到冰墩墩的概率．P 2=1−13=23所以，甲乙丙人都购买不到冰墩墩的概率．3P 3=P 1⋅P 2=12×23=13于是甲乙丙人中至少有人购买到冰墩墩的概率．31P =1−P 3=23故答案为：．23先算出甲乙人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙23人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案．本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．16.【答案】9【解析】解：因为点为线段上任一点不含端点，F BC ()若，则， ⃗AF =x ⃗AB +2y ⃗AC(x >0,y >0)x +2y =1，当且仅当且，即时取等号．=()(x +2y)=5+=9x =y x +2y =1x =y =故答案为：． 9由已知结合向量共线定理可得，然后结合乘法及基本不等式即可求解．x +2y =11本题主要考查了向量共线定理，基本不等式求解最值，属于中档题．17.【答案】解：，， (1)∵⃗a=(1,0)⃗b =(2,1)，， ∴k ⃗a +⃗b=(k +2,1)⃗a −2⃗b =(−3,−2)又与共线，k ⃗a +⃗b ⃗a −2⃗b ，∴−2(k +2)−1×(−3)=0解得；，， (2)⃗AB =⃗a +3⃗b =(7,3)⃗BC =⃗a −m ⋅⃗b=(1−2m,−m)、、三点共线，，∵A B C ∴−7m−3(1−2m)=0解得．m =−3【解析】由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；(1)k ⃗a +⃗b ⃗a −2⃗b 由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．(2)⃗AB ,⃗BC 本题主要考查了向量共线的性质，考查了方程思想，属于基础题．18.【答案】解：设使用流量，流量费用为，(1)xM y 依题意，当时，；2000≤x ≤3000y =30当时，；3000<x ≤5000y =50所以流量费用超过元概率：； 50P(y >50)=16+12+250=35设表示套餐的月平均消费，设表示套餐的月平均消费，(2)y A A y B B， ∴y A =150(30×4+50×16+70×28+90×2)=61.2， y B =150(50×36+70×14)=55.6，∴y A >y B 故选套餐．B 【解析】设使用流量，流量费用为，所以流量费用超过元概率：(1)xM y 50P(y >50)=； 16+12+250=35分别求出订购套餐和订购套餐的月平均费用，比较大小后得答案．(2)A B 本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题．19.【答案】解：当时，，所以(1)m =5g(x)=log a (2x +3)F(x)=f(x)+g(x)=log a x +log a ，，(2x +3)=1o g a (2x 2+3x)x ∈[1,3]当时，在定义城内单调递增，，解得， a >1F(x)F(x )max =F(3)=1o g a 27=2a =33当时，在定义域内单调递减，，解得，不符合0<a <1F(x)F(x )max =F(1)=1o g a 5=2a =5题意，舍去，综上，实数的值为；a 33要使在上有意义，则，解得，(2)g(x)x ∈[1,3]2x +m−2>0m >0由，即 ，因为，所以， f(x)<2g(x)1o g a x <log a (2x +m−2)20<a <1x >(2x +m−2)2即，得，令，，记， x >2x +m−2m <−2x +x +2t =x t ∈[1,3]ℎ(t)=−2t 2+t +2对称轴为，，t =14ℎ(t )max =ℎ(14)=−2×(14)2+14+2=178若不等式在有解，则在有解f(x)<2g(x)x ∈[1,3]m <−2x +x +2x ∈[1,3]即在有解，即．m <ℎ(t )max x ∈[1,3]m <178综上所述，实数的取值薇围为m (0,178).【解析】将代入函数得出解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类时论(1)m =5F(x)a >1和即可；由对数函数性质可得，再由对数单调性可符，利用0<a <1(2)m >0m <−2x +x +2换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到的取值范围．m 本题考查函数性质，属于中档题．20.【答案】解：设第四盘棋甲赢为事件，第四盘棋甲赢分两种情况：(1)A 第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，则，①P =×=第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，则，②P =×=则．P(A)=+=设比赛结束时，甲恰好赢三盘棋为事件，分三种情况：(2)B 若甲赢第三盘，则概率为，①××(1−)=若甲赢第四盘，则概率为，②××(1−)=若甲赢第五盘，则概率为，③(1−)×=则．P(B)=++=【解析】第四盘棋甲赢分两种情况，再分别求出概率即可．(1)若甲恰好赢三盘棋分三种情况，再分别求出概率即可．(2)本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，属于中档题．21.【答案】解：因为函数是奇函数， (1)f(x)=n−3x 3+3x +1所以，即， f(−x)=−f(x)n−3−x 3+3−x +1=−n−3x 3+3x +1所以，n ⋅3x −13x +1+3=−n−3x3+3x +1所以，n ⋅3x −1=−n +3x 可得，n =1所以函数．f(x)=1−3x3+3x +1由知， (2)(1)f(x)=1−3x3+3x +1=−13⋅3x −13x +1=−13+23(3x +1)易得在上单调递减，f(x)R 由，得，f(lo g 4x ⋅lo g 28x )+f(4−2a)>0f(lo g 4x ⋅lo g 28x )>−f(4−2a)因为函数是奇函数，f(x)所以，f(lo g 4x ⋅lo g 28x )>f(2a−4)所以，lo g 4x ⋅lo g 28x <2a−4整理得，12log 2x ⋅(3−log 2x)<2a−4设，， t =log 2x t ∈R则，12(3t−t 2)<2a−4当时，有最大值，最大值为，t =32y =12(3t−t 2)98所以，2a−4>98解得，a >4116即实数的取值范围是．a (4116,+∞)【解析】由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式；(1)f(x)f(−x)=−f(x)n f(x)由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为(2)f(x)R ，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得12log 2x ⋅(3−log 2x)<2a−4t =log 2x 12(3t−t 2)的取值范围．