初中数学竞赛复杂图形的比例与面积
中考数学解题技巧14：初中数学解题技巧面积比例问题
已知抛物线 y ax2 bx 3 经过点 A(1,0) 和点 B(3,0) ，与 y 轴交于点C ，点 P 为第二象限
内抛物线上的动点． （1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图，连接 OP 交 BC 于点 D ，当 SCPD : SBPD 1: 2 时，请求出点 D 的坐标．
y
SDAC 2SDCM ？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．
M
【分析】
B
（1）设顶点式，代入 A 点坐标，可得解析式为： y x2 2x 8 ．
C
当 x=3 时，y=5，故点 B 坐标为（3,5），∴直线 AB 的解析式为：y=2x-1． O
x
A
（2）铅垂法表示△ACD 的面积：
4
42
（2）考虑△AOC 和△BCD 并无太多关联，并且△AOC 是确定的三角形，面积可求，故可
通过面积比推导△BCD 的面积．
S
AOC
=
1 2
2
6=6
，
S
BCD
3S 4
AOC
36 4
9 2
，
此问题变为面积定值问 题，就不难了．
【小结】利用面积比计 算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的 方法即可解决问题．
如图抛物线经 y ax2 bx c 过点 A(1,0) ，点 C(0,3) ，且OB OC ．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 P 为抛物线上一点，连接 CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为 3:5 两部分，求 点 P 的坐标．
y
【分析】
C
（1）解析式为 y x2 2x 3 ，对称轴为直线 x=1．
S
MCD
初中数学竞赛：图形与面积(含例题练习及答案)
初中数学竞赛：图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。
如：正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积；2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；3．平行四边形的对角线平分它的面积；4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）；3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系；4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分，如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三 角形面积的41。
另外，先将三角形△ABC 的面积2等分（如右上图），即取BC 的中点D ，连接AD ，则S △ABD=S △ADC ，然后再将这两个小三角形分别2等分，分得的4个小三角形各自的面积为原来大三角形面积的41。
还 有许多方法，如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单的容易求出面积的图形，分别求出面积。
也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空白处的面积，就是六边形的面积。
八年级竞赛辅导之图形的面积
八年级数学竞赛辅导之面积问题平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有： 1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题． 3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化．4．等比法：将面积比转化为对应线段的比． 熟悉以下基本图形中常见的面积关系：注 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等．等比定理：同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比．1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花 株． 2．直角三角形斜边上中线长为1，周长为.3．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝135°，∠B =∠D =90°，BC =23，AD =2，则四边形ABCD 的面积为( )A ．42B ．43C ．4D ．6 (2001年湖北省荆州市中考题) 4．ABCD 是边长为1的正方形，△BPC 是等边三角形，则厶BPD 的面积为( )A ．41B ．413-C ．81D ．8132- (2001年武汉市选拔赛题)5．有一块缺角矩形地皮ABCDE (如图)，其中AB ＝110m ，BC =80m ，CD =90m ，∠EDC =135°．现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是( ) 6．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案．7．如图，已知梯形ABCD 的面积为34cm 2，AE =BF ，CE 与DF 相交于O ，△OCD 的面积为11cm 2，求蝶形(阴影部分)的面积．8．探究规律：如图a ，已知：直线m ∥ n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点． (1)请写出图a 中，面积相等的各对三角形 ；(2)如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有 与△ABC 的面积相等．理由是： ． 解决问题：如图b ，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图c 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c 中折线CDE )还保留着．张大爷想过正点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．(不计分界小路与直路的占地面积) (1)写出设计方案，并在图c 中画出相应的图形； (2)说明方案设计理由． (2003年河北省中考题)9．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 ． (全国初中数学联赛试题)10．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连结AF 、CE ，设AF 与CE 的交点为G ，则AB C D A G C D S S 矩形四边形等于( ) A ．65 B ．54 C ．43 D ．32第9题图 第10题图11．已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是( ) A ．165° D ．135° C ． 150° D ．120° (“希望杯”邀请赛试题)12．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 的中点分别为K 、M ，求证：S 四边形ABCD =S △ABM +S △DCK ．13.如图，设G (也称重心)为△ABC 三条中线AD 、BE 、CF 的交点，则2===GFCGGE BG GD AG ，请读者证明．（14题图）14. 如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE =6，那么△ABC 的面积等于( )A ．12B ．14C ．16D ．18(全国初中数学联赛试题) 15. 如图甲，AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 分别表示△DMC 、△DAC 、△DBC的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC =2DBCDAC S S ∆∆+·(1)如图乙，若图甲中AB 不平行CD ，①式是否成立?请说明理由；(2)如图丙，若图甲中A 月与CD 相交于点O 时，问S △DMC 和S △DAC 和S △DBC 有何种相等关系?试证明你的结论． (2001年安徽省中考题)16．已知凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为S 1=5，S 2=10，S 3=6．求△ABO 的面积17．如图2-129，AD ，BE ，CF 交于△ABC 内的一点P ，并将△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC 的面积．18.如图1，在直角坐标系中，点A是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y =（0x >）上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会（ A ．逐渐增大 B ．不变 C ．逐渐减小 D ．先增大后减小19．(2009·牡丹江)如图2，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ． 20.（2009莆田）在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 ． 21．在直角三角形ABC 中，∠A =90°，AD ，AE 分别是高和角平分线，且△ABE ，△AED 的面积分别为S 1=30，S 2=6，求△ADC 的面积S ．22．如图，△ABC 的面积为1，分别延长AB 、BC 、CA 到D 、E 、F ，使AB =BD ，BC =CE ，CA =AF ，连DE 、EF 、FD ，求△DEF 的面积。
