平面的基本性质与推论

异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托, 异面直 线不同在任何一个平面的特点.
a
b
b
a
b
a
直线和平面位置关系的符号表示. （1）点A在平面α内，记作A∈α，点B不
在平面α内，记作B α；
（2）直线l在平面α内，记作l α，直线m
不在平面α内，记作m α；
（3）平面α与平面β相交于直线l，记作 α∩β=l；
证明：由已知AB的延长线交 平面α于点P，根据公理3， 平面ABC与平面α必相交于 一条直线，设为l，
∵ P∈直线AB，P∈面ABC，又直线AB∩ 面α=P，∴ P∈面α. ∴ P是面ABC与面α的公共点，
∵ 面ABC∩面α=l，∴P∈l，
同理，Q∈l，R∈l，
∴ 点P、Q、R在同一条直线 l上.
C A
B
解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平 面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在 平面α内， ( 点A、点C都在平面α内，) 直线AC 在平面α内（公理1）.
例3．（1）不共面的四点可以确定几个
平面？
4个
（2）三条直线两两平行，但不共面，它
们可以确定几个平面？ 3个
（3）共点的三条直线可以确定几个平面？
文字语言 :经过两条相交直线，有且只有一 个平面.
图形语言： a是任意一条直线
符号语言： b是任意一条直线
a∩b=A a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
（2）推论3： 文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一 个平面.
图形语言：
符号语言：a，b是两条直线
a//b a，b共面于平面α，且α是惟一的 .
平面的公共点，线是这两个平面的公共交 线，则这点在线上.
因此它还是证明点共线或线共点，并 且作为画截面的依据.
二. 平面基本性质的推论
（1）推论1： 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一 点，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：a是任意一条直线
点A a
a与A共属于平面α且平面α惟一 .
（2）推论2：
②图形语言：
③符号语言： P∈(α∩β) α∩β=l
P∈l.
如何理解公理3？ (1) 公理3反映了平面与平面的位置关系， 只要“两面共一点”，就有“两面共一线， 且过这一点，线惟一”. (2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平 面，只要他们有公共点，它们就是相交的 位置关系，交集是一条直线.
(3) 公理3的作用: 其一判定两个平面是否相交; 其二可以判定点在直线上. 点是某两个
三、异面直线
m
m
P
l
l
图1
图2
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交， 也不平行。空间中直线之间的这种关 系称为异面直线。
1、异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异 面直线。（既不相交也不平行的两条直线）
mβ
m
判断：
l
α
l
(1)图中直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则a与b是异面直线吗？
(3) a,b不同在平面α内,则a与b是异面吗？
（2）公理1可以用来检验某一个面是否为 平面，检验的方法为：把一条直线在面内 旋转，固定两个点在面内后，如果其他点 也在面内，则该面为平面。
2．公理2： ①文字语言：经过不在同一条直线上的三 点，有且只有一个平面，也可以说成不共 线的三点确定一个平面。
②图形语言：
③符号语言：A、B、C三点不共线，有且 只有一个平面α，使得A∈α，B∈α， C∈α.
课时小结
• 平面的基本性质及其推论 • 上述公理和定理的用途 • 对公理和定理的应用
作业： P38 练习A 6 练习B 6、7
A, B,C不共线 A, B,C确定一平面
如何理解公理2？ (1)公理2是确定平面的条件. (2)深刻理解“有且只有”的含义，这里的
“有”是说平面存在，“只有”是说平面 惟一，“有且只有”强调平面存在并且惟 一这两方面.
公理2的作用有两个： （1）确定平面 （2）证明点、线共面
3. 公理3： ①文字语言：如果不重合的两个平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过这个 点的公共直线.
又∵D1F 平面BED1F，P在平面BED1F
内.
AD 平面ABCD，P∈
平面ABCD，
D1
C1
又B为平面ABCD与平 A1
面BED1F的公共点， F D ∴连结PB，PB 即为
平面BED1F 与平面 ABCD的交线.
P
A
B1 E C
B
D1 A1 FD A P
C1 B1 E
C B
例5. 如图所示，已知△ABC的三个顶点都 不在平面α内，它的三边AB、BC、AC延长 线后分别交平面α于点P、Q、R， 求证：点P、Q、R在同一条直线上.
一．平面的基本性质：
1．公理1： ①文字语言：如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内 ； ②图形语言：
③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α
AB α.
练习：
（1）
A B
（2） l , Al
AB
。
A
。
公理1的作用有两个：（1）作为判断和证 明直线是否在平面内的依据，即只需要看 直线上是否有两个点在平面内就可以了；
1个Leabharlann Baidu3个
例4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平 面BED1F与平面ABCD的交线.
解：在平面AA1D1D 内， D1 延长D1F，∵ D1F与DA A 1 不平行，因此D1F与DA 必相交于一点，设为P， F D
C1 B1 E
C
A
B
P
则P∈D1F，P∈DA ，
（4）直线l和m相交于点A，记作l∩m={A}, 简记为l∩m=A.
例1．如图，平面ABEF记作α，平面
ABCD记作β，根据图形填写： （1）A∈α，B ∈α，E ∈α，
C α，D α；
（2）A∈β，B ∈β，C ∈β，
D ∈ β，E β，F β；
（3）α∩β= AB ；
例2．如图中△ABC，若AB、BC 在平面 α内，判断AC 是否在平面α内？