【解析】山西省太原市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
山西省太原市2023_2024学年高二上册期中学业诊断数学试题(附答案)
5
，
则 MN MF1 的取值范围为（ ）
A． 30, 4 6
B． 30, 6 6
C． 4 6, 6 6 D． 6 6,9 6
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 3 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
所以直线与圆相交，
故选：A
7．D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
D1 0, 0, 2, E 0, 2,1, A2, 0, 0, D1E 0, 2, 1, D1A 2, 0, 2，
所以点 A 到直线 D1E 的距离为
D1 A
2
D1ED 1A
圆 C2 : x2 y2 4x 4 y F 0 即 x 22 y 22 8 F ，
8 F 0
根据对称性可知
8 F 2 ，解得 F 4 ，所以 A 选项错误.
此时 C2 : x 22 y 22 4 ，圆心为 C2 2, 2，半径 r2 2 .
r1 r2 0, r1 r2 4 ，
(1)求直线 DE 的一般式方程； (2)求边 AB 的垂直平分线的斜截式方程． 18．如图，四面体 OABC 各棱的棱长都是 1， D 是 AB 的中点， E 是 CD 的中点，记 OA a,OB b,OC c ．
(1)用向量 a,b, c 表示向量 OE ；
(2)利用向量法证明： OE AB ．
23 (2)若平面 AB1C1 与平面 ABC 夹角的余弦值为 5 ，求直线 DE 与平面 AB1C1 所成角的正弦值．
1．C 【分析】根据直线的斜率求得倾斜角.
太原市2019_2020学年第一学期七年级期中考试数学（试卷）
2019-2020学年第一学期第一次测评初一数学——试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下列相应位置）1.有理数-3的绝对值是（）A．3B．-3 C．13D．132.下表是某年1月份我国几个城市的平均气温，在这些城市中，平均气温最低的城市是（）城市北京上海沈阳广州太原平均气温-5.6℃ 2.3℃-16.8℃17.6℃-11.2℃A．北京B．沈阳C．广州D．太原3.如图，在数学活动课上，同学们用一个平面分别去截下列四个几何体，所得截面是三角形的是（）4.下列运算正确的是()A．x2+x2=x4B．4x+(x-3y)=3x+3yC．x2y-2x2y=-x2yD．2(x+2)=2x+25.化简14（16x-12）-2（x-1）的结果是（）A．2x-1B．x+1C．5x+3D．x-36.下列四个几何体，同一个几何体从正面看和从左面看的形状图相同，这样的几何体共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.有一个两位数，个位数字是n，十位数字是m，则这个两位数可表示为（）。
A．mn B．10m+n C．10n+m D．m+n8.今年 9月世界计算机大会在湖南省长沙市开幕，大会的主题是“计算万物，湘约未来”.从心算、珠算的古老智慧到“银河”“天河”“神威”创造的中国速度，“中国计算”为世界瞩目.超级计算机“天河一号”的性能是 4700万亿次，换算成人工做四则运算，相当于60亿人算一年，它1秒就可以完成.数 4700万亿用科学记数法表示为（ ）。
A．4.7×107B．4.7×1011C．4.7×1014D．.7×10159.“1285个服务站点”，“4.1万辆公共自行车”，“日均租骑量 32.54万次”，“1小时内免费”，···，自 2012年开通运营以来，太原公共自行车已经伴随太原市民走过近七个春秋，课外活动小组的同学们，在某双休日 11：30—12：00对我市某个公共自行车服务站点的租骑量进行了观察记录.用“-6”表示骑走了6辆自行车，记录结果如下表：（时间段不含前一时刻但含后一时刻，如 11：30—11:35不含 11:30但含 11:35）时间段11：30—11:35 11：35—11:40 11：40—11:45 11：45—11:50 11：50—11:55 11：55—12:00 自行车数量-15+8-11+10-6+13假设此服务站点在11:30时有自行车30辆，则在12:00时该站点有自行车（）A．31辆B．30辆C． 29辆D．27辆10.和谐公园内有一段长方形步道，它由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成.如图表示此步道地砖的排列方式，若正方形地砖为连续排列且总共有 40块，则这段步道用了白色等腰直角三角形地砖（ ）A．80块B．81块C．82块D．84块二、填空题（本大题含5个小题，每小题3分，共15分）把结果直接填在横线上.11.如图，汽车的雨刮器能把前挡风玻璃上的雨水刮干净.这一现象，抽象成数学事实是.12.如图是小明设计的运算程序，若输入x的值为-2，则输出的结果是.13.代数式-2x+3的值随着x的值的逐渐变大而.（填“变大”或“变小”）14.成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”.算筹是中国古代用来计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式（如图）.当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间；个位，百位，万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推.如：数3306用算筹表示成.用算筹表示的数是.15.如图是一个去掉盖子的长方体礼品盒的展开图（单位：cm）.从A，B两题中任选一题作答.cm.A.该长方体礼品盒的容积为3B.如果把这个去掉盖子的礼品盒沿某些棱重新剪开，可以得到周长最大的展开图，则周长最大为cm.三、解答题（本大题含8个小题，共55分）解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程. 16.（本题共4个小题，每小题3分，共12分）（1）3(4)(5)--+-；（2）118()6(2)3⨯--÷-（3）572(36)12183⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭；（4）321(2)8(3)3⎡⎤-÷-+-⨯⎢⎣⎦17.（本题6分）先化简，再求值：322232(2)2()n mn m n mn n -+---，其中31005m n==-，. 18.（本题4分）下面是小颖计算25( 3.4)(1)( 1.6)()33--+-+++的过程，请你在运算步骤后的括号内填写运算依据.解：原式=25( 3.4)(1)( 1.6)()33-+-+-++（）=25( 3.4)( 1.6)(1)()33-+-+-++（）=[]25( 3.4)( 1.6)(1)()33⎡⎤-+-+-++⎢⎥⎣⎦（）=(5)0-+ （）=5-今年假期某校对操场进行了维修改造，如图是操场的一角，在长为a米，宽为b米的长方形场地中间，并排着两个大小相同的篮球场，这两个篮球场之间以及篮球场与长方形场地边沿的距离都为c米.（1）直接写出一个篮球场的长和宽；（用含字母a、b、c的代数式表示）（2）用含字母a、b、c的代数式表示这两个篮球场占地面积的和，并求出当a=42，b=36，c=4时，这两个篮球场占地面积的和.20.（本题6分）如图是用8个大小相同的小立方块搭成的几何体，请分别画出从正面，左面和上面看到的这个几何的形状图.从正面看从左面看从上面看21.（本题7分）某中学为打造体育特色学校，落实每天锻炼1小时的规定，经调查研究后决定在七、八、九年级分别开展跳绳、羽毛球、毽球项目，七年级共有六个班，每班的人数以a人为标准，各班人数情况如下表，八年级学生人数比七年级学生人数的2倍少240人，九年级学生人数的2倍刚好是七、八年级学生人数的和.（说明：1901班表示七年级一班）班级1901班1902班1903班1904班1905班1906班与标准人数的差（人）+3+2-2+20 -1（1）用含a的代数式表示七年级学生人数；（2）学校按每人一根跳绳、一个毽球,两人一副羽毛球拍的标准,购买相应的体育器材以满足学生锻炼需要，已知跳绳每根5元，毽球每个3元，羽毛球拍每副18元，当a=40时，求购买器材的总费用.下列等式：11222215513333-=⨯+-=⨯+，，…，具有a-b=1ab+的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数,a b称为“共生有理数对”，记作（a、b）如：数对12 25 33（，），（，）都是“共生有理数对”（1）在两个数对（-2,1），1 3 2（，）中，“共生有理数对”是；（2）若（m，n）是“共生有理数对”，则（-n，-m）“共生有理数对”；（填“是”或“不是”）（3）从AB两题中任选一题作答A．请再写出一对“共生有理数对” （要求：不与题目中已有的“共生有理数对”重复）B．是否存在“共生有理数对”（n，n），若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.23.（本题8分）如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题：(1)请在数轴上标出原点 O的位置；(2)直接写出点 A、B、C、D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？(3)从 AB两题中任选一题作答.A．①若点 F在数轴上，与点 C的距离 C F =3.5,求点 F表示的数；设动点 P从点 B出发，以每秒 3个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速向终点 D运动，运动时间为t秒，求P，C之间的距离CP.（用含t的代数式表示）B．设点M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动，点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动时间为t秒，求点M，N之间的距离MN（用含t的代数式表示）。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(直线与圆 圆锥曲线)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。
2019-2020学年山西省太原市八年级(上)期中数学试卷(含答案)
2019-2020学年山西省太原市八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本愿共10小题，商小题3分，共30分）在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其字母序号填入下表相应位置．1．（3分）下列实数中的无理数是（）A．B．C．D．2．（3分）有理数4的平方根是（）A．B．C．2D．±23．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．2，3，5B．C．8，15，17D．4．（3分）下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象经过平面直角坐标系的第一、二、三象限，则下列结论一定正确的是（）A．kb＞0B．kb＜0C．k﹣b＞0D．k+b＜06．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣x+5的图象经过A（﹣3，y1），B（2，y2）两点，则y1，y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC的三边为边分别向外作等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'，若△A'BC，△AB'C的面积分别是10和4，则△ABC'的面积是（）A．4B．6C．8D．98．（3分）对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数），表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（）A．1B．4C．8D．109．（3分）为比较与的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直角边的长分别为与，则由勾股定理可求得其斜边长为．根据“三角形三边关系”，可得．小亮的这一做法体现的数学思想是（）A．分类讨论思想B．方程思想C．类此思想D．数形结合思想10．（3分）棱长分别为8cm，6cm的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题含5个小题，每小题2分，共10分）把答案写在题中横线上．11．（2分）把化成最简二次根式为．12．（2分）已知点P（6，m）在一次函数y＝﹣x+5的图象上，则点P的坐标为．13．（2分）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行sm，一般地有经验公式，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：km/h）．一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离s ＝12m，则这辆汽车刹车前的速度v＝km/h．14．（2分）《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，点A对应的点B就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据上述条件，秋千绳索长为尺．15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，AD⊥BC于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作PE⊥AB于点E，连接PB，则PB+PE的最小值为．三、解答题（本大题含8个小题，共60分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．16．（12分）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．17．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，﹣1），B （4，2），C（2，4）．（1）请在如图的坐标系中画出△ABC；（2）在如图的坐标系中，画出△ABC关于y轴对称的△A′B'C'，并直接写出△A′B'C'三个顶点的坐标．18．（6分）在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离（A，B之间有水池，无法直接测量）．智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得AD＝CD＝10m，∠D＝90°，BC＝40m，∠DCB＝135°．请你根据上述数据求出A，B之间的距离．19．（5分）如图，已知一次函数y＝x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．点C （﹣4，n）在该函数的图象上，连接OC．求点A，B的坐标和△OAC的面积．20．（5分）如图，在△ABC中，AC＝6．BC＝8，AB＝10．点C在y轴的正半轴上，边AB 在x轴上（点A在点B的左侧）．（1）求点C的坐标；（2）点D是BC边上一点，点E是AB边上一点，且点E和点C关于AD所在直线对称，直接写出点D的坐标．21．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年纪念日，红色旅游成为旅游热点．小王要和朋友们去某红色景点旅游，其门票零售价为80元/张．国庆节期间，景点推出优惠活动，方案1：门票一律九折优惠；方案2：对10人以内（含10人）购门票不优惠，超过10人超出部分八折优惠．设小王一行参加旅游的人数为x（人），购买门票费用为y（元）．（1）小王分别写出方案1和方案2购买门票的费用y（元）与旅游人数x（人）之间的函数表达式如下，请你将空缺部分补充完整：y1＝（x＞0）；y2＝（2）小王一行共有40人一起去该景点旅游，通过计算，判断选择哪种方案更省钱？22．（9分）阅读材料：材料一：两个含有二次根式而非零代数式和乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：（1）的有理化因式为，的有理化因式为；（均写出一个即可）（2）将下列各式分母有理化：；②；（要求；写出变形过程）（3）请从下列A，B两题中任选一题作答，我选择题．A计算：的结果为．B计算：的结果为．23．（13分）如图1，已知直线y＝3x+3与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作BC⊥AB且BC＝AB，连接AC．（1）求点C的坐标；（2）如图2，过点C作直线CD∥x轴交AB于点D，交y轴于点E请从下列A，B两题中任选一题作答，我选择题A．①求线段CD的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由．B．①如图3，在图2的基础上，过点D作DF⊥AC于点F，求线段DF的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点F外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与△FCD全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年山西省太原市八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本愿共10小题，商小题3分，共30分）在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将其字母序号填入下表相应位置．1．（3分）下列实数中的无理数是（）A．B．C．D．【分析】根据无理数的概念判断即可．【解答】解：A、＝2是无理数；B、＝3，不是无理数；C、﹣不是无理数；D、＝3，不是无理数；故选：A．【点评】本题考查的是无理数的概念，掌握无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．2．（3分）有理数4的平方根是（）A．B．C．2D．±2【分析】依据平方根的定义求解即可．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故选：D．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．3．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．2，3，5B．C．8，15，17D．【分析】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、22+32≠52，不能构成直角三角形；B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形；C、82+152＝172，能构成直角三角形；D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题关键是掌握勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形．4．（3分）下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；B、原式＝＝2，所以B选项正确；C、原式＝12，所以C选项错误；D、原式＝2，所以D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．5．（3分）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象经过平面直角坐标系的第一、二、三象限，则下列结论一定正确的是（）A．kb＞0B．kb＜0C．k﹣b＞0D．k+b＜0【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、三象限，∴k＞0，b＞0．∴kb＞0，故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象上与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时，函数图象经过第二、三、四象限是解答此题的关键．6．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣x+5的图象经过A（﹣3，y1），B（2，y2）两点，则y1，y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定【分析】根据一次函数的增减性，k＜0，y随x的增大而减小解答．【解答】解：∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，∵﹣3＜2，∴y1＞y2．故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解更简便．7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC的三边为边分别向外作等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'，若△A'BC，△AB'C的面积分别是10和4，则△ABC'的面积是（）A．4B．6C．8D．9【分析】先设AC＝b，BC＝a，AB＝c，根据勾股定理有c2+b2＝a2，再根据等式性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，设等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'的面积分别是S3，S2，S1，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，∵△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90度，∴c2+b2＝a2，∴c2+b2＝a2．又∵S3＝×sin60°a•a＝a2，同理可求S2＝b2，S1＝c2，∴S1+S2＝S3，∵S3＝10，S2＝4，∴S1＝S3﹣S2＝10﹣4＝6，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，注意等边三角形的性质、特殊三角函数值的利用．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．8．（3分）对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数），表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（）A．1B．4C．8D．10【分析】经过观察5组自变量和相应的函数值得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，4），（3，10）符合解析式y＝3x+1，（2，8）不符合，即可判定．【解答】解：∵（﹣1，﹣2），（0，1），（1，4），（3，10）符合解析式y＝3x+1，当x＝2时，y＝7≠8∴这个计算有误的函数值是8，故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式是解决本题的关键．9．（3分）为比较与的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直角边的长分别为与，则由勾股定理可求得其斜边长为．根据“三角形三边关系”，可得．小亮的这一做法体现的数学思想是（）A．分类讨论思想B．方程思想C．类此思想D．数形结合思想【分析】比较与的大小，属于实数大小的比较，而根据“三角形三边关系”，可得，属于图形的性质，体现了数形结合思想．【解答】解：比较与的大小，根据“三角形三边关系”，可得，小亮的这一做法体现的数学思想是数形结合思想，故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理以及三角形三边关系的运用，解题时注意三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．10．（3分）棱长分别为8cm，6cm的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是（）A．B．C．D．【分析】求出两种展开图P A的值，比较即可判断．【解答】解：如图，有两种展开方法：方法一：P A＝＝cm，方法二：P A＝＝cm．故需要爬行的最短距离是cm．故选：C．【点评】本题考查平面展开﹣最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题含5个小题，每小题2分，共10分）把答案写在题中横线上．11．（2分）把化成最简二次根式为3．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：＝＝3．故答案为：3．【点评】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是明确最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．12．（2分）已知点P（6，m）在一次函数y＝﹣x+5的图象上，则点P的坐标为（6，3）．【分析】把点P（6，m）代入y＝﹣x+5即可求得．【解答】解：∵点P（6，m）在一次函数y＝﹣x+5的图象上，∴m＝﹣+5＝3，∴P（6，3），故答案为（6，3）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．13．（2分）在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行sm，一般地有经验公式，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：km/h）．一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离s ＝12m，则这辆汽车刹车前的速度v＝60km/h．【分析】求出V的算术平方根即可．【解答】解：把s＝12m代入s＝，得＝12，所以v2＝3600，所以v＝60（负值舍去），故答案为：60．【点评】本题考查的是算术平方根．掌握一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根是解题的关键．14．