面积与面积解题——初一数学竞赛系列讲座(3)
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饼 例２ 如图４１， （）在半径为４ｍ的圆０ ｃ
ｉ 一
中， ＡＢ 弦 上Ｃ 于 Ｎ ， Ｄ ＡＢ， Ｄ 把 圆分 成 四块 ， Ｃ 圆心
０ 落在 ｆ块 中 ，Ｍ上Ｃ 于 Ｍ ， ｏＭ一１ｃ 点 Ｍ Ｏ Ｄ 且 ｍ，
１ ．平行 该 底边 上 ｈ（ ｈ为
的高 ）
２ 三角形面积 一去ｎ （ ． ；ｎ为三角形的底边长， ｈ为该底边上的高） ３ ．梯形面积一去（ ＋ｂｈ—ｍｈ 口６ｍ分别为上底、 口 ） ；（，， 下底、 中位
线 的长 ， ｈ为高 ） ４ ．圆的 面积 一 ７ ；ｒ 圆 的半径 ） ｃ （为 ５ ．扇 形面 积 一 ．（ 为 圆的半 径 ， 为扇形 的 圆心 角的度 数 ） ｒ
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，
解 得 ， 一 １ 故 ５ ｅ 一 ． △
，
Ｋ △ ｓ 眦 一 ，则 ５ ｃ Ｈ 一 ２ △ ，５ ｎ Ｈ ＝ 一 ．由 ５ 一 △ｅ ＝ ＝ △
２ ＡＢ 得 方 程 一 一 ２× ３ ． 得 ， 一 １ 故 ，ＦＨ ＝ ５ 一 Ｓ ＣＨ 解 ５６ ＝ △ ＝
复杂图形的比例与面积
复杂图形的比例与面积基础知识：1.三角形面积由两个因素决定：底和高两个三角形，底相等，面积比等于高的比；两个三角形，高相等，面积比等于底的比。
2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，（1）；（2）；（3）。
3.如图，在梯形ABCD中，存在以下关系：（1）左、右部分的面积相等，即S3＝S4；（2）S1︰S2︰S3︰S4＝4.燕尾定理：在三角形中，AD，，相交于同一点，那么.例1.图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?[答疑编号505721470101]【答案】22.5【解答】△ABD， ABC等高，所以面积的比为底的比，有,所以180＝90（平方厘米）.同理有（平方厘米），×30＝22.5（平方厘米）.即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.例2.如图1，5个正方形拼在一起，图中三角形ABC部分的面积是60，则正方形的边长是.[答疑编号505721470102]【答案】10【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD，它们的高的比是3:2，因此三角形BCD 的面积是.于是三角形ACD的面积是60＋40＝100.注意ACD的底边是小正方形边长的2倍，而高就是小正方形的边长，所以它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是100，所以小正方形的边长就是10（因为10×10＝100）.例3.如图2，在15个小正方形拼成的长方形中，三角形ABC的面积是120（其中C是大长方形的对角线与B所在竖线的交点）.那么小正方形的边长是.[答疑编号505721470103]【答案】10【解答】如下图，三角形ABC与三角形BCD的底边都是BC，而高的比是3∶2，所以三角形BCD 的面积是，那么三角形ABD的面积就是120＋80＝200。
三角形ABD的面积是大三角形ADG的面积减去三角形ABE、长方形BEGF、三角形BDF的面积，也就是等于个小正方形的面积，因此每个小正方形的面积是200÷2＝100，那么边长为10。
初一数学竞赛专讲第⑹讲含例题及答案：图形与面积
3．在右图的4×7的方格纸板上画有如阴 影所示的“6”字，阴影边缘是线段或圆孤。
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问：阴影面积占纸板面积的几分之几？ 4．在右下图中，六边形ABCDEF的面积是
54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的 面积。
解：由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半
圆周所围成，所以其周长为
说明：实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的 周长也正好等于大半圆的半圆周。 推而广之，若n个小圆的直径之和等于大圆的直径，即：d1+d2+d3+…+dn=D， 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即 πd1+πd2+πd3+…+πdn=π（d1+d2+d3+…+dn）=πD。 例8 某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示（图形阴影部分）的三种标点符 号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。若均匀用料，则 哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？
例12 已知右图中正方形的面积是12cm2，求图中里外两个 圆的面积。
分析：计算圆面积，要知道半径。先考虑内圆面积。内圆 的直径与正方形的边长相等，但正方形的边长是未知的。根据 已知正方形的面积是12cm2，可以推出内圆直径的平方为12cm2， 再求内圆面积就不难了。 外圆的直径是正方形的对角线，设外圆半径为R，则正方形面积等于由一条对角线 分成的两个等腰直角三角形的面积之和。再由正方形面积=2R×R÷2×2=2R2，2R2=12， 便可求出外圆面积。 解：设内圆半径为r，由正方形面积为12cm2，正方形边长为2r，得 （2r）2=12，r2=3。
初中数学知识归纳线段比例与面积比例的计算方法
初中数学知识归纳线段比例与面积比例的计算方法初中数学知识归纳：线段比例与面积比例的计算方法数学是一门重要而实用的学科，而在初中阶段，学生们需学习掌握许多基础的数学知识。
本文旨在归纳和介绍初中数学中关于线段比例与面积比例的计算方法，帮助学生更好地理解和应用这些知识。
一、线段比例的计算方法在线段比例的计算中，我们常常遇到要求求解一个线段的分点坐标，或者给定两线段的比例，求解另一线段的长度或坐标的情况。
以下是一些常见的线段比例计算方法：1. 一分点坐标的计算当我们已知某个线段AB上一分点M，且已知A、B两点的坐标时，可以通过计算求出M点的坐标。
设A坐标为(x₁, y₁)，B坐标为(x₂,y₂)，M坐标为(x, y)，则根据分点公式可得：x = (x₁ + x₂) / 2y = (y₁ + y₂) / 2通过这个计算方法，我们即可求得M点的坐标。
2. 两线段比例的计算当我们已知两个线段AB和CD的比例，要求求解线段CD的长度时，可以利用线段的长度比例与坐标的比例相同的性质。
设已知AB与CD的比例为m:n，即AB/CD = m/n，如果两线段的起点坐标已知，可以按照下面的计算方法求解：设A坐标为(x₁, y₁)，B坐标为(x₂, y₂)，C坐标为(x₃, y₃)，D坐标为(x₄, y₄)。
首先计算线段AB的长度为L₁，可以使用勾股定理计算：L₁ = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]根据线段长度比例与坐标的比例相同的性质，可以得到CD的长度L₂为：L₂ = L₁ × (n / m)通过这个计算方法，我们可以方便地求解出CD的长度。
二、面积比例的计算方法在计算面积比例时，常常遇到的问题包括已知两个图形的面积比例，求另一图形的面积，或是已知图形的某一边的比例，求另一图形对应边的比例等。
以下是一些常见的面积比例计算方法：1. 面积比例的计算当我们已知两个图形的面积比例为m:n时，可以利用面积与边长平方成比例的性质计算。
八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法
