导数在研究函数中的应用测试题
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D.极小值 ，无极大值
6已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A -1＜a＜2 B -3＜a＜6
C a＜-1或a＞2 D a＜-3或a＞6
7（改编题）函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，
则函数 在开区间 内有极小值点（）
A. 个B. 个C. 个D. 个
12【答案】C.
【解析】因为y′= -2cosx，所以令y′= -2cosx>0，得cosx< ，此时原函数是增函数；令y′= -2cosx<0，得cosx> ，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得C正确.
二填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上）
13【答案】
【解析】因为 ,所以
当 ［1， ］时， ．
∴函数 在 上是增函数．
∴ ．
∵ ，且 ， ．
①当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在［1， ］上是增函数，
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，
又 ，∴ 不合题意．
②当1≤ ≤ 时，
若1≤ ＜ ，则 ，
若 ＜ ≤ ，则 ．
∴函数 在 上是减函数，在 上是增函数．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，
又1≤ ≤ ，∴ ≤ ≤ ．
∴当x∈（－1，0）时， ＜0，当x∈（0，＋∞）时， ＞0．
∴当 时， ≥ ，即 ≥0，∴ ．
综上可知，当 时，有 ．
【挑战能力】
1【解析】（1）∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
∵ 是函数 的极值点，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．
经检验当 时， 是函数 的极值点，
∴ ．
（2）对任意的 都有 ≥ 成立等价于对任意的 都有 ≥ ．
8（原创题）函数 的最小值为（）
A. B. C. D.
9已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c( )
A有最大值 B有最大值－
C有最小值 D有最小值－
10已知函数 在区间 上的最大值为 ,则a等于( )
A. B. C. D. 或
11（原创题）半径为5的半圆有一内接矩形，当周长最大时其边长等于( )
★3两县城A和B相聚20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对称A和城B的总影响度为.
C充要条件D既不充分也不必要条件
2（原创题）函数 单调递增区间是（）
A. B. C. D.
3已知函数 在 上是单调函数,则实数 的
取值范围是（）
A. B.
C. D.
4对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（）
A. B.
C. D.
5函数 有（）
A.极大值 ，极小值
B.极大值 ，极小值
C.极大值 ，无极小值
（1）求 的解析式；（2）求 的单调递增区间.
18(本小题10分)已知函数 在 与 时都取得极值
(1)求 的值与函数 的单调区间
(2)若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
20 (本小题10分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
A. 和 B. 和 C. 和 D.以上都不对
12（2011·山东高考）函数y= -2sinx的图象大致是( )
二填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上）
13（原创题）.函数 的单调递增区间是______________.
14函数 在 时有极值 ，那么 的值分别为________.
③当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在 上是减函数．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，
又 ，∴ ．
综上所述， 的取值范围为 ．
2【解析】:(1) 因为 是函数 的一个极值点,
所以 ,即 所以
(2)由(1)知,
当 时,有 当x变化时， 与 的变化如下表:
故有上表知,当 时, 在 单调递减,在 单调递增,在
上单调递减.
所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈［0,21］.
（2）根据（1），我们有f′(x)=-18x2+252x-432
=-18(x-2)(x-12).
故x＝12时，f(x)达到极大值11 664，
因为f(0)=9 072，f(12)=11 664，
所以定价为30－12＝18元时能使一个星期的商品销售利润最大.
导数在研究函数中的应用测试题
导数在研究函数中的应用测试题
一选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1若函数f(x)在R上是一个可导函数，则f′(x)＞0在R上恒成立是f(x)在区间(-∞,+∞)内递增的( )
A充分不必要条件B必要不充分条件
⑴求函数f(x)的单调区间；
⑵当 时，若 ，证明： ．
【挑战能力】
★1已知函数 ， ，其中 ．
（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；
（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 ≥ 成立，
求实数 的取值范围
2已知 是函数 的一个极值点,其中
(1)求m与n的关系式;
(2)求 的单调区间;
(3)当 时,函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
1【答案】A.
【解析】当f′(x)＞0在R上恒成立时，f(x)递增，反之，f(x)递增时，f′(x)≥0.