（2分）《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，点A对应的点B就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据上述条件，秋千绳索长为14.5尺．【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．【解答】解：设绳索有x尺长，则102+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝14.5．故绳索长14.5尺．故答案为：14.5．【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，AD⊥BC于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作PE⊥AB于点E，连接PB，则PB+PE的最小值为．【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝2，由勾股定理得到AD＝＝＝2，过C作CE⊥AB于E，交AD于P，则此时，PB+PE的值最小，且PB+PE的最小值＝CE，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵AB＝AC＝8，BC＝4，AD⊥BC于点D，∴BD＝CD＝2，∴AD＝＝＝2，∴点B与点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB于E，交AD于P，则此时，PB+PE的值最小，且PB+PE的最小值＝CE，∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AD，∴CE＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．三、解答题（本大题含8个小题，共60分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．16．（12分）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式计算；（3）利用二次根式的除法法则运算；（4）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝＝（2）原式＝＝＝（3）原式＝＝＝（4）原式＝＝【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．17．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，﹣1），B（4，2），C（2，4）．（1）请在如图的坐标系中画出△ABC；（2）在如图的坐标系中，画出△ABC关于y轴对称的△A′B'C'，并直接写出△A′B'C'三个顶点的坐标．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）根据A′B′，C′的位置写出坐标即可．【解答】解：（1）如图△ABC即为所求．（2）如图△A′B′C′即为所求△A'B'C'的顶点坐标分别为A'（﹣3，﹣1），B'（﹣4，2），C'（﹣2，4）．【点评】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（6分）在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离（A，B之间有水池，无法直接测量）．智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得AD＝CD＝10m，∠D＝90°，BC＝40m，∠DCB＝135°．请你根据上述数据求出A，B之间的距离．【分析】连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理求得答案即可．＜【解答】解：连接AC在△ADC中，∠D＝90°，DC＝AD＝10m，∴，由勾股定理得，∵∠BCD＝135°，∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝135°﹣45°＝90°，在Rt△ACB中，BC＝40m，由勾股定理得，答：A，B之间的距离为．【点评】考查了勾股定理的应用，解题的关键是了解如何构造直角三角形，难度不大．19．（5分）如图，已知一次函数y＝x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．点C （﹣4，n）在该函数的图象上，连接OC．求点A，B的坐标和△OAC的面积．【分析】对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出OA与OB的值，得到A、B两点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：在中，当y＝0时，，∴x＝6，∴点A的坐标为（6，0），∴OA＝6，当x＝0时，y＝﹣3，∴点B的坐标为（0，﹣3），把点C（﹣4，n）代入得，∴点C的坐标为（﹣4，﹣5），过点C作CD⊥x轴于点D，则CD＝5，∴．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．20．（5分）如图，在△ABC中，AC＝6．BC＝8，AB＝10．点C在y轴的正半轴上，边AB 在x轴上（点A在点B的左侧）．（1）求点C的坐标；（2）点D是BC边上一点，点E是AB边上一点，且点E和点C关于AD所在直线对称，直接写出点D的坐标．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据轴对称解答即可．【解答】解：（1）在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴AC2+BC2＝62+82＝100＝AB2，∴∠ACB＝90°，△ACB是直角三角形，由题意可知CO⊥AB，∴，∴，∴，∴点C的坐标为；（2）AO＝＝＝，OE＝6﹣＝，BE：BO＝DE：CO，（10﹣﹣）：（10﹣）＝DE：，解得DE＝3．则点D的坐标为．【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ACB是直角三角形解答．21．（5分）2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年纪念日，红色旅游成为旅游热点．小王要和朋友们去某红色景点旅游，其门票零售价为80元/张．国庆节期间，景点推出优惠活动，方案1：门票一律九折优惠；方案2：对10人以内（含10人）购门票不优惠，超过10人超出部分八折优惠．设小王一行参加旅游的人数为x（人），购买门票费用为y（元）．（1）小王分别写出方案1和方案2购买门票的费用y（元）与旅游人数x（人）之间的函数表达式如下，请你将空缺部分补充完整：y1＝72x（x＞0）；y2＝（2）小王一行共有40人一起去该景点旅游，通过计算，判断选择哪种方案更省钱？【分析】（1）由费用＝具体的单价×人数，分别求出y1，y2与x的关系式；（2）代入计算即可求解．【解答】解：（1）方案1：y与x的函数关系式是y＝72x（x为自然数）；方案2：y与x的函数关系式为故答案为：72x，64x+160（2）将x＝40代入y1＝72x得y1＝72×40＝2880（元），将x＝40代入y2＝64x+160得y2＝64×40+160＝2720（元），∵2880＞2720，∴y1＞y2，∴选择方案2更省钱．【点评】此题考查一次函数的实际运用，根据数字特点找出临界点是解决问题的关键．22．（9分）阅读材料：材料一：两个含有二次根式而非零代数式和乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：（1）的有理化因式为，的有理化因式为﹣；（均写出一个即可）（2）将下列各式分母有理化：；②；（要求；写出变形过程）（3）请从下列A，B两题中任选一题作答，我选择A、B题．A计算：的结果为﹣1．B计算：的结果为．【分析】（1）根据分母有理化因式的定义求解；（2）①中分子分母都乘以；②中分子分母都乘以2+3；（3）①先分母有理化，然后合并即可；②先利用因式分解中提公因式的方法变形得到原式＝++…+，然后分母有理化后合并即可．【解答】解：（1）的有理化因式为，的有理化因式为﹣；（2）①.＝②＝＝；（3）A题：原式＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1；B题：原式＝++…+＝++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案为；﹣；A、B；﹣1；．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．23．（13分）如图1，已知直线y＝3x+3与y轴，x轴分别交于A，B两点，过点B在第二象限内作BC⊥AB且BC＝AB，连接AC．（1）求点C的坐标；（2）如图2，过点C作直线CD∥x轴交AB于点D，交y轴于点E请从下列A，B两题中任选一题作答，我选择A（B）题A．①求线段CD的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由．B．①如图3，在图2的基础上，过点D作DF⊥AC于点F，求线段DF的长；②在坐标平面内，是否存在点M（除点F外），使得以点M，C，D为顶点的三角形与△FCD全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明△BCH≌△ABO（AAS），则CH＝BO＝1，BH＝AO＝3，OH＝BH+BO ＝4，即可求解；（2）A．①由（1）知点C的坐标为（﹣4，1），CD∥x轴交AB于点D，则点D的纵坐标为1，将y＝1代入y＝3x+3得1＝3x+3，即可求解；②存在，理由：以点M，C，D 为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图2的三种情况，即可求解；B．①由（1）知点C的坐标为（﹣4，1），CD∥x轴交AB于点D，交y轴于点E，点D 的纵坐标为1，AE＝3﹣1＝2将y＝1代入y＝3x+3得1＝3x+3，即可求解；②如图3，作点A关于x轴的对称轴A′，连接A′C，以点M，C，D为顶点的三角形与△FCD全等，则点D与点B为对应点，此时图3和图2情况相同，即可求解．【解答】解：（1）在y＝3x+3中，当x＝0时，y＝3，∴点A的坐标为（（0，3），∴AO＝3，在y＝3x+3中，当y＝0时，0＝3x+3，x＝﹣1，∵点B的坐标为（﹣1，0），∴BO＝1，过点C作CH⊥x轴于点H，则∠BHC＝90°，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠CBH+∠ABO＝180°﹣∠ABC＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，∵∠BHC＝∠ABO＝90°，BC＝AB，∴△BCH≌△ABO（AAS），∴CH＝BO＝1，BH＝AO＝3，∴OH＝BH+BO＝4∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣4，1）（2）A．①由（1）知点C的坐标为（﹣4，1），∵CD∥x轴交AB于点D，∴点D的纵坐标为1，将y＝1代入y＝3x+3得1＝3x+3，∴∴点D的坐标为，∴；②存在，理由：以点M，C，D为顶点的三角形与△BCD全等，点M与点B对应，有如图2的三种情况：当△M1DC≌△BDC时，则点M1和点B关于直线CE对称，则点M1的坐标为：（﹣1，2）；当△M2CD≌△BDC时，则点M2和点B关于CD的中垂线对称，故点M2（﹣，0）；当△M3CD≌△BDC时，同理可得：点M3（﹣，2）；综上：；B．①由（1）知点C的坐标为（﹣4，1），∵CD∥x轴交AB于点D，交y轴于点E，∴点D的纵坐标为1，AE＝3﹣1＝2将y＝1代入y＝3x+3得1＝3x+3，∴，∴点D的坐标为，∴在Rt△AOB中，AO＝3，BO＝1，由勾股定理得，∵BC＝AB，∴，∴，∴，∴；②存在，理由：如图3，作点A关于x轴的对称轴A′，连接A′C，以点M，C，D为顶点的三角形与△FCD全等，则点D与点B为对应点，此时图3和图2情况相同，同理可得，点M的坐标为：．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．。
山西省太原市2024-2025学年高二上学期11月期中学业诊断数学试题(含答案)
2024~2025学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试卷（考试时间：上午7：30-9：00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.题号一二三四总分得分一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.2.圆的圆心坐标为（ ）A. B. C. D.3.过点和的椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D.4.已知，，且，则（ ）A. B. C. D.5.已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）A. B. C. D.6.已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（ ）A.1B.2D.7.已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围为（ ）y x =30︒60︒120︒150︒22620x y x y ++-=()3,1-()3,1-()6,2-()6,2-()3,0()0,222132x y +=22194x y +=22123x y +=22149x y +=()1,1,a m =- ()2,,6b n =-a b ∥(),m n =()3,2-()2,3-()3,2-()2,3-l ()1,021y x =-+l 220x y +-=220x y --=210x y +-=210x y --=()():10l x m y m m +-+=∈R 22:4C x y +=A B AB ()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F C M12120F MF ∠=︒C eA. B. C. D.8.在如图所示的试验装置中，正方形框ABEF 的边长是2，矩形框ABCD 中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段AC 和BF 上移动，则MN 的长的最小值为（ ）A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知椭圆，则下列说法正确的是（ ）A.是椭圆的一个顶点 B.是椭圆的一个焦点C.椭圆的离心率 D.椭圆的短轴长为10.已知正四棱锥中，，是PB 的中点，是底面ABCD 的中心，则下列说法正确的是（ ）A.B.直线DE 与APC.直线DE 与平面ABCDD.点到直线DE11.已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭2AB AD =M N 2322:134x y C +=()2,0C ()0,1C C 12e =C P ABCD -PA AB ==E O DE AC⊥O (),P x y ()22:21M x y -+=A.的最小值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）12.直线在轴上的截距为______.13.已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为______.14.已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是______.四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分8分）已知的三个顶点，，.（1）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程；（2）求边AB 上的高所在直线的斜截式方程.16.（本小题满分8分）如图，四面体OABC 各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，.（1）用向量，，表示向量；（2）求OE 的长.17.（本小题满分10分）已知圆与圆.（1）若圆与圆相内切，求的值；yx2226x y x y ++-9-x y -1+2x y +410x y +-=y C 1y x =-221x y +=()1,1C F 22:143x y C +=P C ()0,1A PA PF +ABC △()1,2A -()3,0B ()0,2C -1D AB E CD2DE EC = OA a = OB b = OC c = a b c OE221:1C x y +=222:40C x y y F +-+=1C 2C F（2）在（1）的条件下，直线被圆截得的弦长为的值.18.（本小题满分10分）如图、四棱锥的底面ABCD 是菱形，，.（1）求证：平面平面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值.19.（本小题满分13分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，为旋杆上的一点且在，两点之间.当滑标在滑槽内作往复运动时，滑标在滑槽GH 内随之运动，放置于处的笔尖便可画出椭圆，即动点的轨迹为椭圆.如图2所示.设EF 与GH 交于点，以EF 所在的直线为轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，记，.（1）若，，求椭圆的方程；（2）证明：动点的轨迹为椭圆；（3）若，过作两条互相垂直的射线分别交椭圆于点、，求证：点到直线PQ 距离为定值.y kx =2C k P ABCD -PA PD ==2PB AB BD ===PAD ⊥M N D M N ()ND DM ≠M EF N D D C O x ND a =DM b =()0,0a b >>4MN =3ND DM =C D C a b >O C P Q O2024～2025学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试题参考答案及评分建议一.单项选择题：DA B C A D B C 二.多项选择题：9.B CD10.ACD11.ABD三.填空题：12.113.14.四.解答题：15.解：（1）设是边AB 的中点，则，…2分边AB 上的中线CD 的一般式方程为；……4分（2），，，边AB 上的高所在直线的斜率，…6分边AB 上的高所在直线的斜截式方程为.……8分16.（1）解：连接OD ，则；……4分（2）由（1）得，，.……8分17.解：（1），，，……2分，，，，……4分圆与圆相内切，，，；……5分（2）由（1）得，圆的方程为，，，……7分故圆心到直线的距离，……10分18.（1）证明：设是AD 的中点，连结OP ，OB ，四边形ABCD 是菱形，，，2220x y x y ++--=4(),D x y 131,2201,2x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-+===⎩=+()1,1D ∴∴320x y --=()1,2A - ()3,0B 12AB k ∴=-∴2k =∴22y x =-()221333OE OD DE OD DC OD OC OD OD =+=+=+-=+()212112363663OC OA OB OC a b c =++=++()146OE a b c =++()()22222114162883636OE a b c a b c a b b c c a∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 111131116288362224⎛⎫=+++⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭OE ∴= 221x y += ()10,0C ∴11r =2240x y y F +-+= ()2224x y F ∴+-=-()20,2C ∴2r = 1C 2C 1221C C r r ∴=-21∴=-5F ∴=-5F =-2C ()2229x y +-=()20,2C 23r =2C y kx =1d ===k ∴=O 2AB BD ==OB AD ∴⊥OB =，，，平面ABCD ，平面平面ABCD ；（2）由（1）得，，，以为原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，设是平面PAB 的一个法向量，则令，……6分设是平面PCD 的一个法向量，则令，则，……8分，平面PAB 与平面PCD的夹角的余弦值为.……10分19.解：（1）由题意可设椭圆的方程，则，，椭圆的方程为；…3分（2）解法一：设，，，PA PD == OP AD ∴⊥1OP =2224PB OP OB ∴=+=,OP OB OP ∴⊥∴⊥∴PAD ⊥OB AD ⊥OP OA ⊥OP OB ⊥O x y z ()1,0,0A ()B ()C -()1,0,0D -()0,0,1P ()111,,m x y z =11110,,0,,x z m PA x m AB ⎧-=⎧⊥⎪⎪∴⎨⎨-+=⊥⎪⎪⎩⎩1x =m = ()222,,n x y z =2222220,,,0,x z n PC n CD x ⎧⎧+=⊥⎪⎪∴⎨⎨⊥=⎪⎪⎩⎩ 21y =n = 1cos ,7m n m n m n ⋅∴==⋅∴17C ()222210x y a b a b+=>>334a ND MN ===114b DM MN ===∴C 2219x y +=(),D x y (),0M m ()0,N n由题意得，，，，，整理得，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分解法二：设，，由题意得，，则，即，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分（3）由题意可得椭圆的方程，当直线PQ 的斜率不存在时，设其方程为，则点到直线PQ9分当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为，，，由得，x x m NDaa b==+y y n DMba b==+()a b x m a+∴=()a b yn b+=()()()22222a b x a b y m n a b a b ⎡⎤⎡⎤++∴+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22221x y a b+=a b >D C ND DM a b <D C DM ND (),D x y OMN θ∠=cos x NDθ=sin y DMθ=2222cos sin 1x y ND DM θθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221x y a b +=a b >D C ND DM a b <D C DM ND C ()222210x y a b a b+=>>()00x x a x a =-<<0x =∴O y kx m =+()11,P x y ()22,Q x y 2222,1y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()2222222220a k b x a kmx a m b +++-=()212222222122222,,a kmx x a k b a m b x x a k b ⎧+=-⎪+⎪∴⎨-⎪=⎪+⎩，，，即，……12分点到直线PQ 距离为，综上所述，点到直线PQ.……13分OP OQ ⊥ ()()221212121210OP OQ x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++=()()2222221a b k m a b ∴+=+()2222221a b k m a b +=+∴O d ==O。