a 本题主要考查函数的奇偶性，函数单调性的判断，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：若，，因为，令，解得， (1)f(x)=2x 2x ∈[−1,1]=02x 2=0x =0∈(−1,1)故是上的“平均值函数”，且平均值点为；y =2x 2[−1,1]0由题意知，(2)=假设是平均值点，则，整理得，x 0f(x 0)=2⋅22x 0+2−4m ⋅2x 0+1+6m−19=0令，显然该函数是增函数，则要使结论成立，t =2x 0+1∈(1,4)只需在上有解即可，即在上有零点即可， g(t)=2t 2−4mt +6m−19=0(1,4)g(t)(1,4)，，g(t)=2t 2−4mt +6m−19Δ=(−4m )2−8×(6m−19)=16(m−)2+116>0若在上只有一个零点时，只需，解得或；①g(t)(1,4)g(1)g(4)<0m <若在上有两个不同零点时，只需，解集为；②g(t)(1,4)⇒⌀综上可知或，故的取值范围是，．m ()∪(+∞)【解析】直接求出，令，判断该方程在上是否有解即可；(1)k =f(x)(−1,1)由题设，设是平均值点，则，令，则(2)x 02⋅22x 0+2−4m ⋅2x 0+1+6m−19=0t =2x 0+1∈(1,4)只需让在上有解即可，结合二次函数的性质，容易求得结论．2t 2−4mt +6m−19=0(1,4)本题是一个新定义问题，侧重于考查利用函数的单调性、最值等研究函数零点的存在性问题，属于较难的题目．。
辽宁省高一上学期期末数学试题(解析版)
高一年级数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合满足，那么这样的集合M 的个数为（）M {}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可. 【详解】因为，{}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆所以集合可以为：，M {}{}{}{}{}2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5共8个，{}{}{}1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5故选：C.2. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） 5log 6a =0.5log 0.2b =0.80.5c =A. a ＜b ＜c B. a ＜c ＜b C. b ＜c ＜a D. c ＜a ＜b【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由指数，对数函数的单调性分别得到的范围，即可得到其大小关系. ,,a b c 【详解】因为，即 5552log 25log 6log 51=>>=()1,2a ∈且，即 0.512221log 0.2log log 5log 425==>=2b >，即800.0.5100.5<<=()0,1c ∈所以 c<a<b 故选:D3. 对于非零向量、，“”是“”的（ ）a b 0a b += //a b A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量共线的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】对于非零向量、，ab若，则，∴由向量共线定理可知， 0a b += a b =- //a b 若，则，不一定成立，//a b a b λ= 0a b ∴+= ∴是的充分不必要条件， 0a b +=//a b故选：A4. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则的值为（ ）x y +A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】C 【解析】【分析】观察茎叶图，利用甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分别求出，相加即可. x y 、【详解】因为甲组数据的中位数为17，所以， 7x =因为乙组数据的平均数为17.4，所以，解得，91616(10)2917.45y +++++=7y =所以. 14x y +=故选：C【点睛】本题考查根据茎叶图求数据的中位数与平均数，属于基础题.5. 要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000、001、002、…、499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续，则第三袋牛奶的标号是（ ）（下面摘取了某随机数表的第8行至第9行）84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 A. 572 B. 455C. 169D. 206【答案】B 【解析】【分析】利用随机数表法进行一一抽样即可【详解】由题所给随机数表：从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取， 则牛奶抽到标号分别为：175,331,455，068,... 故第三袋牛奶的标号是：445， 故选：B6. 已知函数过点，若的反函数为，则的值域为（ ） ()log a f x x =(4,2)1()3,()f x f x ≤≤()g x ()g x A.B.C. D.11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,3][2,8]【答案】D 【解析】【分析】把点代入，求得解析式，可得反函数解析式，由，得(4,2)()log a f x x =()f x ()g x 1()3f x ≤≤的定义域为，可求值域.()g x []1,3【详解】函数过点，则，解得， ()log a f x x =(4,2)log 42a =2a =∴，的反函数为，得，2()log f x x =()f x ()g x ()2x g x =由，∴的定义域为，当，有，则的值域为.1()3f x ≤≤()g x []1,3[]1,3x ∈[]22,8x∈()g x [2,8]故选：D7. 已知,,,则的最小值是（ ）. 0x >0y >lg 4lg 2lg8x y +=142x y+A. 3 B.C.D. 9944615【答案】A 【解析】【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得,从而根据,展开23x y +=()141142232x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭后利用基本不等式可得解.