八年级数学竞赛例题专题讲解：面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于( )A．3：1 B．2：1C．3：2 D．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.求证：（1）；（2）.（南京市竞赛试题）解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，且（是正数），求四边形EFGH的面积．（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：(1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比；(2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；(3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．能力训练1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，则CE＝__________.（南宁市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题） 4. 在△ABC中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，则(＋＋)的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题） 6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是 ( )．A. B.C.D.（湖北省黄冈市竞赛试题）第5题图第6题图第7题图7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )．A．2 B. C.3 D.8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是( )．A.+=B.+=C.+= D．+=9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，，，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：＋＋＝.请直接用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.（加拿大数学奥林匹克试题）12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.(1) 求△DEF与△ABC的面积比；(2) 求△PDF与△ADF的面积比；(3) 求多边形PDQERF与△ABC的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若，求的值．（上海市竞赛试题）14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：．（梅涅劳斯定理）15．如图，在△ABC中，已知，求的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。
初中数学重点梳理：面积问题与面积方法(二)
面积问题与面积方法知识定位能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。
知识梳理1、 等面积变化模型：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； （2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
中考数学压轴题之面积系列之比例四类问题，满分解题攻略
中考数学压轴题之面积系列之比例四类问题，满分解题攻略除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1））计算；（2）转化．本文结合2019年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．1.运用比例计算1.(2019陕西中考题，有删减)小结利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题．2.（2018绵阳中考题，有删减）小结再次转化为定值问题，事实教育我，关于面积的定值问题要好好练呐！3.(2019通辽中考题，有删减)2.转化面积比为底边比如图，B、D、C三点共线，考虑△ABD和△ACD面积之比．转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则S△ABD：S△ACD=BD：CD．更一般地，对于共边的两三角形△ABD和△ACD，连接BC，与AD 交于点E，则S△ABD：S△ACD=BM：CN=BE：EC4.(2019毕节中考题，有删减)5.（2019深圳中考题，有删减）3.面积比→底边比→其他线段比在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A”字型线段比、“8”字型线段比．“A”字型线段比：S△ABD：S△ACD=BD：DC=BA：AM．“8”字型线段比：S△ABD：S△ACD=BD：DC=BA：CM．以一例了解转化线段比之妙处：6.(2019连云港中考)7.(2019鞍山中考题，有删减)4.面积比化垂线比转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：S△ABD：S△ACD=BM：CN．8.(2019营口中考题，有删减）底边之比转化为垂线段之比：9.（2019常州中考题，有删减）方法总结：面积能算那就算，算不出来就转换．底边不行就作高，还有垂线和平行．（说明：本文部分内容源于刘岳的作品面积系列之比例分析，有问题留言，会及时处理）。
人大附中 华杯赛资料--《复杂图形的比例与面积(一)》配套练习题
hha《复杂图形的比例与面积（一）》配套练习题一、解答题1、如图所示，平行四边形ABCD中，AE＝EF＝FB．AG＝2CG，△GEF的面积是12cm2，平行四边形的面积是多少平方厘米？2、如图所示，小圆的是阴影部分，大圆的是阴影部分．则小圆阴影面积与大圆阴影面积的比是多少？3、如图所示，已知S△ABC＝110，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD＝3，BD＝8，AF＝FC，如果S四边形DBEF＝S△ABE，则S△ABE是多少？4、如图所示，已知CD＝5，DE＝8，EF＝10，FG＝6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是79，右边部分面积是110，那么△ADG的面积是多少？5、如图所示，直线CF与平行四边形ABCD的AB边交于E点，若△BEF的面积为1平方厘米，△ADE 的面积是多少平方厘米？6、如图所示，在△ABC中，D、E为AB、AC的三等分点，DF、EG垂直BC于F、G，矩形DEGF面积为24，那么△ABC面积为多少？7、如图所示，把△DEF的各边向外延长后得到△ABC，已知△ABC的面积为468，且CF＝FE，AD＝2DF，BE＝3ED，那么△DEF的面积是多少？8、如图所示，平行四边形ABCD，BE＝AB，CF＝2CB，GD＝3DC，HA＝4AD，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．9、如图所示，△ABC中，AF∶FB＝BD∶DC＝CE∶AE＝3∶2，且△GHI的面积是1，求△ABC的面积．10、如图所示，以△ABC的两条边为边长作两个正方形BDEC和ACFG．已知S△ABC∶S正方形BDEC＝4∶9，正方形BDEC与正方形ACFG的边长比是3∶5，那么，△CEF与整个图形面积的最简整数比是多少？答案部分一、解答题1、【正确答案】 108【答案解析】如图，连接GB．因为AE＝EF＝FB，所以S△AGB＝3S△GEF，所以△AGB的面积是12×3＝36（cm2）．因为AG＝2CG，所以S△AGB＝2S△GBC，所以△GBC的面积是36÷2＝18（cm2）．S平行四边形ABCD＝2S△ABC，也就是△AGB与△GBC面积和的2倍，所以平行四边形的面积是（36＋18）×2＝108（cm2）．【答疑编号10311918】2、【正确答案】 5∶16【答案解析】大圆面积×（1－）＝小圆面积×（1－），则：小圆面积∶大圆面积＝∶＝7∶18，则小圆阴影面积与大圆阴影面积的比是：（7×）∶（18×）＝5∶16．【答疑编号10311919】3、【正确答案】 80【答案解析】连接CD．因为AD＝3，BD＝8．所以S△ADC∶S△BDC＝AD∶BD＝3∶8．又因为S△ABC＝110，所以S△ADC＝110÷（3＋8）×3＝30．因为S四边形DBEF＝S△ABE，且它们共有部分四边形BDOE．所以S△EFO＝S△ADO，所以S△EFA＝S△ADF．因此这两个三角形的高相等，所以△ADC和△AEC的高相等，且这两个三角形的底都是AC，所以S△ADC＝S△ACE．所以S△ACE＝30．所以S△ABE＝110－30＝80．【答疑编号10311920】4、【正确答案】 120【答案解析】连接AF，BD．