五年级奥数等积变换
五年级下册奥数讲义试题-第四讲 水面高度变化和等积变换
第四讲水面高度变化和等积变换水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。
解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。
等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。
解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。
解：50厘米一5分米5÷(25X20)+15=O．25+15=15．25(分米)答：容器中水深15．25分米。
例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。
水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。
现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。
而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。
解：25×25×20÷(50×50)+20=5+20=25(厘米)答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。
例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。
五年级奥数：图形与面积
图形与面积转化的方法大体上分两点：（1）利用平移、旋转、弦图、割补法、差不变等技巧解题（2）利用五大模型之高相等面积比＝底的比（关键高相等：同一个三角形等高、平行线间的三角形等高）（3）利用五大模型之相似三角形：相似三角形在我们小学的学习过程中常用的就是金字塔和沙漏。
（4）等积变形：两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比1、一点引两条直线分别与两组边平行，见右图。
所分得的四①过矩形内部的个小矩形，其面积满足这样的规律：2、梯形的对角线讲梯形分成的四个三角形有：ab＝cd,且c＝d对称、旋转、平移、割补等技巧将其转换0、按照图中的样子，在一个平行四边行纸片上割去了甲、乙两个直角三角形，已知甲三角形的两条直角边分别为2厘米和4厘米，乙三角形的两条直角边分别为3厘米和6厘米，求图中阴影部分的面积。
（11）1、有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合（见下图）。
已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10。
求正方形盒底的面积。
【51.2】2、如图，在正方形ABCD中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合。
黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积。
【29.25】3、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点(如图)，连接线段AF、BG、CH、DE，由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的几分之几？【1/5】4、如图正方形ABCD的边长是5，E，F分别是AB和BC的中点，求四边形BFGE的面积是多少?【5】5、已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？【14】6、有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长34厘米，求这个长方形面积。
五上奥数班1—等积变换、代入法
强化基础过关一、填空题1、5.035.2⨯的积是（）位小数，如果2.35扩大10倍，要使积不变，必须把0.5改为（）。
2、两个因数的积是84.5。
如果一个因数扩大10倍，另一个因数缩小10001，此时则积是（）。
3、4.032⨯0.8的积是（）位小数；2.6×1.25的积是（）位小数；3.2×2.5的积是（）位小数；5.04×2.5的积是（）位小数。
4、在里填上”>”,”<”或者”=”。
5、根据9242144=⨯,直接写出下面几个算式的积。
（4分）4.4⨯2.1=( ) 0.44⨯0.21=( )0.924=（）×（） 92.4=( )×( )6、一个数是三位小数，将它四舍五入到百分位是3.32，这个数最大是（），最小是（）。
7、单位换算6.5米＝( )米( )分米 5米9厘米＝( )米 8.04千米=（）千米（）米（）吨（）千克=1.8吨 0.35公顷=（）平方米 60公顷=（）平方千米2.5小时=（）分 0.25日=( ）小时 2小时45分钟=（）小时8、0.065×45，如果得数保留一位小数，则是（）。
9、一个长方形的长扩大10倍，宽缩小10倍，这个长方形的面积（）。
（扩大、缩小、不变）二、计算题1、竖式计算，并验算0.407⨯0.3= 0.45⨯0.862=2019五上奥数1练习118×43—86×9 9999×2222+3333×3334 例3：53×4+19×6+6×34练习54.3×36+11.7×36+66×64 5.3×4.6+7.1×5.4+8.2×5.4 例题4:练习例题5：（1+0.12+0.23）×（0.12+0.23+0.34）-（1+0.12+0.23+0.34）×（0.12+0.23）练习（100+621+739+458）×（621+739+458+378）-（100+621+739+458+378）×（621+739+458）。
五年级奥数第5讲等积变形
学生课程讲义
两个平面图形面积相等,称为这两个图形等积.解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积问题.其中三角形的等积变形的技巧是各种
等积变形的核心,都要运用到“等(同)底、等(同)高的两个三角形面积相等”这个基本规则,并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧。
【例1】计算：
如图，5-1，ABCD 是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米，求直角梯形ABCD 的面积。
【例2】
其中A、B、C都是大于0且互不相同的自然数，则（A+B）÷C＝。
五年级奥数专题 等积变换、切割、平移、旋转(学生版)
学科培优数学等积变换、切割、平移、旋转学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华,等积变换试平面几何的基础,解决三角形问题几乎无处不在,切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想,在几何中举足轻重,能使复杂的问题巧妙化解。
所以本讲是非常重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。
