用相似三角形解决问题(1)
三角形的相似性质如何利用相似三角形的性质求解问题
三角形的相似性质如何利用相似三角形的性质求解问题三角形是初中数学中的重要内容，而其中的相似三角形更是一个重要的概念。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形的性质可以帮助我们在解决问题时更加简便和高效。
本文将探讨相似三角形的性质以及如何利用这些性质来解决实际问题。
一、相似三角形的性质1. 比例关系相似三角形的边长比例相等，即如果两个三角形的对应边的长度之比相等，那么它们就是相似三角形。
例如，如果ΔABC 与ΔA'B'C' 是相似三角形，那么有如下的比例关系：AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'2. 角度关系相似三角形的对应角度相等，即两个相似三角形对应角的度数相等。
例如，如果ΔABC 与ΔA'B'C' 是相似三角形，那么相应的角度关系如下：∠A = ∠A'∠B = ∠B'∠C = ∠C'二、利用相似三角形的性质求解问题利用相似三角形的性质，我们可以在解决实际问题时采用以下方法：1. 比例推导根据相似三角形的比例关系，可以利用已知信息求解未知信息。
例如，已知两个三角形相似且知道一个三角形的边长和另一个三角形的边长比例，可以通过设立等式求解未知边长。
2. 定理运用利用相似三角形的角度关系，可以应用相应的定理求解问题。
例如，可以应用“等角定理”、“角平分线定理”等来解决与相似三角形有关的问题。
3. 测量实际问题当我们面对实际问题时，可以利用相似三角形的性质进行测量。
例如，当我们需要测量高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量阴影的长度和角度来计算出高楼的高度。
综上所述，相似三角形的性质在数学解题中是非常重要的。
通过学习和应用相似三角形的性质，我们可以更加高效地解决各类与三角形有关的问题。
使用相似三角形的性质，我们可以推导比例关系、运用定理以及进行实际测量，从而准确地求解问题。
史上最全!!!!相似三角形难题精选
相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC 向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
用相似三角形解决问题(课件)
Ｂ
Ａ′
Ｂ′
02
知识精讲
建模：
如图，人的身高为O’B’=n，影长为A’B’=n，旗杆的影长为AB=m，求旗
杆OB的高度
物高 ：参照物高 = 物影 ：参照物影
【分析】
物高：物影=参照物高：参照物影
∵平行光，∴∠A=∠A’
Ｏ
∵∠B=∠E=90°，∴△AOB∽△A’O’B’
’’
∴ = ，∴ =
∴AC=32m+115m=147m
02
知识精讲
求不能直接测量的物体的高度，通常用“在平行光的照射下，
在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例”的原理解决
结论公式：
物高 ：参照物高 = 物影 ：参照物影
或物高：物影=参照物高：参照物影
【平行投影——测高度】
知识精讲
例1、已知一直立的电线杆在地面上的影长为20m，同时，高为1.4m的测’’ ’’ ’ Nhomakorabea’
∴
= ，即OB=
Ｏ′
a
Ａ
m
Ｂ Ａ′ n Ｂ′
02
知识精讲
Q6：古埃及国王曾请一位学者测量金字塔的高度．当这位学者确认在阳光
下他的影长等于他的身高时（如图），要求他的助手同时测出金字塔的影
长 DB 以及金字塔底部正方形的边长，这样他就知道了金字塔的高度.他是
苏科版九年级下册第6章图形的相似
用相似三角形解决问题
Solve problems with similar triangles
教学目标
01
了解平行投影与中心投影的意义，会利用平行投影与中心
投影画图
02
理解在平行光与点光源的照射下，物体的物高与影长的关
相似三角形的应用举例教案
相似三角形的应用目的：利用相似三角形的性质解决实际问题． 中考基础知识通过证明三角形相似 线段成比例()()⎧⇒⎨⎩方程含有未知数的等式函数求最值等问题备考例题指导例1．如图，P 是△ABC 的BC 边上的一个动点，且四边形ADPE 是平行四边形． （1）求证：△DBP ∽△EPC ； （2）当P 点在什么位置时，S ADPE=12S △ABC ，说明理由． 分析：（1） 证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有ADPE ⇒平行线⇒角相等，命题得证．（2）设BP BC =x ，则CPBC=1-x ，ADPE ⇒DP ∥AC ， EP ∥AB ，△BDP ∽△BAC △CPE ∽△CBA ∴FPC ABC S S ∆∆=（CP CB ）2=（1-x ）2，BDP BACS S ∆∆=（BP BC ）2=x2 ∴BDP CPE ABCS S S ∆∆∆+=x 2+（1-x ）2．∵S ADPE=12S △ABC ，即ADPE ABC SS ∆=12． ∴x 2+（1-x ）2=12（转化为含x 的方程） x=12， ∴BP BC =12．即P 应为BC 之中点．例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：1，又关于x的方程14x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n为整数时，•一次函数y=mx+n的解析式．分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，•求出m，n 再写出一次函数．抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上）．双直角图形⇒有相似形⇒比例式（方程）∠ACB=90°，CD⊥AB Rt△BCD∽Rt△BACBC2=BD·BA，同理有AC2=AD·AB，∴22BCAC=BD BAAD AB⇒=m=2n ①抓条件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．