根据题意可知，CF＝5＋8＋10＝23；DG＝8＋10＋6＝24；所以，S△BEF＝S△CBF，S△BEC＝S△CBF，S△AEG＝S△ADG＝S△ADG，S△AED＝S△ADG＝S△ADG，于是：S△ADG＋S△CBF＝110；S△ADG＋S△CBF＝79；可得S△ADG＝120．故△ADG的面积是120．【答疑编号10311921】5、【正确答案】 1【答案解析】△BCF面积是平行四边形ABCD的一半，△ADE加上△BCE的面积也是平行四边形的一半．因此S△ADE＝S△BEF＝1．【答疑编号10311922】6、【正确答案】 54【答案解析】S△BDE＝S△DEF＝24÷2＝12，因为D是AB的三等分点，所以S△ABE＝12÷2×3＝18，因为E是AC的三等分点，所以S△ABC＝18×3＝54．【答疑编号10311923】7、【正确答案】 26【答案解析】设△DEF的面积为a．连接CD，由EF＝FC，得S△CDF＝S△DEF＝a；由AD＝2DF，得S△ADC＝2S△CDF＝2a；所以S△AFC＝S△CDF＋S△ADC＝a＋2a＝3a．同理，△ABD的面积是8a；△BEC的面积是6a．所以△ABC的面积是a＋3a＋8a＋6a＝18a．因此有：18a＝468，解得a＝26．【答疑编号10311924】8、【正确答案】 1∶18【答案解析】连接AC、BD、CE．因为AB＝BE，所以S△ABC＝S△CBE．又因为CF＝2BC，所以S△CFE＝2S△CBE．所以S△ABC∶S△FBE＝1∶（1＋2）＝1∶3，S△FBE＝3S△ABC．同理可得S△ABC∶S△GCF＝1∶8，S△GCF＝8S△ABC；S△ABC∶S△DHG＝1∶15，S△DHG＝15S△ABC；S△ABC∶S△AEH＝1∶8，S△AEH＝8S△ABC．所以S四边形EFGH＝S△AEH＋S△CFG＋S△DHG＋S△BEF＋S四边形ABCD＝8S△ABC＋8S△ABC＋15S△ABC＋3S△ABC＋2S△ABC＝36S△ABC．所以S四边形ABCD∶S四边形EFGH＝2S△ABC∶36S△ABC＝1∶18．【答疑编号10311925】9、【正确答案】 19【答案解析】连接BG，S△AGC＝6份根据燕尾定理：S△AGC∶S△BGC＝AF∶FB＝3∶2＝6∶4S△ABG∶S△AGC＝BD∶DC＝3∶2＝9∶6得S△BGC＝4（份），S△ABG＝9（份），则S△ABC＝19（份），因此S△AGC∶S△ABC＝6∶19，同理连接AI、CH得：S△ABH∶S△ABC＝6∶19，S△BIC∶S△ABC＝6∶19，所以S△GHI∶S△ABC＝（19－6－6－6）∶19＝1∶19，△GHI的面积是1，所以△ABC的面积是19．【答疑编号10311927】10、【正确答案】 2∶21【答案解析】在正方形BDEC中画弦图，如图所示，可知S△FEC＝FC×EM÷2，S△ABC＝CN×AC÷2，又因为AC＝FC，EM＝CN，所以S△EFC＝S△ABC．设正方形BDEC的边长为3，那么正方形ACFG的边长为5．那么有S正方形BDEC＝3×3＝9，S正方形ACFG＝5×5＝25．因为S△ABC∶S正方形BDEC＝4∶9，所以S△ABC＝9÷9×4＝4，整个图形的面积为25＋9＋4×2＝42．所以△CEF与整个图形面积的最简整数比是4∶42＝2∶21．【答疑编号10311931】实用文档21。
人大附中华杯赛资料：复杂图形的比例与面积
复杂图形的比例与面积基础知识：1.三角形面积由两个因素决定：底和高两个三角形，底相等，面积比等于高的比；两个三角形，高相等，面积比等于底的比。
2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，（1）；1（2）；（3）。
3.如图，在梯形ABCD中，存在以下关系：（1）左、右部分的面积相等，即S3＝S4；2（2）S1︰S2︰S3︰S4＝4.燕尾定理：3在三角形中，AD，，相交于同一点，那么4.例1.图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的5长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?[答疑编号505721470101]【答案】22.5【解答】△ABD， ABC等高，所以面积的比为底的比，6有,所以180＝90（平方厘米）.7同理有（平方厘米），×30＝22.5（平方厘米）.即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.8例2.如图1，5个正方形拼在一起，图中三角形ABC部分的面积是60，则正方形的边长是.[答疑编号505721470102]【答案】10【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD，它们的高的比是3:2，因此9三角形BCD的面积是.于是三角形ACD的面积是60＋40＝100.注意ACD的底边是小正方形边长的2倍，而高就是小正方形的边长，所以它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是100，所以小正方形的边长就是10（因为10×10＝100）.例3.如图2，在15个小正方形拼成的长方形中，三角形ABC的面积是120（其中C是大长方形的对角线与B所在竖线的交点）.那么小正方形的边长是.10[答疑编号505721470103]【答案】10【解答】如下图，三角形ABC与三角形BCD的底边都是BC，而高的比是3∶2，所以三角形BCD的面积是，那么三角形ABD的面积就是120＋80＝200。
三角形ABD的面积是大三角形ADG的面积减去三角形ABE、长方形BEGF、11三角形BDF的面积，也就是等于个小正方形的面积，因此每个小正方形的面积是200÷2＝100，那么边长为10。
八年级数学竞赛例题专题讲解23：面积的计算
专题23 面积的计算○阅 ○读 ○与 ○思 ○考计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：1.常见图形的面积公式；2．等积定理：等底等高的两个三角形面积相等； 3.等比定理：(1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.(2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方. 熟悉下列基本图形、基本结论：S 1S 4S 1S 2S 3S 1S 2S 3S 4S 2S 3S 1S 2S 3S 2S 1例 题 与 求 解【例1】如图，△ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD 的面积为x ，则x ＝________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.【例2】如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE ＝6，那么△ABC 的面积等于 ( ) (全国初中数学联赛)A ．12B ．14C ．16D ．18解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△ABC 与四边形BCDE 面积存在一定的关系.例1图1085F ABCD E【例3】如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使BE AB ＝CF BC ＝DGCD ＝AHDA＝m ，若S 四边形EFGH ＝2S 四边形ABCD ，求m 的值. 解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于m 的方程.【例4】如图，P ，Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，P A 与CQ 相交于点E ，且∠P AD＝∠QAD ，求证：S 矩形ABCD ＝S △APQ .解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化.【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，移动速度为每秒2个单位长度. 过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1) 求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少？ (江西省中考试题)例4图EABPCD 例3图BC DEF G A例2图DACE解题思路：对于(1)利用△ADE ∽△ABC 可得y 与x 的关系式；对于(2)先写出S 关于x 的函数关系式，再求最大值.【例6】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F . 求证：(1) PD AD ＋PE BE ＋PFCF＝1；(2)P A AD ＋PB BE ＋PC CF＝2 解题思路：过点A ，P 分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把P AAD转化为面积比，利用面积法证明.○能 ○力 ○训 ○练A 级1．