2019-2020学年山西省太原市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山西省太原市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．162．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣14．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．15．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±47．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．29．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣211．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为km．15．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．16【分析】由已知直接利用等差数列的通项公式求解．解：在等差数列{a n}中，由a1＝1，d＝2，得a4＝a1+3d＝1+3×2＝7．故选：B．2．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【分析】可以先求出方程x（x﹣1）＝0的根，根据一元二次不等式的解法，进行求解；解：x（x﹣1）＝0，可得x＝1或0，不等式x（x﹣1）＞0，解得{x|x＞1或x＜0}，故选：D．3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【分析】根据条件便有，进行向量数量积的坐标运算便可得出k的值．解：∵；∴；∴k＝2．故选：A．4．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．1【分析】利用余弦定理即可求出a的值．解：因为A＝30°，b＝，c＝1，∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝＝1，故a＝1．故选：D．5．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b【分析】通过举例利用排除法可得ABC不正确，即可得出结论．解：由a＜b，取a＝﹣2，b＝﹣1，可知A，B不正确；取a＝﹣1，b＝1，可得C不正确．故选：D．6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】根据等比数列的性质知：a1a3a5＝（a2q）3＝8，a2q＝a3＝2，a2a4＝a32＝4．解：设等比数列{a n}的公比为q，则a1a3a5＝•a2q•a2q3＝（a2q）3＝8，则a2q＝a3＝2．又a2a4＝•a3q＝a32＝22＝4．故选：B．7．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用两角差的余弦公式，求得所给式子的值．解：cos45°cos15°+sin15°sin45°＝（cos45°﹣15°）＝cos30°＝，故选：B．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．2【分析】根据向量的平方等于模的平方，利用数量积定义和数量积的性质即可得出．解：∵||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，∴＝1，＝4，•＝﹣1，∴|+|2＝（+）2＝+﹣2•＝1+4﹣2＝3，故|+|＝，故选：B．9．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．【分析】利用数列{a n}的通项公式求出数列{a n}的前4项，得到{a n}是周期为3的周期数列，从而a2020＝a1，由此能求出结果．解：在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），∴＝，＝﹣，＝0，∴{a n}是周期为3的周期数列，∵2020＝673×3+1，∴a2020＝a1＝0．故选：A．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+＝（+）（x+2y）＝3+，当且仅当且x+2y＝1即y＝＝，x＝时取等号，故选：B．11．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）【分析】由已知对a进行分类讨论，然后结合二次不等式的性质可求．解：当a＝0时，﹣1＜0恒成立，当a≠0时，可得，解可得，﹣1＜a＜0，综上可得，﹣1＜a≤0，故选：C．12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038【分析】差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，可得a2019＞0，a2020＜0．再利用求和公式及其性质即可得出．．解：∵等差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，∴a2019＞0，a2020＜0．于是S4038＝＝＞0，S4039＝＝4039•a2020＜0．∴使S n＞0成立的最大正整数n是4038．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．【分析】根据弧长公式进行计算即可．解：由题意得，扇形的半径为8cm，圆心角为45°，故此扇形的弧长为：＝．故答案为：．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为30 km．【分析】根据题意画出相应的图形，求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长．解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B＝75°﹣30°＝45°，在△ABC中，根据正弦定理得：＝，即＝，∴BC＝30km，则这时船与灯塔的距离为30km．故答案为：3015．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为2．【分析】由题意可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，代入要求的式子+，化简求得结果．解：∵已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，∴+＝+＝＝＝2，故答案为2．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为3240．【分析】由数列递推式判断数列的特征，4项一组，求和后得到一个等差数列，然后求和即可．解：设a1＝a，由a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l，得a2＝a+1，a3＝2﹣a，a4＝7﹣a，a5＝a，a6＝a+9，a7＝2﹣a，a8＝15﹣a，a9＝a，a10＝a+17，a11＝2﹣a，a12＝23﹣a．可知：a1+a2+a3+a4＝10，a5+a6+a7+a8＝26，a9+a10+a11+a12＝42，…10，26，42，…是等差数列，公差为16，∴数列{a n}的前80项和为：20×10+×16＝3240．故答案为：3240．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）设等比数列{b n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求和．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，a4＝7，可得a1+d＝3，a1+3d＝7，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；（2）设等比数列{b n}的公比为q，由b1＝a1＝1，b4＝a14＝q3＝27，解得q＝3，数列{b n}的前n项和S n＝＝（3n﹣1）．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．（2）由题意利用诱导公式，求得结果．解：（1）∴已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣．（2）＝＝﹣cos2α＝﹣．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得b的值．（2）由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．∴由正弦定理，可得b＝＝＝2．（2）∵A+B+C＝180°，A＝60°，B＝45°．∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝+＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×＝9+3．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．【分析】（1）写出f（x）解析式，根据正弦函数的周期及对称中心可得答案；（2）条件等价于sin（x+）≥，解之即可解：由题可得f（x）＝＝1+sin x+cos x﹣1＝sin（x+），（1）由f（x）解析式可得其最小正周期T＝2π，令x+＝kπ，则x＝kπ﹣，k∈Z，即f（x）的对称中心为（kπ﹣，0），k∈Z；（2）由f（x）≥1得sin（x+）≥，解得2kπ+≤x+≤2kπ+π，k∈Z，则2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，所以x的取值范围为[2kπ，2kπ+]（k∈Z）．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．【分析】（1）根据平面向量数量积的运算得到f（x）解析式，结合正弦函数性质即可得到答案；（2）由f（x）≤2得到sin（2x+）≤，解之即可解：由题得f（x）＝＝1+sin2x+cos2x＝1+sin（2x+）（1）则函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，令2x+＝kπ，解得x＝（k∈Z），即函数的对称中心为（，1）（k∈Z）；（2）当f（x）≤2时，即1+sin（2x+）≤2，所以sin（2x+）≤，则﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤kπ（k∈Z），即x的取值范围是[﹣+kπ，kπ]（k∈Z）（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用定义的应用求出结果．（2）利用（1）的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．整理得：（常数），所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．解：（2）由（1）得：，解得：a n＝n（n+2）．所以．所以：＝＝选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式，再由等差数列的定义求使{b n}为等差数列的λ值；（2）由（1）知，，令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，利用错位相减法求得T n，进一步求得数列{a n}的前n项和S n．解：由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，∴，得，，，…（n≥2）．累加得：＝＝．∴（n≥2）．a1＝5适合上式，∴．则b n＝＝．＝．若{b n}为等差数列，则λ﹣1＝0，即λ＝1．故存在实数λ＝1，使得{b n}为等差数列；（2）由（1）知，．令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，则，．∴＝，得．∴数列{a n}的前n项和S n＝n•2n+1+n．。
太原市2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(含答案)
太原市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)1.直线x－2y＋6＝0的斜率为A.2B.－2C.12D.－122.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.3πB.6πC.12πD.24π3.已知A(0，0)，B(1，1)，直线l过点(2，0)且和直线AB平行，则直线l的方程为A.x－y－2＝0B.x＋y－2＝0C.2x－y－4＝0D.2x＋y－4＝04.圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1的一条切线方程是A.x－y＝0B.x＋y＝0C.x＝0D.y＝05.已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a⊂α，b，c⊂β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b//c。
则正确的说法有A.3个B.2个C.1个D.0个6.直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是A.2x＋y－4＝0B.x＋2y－1＝0C.2x＋y－3＝0D.x＋2y－4＝07.在三棱锥A－BCD中，E，F分别为AC，AD的中点，设三棱锥A－BCD的体积为V1，四棱锥B－CDFE 的体积为V2，则V1：V2＝A.4：3B.2：1C.3：2D.3：18.设实数x，y满足约束条件x y10x y10x3y30+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则z＝x＋2y的最大值为A.8B.7C.2D.19.如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是A.BC⊥平面APCB.BC⊥PC，AP⊥PCC.AP⊥PB，AP⊥PCD.AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC10.已知半径为1的圆经过直线x＋2y－11＝0和直线2x－y－2＝0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为A.4B.5C.6D.711.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN所成角的余弦值是A.1010B.55C.255D.012.在同一平面直角坐标系中，直线y＝k(x－1)＋2和圆x2＋y2－4x－2ay＋4a－1＝0的位置关系不可能是A.①③B.①④C.②④D.②③二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上)13.空间直角坐标系中，已知点A(4，1，2)，B(2，3，4)，则|AB|＝。
山西省太原市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)
2018-2019学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点A （1，2，3）关于yOz 平面对称的点的坐标为（ ）A. (−1,2，3)B. (1,−2,3)C. (1,2，−3)D. (−1,−2,−3) 2. 由下列主体建筑物抽象得出的空间几何体中为旋转体的是（ ）A.B.C.D.3. 已知A （0，1），B （0，-1），则直线AB 的倾斜角为（ ）A. 0∘B. 90∘C. 180∘D. 不存在 4. 下列四面体中，直线EF 与MN 可能平行的是（ ）A.B.C.D.5. 已知点A （2，3）在直线11：2x +ay -1=0上，若l 2∥l 1，则直线l 2的斜率为（ ）A. 2B. −2C. 12D. −126. 设a ，b ，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列纳论成立的是（ ）A. 若a ⊥b 且b ⊥c ，则a//cB. 若α⊥β且β⊥γ，则α//γC. 若a ⊥α且a//b ，则b ⊥αD. 若α⊥β且a//α，则a ⊥β7. 已知圆C 的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（-2，3），则圆C 的方程是（ ）A. (x +1)2+(y +2)2=10B. (x −1)2+(y −2)2=40C. (x −1)2+(y −2)2=10D. (x +1)2+(y +2)2=408. 一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为（ ）A. 68πB. 17πC. 28πD. 7π9. 已知x ，y 满足不等式组{x −y +1≥02x −y −1≤0x +y +1≥0，则z =5x +2y 的最大值为（ ）A. 12B. 16C. 18D. 2010. 直线ax +y +a =0与直线x +ay +a =0在同一坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C. D.11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论：①直线A1H与该正方体各棱所成角相等；②直线A1H与该正方体各面所成角相等；③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A. ①③B. ②④C. ①②④D. ①②③12.一条光线从点P（-2，4）射出，经直线x-y+2=0反射后与圆x2+y2+4x+3=0相切，则反射光线所在直线的方程是（）A. x+√15y−2=0B. √15x+y−2=0C. x−√15y−2=0 D. √15x−y−2=0二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.已知点A（3，-3），B（0，2），则线段AB的中点坐标是______．14.已知直线l1：x-2y=1，l2：mx+（3-m）y+1．若l1⊥l2，则实数m=______．15.某三棱锥的三视图如图所示，图中三个三角形均为直角三角形，则x2+y2=______．16.△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2，M为AB中点，将△BMC沿CM折叠，当平面BMC⊥平面AMC时，A，B两点之间的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共68.0分）17.已知△ABC的三个顶点的坐标是A（1，1），B（2，3），C（3，-2）．（1）求BC边所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．18.已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）求证：AD1∥平面C1BD；（2）求证：AD1⊥平面A1DC．19.已知圆C的方程为x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0（t＞0）．（1）设O为坐标原点求直线OC的方程；（2）设直线y=x+1与圆C交于A，B两点，若|AB|=2√2，求实数t的值．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且AD=2AB=√3PA=2，AE⊥PD，垂足为E．（1）求PD与平面ABCD所成角的大小；（2）求三棱锥P-ABE的休积．21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC，AD=DC，E为棱PC上不与点C重合的点．（1）求证：平面BED⊥平而PAC；（2）若PA=AC=2，BD=4√3，且二面角E-BD-C的平面角为45°，求三棱锥P-BED3的体积．22.已知圆C1：（x-1）2+（y+5）2=50，圆C2：（x+1）2+（y+1）2=10．（1）证明圆C1与圆C2相交；（2）若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点，求圆C3的方程．23.已知圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，圆C2：x2+y2-4x-5=0．（1）试判断圆C1与圆C2是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；（2）若直线y=kx+1与圆C1交于A，B两点，且OA⊥OB，求实数k的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（-1，2，3）．故选：A．根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：在A中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故A错误；在B中，主体建筑物抽象得出的空间几何体为旋转体，故B正确；在C中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故C错误；在D中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故D错误．故选：B．利用旋转体的定义、性质直接求解．本题考查旋转体的判断，考查旋转体的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵直线经过A（0，1），B（0，-1）两点，∴直线AB的斜率不存在，∴直线AB的倾斜角90°．故选：B．由直线经过A（0，1），B（0，-1）两点，直线AB的斜率不存在，从而能求出直线AB的倾斜角．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．4.【答案】C【解析】解：根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF 平行，不可能；故选：C．利用异面直线判定定理可确定A，B错误；利用线面平行的性质定理和过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，可判定D错误．此题考查了异面直线的判定方法，线面平行的性质等，难度不大．5.【答案】A【解析】解：∵点A（2，3）在直线11：2x+ay-1=0上，∴2×2+3a-1=0，解得a=-1，∴直线l1：2x-y-1=0，∵l2∥l1，∴直线l2的斜率k=2．故选：A．由点A（2，3）在直线11：2x+ay-1=0上，求出直线l1：2x-y-1=0，再由l2∥l1，能示出直线l2的斜率．本题考查直线的斜率的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，知：在A中，若a⊥b且b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β且β⊥γ，则α与γ相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α且a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故C正确；在D中，若α⊥β且a∥α，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选：C．在A中，a与c相交、平行或异面；在B中，α与γ相交或平行；在C中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在D中，a与β相交、平行或a⊂β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（-2，3），故利用中点公式求得圆心为（1，2），半径为=，故圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=10，故选：C．利用中点公式求得圆心坐标，再求出半径，可得圆C的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：长方体的外接球直径即为长方体的体对角线，由题意，体对角线长为：=，外接球的半径R=，=17π，故选：B．利用长方体的外接圆直径为体对角线，容易得解．此题考查了长方体的外接球面积，属容易题．9.【答案】B【解析】解：作出x，y满足不等式组对应的平面区域，由z=5x+2y，得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z，经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（2，3），此时z的最大值为z=5×2+2×3=16，故选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10.【答案】D【解析】解：直线ax+y+a=0与直线x+ay+a=0不可能平行，故B错误；当a＞0时，直线ax+y+a=0是减函数，直线x+ay+a=0是减函数，故A和C都错误；当a＜0时，直线ax+y+a=0是增函数，与y轴交于正半轴，直线x+ay+a=0是增函数，与y轴交于负半轴，故A，B，C和D都错误．综上，正确答案是a＞0，直线ax+y+a=0与直线x+ay+a=0在同一坐标系中的图象可能是D．故选：D．根据a的符号，分类讨论，利用数形结合思想和排除法能求出结果．本题考查函数图象的判断，考查直线的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】D【解析】解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为arctan，故①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．由A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A1ACC1为矩形，可判断③；由垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，可判断④．本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：点P（-2，4）关于直线x-y+2=0的对称点为Q（2，0），设反射光线所在直线方程为：y=k（x-2），即kx-y-2k=0，依题意得：=1，解得：k=±，依题意舍去k=故反射线所在直线方程为：x+y-2=0，故选：A．根据光学性质，点P（-2，4）关于直线x-y+2=0对称的点在反射线所在直线上，设出所求直线方程，然后用点到直线的距离等于半径，求出斜率，舍去正值即可．本题考查了直线与圆的位置关系．属中档题．13.【答案】（32，−12）【解析】解：设A、B的中点为P（x0，y0），由A（3，-3）、B（0，2），再由中点坐标公式得：，．∴线段AB的中点坐标为（）．故答案为：（）．直接利用中点坐标公式求解．本题考查了中点坐标公式，是基础题．14.【答案】2【解析】解：∵直线l1：x-2y=1，l2：mx+（3-m）y+1．l1⊥l2，∴1×m+-2×（3-m）=0，解得m=2．故答案为：2．利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】34【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC是以∠ABC为直角的直角三角形．则x2+y2=x2+PA2+AD2=（PA2+AB2）+AD2=52+32=34．故答案为：34．由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，然后利用勾股定理转化求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.【答案】√102【解析】解：取MC中点O，连结AO，BO，∵△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2，M为AB中点，∴AC=BM=AM=CM=1，∴AO==，BO===，AO⊥MC，将△BMC沿CM折叠，当平面BMC⊥平面AMC时，AO⊥平面BMC，∴AO⊥BO，∴A，B两点之间的距离|AB|===．故答案为：．取MC中点O，连结AO，BO，推导出AC=BM=AM=CM=1，AO==，BO==，AO⊥MC，AO⊥平面BMC，AO⊥BO，由此能求出A，B两点之间的距离．本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：（1）∵B（2，3），C（3，-2），∴边BC所在的直线方程为y−(−2)3−(−2)=x−32−3，即5x+y-13=0；（2）设B到AC的距离为d，则S△ABC=12|AC|⋅d，|AC|=√(3−1)2+(−2−1)2=√13，AC方程为：y−(−2)1−(−2)=x−31−3即：3x+2y-5=0∴d=|3×2+2×3−5|√32+22=7√13．∴S△ABC=12×√13×7√13=72．【解析】（1）直接由两点式直线方程公式求解即可；（2）求出B到AC的距离为d，再求AC的距离，然后利用面积公式求解即可．本题考查两点式直线方程公式，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，是中档题．18.【答案】证明：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1．