由（x1-x2）2<192 配方（x1+x2）2-4x1x2<192． 64（n-1）2-16（m2-12）<192，4n2-m2-8n+4<0．②①代入②⇒n>12．又由△≥0得4（n-1）2-4×14（m2-12）≥0，①代入上式得n≤2．③由n>12，n≤2得12<n≤2．∵n为整数，∴n=1，2．∴m=2，4∴y=2x+1，或y=4x+2．遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑△≥0．备考巩固练习1．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．关于x•的一元二次方程x2-2b（a+2 2 c b）x+（a+b）2=0的两根之和与两根之积相等，D为AB上一点，DE∥AC•交BC•于E，EF⊥AB，垂足是F．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若BF=6，FD=4，CE=23CD，求CE的长．2．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上,种植花木如图1（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD•地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用．（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一个花坛图案，•即在梯形内找到一点P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由．3．（1）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：①当DEAE=1时，有EF=2a b+；②当DEAE=2时，有EF=23a b+；③当DEAE=3时，有EF=34a b+．当DEAE=k时，参照上述研究结论，•请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，• DC=120cm，AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案．(1) (2)答案:1．（1）由x 1+x 2=x 1x 2得2b （a+22c b）=（a+b ）2 2ab+c 2=a 2+b 2+2ab∴△ABC 是直角三角形． ∴c 2=a 2+b 2（2）易证△EFD ∽△EDB ，∴EF 2=DF ·DB=40． 设CE=x ，则CD=32x ， ∴DE=（32x ）2-x 2=40⇒2．（1）∵四边形ABCD 是梯形（见图）． ∴AD ∥BC ，∴∠MAD=∠MCB ， ∠MDA=∠MBC ， ∴△AMD ∽△CMB ，∴AMDBMCS S ∆∆=（AD BC ）2=14．∵种植△AMD 地带花带160元． ∴16080=2（m 2） ∴S △OMB =80（m 2） ∴△BMC 地带的花费为80×8=640（元）（2）设△AMD 的高为h 1，△BMC 的高为h 2，梯形ABCD 的高为h ∵S △AMD =12×10h 2=20 ∴h 1=4 ∵12h h =12∴h 2=8 ∴S 梯形ABCD =12（AD+BC ）·h=12×30×12=180∴S △AMB + S △DMC =180-20-80=80（m 2） ∴160+160+80×12=1760（元）又：160+640+80×10=1600（元） ∴应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金． （3）点P 在AD 、BC 的中垂线上（如图）， 此时，PA=PD ，PB=PC ．∵AB=DC ∴△APB ≌△DPC ．设△APD 的高为x ，则△BPC 高为（12-x ）， ∴S △APD =12×10x=5x ， S △BPC =12×20（12-x ）=10（12-x ）． 当S △APD =S △BPC 即5x=10（12-x ）=8．∴当点P 在AD 、BC 的中垂线上且与AD 的距离为8cm 时，S △APD =S △BPC ． 3．解：（1）猜想得：EF=1a kbk++ 证明：过点E 作BC 的平行线交AB 于G ，交CD 的延长线于H ． ∵AB ∥CD ， ∴△AGE ∽△DHE ， ∴DH DEAG AE=． 又EF ∥AB ∥CD ，∴CH=EF=GB ，∴DH=EF-a ，AG=b-EF ， ∴EF a b EF --=k ，可得EF=1a kbk++．（2）在AD 上取一点EF ∥AB 交BC 于点F ，设DE AB =k ，则EF=1703101k k ++，DE=701kk+， 若S 梯形DCFE =S 梯形ABFE ，则S 梯形ABCD =2S 梯形DCFE ∵梯形ABCD 、DCEF 为直角梯形∴1702102+×70=2×12（170+1703101k k ++）×701kk+， 化简得12k 2-7k-12=0，解得k 1=43，k 2=-34（舍去）∴DP=701kk=40，所以只需在AD上取点E，使DE=40m，作EF∥AB（或EF⊥DA），即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。
这时候，相似三角形就派上用场了。
我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。
假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。
根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。
那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。
接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。
然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。