如图， ABCD 中，AE ∶BE ＝1∶2，S △AEF ＝6cm 2，则S △CDF 的值为________. (济南市中考试题) 2．如图，正六边形ABCDEF 的边长为23cm ，P 为正六边形内任一点，则点P 到各边距离之和为_______.例6图ADFE例5图A BCDE3．如图，P 是边长为8的正方形ABCD 外一点，PB ＝PC ，△PBD 的面积等于48，则△PBC 的面积为_____________. (北京市竞赛试题)4．如图，已知△BOF ，△AOF ，△BOD ，△COE 的面积分别为30，40，35，84，则△ABC 的面积为________. (浙江省竞赛试题)5．如图，已知AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，DE 是Rt △ADC 斜边上的高，如果DC ∶AD ＝1∶2， S △DCE ＝a ，那么S △ABC 等于 ( ) (金华市中考试题)A ．4aB ．9aC ．16aD ．25a6．如图，已知M 是 ABCD 边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为（ ） （山西省中考试题）A ．16B ．14C ．13D ．5127．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若S △ADE ＝2S △DCE ，则S △ADES △ABC等于( )(浙江省宁波市中考试题) A ．14 B ．12 C ．23 D ．498．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，第6题图E ACDM第5题图EC第4题图OA DEF 第3题图APD第2题图BF第1题图FAD则图中阴影部分面积面积为（ ）cm 2. (广东省竞赛试题)A ．4B ．2 3C ．3 3D ．4 39．如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和 A ′B ′C ′D ′，且正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′在正方形ABCD 的中心，当正方形A ′B ′C ′D ′绕A ′ 转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值. 这个结论对吗？证明你的判断. （“希望杯”邀请赛试题）10．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB ，CD 的中点分别为K ，M .求证：S 四边形ABCD ＝S △ABM ＋S △DCK..11．如图1，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC ，S △DAC ，S △DBC 分别表示△DMC ，第10题图A BD K M 第9题图A BCDA'C'D'第8题图 HGF E B第7题图ABCD E△DAC ，△DBC 的面积，当AB ∥CD 时，有S △DMC ＝S △DAC ＋S △DBC2………..①.(1) 如图2，若图1中AB 与CD 不平行时，①式是否成立？请说明理由.(2) 如图3，若图1中AB 与CD 相交于点O 时， 问S △DMC 与S △DAC 和S △DBC 有何相等关系？试证明你的结论. （安徽省中考试题）图2图1图3O BCBA ADAMMM12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ′.(1) 如图1，当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ，证明：△A ′CD 是等边三角形；(2) 如图2，连接A ′A ，B ′B ，设△ACA ′和△BCB ′的面积分别为S △ACA ′和S △BCB ′.求证：S △ACA ′∶S △BCB ′＝1∶3.(3) 如图3，设AC 的中点为E ，A ′B ′的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝_____时，EP 长度最大，最大值是____________. （安徽省中考试题）θθθ图2图1图3DA CB A'ACA'A C B A'B'PB 级1．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7cm 2和11cm 2，则△CDE 的面积等于___________cm 2. （武汉市竞赛试题）2．如图，P 为正方形ABCD 内一点，P A ＝PB ＝10，并且P 到CD 边的距离也等于10，那么正方形ABCD 的面积是_______________. (北京市竞赛试题)3．如图，四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 上，DF FC ＝1，CEBE ＝2，若△ADF 的面积为m ，四边形AECF 的面积为n (n ＞m )，则四边形ABCD 的面积为___________. (全国初中数学联赛试题)4．如图，图形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 和BD 相交于点O ，若AC ＝5，BD ＝12，中位线长为132，△AOB 的面积为S 1，△OCD 的面积为S 2，则S 1＋S 2＝_________. (山东省竞赛试题)5．如图，分别延长△ABC 的三边AB ，BC ，CA 至A ′，B ′，C ′，使得AA ′＝3AB ，BB ′＝3BC ，CC ′＝3AC ，若S △ABC ＝1，则S △A ′B ′C ′等于 ( ).A ．18B ．19C ．24D ．27(山东省竞赛试题)6．如图，若ABCD 是2×2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于点I ，BD 和AF 相交于点H ，那么四边形BEIH 的面积是 ( )A ．13B ．52 C ．715 D ．815(江苏省竞赛试题)7．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的点，已知S △ABE ＝S △ADF ＝13S ABCD ，则S △AEF S △CEF 的值等于 ( ) (北京市竞赛试题)A ．2B ．3C ．4D ．5第7题图A BEF第6题图I H ABE第5题图B'C'A CB 第4题图OA B第3题图AD FE第2题图DP第1题图C D EFA8．(1) 探究：如图1，在 ABCD 的形外分别作等腰直角三角形ABF 和等腰直角三角形ADE ，∠F AB ＝∠EAD ＝90°，连接AC ，EF. 在图中找一个与△F AE 全等的三角形，并加以证明.(2) 应用：以 ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF ，GH ，IJ ，KL ，若 ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________. （长春市中考试题）图1图2A DCE K JGAD B CEF9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝DC ＝2cm ，BC ＝4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR ＝120°，底边QR ＝6cm ， 点B ，C ，Q ，R 在同一条直线l 上，且C ，Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/s 的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S cm 2.(1) 当t ＝4时，求S 的值；(2) 当4≤t ≤10时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值. (广州市中考试题)10．有一根直尺的短边长为2cm ，长边长为10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm ，如图1将直尺的短边DE 放置与直角三角纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合 将直尺沿AB 方向平移，如图2，设平移的长为x cm(0≤x ≤10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积S cm 2.(1) 当x ＝0时，S ＝________，当10 x 时，S ＝________； (2) 当0＜x ≤4时，求S 关于x 的函数关系式；(3) 当4＜x ＜10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值. (徐州市中考试题)图1图2FGFC C第9题图ADPB C(Q)R11．如图，设H 是等腰三角形ABC 的三边上的高线的交点，在底边BC 保持不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时HBC ABC S S ∆∆⋅的值变大、变小、还是不变?证明你的结论. (全国初中数学联赛试题)12．(1) 请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(2) 如图2，点M 是矩形ABCD 内一定点，请你在图2中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(3) 如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ，OB ＝6，BC ＝4，CD ＝4. 开发区综合服务管理会(其占地面积不计)设在点P (4，2)处. 为了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分. 你认为直线l 是否存在?若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由. (陕西省中考试题)xy图1图2图3OC D DCAMDCPB第11题图H DE F A11 / 11。