【详解】,,, 0x >0y >428x y lg lg lg +=所以,即,428x y =A 23x y +=则, ()14114181255232323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝3=当且仅当且即,时取等号, 82y x x y =23x y +=12x =2y =则的最小值是3. 142x y+故选：A【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.8. 若函数为定义在上的奇函数，且在为增函数，又，则不等式()f x R ()0,∞+()20f =的解集为（ ） ()1ln 0e xf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭A. B. ()()2,00,2-⋃()(),20,2-∞- C. D.()()2,02,-+∞ ()(),22,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】分析出函数在上的单调性，可得出，分、两种情()f x (),0∞-()()220f f -=-=0x <0x >况解原不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且在为增函数， ()f x R ()0,∞+则该函数在上也为增函数，且，(),0∞-()()220f f -=-=由可得. ()1ln 0e xf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()0xf x <当时，则，解得；0x <()()02f x f >=-20x -<<当时，则，解得.0x >()()02f x f <=02x <<综上所述，不等式的解集为. ()1ln 0exf x ⎛⎫⋅>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()()2,00,2-⋃故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a b >22ac bc >0,0a b d c >><<a d b c ->-C. 若，则 D. 若，则0a b >>11a b b a+>+0a b >>b b ma a m+<+【答案】BC 【解析】【分析】由不等式的基本性质可判断ABC ，由作差法可判断D. 【详解】对于A ，当时，，故A 错误； 0c =22ac bc =对于B ，若，则， 0d c <<d c ->-而，则，B 正确；0a b >>a d b c ->-对于C ，若，则 0a b >>1b >而，则，C 正确；0a b >>11a b b a+>+对于D ，， ()()b b m m b a a a m a a m +--=++因为，当时，，0a b >>0a m -<<()0()m b a a a m ->+即有，故D 错误. b b m a a m+>+故选：BC10. 下列说法正确的有（ ）A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M ＝“出现奇数点”，事件N ＝“出现3点或4点”，则 ()16P MN =B. 袋中有大小质地相同的3个白球和2个红球．从中依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是310C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中靶率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98D. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 1313【答案】AC 【解析】【分析】计算古典概率判断A ；利用列举法结合古典概型计算判断B ；利用对立事件及相互独立事件求出概率判断CD 作答.【详解】对于A ，依题意，事件=“出现3点”，而掷骰子一次有6个不同结果，所以，MN ()16P MN =A 正确；对于B ，记3个白球为，2个红球为，从5个球中任取2个的不同结果有：123,,a a a 12,b b ，共10个，12131112232122313212,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b 其中两球同色的结果有：，共4个，所以“两球同色”的概率是，B 错误； 12132312,,,a a a a a a b b 42105=对于C ，依题意，“至少一人中靶”的概率为，C 正确；1(10.8)(10.9)0.98---=对于D ，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，即在前两个路口都没有遇到红灯，第3个路口遇到红灯，所以到第3个路口首次遇到红灯的概率为，D 错误. 2114(13327-⨯=故选：AC11. 已知中，，，若与交于点，则（ ）ABC A 2BD DC = AE EB =AD CE O A.B.1233AD AB AC =+ 2133AD AB AC =+C. D.2AOC COD S S =A A 4ABC BOC S S =A A 【答案】AD 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则及几何关系计算即可判断A 、B ，再根据平面向量共线定理及推论可得，即可得到是上靠近的一个四等分点，即可得到面积比，从而判311442AO AD AB AC ==+O AD D 断C 、D ；【详解】解：因为，，所以，，2BD DC = AE EB =23BD BC = 12AE AB = 所以，故A 正确，B 错误； ()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+因为、、三点共线，故设，C O E ()()1112AO AE AC AB AC λλλλ=+-=+-又、、三点共线，设，A O D 12123333AO AD AB AC AB AC μμμμ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭所以，解得，1123213λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1234λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，即是上靠近的一个四等分点，311442AO AD AB AC ==+O AD D 即，所以，故C 错误；3AO OC =3AOC COD S S =A A 即，同理可得， 14ADC COD S S =A A 14ABD BOD S S =A A 所以，()11114444BOC BOD COD ABD ADC ABD ADC ABC S S S S S S S S =+=+=+=A A A A A A A A即，故D 正确；4ABC BOC S S =A A故选：AD12. 