高考数学专题练习：不等式与线性规划

高考数学专题练习：不等式与线性规划

1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。⎝ ⎛

⎭⎪⎫1，43

B 。⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，43

C 。⎝ ⎛

⎭⎪⎫1，74

D 。⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，74

答案 D

解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13×

⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立,只需1－a ＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321,解得a ＞1

2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立,

即a －1＜13×

⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立,只需a －1＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322,解得a ＜7

4。 综上,12＜a ＜7

4,故选D 。

2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D

解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。

3。设函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2－4x ＋6，x ≥0，

x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )

A 。(－3,1)∪(3,＋∞)

B 。(－3,1)∪(2,＋∞)

C 。(－1,1)∪(3,＋∞)

D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A

解析 f (1)＝3。由题意得⎩⎨⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎨⎧

x <0，

x ＋6>3，

解得－33。

4。 若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A 。若a ＞b ,则ac 2>bc 2 B 。若a ＜b ＜0,则a 2＞ab ＞b 2

C 。若a ＜b ＜0,则1a ＜1

b D 。若a ＜b ＜0,则b a ＞a

b 答案 B

解析 B 中,∵a ＜b ＜0, ∴a 2－ab ＝a (a －b )＞0, ab －b 2＝b (a －b )＞0。 故a 2＞ab ＞b 2,B 正确。

5。为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB ＝60°,BC 的长度大于1米,且AC 比AB 长0。5米,为了稳固广告牌,要求AC 越短越好,则AC 最短为( )

A 。⎝ ⎛⎭⎪⎫

1＋32米

B 。2米

C 。(1＋3)米

D 。(2＋3)米

答案 D

6。已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1,平面区域Ω：⎩⎨⎧

x ＋y －7≤0，

x －y ＋3≥0，

y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴

相切,则a 2＋b 2的最大值为( )

9．已知a ,b ∈(0,＋∞),且a ＋b ＋1a ＋1

b ＝5,则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[1,4] B ．[2,＋∞) C ．(2,4) D ．(4,＋∞)

解析：因为a＋b＋1

a＋

1

b＝(a＋b)(1＋

1

ab)＝5,又a,b∈(0,＋∞),所以a＋b＝

5

1＋

1

ab

≤

5

1＋

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

2

a＋b

2

,当且仅当a＝b时,等号成立,即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0,解得1≤a＋b≤4,故选A。

答案：A

10．若x,y满足约束条件

⎩

⎨

⎧x－y＋2≥0，

y＋2≥0，

x＋y＋2≥0，

则(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为()

A．1 B。

9

2

C．5 D．9

解析：可行域为如图所示的阴影部分,由题意可知点P(－2,－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为|－2－3＋2|

2

＝

3

2

,所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

3

2

2＝

9

2,故选B。

答案：B

11．已知变量x,y满足约束条件

⎩

⎨

⎧x＋y－3≥0，

2x－y－9≤0，

y≤2，

若使z＝ax＋y取得最小值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是()

A．{－2,0} B．{1,－2}

C．{0,1} D．{－2,0,1}

解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示．

由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z 。

若a ＝0,则直线y ＝－ax ＋z ＝z ,此时z 取得最小值的最优解只有一个,不满足题意；

若－a >0,则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时,z 取得最小值,此时当直线y ＝－ax 与直线2x －y －9＝0平行时满足题意,此时－a ＝2,解得a ＝－2；

若－a <0,则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时,z 取得最小值,此时当直线y ＝－ax 与直线x ＋y －3＝0平行时满足题意,此时－a ＝－1,解得a ＝1。 综上可知,a ＝－2或a ＝1。故选B 。 答案：B

12．若不等式组⎩⎨⎧

x 2－2x －3≤0，

x 2

＋4x －1＋a ≤0

的解集不是空集,则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞,－4]

B ．[－4,＋∞)

C ．[－4,20]

D ．[－40,20)

13．已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧

y ≥0

x －y ≥0

2x －y －2≥0

,则z ＝

y －1

x ＋1

的取值范围是( ) A 。⎣⎢⎡

⎦⎥⎤－1，13

B 。⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13

C 。⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－12，＋∞

D 。⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－12，1

解析：由题知可行域如图阴影部分所示,∴z ＝

y －1x ＋1

的取值范围为[k MA,1),即⎣⎢⎡⎭⎪⎫

－12，1。