重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。
2．化未知图形为已知图形。
3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论： 1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 3、夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,和夹在一组平行线之间,且有公共底边那么；反之,如果,则可知直线平行于。
4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。
【人教版】五年级上册奥数试题：平面图形面积
平面图形1、 和差法：分割、合并、倍数比2、 运动法：3、 等积变换法：等底、等高则等积；等积、等高则等底；等积、等底则等高。
例1、求阴影部分的面积。
例2、大、小两个正方形的边长分别是8厘米和6厘米， 求阴影部分的面积。
例3、两个相同的直角三角形如图重叠在一起， 求阴影部分的面积。
例4、求阴影部分面积。
例5、图中长方形ABCD 中AB=5厘米，BC=8厘米。
三角形DEF （甲）的面积 比三角形ABF （乙）的面积大8平方厘米。
求DE 的长。
3cm4cm6cm5cm2cm12cm甲ABCDEF乙AD B C 10cm 10cm24cm45° E5cm例6、在三角形ABC 中，DC=2BD ，CE=3AE ，三角形ADE 的面积是 8平方厘米。
求三角形ABC 的面积。
例7、四边形ABCD 中，AC 和BD 互相垂直，AC=20厘米，BD=15厘米。
求四边形的面积。
例8、在四边形ABCD 中，∠C=45°，∠B=90°，∠D=90°， AD=4cm ，BC=12cm 。
求四边形ABCD 的面积。
例9、AF=2cm,AB=4cm,CD=5cm,DE=8cm,∠B=∠E=90°。
求四边形ACDF 的面积。
例10、已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大10平方厘米。
求大、小正方形的面积各数多少平方厘米。
ABCDC45°AB CDABCDEF 4cm8cm2cm练习1、图中两个正方形的边长是10厘米和7厘米，求阴影部分的面积（如图）练习2、如下图，在三角形ABC中，AD=BD,CE=3BE。
若三角形BED的面积是1平方厘米，则三角形ABC的面积是多少平方厘米？练习3、三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. A B长40厘米, BC长多少厘米.练习4、在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是平方厘米.练习5、ABC是等腰直角三角形. D是半圆周的中点,BC是半圆的直径,已知:AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少?练习6、已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积. C②①A B121520A10DCB练习7、右图中三角形是等腰直角三角形, 阴影部分的面积是 (平方厘米).练习8、如右图,阴影部分的面积是 .练习9、如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是 厘米.)14.3(=π练习10、ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?练习11、在四边形ABCD 中，∠C=135°，∠D=90°。
五年级奥数---等积变换
五年级奥数---等积变换第二十一讲等积变换一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
答：阴影部分的面积是17厘米2。
例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。
答：平行四边形ABCD的面积是50cm.例题3：在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
解：因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB 的面积大18厘米2。
梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2），三角形ECB面积=36-18=18（厘米2），EC=18÷6×2=6（厘米），ED=6-4=2（厘米）。
五年级下册数学奥数试题-等积变形(人教版)
第3讲等积变形一、知识点等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：1.等底等高的两个三角形面积相等；2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等；3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍；4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等.二、例题精讲例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________.例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍.例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米.例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米.例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积.例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________.例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是________平方厘米.三、水平测试1、如图，梯形的下底长10厘米，高6厘米,则阴影部分的面积是________平方厘米.2、如图，AE=3AB,BD=2BC,三角形DBE的面积是三角形ABC面积的_______倍.3、如图，讲三角形ABC的AB边延长1倍，将BC边延长2倍，得三角形ADE,则三角形ADE 的面积是三角形ABC的_________倍.4、如图，平行四边形ABCD中，DO=2BO,AE和BO垂直，直角三角形AOB的面积为16平方厘米，则四边形OECD的面积是_____________.5、如图，BE=EC,CA=FA,三角形BDE的面积为5平方厘米，则三角形ADF的面积是_____平方厘米.6、矩形ABCD中三条线段长度如图所示，M 线段DE的中点，求阴影部分的面积.。
五年级奥数培优教程之第5章图形专题
第四章 图形第四课时------等面积转换法专题解析：几何中直接求面积很难时，可以找一个或者构造一个面积易求且面积相等的图形进行转换，从而得解。