∴C1D1∥A1B1，C1D1=A1B1，又AB∥A1B1，AB=A1B1，∴C1D1∥AB，C1D1=AB，∴四边形C1D1AB是平行四边形，∴AD1∥C1B，∵C1B⊂平面C1BD，AD1⊄平面C1BD，∴AD1∥平面C1BD．（2）∵正方体ABCD-A1B1C1D1．∴A1D⊥AD1，CD⊥平面A1ADD1，∵AD1⊂平面A1ADD1，∴CD⊥AD1，又A1D∩CD=D，∴AD1⊥平面A1DC．【解析】（1）推导出四边形C1D1AB是平行四边形，从而AD1∥C1B，由此能证明AD1∥平面C1BD．（2）推导出A1D⊥AD1，CD⊥平面A1ADD1，CD⊥AD1，由此能证明AD1⊥平面A1DC．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）圆C的方程为x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0（t＞0），即（x-2t）2+（y-t）2=4，故圆心C（2t，t），故直线OC的方程为y=12x．（2）圆心C（2t，t）到直线y=x+1的距离为d=√2=√2，根据弦心距、弦长、半径之间的关系，可得(√2)2+(√2)2=4，∴t=1，或t=-3 （舍去），∴t=1．【解析】（1）把圆C的方程化为标准形式，可得C的坐标，从而求得直线OC的方程．（2）求出弦心距，再根据弦心距、弦长、半径之间的关系，求得t的值．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA为PD与平面ABCD所成角，且PA⊥AD，∵AD=2AB=√3PA=2，∴tan∠PDA=PAAD =√3 3，∴PD与平面ABCD所成角的大小为π6．（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥AB，∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵AE⊥PD，∴S△PAE=12×PE×AE=√36，∴三棱锥P-ABE的体积为：V P-ABE=13×S△PAE×AB=√318．【解析】（1）由PA⊥平面ABCD，得∠PDA为PD与平面ABCD所成角，由此能求出PD 与平面ABCD所成角的大小．（2）推导出PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，从而AB ⊥平面PAD ，由此能求出三棱锥P-ABE 的体积．本题考查线面角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21.【答案】证明：（1）∵AB =BC ，AD =DC ，∴AC ⊥BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BD ， ∵PA ∩AC =A ，∴BD ⊥平面PAC ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面PAC ． 解：（2）设AC 与BD 交于点F ，连结EF ， 由（1）知EF ⊥BD ，FC ⊥BD ， ∴∠EFC =45°，由（1）知F 为AC 中点， ∴PA =AC =2，∵PA ⊥AC ，∴∠PCF =45°，∴EF =√22，PE =3√22，且EF ⊥PC ，又PC ⊥BD ，∴PC ⊥平面BED ， ∴三棱锥P -BED 的体积： V P -BDE =13×S △BDE ×PE=13×12×BD ×EF ×PE =16×4√33×√22×3√22=√33．【解析】（1）推导出AC ⊥BD ，PA ⊥BD ，从而BD ⊥平面PAC ，由此能证明平面BED ⊥平面PAC ．（2）设AC 与BD 交于点F ，连结EF ，三棱锥P-BED 的体积V P-BDE =，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：（1）证明：由已知得C 1：（1，-5），r 1=5√2，C 2（-1，-1），r 2=√10，所以r 1+r 2=5√2+√10，|r 1-r 2|=5√2-√10，|C 1C 2|=2√5， 因为|r 1-r 2|＜|C 1C 2|＜r 1+r 2，所以两圆相交；（2）解：设圆C 3：（x -1）2+（y +5）2-50+λ[（x +1）2+（y +1）2-10]=0 因为过原点，所以12+52-50+λ（12+12-10）=0，解得λ=-3，代入C 3：（x -1）2+（y +3）2-50+（-3）[（x +1）2+（y +1）2-10]=0， 化简得x 2+y 2+4x -2y =0，所以圆C 3：x 2+y 2+4x -2y =0． 【解析】（1）用圆心距与两圆半径的关系证明；（2）设出经过两圆交点的圆系方程，然后代入原点． 本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属中档题．23.【答案】解（1）由已知得C 1（-1，2），r 1=2，C 2（2，0），r 2=3，所以r 1+r 2=5，|r 1-r 2|=1，|C 1C 2|=√13，因为|r 1-r 2|＜|C 1C 2|＜r 1+r 2，所以圆C 1与圆C 2相交，将两个圆方程相减，得（x +1）2+（y -2）2-（x -2）2-y 2=-5， 化简得两圆公共弦所在直线方程为：3x -2y +3=0 （2）由{y =kx +1(x+1)2+(y−2)2=4，得（x +1）2+（kx -1）2=4，化简得（1+k 2）x 2+（2-2k ）x -2=0且△=（2-2k ）2+8（1+k 2）＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=-2−2k1+k 2，x 1x 2=−21+k 2， 因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+（kx 1+1）（kx 2+1）=0， 化简得：（1+k 2）x 1x 2+k （x 1+x 2）+1= 所以-2-k(2−2k)1+k 2+1=0，化简得k 2-2k -1=0，解得k =1+√2或k =1-√2． 【解析】（1）用圆心距与两圆半径的关系判断两圆位置关系；用两圆方程相减消去二次项得相交弦所在直线方程；（2）联立直线与圆的方程，根据韦达定理以及两线垂直的向量关系列式可解得k ．本题考查了圆与圆的位置关系及其判定．属中档题．。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题(空间向量与立体几何 直线与圆 圆锥曲线)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A 版2019选择性必修第一册全册（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
5．难度系数：0.60。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1310y --=的倾斜角为（）A ．30oB ．135C ．60oD ．150【答案】A【解析】因为该直线的斜率为3，所以它的倾斜角为30o .故选A.2．在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，G 为ABC V 的重心，P 在OG 上，且12OP PG = ，则AP =（）A ．211999a b c-++ B ．811999a b c--C ．811999a b c-++D ．211999a b c--【答案】C【解析】延长BG 交AC 于点D ，则点D 为AC 的中点，因为12OP PG = ，所以13OP OG =，所以()1133AP OP OA OG OA OB BG OA =-=-=+- ，所以()1121233339AP OB BD OA OB OD OB OA =+⨯-=+-- ，所以()121118992999AP OB OA OC OA OB OC OA =+⨯+-=+- ，因为OA a = ，OB b =，OC c = ，所以811999AP a b c =-++ ，故选C.3．“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当3m =-时，直线11:02l x y --=与21:03l x y -+=平行；当直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行时，有()1230m m +-⨯=且1210m ⨯-⋅≠，解得3m =-，故“3m =-”是“直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行”的充要条件.故选A.4．直线:10l x y -+=与圆22:230C x y x +--=交于,A B 两点，则AOB V 的面积为（）A 3B ．2C ．22D ．32【答案】B【解析】如图，由圆22:230C x y x +--=配方得，22(1)4x y -+=，知圆心为(1,0)C ,半径为2，过点(1,0)C 作CD AB ⊥于D ，由(1,0)C 到直线:10l x y -+=的距离为2||22CD =,则22||2||22(2)22AB AD ==-=,故AOB V 的面积为11||||222222AB CD ⋅=⨯=.故选B.5．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为3y x =，则C 的离心率为（）A 2B 3C ．2D ．4【答案】C【解析】由双曲线方程易知C 的渐近线为b y x a =±，所以b a2e ==.故选C.6．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的方程为（）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=【答案】A【解析】不妨设1,1,2,2，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得2222122122220x x y y a a b b -+-=，整理可得()()2121221212b x x y y x x a y y +-=--+，根据题意可知直线AB 的斜率为()011312--=-，由AB 的中点坐标为(1,1)-可得12122,2x x y y +=+=-；因此()()222121222212122122b x x y y b b x x a y y a a +-=-=-==-+-，可得222a b =，又焦点为()3,0F 可得2229a b c -==，解得229,18b a ==；所以椭圆E 的方程为221189x y +=.故选A.7．已知直线1:50l ax y -+=与直线2:40()l x ay a a +-+=∈R 的交点为P ，则点P 到直线:3l y x =-距离的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线1l ，2l 分别过定点(0,5)A ，(4,1)B -，且互相垂直，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含点()0,1），这个圆的圆心坐标为()2,3-，半径为圆心到直线l距离为d =圆上的点到直线l 距离最大值为(0,1)，因此取值范围是.故选D.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点,,(2,2)M N A 在抛物线C 上，0AM AN k k +=，其中1AM k >，则|sin sin |FMN FNM ∠-∠的最大值为（）ABCD 【答案】B【解析】点(2,2)A 在抛物线C 上，把点(2,2)A 代入2:2(0)C y px p =>中得2222p =⋅，则1p =，所以抛物线为2:2C y x =，直线()():221AM y k x k -=->，与抛物线方程联立可得，2244ky y k -+-0=，则442M k y k -⋅=，则22M ky k-=，0AM AN k k +=，则AN k k =-，所以用k -替换可得22N k y k+=-，则2222M N M NMN N M M Ny y y y k y y x x --===--212M N y y =-+，则()222122,k k M k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故()222122,k k N k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪⎝⎭，直线22:k MN y k --=()222112k x k ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即21112y x k =-+-，则点F 到直线MN的距离21)d k ==>，()()222221218M N k k x x kkk -+--=-=，()()()2222224412121M N k k k x x k k k--+=⋅=，()()222222212144M N k k k x x k k k -+++=+，而1111sin sin 1122M N FMN FNM dd FM FN x x ∠-∠=-=-=++()2342321125241624M N M N M N x x k d k k x x x x -=-++++44554k k kkk --=⎝⎭，令45=-t k k，因为1k >，所以451t k k =->，故211sin sin 16168t FMN FNM t t t ∠-∠⋅⋅⋅++当且仅当()161)t t t=>，即4t =时等号成立，故选：B ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===，点M 为线段11B D 上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）A ．当点M 为11B D 中点时，1C M ⊥平面11BBD DB ．当点M 为11B D 中点时，直线DM 与直线BC 所角的余弦值为23C ．当点M 在线段11BD 上运动时，三棱锥1C BDM -的体积是定值D ．点M 到直线1BC 距离的最小值为63【答案】ACD【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,2,1),(0,0,1),(2,2,1)D B C C D B ，设(,,1),02M t t t ≤≤，对于A ，1t =，(1,1,1)M ，1(1,1,0)MC =- ，1(0,0,1),(2,2,0)DD DB ==，1110,0MC DD MC DB ⋅=⋅=，即111,MC DD MC DB ⊥⊥，而11,,DD DB D DD DB =⊂ 平面11BB D D ，因此1C M ⊥平面11BB D D ，A 正确；对于B ，(1,1,1),(2,0,0)DM BC ==-，1cos ,3||||DM BC MC BC DM BC ⋅〈〉===，B 错误；对于C ，由选项A 知，点1C 到平面11BB D DBDM的面积112BD DD ⋅=因此三棱锥1C BDM -的体积23是定值，C 正确；对于D ，11(2,0,1),(,2,0)BC C M t t =-=-，则点M 到直线1BC的距离d ==53t =时取等号，D 正确.故选ACD10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)2C x y -+=的动弦AB，圆2228C :(x a )(y -+=，则下列选项正确的是（）A ．当圆1C 和圆2C 存在公共点时，则实数a 的取值范围为[3,5]-B ．1ABC 的面积最大值为1C ．若原点O 始终在动弦AB 上，则OA OB ⋅不是定值D ．若动点P 满足四边形OAPB 为矩形，则点P的轨迹长度为【答案】ABD【解析】对于A ，圆221:(1)2C x y -+=的圆心为1,02228C :(x a )(y -+=的圆心为(a，半径为1C 和圆2C存在公共点时，12C C ≤≤2(1)a ≤-≤35a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[3,5]-，正确；对于B ，1ABC 的面积为1111sin sin 12ABC S AC B AC B =∠=∠≤ ，当1π2AC B ∠=时，1ABC 的面积有最大值为1，正确；对于C ，当弦AB 垂直x 轴时，()()0,1,0,1A B -，所以()0111OA OB ⋅=+⨯-=-，当弦AB 不垂直x 轴时，设弦AB 所在直线为y kx =，与圆221:(1)2C x y -+=联立得，()221210k x x +--=，设1122()A x y B x y ,,(,)，则12211x x k -=+，()()2221212121212211111OA OB x x y y x x k x x k x x k k -⋅=+=+=+=+⨯=-+ ，综上1OA OB ⋅=- ，恒为定值，错误；对于D ，设0,0，OP 中点00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点也是AB 中点，且AB OP =，又AB =，所以()220013x y -+=，所以点P 的轨迹为以1,0，正确.故选ABD.11．如图，曲线C 是一条“双纽线”，其C 上的点满足：到点()12,0F -与到点()22,0F 的距离之积为4，则下列结论正确的是（）A ．点()D 在曲线C 上B ．点(),1(0)M x x >在C 上，则1MF =C ．点Q 在椭圆22162x y+=上，若12F Q F Q ⊥，则Q C∈D ．过2F 作x 轴的垂线交C 于,A B 两点，则2AB <【答案】ACD【解析】对选项A ，因为()()12224DF DF =+=，由定义知D C ∈，故A 正确；对选项B ，点(),1(0)M x x >在C 上，则124MF MF ==，化简得42690x x -+=，所以x =，1MF =B 错误；对选项C ，椭圆22162x y +=上的焦点坐标恰好为()12,0F -与()22,0F ，则12FQ F Q +=12F Q F Q ⊥，所以221216F Q F Q +=，故()()22212121242F Q F Q F Q F Q F Q F Q +-+⋅==，所以Q C ∈，C 正确；对选项D ，设()2,A y ，则2AB y =，因为A C ∈，则14AF y=，又22116AF y =+，所以221616y y=+，化简得4216160y y +-=，故28y =，所以2190y -=<，故y <1，所以2AB <，故D 正确，故选ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12AA =，D 为1B B 的中点，则异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值为．【答案】4【解析】以A 为坐标原点，在平面ABC 内作垂直于AC 的直线Ax 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示：则()10,0,2A，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()10,1,2C，1,12D ⎫⎪⎪⎝⎭，所以11,22A B ⎫=-⎪⎪⎝⎭，11,12C D ⎫=--⎪⎪⎝⎭，所以11111152cos ,4A B C D A B C D A B C D⋅<==>，则直线1A B 与1C D 所成角的余弦值为104，故答案为：10413．已知圆C ：()()22114x y ++-=，若直线5y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线夹角为60o ，则实数k 的取值范围是【答案】0k ≥或815k ≤-．【解析】圆()()22:114C x y ++-=，则圆心为()1,1C -，半径2r =，设两切点为,A B ，则PA PB =，因为60APB ∠=o ，在Rt PAC △中1302APC APB ∠=∠=o ，2AC r ==，所以||4PC =,因此只要直线l 上存在点P ，使得4PC =即可满足题意．圆心(1,1)C -，所以圆心到直线的距离4d =≤，解得0k ≥或815k ≤-．故答案为：0k ≥或815k ≤-．14．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 在以2F 为圆心､2OF 为半径的圆上，且直线1MF 与圆2F 相切，若直线1MF 与C 的一条渐近线交于点N ，且1F M MN =，则C 的离心率为.【答案】2【解析】不妨设点M 在第一象限，连接2F M ，则212,F M NF F M c ⊥=，故1F M ==，1230MF F ∠=o，设()00,N x y ，因为1F M MN =，所以M 为1NF 的中点，112NF F M ==，故0y =.0sin30,cos302x c c ==⋅-= ，将()2N c 代入b y x a =中，故b a2c e a ===.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知(3,1),(1,2),A B ACB -∠的平分线所在的直线的方程为1y x =+．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求AC 的直线方程．【解析】（1）AB 的中点坐标为31123,1,222-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又211134ABk -==---，-----------------------------2分故AB 的中垂线斜率为4，---------------------------------------------------------------------------------------------4分故AB 的中垂线方程为()3412y x -=-，即8250x y --=；----------------------------------------------------6分（2）由对称性可知，()1,2B -关于1y x =+的对称点(),D s t 在直线AC 上，故21121122t s t s -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，-----9分解得10s t =⎧⎨=⎩，故()1,0D ，-----------------------------------------------------------------------------------------------11分故直线AC 的方程为130113y x --=--，即210x y --=.---------------------------------------------------------13分16．（15分）已知圆C 的方程为：()()22314x y -++=．(1)若直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =，求实数a 的值；(2)过点()1,2M 作圆C 的切线，求切线方程．【解析】（1）圆C 的方程为：22(3)(1)4x y -++=，则圆C 的圆心为(3,1)-，半径为2，--------------2分直线:0l x y a -+=与圆C 相交于A 、B两点，且||AB =----------4分解得2a =-或6-；--------------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）当切线的斜率不存在时，直线1x =，与圆C 相切，-------------------------------------------------------8分切线的斜率存在时，可设切线为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，---------------------------------------9分2，解得512k =-，---------------------------------------------------------13分故切线方程为512290x y +-=，综上所述，切线方程为1x =或512290x y +-=．-------------------------15分17．（15分）如图，在圆锥PO 中，AC 为圆锥底面的直径，B 为底面圆周上一点，点D 在线段BC 上，26AC AB ==，2CD DB =.(1)证明：AD ⊥平面BOP ；(2)若圆锥PO 的侧面积为18π，求二面角O BP A --的余弦值.【解析】（1）PO ⊥ 平面,ABC BA BC ⊥，故以B 为坐标原点，BA 为x 轴正方向，BC 为y 轴正方向，与OP同向的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系.设OP x =，故()()0,0,0,3,0,0B A，()33,,,22O P x D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，-----------------------------------------------------------2分()AD =-，33,,0,,,2222BO BP x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.33333330,302222AD BO AD BP ⋅=-⨯⨯=⋅=-⨯⨯= .-------------------------------5分故,AD BO AD BP ⊥⊥，,,BP BO B BP BO ⋂=⊂ 平面BOP ，AD ∴⊥平面BOP .---------7分（2） 圆锥PO 的侧面积3π18π,6S PA PA =⨯=∴=，OP x ∴===由（1）可知，()AD =-为平面BOP 的法向量，---------------------------------------------------------8分设平面ABP 的法向量为(),,m a b c =，而()3,0,0BA =，3,22BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故303022m BA a m BP a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1c =-得()0,2,1m =- ，-----------------------------------------------12分则5cos<,5m AD m AD m AD-⨯+⨯-⋅====⋅>，所以二面角O BP A --分18．（17分）已知双曲线C 和椭圆2214x y +=有公共焦点，且离心率e =．