根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。
史上最全!!!!相似三角形难题精选
相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
它们不仅是数学中的重要概念，还具有广泛的实际应用价值。
一、测量物体的高度测量物体的高度是相似三角形常见的应用之一。
比如，我们想要测量一棵大树的高度，但直接测量非常困难。
这时候，我们可以利用相似三角形的原理来解决。
首先，在大树旁边立一根已知长度的杆子，比如一根2 米长的杆子。
然后，分别测量出杆子的影子长度和大树的影子长度。
假设杆子的影子长度为 1 米，大树的影子长度为 10 米。
因为太阳光是平行光，所以在同一时刻，杆子和大树与地面形成的夹角是相等的，那么杆子和大树与其影子分别构成的两个直角三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，对应边成比例。
设大树的高度为 h 米，则有：2/1 ＝ h/10通过交叉相乘可得：h ＝ 20（米）这样，我们就利用相似三角形求出了大树的高度。
二、测量河宽当我们面对一条无法直接测量宽度的河流时，相似三角形也能派上用场。
假设我们站在河的一岸，想要测量河的宽度。
我们可以在岸边选定一个点 A，然后沿着河岸向与河流垂直的方向走一段距离到达点 B。
接着，在点 B 处插上一根标杆。
然后，我们继续沿着与河岸垂直的方向走到点 C，使得点 A、标杆顶点和点 C 在同一条直线上。
测量出 AB 和 BC 的长度，以及从点 C 观测标杆顶点的仰角。
假设AB 为 50 米，BC 为 30 米，仰角为 60°。
我们可以构建两个相似的直角三角形，一个是由标杆、点 B 到标杆底部的垂线以及点 B 到观测点 C 的连线构成，另一个是由河宽、点 A 到河对岸的垂线以及点 A 到观测点 C 的连线构成。
因为这两个三角形的对应角相等，所以它们相似。
设河宽为 x 米，则有：（ x ／（50 ＋ 30) ）＝（标杆长度／ BC ）而标杆长度可以通过三角函数求出。
假设标杆长度为 h 米，因为仰角为 60°，所以 h ＝ BC × tan60°＝30√3 米。
相似三角形应用举例
相似三角形的判定
(1) 定义法
（2）通过平行线.（A型 X型）
（3）三边对应成比例.
（4）两边对应成比例且夹角相等 .
（5）两角相等.
（6）直角三角形
相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等. （2）对应高的比，对应中线的比、对应角平分 线的比都等于相似比. （3）周长的比等于相似比. （4）面积的比等于相似比的平方.
一题多解
还可以有其他方法测量吗？
B E
┐ F
△ABO∽△AEF
平面镜
A
OB
OA
=
EF
AF
┐ O
OA ·EF OB =
AF
利用三角形相似可以解决一些不能直接测 量的物体的长度的问题
例5. 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选 定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直 线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适 当的点T,确定PT与点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测 得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
分析:如图,设观察者眼睛的位置(视点)为点F(EF近似为人 的身高),画出观察者的水平视线FG ,它交AB、 CD于点H 、 K.视线FA、 FG的夹角∠ AFH是观察点A的仰角.能看到C 点．类似地, ∠ CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区 域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就 根本看不到C点了.
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常高 大物体的高度？
台湾最高的楼 ——台北101大楼
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
利用三角形的相似,可以解决一些不能直接测量 的物体的长度问题,下面请看几个例子.
相似三角形的应用于实际问题求解
相似三角形的应用于实际问题求解相似三角形是几何学中一个重要的概念，广泛应用于实际问题的求解中。
在实际应用中，我们经常会遇到一些无法直接测量或计算的物理量，但通过相似三角形的应用，我们可以利用已知的信息来求解未知量。
本文将以几个实际问题为例，介绍相似三角形的应用方法。
问题一：高楼的高度难以直接测量，如何利用相似三角形求解？解决问题一的方法是利用日晷的阴影来推算高楼的高度。
首先，在一个特定的时间，测量日晷的阴影长度与高楼的阴影长度。
假设日晷的高度为h₁，阴影长度为s₁；高楼的高度为h₂，阴影长度为s₂。
由于日晷和高楼处于相似三角形中，可以建立以下比例关系：h₁/s₁ = h₂/s₂通过已知的日晷高度和阴影长度，可以求解出高楼的高度。
问题二：无法直接测量的河宽，如何利用相似三角形求解？解决问题二的方法是利用两个位置的观测角度来推算河宽。
假设我们站在一岸的A点，观测到对岸的B点在岸边的角度为θ₁；然后我们移动到岸边的C点，观测到对岸的B点在岸边的角度为θ₂。
假设岸边的距离为d，河宽为w。
由于三角形ABC和三角形ABD相似，可以建立以下比例关系：w/d = tan(θ₁)w/(d + AC) = tan(θ₂)通过已知的观测角度和岸边距离，可以求解出河宽。
问题三：测量不便的高山高度，如何利用相似三角形求解？解决问题三的方法是利用水平线和山顶的观测角度来推算高山的高度。
假设我们站在水平线上的A点，观测山顶的角度为θ₁；然后我们移动到水平线上的B点，观测山顶的角度为θ₂。
假设两个观测点之间的距离为d，山顶的高度为h。
