(计算机图形学)三维变换与投影汇编

z ' z
变换矩阵：
1 0 0 0
Tm, xoy 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
(5) 对xoz平面的对称变换
x' x
y
'
y
z ' z
变换矩阵为：
(6) 对yoz平面的对称变换
1 0 0 0
Tm,xoz 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
x' x
y'
对点进行比例变换： [x y z 1]·Ts = [Sx Sy Sz 1] = [x' y' z' 1]
注意：针对原点的比例变换
（6-5）
•6.2.3对称(反射)变换
三维对称变换包括对坐标轴和对坐标平面的对称： ⑴ 对x轴的对称变换
x' x
y
'
y
z ' z
(2)对y轴的对称变换
x' x
1 b c 0 Tsh d 1 f 0
h i 1 0 0 0 0 1
[x y z 1]Tsh = [x+dy+hz bx+y+iz cx+fy+z 1] = [x' y' z 1] 由变换结果看出，一个坐标的变化受另外两个坐标变化的影响。
⑴ 沿x含y错切
1 0 0 0
变换矩阵：
Tsh, x( y) d 1 0 0 0 0 1 0
绕Z轴旋转
[x y z 1]Tsh,y(z) = [x y+iz z 1] = [x' y' z' 1]
⑸ 沿z含x错切 1 0 c 0
变换矩阵： T sh, z(x) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
错切变换：
[x y z 1]Tsh,z(x) = [x y z+cx 1] = [x' y' z' 1]
y
z ' z
变换矩阵为：
1 0 0 0
Tm,yozz
0
0
1 0 0 0 1 0
0
0 0 1
上述的对称变换结果如图所示。
Z
Z
Z
Y
Y
Y
X
X
X
图 分别对XOY（左）、XOZ（中）和YOZ（右）平面对称变换结果
•6.2.4 错切变换
错切变换是指三维立体沿x，y，z三个方向产生错切，错切变换 是画斜轴测图的基础，其变换矩阵为：
z
' n
1
xn
yn
zn
1
l
m
n
s
（6-2）
6.2 三维基本几何变换矩阵
6.2.1 平移变换
1 0 0 0
Baidu Nhomakorabea
T
0
0
1 0
0 0 1 0
Tx Ty Tz 1
（6-3）
6.2.2 比例变换
（6-4）
Sx 0 0 0
T
0
Sy
0
0
0
0
0 0
Sz 0
0 1
其中Sx，Sy，Sz分别为沿x，y，z轴方向的比例因子。
⑹ 沿z含y错切
1 0 0 0
变换矩阵：
T sh, z(y) 0 1 f 0 0 0 1 0
0 0 0 1
错切变换：
[x y z 1]Tsh,z(y) = [x y z+fy 1] = [x' y' z' 1]
•6.2.5旋转变换
与二维旋转变换类似，三维旋转变换可分为绕坐标轴 旋转变换和绕任意轴的旋转变换，这里我们先讨论前者。
三维旋转变换可以看作是三个二维旋转变换，且旋转
轴分别为x，y，z轴。
旋转角度为θ时，点的旋转方向：
旋转轴 相应的旋转方向
x轴
从y轴到z轴
y轴
从z轴到x轴
z轴
从x轴到y轴
y (x’, y’, z’)
α
绕X轴变换
(x, y, z) 空间上的立体绕X轴旋 转时，立体上各点的X坐标 不变，只是Y、Z坐标发生 相应的变化。
y'
y
z ' z
1 0 0 0
T 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0
T
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
(3)对z轴的对称变换
x' x
y
'
y
z ' z
1 0 0 0
T
0
1 0 0
0 0 1 0
0
0
0 1
(4) 对xoy平面的对称变换
x' x
y'
y
绕Y轴旋转
此时，Y坐标不变，X，Z坐 标相应变化。
x x
z
θ α
o
x' = ρsin(α+θ) = x*cosα + z*sinα y' = y z' = ρcos(α+θ) = z*cosα- x*sinα
cos 0 sin 0
Try
0
1
0
0
sin 0 cos 0
0
0
0
1
(x’, y’, z’)
⑶ 沿y含x错切 变换矩阵:
1 b 0 0
Tsh, y( x) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
错切变换：
[x y z 1]Tsh,y(x) = [x y+bx z 1] = [x' y' z' 1]
⑷ 沿y含z错切 变换矩阵：
错切变换：
1 0 0 0
Tsh, y(z) 0 1 0 0 0 i 1 0 0 0 0 1
旋转、比例、错 切、对称
平移
a b c p
T = d
e
f
q
h i j r
k
m
n
s
透视投 影 （6-1）
总体比 例
6.1.2 三维几何变换
P' P T
x1' x2'
y1' y2'
z1'
z
' 2
1 x1
1
x2
y1
y2
z1 1 a
z2
1
d g
b e h
c f i
p
q
r
xn'
yn'
0 0 0 1
错切变换：
[x y z 1]Tsh,x(y) = [x+dy y z 1] = [x' y' z 1]
⑵ 沿x含z错切
变换矩阵： 错切变换：
1 0 0 0
T sh, x(z) 0 1 0 0 h 0 1 0 0 0 0 1
[x y z 1]Tsh,x(z) = [x+hz y z 1] = [x' y' z' 1]
x
z
(y',z')
α
(y,z)
θ
z
o
y
x' = x
y' = ρcos(α+θ) = y*cosα- z*sinα z' = ρsin(α+θ) = y*sinα+z*cosα
1 0
0 0
Trx 0 cos sin 0 0 sin cos 0
0 0
0 1
y (x’, y’, z’) α
z
(x, y, z)
第六章
本章内容
▪ 6.1 三维图形几何变换 ▪ 6.2 三维基本几何变换矩阵 ▪ 6.3 三维复合变换 ▪ 6.4 坐标系变换 ▪ 6.5 平行投影 ▪ 6.6 透视投影 ▪ 6.7 本章小结
三维几何变换算法
6.1 三维图形几何变换
6.1.1三维几何变换矩阵
同二维变换类似，三维变换同样引入了齐次坐标技术，在四维 空间（x,y,z,w）内进行讨论。定义了规范化齐次坐标以后，三维图 形几何变换就可以表示为物体顶点集合的规范化齐次坐标矩阵与某 一变换矩阵相乘的形式。用规范化齐次坐标表示的三维图形几何变 换矩阵是一个4×4方阵，简称为三维几何变换矩阵。