复杂图形的比例与面积
复杂图形的比例与面积基础知识：1.三角形面积由两个因素决定：底和高两个三角形，底相等，面积比等于高的比；两个三角形，高相等，面积比等于底的比。
2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，（1）；（2）；（3）。
3.如图，在梯形ABCD中，存在以下关系：（1）左、右部分的面积相等，即S3＝S4；（2）S1︰S2︰S3︰S4＝4.燕尾定理：在三角形中，AD，，相交于同一点，那么.例1.图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?[答疑编号505721470101]【答案】22.5【解答】△ABD， ABC等高，所以面积的比为底的比，有,所以180＝90（平方厘米）.同理有（平方厘米），×30＝22.5（平方厘米）.即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.例2.如图1，5个正方形拼在一起，图中三角形ABC部分的面积是60，则正方形的边长是.[答疑编号505721470102]【答案】10【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD，它们的高的比是3:2，因此三角形BCD 的面积是.于是三角形ACD的面积是60＋40＝100.注意ACD的底边是小正方形边长的2倍，而高就是小正方形的边长，所以它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是100，所以小正方形的边长就是10（因为10×10＝100）.例3.如图2，在15个小正方形拼成的长方形中，三角形ABC的面积是120（其中C是大长方形的对角线与B所在竖线的交点）.那么小正方形的边长是.[答疑编号505721470103]【答案】10【解答】如下图，三角形ABC与三角形BCD的底边都是BC，而高的比是3∶2，所以三角形BCD 的面积是，那么三角形ABD的面积就是120＋80＝200。
三角形ABD的面积是大三角形ADG的面积减去三角形ABE、长方形BEGF、三角形BDF的面积，也就是等于个小正方形的面积，因此每个小正方形的面积是200÷2＝100，那么边长为10。
利用面积比例解决图形问题
利用面积比例解决图形问题在数学中，图形问题一直是学生们头疼的难题之一。
不仅需要具备几何知识，还需要灵活运用数学思维和推理能力。
然而，利用面积比例可以成为解决图形问题的一种简单而有效的方法。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个矩形ABCD，其中AB = 4cm，BC = 6cm。
现在，我们需要找到一个与矩形ABCD相似的矩形EFGH，使得EF =8cm。
我们可以利用面积比例来解决这个问题。
首先，我们知道相似图形的对应边长之比等于对应面积之比。
因此，我们可以设矩形EFGH的长为x，宽为y。
根据题目给出的信息，我们可以列出以下等式：x/y = 4/6又因为EF = 8cm，所以矩形EFGH的面积为8x。
而矩形ABCD的面积为24。
因此，我们可以列出另一个等式：8x = 24通过解这个方程组，我们可以得到矩形EFGH的长和宽分别为12cm和9cm。
这样，我们就成功地利用面积比例解决了这个图形问题。
除了矩形，利用面积比例也可以解决其他图形问题，比如三角形、圆形等。
下面，我们来看一个关于三角形的例子。
假设有一个直角三角形ABC，其中∠BAC = 90°，AB = 6cm，AC = 8cm。
现在，我们需要找到一个与三角形ABC相似的三角形DEF，使得DE = 12cm。
同样地，我们可以利用面积比例来解决这个问题。
首先，我们知道相似图形的对应边长之比等于对应面积之比。
因此，我们可以设三角形DEF的边长比为x/y。
根据题目给出的信息，我们可以列出以下等式：x/y = 6/8又因为DE = 12cm，所以三角形DEF的面积为12x。
而三角形ABC的面积为24。
因此，我们可以列出另一个等式：12x = 24通过解这个方程，我们可以得到三角形DEF的边长比为2/3。
因此，我们可以得知三角形DEF的边长分别为8cm和6cm，与三角形ABC相似。
通过以上两个例子，我们可以看到利用面积比例可以帮助我们解决图形问题。
初中数学重点梳理：面积问题的解决方法
面积问题与面积方法知识定位能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。
知识梳理1、 等面积变化模型：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； （2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
复杂图形的比例与面积
复杂图形的比例与面积基础知识：1.三角形面积由两个因素决定：底和高两个三角形，底相等，面积比等于高的比；两个三角形，高相等，面积比等于底的比。
2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，（1）；（2）；（3）。
3.如图，在梯形ABCD中，存在以下关系：（1）左、右部分的面积相等，即S3＝S4；（2）S1︰S2︰S3︰S4＝4.燕尾定理：在三角形中，AD，，相交于同一点，那么.1例1.图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?[答疑编号505721470101]【答案】22.5【解答】△ABD， ABC等高，所以面积的比为底的比，有,所以180＝90（平方厘米）.同理有（平方厘米），×30＝22.5（平方厘米）.即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.例2.如图1，5个正方形拼在一起，图中三角形ABC部分的面积是60，2则正方形的边长是.[答疑编号505721470102]【答案】10【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD，它们的高的比是3:2，因此三角形BCD的面积是.于是三角形ACD的面积是60＋40＝100.注意ACD的底边是小正方形边长的2倍，而高就是小正方形的边长，所以它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是100，所以小正方形的边长就是10（因为10×10＝100）.例3.如图2，在15个小正方形拼成的长方形中，三角形ABC的面积是120（其中C是大长方形的对角线与B所在竖线的交点）.那么小正方形的3边长是.[答疑编号505721470103]【答案】10【解答】如下图，三角形ABC与三角形BCD的底边都是BC，而高的比是3∶2，所以三角形BCD的面积是，那么三角形ABD的面积就是120＋80＝200。
三角形ABD的面积是大三角形ADG的面积减去三角形ABE、长方形BEGF、三角形BDF的面积，也就是等于个小正方形的面积，因此每个小正方形的面积是200÷2＝100，那么边长为10。
初中奥数培优数学竞赛专题专题25 图形面积的计算
，
SPCA =3y
于是
x 3 3x
y y
1 3 1 3
①+②，得 （4 x y） 2 ， 3
∴
x
y
1 6
，即
S PECF
=
1 6
.
例 6 设 SABCD =a
，因为
E,F
分别是
AB,BC
的中点，所以 S ADE
S ABF
a 4
.
∴ S APD S四边形BEPF .
a
如图，连接
EF,DF，则
【例 4】 如图，四边形 ABCD 被 AC 与 DB 分成甲、乙、丙、丁 4 个三角形，已知 BE=80 cm，CE=60 cm，DE=40 cm，AE=30 cm，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？
（“华罗庚杯”竞赛决赛试题） 解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的 突破口.