由于三角形ABC和三角形ABD相似，可以建立以下比例关系：h/d = tan(θ₁)h/(d + AB) = tan(θ₂)通过已知的观测角度和观测点之间的距离，可以求解出高山的高度。
通过以上实际问题的求解，我们可以看出相似三角形的应用是十分灵活的。
它不仅能够用于测量高度、宽度等无法直接测量的物理量，还可以应用于地理测量、地质勘查、建筑设计等领域。
2016春苏科版数学九下6.7《用相似三角形解决问题》word导学案1
6.7 用相似三角形解决问题（1）年级： 班级： 姓名： 日期： 编者： 审核人： 一、学习目标： 1．了解平行投影的意义.2.知道在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例，会利用平行投影画出图形并能利用其原理测量物体的高度. 二、学习内容： 1.导学预习：（1）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( ) A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米（2）如图，在河两岸分别有A 、B 两村，现测得A 、B 、D 在一条直线上，A 、C 、E 在一条直线上，BC //DE ，DE =90米，BC =70米，BD =20米。
则A 、B 两村间的距离为 。
（3）一棵高3米的小树影长为4米，同时一座楼房的影长是24米，那么这座楼房高 米． 2.小组讨论：（1）利用镜面反射可以计算旗杆的高度,如图,一名同学(用AB 表示),站在阳光下,通过镜子C恰好看到旗杆ED 的顶端,已知这名同学的身高是1.60米,他到影子的距离是2米,镜子到旗杆的距离是8米,求旗杆的高.（2）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h .3.展示提升：（1）某人身高1.7米，某一时刻影长2.04米，同时一棵树影长为10.2米，则此树高 米。
（2）小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A ．0.5mB ．0.55mC ．0.6mD ．2.2m（3）一位同学想利用树影测量树高(AB ),他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长为0.9m ,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上(CD ),他先测得留在墙上的影高(CD )为1.2m ,又测得地面部分的影长(BC )为2. 7m ,他求得树高应为多少?4．质疑拓展：已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱.AB =5m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC =3m .（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影； （2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光 下的投影长为6m ，请你计算DE 的长.BC DEA5.学习小结： 6．达标检测：（1）如图，高低杠AB ＝2.5m ，EC ＝2m ，已知四边形ABCD 和四边形ECGF 都是矩形，若AB 在地面上的影长为3m ，则E ′D ′＝ . （2）某旅游风景区中某两个景点之间的距离为75米，在一张比例尺为1：2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于 （ ） A ．一根火柴的长度 B ．一支钢笔的长度 C ．一支铅笔的长度D ．一根筷子的长度（3）阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1 m 长的影子。
用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧
用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧。
一、了解相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边的比值相等。
这意味着如果已知一个三角形的一组对应角相等，则可以通过确定比值来确定另一个三角形的对应边长。
二、确定相似三角形的条件在解决实际问题时，我们需要根据已知条件确定相似三角形的条件。
一般来说，常见的相似三角形条件有以下几种：1. AA相似条件：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似条件：两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
3. SAS相似条件：两个三角形的一对对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
三、应用相似三角形解决实际问题的步骤解决实际问题时，我们可以按照以下步骤使用相似三角形：1. 了解问题：仔细阅读问题，理解给出的条件和要求。
2. 绘制图形：根据问题中给出的信息，绘制出问题所描述的图形。
确保图形准确无误。
3. 确定相似三角形：根据给出的条件和已知信息，确定哪些三角形是相似的。
4. 建立比例关系：根据相似三角形的性质，建立相应的比例关系。
可以利用两个三角形中对应边的长度比值来建立等式。
5. 求解未知量：利用已知条件和建立的比例关系，求解问题中的未知量。
可以通过代入已知量和已知比例求解。
四、注意事项和技巧在应用相似三角形解决实际问题时，需要注意以下几点：1. 注意单位：在求解时，要根据问题中给出的单位进行计算，并给出相应的单位答案。
2. 注意精度：在计算中，要注意四舍五入和保留有效数字的规则，确保结果的精度符合要求。
3. 检查答案：在求解完毕后，要对结果进行检查，确保符合问题的要求和已知条件。
4. 灵活运用：在实际问题中，可以灵活运用相似三角形解决问题。
有时候需要通过构造相似三角形来求解难题。
