工程力学 达朗贝尔原理
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17
例题
达朗贝尔原理
例 题 5
如图所示，滑轮的
半径为r，质量为m均匀分
布在轮缘上，可绕水平轴
r
转动。轮缘上跨过的软绳
的两端各挂质量为m1和m2
B A
的重物,且m1 >m2 。绳的 重量不计，绳与滑轮之间
无相对滑动，轴承摩擦忽
略不计。求重物的加速度。
21
例题
达朗贝尔原理
例 题 5
y FN
以滑轮与两重物一起组成的质点系为研 解： 究对象。 在系统中每个质点上假想地加上惯性力
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质
心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 下面讨论刚体作平动、定轴转动和平面运动时惯性力偶（主矩）。
25
一、刚体作平动
向质心C简化： FIR FIi (mi ai ) MaC
M IC M C ( FIi ) ri (mi aC ) r r MrC aC rC
运动，只有法向加速度，在质点上除作用有
O θ
重力mg和绳拉力F外，再加上法向惯性力F*，
如图所示。
l
F eb en mg
根据达朗贝尔原理，这三力在形式上组成平
衡系，即
v2 F * man m l sin
* F mg F 0
et F*
取上式在自然轴上的投影式，有：
F 0, F 0,
计的原理。
10
例题
达朗贝尔原理
例 题 3
球磨机是一种破碎机械，在鼓室中装进物料和钢球，如 图所示。当鼓室绕水平轴转动时，钢球被鼓室携带到一定高 度，此后脱离壳壁而沿抛物线轨迹落下，最后与物料碰撞以 达到破碎的目的。如已知鼓室的转速为n r/min，直径为D。设 钢球与壳壁间无滑动，试求最外层钢球的脱离角α 。 α ω
12
例题
达朗贝尔原理
例 题 3
求得
α ω mg
D 2 FN mg ( cos ) 2g
F FN
显然当钢球脱离壳壁时，FN=0，
由此可求出其脱离角α为
D 2 Dπ 2 n 2 cos 2g 2 900 g
即脱离角α与鼓室转速n有关。
13
§16-2 质点系的达朗伯原理
( mi ri ) aC
0
质心相对质心的距离。
刚体平动时惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等 于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。 FIR Mac
FIR1
FIR 2 FIR 3
FIR
26
二、定轴转动刚体
向转轴上任一点O简化： 刚体上任一点i的惯性力：
M IO M Ix i M Iy j M Iz k
如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心O取 为此平面与转轴的交点，则
J xz mi xi zi 0, J yz mi yi zi 0
惯性力系简化的主矩为
M x ( F i ) M x ( F Ii ) 0 (e) 0 , M y ( Fi ) M y ( FIi ) 0 M z ( F i ) M z ( F Ii ) 0
(e)
(e)
实际应用时, 同静力学一样可任意选取研究对象, 列平衡 方程求解。
16
用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
Fx i Fy i M
(e) (e)
FIix 0 FIiy 0
(e)
O
(F i
) M O ( FIi ) 0
(e)
对于空间任意力系：
Fx i Fy i Fz i
(e) (e)
FIix 0 , FIiy FIiz 0 ,
B
Fi *n Fi*t FN
mi
r
F1*
mg
A
a
m2 g
应用对转轴的力矩方程 MO（F）=0 ，得
a m1g
F2*
(m1 g F1* F2* m2 g)r Fi*t r 0
或 (m1 g m1a m2 a m2 g )r mi ar 0
23
例题
的惯性（小车要保持原来的运动状态）而
引起的对于施力物体(人手)产生的反抗力。
称为小车的惯性力。
1
质点惯性力定义： 质点受力作用而改变运动状态时，由于 本身的惯性对施力物体的反作用力。
FI ma
Force of Inertia
[注] 1：质点惯性力不是作用在质点 上的真实力，它是质点对施 F ' FI ma 力体反作用力的合力。
4
例题
达朗贝尔原理
例 题 1
如图所示一圆锥摆。质
O θ l
量m = 0.1 kg的小球系于长l = 0.3 m 的绳上，绳的一端 系在固定点O，并与铅直线 成θ =60º 角。如小球在水平 面内作匀速圆周运动，求小 球的速度v与绳的张力F的大
小。
5
例题
达朗贝尔原理
例 题 1
解： 以小球为研究的质点。质点作匀速圆周
[注] 2： 惯性力的作用点在施力体上。
质点惯性力在坐标轴上的投影：
FIx ma x m x FIy ma y m y FIz ma z m z
FIt ma t FIn ma n
2
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力F ，约束力 FN 作用， 质点的加速度 a 为： F FN ma 将 ma 移项，得： F FN ma 0
7
例题
达朗贝尔原理
例 题 2
列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右 作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢 的加速度 a 。
8
例题
达朗贝尔原理
例 题 2
解： 1、研究对象：摆锤 M mg 2、受力分析： , FT 3、运动分析：车作平动
a
惯性力 FI ma 方向如图所示
r
后，可以应用达朗贝尔原理。
已知m1>m2，则重物的加速度a方向如图
B
F1*
mg
A
a
m2g
所示。 重物的惯性力方向均与加速度a的方向 相反，大小分别为：
a m1g
F2*
F1* m1a
F2* m2 a
22
例题
达朗贝尔原理
来自百度文库例 题 5
y
滑轮边缘上各点的质量为mi ，切向惯性力 的大小为 Fi *t mi ait ，方向沿轮缘切线，指向 如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，at =a ; v2 *n n 法向惯性力的大小为 Fi mi ai mi ,方向沿 r 半径背离中心。
M Ix J xz J yz 2
同理可得惯性力系对于y轴的矩为 M Iy J xz 2 J yz 惯性力系对于z轴的矩为 M Iz M z ( FIit ) mi ri ri ( mi ri ) J z