函数，则正确的有（ ）()2()ln e1xf x x =+-A. 的定义域为B. 的值域为()f x R ()f x RC. 是偶函数D. 在区间上是增函数()f x ()f x [)0,∞+【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定的函数，求出定义域并变形解析式，再逐项分析判断作答. ()f x 【详解】依题意，函数的定义域为R ，A 正确；2()ln(e 1)x f x x =+-，2()ln(e 1)ln e ln(e e )x x x x f x -=+-=+对于B ，因为，当且仅当，即时取等号，又函数在e e 2-+≥=x x e e x x -=0x =ln y x =上递增，(0,)+∞因此，B 错误；()ln 2f x ≥对于C ，，因此函数是R 上的偶函数； ()ln(e e )()x x f x f x --=+=()f x 对于D ，令，，()e e (0)x x g x x -=+≥1212,[0,),x x x x ∀∈+∞<，11221212121()()e e (e e )(e e )(1)e e x x x x x x x x g x g x ---=+-+=--⋅因为，则，即有，因此，120x x ≤<12e 1e x x ≤<12121e e 0,10e e x xx x -<->⋅12()()<g x g x 即函数在上单调递增，又函数在上递增，所以函数在()e e x x g x -=+[0,)+∞ln y x =(0,)+∞()f x [0,)+∞上递增，D 正确. 故选：ACD第Ⅱ卷 非选择题（共90分）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 函数的单调递增区间为______ ()2lg 28y x x =--【答案】 ()4,+∞【解析】【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性分析求解. 【详解】令，解得或， 2280x x -->>4x <2x -故函数的定义域为.()2lg 28y x x =--()(),24,-∞-+∞ ∵在R 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，lg y u =228u x x =--(),2-∞-()4,+∞∴在上单调递减，在上单调递增，()2lg 28y x x =--(),2-∞-()4,+∞故函数的单调递增区间为.()2lg 28y x x =--()4,+∞故答案为：.()4,+∞14. 某公司生产甲、乙两种产品的数量之比为，现用分层抽样的方法抽出一个样本，已知样本中甲种5:3产品比乙种产品多6件，则甲种产品被抽取的件数为_______. 【答案】15 【解析】【分析】甲种产品被抽取的件数为，乙种产品被抽取的件数为，按照比例即可得出结果. x 6x -【详解】设甲种产品被抽取的件数为，则，解得. x ():65:3x x -=15x =故答案为：15【点睛】本题考查了分层抽样，考查了计算能力，属于一般题目.15. 关于x 的函数的两个零点均在区间内，则实数m 的取值范围是____________． 2y x mx m =-+[1,3]【答案】 9(4,]2【解析】【分析】根据零点的分布以及判别式性质列不等式组即可求解. 【详解】设2()f x x mx m =-+因为函数的两个零点均在区间内，2()f x x mx m =-+[1,3]所以有，解得：. 2Δ=4>0132(1)0(3)0m m m f f ≤≤≥≥⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩942m <≤即 9(4,2m ∈故答案为：9(4,]216. 已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范()202311,03log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩,,a b c ()()()f a f b f c ==abc 围是______．【答案】 (]3,0-【解析】【分析】作出函数的图像，由图像可知，可设，利用对数()y f x =()()()(]0,1f a f b f c ==∈a b c <<运算可求得，结合图像可得的取值范围，由此可得出的取值范围.1bc =a abc 【详解】作出函数的图像如下图所示：()202311,03log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩设，由图像可知， a b c <<()()()(]0,1f a f b f c ==∈则，解得， ()(]110,13f a a =+∈30a -<≤由可得，即，可得.()()f b f c =20232023log log b c -=()2023log 0bc =1bc =.(]3,0abc a ∴=∈-故答案为：.(]3,0-四、解答题（本题共6小题，共70分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知向量，，．()3,2a =()1,2b =- ()4,1c = （1）求；23a b c +-（2）若，求实数的值．()()//2a kc b a +-k 【答案】（1）()2311,3a b c +-=-（2） 1613k =-【解析】【分析】（1）利用平面向量的坐标运算可求得的坐标；23a b c +-（2）求出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.a kc + 2b a - k 【小问1详解】解：因为，，．()3,2a = ()1,2b =- ()4,1c = 所以，.()()()()233,221,234,111,3a b c +-=+--=- 【小问2详解】解：由已知可得，()()()3,24,143,2a kc k k k +=+=++ ，()()()221,23,25,2b a -=--=- 因为，则，解得. ()()//2a kc b a +- ()()24352k k +=-+1613k =-18. 已知幂函数的图象经过点 ()()()12*m m f x x m -+=∈N (（1）试求的值并写出该幂函数的解析式.m （2）试求满足的实数的取值范围.