2【答案】C
【解析】令
3【答案】B
【解析】
在 恒成立，
4【答案】C
【解析】当 时， ，函数 在 上是增函数；当 时， ， 在 上是减函数，故 当 时取得最小值，即有
得
5【答案】C
【解析】 ，当 时， ；当 时，
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由.
导数在研究函数中的应用测试题答案
一选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
;当 时, ,所以当 时,V取最大值.
三解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17【解析】：（1） 的图象经过点 ，则 ，
切点为 ，则 的图象经过点
得
（2）
单调递增区间为
18【解析】：（1）
由 ， 得
，函数 的单调区间如下表：
极大值
极小值
所以函数 的递增区间是 与 ,递减区间是 ；
9【答案】B
【解析】.由f(x)在[－1,2]上是减函数，知
f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0，x∈[－1,2]，
则
15＋2b＋2c≤0 b＋c≤－ .
10【答案】C
【解析】当 时,最大值为4,不合题意,当 时, 在 上时减函数,
最大, ,解得 ,或 (舍去).
11【答案】B
【解析】设矩形的一边长为x，则另一边长为 ，则 ， ，令 ，解得 ， （舍去）.当 时, ,当 时, ,所以当 时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为 , .
14【答案】
【解析】
，当 时， 不是极值点
15【答案】 －1
【解析】f′(x)＝ ,当x> 时，
f′(x)<0，f(x)单调递减，当－ <x< 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x＝ 时，
f(x)＝ ， ＝ <1，不合题意.∴f(x)max＝f(1)＝ ，a＝ －1.
16【答案】 cm
【解析】设圆锥的高为x,则底面半径为 ,其体积为 , ,令 ,解得 (舍去).当 时,
20【解析】：⑴由原式得 ∴
⑵由 得 ,此时有 .
由 得 或x=-1 ,又
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为 最小值为
⑶解法一: 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得
即 ∴－2≤a≤2.
所以a的取值范围为[－2,2].
解法二:令 即 由求根公式得:
所以 在 和 上非负.
由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0,
15若函数f(x)＝ (a>0)在[1，＋∞)上的最大值为 ，则a的值为____________.
16（改编题）.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为________________.
三解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17 (本小题10分)已知 的图象经过点 ，且在 处的切线方程是
当 时， ； 取不到 ，无极小值
6【答案】D
【解析】.由题意：f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不等实根,
∴Δ=4a2-12(a+6)＞0,解得:a＜-3或a＞6.
7【答案】A
【解析】极小值点应有先减后增的特点，即
8【答案】A
【解析】令 ，当 时 ，；当 时， 所以 ，，在定义域内只有一个极值，所以
(3)由已知得 ,即
又 所以 ,即 …①
设 其函数开口向上,由题意知①式恒成立,
所以 ,即m的取值范围为
3【解析】：
（1）如右图,由题意知AC⊥BC, , ，
当垃圾处理厂建在弧AB的中点时,垃圾处理厂到A、B的距离都相等，
且为 ，所以有 ，
解得 ，
∴
（2）∵ = = ，
令 ，得 ，解得 ，即 ，
又因为 ，所以函数 在 上是减函数，
在 上是增函数，∴当 时，y取得最小值，
所以在弧AB上存在一点，且此点到城市A的距离为 ，使建在此处的垃圾
处理厂对城市A、B的总影响度最小.
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大
20（改编题）(本小题10分)已知a为实数， .
Байду номын сангаас⑴求导数 ；
⑵若 ，求 在[－2，2]上的最大值和最小值；
⑶若 在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围.
21 (原创题)(本小题12分)已知函数f(x)＝ln(x+1)－ax（a>0）
（2） ，当 时，
为极大值，而 ，则 为最大值，要使
恒成立，则只需要 ，得 .
20【解析】（1）设商品降低x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2)
又已知条件，24＝k·22，于是有k＝6，
从而x1≥-2, x2≤2,
即 解不等式组得－2≤a≤2.
∴a的取值范围是[－2,2].
21【解析】：⑴函数f(x)的定义域为 ． ＝ －a＝ . ,
当 ．
∴当x∈ 时，f(x)是增函数，即f(x)的单调递增区间为 ；
当x∈ 时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为 .