例题1：如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
针对性训练：1、 如图所示，BE 长7厘米，长方形AEFD 面积是33平方厘米。
求CD 的长度。
2、 如图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分的面积（单位：厘米）。
例2：如图梯形的上底AB 长20厘米，下底DC 长30厘米，高15厘米，求阴影部分的面积。
B46考点归纳1、如图，E是平行四边形ABCD底边BC的中点，阴影部分的面积是3.1平方厘米，则平行四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，E、F分别是平行四边形ABCD相邻两边的中点，求阴影部分的面积（单位：厘米）？3、如图，已知四条线段的长分别是：AB=2cm，CE=6cm，CD=5cm，AF=4cm，并且有两个直角。
求四边形ABCD的面积。
例3：如图，已知AB=BC=6厘米，三角形BCE的面积比三角形ADE的面积大3平方厘米，则AD 长是多少厘米？1、如图，四边形ABCG、DEFG是长方形，那么三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少（单位：厘米）？2、如图，三角形ABC的面积为36平方厘米，延长BA到E,D是AC的中点，A是BE的三等分点，求三角形ADE的面积。
3、如图，在三角形ABC中，DC:BC=2:5,BO:OE=4:1,求AE:EC的比是多少？自我检测1、如图，由两个完全一样的直角三角重叠在一起，则阴影部分的面积为。
（单位：厘米）2、图中，ABCD是正方形，三角形DEF面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，CD长4厘米。
则DE的长度为厘米。
3、如图是一块长方形草地。
长方形长12米，宽8米。
中间有三条宽2米的道路，一条是长方形，另两条是平行四边形。
求有草部分（阴影部分）的面积。
4、图中四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH 的面积5、如图正方形ABCD的边长是4厘米,CG是3厘米,长方形DEFG的长DG是5厘米,那么它的宽DE是多少厘米？第四章 图形第六课时------等底等高法等底等高解三角形面积问题例1：图中长方形的长为12厘米，宽为6厘米。
五年级奥数热点专题讲义8
第八次课/科大附小五年级数学组 热点专题8面积的等积变换考点归纳： 两个平面图形面积相等，称为两个图形等积，三角形等积变形的技巧是各因题而异的种种等积变形。
夺冠技巧：合理割补是等积变换的关键。
示范1 ： 迁移1：如图，平行四边形ABCD 中，BC16厘米，E 是 如图，平行四边形ABCD 中BF=2DF 。
E 是 BC 的中点，三角形DCE 的面积是12平方厘米， BC 中点。
三角形BEF 的面积为8平方厘米， 求平行四边形ABCD 的面积。
求平行四边形ABCD 的面积。
示范2: 迁移2:如图，直角三角形ABC 的面积是180平方 如图，平行四边形被分ABCD 被分成三角形 分米，BC=18分米，且2AD=DB 。
求DE 的长度？ ADF 和梯形ABCF 两部分，她们的面积相差14平方厘米，已知AE=7厘米，求FC 的长。
A B C EA B C D E F AB C D E第八次课/科大附小五年级数学组热身1: 拓展1:如图，梯形ABCD 中，△ABE 和△ADE 的 如图，在梯形ABCD 中，三角形ABE 的面 面积分别是2平方厘米，3平方厘米，求三角 积为30平方厘米，EC=2AE ，求梯形ABCD 的 形CDE 的面积是多少？ 面积。
热身2: 拓展2:在长方形ABCD 中，AD=15厘米， 如图，长方形ABCD 中，AD 长20厘米， AB=8厘米，阴影部分的面积为68平方厘米， DC 长10厘米，对角线交于O ，F 是BC 上任意 四边形EFGO 的面积是多少？ 一点（不是B 、C 点），四边形OEFG 的面积为25平方厘米。
求阴影部分的面积。
A B C D E32A B C D E。
五年级下册奥数讲义试题-第四讲 水面高度变化和等积变换全国通用
第四讲水面高度变化和等积变换水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。
解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。
等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。
解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。
解：50厘米一5分米5÷(25X20)+15=O．25+15=15．25(分米)答：容器中水深15．25分米。
例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。
水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。
现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。
而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。
解：25×25×20÷(50×50)+20=5+20=25(厘米)答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。
例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。
五年级奥数第5讲等积变形
学生课程讲义课程名称五年级奥数上课时间任课老师沈老师第05 讲，本讲课题：等积变形内容概要熟知各种规则图形的面积求法，结合等积变形来求出不规则图形面积。
两个平面图形面积相等,称为这两个图形等积.解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积问题.其中三角形的等积变形的技巧是各种等积变形的核心,都要运用到“等(同)底、等(同)高的两个三角形面积相等”这个基本规则,并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧。
【例1】计算：如图，5-1，ABCD是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米，求直角梯形ABCD的面积。
随堂练习1如图5-2，三角形ABO的面积为9平方厘米，线段BO的长度是OD的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【例2】如图5-3，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE的面积是三角形ABC面积的多少倍？随堂练习2如图5-5，AE=3AB，BD=2BC,△DBE面积是△ABC面积的多少倍？【例3】如图5-6，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，阴影部分的面积是多少平方厘米？随堂练习3如图5-8，△ABC面积=24平方厘米，M为AB中点，E 为AM上任意一点，MD与EC平行，求EBD的面积。