2
28
刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点O简化的主矩为
(e) (i ) F i Fi FIi 0 (e) (i ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) M O ( FIi ) 0 (i ) (i ) 注意到 Fi 0 , M O ( Fi ) 0 , 将质点系受力按内力、外力 划分, 则 (e) Fi FIi 0
§14 - 1
惯性力 · 质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念 人用手推车力为F，车的加速度为a。
C
由牛顿第二定律：
F ma
F
C
施力物体(人手)也受到一个力 F ': F ' F ma F '是因为人要改变车的运动状态，由于车
根据作用与反作用定律：
F'
(e) (i ) Fi FNi Fi Fi
M O ( F i ) M O ( F Ii ) 0
(e)
15
公式表明：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质 点上的惯性力在形式上组成力系。——这是质点系达朗贝尔 原理的又一表述。 可见：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
mi xi zi 2 mi yi zi
xi yi cos i sin i ri ri
27
M x mi xi zi 2 mi yi zi
令：
J yz mi yi zi J xz mi xi zi
称为对z轴的惯性积，它取决于刚 体质量对于坐标轴的分布情况
达朗贝尔原理
例 题 5
y
(m1 g m1a m2 a m2 g )r mi ar 0
因为
Fi *n Fi*t FN
mi
r
F1*
m ar ar m
i
i
arm
mg
B A
解得
a
m2g
a m1g
F2*
m1 m2 a g m1 m2 m
24
§16-3 刚体惯性力系的简化
FI
M
FT a
x
4、由动静法, 有：
Fx 0 , mg sin FI cos 0
解得 a g tg
mg
9
例题
达朗贝尔原理
例 题 2
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也
不变。只要测出角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
b
n
F cos mg 0
F sin F * 0
6
例题
达朗贝尔原理
例 题 1
F cos mg 0
F sin F * 0
O θ
解得：
l
F eb en mg
mg F 19.6 N cos
et F*
v Fl sin 2 2.1 m / s m
FI ma 代入上式，得：
质点的达朗伯原理
F FN FI 0
如果在质点上除了作用真实的主动力和约束力外，再 假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。 这就是质点的达朗伯原理
3
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡， 并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决 动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的 解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。
11
例题
达朗贝尔原理
例 题 3
解： 以钢球为研究对象。设钢球的质
F* ω
α
量为m。受力如图示。
F FN 鼓室以匀角速度ω转动，钢球尚 未脱离壳壁时，其加速度为： D 2 an , at 0 2 加惯性力，其大小为
mg
D 2 F m 2
*
应用质点动静法
Fn 0, FN mg cos F * 0
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
Fi FN i FIi 0 ( i 1,2,......, n )
主动 力的 合力
质点的 约束反力 惯性力 的合力
质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力和它的 惯性力形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
14
质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力和它的 惯性力形式上组成平衡力系。——质点系的达朗伯原理。 Fi FNi FIi 0 用方程表示为： M O ( Fi ) M O ( FNi ) M O ( FIi ) 0
FIin mi ain mi ri 2 FIit mi ait mi ri
下面分别计算惯性力系对x，y，z轴 的矩，分别以MIx ， MIy， MIz表示
M Ix M x ( FIi ) M x ( FIi )
t n
mi ri cos i zi mi ri 2 sin i zi
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 FIR（主矢）
和一个惯性力偶 M IO （主矩）。 简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
FIR FIi (mai ) MaC 与简化中心无关 M IO M O ( FIi ) ri (mi ai ) 与简化中心有关
例题
达朗贝尔原理
例 题 5
如图所示，滑轮的
半径为r，质量为m均匀分
布在轮缘上，可绕水平轴
r
转动。轮缘上跨过的软绳
的两端各挂质量为m1和m2
B A
的重物,且m1 >m2 。绳的 重量不计，绳与滑轮之间
无相对滑动，轴承摩擦忽
略不计。求重物的加速度。
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例题
达朗贝尔原理
例 题 5
y FN
以滑轮与两重物一起组成的质点系为研 解： 究对象。 在系统中每个质点上假想地加上惯性力
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质
心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。 下面讨论刚体作平动、定轴转动和平面运动时惯性力偶（主矩）。
25
一、刚体作平动
