数据结构回溯法求装载问题概论

数据结构与算法分析回溯法求解装载问题回溯法求解装载问题一、方法一般原理基本思想：在回溯法中,每次扩大当前部分解时，都面临一个可选的状态集合，新的部分解救通过在该集合中进行选择结构而成的。

这样的状态集合，结构上是一颗多叉树，每个树结点代表一个可能的部分解，她的儿子是在他的基础上生成其他部分解。

树根为初始状态。

这样的状态集合，称为状态空间树。

回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式。

每前进一部，都试图在当前部分解的基础上扩大该部分解。

它在问题的状态空间树中，从开始结点（根结点）出发，一深度优先搜索整个状态空间。

这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。

在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移动一个新的结点。

这个新的结点为新的活结点，并成为当前的中结点。

如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前的扩展结点就成为死结点。

此时，应往回移动（回溯）至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。

回溯法以这种工作方式递归地在状态空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中以无活结点时为止。

回溯法与穷举法有某些联系，他们都是基于试探。

穷举法要将一个解的各个部分全都生成后，才检查是否满足条件，若不满足，则直接放弃该完整解、然后再尝试另一个可能的完整解，没有沿着一个可能的完整解的各个部分逐步回退生成解的过程。

而对于回溯法，一个解的各个部分是逐步生成的，当发现当前生成的某部分不满足约束条件，就放弃该部所做的工作，退到上一步进行新的尝试，而不是放弃整个解重来。

一般来说，回溯法要比穷举法效率高一些。

可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。

其中Si是分量xi的定义域，且|Si|有限，i=1，2，…，n。

我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。

解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。

但显然，其计算量是相当大的。

我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j（j<i）元组（x1，x2，…，xj）一定也满足D中仅涉及到x1，x2，…，xj的所有约束，i=1，2，…，n。

换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及到x1，x2，…，xj的约束之一，则以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）一定也违反D中仅涉及到x1，x2，…，xi的一个约束，n≥i>j。

因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。

回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。

回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。

树T类似于检索树，它可以这样构造：设Si中的元素可排成xi (1)，xi (2)，…，xi (mi-1)，|Si| =mi，i=1，2，…，n。

从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。

这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权xi+1 (1)，xi+1 (2)，…，xi+1 (mi)，i=0，1，2，…，n-1。

照这种构造方式，E中的一个n元组（x1，x2，…，xn）对应T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1，x2，…，xn，反之亦然。

另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x1，x2，…，xn）的一个前缀I元组（x1，x2，…，xi）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1，x2，…，xi，反之亦然。

特别，E中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。

因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1，x2，…，xn满足约束集D的全部约束。

在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（x1i）、前缀2元组（x1，x2）、…，前缀I元组（x1，x2，…，xi），…，直到i=n为止。

在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P 的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。

二、描述问题有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱i的重量为，且，要求确定是否有一个合理的装载方案可将这n个集装箱装上这2艘轮船。

如果有，请给出该方案。

三、由原理得到的算法、算法的复杂度、改进1、可得算法回溯法解装载问题时，用子集树表示解空间最合适。

void Backtrack(int t){if(t>n)Output(x);else{for(int i=0; i<z; i++){x[t] = i;if(Constraint(t) && Bound(t))Backtrack(t+1);}}}Maxloading调用递归函数backtrack实现回溯。

Backtrack（i）搜索子集树第i层子树。

i>n时，搜索至叶节点，若装载量>bestw，更新bestw。

当i<=n时，扩展节点Z是子集树内部节点。

左儿子节点当cw+w[i]<=c时进入左子树，对左子树递归搜索。

右儿子节点表示x[i]=0的情形。

2、时间复杂度Backtrack动态的生成解空间树。

每个节点花费O（1）时间。

Backtrack执行时间复杂度为O(2n)。

另外Backtrack还需要额外O(n)递归栈空间。

3、可能的改进可以再加入一个上界函数来剪去已经不含最优解的子树。

设Z是解空间树第i层上的一个当前扩展结点，curw是当前载重量，maxw是已经得到的最优载重量，如果能在当前结点确定curw+剩下的所有载重量≤maxw 则可以剪去些子树。