3
5
长方形 ABCD 的面积是_________cm2.
（北京市“迎春杯”邀请赛试题）
3.如图，边长为 3 厘米与 5 厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点 为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.
（“希望杯”邀请赛试题） 4.如图，若正方形 APHM，BNHP，CQHN 的面积分别为 7，4，6，则阴影部分的面积是_____.
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）
专题 25 图形面积的计算
例 1 196 提示： △ = △ − △ = 12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.
数学中的面积、体积与比例问题
立体图形的表面积计算
长方体表面积计算
长方体的表面积可以通过其三组 不同的面的面积之和得到。若长 方体的长、宽、高分别为 l, w, h
，则表面积 A = 2lw + 2lh + 2wh。
球体表面积计算Байду номын сангаас
球体的表面积可以通过其半径计算 得到，公式为 A = 4πr^2。
圆柱体表面积计算
圆柱体的表面积包括两个底面和一 个侧面，若底面半径为 r，高为 h， 则表面积 A = 2πr^2 + 2πrh。
为未来的学习和职业生涯打下基础
掌握面积、体积和比例的概念，为我在未来学习和职业生涯中打下了坚实的基础。无论是 在科学研究、工程设计，还是在商业分析等领域，这些数学概念都是不可或缺的基石。
04
总结与展望
面积、体积与比例的数学意义与应用价值
面积的数学意义
面积是二维空间中一个平面图形所占空间大小的度量。在数学中，我们通过特定 的公式来计算各种形状（如三角形、矩形、圆等）的面积，以了解和比较它们的 大小。面积的概念和应用在几何学、代数学和分析学中都有广泛的体现。
体积的数学意义
体积是三维空间中一个立体图形所占空间大小的度量。与面积类似，我们通过特 定的公式来计算不同立体形状（如长方体、球体、圆柱体等）的体积。体积的概 念在解析几何、微积分和物理学等领域都有重要应用。
三角形的面积可以通过其底边 和对应高相乘再除以2得到。 若三角形三个顶点坐标为 (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)，则可 用海伦公式计算面积，A = sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]，其 中 p 为半周长，a,b,c 分别为 三边长度。
圆的面积可以通过其半径计算 得到，公式为 A = πr^2。
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复杂图形的比例与面积基础知识：1.三角形面积由两个因素决定：底和高两个三角形，底相等，面积比等于高的比；两个三角形，高相等，面积比等于底的比。
2.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，（1）；（2）；（3）。
3.如图，在梯形ABCD中，存在以下关系：（1）左、右部分的面积相等，即S3＝S4；（2）S1︰S2︰S3︰S4＝4.燕尾定理：在三角形中，AD，，相交于同一点，那么.例1.图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍， EF的长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?[答疑编号505721470101]【答案】22.5【解答】△ABD， ABC等高，所以面积的比为底的比，有,所以180＝90（平方厘米）.同理有（平方厘米），×30＝22.5（平方厘米）.即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.例2.如图1，5个正方形拼在一起，图中三角形ABC部分的面积是60，则正方形的边长是.[答疑编号505721470102]【答案】10【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD，它们的高的比是3:2，因此三角形BCD 的面积是.于是三角形ACD的面积是60＋40＝100.注意ACD的底边是小正方形边长的2倍，而高就是小正方形的边长，所以它的面积与一个小正方形的面积是相等的，应该都是100，所以小正方形的边长就是10（因为10×10＝100）.例3.如图2，在15个小正方形拼成的长方形中，三角形ABC的面积是120（其中C是大长方形的对角线与B所在竖线的交点）.那么小正方形的边长是.[答疑编号505721470103]【答案】10【解答】如下图，三角形ABC与三角形BCD的底边都是BC，而高的比是3∶2，所以三角形BCD 的面积是，那么三角形ABD的面积就是120＋80＝200。
三角形ABD的面积是大三角形ADG的面积减去三角形ABE、长方形BEGF、三角形BDF的面积，也就是等于个小正方形的面积，因此每个小正方形的面积是200÷2＝100，那么边长为10。
例4.如图，四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么4个小三角形中最大的一个三角形的面积是多少公顷?[答疑编号505721470104]【答案】21【解答】,所以，三角形ABO的面积是18公顷，三角形BOC的面积是21公顷.所以，最大的三角形的面积为21公顷.例5.已知ABCD是一个梯形，BO＝3OD，AD＝4，S△ABO＝12，则梯形的高是多少？梯形的下底BC是多少？[答疑编号505721470105]【答案】12【解答】由于△ABO和△AOD是等高的三角形，并且BO＝3OD，可得S△ABO＝3S△AOD，因此S△AOD＝4，这样S△ABD＝12＋4＝16。
换一个角度去观察钝角三角形ABD，将AD作为它的底，将B作为它的顶点。
从而根据S△ABD＝16和AD＝4可知△ABD在底边AD上的高为16×2÷4＝8，而这个高也是梯形的高。
由于△ABC和△DBC是同底等高的三角形，所以S△ABC＝S△DBC，从而S△ABO＝S△DOC ＝12。
由于△DOC和△OBC是等高的三角形，并且BO＝3OD，可得S△OBC＝3S△DOC，因此S△OBC＝36，这样S△DBC＝12＋36＝48。
下面可以用两种方法去求BC的长度，如果把AD看成△ABD的底边，把BC 看成△DBC的底边，那么△ABD和△DBC是等高的，由于S△DBC是S△ABD的3倍，所以BC＝3AD，从而BC＝12。
或者可以利用梯形面积的计算公式去求BC的长度，由于梯形的面积＝4＋12＋12＋36＝64，梯形的高为8，梯形的上底AD＝4，于是下底BC＝64×2÷8－4＝12。