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()2,1P 作两条相互垂直的直线,PM PN 分别交双曲线C 于不同于点P 的M N 、两点，求点P 到直线MN 距离的最大值．【解析】（1）因为椭圆2214x y +=的焦点在x 轴上，所以双曲线C的c ==，又因为c e a ==，所以1a b =，所以双曲线C 的方程为2212x y -=.---------------------------------------5分（2）当直线MN 的斜率不存在时，设()()000,0M x y y >，则()00,N x y -，()()00002,1,2,1PM x y PN x y =--=---，依题意()()00002,12,10PM PN x y x y ⋅=--⋅---= ，()()2200210x y ---=，即22000450x x y --+=，由2200022004512x x y x y ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩解得006x y =⎧⎪⎨=⎪⎩0021x y =⎧⎨=⎩（舍去），所以((,6,M N ，此时P 到直线MN 的距离为624-=.------------------------------------------------------------------------------8分当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+.由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简得：()222214220k x kmx m -+++=，()()22222222Δ164212216880,210k m k m k m m k =--+=-++>-+>①，2121222422,2121km m x x x x k k -++==--，------------------------------------------------------------------------------10分依题意()()11222,12,10PM PN x y x y ⋅=----=，所以()()()()()()()()1212121222112211x x y y x x kx m kx m --+--=--++-+-()()()2212121225k x x km k x x m m =++--++-+()()22222224122502121m km k km k m m k k +-=+⋅+--⋅+-+=--，整理得22812230m km k m +++-=，即()()21630m k m k +-++=，由于P ∉直线MN ，12k m ≠+，所以630,63m k m k ++==--，函数()2226321343610y k k k k =---+=-+的开口向上，判别式为()2364341012961360640--⨯⨯=-=-<，故①成立.所以直线MN 的方程为63y kx k =--，即630kx y k ---=，------------------------------------------------------------------------------13分所以P 到MN的距离d ==22221221411d k k k k k ++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，当0k ≤时，22111k k +≤+；当0k >时222111211k k k k +=+≤+=++，当且仅当1,1k k k ==时等号成立.所以22,44d d d ⎛⎫≤≤≤ ⎪⎝⎭综上所述，点P 到直线MN的距离的最大值为分19．（17分）已知F 为椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左焦点，椭圆C过点(P ，且直线PF的斜率为.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点()11,M x y ，()22,N x y 在椭圆C 上，且90MFN ∠=︒，过M ，N 分别作椭圆C 的切线1l ，2l ，1l 与2l相交于点Q.（i）求点Q的轨迹方程；（ii）求PQF△周长的最小值.【解析】（1）由题意得，直线PF的方程为()224y x=-，即20x-+=，当0y=时，2x=-，故2c=，由224214a a+=-解得28a=或22a=（舍去），椭圆C的方程22184x y+=.------------------------------------------------------------------------------3分（2）（i）设直线MN：x my t=+，()00,Q x y，1,1，2,2，与C联立()22222228028x my tm y mty tx y=+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，所以12222mty ym+=-+，212282ty ym-=+，------------------------------------------------------------------------------5分由90MFN∠=︒可得()()()()()()22121212122201220x x y y m y y m t y y t+++=⇔++++++=()()()()()222221822220m t m t t t m⇔+--++++=；化简可得223840t t m+-=①--------------------7分设1l的方程为()11y y k x x-=-，即()11y kx y kx=+-，与C联立()()()()2222211111128124280x yk x k y kx x y kxy kx y kx⎧+=⎪⇒++-+--=⎨=+-⎪⎩，令()()()22221111Δ1681240k y kx k y kx⎡⎤=--+--=⎣⎦，结合221128x y+=，解得112xky=-，所以切线方程为()11112xy x x yy=--+，即直线1l方程为：11184x x y y+=，k不存在时也满足此直线方程，同理可得2l方程为：22184x x y y +=，由Q 在直线1l ，2l 上，则10102020184184x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即1,1，2,2在直线00184x x y y +=上，所以直线MN 方程为：00184x x y y +=，即00028y x y x x =-+②，由①②可得()20043y x =+，00x =时也满足此方程，所以Q 的轨迹方程为()243y x =+.-------------------------------------------------------------14分（ii ）由（i ）可知Q 在以()2,0F -为焦点，以4x =-为准线的抛物线上，过,P Q 分别向直线4x =-作垂线，垂足分别为P '，Q '，由抛物线定义可得：6PQ PF QF PQ QQ PF PP PF ++=+++='≥+'当且仅当P ，Q ，Q '共线时取等，所以PQF△周长的最小值为6+分。
山西省太原市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)
山西省太原市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
）1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据关于yOz平面对称，x值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．【详解】在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（﹣1，2，3）．故选：A．【点睛】本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．2.由下列主体建筑物抽象得出的空间几何体中为旋转体的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用旋转体的定义、性质直接求解．【详解】在A中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故A错误；在B中，主体建筑物抽象得出的空间几何体为旋转体，故B正确；在C中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故C错误；在D中，主体建筑物抽象得出的空间几何体不为旋转体，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查旋转体的判断，考查旋转体的定义及性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知，则直线AB的倾斜角为（）A. 0°B. 90°C. 180°D. 不存在【答案】B【解析】【分析】由直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，直线AB的斜率不存在，从而能求出直线AB的倾斜角．【详解】∵直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，∴直线AB的斜率不存在，∴直线AB的倾斜角90°．故选：B．【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．4.下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用异面直线判定定理可确定A，B错误；利用线面平行的性质定理和过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，可判定D错误．【详解】根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF平行，不可能；故选：C．【点睛】此题考查了异面直线的判定方法，线面平行的性质等，难度不大．5.已知点在直线上，若，则直线的斜率为（）A. 2B. ﹣2C.D.【答案】A【解析】【分析】由点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，求出直线l1：2x﹣y﹣1＝0，再由l2∥l1，能示出直线l2的斜率．【详解】∵点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，∴2×2+3a﹣1＝0，解得a＝﹣1，∴直线l1：2x﹣y﹣1＝0，∵l2∥l1，∴直线l2的斜率k＝2．故选：A．【点睛】本题考查直线的斜率的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.设为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列结论成立的是（）A. 若且，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若且，则【答案】C【解析】【分析】在A中，a与c相交、平行或异面；在B中，α与γ相交或平行；在C中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在D 中，a与β相交、平行或a⊂β．【详解】由a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，知：在A中，若a⊥b且b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β且β⊥γ，则α与γ相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α且a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故C正确；在D中，若α⊥β且a∥α，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知圆C的一条直径的端点坐标分别是和，则圆C的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用中点公式求得圆心坐标，再求出半径，可得圆C的方程．【详解】圆C的一条直径的端点坐标分别是（4，1）和（﹣2，3），故利用中点公式求得圆心为（1，2），半径为，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝10，故选：C．【点睛】本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．8.一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用长方体的外接圆直径为体对角线，容易得解．【详解】长方体的外接球直径即为长方体的体对角线，由题意，体对角线长为：，外接球的半径R＝，＝17π，故选：B．【点睛】此题考查了长方体的外接球面积，属容易题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.9.已知满足不等式组，则的最大值为（）A. 12B. 16C. 18D. 20【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出x，y满足不等式组对应的平面区域，由z＝5x+2y，得y＝x+z，平移直线y＝x+z，由图象可知当直线y＝x+z，经过点B时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（2，3），此时z的最大值为z＝5×2+2×3＝16，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
2023-2024学年山西省太原市高二下学期期中数学试题1(含解析)
2023-2024学年山西省太原市高二下册期中数学试题一、单选题1．随机变量X 的分布列为X -101Pabc其中a ,b ,c 成等差数列,则()||1P X =等于A ．16B ．13C ．12D ．23【正确答案】D【详解】因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b =a+c ,又a+b+c =1,所以b =13,所以P (|X|=1)=a+c =23，故选D.2．在等差数列{}n a 中，56789450a a a a a ++++=，则311a a +的值为（）A ．45B ．75C ．180D ．300【正确答案】C【分析】利用等差数列的性质求出7a ，再利用等差数列的性质可得结果.【详解】由()()567895968775450a a a a a a a a a a a ++++=++++==，得到790a =，则31710218a a a =+=．故选：C.3．已知无穷等差数列{}n a 中，它的前n 项和n S ，且76S S >，78S S >那么()A ．{}n a 中7a 最大B ．{}n a 中3a 或4a 最大C ．当8n ≥时，0n a <D ．一定有311S S =【正确答案】C【分析】根据等差数列中，76S S >，得7760a S S =->，又由78S S >，得8870a S S =-<，进而得到870d a a =-<，即可得到答案．【详解】由题意，因为无穷等差数列{}n a 中，它的前n 项和n S ，且76S S >，78S S >，由76S S >，可得7760a S S =->，又由78S S >，可得8870a S S =-<，所以870d a a =-<，所以当17,n n N +≤≤∈时，0n a >，当8,n n N +≥∈时，0n a <．故选C ．本题主要考查了等差数列前n 项和与通项n a 的关系的应用，其中解中熟记等差数列的前n 项和与通项n a 之间的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．不相等的三个正数a 、b 、c 成等差数列，并且x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，则x 2、b 2、y 2三数()A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列【正确答案】B【详解】由已知条件，可得由②③得22{x a by c b==代入①，得22x y b b+＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2、b 2、y 2成等差数列，故选B.5．已知ξ～B （n ，p ），且E ξ=7，D ξ=6，则p 等于（）A ．17B ．16C ．15D ．14【正确答案】A【分析】ξ服从二项分布，由二项分布的期望和方差公式解出p 即可.【详解】由于随机变量(),B n p ξ ，则7E np ξ==，()16D np p ξ=-=，∴617p -=，∴17p =，故选：A.本题主要考查二项分布的期望和方差公式，属于基础题.6．同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X ，则X 的数学期望是A ．1B ．2C ．32D ．52【正确答案】A【分析】利用二项分布求解即可【详解】∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为111=224⨯，∴1~(4,)4X B ，∴1()414E X =⨯=.故选A.求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布~(,)B n p ，也可以直接利用公式()E np ξ=求数学期望.7．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为A ．100B ．110C ．120D ．180【正确答案】B【详解】试题分析：10人中任选3人的组队方案有310120C =，没有女生的方案有3510C =，所以符合要求的组队方案数为110种排列、组合的实际应用8．安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有A ．30种B ．40种C ．42种D ．48种【正确答案】C利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：2264C C 90=种安排方法其中A 照顾老人甲的情况有：1254C C 30=种B 照顾老人乙的情况有：1254C C 30=种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：1143C C 12=种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.二、多选题9．数列{}n a 是递减的等差数列，{}n a 的前n 项和是n S ，且69S S =，以下结论正确的是（）A ．80a =B ．当n 等于7或8时，n S 取最大值；C ．存在正整数k ，使0k S =；D ．存在正整数m ，使2m m S S =.【正确答案】ABCD【分析】由69S S =及等差中项的性质可得80a =，根据80a =以及等差数列的性质即可逐一求解.【详解】69S S = ，967890S S a a a ∴-=++=，由等差数列的性质得830a =，80a ∴=，故A 正确；数列{}n a 是递减的等差数列，127890a a a a a ∴>>>>=>L L ，∴当n 的值等于7或8时，n S 取得最大值，故B 正确；又 80a =，则1511581()151502S a a a =+⨯==，∴存在正整数15k =时，使0k S =，故C 正确；由等差数列的性质，得105678910850S S a a a a a a -=++++==，∴存在正整数5m =，使2m m S S =，故D 正确；故选：ABCD ．10．已知数列{}n a 是等比数列，以下结论正确的是（）A ．2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 项和3=+nn S r ，则1r =-【正确答案】ACD【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=，对于A ，222112()n n n n a a q a a ++==，且210a ≠，则2{}n a 是等比数列，A 正确；对于B ，320a =>，则2530a a q =>，B 错误；对于C ，由123a a a <<知，11(1)0(1)0a q a q q ->⎧⎨->⎩，则10(1)0q a q >⎧⎨->⎩，111(1)0n n n a a q a q -+-=⋅->，即N n *∀∈，1n n a a +>，数列{}n a 是递增数列，C 正确；对于D ，显然1q ≠，则111(1)111n n n a q a aS q q q q -==⋅----，而3=+n n S r ，因此113,1,111a aq r q q ===-=---，D 正确.故选：ACD11．下列等式成立的是（）A ．111C C 1mm n n m n +++=+B ．32853C 2C 128-=C ．11C C r r n n r n --=D ．12C C C 2n nn n n +++= 【正确答案】AC【分析】根据组合数公式计算可以判断A,B,C 选项，特殊值法可以判断D 选项.【详解】()()()()()111!!11!C ,C !!11!1!!!mm n n n n m m n m n m n n n m m m n m +++++==⨯=-++-+-,A 选项正确;32853563C 2C 14082=⨯--=,B 选项错误;()()()()()()()()111!!!!C ,C !!1!!1!!1!!r r n n n n n n r rn n r n r r n r r n r r n r ---====-------,C 选项正确;当2n =时，12222C C 32+=≠,12C C C 2n nn n n +++= 错误,D 选项错误.故选:AC.12．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),B n p ，其中N ,01n p *∈<<，记X 为奇数的概率为a ，X 为偶数的概率为b ，则下列说法中正确的有（）A ．1a b +=B ．12p =时，a b =C ．102p <<时，a 随着n 的增大而增大D ．112p <<时，a 随着n 的增大而减小【正确答案】ABC【分析】选项A 利用概率的基本性质即可，B 选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C ，D 根据题意把a 的表达式写出，然后利用单调性分析即可.【详解】对于A 选项，由概率的基本性质可知，1a b +=，故A 正确，对于B 选项，由12p =时，离散型随机变量X 服从二项分布1,2B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()11C 10,1,2,3,,22kn kk nP X k k n -⎛⎫⎛⎫===-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1351111C C C 2222nnn n n n a -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()0241111C C C 2222nnn n n n b -⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b =，故B 正确，对于C,D 选项，()()()1111222nnnp p p p p a -+---⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦==，当102p <<时，()1122np a --=为正项且单调递增的数列，故a 随着n 的增大而增大故选项C 正确，当112p <<时，()12na p =-为正负交替的摆动数列，故选项D 不正确.故选：ABC.三、填空题13．在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______．【正确答案】112【详解】由题意可得：2256,8n n =∴=，结合二项式展开式通项公式可得：()848318822rr rr rr r T C C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=可得：2r =，则常数项为.()2282428112C -=⨯=14．从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同的对数值的个数为____.【正确答案】17【详解】①当取得两个数中有一个是1时，则1只能作真数，此时log a 1=0，a=2或3或4或7或9．②所取的两个数不含有1时，即从2，3，4，7，9中任取两个，分别作为底数与真数可有54⨯=20个对数，但是其中39242439,log log log log ==，49232349,log log log log ==．综上可知：共可以得到20+1﹣4=17个不同的对数值．故答案为17．点睛：本题是一道易错题，防止重复，其中39242439,log log log log ==，49232349,log log log log ==，处理计数原理问题，贵在不重不漏，需要同学们熟练掌握对数的运算法则.15．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d 为_________.【正确答案】5【分析】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由3227354k k +=可得k 的值，根据公差32276k kd -=求得结果．【详解】设偶数项和为32k ，则奇数项和为27k ，由322759354k k k +==可得6k =，故公差32275566k k kd -===，故5．本题考查等差数列的定义和性质，得到6k =，公差32276k kd -=，是解题的关键．16．数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=⋅-，其前n 项和为n S ，则30S =__________．【正确答案】470【详解】试题分析：22222(cossin )cos 333n n n n a n n πππ=-= 222230241cos2cos 3cos 230cos 2033S ππππ∴=⋅+⋅+⋅++⋅ 22222222111111123456282930222222=-⨯-⨯+-⨯-⨯++-⨯-⨯+ 2222222221[(1223)(4526)(2829230)]2=-+-⨯++-⨯+++-⨯ 2222222222221[(13)(46)(2830)(23)(56)(2930)]2=--+-++-+-+-++- 1[2(4101658)(5111759)]2=--++++-++++ ，故答案应填：470．