()()13f a f a +>-a 【答案】（1），1m =()12f x x =（2）13a <£【解析】【分析】（1）将点代入函数解析式即可求出参数m 的值和该幂函数的解析式；(（2）根据函数的定义域和单调性，即可利用不等式求的取值范围.a 【小问1详解】，所以， ()122m m -+=()1212m m -+=所以，解得或，又，所以，22m m +=1m =2m =-*m ∈N 1m =则该幂函数的解析式为. ()12f x x =【小问2详解】的定义域为，且在上单调递增，()f x [)0,∞+[)0,∞+则有，解得，103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩13a <£所以的取值范围为.a 13a <£19. 某学校1000名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…第五组，右图是按上述分组方[)13,14[)14,15[]17,18法得到的频率分布直方图．（1）请估计学校1000名学生中，成绩在第二组和第三组的人数；（2）请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）．【答案】（1）540；（2）平均数15.70；中位数15.74.【解析】【分析】（1）根据频率直方图求出第二组和第三组的频率，进而求第二组和第三组的人数；（2.【小问1详解】成绩在第二组和第三组的频率，0.160.380.54+=所以学校1000名学生中成绩在第二组和第三组的人数：．10000.54540⨯=【小问2详解】 样本数据的平均数：， 13.50.0614.50.1615.50.3816.50.3217.50.0815.70x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=中位数：第一二组的频率为．10.0610.160.225⨯+⨯=<0.第一二三组的频率为，10.0610.1610.380.65⨯+⨯+⨯=>0.所以中位数一定落在第三组，设中位数为x ，则，解得. ()10.0610.16150.385x ⨯+⨯+-⨯=0.29915.7419x =≈20. 设函数. ()()22log 2log 16x f x x =⋅（1）解方程；()60f x +=（2）设不等式的解集为，求函数的值域.23224+-≤x x x M ()()f x x M ∈【答案】（1）或2x =4x =（2） 25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）化简，由解得可得答案； ()f x ()222log 3log 4=--x x ()60f x +=2log x （2）利用指数函数的单调性解不等式求出，化简，令，转化M ()()222log 3log 4=--f x x x 2log t x =为，再根据抛物线的性质和的范围可得答案. ()234=--g t t t t 【小问1详解】()()()()()222222log 2log log log 161log log 4=+⋅-=+⋅-f x x x x x ，()222log 3log 4x x =--由得，解得或，()60f x +=()222log 3log 20x x -+=2log 1x =2log 2x =所以或.2x =4x =所以方程的解是；()60f x +=2x =4x =【小问2详解】由得，即，解得，， 23224+-≤x x x 26422+-≤x x x 264+≤-x x x 14x ≤≤{}|14M x x =≤≤，()()()()2222222log 2log log log 16log 3log 4=+⋅-=--f x x x x x 令，所以， 2log t x =02t ≤≤则为开口向上对称轴为的抛物线， ()223253424⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭g t t t t 32t =因为，所以， 02t ≤≤()2544g t -≤≤-所以函数的值域为. ()()f x x M ∈25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦21. 工业废气在排放前需要过滤．已知在过滤过程中，废气中的某污染物含量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系式为（e 为自然对数的底数，为污染物的初始含0()e ktP t P =0P量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的． 45（1）求函数的关系式；()P t （2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少需过滤几小时？（参考：） 1100lg 20.3≈【答案】（1） 04()5t P t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）20【解析】【分析】（1）由得出，进而得出函数的关系式； 00e 45k P P =e 45k =()P t （2）由对数的运算解不等式即可. 24105t -⎛⎭≤⎫ ⎪⎝【小问1详解】因为过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的，所以，即. 4500e 45k P P =e 45k =故 ()000e 45()ekt k t t P t P P P ⎛⎫== =⎪⎝⎭【小问2详解】 由，得， ()00415100t P t P P ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭24105t-⎛⎭≤⎫ ⎪⎝两边取10为底的对数，，整理得， 32lg 210t ≤-(13lg 2)2t -≥，因此，至少还需过滤20小时. 0.12,20t t ∴⨯≥≥22. 已知函数是偶函数. 2()log 22x x k f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求实数k 的值；（2）当时，方程有实根，求实数m 的取值范围；0x ≥()f x x m =+（3）设函数，若函数只有一个零点，求实数n 的取值范围. ()2()log 22x g x n n =⋅-()()()x f x g x ϕ=-【答案】（1）1k =（2） (0,1]（3）或 {|1n n >n =【解析】 【分析】（1）根据是偶函数，列出方程，即可求解；()f x （2）当时，由，转化为在上有解，设0x ≥21log (2)2x x x m +=+21log (1)4xm =+[0,)+∞，结合指数函数的性质，即可求解； 21()log (1)4xh x =+（3）把函数只有一个零点，转化为只有一个解，令()()()x f x g x ϕ=-2(1)(2)2210x x n n --⋅-=（），得到有且仅有一个正实数根，分，和，三种情况讨2x t =0t >2(1)210n t nt ---=1n =1n >1n <论，即可求解.