综上所述，相似三角形是解决实际问题的有力工具。
相似三角形的实际问题
相似三角形的实际问题在数学中，相似三角形是指有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形的概念在实际问题中常常得到应用，包括地理测量、建筑设计以及工程计算等领域。
本文将以几个实际问题为例，介绍相似三角形的应用。
问题一：高楼建设在高楼建设过程中，经常会遇到需要测量高楼的高度的问题。
然而，由于高楼的高度较高，直接测量比较困难。
这时，可以利用相似三角形的原理进行测量。
解决方法：选择一个相对安全的地方，远离高楼底部。
然后，使用测量仪器（比如测距仪）测量出站立点到高楼底部某一固定点的距离，记为a。
接着，可以使用测量仪器对站立点到高楼顶部的角度进行测量，记为α。
利用三角函数的知识可以计算出高楼的高度h。
解决思路：在测量三角形底边上选择一个已知的点（即测量仪器的位置），根据已知的距离和角度，可以通过相似三角形的性质计算出高楼的高度。
具体计算公式如下：h = a × tan(α)问题二：航空导航在航空导航中，飞行员需要根据当前位置和目标位置之间的距离、方向等信息进行导航。
相似三角形的原理可以帮助飞行员计算出正确的航线。
解决方法：假设飞行员需要从A地飞行到B地，但由于天气等原因无法直接导航。
这时，飞行员可以选择一个C点，使得ABC和ABD两个三角形是相似的。
通过测量AC的距离和角度，以及AB的距离，飞行员可以使用相似三角形的性质计算出BD的距离。
进而，飞行员可以根据反向推导的方法确定正确的航线。
解决思路：根据相似三角形的性质，在已知的线段AC与线段AB所对应的两个角度相等的情况下，可以通过线段AC的长度和线段AB的长度的比值来计算出线段BD的长度。
具体计算公式如下：BD = AB × (BD/AC)问题三：地图比例尺在地图上，我们常常会看到一个比例尺，它告诉我们地图上的距离与实际距离之间的比例关系。
这个比例尺就是通过相似三角形的原理确定的。
解决方法：在绘制地图时，测量某一地区的实际距离，例如100米。
利用相似三角形求解问题的练习题
利用相似三角形求解问题的练习题相似三角形是几何学中重要的概念之一，应用相似三角形的性质可以帮助我们解决许多问题。
以下是一些利用相似三角形求解问题的练习题，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
练习题一：已知直角三角形ABC，其中∠C为直角，AB=5cm，AC=12cm。
在AB边上选一点D，连接CD并延长至与BC边交于点E。
若BD=DE，求CE的长度。
解答：由于∠C为直角，则∠CAB和∠CBA分别为对角ABC和ACB的对应角，即∠CAB∽∠ACB。
又因为BD=DE，所以可以得到∠BDC=∠CDE，同理有∠CBD=∠CED。
根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/AC = BD/CE代入已知数值，可得：5/12 = BD/CE解方程，可得：CE = (12/5) * BD由题目可知BD=DE，所以BD=5cm，代入可得：CE = (12/5) * 5 = 12cm所以CE的长度为12cm。
练习题二：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC，其中A(-2,4)、B(1,2)、C(4,-2)，直线DE与x轴和y轴分别交于点D(5,0)和E(0,-4)，求证：△ABC∽△ADE，并计算其相似比。
解答：首先，计算△ABC和△ADE的边长：△ABC的边长：AB = √[(1-(-2))^2 + (2-4)^2] = √[3^2 + (-2)^2] = √13BC = √[(4-1)^2 + (-2-2)^2] = √[3^2 + 4^2] = 5AC = √[(4-(-2))^2 + (-2-4)^2] = √[6^2 + (-6)^2] = 6√2△ADE的边长：AD = √[(-2-5)^2 + (4-0)^2] = √[(-7)^2 + 4^2] = √65DE = √[(-2-0)^2 + (4-(-4))^2] = √[(-2)^2 + 8^2] = 2√4 = 4AE = √[(-2-0)^2 + (4-0)^2] = √[(-2)^2 + 4^2] = 2√5可以发现，AB/AD = 1/√5，BC/DE = 5/4，AC/AE = √2/√5。
6.7用相似三角形解决问题教学设计
然后，我会给出相似三角形的定义，并引导学生思考相似三角形的特点和性质。通过这一环节，学生将自然地进入新课的学习状态，为后续的学习打下基础。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何图形的兴趣，培养学生的审美观念，提高学生对数学美的感知能力。
2.培养学生善于观察、勇于探索的精神，使学生在面对未知问题时，敢于尝试、勇于挑战。
3.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队协作意识和沟通能力，使学生学会倾听、尊重他人，形成积极向上的人际关系。
e)小结反馈：对学生的学习情况进行总结，针对存在的问题进行反馈和指导。
3.教学评价：
a)过程性评价：关注学生在课堂上的参与度、合作交流、实践操作等方面的表现，鼓励学生积极参与。
b)终结性评价：通过课后作业、单元测试等形式，评价学生对相似三角形知识点的掌握程度。
c)差异化评价：根据学生的个体差异，制定合适的评价标准，关注每个学生的成长。
1.理解并掌握相似三角形的定义、性质和应用。
2.学会运用相似三角形的知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力和团队协作能力。
（二）教学难点
1.相似三角形的性质及其应用，特别是实际问题的建模和求解。
2.学生在解决相似三角形问题时，对尺规作图、计算等方面的熟练程度。
3.提交作业时，请注意书写工整，保持作业整洁。
4.教学资源：
a)利用多媒体教学资源，如PPT、动画等，直观展示相似三角形的性质和应用。
b)提供丰富的实际案例，帮助学生更好地理解相似三角形在现实生活中的应用。
相似三角形的应用及位似(习题及答案).