数列求和．【方法点晴】本题考查了二倍角的余弦公式，分组求和方法的应用，是中档题．解题的关键是平方差公式的应用，首先利用二倍角公式将数列的通项公式化简后代入到求和公式中，求出特殊角的三角函数值之后，注意分组，再利用平方差公式求解．四、解答题17．（1）将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法?（2）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数?【正确答案】（1）67200；（2）1260【分析】（1）先分组，再分配，注意部分平均分组需要除以数量相同组数的全排列；（2）分取出的数字有0和没有0两种情况讨论，先将数字取出，再进行排列.【详解】（1）依题意可得共有33341074433C C C A 67200A ⋅⋅⋅=种不同的分法；（2）从1，3，5，7，9中任取2个数字有25C 10=种取法，从0，2，4，6中任取2个数字，若取出的有0，则有13C 3=种，再将取出的数字排列，则有21135333C C A A 540⋅⋅⋅=个；若取出的没有0，则有23C 3=种，再将取出的数字排列，则有224534C C A 720⋅⋅=个；综上可得共有5407201260+=个没有重复数字的四位数.18．n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和.【正确答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+【分析】（I ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an }的通项公式：（Ⅱ）求出bn 11n n a a +=，利用裂项法即可求数列{bn }的前n 项和．【详解】解：（I ）由an 2+2an ＝4Sn +3，可知an +12+2an +1＝4Sn +1+3两式相减得an +12﹣an 2+2（an +1﹣an ）＝4an +1，即2（an +1+an ）＝an +12﹣an 2＝（an +1+an ）（an +1﹣an ），∵an ＞0，∴an +1﹣an ＝2，∵a 12+2a 1＝4a 1+3，∴a 1＝﹣1（舍）或a 1＝3，则{an }是首项为3，公差d ＝2的等差数列，∴{an }的通项公式an ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1：（Ⅱ）∵an ＝2n +1，∴bn ()()111121232n n a a n n +===++（112123n n -++），∴数列{bn }的前n 项和Tn 12=（11111135572123n n -+-++-++ ）12=（11323n -+）11646n =-+.本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.【正确答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）20243【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从面()()33210,1,2,333k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列为：X0123P1272949827随机变量X 的数学期望2()323E X =⨯=.(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭.且{3,1}{2,0}M X Y X Y ===== .由题意知事件{}3,1X Y ==与{}2,0X Y ==互斥，且事件{}3X =与{}1Y =，事件{}2X =与{}0Y =均相互独立，从而由(Ⅰ)知：{}{}()()3,12,0P M P X Y X Y ===== ()()3,12,0P X Y P X Y ===+==(3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+=.本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.20．某校准备从报名的7位教师（其中男教师4人，女教师3人）中选3人去边区支教．(1)设所选3人中女教师的人数为X ，写出X 的分布列，求X 的数学期望及方差；(2)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率．【正确答案】(1)分布列详见解析，9()7E X =，24()49D X =；(2)12【分析】（1）确定X 的所有可能取值，求出相应的概率，由此能求出X 的分布列，E (X )和D (X )；（2）设事件A 为“甲地是男教师”，事件B 为“乙地是女教师”，利用条件概率公式，即可求出概率.【详解】（1）解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，且3437C 4(0)C 35P X ===，123437C C 18(1)C 35P X ===，213437C C 12(2)C 35P X ===，3337C 1(3)C 35P X ===，所以X 的分布列为：X0123P 43518351235135故4181219()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，2222949189129124()(0(1)(2)(373573573573549D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（2）设事件A 为“甲地是男教师”，事件B 为“乙地是女教师”，则124637C A 4()A 7P A ==，11143537C C C 2()A 7P AB ==，所以()()1()2P AB P B A P A ==.21．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.（Ⅰ）设22*1,N n n n c b b n +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；（Ⅱ）设()22*11,1,n k n k k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2n k k T d =<∑【正确答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ）对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211n n n n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()222111111111111212121n n n k k k k T d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论.试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.（Ⅱ）证明：()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+ 所以()222211111111111112121212n n n k k k kT d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑.等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和22．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345≥保费0.85a a 1.25a 1.5a1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345≥概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.【正确答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）311；（Ⅲ）1.23．【详解】试题分析：试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ====因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为X0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.300.150.200.200.100.050.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.051.23.EX a a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23条件概率，随机变量的分布列、期望【名师点睛】条件概率的求法：（1）定义法：先求P （A ）和P （AB ），再由P （B|A ）＝()()P AB P A ，求出P （B|A ）；（2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n （A ），再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n （AB ），得P （B|A ）＝()()n AB n A .求离散型随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；（2）求X 取每个值时的概率；（3）写出X 的分布列；（4）由均值定义求出EX ．。
山西省太原市2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)
山西省太原市2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程x2−3x=−2的解是()A. x1=1，x2=2B. x1=−1，x2=2C. x1=−1，x2=−2D. 方程无实数解2.如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE//BC交AC于点E，若线段DE=5，则线段BC的长为()A. 7.5B. 10C. 15D. 203.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1到6的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和是7的概率为()A. 14B. 15C. 16D. 174.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若∠ABC=60°，OA=1，则CD的长为()A. 1B. √3C. 2D. 2√35.如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上．若BF=4.5cm，CE=2cm，则纸条GD的长为()A. 3cmB. 2√13cmC. 132cm D. 133cm6.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则()A. k=−4B. k=4C. k≥−4D. k≥47.如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为()A. 5B. 10C. 12D. 138.温州某服装店十月份的营业额为8000元，第四季度的营业额共40000元.如果平均每月的增长率为x，则由题意可列方程为()A. 8000(1+x)2=40000B. 8000+8000(1+x)2=40000C. 8000+8000×2x=40000D. 8000[1+(1+x)+(1+x)2]=400009.从1、2、3、4中任取两个不同的数，其和大于6的概率是()A. 23B. 12C. 13D. 1610.如图，在菱形ABCD中，∠B=60∘，AB=4，则以AC为边的正方形的周长为()A. 14B. 15C. 16D. 17二、填空题（本大题共5小题，共10.0分）11.(1)已知a6=b5=c4，且a+b−2c=6，则a的值为;(2)如图，ADBD =AEEC，AD=10，AB=30，AC=24，则AE的长为．12.2018年5月12日是第107个国际护士节，从数串“2018512”中随机抽取一个数字，抽到数字2的概率是______．13.用配方法解x2−4x+1=0时，配方后所得到的方程是．14.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，EC=2，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，则PC的长为______．15.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D=70°，则∠ECF的度数是_________．三、解答题（本大题共7小题，共50.0分）16.解方程：(1)2(x−2)=3x(2−x)(2)x2−x−1=017.有三张正面分别标有数字−1、1、2的卡片，它们除数字不同外其余均相同现将它们背面朝上洗匀后，从中抽出一张记下数字，放回后，再从中随机抽出一张记下数字．(1)将第一次抽到的数字记为x，第二次抽到的数字记为y，令M=x y，请借助画树状图或列表的方法，写出所有可能的M值；(2)求M是负数的概率．18.如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.求证：四边形AECF是矩形．19.如图，在所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，△ABC是格点三角形(顶点在方格顶点处)．(1)在图中画格点△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC相似，相似比为2：1．(2)在图中画格点△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC相似，面积比为2：1．20.为丰富学生的学习生活，某校八年级某班组织学生参加素质拓展活动，所联系的旅行社收费标准如下：如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元．如果人数不超过25人，人均活动费用为100元．活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用2800元，请问该班共有多少人参加这次素质拓展活动？21.如图，已知△ABC．(1)按如下步骤尺规作图(保留作图痕迹):①作AD平分∠BAC，交BC于D；②作AD的垂直平分线MN分别交AB、AC于点E、F；(2)连接DE、DF.若BD=12，AF=8，CD=6，求BE的长．22.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，过对角线BD的中点O的直线分别交AB、CD于点E、F，连接DE，BF．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：x2−3x=−2，x2−3x+2=0，∵(x−1)(x−2)=0，∴x−1=0，x−2=0，即：x1=1，x2=2．故选：A．先把方程化为一般式x2−3x+2=0，左边因式分解得到(x−1)(x−2)=0，这样一元二次方程转化为两个一元一方程x−1=0或x−2=0，然后解一元一次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把一元二次方程转化为两个一元一方程，再解一元一次方程即可得到原方程的解．2.答案：C解析：本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是关键．根据平行线分线段成比例定理即可直接求解．解：∵DE//BC，∴ADAB =DEBC=AEAC，∵BD=2AD，DE=5，∴ADAD+2AD =5BC，解得BC=15．故选C．3.答案：C解析：解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其点数之和是7的结果数为6，所以其点数之和是7的概率=636=16．故选C．画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出点数之和是7的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．4.答案：C解析：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC，OD⊥AC，OA=OC=1，∴AC=2OA=2，∵∠ABC=∠ADC=60°，∴△ADC是等边三角形，∴CD=AC=2，故选：C．首先求出AC的长，只要证明△ADC是等边三角形即可解决问题．本题主要考查了菱形的性质和等边三角形的判定以及性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定以及性质．5.答案：C解析：本题主要考查了相似三角形的应用和矩形的性质．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．根据题意推知△AGD∽△ABC，由该相似三角形的对应边成比例求得GD的长度即可．解：∵矩形EFGD，∴GD//BC，∴△AGD∽△ABC，∴GDBC =ADAC，即GD4.5+GD+2=12，解得GD=132(cm)．故选C．6.答案：B解析：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．根据判别式的意义得到△=42−4k=0，然后解一次方程即可得到结果．解：∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，∴△=42−4k=0，解得k=4．故选B．7.答案：B解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD．∴OA=OB．∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°．∴△AOB是等边三角形．∴OB=AB=5．∴BD=2BO=10．故选：B．根据矩形性质求出BD=2BO，OA=OB，求出∠AOB=60°，得出等边三角形AOB，求出BO=AB，即可求出答案．本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，证得△AOB是等边三角形是解题的关键．8.答案：D解析：【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握公式：“a(1+x)n=b”，理解公式是解决本题的关键.本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果平均每月的增长率为x，根据题意即可列出方程．解：由题意得十一月份的营业额为8000(1+x)元，十二月份的营业额为8000(1+x)2元，由此列出方程：8000[1+(1+x)+(1+x)2]=40000．故选D．9.答案：D解析：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：画树状图得：，∴所以机会均等的结果有12种，其中和大于6有2种，∴P(和大于6)=212=16，故选D．10.答案：C解析：本题主要考查菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长．根据菱形的性质可得AB=BC，得出△ABC是等边三角形，求出AC的长，根据正方形的性质得出AF= EF=EC=AC=4，求出正方形ACEF的周长即可．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16．故选C．11.答案：(1)12；(2)8解析：(1)本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题关键.首先设a6=b5=c4=k，得出a=6k，b=5k，c=4k，然后代入a+b−2c=6求出k的值，再求a的值即可．解：设a6=b5=c4=k，∴a=6k，b=5k，c=4k，代入a+b−2c=6，可得6k+5k−8k=6，解得k=2，∴a=12．故答案为12；(2)本题考查了比例线段，根据已知线段的比，将已知数值代入到等式中即可求出AE的长．解：∵ADBD =AEEC，且AD=10，AB=30，AC=24，∴1030−10=AE24−AE，解得AE=8．故答案为8．12.答案：27解析：解：由题意可得，从数串“2018512”中随机抽取一个数字，抽到数字2的概率是：27；故答案为：27．直接利用2的个数除以总数字的个数即可得出抽到数字2的概率．本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．13.答案：(x−2)2=3解析：【分析】本题考查解一元二次方程−配方法，先把常数项移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数的一半，配成完全平方的形式，即可得出答案．【解答】解：∵x2−4x+1=0，∴x2−4x=−1，x2−4x+4=−1+4，∴(x−2)2=3．14.答案：√2解析：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．在AB上取BN=BE，连接EN，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△ANE≌△ECP，从而得到AE=EP，再证明△ABE≌△EMP(AAS)，推出BE=PM=1，EM=AB=3，即可解决问题；解：在AB上取BN=BE，连接EN，作PM⊥BC于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠DCB=∠DCM=90°，∵BE=BN，∠B=90°，∴∠BNE=45°，∠ANE=135°，∵PC平分∠DCM，∴∠PCM=45°，∠ECP=135°，∵AB=BC，BN=BE，∴AN=EC，∵∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEC=90°，∵∠AEB+∠NAE=90°，∴∠NAE=∠PEC，∴△ANE≌△ECP(ASA)，∴AE=PE，∵∠B=∠PME=90°，∠BAE=∠PEM，∴△ABE≌△EMP(AAS)，∴BE=PM=1，EM=AB=3，∴CM=1，∴PC=√2，故答案为√215.答案：35°解析：【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．由折叠的性质可得∠BCE=∠FCE，BC=CF，由菱形的性质可得BC//AD，BC=CD，可求∠BCF=∠CFD=70°，即可求解．【解答】解：∵将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，∴∠BCE=∠ECF，BC=CF，∵四边形ABCD是菱形∴BC//AD，BC=CD∴CF=CD∴∠CFD=∠D=70°∵BC//AD∴∠BCF=∠CFD=70°∴∠ECF=12∠BCF=35°故答案为：35°16.答案：解：(1)∵2(x−2)=3x(2−x)，∴2(x−2)+3x(x−2)=0，∴(x−2)(3x+2)=0，∴x=2或x=−23(2)∵x2−x−1=0，∴a=1，b=−1，c=−1，∴△=1+4=5，∴x=1±√52；解析：(1)根据因式分解法即可求出答案；(2)根据公式法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．17.答案：解：(1)画树状图为：共有9种等可能的结果数，所有可能的M的值为−1，1，12，2，4；(2)共有9种等可能的结果数，M是负数的结果数为2，所以M是负数的概率=29解析：(1)画树状图展示所有9种等可能的结果数，根据乘方的意义和负整数指数幂计算出所有可能的M的值；(2)根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．18.答案：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)，∴∠AEC=90°，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AF=12AD，EC=12BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD//BC且AD=BC，∴AF//EC且AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，又∵∠AEC=90°，∴四边形AECF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．解析：根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等，从而判定出四边形AECF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证．本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键，也是突破口．19.答案：解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求：(2)如图所示：△A2B2C2即为所求：解析：本题主要考查了相似变换，根据题意得出对应边的长是解题关键．(1)根据相似比进而得出各边扩大2倍得出答案；(2)根据相似比进而得出各边扩大√2倍得出答案．20.答案：解：∵25人的费用为2500元<2800元，∴参加这次春游活动的人数超过25人，设该班参加这次春游活动的人数为x名，由题意得[100−2(x−25)]x=2800，整理，得x2−75x+1400=0，解得x1=40，x2=35，当x1=40时，100−2(x−25)=70<75，不合题意，舍去；当x2=35时，100−2(x−25)=80>75，答：该班共有35人参加这次春游活动．解析：此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．判断得到这次春游活动的人数超过25人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．21.答案：解：(1)①∠BAC的平分线AD如图所示．②线段AD的垂直平分线MN，分别交AB、AC于点E、F，如图所示．(2)∵EA=ED，FA=FD，∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA，∵∠EAD=∠FAD，∴∠EDA=∠FAD，∠EAD=∠FDA，∴DE//AF，AE//DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵EA=ED，∴四边形AEDF是菱形，∴EA=ED=AF=DF=4，∵DE//AC，∴BEEA =BDDC，∴BE4=123，∴BE=16．解析：本题考查复杂作图、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(1)①∠BAC的平分线AD如图所示．②线段AD的垂直平分线MN，分别交AB、AC于点E、F，如图所示．(2)首先证明四边形AEDF是菱形，推出AE=DE=AF=DF=4，由DE//AC，推出BEEA =BDDC，由此即可解决问题．22.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB//DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF．在△BOE和△DOF中，{∠OBE=∠ODF OB=OD∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形．(2)解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则DE=x，AE=8−x．在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+(8−x)2，解得x=5，即BE=5．∵BD=√AD2+AB2=√82+42=4√5，∴OB=12BD=2√5．∵BD⊥EF，∴EO=√BE2−OB2=√52−(2√5)2=√5，∴EF=2EO=2√5．解析：(1)根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF(ASA)，得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；(2)在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．。