【小问1详解】解：因为是偶函数，所以， 2()log (22xx k f x =+()()f x f x -=即，解得. 221()log (2)log (2)()22x x x x k f x k f x ---=+=+⋅=1k =【小问2详解】解：当时，方程有实根，即， 0x ≥()f x x m =+21log (2)2x x x m +=+即，即在上有解，设21log (2)2x x m x =+-22211log (2)log 2log (124x x x x m =+-=+[0,)+∞， 21()log (1)4x h x =+因为，所以，所以， 0x ≥11124x <+≤0()1h x <≤所以实数的取值范围为.m (0,1]【小问3详解】解：函数只有一个零点，()()()x f x g x ϕ=-则关于的方程只有一个解，x 22log (22)log (41)x x n n x ⋅-=+-所以方程只有一个解，即，2222x x x n n -⋅-=+2(1)(2)2210x x n n --⋅-=令（），则有且仅有一个正实数根.2x t =0t >2(1)210n t nt ---=①当，即时，此方程的解为，不满足题意； 10n -=1n =12t =-②当，即时，，， 10n ->1n >244(1)0n n ∆=+->12101x x n =-<-此时方程有一个正根和一个负根，故满足题意；③当，即时，要使方程只有一个正根， 10n -<1n <2(1)210n t nt ---=令， ()2(1)21h t n t nt =---因为，要使得函数与 轴的正半轴只有一个公共点，()010h =-<()h x x 则满足，解得()()2Δ44102021n n n n ⎧=+-=⎪⎨>⎪-⎩n =综上，实数的取值范围为或. n {|1n n >n =。
辽宁省高一上学期数学期末考试试卷
辽宁省高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·湘潭月考) 已知集合，则（）A .B .C .D .【考点】2. （2分） (2020高一上·鱼台月考) 设集合，则（）A . {1}B . {1，2}C . {0，1，2，3}D . {－1，0，1，2，3}【考点】3. （2分） (2019高一上·温州期中) 下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（）A .B .C .D .【考点】4. （2分） (2019高一上·咸阳月考) 下列命题中正确命题的个数是（）①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【考点】5. （2分） (2019高一上·杭州期中) 函数的定义域是（）A .B .C .D .【考点】6. （2分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是CD上的动点，则直线B1P与直线BC1所成的角等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°【考点】7. （2分） (2020高二上·宣城期中) 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为（）A .B .C .D .【考点】8. （2分）“a，b为异面直线”是指：①，且a与b不平行；②a平面，b平面，且；③a平面，b平面，且；④a平面，b平面；⑤不存在平面，能使a且b成立。
上述结论中，正确的是A . ①④⑤正确B . ①⑤正确C . ②④正确D . ①③④正确【考点】9. （2分） (2020高二上·上海期中) 如果平面直角坐标系内的两点关于直线对称，那么直线的方程为（）A .B .C .D .【考点】10. （2分） (2019高一上·吉林月考) 设，，是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，给定下列命题：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中为真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4【考点】11. （2分） (2020高一下·曲周开学考) 过点，且与原点距离最大的直线方程是（）A .B .C .D .【考点】12. （2分） (2018高二上·哈尔滨月考) 已知点，若直线过点与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（）A .B .C .D .【考点】二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·衢州期中) 已知直线经过点，，则 =________，直线与直线垂直的充要条件是 =________．【考点】14. （1分） (2019高一下·苏州月考) 如果角的两边与角的两边分别平行，则的大小是________.【考点】15. （1分） (2017高二上·武清期中) 与点P（3，﹣2）关于直线x﹣1=0对称的点的坐标是________．【考点】16. （1分） (2020高一下·北京期中) 复数在复平面中所对应的点到原点的距离是________.【考点】三、解答题 (共4题；共30分)17. （5分） (2020高二上·温州期末) 如图，正方形所在平面，M是的中点，二面角的大小为 .（1）设l是平面与平面的交线，证明；（2）在棱是否存在一点N，使为的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求长.【考点】18. （5分） (2019高三上·吴中月考) 如图，在三棱锥中，．为的中点，为上一点，且平面．求证：（1）直线平面；（2）平面平面．【考点】19. （10分）已知O为坐标原点，斜率为2的直线l与两坐标轴分别交于A，B两点，|AB|=2．求直线l 的方程．【考点】20. （10分）求直线3x﹣2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距．【考点】参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、略考点：解析：略答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共30分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：。
辽宁省辽阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题
A. 每十万人中拥有高中（含中专）文化程度地人数最少 B. 每十万人中拥有大专及以上文化程度的人数少于 2 万 C. 每十万人中拥有小学文化程度地人数最多 D. 每十万人中拥有初中和高中（含中专）文化程度地人数占比不到 50% 【结果】B
3. 函数 y 7 x ln x 4 地定义域为（ ）
7 【结果】 0.7 ##
10
16. 已知幂函数 f x 地图象过点 2,16 ,则 f x ______, f x 1 f 3x 1 地解集为______.