向质心C简化： FIR FIi (mi ai ) MaC
M IC M C ( FIi ) ri (mi aC ) r r MrC aC rC
运动，只有法向加速度，在质点上除作用有
O θ
重力mg和绳拉力F外，再加上法向惯性力F*，
如图所示。
l
F eb en mg
根据达朗贝尔原理，这三力在形式上组成平
衡系，即
v2 F * man m l sin
* F mg F 0
et F*
取上式在自然轴上的投影式，有：
F 0, F 0,
计的原理。
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例题
达朗贝尔原理
例 题 3
球磨机是一种破碎机械，在鼓室中装进物料和钢球，如 图所示。当鼓室绕水平轴转动时，钢球被鼓室携带到一定高 度，此后脱离壳壁而沿抛物线轨迹落下，最后与物料碰撞以 达到破碎的目的。如已知鼓室的转速为n r/min，直径为D。设 钢球与壳壁间无滑动，试求最外层钢球的脱离角α 。 α ω
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例题
达朗贝尔原理
例 题 3
求得
α ω mg
D 2 FN mg ( cos ) 2g
F FN
显然当钢球脱离壳壁时，FN=0，
由此可求出其脱离角α为
D 2 Dπ 2 n 2 cos 2g 2 900 g
即脱离角α与鼓室转速n有关。
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§16-2 质点系的达朗伯原理
( mi ri ) aC
0
质心相对质心的距离。
刚体平动时惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等 于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。 FIR Mac
FIR1
FIR 2 FIR 3
FIR
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二、定轴转动刚体
向转轴上任一点O简化： 刚体上任一点i的惯性力：
M IO M Ix i M Iy j M Iz k
如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心O取 为此平面与转轴的交点，则
J xz mi xi zi 0, J yz mi yi zi 0
惯性力系简化的主矩为
M x ( F i ) M x ( F Ii ) 0 (e) 0 , M y ( Fi ) M y ( FIi ) 0 M z ( F i ) M z ( F Ii ) 0
(e)
(e)
实际应用时, 同静力学一样可任意选取研究对象, 列平衡 方程求解。
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用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
Fx i Fy i M
(e) (e)
FIix 0 FIiy 0
(e)
O
(F i
) M O ( FIi ) 0
(e)
对于空间任意力系：
Fx i Fy i Fz i
(e) (e)
FIix 0 , FIiy FIiz 0 ,
B
Fi *n Fi*t FN
mi
r
F1*
mg
A
a
m2 g
应用对转轴的力矩方程 MO（F）=0 ，得
a m1g
F2*
(m1 g F1* F2* m2 g)r Fi*t r 0
或 (m1 g m1a m2 a m2 g )r mi ar 0
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例题
的惯性（小车要保持原来的运动状态）而
引起的对于施力物体(人手)产生的反抗力。
称为小车的惯性力。
1
质点惯性力定义： 质点受力作用而改变运动状态时，由于 本身的惯性对施力物体的反作用力。
FI ma
Force of Inertia
[注] 1：质点惯性力不是作用在质点 上的真实力，它是质点对施 F ' FI ma 力体反作用力的合力。
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例题
达朗贝尔原理
例 题 1
如图所示一圆锥摆。质
O θ l
量m = 0.1 kg的小球系于长l = 0.3 m 的绳上，绳的一端 系在固定点O，并与铅直线 成θ =60º 角。如小球在水平 面内作匀速圆周运动，求小 球的速度v与绳的张力F的大
小。
5
例题
达朗贝尔原理
例 题 1
解： 以小球为研究的质点。质点作匀速圆周
[注] 2： 惯性力的作用点在施力体上。
质点惯性力在坐标轴上的投影：
FIx ma x m x FIy ma y m y FIz ma z m z
FIt ma t FIn ma n
2
二、质点的达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力F ，约束力 FN 作用， 质点的加速度 a 为： F FN ma 将 ma 移项，得： F FN ma 0
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例题
达朗贝尔原理
例 题 2
列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右 作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢 的加速度 a 。
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例题
达朗贝尔原理
例 题 2
解： 1、研究对象：摆锤 M mg 2、受力分析： , FT 3、运动分析：车作平动
a
惯性力 FI ma 方向如图所示
r
后，可以应用达朗贝尔原理。
已知m1>m2，则重物的加速度a方向如图
B
F1*
mg
A
a
m2g
所示。 重物的惯性力方向均与加速度a的方向 相反，大小分别为：
a m1g
F2*
F1* m1a
F2* m2 a
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例题
达朗贝尔原理
来自百度文库例 题 5
y
滑轮边缘上各点的质量为mi ，切向惯性力 的大小为 Fi *t mi ait ，方向沿轮缘切线，指向 如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，at =a ; v2 *n n 法向惯性力的大小为 Fi mi ai mi ,方向沿 r 半径背离中心。