⑵证明：由⑴知，
令 ，则 ＝ ．
6已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A -1＜a＜2 B -3＜a＜6
C a＜-1或a＞2 D a＜-3或a＞6
7（改编题）函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，
则函数 在开区间 内有极小值点（）
A. 个B. 个C. 个D. 个
12【答案】C.
【解析】因为y′= -2cosx，所以令y′= -2cosx>0，得cosx< ，此时原函数是增函数；令y′= -2cosx<0，得cosx> ，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得C正确.
二填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上）
13【答案】
【解析】因为 ,所以
当 ［1， ］时， ．
∴函数 在 上是增函数．
∴ ．
∵ ，且 ， ．
①当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在［1， ］上是增函数，
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，
又 ，∴ 不合题意．
②当1≤ ≤ 时，
若1≤ ＜ ，则 ，
若 ＜ ≤ ，则 ．
∴函数 在 上是减函数，在 上是增函数．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，
又1≤ ≤ ，∴ ≤ ≤ ．
∴当x∈（－1，0）时， ＜0，当x∈（0，＋∞）时， ＞0．
∴当 时， ≥ ，即 ≥0，∴ ．
综上可知，当 时，有 ．
【挑战能力】
1【解析】（1）∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
∵ 是函数 的极值点，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．
经检验当 时， 是函数 的极值点，
∴ ．
（2）对任意的 都有 ≥ 成立等价于对任意的 都有 ≥ ．
8（原创题）函数 的最小值为（）
A. B. C. D.
9已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c( )
A有最大值 B有最大值－
C有最小值 D有最小值－
10已知函数 在区间 上的最大值为 ,则a等于( )
A. B. C. D. 或
11（原创题）半径为5的半圆有一内接矩形，当周长最大时其边长等于( )
★3两县城A和B相聚20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对称A和城B的总影响度为.
C充要条件D既不充分也不必要条件
2（原创题）函数 单调递增区间是（）
A. B. C. D.
3已知函数 在 上是单调函数,则实数 的
取值范围是（）
A. B.
C. D.
4对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（）
A. B.
C. D.
5函数 有（）
A.极大值 ，极小值
B.极大值 ，极小值
C.极大值 ，无极小值
（1）求 的解析式；（2）求 的单调递增区间.
18(本小题10分)已知函数 在 与 时都取得极值
(1)求 的值与函数 的单调区间
(2)若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
20 (本小题10分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
A. 和 B. 和 C. 和 D.以上都不对
12（2011·山东高考）函数y= -2sinx的图象大致是( )
二填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上）
13（原创题）.函数 的单调递增区间是______________.
14函数 在 时有极值 ，那么 的值分别为________.
③当 且 ［1， ］时， ，
∴函数 在 上是减函数．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，
又 ，∴ ．
综上所述， 的取值范围为 ．
2【解析】:(1) 因为 是函数 的一个极值点,
所以 ,即 所以
(2)由(1)知,
当 时,有 当x变化时， 与 的变化如下表:
故有上表知,当 时, 在 单调递减,在 单调递增,在
上单调递减.
所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈［0,21］.
（2）根据（1），我们有f′(x)=-18x2+252x-432
=-18(x-2)(x-12).
故x＝12时，f(x)达到极大值11 664，
因为f(0)=9 072，f(12)=11 664，
所以定价为30－12＝18元时能使一个星期的商品销售利润最大.
导数在研究函数中的应用测试题
导数在研究函数中的应用测试题
一选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1若函数f(x)在R上是一个可导函数，则f′(x)＞0在R上恒成立是f(x)在区间(-∞,+∞)内递增的( )
A充分不必要条件B必要不充分条件
⑴求函数f(x)的单调区间；
⑵当 时，若 ，证明： ．
【挑战能力】
★1已知函数 ， ，其中 ．
（1）若 是函数 的极值点，求实数 的值；
（2）若对任意的 （ 为自然对数的底数）都有 ≥ 成立，
求实数 的取值范围
2已知 是函数 的一个极值点,其中
(1)求m与n的关系式;
(2)求 的单调区间;
(3)当 时,函数 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.
1【答案】A.
【解析】当f′(x)＞0在R上恒成立时，f(x)递增，反之，f(x)递增时，f′(x)≥0.