相似三角形的应用及位似（习题）➢例题示范例1：小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20 米．当她与镜子的距离CE=2.5 米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6 米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度（注：入射角=反射角）．解：由题意，AE=20，CE=2.5，DC=1.6，∠FEB=∠FED∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE∽△DCE∴ AB=AEDC EC∴ AB=201.62.5∴AB=12.8∴大楼AB 的高为12.8 米．例2：如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为9.6 m，在墙面上的影长CD 为2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1 m 的标杆的影长为1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．解：如图，过点D 作DE∥BC 交AB 于点E，则四边形BCDE 为矩形．由题意，BC=9.6，CD=2，∴BC=DE=9.6，CD=BE=2由题意，AE=ED1 1.2∴AE=8∴AB=AE+EB=8+2=10∴旗杆的高度为10 m．➢巩固练习1.如图，AB∥CD，AD，BC 相交于点E，过E 作EF∥AB 交BD于点F，则图中相似的三角形有对．2.如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求得河宽AB= m．3.如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1 m，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5 m，若小明的身高为1.5 m，则这棵槟榔树的高度是．4.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（）A．1.25 尺B．57.5 尺C．6.25 尺D．56.5 尺5.小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m 6.如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2 m，BP=1.8 m，PD=12 m，那么该古城墙的高度是（）A．8 m B．10 mC．15 m D．18 m7.如图5，小明同学用自制的直角三角形纸板EFG 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边EG 保持水平，并且边EF 所在的直线经过点A，已知纸板的两条直角边EF=60 cm，FG=30 cm，测得小明与树的水平距离BD=8 m，边EG 离地面的高度DE=1.6 m，则树高为．8.如图，一同学在某时刻测得1 m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6 m，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2 m，留在墙上的影子高为1 m，则旗杆的高度是．第8 题图第9 题图9.如图，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD 与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m，则电线杆的高度为．10.如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB，B 是CD 的中点，且CD 是水平的．在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14 m，塔影长DE=36 m，小明和小华的身高都是1.6 m，小明站在点E 处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE 方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4 m，2 m，那么塔高AB= ．第10 题图第11 题图11.某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.4 m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 m，一级台阶高为0.3 m，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4 m，则树高为．12.如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10 cm，OA'=20 cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是．13.如图，△ABC 与△DEF，且直线AD，CF，BE 相交于点O，OA=OB=OC=2，已知AB=4，则DE 的长为．OD OE OF 314.如图，在△ABC 中，A，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2 倍，记所得的像是△A′B′C．设点B 的对应点B′的横坐标是a，则点B 的横坐标是．➢思考小结1.如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6)．1 A B C D1（）将，，，的横坐标、纵坐标都乘2，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD 位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．