M Ix J xz J yz 2
同理可得惯性力系对于y轴的矩为 M Iy J xz 2 J yz 惯性力系对于z轴的矩为 M Iz M z ( FIit ) mi ri ri ( mi ri ) J z
2
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刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点O简化的主矩为
(e) (i ) F i Fi FIi 0 (e) (i ) M O ( Fi ) M O ( Fi ) M O ( FIi ) 0 (i ) (i ) 注意到 Fi 0 , M O ( Fi ) 0 , 将质点系受力按内力、外力 划分, 则 (e) Fi FIi 0
§14 - 1
惯性力 · 质点的达朗贝尔原理
一、惯性力的概念 人用手推车力为F，车的加速度为a。
C
由牛顿第二定律：
F ma
F
C
施力物体(人手)也受到一个力 F ': F ' F ma F '是因为人要改变车的运动状态，由于车
根据作用与反作用定律：
F'
(e) (i ) Fi FNi Fi Fi
M O ( F i ) M O ( F Ii ) 0
(e)
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公式表明：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质 点上的惯性力在形式上组成力系。——这是质点系达朗贝尔 原理的又一表述。 可见：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
mi xi zi 2 mi yi zi
xi yi cos i sin i ri ri
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M x mi xi zi 2 mi yi zi
令：
J yz mi yi zi J xz mi xi zi
称为对z轴的惯性积，它取决于刚 体质量对于坐标轴的分布情况
达朗贝尔原理
例 题 5
y
(m1 g m1a m2 a m2 g )r mi ar 0
因为
Fi *n Fi*t FN
mi
r
F1*
m ar ar m
i
i
arm
mg
B A
解得
a
m2g
a m1g
F2*
m1 m2 a g m1 m2 m
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§16-3 刚体惯性力系的简化
FI
M
FT a
x
4、由动静法, 有：
Fx 0 , mg sin FI cos 0
解得 a g tg
mg
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例题
达朗贝尔原理
例 题 2
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也
不变。只要测出角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
b
n
F cos mg 0
F sin F * 0
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例题
达朗贝尔原理
例 题 1
F cos mg 0
F sin F * 0
O θ
解得：
l
F eb en mg
mg F 19.6 N cos
et F*
v Fl sin 2 2.1 m / s m
FI ma 代入上式，得：
质点的达朗伯原理
F FN FI 0
如果在质点上除了作用真实的主动力和约束力外，再 假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。 这就是质点的达朗伯原理
3
该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡， 并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决 动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的 解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。
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例题
达朗贝尔原理
例 题 3
解： 以钢球为研究对象。设钢球的质
F* ω
α
量为m。受力如图示。
F FN 鼓室以匀角速度ω转动，钢球尚 未脱离壳壁时，其加速度为： D 2 an , at 0 2 加惯性力，其大小为
mg
D 2 F m 2
*
应用质点动静法
Fn 0, FN mg cos F * 0
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
Fi FN i FIi 0 ( i 1,2,......, n )
主动 力的 合力
质点的 约束反力 惯性力 的合力
质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力和它的 惯性力形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。
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质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力和它的 惯性力形式上组成平衡力系。——质点系的达朗伯原理。 Fi FNi FIi 0 用方程表示为： M O ( Fi ) M O ( FNi ) M O ( FIi ) 0
FIin mi ain mi ri 2 FIit mi ait mi ri
下面分别计算惯性力系对x，y，z轴 的矩，分别以MIx ， MIy， MIz表示
M Ix M x ( FIi ) M x ( FIi )
t n
mi ri cos i zi mi ri 2 sin i zi
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 FIR（主矢）
和一个惯性力偶 M IO （主矩）。 简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
FIR FIi (mai ) MaC 与简化中心无关 M IO M O ( FIi ) ri (mi ai ) 与简化中心有关