【例4】如图5-9所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是多少平方厘米。
随堂练习4如图5-10，平行四边形ABCD中BF=2DF.E是BC中点。
三角形BEF的面积等于8平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
【例5】如图5-11，梯形ABCD的面积是45平方厘米，高6厘米，AD∥BC，三角形AED的面积是5平方厘米，BC=10厘米。
求三角形BCE的面积。
五年级奥数第5讲等积变形
【例1】计学生课程讲义课程名称五年级奥数上课时间任课老师沈老师第05讲，本讲课题：等积变形内容概要熟知各种规则图形的面积求法，结合等积变形来求出不规则图形面积。
两个平面图形面积相等,称为这两个图形等积•解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积问题•其中三角形的等积变形的技巧是各种等积变形的核心，都要运用到“等（同）底、等（同）高的两个三角形面积相等”这个基本规则, 并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧。
如图，5-1,ABCD是直角梯形,两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米求直角梯形ABCD的面积。
◎I 多少平方厘米?A 界C梦想从这里起飞【例2】如图5-3,把三角形ABC 的一条边 少平方厘米？AB 延长1倍到D,把它的 另一边AC 延长2倍到E, 得到一个较大的三角形ADE ，三角形ADE 的面积是三角形ABC 面积的多少【例3】如图5-6，已知三角形ABC 的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC 的2倍，阴影部分的面积是多倍？随堂练习3随堂练习2 如图5-5，AE=3AB BD=2BC,ADBE 面积是△ ABC 面积的多少倍？ 如图5-8，^ABC 面积=24平方厘米，M 为AB 中点，E 为AM 上任意一点，MD 与EC 平行，求EBD 的面积。
as-sE和为7.8平方厘米，则1'■只—9四边形PMON的面积是BC=10厘米。
求三角形BCE的面积。
【例4】如图5-9所示, 矩形ABCD的面积为24 平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN的面积之【例5】如图5-11,梯形ABCD的面积是45平方厘米，高6厘米，AD〃BC,三角形AED的面积是5平方厘米，多少平方厘米。
随堂练习4如图5-10，平行四边形ABCD中BF=2DF.E是BC中点。
三角形BEF的面积等于8平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
五年级下册奥数讲义试题-第四讲水面高度变化和等积变换(无答案)全国通用
第四讲水面高度变化和等积变换水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。
解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。
等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。
解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲例1: 在一个长25 分米，宽20 分米的长方体容器中，有15 分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长是50 厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升局部的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升局部水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。
解：50厘米一 5 分米5 - (25X20)+15=O ．25+15=15 ．25( 分米)答：容器中水深15．25 分米。
例2: 一个长方体水箱，底面是一个边长为50 厘米的正方形。
水箱里直立着一个高10 分米，底面边长是25 厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6 分米。
现在把铁块轻轻地向上提起20 厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的局部长多少厘米?【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的局部包括向上提起的20 厘米和铁块提起后水面下降的高度两局部。
而下降局部水的体积就等于提起的20 厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20 厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。
解：25X 25X 20- (50 X 50)+20=5+20=25( 厘米)答：露出水面的铁块上被水浸湿的局部长25厘米。
例3: 把一个长9 厘米，宽7 厘米，高 3 厘米的长方体铁块和一个棱长 5 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20 平方厘米的长方体，求这个长方体的高。
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第二十一讲等积变换
一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形
OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面
积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）× 2 ÷ 2=17（厘米2）。
答：阴影部分的面积是17厘米2。
例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10 厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8 厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10 厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10 厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10 厘米
2，所以平行四边形ABCD的面积等于
10× 8÷2+10=50（厘米2）。
答：平行四边形ABCD的面积是50cm.