2【答案】C
【解析】令
3【答案】B
【解析】
在 恒成立，
4【答案】C
【解析】当 时， ，函数 在 上是增函数；当 时， ， 在 上是减函数，故 当 时取得最小值，即有
得
5【答案】C
【解析】 ，当 时， ；当 时，
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由.
导数在研究函数中的应用测试题答案
一选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
;当 时, ,所以当 时,V取最大值.
三解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17【解析】：（1） 的图象经过点 ，则 ，
切点为 ，则 的图象经过点
得
（2）
单调递增区间为
18【解析】：（1）
由 ， 得
，函数 的单调区间如下表：
极大值
极小值
所以函数 的递增区间是 与 ,递减区间是 ；
9【答案】B
【解析】.由f(x)在[－1,2]上是减函数，知
f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0，x∈[－1,2]，
则
15＋2b＋2c≤0 b＋c≤－ .
10【答案】C
【解析】当 时,最大值为4,不合题意,当 时, 在 上时减函数,
最大, ,解得 ,或 (舍去).
11【答案】B
【解析】设矩形的一边长为x，则另一边长为 ，则 ， ，令 ，解得 ， （舍去）.当 时, ,当 时, ,所以当 时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为 , .
14【答案】
【解析】
，当 时， 不是极值点
15【答案】 －1
【解析】f′(x)＝ ,当x> 时，
f′(x)<0，f(x)单调递减，当－ <x< 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x＝ 时，
f(x)＝ ， ＝ <1，不合题意.∴f(x)max＝f(1)＝ ，a＝ －1.
16【答案】 cm
【解析】设圆锥的高为x,则底面半径为 ,其体积为 , ,令 ,解得 (舍去).当 时,
20【解析】：⑴由原式得 ∴
⑵由 得 ,此时有 .
由 得 或x=-1 ,又
所以f(x)在[－2,2]上的最大值为 最小值为
⑶解法一: 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得
即 ∴－2≤a≤2.
所以a的取值范围为[－2,2].
解法二:令 即 由求根公式得:
所以 在 和 上非负.
由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0,
15若函数f(x)＝ (a>0)在[1，＋∞)上的最大值为 ，则a的值为____________.
16（改编题）.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为________________.
三解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17 (本小题10分)已知 的图象经过点 ，且在 处的切线方程是
当 时， ； 取不到 ，无极小值
6【答案】D
【解析】.由题意：f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不等实根,
∴Δ=4a2-12(a+6)＞0,解得:a＜-3或a＞6.
7【答案】A
【解析】极小值点应有先减后增的特点，即
8【答案】A
【解析】令 ，当 时 ，；当 时， 所以 ，，在定义域内只有一个极值，所以
(3)由已知得 ,即
又 所以 ,即 …①
设 其函数开口向上,由题意知①式恒成立,
所以 ,即m的取值范围为
3【解析】：
（1）如右图,由题意知AC⊥BC, , ，
当垃圾处理厂建在弧AB的中点时,垃圾处理厂到A、B的距离都相等，
且为 ，所以有 ，
解得 ，
∴
（2）∵ = = ，
令 ，得 ，解得 ，即 ，
又因为 ，所以函数 在 上是减函数，
在 上是增函数，∴当 时，y取得最小值，
所以在弧AB上存在一点，且此点到城市A的距离为 ，使建在此处的垃圾
处理厂对城市A、B的总影响度最小.
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大
20（改编题）(本小题10分)已知a为实数， .
Байду номын сангаас⑴求导数 ；
⑵若 ，求 在[－2，2]上的最大值和最小值；
⑶若 在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围.
21 (原创题)(本小题12分)已知函数f(x)＝ln(x+1)－ax（a>0）
（2） ，当 时，
为极大值，而 ，则 为最大值，要使
恒成立，则只需要 ，得 .
20【解析】（1）设商品降低x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2)
又已知条件，24＝k·22，于是有k＝6，
从而x1≥-2, x2≤2,
即 解不等式组得－2≤a≤2.
∴a的取值范围是[－2,2].
21【解析】：⑴函数f(x)的定义域为 ． ＝ －a＝ . ,
当 ．
∴当x∈ 时，f(x)是增函数，即f(x)的单调递增区间为 ；
当x∈ 时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为 .
⑵证明：由⑴知，
令 ，则 ＝ ．