（2）将A，B，C，D 的横坐标、纵坐标都乘 1，得到四个2点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD 位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．（3）在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形，位似中心是，它们的相似比为．2.实际生活中测量旗杆的高度，都是利用了相似三角形的原理进行的．下列三种方法都利用了物体与地面垂直的特性，除此之外，这三种方法还分别用了哪些实际生活中的原理呢？请把选项填到对应的横线上．①利用阳光下的影子：②利用标杆：③利用镜子的反射：A．镜子的反射定律：借助入射角、反射角相等B．视线与一组平行线相交，同位角相等C．同一时刻，太阳光线（平行光线）与水平地面的夹角相等3.影子上墙问题的常见处理方法：推墙法、砍树法、抬高地面法，这三种方法的实质都是构造三角形相似，在构造的时候，我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角．【参考答案】➢ 巩固练习1. 32. 1003. 7.5 m4. B5. A6. A7. 5.6 m8. 8 m9. (7 + 3) m10. 20 m11. 11.8 m12. 1:213. 614. -3 +a 2➢思考小结1.（1）位似；位似中心是原点；相似比是1 2（2）位似；位似中心是原点；相似比是12（3）位似；原点；|k|．2.C；B；A。
相似三角形法 解决动态平衡问题
相似三角形法 解决动态平衡问题首先选定研究对象，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化问题进行讨论。
例题1 如图所示，杆BC 的B 端铰接在竖直墙上，另一端C 为一滑轮，重力为G 的重物上系一绳经过滑轮固定于墙上A 点处，杆恰好平衡，若将绳的A 端沿墙向下移，再使之平衡（BC 杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则（ ）A. 绳的拉力增大，BC 杆受压力增大B. 绳的拉力不变，BC 杆受压力增大C. 绳的拉力不变，BC 杆受压力减小D. 绳的拉力不变，BC 杆受压力不变思路分析：选取滑轮为研究对象，对其受力分析，如图所示。
绳中的弹力大小相等，即T 1＝T 2＝G ，T 1、T 2、F 三力平衡，将三个力的示意图平移可以组成封闭三角形，如图中虚线所示，设AC段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可得，杆对绳子的支持力F ＝2G sin θ2，当绳的A 端沿墙向下移时，θ增大，F 也增大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。
图中，矢量三角形与几何三角形ABC 相似，因此F mg BC AB ，解得F ＝AB BC ·mg ，当绳的A 端沿墙向下移，再次平衡时，AB 长度变短，而BC 长度不变，F 变大，根据牛顿第三定律，BC 杆受压力增大。
例题2 如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点处有一个光滑的小孔，质量为m 的小球套在圆环上，一根细线的下端拴着小球，上端穿过小孔用手拉住。
现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对线的拉力F 和轨道对小球的弹力N 的大小的变化情况是（ ）A. F 大小将不变B. F 大小将增大C. N 大小将不变D. N 大小将增大对小球受力分析，其受到竖直向下的重力G ，圆环对小球的弹力N 和线的拉力F 作用，小球处于平衡状态，G 大小方向恒定，N 和F 方向不断在变化，如图所示，可知矢量三角形AGF 1与长度三角形BOA 相似，得出：ABF OA N OBG 1==，又因为在移动过程中，OA 与OB 的长度不变，而AB 长度变短，所以N 不变，F 1变小，即F 变小，故C 选项正确。
相似三角形法分析动态平衡问题含答案
相似三角形法分析动态平衡问题（1）相似三角形：正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达到求未知量的目的。
（2）往往涉及三个力，其中一个力为恒力，另两个力的大小和方向均发生变化，则此时用相似三角形分析。
相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。
1、半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N 和绳对小球的拉力T 的大小变化的情况是（ ）A 、N 变大，T 变小B 、N 变小，T 变大C 、N 变小，T 先变小后变大D 、N 不变，T 变小解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。
由于在这个三角形中有四个变量：支持力N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其它条件。
实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：RN R h mg L T =+= 可得：mg Rh LT +=运动过程中L 变小，T 变小。
mg Rh RN +=运动中各量均为定值，支持力N 不变。
正确答案D 。
2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的Q 处由一固定的质点A ，在Q 的正上方的P 点用细线悬挂一质点B ，A 、B 两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A 、B 两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点P 的拉力T 大小（ ）A 、T 变小B 、T 变大C 、T 不变D 、T 无法确定解析：有漏电现象，AB F 减小，则漏电瞬间质点B 的静止状态被打破，必定向下运动。
相似三角形在现实生活中的应用
应用比例解题
边长比例+对应角相等
1.使用相似三角形解决实际问题，需要掌握边长比例和对应角相等的概念，并且需要注意确定哪些角度以及哪些边是对应的。