【结果】 ①. x4 ②. , 0 1,
四，解答题：本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 求值：
【结果】 log1 x （结果不唯一)
2
r
14. 若向量 a 3,1 , b 2, 4 , c 25,10 ,则 3a 2b c ______.
【结果】13
15. 甲､乙､丙三名运动员地投篮命中率分别为 0.8､0.6 和 0.5 ,现甲､乙､丙三名运动员各投篮一次,则至少有
两人命中地概率为___________.
甲
26
37
29
36
34
30
乙
32
28
37
33
27
35
有关这 6 次测试数据,下面表达正确地是（ ）
A. 甲地极差等于乙地极差
C. 甲地方差大于乙地方差
【结果】BCD
12.
设函数
f
x
x2 2x
4x, x a, x 1
1
,则（
）
A. 当 a 1时, f x 地值域为 (, 4]
B. 甲地平均数等于乙地平均数 D. 选派乙去参加比赛比较合适
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2012～2013学年度上学期高一期末考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.设全集U=M ∪N={1，2，3，4，5}，M ∩N C U =｛2，4｝，则N= ( ) A {1,2,3} B {1,3,5} C {1,4,5} D {2,3,4}2.圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程为 （ ）A 1)2(22=-+y x B 1)2(22=++y xC 1)3()1(22=-+-y xD 22(1)(2)1x y -+-=3.已知四边形的斜二测画法的直观图是一边长为1正方形，则该四边形的的面积等于（ ） A 1 B 22 C42D 2 4.3log 21=a ，2log 31=b ，3.0)21(=c ，则 （ ）A a <b <cB a <c <bC b <c <aD b <a <c5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是 （ ） A π220 B π225 C π50 D π2006.点),4(a A 和),5(b B 的直线与直线0=+-m y x 平行，则AB 的值为 （ ） A 6 B 2 C 2 D 不确定7.若函数)12(log )(23-+=x ax x g 有最大值1，则实数a 的值等于 （ ）A 21-B 41C 41- D 48. 直线03=-+m y x 与圆122=+y x 在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是 （ ） A )2,1( B )3,3( C )3,1( D )2,3(9.下列命题中正确命题的个数是 （ ） ⑴如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直; ⑵过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直;⑶如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体; ⑷方程05222=--+y y x 的曲线关于y 轴对称A 0B 1C 2D 310.过直线:l y x =上的一点P 做圆2)1()5(22=-+-y x 的两条切线1l 、2l ，A 、B 为切点，当直线1l 、2l 关于直线l 对称时，∠APB 等于 （ ） A ︒30 B ︒45 C ︒60 D ︒9011. ⎩⎨⎧++-++=2222)(22x x x x x f 00<≥x x ，若()()4342>+-f a a f ，则a 的取值范围是( ) A (1,3) B (0,2) C (-∞,0)∪(2,+∞) D (-∞,1)∪(3,+∞) 12. 如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=AB,C ∈β, D ∈β, DA ⊥AB, CB ⊥AB, BC=8, AB=6, AD=4, 平面α有一动点P 使得∠APD=∠BPC ，则△PAB 的面积最大值是 ( ) A 24 B 32 C 12 D 48二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知A （1，1）B （-4，5）C （x,13）三点共线，x=_____ 14. 点（2，3，4）关于x 轴的对称点的坐标为_____ 15. 已知二次函数342)(2+-=x x x f ，若)(x f 在区间[1,2+a a ]上不单调，则a 的取值范围是______16. 若),(11y x A ，),(22y x B 是圆422=+y x 上两点，且∠AOB=︒120，则2121y y x x +=____三 解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．（Ⅰ）证明AP O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．18.（本小题满分12分）一个几何体的三视图如右图所示，已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一（第12题图）BA个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形。
⑴求该几何体的体积V ； ⑵求该几何体的表面积S 。