所以可以引入一个变量r表示剩余的所有载重量。

虽然改进后的算法时间复杂度不变，但是平均情况下改进后算法检查结点数较少。

进一步改进：（1）首先运行只计算最优值算法，计算最优装载量，再运行backtrack算法，并在算法中将bestw置为W，在首次到叶节点处终止。

（2）在算法中动态更新bestw。

每当回溯一层，将x[i]存入bestx[i].从而算法更新bestx所需时间为O(2n)。

四、算法实现int Backtrack(int i)//搜索第i层节点{int j_index; //如果到达叶结点，则判断当前的cw，如果比前面得到的最优解bestw好，则替换原最优解。

if(i>n){if(cw>bestw){for(j_index=1; j_index<=n; j_index++)bestx[j_index]=x[j_index]; bestw=cw;}return 1;} //搜索子树r-=w[i];if(cw+w[i]<=c)//搜索左子树,如果当前剩余空间可以放下当前物品也就是，cw + w[ i ] <= c{x[i]=1;cw+=w[i];//把当前载重cw += w[ i ]Backtrack(i+1);//递归访问其左子树，Backtrack( i + 1 ) cw-=w[i];/ /访问结束，回到调用点，cw - = w[ i ]}if(cw+r>bestw)//搜索右子树{x[i]=0;Backtrack(i+1);}r+=w[i];}int maxloading(int mu[],int c,int n,int *mx){loading x;x.w=mu;x.x=mx;x.c=c;x.n=n;x.bestw=0;x.cw=0;x.Backtrack(1);return x.bestw;}五、总结由此，我们可以总结出回溯法的一般步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

通过DFS思想完成回溯，完整过程如下：(1)设置初始化的方案（给变量赋初值，读入已知数据等）。

(2)变换方式去试探，若全部试完则转(7)。

(3)判断此法是否成功（通过约束函数），不成功则转(2)。

(4)试探成功则前进一步再试探。

(5)正确方案还未找到则转(2)。

(6)已找到一种方案则记录并打印。

(7)退回一步（回溯），若未退到头则转(2)。

(8)已退到头则结束或打印无解。

可以看出，回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。

但是，对于可以得出明显的递推公式迭代求解的问题，还是不要用回溯法，因为它花费的时间比较长。

附录（源码）#INCLUDE<STDLIB.H>#INCLUDE<STDIO.H>#INCLUDE<IOSTREAM.H>TYPEDEF INT S TATUS;TYPEDEF INT T YPE;INT N=0;//集装箱数T YPE *X=(T YPE*)MALLOC((50)*SIZEOF(T YPE));//当前解T YPE *BESTX=(T YPE*)MALLOC((50)*SIZEOF(T YPE));//当前最优解T YPE C=0,//第一艘轮船的载重量CW=0,//当前载重量BESTW=0,//当前最优载重量R=0,*W=(T YPE*)MALLOC((50)*SIZEOF(T YPE));//集装箱重量数组INT B ACKTRACK(INT I)//搜索第I层节点{INT J_INDEX;//如果到达叶结点，则判断当前的CW，如果比前面得到的最优解BESTW好，则替换原最优解。

IF(I>N){IF(CW>BESTW){FOR(J_INDEX=1; J_INDEX<=N; J_INDEX++)BESTX[J_INDEX]=X[J_INDEX]; BESTW=CW;}RETURN 1;}//搜索自树R-=W[I];IF(CW+W[I]<=C)//搜索左子树,如果当前剩余空间可以放下当前物品也就是，CW + W[ I ]<= C{X[I]=1;CW+=W[I];//把当前载重CW += W[ I ]B ACKTRACK(I+1);//递归访问其左子树，B ACKTRACK( I +1)CW-=W[I];//访问结束，回到调用点，CW -= W[ I ]}IF(CW+R>BESTW)//搜索右子树{X[I]=0;B ACKTRACK(I+1);}R+=W[I];}T YPE*I NITIATE(){INT INDEX=1;PRINTF("输入集装箱个数：");SCANF("%D",&N);PRINTF("输入轮船载重量：");SCANF("%D",&C);WHILE(INDEX<=N)//数组从1号单元开始存储{PRINTF("输入集装箱%D的重量：",INDEX);SCANF("%D",&W[INDEX]);INDEX++;}BESTW =0;CW =0;R =0;FOR(INDEX =1;INDEX <= N; INDEX++)R += W[INDEX];//初始时R为全体物品的重量和PRINTF("N=%D C=%D CW=%D BESTW=%D R=%D\N",N,C,CW,BESTW,R); FOR(INDEX=1;INDEX<=N;INDEX++){PRINTF("W[%D]=%D ",INDEX,W[INDEX]);}PRINTF("\N");RETURN W;}INT MAIN(){INT I;I NITIATE();//计算最优载重量B ACKTRACK(1);FOR(I=1;I<=N;I++){PRINTF("%D ",W[I]);PRINTF("%D\N",BESTX[I]);}RETURN BESTW;}结果图货物的总重量为48，轮船的总重量为34，所以所用货物都装上了轮船。