初中数学竞赛复杂图形的比例与面积

复杂图形的比例与面积

基础知识：

1.三角形面积由两个因素决定：底和高

两个三角形，底相等，面积比等于高的比；

两个三角形，高相等，面积比等于底的比。

2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，

（1）；

（2）；

（3）。

3.如图，在梯形ABCD中，存在以下关系：

（1）左、右部分的面积相等，即S3＝S4；

（2）S1︰S2︰S3︰S4＝

4.燕尾定理：

在三角形中，AD，，相交于同一点，那么.

例1.图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的

长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?

[答疑编号505721470101]

【答案】22.5

【解答】△ABD， ABC等高，所以面积的比为底的比，

有,所以180＝90（平方厘米）.

同理有（平方厘米），

×30＝22.5（平方厘米）.

即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.

例2.如图1，5个正方形拼在一起，图中三角形ABC部分的面积是60，则正方形的边长是.

[答疑编号505721470102]

【答案】10

【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD，它们的高的比是3:2，因此

三角形BCD 的面积是.于是三角形ACD的面积是60＋40＝100.

注意ACD的底边是小正方形边长的2倍，而高就是小正方形的边长，所以它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是100，所以小正方形的边长

就是10（因为10×10＝100）.

例3.如图2，在15个小正方形拼成的长方形中，三角形ABC的面积是120（其中C是大长方形的对角线与B所在竖线的交点）.那么小正方形的边长是.

[答疑编号505721470103]

【答案】10

【解答】如下图，三角形ABC与三角形BCD的底边都是BC，而高的比是3∶2，

所以三角形BCD 的面积是，那么三角形ABD的面积就是

120＋80＝200。

三角形ABD的面积是大三角形ADG的面积减去三角形ABE、长方形BEGF、

三角形BDF的面积，也就是等于个小正方形的面积，因

此每个小正方形的面积是200÷2＝100，那么边长为10。

例4.如图，四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么4个小三角形中最大的一个三角形的面积是多少公顷?

[答疑编号505721470104]

【答案】21

【解答】

,所以，三角形ABO的面积是18公顷，三角形BOC的面积是21公顷.所以，最大的三角形的面积为21公顷.

例5.已知ABCD是一个梯形，BO＝3OD，AD＝4，S△ABO＝12，则梯形的高是多少？

梯形的下底BC是多少？

[答疑编号505721470105]

【答案】12

【解答】由于△ABO和△AOD是等高的三角形，并且BO＝3OD，可得S△ABO＝3S△AOD，

因此S△AOD＝4，这样S△ABD＝12＋4＝16。换一个角度去观察钝角三角形ABD，将

AD作为它的底，将B作为它的顶点。从而根据S△ABD＝16和AD＝4可知△ABD在

底边AD上的高为16×2÷4＝8，而这个高也是梯形的高。

由于△ABC和△DBC是同底等高的三角形，所以S△ABC＝S△DBC，从而S△ABO＝S△DOC ＝12。由于△DOC和△OBC是等高的三角形，并且BO＝3OD，可得S△OBC＝3S△DOC，

因此S△OBC＝36，这样S△DBC＝12＋36＝48。

下面可以用两种方法去求BC的长度，如果把AD看成△ABD的底边，把BC 看成△DBC的底边，那么△ABD和△DBC是等高的，由于S△DBC是S△ABD的3倍，所

以BC＝3AD，从而BC＝12。

或者可以利用梯形面积的计算公式去求BC的长度，由于梯形的面积＝4＋12＋12＋36＝64，梯形的高为8，梯形的上底AD＝4，

于是下底BC＝64×2÷8－4＝12。

例6.如图，ABCD是梯形，三角形ADE面积是1.8，三角形ABF的面积是9，三角形BCF的面积是27.那么阴影部分面积是多少？

[答疑编号505721470106]

【答案】4.8

【解答】设△ADF的面积为“上”，△BCF的面积为“下”，

△ABF的面积为“左”，△DCF的面积为“右”.

左＝右＝9；上×下＝左×右＝9×9＝81，而下＝27，所以上＝81÷27＝3.

△ADE的面积为1.8，那么△AEF的面积为1.2，

则EF：DF ＝：＝1.2：3＝0.4.

△CEF与△CDF的面积比也为EF与DF的比，

所以有S△ACE ＝0.4×＝0.4×（3＋9）＝4.8.

即阴影部分面积为4.8.

例7.如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC＝2DE，F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?

[答疑编号505721470107]

【答案】

【解答】如下图，连接FC，△DBF、△BFG的面积相等，设为x平方厘米，

△FGC、△DFC的面积相等，设为y平方厘米，那么△DEF 的面积为y平方厘米.

＝2x＋2y＝1，＝x ＋y ＝l×＝.

所以有.

比较②、①式，②式左边比①式左边多2x，②式右边比①式右边大0.5，

有2x＝0.5，即x＝0.25,y＝0.25.

而阴影部分面积为y ＋y ＝×0.25＝平方厘米.