2.当两个三角形相似时，我们可以利用边长比例+对应角相等，通过知道一个确定的边长或角度，来求出其他未知的边长或角度。这种方法常用于建筑工程计算、地图比例尺计算等实际生活中的问题解决。
直角三角形与比例
直角三角形的一条直角边上的中线等于斜边的一半，这可以用于构建相似三角形。
在相似三角形中，两个三角形的对应边的比例相等，可以利用这个性质求解一些实际问题。例如，可以用直角三角形的勾股定理和相似三角形的比例关系求出高度、边长等参数。
相似三角形可以用于估计远处物体的高度、距离等，例如在测量电线塔高度、建筑物高度等方面有广泛应用。
2023/6/1
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CONTENTS
相似三角形面积比例为边比例平方
根据公式，可以在实际应用中解决许多与比例相关的问题，例如测量高楼建筑物的高度或深度、估算远离我们的大型物体的大小或形状，以及计算三角形的面积等。此外，通过掌握相似三角形的解题技巧，我们还可以更好地理解几何学中的概念，提高我们的数学素养和应用能力。
1. 通过对应角相等，可以推导出平行线之间的性质。当两条平行线被一条横线所切分时，所形成的对应角相等的三角形也是相似的。这可以帮助我们推导出平行线的基本性质，如平行线上的相邻角互补，平行线之间的距离相等等。
2. 对应角相等还可以用于解决三角形的问题。当两个三角形中对应角相等时，这两个三角形是相似的。利用相似三角形的性质，我们可以解决一些涉及到三角形的问题，如求解三角形的面积、周长等。同时，相似三角形的性质也可以帮助我们推导出勾股定理、正弦定理、余弦定理等三角函数公式。
用相似三角形解决长度问题
用相似三角形解决长度问题引言在几何学中，相似三角形是解决许多长度问题的有力工具。
通过利用相似三角形的特性，我们可以通过测量和计算已知的长度，来推导出我们需要求解的未知长度。
本文将探讨相似三角形的基本概念和性质，并通过具体的例子来演示如何应用相似三角形解决长度问题。
相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。
如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
相似三角形有以下重要性质：1.边长比例：相似三角形中，对应边长之比相等。
即，如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2.高度比例：相似三角形中，对应高度之比等于对应边长之比。
3.周长比例：相似三角形中，对应边长之比等于对应周长之比。
应用实例求解高度假设我们有一座高耸的建筑物，无法直接测量其高度。
为了求解其高度，我们可以利用相似三角形的性质和已知的长度进行计算。
我们可以选择一个已知高度的建筑物为参考物，测量参考物的高度，并测量参考物与建筑物之间的影子长度。
设参考物的高度为h1，其影子长度为l1；建筑物的高度为h2，其影子长度为l2。
通过比较影子长度的比例，我们可以得到下列等式：h1/l1 = h2/l2由此可得，建筑物的高度可以通过比例计算得出：h2 = (h1 * l2) / l1测量距离假设我们无法直接测量两个物体之间的距离。
为了解决这个问题，我们可以利用相似三角形的性质，以及已知的长度和角度来计算距离。
假设我们知道一个物体的高度h1和其所处的位置与我们的距离d1。
我们还知道另一个物体的高度h2和其所处的位置与我们的距离d2。
我们想要测量两个物体之间的距离。
首先，我们需要测量两个物体所对应角度的差异。
然后，我们可以根据已知距离和角度的正切值，来计算待测距离。
设物体1与物体2之间的距离为d：tan(θ) = h1 / d1 (1)tan(θ) = h2 / d2 (2)由于θ在两个三角形中是相等的，我们可以得到下列等式：h1 / d1 = h2 / d2通过重新排列等式，我们可以得到待测距离：d = (h1 * d2) / h2结论通过应用相似三角形的性质和定理，我们可以解决许多长度问题。
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1．在阳光下，身高为1.6m的小强在地面上的影长为2m．在同一时刻，测得旗杆在地面上的影长为16m．求旗杆的高度。
2．在阳光下，高为6m的旗杆在地面上的影长为4m．在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为36m．求这座建筑物的高度．
阅读பைடு நூலகம்题，构建数学模型，利用相似三角形的知识解决问题．
自主反思
课题
用相似三角形解决问题（1）
课型
新授
主备人
贾庆锋
审核人
班级
姓名
时间
周星期
总第课时
学习
目标
1．通过用相似三角形有关知识解决实际问题的过程，提高分析、解决实际问题的能力；
2．学会建构“用相似三角形解决问题”的基本数学模型；
学习重难点
根据实际问题，依据相似三角形的有关知识，构建数学模型，解决实际问题．
教学补记
活动二：思考操作
如图6-42中，甲木杆AB在阳光下的影长为BC．试在图中画出同一时刻乙、丙两根木杆在阳光下的影长．
思考：如何用相似三角形的知识说明在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例？
活动三 应用举例
背景故事：古埃及国王为了知道金字塔的高度，请一位学者来解决这个问题．在某一时刻，当这位学者确认在阳光下他的影长等于他的身高时，要求他的助手测出金字塔的影长，这样他就十分准确地知道了金字塔的高度．
问题：如图6-43，AC是金字塔的高，如果此时测得金字塔的影DB的长为32m，金字塔底部正方形的边长为230m，你能计算这座金字塔的高度吗？
拓展：你能用这种方法测量出学校附近某一物体的高度吗？
分小组讨论，发现生活中的数学，并能用本节课的知识加以阐述．运用转化思想，将立体图形转化为平面图形，利用相似三角形和平行投影的知识，计算得到答案．
学习方法
自主探索，合作交流
活动一：实验探究
1．阅读“平行投影”的概念，了解平行投影；
2．数学实验：测量阳光下物体的影长．
结论：1．在阳光下，在同一时刻，物体高度与物体的影长存在的关系是：物体的高度越高，物体的影长就越长．
2．在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例．
阅读概念，认识平行投影．通过数学实验探究物体影长和物高之间的关系．