五年级奥数等积变换

第二十一讲等积变换

一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。

例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形

OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面

积。

直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）× 2 ÷ 2=17（厘米2）。

答：阴影部分的面积是17厘米2。

例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10 厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8 厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10 厘米2，求平行四边形ABCD的面积。

解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10 厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10 厘米

2，所以平行四边形ABCD的面积等于

10× 8÷2+10=50（厘米2）。

答：平行四边形ABCD的面积是50cm.

例题 3：在右图中， AB=8厘米， CD=4厘米， BC=6厘米，三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18厘米 2

。求 ED 的长。 解：因为三角形 AFB 比三角形 EFD 的面积大 18 厘

米 2 三角形都加上四边形 FDCB 后，其差不变，所以梯形 ABCD 比三角形 ECB 的面积大 18 厘米 2。

梯形 ABCD 面积 =（8+4）× 6÷2=36（厘米 2）， 三角形 ECB 面积 =36-18=18（厘米 2

）， EC=18÷6×2=6（厘

米）， ED=6-4=2（厘米）。 答： ED 的长 2 厘米。

例 4：下页上图中， ABCD 是 7× 4 的长方

形， 长方形，求三角形 BCO 与三角形 EFO 的

面积之差。

解法一 ：连结 B ，E （见左下图）。三角形 BCO 与三角形 EFO 都 加上三角形 BEO ，则原来的问题转化为求三角形 BEC 与三角形 BEF 的面积之差。所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。

：连结 C ，F （见右上图）。三角形 BCO 与三角形

EFO 都 CFO ，则原来的问题转化为求三角形 BCF 与三角形

ECF

所求为 4×（ 10-7 ）÷ 2-2 ×（ 10-7 ）÷ 2=3。

答：三角形 BCO 与三角形 EFO 的面积之差是 3.

解法二 加上三角形

的面积之

例题5：左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米，求三角形ABC的面积。

解：连结AD（见右上图），三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。

因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷ 2=8（厘米2）。

答：三角形ABC的面积是8厘米2。

练习

1、下左图中，已知BD长是10，DC长是15，E 是AD的中点，如果三角形ABD的面积是100，三角形DEC的面积是多少？

2、上右图中,三角形ABC的面积是30平方厘米, D是BC的中点, AE 的长是ED 的长的 2 倍,那么三角形CDE 的面积是多少平方厘米？

3、如下图,把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D,把它的另一边AC 延长2倍到E,得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的几倍.

4、如图，三角形BDE的面积是54 平方厘米，三角形ABC是平行四边形CDEF面积的 3 倍，求三角形ABC的面积。

8、右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴 影部分的面积。

9、左下图中，扇形 ABD 的半径是 4 厘米，甲比乙的面积大 3.44 厘 米 2

。求直角梯形 ABCD 的面积。（π =3.14 ）

10、在右上图的三角形中， D ，E 分别是所在边的中点，求四边形 ADFE 的面积。

5、 下图的两个正方形 , 边长分别为 8 厘米和 4厘米, 那么阴影 部分的面积是多少平方厘米。

6、 如图，四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点， F

为 CD 的中点。如果四边形 ABCD 的面积是 120 平

方厘米，求 四边形 BEDF 的面积是多少？

7、左下图中，等腰直角三角形 ABC 的腰为 10 厘米，以 C 为圆心、

CF 为半径画弧线 EF ，组成扇形 CEF 。如果图中甲、乙两部分的面积 相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？

11、下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9 厘米2，求ED的长。

12、右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大 2 厘米2，求CD的长。

13、如图，三角形ABC的面积是30平方厘米，AE=ED,BD=B，C 求阴影部分的面积和。