2025年山西省太原师范学院附属中学、太原市师苑中学高二上学期9月开学分班考试数学试题+答案解析
2024-2025学年山西省太原师范学院附属中学、太原市师苑中学高二上学期9月开学分班考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，若是实数，则实数()A.3B.C.6D.2.已知集合，，若，则()A.B. C.D.3.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为()A. B.C. D.4.函数，若对任意，，都有成立，则实数a 的取值范围为()A.B.C.D.5.两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6.已知，则()A.B.C.D.57.某圆台的上、下底面半径分别为r 、R ，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为()A.B.C.D.8.已知函数的定义域为R ，，则()A.B.C.为偶函数D.为奇函数二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数，下列结论正确的是()A.B.C.若，则的最小值为4D.在复平面内，所对应的向量分别为，其中O为坐标原点，若，则10.设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是()A.若A，B是互斥事件，则B.若，则C.若A，B是相互独立事件，则D.若，则A，B是相互独立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，则下列说法中正确的是()A.若点O为的中点，则平面B.连接BM，则直线BM与平面所成角正弦值为C.若点N为线段BC上的动点包含端点，则的最小值为D.若点Q在侧面正方形内包含边界，且，则点Q的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
太原市2019_2020学年第一学期八年级期中考试数学(试卷分析)
2019-2020学年第一学期八年级阶段性测评数学试卷分析一、整卷分析本次考试试题一共分为三大题型，如下表所示：二、逐题分析15勾股定理的应用难216二次根式的运算中1217坐标变换易518勾股定理及逆定理的应用易619一次函数图象上点坐标的特征易520勾股定理的应用中521一次函数的实际应用中522二次根式的化简中923一次函数的综合应用难13三、知识点分析期中考试涉及的知识点思维导图呈现如下：期中考试涉及的各知识点分值分析如下：二次根式的化简11二次根式的运算17第三章位置与坐标5坐标的变换5第四章一次函数34一次函数的表示方法3一次函数图像与性质8一次函数的简单应用10一次函数综合应用13四、重难点及易错点分析本次试卷整体难度适中，易：中：难＝6:3:1，重点考查勾股定理的应用，实数的运算和一次函数的应用，其中易错题和难题主要有以下几题：1.选择题10题，考查勾股定理的应用，需要找到一条最短路径，为易错题，学生不易于找到最短路径；2.填空题15题，考查勾股定理的应用的两条线段和的最短问题，并结合了轴对称，学生不易找到对称点，难以作答为难题；3.解答题22题阅读材料题，考查二次根式的化简，材料较长，学生提取信息能力比较薄弱，规定时间内缺乏耐心去分析题目；4.解答题23题点第（1）问坐标的求法中需要用到全等三角形的判定，学生不易想到这一点，第（2）问涉及全等三角形的分类讨论，学生对于全等模型不熟悉，考虑不全面，为难题.五、考后教学建议1.对试卷整体分析，常规试题体现“基础性”，所以建议大家一定要掌握基础知识，训练基本技能，领悟数学基本思想，积累基本活动经验；2.对知识点的考查体现了“综合性”，所以建议学生一定要多角度思考问题，加强数学材料阅读题的训练，培养学生的推理能力；3.对实际应用问题体现了“应用性”，应鼓励学生运用所学知识解决实际问题，要做到学以致用，培养学生的应用意识、创新意识和实践能力；4.总的指导思想“狠抓基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，着重创新”.2019-2020学年第一学期八年级阶段性测试数学试卷解析一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1.下列实数中的无理数是（）A .8B ．9C ．21-D ．327【答案】A【考点】无理数的概念【解析】A ．228=，是个无理数B ．39=，是有理数C ．21-是分数，也是有理数D ．3273=，是有理数【难度星级】★2.有理数4的平方根是（）A ．2B ．2±C ．2D ．2±【答案】D【考点】平方根的概念【解析】∵()422=±∴4的平方根是2±【难度星级】★3.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A .2，3，5B .6，8，10C .8，15，17D .1，2，3【答案】C【考点】勾股定理逆定理【解析】∵22217158=+∴8，15，17能作为直角三角形三边长【难度星级】★4.下列计算结果正确的是（）A .32-23=B .2312=÷C .()6322=D .()-22-2=【答案】B【考点】二次根式运算【解析】A .222-23=B .2312=÷C .()12322=D .()22-2=∴B 正确【难度星级】★5.已知一次函数b kx y +=（k ，b 为常数）的图象经过平面直角坐标系的第一、二、三象限，则下列结论一定正确的是（）A .0＞kb B .0＜kb C .0-＞b k D .0＜b k +【答案】A【考点】一次函数的图象与性质【解析】∵一次函数的图象经过平面直角坐标系的第一、三象限∴0＞k 又∵函数图像经过第二象限∴0>b ∴0＞kb 【难度星级】★6.在平面直角坐标系中，已知一次函数5-+=x y 的图象经过()1,3y A -，()22y B ，两点，则1y ，2y 的大小关小关系为（）A ．21y y ＜B ．21y y ＞C ．21y y =D ．无法确定【答案】B【考点】一次函数的图象与性质【解析】∵一次函数表达式中01-＜=k ，∴y 随x 的增大而减小∵-3<2，∴21y y >故选B【难度星级】★7.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，以ABC Rt ∆的三边为边分别向外作等边三角形BC A 'Δ，C AB '∆，'ABC ∆，若BC A 'Δ，'ABC ∆的面积分别是10和4，则'ABC ∆的面积是（）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B【考点】勾股定理【解析】根据勾股定理可得64-10-'Δ'Δ'===ΔC AB BC A ABC S S S 故选B【难度星级】★8.对于一次函数b kx y +=(k ,b 为常数)，下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中只有1个函数值计算有误，则这个错误．．的函数值是()x…-10123…y…-214810…A ．1B ．4C ．8D ．10【答案】C【考点】一次函数的表示方法【解析】∵由表格中的数据可得，x 每增加1，y 就增加3，∴x 由1增加到2时，y 应该由4增加到7.故C 错误【难度星级】★9.为比较613+与613+的大小，小亮进行了如下分析：作一个直角三角形，使其两直角边的长分别为13与6，则由勾股定理可求得其斜边长为.根据“三角形三边关系”，可得613613++＞.小亮的这一做法体现的数学思想是（）A ．分类讨论思想B ．方程思想C ．类比思想D ．数形结合思想【答案】D【考点】数学思想【解析】∵将二次根式比较大小转化成了“三角形三边关系”∴数形结合思想【难度星级】★10.棱长分别为8cm ，6cm 的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11F E 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是（）A .()cm 1053+B ．cm 135C ．cm277D ．()cm3582+【答案】C【考点】勾股定理的应用【解析】将两个正方体展开，由图可知，沿着左面和上面展开时，路线太长.所以下面只讨论沿着前面和上面、前面和右面两种展开图的路线.①沿着前面和右面展开，得到如下展开图：则展开图中，m EP BE AB AP c 71368''=++=++=，cm PP 6'=，在'ΔAPP Rt 中由勾股定理得：cm PP AP AP 135325617''2222==+=+=.②沿着前面和上面展开，得到如下展开图：则展开图中，m BE AB AE c 4168=+=+=，cm P E EE EP 93611=+=+=，在APE Rt Δ中由勾股定理得：cmPE AE AP 2779142222=+=+=∵cm cm 277135＞∴最短距离是cm277【难度星级】★★二、填空题（本大题含5个小题，每小题2分，共10分）把答案写在题中横线上.11.把45化成最简二次根式为.【答案】35【考点】二次根式的化简【解析】45=59=95=35⨯⨯.【难度星级】★12.已知点()6,P m 在一次函数153y x =-+的图象上，则点P 的坐标为.【答案】()6,3【考点】一次函数的图象与性质【解析】因为点P 在一次函数图象上，所以将6x =代入153y x =-+中，解得16533y =-⨯+=，则3m =，P 点的坐标为()6,3.【难度星级】★13.在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s m,一般地有经验公式2300v s =，其中v 表示刹车前汽车的速度（单位:h km /）.一次行驶中汽车紧急刹车后滑行的距离12s m =,则这辆汽车刹车前的速度v =h km /.【答案】60【考点】算术平方根的应用【解析】由题可知，刹车后滑行的距离12s m =，将12s =代入方程2300v s =中可求得60v =±，由于0v ≥，所以60v =，则刹车前的速度60v =h km /.【难度星级】★14.《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，点A 对应的点B 就和某人一样高.若此人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据上述条件，秋千绳索长为_______尺.【答案】292（或14.5）【考点】勾股定理的应用【解析】由题意可得右图所示图形，过点B 作BE OC ⊥于点E由题意可得：OB OA =，10BE =，5BD =，1AC =∴4AE =设OB OA x ==∴4OE x =-在RT OBE ∆中，由勾股定理可得222OB OE BE =+即222(4)10x x -+=化简得：8116x =292x =∴秋千绳索长为292（或14.5）尺.【难度星级】★★15.如图，在ABC ∆中，8AB AC ==，4BC =，AD BC ⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为___________.【答案】15【考点】等腰三角形的性质，勾股定理及轴对称最值问题【解析】∵AB AC=∴ABC ∆为等腰三角形∵AD BC⊥∴点,B C 关于直线AD 对称∴PB PE PC PE +=+又∵PE AB⊥∴当,P,C E 三点共线且CE AB ⊥时PB PE +最小过点C 作CF AB ⊥于点F ∵AB AC =，AD BC ⊥∴1==22BD DC BC =在Rt ABD ∆中，由勾股定理可得222AD AB BD =-∴215AD =∴1122ABC S AD BC AB ∆=⨯=⨯∴CF =【难度星级】★★★16.计算：（本题含4个小题，每小题3分，共12分）（1）2775-；（2）()2323-；（3）57535÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-；（4）18329871225-+.【考点】二次根式的运算【难度星级】★★【解析】（1）解：2775-=3335-=32（2）解：()2323-=()()223323223+⨯⨯-=36618+-=6621-（3）解：57535÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=5735535÷-÷=777-=776（4）解：183********—+=222225-+=22317.（本题5分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为A （3，-1），B （4，2）,C （2，4）.（1）请在如图的坐标系中画出ABC ∆;（2）在如图的坐标系中，画出ABC ∆关于y 轴对称的C B A '''∆,并直接写出C B A '''∆三个顶点的坐标.【考点】点坐标的变换【难度星级】★★【解析】（1）如图所示，ABC ∆即为所求.............................................................2分（2）如图所示，C B A '''∆即为所求..........................................................4分C B A '''∆三个顶点坐标：A '（-3，-1），B '（-4，2），C '（-2，4）...........................................................................................................................5分18.（本题6分）在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A ，B 之间的距离（A ，B 之间有水池，无法直接测量），智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C ，D ，测得m CD AD 10==，︒=∠90D ，40BC=m ，135BCD=∠︒.请你根据上述数据求出A ，B 之间的距离.【考点】勾股定理的实际应用【难度星级】★【解析】解：连接AC在ACD Rt ∆中，由勾股定理得：m CD AD AC 21022=+=.......................................2分∵︒=∠90D ，CDAD =∴︒=∠=∠45DAC DCA ∵︒=∠+∠=∠135ACB DCA BCD ∴︒=∠-∠=∠90DCA DCB ACB .................................................................................2分在ACB Rt ∆中由勾股定理得：m C AC AB 230B 22=+=..............................................................2分19.（本题5分）如图，已知一次函数321-=x y 的图像与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C （-4，n ）在该函数的图像上，连接OC .求点A ，B 的坐标和OAC ∆的面积.【考点】一次函数图像的性质【难度星级】★【解析】解：当0=x 时，3-=y ∴点B 的坐标为（0，-3）............................................................................................2分当0=y 时，0321=-x 解得：6=x ∴点A 的坐标为（6，0）...............................................................................................4分当4-=x 时，()53421-=--⨯=y ∴5-=n∴155621=-⨯⨯=∆OAC S ..........................................................................................5分20.(本题5分)如图，在ABC ∆中，6AC =，8BC =，10AB =.点C 在y 轴的正半轴上，边AB 在x 轴上（点A 在点B 的左侧）.（1）求点C 的坐标；（2）点D 是BC 边上一点，点E 是AB 边上一点，且点E 和点C 关于AD 所在直线对称.直接写出点D 的坐标.【考点】勾股定理的应用【难度星级】★★★【解析】（1）在ABC ∆中，∵6AC =，8BC =，10AB =，∴2222226810AC BC AC+=+==∴ACB ∆为直角三角形，且︒=∠90ACB .....................................2分由题意得︒=∠90BOC ∴BC AC OC AB ABC S ⋅=⋅=∆2121∴86211021⨯⨯=⨯⨯OC ∴245OC =又∵点C 在y 轴的正半轴上∴C （0，245）.............................................................3分（2）∵点E 和点C 关于AD 所在直线对称，∴6AC AE ==，CD DE=又∵AD AD =∴AED ACD ∆∆≌∴︒=∠=∠90ACD AED ∴︒=∠90BED ，4BE =，设DE CD x ==则8DB x=-在BED Rt ∆中∵222DE BE BD+=∴()22248x x +=-∴3x =在AOC Rt ∆中∵222AO OC AC +=∴518524622=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AO ∴125OE =D (3,512).................................................................5分21.(本题5分)2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年纪念日，红色旅游成为旅游热点.小王要和朋友们去某红色景点旅游，其门票为零售价为80元/张.国庆节期间，景点推出优惠活动，方案1：门票一律九折优惠；方案2：对10人以内（含10人）购门票不优惠，超过10人超出部分八折优惠.设小王一行参加旅游的人数为x （人），购买门票费用为y （元）.（1）小王分别写出方案1和方案2购买门票的费用y （元）与旅游人数x （人）之间的函数表达式如下，请你将空缺部分补充完整：=1y （x >0）；⎩⎨⎧≤=）＞（）＜（10100802x x x y （2）小王一行共有40人一起去该景点旅游，通过计算，请判断选择哪种方案更省钱？【考点】一次函数的应用【难度星级】★★【解析】（1）由题意得：方案1：90801⨯=y ％x x 72=（x >0)..................1分方案2：808010802⨯+⨯=y ％（10-x ）64160x =+（x >10）................2分（2）当40=x 时，288040721=⨯=y （元）..................................3分272016040642=+⨯=y （元）............................................4分∵2880>2720，∴12>y y ，∴方案2更省钱....................................5分22.（本题9分）阅读材料：材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式.例如：333=⨯，426)26)(26(=-=+-，我们称3的一个有理化因式是3，26-的一个有理化因式是26+.材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.例如：33333131=⨯⨯=，22624)26(8)26)(26()26(8268+=+=+-+=-.请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：（1）13的有理化因式为____________,57+的有理化因式为_____________;（均写出一个即可）（2）将下列各式分母有理化：①153；②35211-；（要求：写出变形过程）（3）请从下列A,B 两题中任选一题作答，我选择________题.A.计算：201920181...431321211++++++++的结果为______________________.B.计算：20192017201720192...7557253352332+++++++的结果为_________________________.【答案】（1）13，57-...................................................................................2分（2）①515151531515153153==⨯⨯=...................................................................4分②35211)352(11)352)(352()352(1135211+=+=+-+=-....................................6分（3）A.12019- B.201920191-...........................................9分【考点】二次根式化简【难度星级】★★★【解析】（1）∵131313=⨯，∴13的有理化因式为13.∵257)57)(57(=-=-+，∴57+的有理化因式为57-.（2）①515151531515153153==⨯⨯=②35211)352(11)352)(352()352(1135211+=+=+-+=-（3）A.201920181...431321211++++++++...)43)(43(43)32)(32(32)21)(21(21+-+-+-+-+-+-=)20192018)(20192018(20192018-+-+120192018...143132121--++--+--+--=120192018...433221--++-+-+-=120191--=12019-=B.20192017201720192...7557253352332+++++++...)7557)(7557()7557(2)5335)(5335()5335(2)33)(33()33(2+-+-+-+-+-+-=)2019201720172019)(2019201720172019(2019201720172019(2-+-+201920172019201720172019357557155335333⨯-+-+-+-=2019201920172017...77555533331-+-+-+-=201920191-=23.（本题13分）如图1，已知直线33+=x y 与y 轴，x 轴分别交于A ，B 两点，过点B 在第二象限内作AB BC ⊥且AB BC =，连接AC .（1）求点C 的坐标；（2）如图2，过点C 作直线x CD ∥轴交AB 于D ，交y 轴于点E .请从下列A ，B 两题中任选一题作答，我选择_____题.A.①求线段CD 的长；②在坐标平面内，是否存在点M （除点B 外），使得以点M ，C ，D 为顶点的三角形与BCD ∆全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.B.①如图3，在图2的基础上，过点D 作AC DF ⊥于点F ，求线段DF 的长；②在坐标平面内，是否存在点M （除点F 外），使得以点M ，C ，D 为顶点的三角形与FCD ∆全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）)1,4(-C（2）A.①310=CD ②存在，)2,1(1-M 或)2,311(2-M 或)0,311(3-M B.①352=DF ②存在,)37,310(1-M 或，（313102--M 或，（31343--M 【考点】一次函数的综合应用.