数据结构回溯法求装载问题概论

数据结构与算法分析回溯法求解装载问题

回溯法求解装载问题

一、方法一般原理

基本思想：在回溯法中,每次扩大当前部分解时，都面临一个可选的状态集合，新的部分解救通过在该集合中进行选择结构而成的。这样的状态集合，结构上是一颗多叉树，每个树结点代表一个可能的部分解，她的儿子是在他的基础上生成其他部分解。树根为初始状态。这样的状态集合，称为状态空间树。

回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式。每前进一部，都试图在当前部分解的基础上扩大该部分解。它在问题的状态空间树中，从开始结点（根结点）出发，一深度优先搜索整个状态空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移动一个新的结点。这个新的结点为新的活结点，并成为当前的中结点。如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前的扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在状态空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中以无活结点时为止。

回溯法与穷举法有某些联系，他们都是基于试探。穷举法要将一个解的各个部分全都生成后，才检查是否满足条件，若不满足，则直接放弃该完整解、然后再尝试另一个可能的完整解，没有沿着一个可能的完整解的各个部分逐步回退生成解的过程。而对于回溯法，一个解的各个部分是逐步生成的，当发现当前生成的某部分不满足约束条件，就放弃该部所做的工作，退到上一步进行新的尝试，而不是放弃整个解重来。一般来说，回溯法要比穷举法效率高一些。

可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且|Si|有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，

xi）满足D中仅涉及到x1，x2，…，xi的所有约束意味着j（jj。因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及x1，x2，…，xj的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。

回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树，它可以这样构造：设Si中的元素可排成xi (1)，xi (2)，…，xi (mi-1)，|Si| =mi，i=1，2，…，n。从根开始，让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权xi+1 (1)，xi+1 (2)，…，xi+1 (mi)，i=0，1，2，…，n-1。照这种构造方式，E中的一个n元组（x1，x2，…，xn）对应T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1，x2，…，xn，反之亦然。另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x1，x2，…，xn）的一个前缀I元组（x1，x2，…，xi）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1，x2，…，xi，反之亦然。特别，E中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1，x2，…，xn满足约束集D的全部约束。在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（x1i）、前缀2元组（x1，x2）、…，前缀I元组（x1，x2，…，xi），…，直到i=n为止。

在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结

点被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P 的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。

二、描述问题

有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船，其中集装箱

i的重量为，且，要求确定是否有一个合理的装载方案可将这n个集装箱装上这2艘轮船。如果有，请给出该方案。

三、由原理得到的算法、算法的复杂度、改进

1、可得算法回溯法解装载问题时，用子集树表示解空间最合适。

void Backtrack(int t)

{

if(t>n)

Output(x);

else

{

for(int i=0; i

{

x[t] = i;

if(Constraint(t) && Bound(t))

Backtrack(t+1);

}

}

}

Maxloading调用递归函数backtrack实现回溯。Backtrack（i）搜索子集树第i层子树。i>n时，搜索至叶节点，若装载量>bestw，更新bestw。

当i<=n时，扩展节点Z是子集树内部节点。左儿子节点当cw+w[i]<=c时进入左子树，对左子树递归搜索。右儿子节点表示x[i]=0的情形。

2、时间复杂度

Backtrack动态的生成解空间树。每个节点花费O（1）时间。Backtrack执行