例6.如图，ABCD是梯形，三角形ADE面积是1.8，三角形ABF的面积是9，三角形BCF的面积是27.那么阴影部分面积是多少？[答疑编号505721470106]【答案】4.8【解答】设△ADF的面积为“上”，△BCF的面积为“下”，△ABF的面积为“左”，△DCF的面积为“右”.左＝右＝9；上×下＝左×右＝9×9＝81，而下＝27，所以上＝81÷27＝3.△ADE的面积为1.8，那么△AEF的面积为1.2，则EF：DF ＝：＝1.2：3＝0.4.△CEF与△CDF的面积比也为EF与DF的比，所以有S△ACE ＝0.4×＝0.4×（3＋9）＝4.8.即阴影部分面积为4.8.例7.如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC＝2DE，F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?[答疑编号505721470107]【答案】【解答】如下图，连接FC，△DBF、△BFG的面积相等，设为x平方厘米，△FGC、△DFC的面积相等，设为y平方厘米，那么△DEF 的面积为y平方厘米.＝2x＋2y＝1，＝x ＋y ＝l×＝.所以有.比较②、①式，②式左边比①式左边多2x，②式右边比①式右边大0.5，有2x＝0.5，即x＝0.25,y＝0.25.而阴影部分面积为y ＋y ＝×0.25＝平方厘米.例8.如图，正方形ABCD的边长是12，BF＝CE＝4，则四边形ABOD的面积是.[答疑编号505721470108]【答案】【解答】如图，假设△OBF和△OEC的面积分别为x和y，那么△OCF和△OED的面积就分别为2x和2y.根据△BEC和△OCF的面积，可以列方程组得：化简即得：解得，.所以四边形ABOD的面积为：12×12-＝.例1.已知EF＝2BF，AD＝3BD，三角形ABC的面积为36，那么四边形ADFE的面积是多少？分析：四边形ADFE是一个不规则的四边形，无法直接计算它的面积。
做辅助线连接D和E，将四边形ADFE分成2个三角形△ADE和△DFE，三角形的面积就比较好求了。
请大家想一想，除了公式以外，还可以利用什么方法去求三角形的面积？题目中给出的条件是线段与线段之间的关系，一定要将线段与线段的关系转化成图形与图形的关系，这样才有助于计算面积。
比如：由EF＝2BF，可知S△DFE＝2S△DBF。
这是连接D和E做辅助线的另外一个优点，它将线段之间的倍数关系转化成了三角形面积之间的倍数关系，这就使得线段与图形相互联系了起来。
[答疑编号505721470201]【答案】11【解答】由EF＝2BF，可知S△DFE＝2S△DBF，S△EFC＝2S△FBC，从而S△EDC＝2S△DBC。
由于AD＝3BD，可知S△ADC＝3S△DBC。
如果设S△DBC＝“1”，那么S△EDC＝“2”，S△ADC＝“3”，所以S△ADE＝“1”，S△ABC＝“4”。
由于大三角形ABC的面积为36，所以S△ADE＝“1”＝36÷4＝9。
下面求△DFE的面积。
由于AD＝3BD，可得S△ADE＝3S△DBE，因此S△DBE＝9÷3＝3。
因为S△DFE＝2S△DBF，而S△DFE＋S△DBF＝S△DBE，所以S△DFE＝3÷3×2＝2。
由S△ADE＝9，S△DFE＝2，可知四边形ADFE的面积是11。
总结：在直线形计算的问题中，如果碰到一个不规则的图形，通常需要添加辅助线将它分割成若干个可以计算面积的图形，例如分割成三角形、平行四边形或者梯形。
如果题目中的条件给出了线段与线段之间关系，也可以利用添加辅助线的方法将线段与三角形（或者其它的图形）联系起来，这样线段之间的关系就变成了三角形（或者其他图形）之间的关系，从而有助于计算图形的面积。
例2.如图1，在r ABC中，DC ＝3BD，r ABC的面积是84，DE＝EA，则阴影部分的面积是.[答疑编号505721470202]【答案】36【解答】连结DF，因为DE＝EA，所以三角形ACE的面积与三角形CDE的面积相等，三角形AEF的面积与三角形DEF的面积相等.因此阴影部分的面积等于三角形CDF的面积，也等于三角形ACF的面积.又因为CD＝3×BD，所以三角形DEF的面积是三角形CDF 面积的，因此阴影部分的面积.例3.如图1，已知三角形ABC的面积为1，AF＝FD，BF＝3FE.则阴影部分的面积是.[答疑编号505721470203]【答案】97.5【解答】连DE.由BF＝3FE＝3由AF＝FD ＝记＝2a ，则＝6a，S□ABDE＝8a而，即从而阴影部分的面积是.例4.如图，△ABC的面积是1，且，则△OAB的面积是.[答疑编号505721470204]【答案】【解答】△OAB 的面积是.例5.在长方形ABCD中，E是AD的中点，F在CE上且EF∶FC＝3∶1，已知三角形BFD的面积是60，则长方形ABCD的面积是.[答疑编号505721470205]【答案】192【解答】OE∶OC=1∶2， EF∶FC＝3∶1,三角形BED的面积∶三角形BFD的面积=,因为三角形BFD的面积是60，所以，三角形BED的面积是48，则长方形ABCD的面积是48×4＝192.例6.如图，梯形ABCD外有一点E，使得△ABE、△ADE和△EDC的面积相等.（1）证明：△ABF和△AFD的面积相等；（2）证明：△ADF和△AHD的面积相等；（3）如果已知△ABF和△DGH的面积分别为3和1，求梯形ABCD的面积.[答疑编号505721470206]【答案】18【解答】（1）证明：因为△ABE与△ADE都是以AE为底且面积相等，所以△ABE在边AE上的高与△ADE在边AE上的高相等.因为△ABF与△AFD同底（AF）等高，所以△ABF与△AFD的面积相等。
（2）证明：由（1）同理，△AHD与△HDC面积相等，所以△ADF是△ABD 面积的一半，△AHD是△ACD面积的一半.因为梯形ABCD中，△ABD与△ACD的面积相等，所以△ADF和△AHD面积相等.（3）解：由△ABF的面积是3，可得△ADF、△HDC面积都是3，所以△AGD 的面积是3-1＝2.因为△ABG与△ADG有相同的高，且面积分别为4和2，所以BG是DG的2倍.因为△CBG与△CDG有相同的高，所以△CBG的面积是△CDG的2倍，为8，所以梯形ABCD的面积为2＋4＋4＋8＝18.例7.如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点.三角形ABC由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?[答疑编号505721470207]【答案】48【解答】因为E是DC中点，F为AC中点，有AD＝2FE且平行于EF，则四边形ADEF为梯形.在梯形ADE F中有③＝④，②×⑤＝③×④，②：⑤＝：＝4:1.又已知②－⑤＝6，所以⑤＝6÷（4－1）＝2，②＝⑤×4＝8，所以②×⑤＝④×④＝16，而③＝④，所以③＝④＝4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8＋4＋4＋2＝18.有△CEF与△ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1：4.所以△ADC面积为梯形ADEF面积的＝，即为18×＝24.因为D是BC中点，所以△ABD与△ADC的面积相等，而△ABC的面积为△ABD、△ADC的面积和，即为24＋24＝48平方厘米.三角形ABC的面积为48平方厘米.。