【难度星级】★★★★★【解析】解：（1）过点C 作轴x CP ⊥，交x 轴于点P ........................................................................1分∵轴x CP ⊥，ABBC ⊥∴90=∠CPB ， 90=∠ABC ∴ 90=∠+∠BCP CBP ， 90=∠+∠ABO CBP ∴ABO BCP ∠=∠.....................................................................2分由题可知90=∠AOB ∴AOBCPB ∠=∠在BCP ∆与ABO ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AB BC AOB BPC ABO BCP ∴BCP ∆≌()AAS ABO ∆.........................................................................................................3分∴AO BP =，OBCP =当0=x 时，3303=+⨯=y ∴A （0，3）...............................................................................................................................4分当0=y 时，033=+x 解得1-=x ∴B （-1，0）...................................................................................................5分∴3=AO ，1=BO ∴1=CP ，3=BP ∴4=+=OB BP OP ∴)1,4(-C ...................................................................................................................................6分（2）A. ∵x CD //轴∴点C ，点D 的纵坐标相同∴当1=y 时，133=+x 解得32-=x (7)分∴)1,32(-D ∵)1,4(-C ∴310)4(32=---=CD .........................................................................................................9分②存在........................................................................................................................................10分∵点B 与1M 关于CD 对称，)0,1(-B ，点C ，点D 的纵坐标为1∴)2,1(1-M 作CD 的中垂线与x 轴交于点G∵点B 与3M 关于CD 的中垂线372324-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x 对称∴343713=+-==BG G M ∴311373433=+=+=OG G M O M ∴)0,311(3-M ∵3M 与2M 关于CD 对称∴)2,311(2-M ∴)2,1(1-M 或)2,311(2-M 或)0,311(3-M ......................................................................13分B.①∵()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,32,1,4,3,0D C A ∴2=AE ，4=CE ，310=CD 在ACE Rt ∆中，由勾股定理得52422222=+=+=CE AE AC ...............................................................................7分在ACD ∆中，由DF AC AE CD ⋅=⋅2121得DF ⨯⨯=⨯⨯5221231021∴352=DF ...................................................9分②存在....................................................10分过点F 作CD FQ ⊥交CD 于点Q∵AC AB =，BCAB ⊥∴ 45=∠CAB ∵ACDF ⊥∴352==DF AF ∴35435252=-=FC 在CDF ∆中，由FD CF FQ CD ⋅=⋅⋅2121得352354310⨯=⨯FQ ∴34=FQ 在FDQ Rt ∆中，由勾股定理得：32343522222=-=-=）（）（FQ DF DQ ∴343232=+=QE ∴，（3734-F ∵点F 与1M 关于CD 的中垂线372324-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x 对称∴37,310(1-M ∵1M 与2M ,点F 与3M 关于CD 对称∴），（313102--M 、），（31343--M ∴符合条件的M 点的坐标为)37,310(1-M 或），（313102--M 或），（31343--M ............13分。
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2019~2020学年第一学期高二年级阶段性测评数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知点()1,2A ，()2,1B -，则直线AB 的斜率为（ ） A.13B. 13-C. 3D. 3-【答案】D 【分析】由斜率的定义求解即可 【详解】由斜率的定义得212121312y y k x x -+===---， 故答案为：直线AB 的斜率为3- 故选：D【点睛】本题考查直线的斜率的定义，属于基础题2.在空间直角坐标系中，点()1,2,1P -与()0,1,1Q 之间的距离为（ ） A 2【答案】B 【分析】可结合两点间距离公式求解 【详解】由两点间距离公式得l ==故选：B【点睛】本题考查空间中两点间距离公式，属于基础题 3.过点()0,1-且垂直于直线12y x =的直线方程为（ ） A 21y x =--B. 21y x =-C. 22y x =-+D.21y x =+【答案】A由两直线垂直的位置关系和点斜式求解即可【详解】由两直线垂直斜率之积为-1可得直线斜率为1212k -==-，再由点斜式可得()201y x =---，化简得21y x =--故选：A【点睛】本题考查两直线垂直的位置关系，由点斜式求直线解+析式，属于基础题 4.用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【分析】对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切【详解】当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形 故选：D【点睛】本题考查圆柱体截面形状，多角度去分析是解题的关键，属于基础题 5.与圆()()22121x y -++=关于原点对称的圆的方程为（ ） A. ()()22121x y -+-= B. ()()22121x y +++= C. ()()22121x y ++-= D. ()()22211x y -++=【答案】C可先求圆心关于原点的对称点，再由半径相同写出方程即可【详解】圆()()22121x y -++=的圆心为()1,2-，圆心关于原点的对称点为()1,2-，故对称的圆的方程为：()()22121x y ++-= 故选：C【点睛】本题考查关于原点对称的点的求法，圆的标准方程的求法，属于基础题6.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m αP ，n ⊂α，则m n P B. 若m α⊥，αβ∥，则m β⊥ C. 若m αP ，αβ⊥，则m β⊥ D. 若m αP ，n αP ，则m n P【答案】B 【分析】由线面平行的性质可判断A 错；由平行的递推性判断B 对；C 项可能性很多，m 与β不一定垂直；D 项可能性很多，不一定m n P【详解】对A ，线面平行只能推出线和过平面的交线平行，推不出和平面内的某一条线平行，如图：对B ，根据平行的递推性，可得正确，如图：对C ，可随机举一反例，如图：直线与β斜交；对D ，直线有可能相交，如图：故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，结合实例和图形较容易说明问题，属于基础题 7.已知直线1:30l mx y +-=与直线2:0l x y m --=平行，则它们之间的距离是（ ） A. 2 B. 42D. 2【答案】C 【分析】根据两直线一般式对应系数关系111222A B C A B C =≠求解即可 【详解】由题可知，应满足13111m m m -=≠⇒=---，则两直线可化为3010x y x y ⎧⎨⎩-+=-+=，由平行直线间距离公式122222C C d A B-===+故选：C【点睛】本题考查两平行直线间的距离求法，属于基础题8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（ ）A. 6B. 9C. 18D. 27【答案】A 【分析】根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可 【详解】由三视图，画出图形，如图：则该鳖臑的体积为：11343632V =⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查由三视图求三棱锥的体积，属于基础题9.已知实数x ，y 满足条件20,220,3,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则3z x y =-的最小值为（ ）A. 6B.103C. 92-D. 103-【答案】C 【分析】可将目标函数转化为33x zy =-，再结合约束条件画出可行域，结合位置关系判断即可【详解】根据约束条件画出可行域，目标函数可转化为33x zy =-，要使z 取到最小值，则截距3z-取到最大值，由图可知，相交于右上方的点时，有最值，即点为53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入3z x y=-得92z =-故选：C【点睛】本题考查根据线性约束条件求最值，正确画出图形，学会转化目标函数是解题的关键，属于基础题10.已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线1C M 与BN 所成角的大小为（ ）A. 30°B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】D 【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解 【详解】如图：作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N M BN P ，则异面直线1C M 与BN 所成角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'5N M = ，16C M =，1'41C N =，得21122''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒故选：D【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题11.已知()3,0A -，()0,1B ，点C 为圆22410x y y +++=上任意一点，则ABC ∆面积的最大值为（ ） A.32B.332C.53D.73【答案】C 【分析】可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线AB 距离的最大值，由点到直线距离公式即可求解 【详解】如图所示：要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线AB 距离的最大值，求圆心到直线距离，再加上半径即可，圆22410x y y +++=可转化为()2223x y ++=，圆心为()0,2-，33AB k ==，则直线方程为31y x =+，圆心到直线的距离33113d ==+max 33533h d r =+=，312AB =+=，则15353=22ABC S ∆⨯=故选：C【点睛】本题考查点到直线距离公式，两点间距离公式，数形结合的思想，属于中档题 12.将边长为2的正ABC ∆沿着高AD 折起，使120BDC ∠=o ，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A. 72π B. 7π C.132π D.133π 【答案】B 【分析】通过底面三角形BCD 求出底面圆的半径DM ，判断球心到底面圆的距离OM ，求出球O 的半径，即可求解球O 的表面积．【详解】△BCD 中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为：r,由余弦定理得到BC=3，再由正弦定理得到32 1.sin120r r =⇒= 见图示：AD 是球的弦，3M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴OM=32，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径.∴球的半径371+4 该球的表面积为：4π×OD 2=7π； 故选：B ．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）13.圆22220x y x y +++=的半径为______________.【分析】将一般式化为标准式即可求得【详解】由()()2222220112x y x y x y +++=⇒+++=，则半径为r =【点睛】本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题 14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．试题分析：由2r l πθ=，得2233r ππ=，即1r =，∴2211133V r h ππ==⋅=．考点：圆锥的侧面图与体积．15.已知长为()20a a >的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹方程为____________. 【答案】()2220x y a a +=>【分析】可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得 【详解】如图：不论直线怎么移动，线段AB 的中点的P 始终为Rt OAB ∆斜边上的中线，即OP a =，即()2220x y a a +=>故答案为：()2220x y a a +=>【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，数形结合的转化思想，属于基础题16.如图，在棱长为1的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.【答案】325⎣⎦，【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱111,BB B C 的中点,M N ，连接MN ，连接1BC ，因为,,,M N E F 为所在棱的中点，所以11//,//MN BC EF BC ，所以//MN EF ，又MN ⊄平面,AEF EF ⊂平面AEF ，所以//MN 平面AEF ；因为11//,AA NE AA NE =，所以四边形1AENA 为平行四边形，所以1//A N AE ，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ，又1A N MN N =I ，所以1//A MN 平面AEF ，因为P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，则P 必在线段MN 上，在直角11A B M ∆中，2221111151()22A M A B B M =+=+=，同理，在直角11A B N ∆中，求得15A N =以AMN ∆为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短，P 位于,M N处时1A P 最长，2222115232()()244AO A M OM =-=-=，115A M A N ==，所以线段1A P 长度的取值范围是32542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.考点：点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（共5个小题，共48分）17.已知ABC ∆的顶点()1,4A -，()2,1B --，()0,1M 是BC 的中点.（1）求直线AC 的方程；（2）求AC 边上的高所在直线的方程.【答案】（1）3110x y +-=；（2）350x y -+=.【分析】（1）先设(),C x y ，再结合中点坐标公式求解即可；（2）所求直线与AC 直线垂直，可算出斜率，又直线过点B ，利用点斜式即可求解；【详解】（1）设(),C x y ，由题意得20,12,x y -+=⎧⎨-+=⎩∴2,3,x y =⎧⎨=⎩∴()2,3C . ∴直线AC 的方程为3110x y +-=；（2）∵()1,4A -，()2,3C ，∴13AC k =-，∴AC 边上的高所在直线的斜率3k =，∴AC 边上的高所在直线方程为：()321y x =+-，即350x y -+=.【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，11C D 的中点.（1）求证：EF P 平面11ADD A ；（2）求证：EF ⊥平面11A B CD .【答案】（1）证明见解+析；（2）证明见解+析.【分析】 （1）要证直线EF P 平面11ADD A ，可在平面11ADD A 中找一条线与EF 平行，连接1AD ，先证明1AEFD 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证； （2）结合线面垂直的判定定理，证明直线EF ⊥平面11A B CD 的两条交线即可； 【详解】（1）连接1AD ，∵1111ABCD A B C D -是正方体，11AB C D ∴P ，11AB C D =， ∵E ，F 分别是AB ，11C D 的中点，∴1AE FD ∥，1AE FD =. ∴1AEFD 是平行四边形，∴1EF AD ∥， ∵EF ⊄平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ， ∴EF P 平面11ADD A ；（2）由（1）得1EF AD ∥，∵1111ABCD A B C D -是正方体.∴11A B ⊥平面11ADD A ，∴111A B AD ⊥，∴11A B EF ⊥，∵1111ABCD A B C D -是正方体，∴11ADD A 是正方体，∴11A D AD ⊥，∴1A D EF ⊥，∵1A D ⊂平面11A B CD ，11A B ⊂平面11A B CD ，1111A B A D A ⋂=，∴EF ⊥平面11A B CD .【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题19.已知圆221:1C x y +=与圆222:60C x y x m +-+=.（1）若圆1C 与圆2C 外切，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线20x y n ++=与圆2C 的相交弦长为23n 的值.【答案】（1）5；（2）35n =-+35n =-分析】（1）先将圆2C 化成标准式，利用两圆相切的性质，得圆心距等于半径之和，即1212C C r r =+，即可求解；（2）结合圆的几何性质，圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形，可将弦长问题转化成圆心到直线距离问题，可进一步求解【详解】（1）∵221x y +=，∴()10,0C ，11r =， ∵2260x y x m +-+=，∴()2239x y m -+=-，∴()23,0C ，29r m =- ∵圆1C 与圆2C 外切，∴1212C C r r =+，∴319m =+-5m =；（2）由（1）得5m =，圆2C 的方程为()2234x y -+=，()23,0C ，22r =， 由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离223315n d r +==-=，∴35n =-+或35n =--. 【点睛】本题考查两圆相切的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题20.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥,224AD BC CD ===,25PC =,PAD ∆是正三角形.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求AC 与平面PCD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解+析；（2）155.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，可利用已知条件，先证直线CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，即可得证；（2）作点PD 的中点E ，连接AE ，CE ，由面面垂直的和判定定理可得AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，通过计算即可求得【详解】（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；（2）设点E 是PD 的中点，连接AE ，CE ，∵PAD ∆是正三角形，∴AE PD ⊥，23AE =， 由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴平面PCD ⊥平面PAD ，∴AE ⊥平面PCD ，∴AC 与平面PCD 所成角为ACE ∠，∵AD CD ⊥，∴2225AC AD CD =+=, ∴15sin 5AE ACE AC ∠==. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，求线面角的夹角的正弦值，属于中档题21.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD CD ⊥，AD BC ∥，224AD BC CD ===,25PC =，PAD ∆是正三角形.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角P BC A --的大小.【答案】（1）证明见解+析；（2）60o .【分析】（1）通过线面垂直来证线线垂直，先证CD ⊥平面PAD ，再说明PA ⊂平面PAD ，即可得证；（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，通过几何关系可得PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，再计算即可【详解】（1）证明：∵PAD ∆是正三角形，24AD CD ==，∴4PD =，2CD =，∴22220PC PD CD =+=，∴CD PD ⊥，∵AD CD ⊥，CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥；（2）设点E 是AD 的中点，连接PE ，BE ，∵PAD ∆是正三角形，∴PE AD ⊥，23PE =∵AD BC ∥，∴BC BE ⊥，∵224AD BC CD ===，∴2DE BC ==，∵AD CD ⊥，AD BC ∥，∴BCDE 是正方形，∴BC BE ⊥，∴BC ⊥平面PBE ，∴BC PB ⊥，∴PBE ∠是二面角P BC A --的平面角，由（1）得CD ⊥平面PAD ，∴CD PE ⊥，∴BE PE ⊥， ∴tan 3PE PBE BE∠==，∴60PBE ∠=︒. 【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角大小的求法，属于中档题22.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当23PA =时，求点P 的坐标；（2）当APB ∠取最大值时，求APO ∆的外接圆方程.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有22OP r PA =+P 的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程 【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1'2r OP ==APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题23.已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当PA =时，求点P 的坐标；（2）设APO ∆的外接圆为圆M ，当点P 在直线l 上运动时，圆M 是否过定点（异于原点O ）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）是过定点，816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有OP =P 的坐标；（2）可先设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，整理得APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，结合00280x y --=代换得()()220820x x y y x y -+-+=，要使圆M 恒过定点满足，即2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩，解出对应的,x y ，即可求解 【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==， ∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）设()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴APO ∆的外接圆方程为22000x x x y y y -+-=，∵00280x y --=，∴0028x y =+，∴()()220820x x y y x y -+-+=，令2220,80,x y x x y +=⎧⎨-+=⎩ 则8,5165,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,0x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴圆M 过定点816,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，求证轨迹恒过定点问题，解题关键在于正确表示出外切圆方程，学会利用直线上的点满足的方程进行代换，将方程转化成恒成立问题，属于中档题。