19. （本小题满分12分）直线l ：10-=kx y 与圆C ：04222=-+++y mx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线02:=+y x m 对称， ⑴求直线l 截圆所得的弦长；⑵直线:35n y x =-，过点C 的直线与直线l 、n 分别交于P 、Q 两点，C 恰为PQ 的中点，求直线PQ 的方程。
20. （本小题满分12分）已知二次函数)(x f y =的图象与函数12-=x y 的图象关于点P(1,0)成中心对称， ⑵ 数)(x f 的解析式；⑵是否存在实数m 、n ，满足()f x 定义域为[m,n]时，值域为[m,n]，若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由。
21. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，M 、NC 1A13俯视图左视图主视图分别为B A 1和11C B 的中点，(1)求证：直线MN ∥平面C C AA 11； ⑵若B A 1⊥C B 1，1A N ⊥11B C ， 求证: C B 1⊥1AC 。
22. （本小题满分12分）矩形PQRS 的两条对角线相交于点M(1,0)，PQ 边所在的直线方程为x-y-2=0，原点O(0,0)在PS 边所在直线上，⑵ 矩形PQRS 外接圆的方程； ⑵设A(0,t),B(0,t+6) (-5≤t ≤-2),若⑴的圆是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值。
2012~2013学年度上学期期末考试高一数学参考答案1B 2A 3B 4A 5C 6B 7C 8 D 9 B 10C 11D 12C13 、-14 14 、)4,3,2(-- 15 、)21,0( 16 、-2 17. （Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．于是180OPA OMA ∠+∠=°．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形四点APOM 的对角互补，所以AP O M ，，，共圆．共（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A P O M ，，，四点圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°18.解：由已知，该几何体是平行六面体⑴ 侧视图长为3 ∴几何体的高为3 ∴3311=⨯⨯=V⑵几何体左右两个侧面的高为()21322=+，则326221231211+=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=S19. 解：（1） m l ⊥ ∴1)21(-=-⨯k ∴2=k ∴l ：0102=--y x)1,2(--m C 在m 上，0)1(22=-+-m，4-=m ，则)1,2(-C ，3=r 设C 到l 的距离为d ，则()()5121012222=-+---⨯=d ，2222=-=d r MN ，∴弦长为4；⑵设),(b a P ，则)2,4(b a Q ---，又l P ∈，n Q ∈，则有⎩⎨⎧--=---=5)4(32102a b a b 解之得⎩⎨⎧-=-=121b a )12,1(--P 311)1(2)12(1=-----=PQ K ，直线PQ 的方程为)2(3111-=+x y即025311=--y x20. 解：（1）在)(x f y =上任取点),(y x ，则),2(y x --在12-=x y 上，则有A1)2(2--=-x y ，即1)2(2+--=x y ∴1)2()(2+--=x x f⑵假设存在实数m 、n ，满足题意 1)(≤x f ∴12n ≤<,∴)(x f 在区间[],m n 上是单调递增函数则x x f =)(有两个不等实根m 、n ，即0332=+-x x 有两个不等实根m 、n 033432<-=⨯-=∆，方程无解。
∴不存在21. 解：（1）连接1AB ，则M 为1AB 中点，又N 为11C B 中点，MN ∥1AC1AC ⊂平面C C AA 11，MN ⊄平面C C AA 11，∴直线MN ∥平面C C AA 11⑵ 1111C B A BB 平面⊥∴⊥B B 1N A 1 111C B N A ⊥,∴111BCC B N A 平面⊥∴C B N A 11⊥ C B A 11B ⊥,∴BN A C B 11平面⊥11MN A BN B C MN ⊂∴⊥又平面 ∴11AC C B ⊥22. 解： ⑴由已知111-=∴-=⋅=PR PR PQ PQ k k k k 又x y l PR =∴: ， 又02:=--y x l PQ )1,1(-∴P 则1==PM r∴圆的方程为1)1(22=+-y x⑵设t kx y l AC+=:即0=+-t y kx 由已知112=++k tk t t k 212-=∴t x tt y l AC+-=21:2同理)6()6(2)6(1:2++++-=t x t t y l BC 联立得)6(1)6(2+++=t t t t x⋅-+=∴])6[(21t t S )6(1)6(2+++t t t t =)6(1)6(6+++t t t t =)6(116++t t]5,9[9)3()6(252--∈-+=+∴-≤≤-t t t t 91)6(151-≤+≤-∴t t ∴≤427)6(116++t t 215≤当3-=t 时，S 有最小值427； 当5-=t 时，S 有最小值215.。