例题 3：在右图中， AB=8厘米， CD=4厘米， BC=6厘米，三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18厘米 2。
求 ED 的长。
解：因为三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 厘
米 2 三角形都加上四边形 FDCB 后，其差不变，所以梯形 ABCD 比三角形 ECB 的面积大 18 厘米 2。
梯形 ABCD 面积 =（8+4）× 6÷2=36（厘米 2）， 三角形 ECB 面积 =36-18=18（厘米 2
）， EC=18÷6×2=6（厘
米）， ED=6-4=2（厘米）。
答： ED 的长 2 厘米。
例 4：下页上图中， ABCD 是 7× 4 的长方
形， 长方形，求三角形 BCO 与三角形 EFO 的
面积之差。
解法一 ：连结 B ，E （见左下图）。
三角形 BCO 与三角形 EFO 都 加上三角形 BEO ，则原来的问题转化为求三角形 BEC 与三角形 BEF 的面积之差。
所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。
：连结 C ，F （见右上图）。
三角形 BCO 与三角形
EFO 都 CFO ，则原来的问题转化为求三角形 BCF 与三角形
ECF
所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。
答：三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差是 3.
解法二 加上三角形
的面积之
例题5：左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米，求三角形ABC的面积。
解：连结AD（见右上图），三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷ 2=8（厘米2）。
答：三角形ABC的面积是8厘米2。
练习
1、下左图中，已知BD长是10，DC长是15，E 是AD的中点，如果三角形ABD的面积是100，三角形DEC的面积是多少？
2、上右图中,三角形ABC的面积是30平方厘米, D是BC的中点, AE 的长是ED 的长的 2 倍,那么三角形CDE 的面积是多少平方厘米？
3、如下图,把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D,把它的另一边AC 延长2倍到E,得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的几倍.
4、如图，三角形BDE的面积是54 平方厘米，三角形ABC是平行四边形CDEF面积的 3 倍，求三角形ABC的面积。
8、右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴 影部分的面积。
9、左下图中，扇形 ABD 的半径是 4 厘米，甲比乙的面积大 3.44 厘 米 2。
求直角梯形 ABCD 的面积。
（π =3.14 ）
10、在右上图的三角形中， D ，E 分别是所在边的中点，求四边形 ADFE 的面积。
5、 下图的两个正方形 , 边长分别为 8 厘米和 4厘米, 那么阴影 部分的面积是多少平方厘米。
6、 如图，四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点， F
为 CD 的中点。
如果四边形 ABCD 的面积是 120 平
方厘米，求 四边形 BEDF 的面积是多少？
7、左下图中，等腰直角三角形 ABC 的腰为 10 厘米，以 C 为圆心、
CF 为半径画弧线 EF ，组成扇形 CEF 。
如果图中甲、乙两部分的面积 相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？
11、下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9 厘米2，求ED的长。
12、右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大 2 厘米2，求CD的长。
13、如图，三角形ABC的面积是30平方厘米，AE=ED,BD=B，C 求阴影部分的面积和。